第一篇：高中必修1-5錯(cuò)誤解題分析系列-《5.3 基本不等式的證明》
§5.3 基本不等式的證明
一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)
1.比較法：比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法(簡(jiǎn)稱為求差法)和商值比較法(簡(jiǎn)稱為求商法).(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“ａ-ｂ≥0?ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0?ａ≤ｂ”.其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個(gè)整體；②變形：把不等式兩邊的差進(jìn)行變形，或變形為一個(gè)常數(shù)，或變形為若干個(gè)因式的積，或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方的和等等，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段；③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負(fù)號(hào)，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論.應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)一般使用差值比較法.+(2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若ａ，ｂ∈R，ａ/ｂ≥1?ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1?ａ≤
ｂ”.其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡(jiǎn)商式到最簡(jiǎn)形式；③判斷商與1的大小關(guān)系，就是判定商大于1或小于1.應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時(shí)，一般使用商值比較法.2.綜合法：利用已知事實(shí)(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч?，從“已知”看“需知”，逐步推出“結(jié)論”.即從已知Ａ逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論Ｂ.3.分析法：是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定那個(gè)條件是否具備，其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”.用分析法證明書寫的模式是：為了證明命題Ｂ成立，只需證明命題Ｂ1為真，從而有?，這只需證明Ｂ2為真，從而又有?，??這只需證明Ａ為真，而已知Ａ為真，故Ｂ必為真.這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件.4.反證法：有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式Ａ>Ｂ，先假設(shè)Ａ≤Ｂ，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時(shí)，可以考慮用反證法.5.換元法：換元法是對(duì)一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個(gè)或多個(gè)變量進(jìn)行代換，以便簡(jiǎn)化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法.主要有兩種換元形式.(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮三角代換，將兩個(gè)變量都有同一個(gè)參數(shù)表示.此法如果運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題；(2)增量換元法：在對(duì)稱式(任意交換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考慮用增量法進(jìn)行換元，其目的是通過換元達(dá)到減元，使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn).如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ進(jìn)行換元.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析
1.在用商值比較法證明不等式時(shí)，要注意分母的正、負(fù)號(hào)，以確定不等號(hào)的方向.2.分析法與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面，前者執(zhí)果索因，利于思考，因?yàn)樗较蛎鞔_，思路自然，易于掌握；后者是由因?qū)Ч?，宜于表述，因?yàn)樗鼦l理清晰，形式簡(jiǎn)潔，適合人們的思維習(xí)慣.但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因?yàn)樗鼣⑹鲚^繁，如果把“只需證明”等字眼不寫，就成了錯(cuò)誤.而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過程.因而證明不等式時(shí)，分析法、綜合法常常是不能分
離的.如果使用綜合法證明不等式，難以入手時(shí)常用分析法探索證題的途徑，之后用綜合法形式寫出它的證明過程，以適應(yīng)人們習(xí)慣的思維規(guī)律.還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題的目的.這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系.分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn)，綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步分析的起點(diǎn).3.分析法證明過程中的每一步不一定“步步可逆”，也沒有必要要求“步步可逆”，因?yàn)檫@時(shí)僅需尋找充分條件，而不是充要條件.如果非要“步步可逆”，則限制了分析法解決問題的范圍，使得分析法只能使用于證明等價(jià)命題了.用分析法證明問題時(shí)，一定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩耙C”、“只需證”、“即證”、“也即證”等詞語.4.反證法證明不等式時(shí)，必須要將命題結(jié)論的反面的各種情形一一加以導(dǎo)出矛盾.5.在三角換元中，由于已知條件的限制作用，可能對(duì)引入的角有一定的限制，應(yīng)引起高度重視，否則可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果.這是換元法的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，且要注意整體思想的應(yīng)用.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講
[例1] 已知a>b(ab?0),比較
1與的大小.ab11
錯(cuò)解：? a>b(ab?0)，?<.ab
錯(cuò)因：簡(jiǎn)單的認(rèn)為大數(shù)的倒數(shù)必定小，小數(shù)的倒數(shù)必定大.正確的結(jié)論是：當(dāng)兩數(shù)同號(hào)時(shí)，大數(shù)的倒數(shù)必定小，小數(shù)的倒數(shù)必定大.正解：?
11b?a??，又? a>b(ab?0)，abab
b?a11
?0,?<.abab
(1)當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)，即a>b>0或b
1>0,<0?>.abab
[例2] 當(dāng)a、b為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式中最小的是（）
a?ba?1?b?1?1a2?b
2)A.B.abC.D.（222
錯(cuò)解：所以選B.a?ba2?b2
錯(cuò)因是由于在、ab、中很容易確定ab最小，所以易誤選B.而事
2實(shí)上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正確的結(jié)論，就需要全面比較，不可
a?1?b?1?
1)與前三者的大小比較.遺漏（正解：由均值不等式
a?b
?2
ab及a2+b2?2ab,可知選項(xiàng)A、B、C中，ab最小，而
2aba?1?b?1?
1()＝，由當(dāng)a?b時(shí)，a+b>2ab,兩端同乘以ab，可得（a+b）·ab
a?b
2＞2ab,?
2ab
＜ab，因此選D.a?b
a
b
1212
[例3] 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ +(b+)的最小值.錯(cuò)解:(a+
1212221121)+(b+)=a+b+2+2+4≥2ab++4≥4ab?+4=8, abababab
∴(a+
1212)+(b+)的最小值是8.ab
錯(cuò)因：上面的解答中，兩次用到了基本不等式a+b≥2ab，第一次等號(hào)成立的條件是a=b=第二次等號(hào)成立的條件是ab=最小值.,2，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的.因此，8不是ab
11111122222
++4=(a+b)+(+)+4=[(a+b)－2ab]+[(+)－]+
4ababa2b2a2b2
=(1－2ab)(1+22)+4，ab
a?b211111
由ab≤()= 得：1－2ab≥1－=, 且22≥16，1+22≥17，2422abab1251
∴原式≥×17+4=(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立)，22212122
5∴(a +)+(b +)2ab
[例4] 已知0 < x < 1, 0 < a < 1，試比較|loga(1?x)|和 |loga(1?x)|的大小.正解：原式= a+b+
解法一：|loga(1?x)|2? |loga(1?x)|2??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?loga(1?x)?
1?x
1?x
1?x1?x2
?1∴l(xiāng)oga(1?x2)loga?0∵0 < 1 ? x < 1,0?
1?x1?x
?loga(1?x)loga
∴|loga(1?x)|? |loga(1?x)| 解法二：
loga(1?x)11?x
?log1?x(1?x)??log1?x(1?x)?log1?x?log1?x
loga(1?x)1?x1?x
?1?log1?x(1?x2)
∵0 < 1 ? x < 1,1 + x > 1,∴?log1?x(1?x2)?0
∴1?log1?x(1?x2)?1∴|loga(1?x)|? |loga(1?x)| 解法三：∵0 < x < 1,∴0 < 1 ? x < 1,1 < 1 + x < 2,∴l(xiāng)oga(1?x)?0,loga(1?x)?0
∴左 ? 右 = loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x2)∵0 < 1 ? x < 1, 且0 < a < 1∴l(xiāng)oga(1?x2)?0
∴|loga(1?x)|? |loga(1?x)|
[例5]已知x = a + b，y = c + d，且所有字母均為正，求證：xy≥ac + bd
證：證法一（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正數(shù)∴要證：xy≥ac + bd
只需證：(xy)≥(ac + bd)
222222 22
即：(a + b)(c + d)≥ac+ bd + 2abcd22222222 22
展開得：ac+ bd + ad + bc≥ac+ bd + 2abcd
2222
即：ad + bc≥2abcd由基本不等式，顯然成立∴xy≥ac + bd
證法二（綜合法）xy =a2?b2c2?d2?
a2c2?b2c2?a2d2?b2d2
(ac?bd)2?ac?bd
2222
≥ac?2abcd?bd?
證法三（三角代換法）
222
∵x = a + b，∴不妨設(shè)a = xsin?,b = xcos?
y2 = c2 + d2c = ysin?,d = ycos?
∴ac + bd = xysin?sin? + xycos?cos? = xycos(? ? ?)≤xy [例6] 已知x > 0，求證： x?
1?x
1x?
1x
?2
證：構(gòu)造函數(shù)f(x)?x?
(x?0)則x??2，設(shè)2≤?
由f(?)?f(?)???
?11?(???)(???1)11
?(??)?(???)???????????????
顯然∵2≤? 0,?? ? 1 > 0,?? > 0∴上式 > 0 ∴f(x)在[2,??)上單調(diào)遞增，∴左邊?f(2)?
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1.比較（a+3）(a－5)與（a+2）（a-4）的大小.2.已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：
(ab?cd)(ac?bd)?4abcd
3.已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求證：
??3?22 xy
4.若x2?y2?1，求證：|x2?2xy?y2|?
5.若x > 1，y > 1，求證：xy?1?x?1)(y?1)
6．證明：若a > 0，則a?
11?2?a??2
aa2
第二篇：高中必修1-5錯(cuò)誤解題分析系列-《6.1 兩條直線之間的位置關(guān)系》
§6.1 兩條直線之間的位置關(guān)系
一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)
1.平面的基本性質(zhì).公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線.公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.2.空間兩條直線的位置關(guān)系，包括：相交、平行、異面.3.公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.定理4：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩
邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.4.異面直線.異面直線所成的角；兩條異面直線互相垂直的概念；異面直線的公垂線及距
離.5.反證法.會(huì)用反證法證明一些簡(jiǎn)單的問題.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析
1．異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).強(qiáng)調(diào)任何一個(gè)平面.2．異面直線所成的角是指經(jīng)過空間任意一點(diǎn)作兩條分別和異面的兩條直線平行的直線所成的銳角（或直角）.一般通過平移后轉(zhuǎn)化到三角形中求角，注意角的范圍.3．異面直線的公垂線要求和兩條異面直線垂直并且相交，4．異面直線的距離是指夾在兩異面直線之間公垂線段的長(zhǎng)度.求兩條異面直線的距離關(guān)鍵是找到它們的公垂線.5．異面直線的證明一般用反證法、異面直線的判定方法：如圖，如果b??,A??且A?b,a???A,則a與b異面.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講
[例1]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD1、D1C1的中點(diǎn)，則直線OM().A.是AC和MN的公垂線.B.垂直于AC但不垂直于MN.C.垂直于MN，但不垂直于AC.D.與AC、MN都不垂直.錯(cuò)解:B.錯(cuò)因：學(xué)生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影.正解：A.[例2]如圖，已知在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，G,H
分別是BC,CD上的點(diǎn),且GCBG?DHHC?2,求證:直線EG,FH,AC相交于一
點(diǎn).錯(cuò)解：證明：?E、F分別是AB,AD的中點(diǎn),?EF∥BD,EF=2BD, BG
GC又?DH
HC
?2,? GH∥BD,GH=3BD,?
? 四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T,DH
?2,F分別是AD.?AC與FH交于一點(diǎn).?直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn)
正解：證明：?E、F分別是AB,AD的中點(diǎn),1?EF ∥BD,EF=2BD, 又GCBG?DHHC?2,? GH∥BD,GH=3BD,?四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T,?EG?平面ABC,FH?平面ACD,?T?面ABC,且T?面ACD,又平面ABC?平面ACD=AC,?T?AC,?直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn)T.[例3]判斷：若a,b是兩條異面直線，P為空間任意一點(diǎn)，則過P點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與a,b都平行.錯(cuò)解：認(rèn)為正確.錯(cuò)因：空間想像力不夠.忽略P在其中一條線上，或a與P確定平面恰好與b平行，此時(shí)就不能過P作平面與a平行.正解：假命題．
[例4] 如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn)．求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線（在同一條直線上）．分析：先確定一個(gè)平面，然后證明相關(guān)直線在這個(gè)平面內(nèi)，最后證明四點(diǎn)共線．證明 ∵ AB//CD，AB，CD確定一個(gè)平面β．
又∵AB ∩α＝E，ABβ，? E?α，E?β，即 E為平面α與β的一個(gè)公共點(diǎn)．
同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點(diǎn)．
∵ 兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過公共點(diǎn)的公共直
線，∴ E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線．
點(diǎn) 評(píng)：在立體幾何的問題中，證明若干點(diǎn)共線時(shí)，先證明這些點(diǎn)都是某兩平面的公共點(diǎn)，而后得出這些點(diǎn)都在二平面的交線上的結(jié)論．
[例5]如圖，已知平面α，β，且α∩β＝．設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且AB
CDβ，求證：AB，CD，共點(diǎn)（相交于一點(diǎn)）． lα，l
分析：AB，CD是梯形ABCD的兩條腰，必定相交于一點(diǎn)M，只要證明M在l上，而l是兩個(gè)平面α，β的交線，因此，只要證明M∈α，且M∈β即可．
證明： ∵ 梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的兩條腰．
∴ AB，CD必定相交于一點(diǎn)，設(shè) AB ∩CD＝M．
又∵ ABα，CDβ，∴ M∈α，且M∈β．
∴ M∈α∩β．
又∵ α∩β＝，∴ M∈，即 AB，CD，共點(diǎn)．
點(diǎn) 評(píng)：證明多條直線共點(diǎn)時(shí)，與證明多點(diǎn)共線是一樣的．
[例6]已知：a，b，c，d是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線，求證：a，b，c，d共面．
分析：弄清楚四條直線不共點(diǎn)且兩兩相交的含義：四條直線不共點(diǎn)，包括有三條直線共點(diǎn)的情況；兩兩相交是指任何兩條直線都相交．在此基礎(chǔ)上，根據(jù)平面的性質(zhì)，確定一個(gè)平面，再證明所有的直線都在這個(gè)平面內(nèi)．
證明 1o若當(dāng)四條直線中有三條相交于一點(diǎn)，不妨設(shè)a，b，c相交于一點(diǎn) A∴ 直線d和A確定一個(gè)平面α．
又設(shè)直線d與a，b，c分別相交于E，F(xiàn)，G，則 A，E，F(xiàn)，G∈α．
∵ A，E∈α，A，E∈a，∴ aα．
同理可證 bα，cα．
∴ a，b，c，d在同一平面α內(nèi)．
2o當(dāng)四條直線中任何三條都不共點(diǎn)時(shí)，如圖．
∵ 這四條直線兩兩相交，則設(shè)相交直線a，b確定一個(gè)平面α．
設(shè)直線c與a，b分別交于點(diǎn)H，K，則 H，K∈α． 又∵ H，K∈c，∴ cα．
同理可證 dα．
∴ a，b，c，d四條直線在同一平面α內(nèi)．
點(diǎn) 評(píng)：證明若干條線(或若干個(gè)點(diǎn))共面的一般步驟是：首先由題給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證明其余的線(或點(diǎn))均在這個(gè)平面內(nèi)．本題最容易忽視“三線共點(diǎn)”這一種情況．因此，在分析題意時(shí)，應(yīng)仔細(xì)推敲問題中每一句話的含義．
[例7] 在立方體ABCD－A1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜線BD1在平面AC內(nèi)的射影；
（2）直線BD1和直線AC的位置關(guān)系如何？
（3）直線BD1和直線AC所成的角是多少度？
解：(1)連結(jié)BD, 交AC于點(diǎn)O ?DD1?平面AC,?BD就是斜線BD1在平面AC上的射影.(2)BD1和AC是異面直線.(3)過O作BD1的平行線交DD1于點(diǎn)M，連結(jié)MA、MC，則
∠MOA或其補(bǔ)角即為異面直線AC和BD1所成的角.不難得到MA＝MC，而O為AC的中點(diǎn)，因此MO⊥AC，即lll
∠MOA＝90°，∴異面直線BD1與AC所成的角為90°.[例8] 已知：在直角三角形ABC中，?A為直角，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足為D，求證：AD⊥PC
證明：∵ PA ⊥平面ABC∴ PA⊥BA
又∵ BA⊥AC ∴ BA⊥平面PAC
∴ AD是BD在平面PAC內(nèi)的射影
又∵ BD⊥PC∴ AD⊥PC.（三垂線定理的逆定理）
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1．如圖, P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC后，在包括AB、BC、CA的六條棱所在的直線中，異面直線的對(duì)數(shù)為()
A.2對(duì)B.3對(duì)C.4對(duì)D.6對(duì)
2.兩個(gè)正方形ABCD、ABEF所在的平面互相垂直，則異面直線AC和BF
所成角的大小為．
3.在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，體對(duì)角線DB1與面對(duì)角線BC
1所成的角是，它們的距離是.4.長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，BC?，CD?，DD1?2
2則A1C和B1D1所成角的大小為____.5.關(guān)于直角AOB在定平面α內(nèi)的射影有如下判斷：①可能是0°的角；
②可能是銳角；③可能是直角；④可能是鈍角；⑤可能是180°的角.其中正確判斷的序號(hào)是_____.（注：把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）.6．在空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，AH⊥平面BCD，求證：BH⊥CD
7．如圖正四面體中，D、E是棱PC上不重合的兩點(diǎn)；F、H分別是棱
PA、PB上的點(diǎn)，且與P點(diǎn)不重合．
求證：EF和DH是異面直線．
第三篇：高中必修1-5錯(cuò)誤解題分析系列-《11.1 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念》
§11.1 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念
一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)
1.復(fù)數(shù)：形如a?bi的數(shù)（a,b?R），復(fù)數(shù)通常有小寫字母z表示，即z?a?bi,其
中a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部、b叫做復(fù)數(shù)的虛部，i稱做虛數(shù)單位.2.分類：復(fù)數(shù)a?bi(a,b?R)中，當(dāng)b?0時(shí)，就是實(shí)數(shù)；除了實(shí)數(shù)以外的數(shù)，即當(dāng)
b?0時(shí)，a?bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a?0,b?0時(shí)，叫做純虛數(shù).3.復(fù)數(shù)集：全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合.4.復(fù)數(shù)相等：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)a?bi與c?di的實(shí)部與虛部分別相等，記作：
a?bi=c?di.5.復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面.在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)
軸，y 軸叫做虛軸.6.復(fù)數(shù)的模：設(shè)oz=a?bi,則向量oz的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)a?bi的模（或絕對(duì)值），記作
a?bi.(1)z?a?bi?a2?b2；(2)z1?z2=z2?z1；(3)z1z1?； z2z
27．共扼復(fù)數(shù)：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共扼復(fù)數(shù).二、疑難知識(shí)導(dǎo)析
1．兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，而不全是實(shí)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小
2222．z?R,則z?0，而z?C，則z?0不一定成立，如z?i時(shí)i??1?0；
23．z?R,z?z2，而z?C則z?z2不一定成立；
24．若z1,z2,z3?C,(z1?z2)2?(z2?z3)2?0不一定能推出z1?z2?z3；
25．若z1,z2?R，則z1?z2=(z1?z2)?4z1z2，但若z1,z2?C,則上式不
一定成立.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講
[例1]兩個(gè)共扼復(fù)數(shù)的差是（）
A.實(shí)數(shù)B.純虛數(shù)C.零D.零或純虛數(shù)
錯(cuò)解:當(dāng)?shù)玫絲?z?2bi時(shí)就錯(cuò)誤的選B，忽略了b可以為零的條件.正解：設(shè)互為共扼的兩復(fù)數(shù)分別為z?a?bi及z?a?bi(a,b?R)則z?z?2bi 或
z?z?2bi
當(dāng)b?0時(shí)，z?z，z?z為純虛數(shù)
當(dāng)b?0時(shí)，z?z?0，z?z?0，因此應(yīng)選D.注：要認(rèn)真審題，看清題設(shè)條件，結(jié)論.學(xué)會(huì)全面辯證的思考問題，準(zhǔn)確記憶有關(guān)概念性質(zhì).[例2]判斷下列命題是否正確
(1)若z?C, 則z?0
(2)若z1,z2?C,且z1?z2?0，則z1?z
2(3)若a?b，則a?i?b?i
錯(cuò)解：(1)認(rèn)為任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方大于零可推廣到復(fù)數(shù)中，從而(1)是正
確的(2)認(rèn)為兩實(shí)數(shù)之差大于零等價(jià)于前一個(gè)大于后一個(gè)實(shí)數(shù)，也可推到復(fù)
數(shù)中來.認(rèn)為兩復(fù)數(shù)差為實(shí)數(shù)則這兩個(gè)復(fù)數(shù)也為實(shí)數(shù).而認(rèn)為命題(2)是正確的.(3)把不等式性質(zhì)錯(cuò)誤的推廣到復(fù)數(shù)中，忽略不等式是在實(shí)數(shù)中成立的前提條件.22正解：(1)錯(cuò)，反例設(shè)z?i則z?i??1?0 2
(2)錯(cuò)，反例設(shè)z1?2?i，z2?1?i，滿足z1?z2?1?0，但z1z2
不能比較大小.(3)錯(cuò)，?a?b，?a,b?R，故a?i，b?i都是虛數(shù)，不能比較大小.a2?a?6?(a2?2a?15)i是(1)實(shí)數(shù)； [例3]實(shí)數(shù)a分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z?a?
3(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù).a2?a?6(a?2)(a?3)2?解：實(shí)部，虛部a?2a?15?(a?3)(a?5).a?3a?3
（1）當(dāng)
（2）當(dāng)
（3）當(dāng) 時(shí)，z是實(shí)數(shù)；，且 或時(shí)，z是虛數(shù)；時(shí)是純虛數(shù)． 2 [例4] 設(shè)z1?(m?2m?3)?(m?4m?3)i(m?R),z2?5?3i，當(dāng)m取何值時(shí)，(1)z1?z2;(2)z1?0.分析：復(fù)數(shù)相等的充要條件，提供了將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的依據(jù)，這是解復(fù)數(shù)問題常用的思想方法，這個(gè)題就可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件來列出關(guān)于實(shí)數(shù) 的方程，求出 的值．
2??m?2m?3?5解：(1)由可得：?2解之得m?4，??m?4m?3?3
即：當(dāng)
(2)當(dāng) 時(shí) 可得：
或，即 時(shí)z1?0.22[例5]z1,z2是兩個(gè)不為零的復(fù)數(shù)，它們?cè)趶?fù)平面上分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)P和Q，且4z1?2z1z2?z2?0，證明△OPQ為直角三角形（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），并求兩銳角的度數(shù)．
22分析本題起步的關(guān)鍵在于對(duì)條件4z1等式左邊是關(guān)于z1,z2的二次?2z1z2?z2?0的處理．
齊次式，可以看作二次方程求解，也可配方．
22解：由4z1?2z1z2?z2?0（，不為零），得
z1?
2?23i1?3iz2?z284 ?z11?????????cos????isin????z22??3??3??
即向量OP與向量OQ的夾角為?，3
1|z2|，設(shè)|z1|?r,|z2|?2r，2在圖中，?POQ??
3，又|z1|?
在△OPQ中，由余弦定理
△OPQ為直角三角形，．
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系z(mì)?|z|?2?i，那么z等于（）．
A．B．C．D．
2.復(fù)數(shù)系方程(1?i)x2?(1?i)x?2?6i?0有實(shí)數(shù)根，則這個(gè)實(shí)數(shù)是_________.3.實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限．
4.已知f(z)??z?z且f(?z)?10?3i,求復(fù)數(shù)z
5.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z?5且(3?4i)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限、四象限的角平分線上，是(1)純虛數(shù)；(2)在復(fù)平面上2z?m?52(m?R),求z和m的值
第四篇：基本不等式的證明
課題：基本不等式及其應(yīng)用
一、教學(xué)目的(1)認(rèn)知：使學(xué)生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))和
a?b?ab(a、b∈R+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))，并能應(yīng)用它們證明一些不等
2式．
(2)情感：通過對(duì)定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理的能力．
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：兩個(gè)基本不等式的掌握；
難點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用。
三、教材、學(xué)生分析
教材分析：兩個(gè)基本不等式為以后學(xué)習(xí)不等式的證明和求函數(shù)的最大值或最小值提供了一種
方法，基本不等式的理解和掌握對(duì)以后的解題是很有幫助的。
學(xué)生分析：學(xué)生在上新課之前都預(yù)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容，對(duì)上課內(nèi)容有一定的理解。所以根據(jù)這一
情況多補(bǔ)充了一些內(nèi)容，增加了課堂容量。
四、教學(xué)過程
（一）引入新課
客觀世界中，有些不等式關(guān)系是永遠(yuǎn)成立的。例如，在周長(zhǎng)相等時(shí)，圓的面積比正方形的面積大，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。對(duì)這些不等關(guān)系的證明，常常會(huì)歸結(jié)為一些基本不等式。今天，我們學(xué)習(xí)兩個(gè)最常用的基本不等式。
（二）推導(dǎo)公式
1．奠基
如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0①
把①左邊展開，得
a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．
②
②式表明兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，也就是基本不等式1，對(duì)任何兩實(shí)數(shù)a、b都成立．由于取“=”號(hào)這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號(hào)成立的充要條件．②式中取等號(hào)的充要條件是什么呢？
學(xué)生回答：a=b，因?yàn)閍=b?a+b=2ab 2
2充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達(dá)．“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))．
以公式①為基礎(chǔ)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索．
2．探索
公式②反映了兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究?jī)蓚€(gè)以上的實(shí)數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個(gè)實(shí)數(shù)．設(shè)a、b、c∈R，依次對(duì)其中的兩個(gè)運(yùn)用公式②，有
a2＋b2≥2ab；
b2＋c2≥2bc；
c2＋a2≥2ca．
把以上三式疊加，得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
③
（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))．
以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有
22a12?a2???an?a1a2?a2a3???ana
1④
(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號(hào))．
④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時(shí)的特殊情況．③和④式不必當(dāng)作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項(xiàng)以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法——迭代與疊加．
3．練習(xí)
222求證：a+b+c+3≥2（a+b+c）
4．基本不等式
2直接應(yīng)用基本不等式1可以得到基本不等式2
如果a、b、∈R，那么ab?R?，在公式②中用a替換a，用替換b，立即得+到
22a）?）?2ab 即a?b?2ab ∴a?b?ab⑤
2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))．
這就是課本中基本不等式2 我們把a(bǔ)?b和ab分別叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)。
25、公式小結(jié)
(1)我們從公式①出發(fā)，運(yùn)用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式①、②、③、⑤．它們之間的關(guān)系可圖示如下： 展開 迭代、疊加①
配方
② ③ 降換
次元
⑤
(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②，在課本上是用比較法證明的．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)．
(3)四個(gè)公式中，②、⑤是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法證明．
+222幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，則a＋b=c表
示以斜邊c為邊的正方形的面積．而
2ab?4?ab?4S?ABC 2
如上左圖所示，顯然有c?4?21ab 2
∴a＋b≥2ab 22
(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)，這時(shí)Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個(gè)圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)所用過的“勾股方圓圖”，同學(xué)們?cè)诔踔幸呀?jīng)見過． 公式
示：
a?b?ab也可以用幾何法證明，它的幾何意義是半徑大于等于半弦，如下圖所2
（三）例題
1、已知x，y∈R，證明：+xy??2，并指出等號(hào)成立的條件。yx2、已知a,b∈R，并且ab=4，求證：a?b?8，并指出等號(hào)成立的條件。223、已知x，y∈R，并且x+y=1，求證：xy≤+1 4
（其中一題作為練習(xí)）
（四）應(yīng)用
下面我們來解決開始上課時(shí)所提到的：在周長(zhǎng)相等時(shí)，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。
求證：在周長(zhǎng)相等的矩形中，正方形的面積最大。
證明：設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別a，b(a，b為正數(shù)，且a≠b)，同樣周長(zhǎng)的正方形的邊長(zhǎng)為a?b，2
'可計(jì)算得矩形的面積S=ab，正方形的面積S?(a?b2)，2
由基本不等式2，得a?b?ab?0（因?yàn)閍≠b等號(hào)不成立）。2
a?b2)?(ab)2，即S′>S.2又由不等式性質(zhì)，得（（五）作業(yè)
練習(xí)冊(cè)P10/6
第五篇：基本不等式與不等式基本證明
課時(shí)九 基本不等式與不等式基本證明
第一部分：基本不等式變形技巧的應(yīng)用
基本不等式在求解最值、值域等方面有著重要的應(yīng)用，利用基本不等式時(shí)，關(guān)鍵在對(duì)已知條件的靈活變形，使問題出現(xiàn)積（或和）為定值，以便解決問題，現(xiàn)就常用技巧給以歸納。
技巧一：加減常數(shù)
例
1、求函數(shù)y?x?
點(diǎn)評(píng)：當(dāng)各項(xiàng)符號(hào)不確定時(shí)，必須分類討論，要保證代數(shù)式中的各項(xiàng)均為正。
技巧二：巧變常數(shù)
例
2、已知0?x?
點(diǎn)評(píng)：形如f(x)?x(1?ax)或f(x)?x2(1?ax2)等可有兩種變形方法：一是巧乘常數(shù)；二是巧提常數(shù)，應(yīng)用時(shí)要注意活用。
技巧
三、分離常數(shù)
例
3、已知x?
5452121x?1(x?1)的值域。，求函數(shù)y＝x（1－2x）的最大值。，則f(x)?x?3x?32x?4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值
32點(diǎn)評(píng)：通過加減常數(shù)，分離出一個(gè)常數(shù)是分式函數(shù)求值域常用的方法，這里一定要加減好“常數(shù)”，以利于問題的解決。
技巧
四、活用常數(shù)
例
4、若x,y?R且滿足
點(diǎn)評(píng)：通過配湊“1”并進(jìn)行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式，減少了使用基本不等式的次數(shù)，有效地避免了等號(hào)不能同時(shí)取到的麻煩。
技巧
五、統(tǒng)一形式
?例
5、已知a,b,c?R，求(a?b?c)(?4x?16y?1，求x＋y的最小值。1
a?b?1
c)的最小值。
點(diǎn)評(píng)：根據(jù)分母的特點(diǎn)，進(jìn)行結(jié)構(gòu)調(diào)整為統(tǒng)一的形式，這樣便能快速求解。含有根號(hào)的問題也要注意形式的統(tǒng)一（如求函數(shù)y?x?x2(0?x?1)可變形為y?第二部分：均值定理證明不等式的方法技巧
。x(1?x)等）
1．輪換對(duì)稱型
例1 若a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù)，求
證：a?b?c
222
?ab?bc?ac.點(diǎn)評(píng)：分段應(yīng)用基本等式，然后整體相加(乘)得結(jié)論，是證明輪換對(duì)稱不等式的常用技
巧。
2．利用“1”的代換型
111?
已知a,b,c?R,且 a?b?c?1,求證 ???9.abc例2
點(diǎn)評(píng)：做“1”的代換。
.3.逆向運(yùn)用公式型
a,b?R,a?b?1求證： a?
?
?b?
?2.例3已知
點(diǎn)評(píng)：依據(jù)求證式的結(jié)構(gòu)，湊出常數(shù)因子，是解決此類問題的關(guān)鍵。為脫去左邊的根號(hào)，a?
12,b?
將
1?1???
轉(zhuǎn)換成 1??a??,1??b??,然后逆向運(yùn)22?2???
用均值不等式： 若
a,b?R則 ab?
?
a?b2
.4．挖掘隱含條件證明不等式
1??1?1??
a,b?R,a?b?1求證：?1???1???.a??b?9 ?例4 已知
?a,b?R?,a?b?1
1??2
?ab?說明a,b?R,a?b?1的背后隱含??a?b?
4??ab??
?2?點(diǎn)評(píng):由于?
著一個(gè)不等式ab?
.5．用均值不等式的變式形式證明不等式
a?b?例5已知a,b,c?R,求證：
?
b?c
?c?a
?
2?a?b?c?.點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵在于對(duì)a?b,b?c,c?a的處理，如果能找出
a?b與a?b間的關(guān)系，問題就可以
222222
解決，注意到
?
a?b?2ab?2a?b
?
??
?a?b?2
?2a?b
?a?b ?其中a,b,c?R?即可。解題時(shí)要注意a
?b?2ab的a?b
變式應(yīng)用。常用
?
a?b2
(其中a,b?R)來解決有關(guān)根式不等式的問題.?
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