第一篇：高考理科練習(xí)(選修4-5第2節(jié)證明不等式的基本方法)

課時提升作業(yè)(七十九)

一、選擇題

221.a+b與2a+2b-2的大小關(guān)系是()

2222(A)a+b>2a+2b-2(B)a+b<2a+2b-2 2222(C)a+b≤2a+2b-2(D)a+b≥2a+2b-

22.已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,則a,b,c的取值范圍是()

(A)a>0,b>0,c<0(B)a>0,b<0,c<0

(C)a<0,b<0,c<0(D)a>0,b>0,c>0

3.設(shè)a,b,c是互不相等的正數(shù),則下列不等式中不恒成立的是()(A)a+b>2

(B)(a-b)+

222 ≥2(C)a+b+c>ab+bc+ca

(D)|a-b|≤|a-c|+|c-b|

二、填空題

4.若x+y+z=1,且x,y,z∈R,則x+y+z與的大小關(guān)系為.5.(2013·西安模擬)已知a>b>0,c>d>0,m=

為.6.若x≥4,則

三、解答題

7.(2013·南昌檢測)(1)求證:a+b+3≥ab+22222-,n=,則m與n的大小關(guān)系-

-.(a+b).(2)a,b分別取何值時,上面不等式取等號.33228.(2013·蘇州模擬)設(shè)a≥b>0,求證:3a+2b≥3ab+2ab.9.已知a>b>0,求證:<-<.10.(2013·無錫模擬)設(shè)a,b,c是不全相等的正實(shí)數(shù).求證:lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.++>3.11.(2013·濟(jì)寧模擬)已知a,b,c是全不相等的正實(shí)數(shù),求證:12.證明不等式:a+b+c≥ab+bc+ca≥abc(a+b+c).答案解析 444222222

1.【解析】選D.∵a+b-2a-2b+2=(a-1)+(b-1)≥0,∴a+b≥2a+2b-2.2.【解析】選D.由abc>0,知a,b,c要么同時大于零,要么有兩個負(fù),一個正,下面利用反證法說明.不妨假222222

設(shè)a>0,b<0,c<0.由a+b+c>0知a>-(b+c),又b+c<0,22∴a(b+c)<-(b+c),從而-a(b+c)>(b+c),又由ab+bc+ca>0,知bc>-a(b+c),222∴bc>(b+c),即b+bc+c<0,即(b+)+2<0,與平方和不小于0矛盾,故假設(shè)錯誤,故a>0,b>0,c>0.≥(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號),而a,b是互不相等的正3.【解析】選B.選項A,如果a,b是正數(shù),則數(shù),故正確;

選項B,a-b不一定是正數(shù),故不正確;

選項C,a+b+c=(a+b+c+a+b+c)≥(2ab+2ca+2bc)=ab+bc+ca,而a,b,c是互不相等的正數(shù),故正確;選項D,|a-b|=|a-c+c-b|≤|a-c|+|c-b|,當(dāng)且僅當(dāng)a-c與c-b同號時取等號,故正確.4.【解析】x+y+z-=(3x+3y+3z-1)=[3x+3y+3z-(x+y+z)] =[(x-y)+(y-z)+(z-x)]≥0

即x+y+z≥.答案:x+y+z≥

5.【解析】∵a>b>0,c>d>0,∴m=ac+bd-2

n=ac+bd-bc-ad,∴m-n=bc+ad-2∴m≥n,又∵m>0,n>0,∴m≥n.答案:m≥n

6.【解析】要比較可比較令M=N=M=2x-5+2

=2x-5+2

N=2x-5+2

=2x-5+2.******222222, =(-)≥0, 2-與>0, >0.,與+-的大小., +++

∵x-5x+4

7.【解析】(1)a+b+3=≥ab++≥ab+2222+-<<+-,.+a++b=ab+(a+b).(2)當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,即a=b=時不等式取等號.332222228.【證明】3a+2b-(3ab+2ab)=3a(a-b)+2b(b-a)=(3a-2b)(a-b).2222因?yàn)閍≥b>0,故a-b≥0,3a-2b>2a-2b=2(a+b)(a-b)≥0,223322所以(3a-2b)(a-b)≥0,即3a+2b≥3ab+2ab.9.【證明】要證原不等式組成立, 只需證即證（只需證即證)<(<<1<-2b>0,∴<1<成立.∴原不等式組成立.10.【證明】方法一:要證:lg只需證:lg(只需證:∵∴≥··>0,···≥·+lg+lg>lga+lgb+lgc,)>lg(abc), >abc.>0,≥>0, ≥abc>0成立.∵a,b,c為不全相等的正數(shù),∴上式中等號不成立.∴原不等式成立.方法二:∵a,b,c∈{正實(shí)數(shù)}, ∴≥>0,≥>0,≥>0, 又∵a,b,c為不全相等的實(shí)數(shù), ∴∴l(xiāng)g(即lg··+lg··+lg>abc,)>lg(abc), >lga+lgb+lgc.++>3, 11.【證明】方法一:要證只需證明+-1++-1++-1>3,即證:+++++>6.由a,b,c為全不相等的正實(shí)數(shù)得

+>2,+>2,+>2, ∴+++

++>6, ∴++>3成立.方法二:∵a,b,c全不相等, ∴與,與,與全不相等, ∴+>2,+>2,+>2, 三式相加得+++

++>6,∴(+-1)+（+-1)+(+-1)>3, 即+4+4>3.224422442212.【證明】∵a+b≥2ab,b+c≥2bc,c+a≥2ac,444222222∴2(a+b+c)≥2(ab+bc+ac),444222222即a+b+c≥ab+bc+ac.22222又ab+bc≥2abc,22222bc+ac≥2abc,22222ab+ac≥2abc,222222222∴2(ab+bc+ac)≥2(abc+abc+abc),222222即ab+bc+ac≥abc(a+b+c).所以原不等式成立.

第二篇：證明不等式的基本方法

證明不等式的基本方法

一、比較法

(1)作差比較法

3322【例1】已知a,b都是正數(shù)，且a?b，求證：a?b?ab?ab

【1-1】 已知a?b，求證：a3?b3?ab(a?b)

【1-2】已知a?b，求證：a4?6a2b2?b4?4ab(a2?b2)

(2)作商比較法

abba【例2】已知a,b都是正數(shù)，求證：ab?ab，當(dāng)且僅當(dāng)a?b時，等號成立.【2-1】已知a,b,c都是正數(shù)，求證：abc

二、綜合法與分析法

(1)綜合法

【例3】已知a,b,c?0,且不全相等，求證：a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc

【3-1】已知a1,a2,...,an?R?，且a1a2...an?1, 求證：(1?a1)(1?a2)...(1?an)?21 n2222222a2b2c?ab?cba?cca?b.【3-2】已知a,b,c?R?，用綜合法證明：

(1)(ab?a?b?1)?(ab?ac?bc?c2)?16abc；(2)2(a3?b3?c3)?a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)

(2)分析法

【例4】設(shè)x?0,y?0，且x?y?1.求證：

【4-1】已知a,b,c是不全相等的正數(shù).求證：

三、反證法與放縮法(1)反證法

【例5】已知x,y?0,，且x?y?2,，試證：

【5-1】設(shè)0?a,b,c?1，證明：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a不能都大于

1???8 xyxy

bcacab???a?b?c abc

1?x1?y,中至少有一個小于2.yx

(2)放縮法

【例6】用放縮法證明不等式 ：

【6-1】用放縮法證明不等式 ：

【6-2】用放縮法證明不等式 ：

1)?1

1111???...??1(m?1,m?N*)2m?1m?22m

11111n?1??2?2?...?2?(n?2,3,4,...)2n?123nn

...??n?N*?(n?1)

2(n?N*)【6-3】用放縮法證明不等式 ：

...?2

四、數(shù)學(xué)歸納法

11S?(a?).【例7】在各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項和Sn滿足nn

2an

（1）求a1,a2,a3；（2）由（1）猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。

【7-1】.已知數(shù)列{an}前n項和為Sn??an?()

n?1

?2(n?N*).(1)令bn?2nan，求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求{an}的通項公式；(2)設(shè)cn?

【7-1】已知各項為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an?1?2an?anan?1，a2?a4?2a3?4.n?15n

an，且{cn}的前n項和為Tn，試比較Tn與的大小，并予以證明.n2n?1

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)令bn?an2，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，試比較并予以證明.Tn?1?122log2bn?1?2

與的大小，2log2bn?14Tn

第三篇：證明基本不等式的方法

2.2 證明不等式的基本方法——分析法與綜合法

●教學(xué)目標(biāo)：

1、理解綜合法與分析法證明不等式的原理和思維特點(diǎn).2、理解綜合法與分析法的實(shí)質(zhì)，熟練掌握分析法證明不等式的方法與步驟.●教學(xué)重點(diǎn)：綜合法與分析法證明不等式的方法與步驟

●教學(xué)難點(diǎn)：綜合法與分析法證明不等式基本原理的理

●教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1、復(fù)習(xí)比較法證明不等式的依據(jù)和步驟？

2、今天學(xué)習(xí)證明不等式的基本方法——分析法與綜合法

二、講授新課：

1、綜合法：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法 綜合法又叫順推證法或由因?qū)Чā?/p>

用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：例

1、已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：.分析：觀察題目，不等式左邊含有“a2+b2”的形式，我們可以創(chuàng)設(shè)運(yùn)用基本不等式：a2+b2≥2ab;還可以這樣思考：不等式左邊出現(xiàn)有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右邊有三正數(shù)a,b,c的“積”，我們可以創(chuàng)設(shè)運(yùn)用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教師引導(dǎo)學(xué)生，完成證明）

解：∵a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性質(zhì)定理4，得a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc,②c(a2+b2)≥2abc.③

因?yàn)閍,b,c為不全相等的正數(shù)，所以以上三式不能全取“=”號，從而①,②,③三式也不能全取“=”號.由不等式的性質(zhì)定理3的推論，①,②,③三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.點(diǎn)評：（1）綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。基本不等式以及一些已經(jīng)得證的不等式往往與待證的不等式有著這樣或那樣的聯(lián)系,作由此及彼的聯(lián)想往往能啟發(fā)我們證明的方向.嘗試時貴在聯(lián)想，浮想聯(lián)翩，思潮如涌。

（2）在利用綜合法進(jìn)行不等式證明時，要善于直接運(yùn)用或創(chuàng)設(shè)條件運(yùn)用基本不等式，其中拆項、并項、分解、組合是變形的重要技巧.變式訓(xùn)練：已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證： 例

2、已知 且，求證： 分析：觀察要證明的結(jié)論，左邊是 個因式的乘積，右邊是2的 次方，再結(jié)合，發(fā)現(xiàn)如果能將左邊轉(zhuǎn)化為 的乘積，問題就能得到解決。

2、分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(shí)（定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等），從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法 這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法。

①用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是： ②分析法論證“若A則B”這個命題的模式是：為了證明命題B為真，這只需要證明命題B1為真，從而有……這只需要證明命題B2為真，從而又有……這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故B必真。

例3． 求證： 分析：觀察結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以利用分析法。

點(diǎn)評：①分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因.對于思路不明顯,感到無從下手的問題宜用分析法探究證明途徑.另外,不等式的基本性質(zhì)告訴我們可以對不等式做這樣或那樣的變形,分析時貴在變形,不通思變,變則通!

②證明某些含有根式的不等式時,用綜合法比較困難，常用分析法.③在證明不等式時,分析法占有重要的位置.有時我們常用分析法探索證明的途徑,然后用綜

合法的形式寫出證明過程,這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.例

4、已知，求證： 分析：要證的不等式可以化為 即 觀察上式，左邊各項是兩個字母的平方之積，右邊各項涉及三個字母，可以考慮用

三、課堂練習(xí)：

1、已知a,b,c,d∈R,求證：ac+bd≤ 分析一：用分析法

證法一：(1)當(dāng)ac+bd≤0時,顯然成立(2)當(dāng)ac+bd>0時,欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即證2abcd≤b2c2+a2d2即證0≤(bc-ad)

2因?yàn)閍,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:原不等式成立 分析二：用綜合法 證法二：(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)

2∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd故命題得證 分析三：用比較法

證法三：∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤ 點(diǎn)評：用分析法證明不等式的關(guān)鍵是,尋求不等式成立的充分條件.因此,經(jīng)常要對原不等式進(jìn)行化簡,常用的方法有:平方、合并、有理化、去分母等,但要注意所做這些變形是否可以逆推,若不能逆推,則不可使用.2、已知 且 求證：（分析法）

四、課堂小結(jié)：

綜合法與分析法證明不等式的方法與步驟

五、課后作業(yè)：

課本P25—26習(xí)題2.2—2,3,4,5,6,7,8,9

第四篇：選修4-5不等式的證明方法及習(xí)題

不等式的證明方法

一、比較法

1.求證：x2 + 3 > 3x

2.已知a, b, m都是正數(shù)，并且a < b，求證：

a?mb?m

?ab

變式：若a > b，結(jié)果會怎樣？若沒有“a < b”這個條件，應(yīng)如何判斷？ 3.已知a, b都是正數(shù)，并且a ? b，求證：a5 + b5 > a2b3 + a3b

24.甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m ? n，問：甲乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)？

變式：若m = n，結(jié)果會怎樣？

二：作商法

a?b

1.設(shè)a, b ? R，求證：aabb?(ab)

+

2ba

?ab

三、綜合法

1.已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：

a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc

2.已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)2 練習(xí)：

1求證：a?b

?

(a?b),a, b, c ? R

2求證：a2?b2?

b?c

?c?a

1a

?

1b??

2(a?b?c),a, b, c ? R

1c)?9

1?)?

3．a(chǎn) , b, c?R,求證：1?(a?b?c)(2?(a?b?c)（?1

a?bb?cc?a

abc

3???3?

b?cc?aa?b2

3?由上題：(a?b?c)(∴1?

ca?b

?1?

ab?c

1a?b

?b

1b?c?92

?

1c?a)?

92?

bc?a

?

ca?b

?32

?1?

c?a

即

ab?c

四、分析法

例1求證3?7?2

5例2證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時，如果水管截面的周長相等，那么截面是圓的水練習(xí)：

1.已知a,b,c,d ∈R,求證:ac + bd ≤(a2?b2)(c2?d2)選擇題

(1)若logab為整數(shù),且loga>logablogba,那么下列四個結(jié)論中正確的個

b

數(shù)是（1b

>b>a2②logab+logba=0③0

答案:A

(2)設(shè)x1和x2是方程x2+px+4=0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則（）x1|>2且|x2|>2 x1+x2x1+x2x1|=4且|x2|=1 答案:B

(3)若x,y∈R+,且x≠y,則下列四個數(shù)中最小的一個是（）

1?)xy1

答案:D

(4)若x>0,y>0,且x?

y≤ax?y成立,則a的最小值是（）

答案:B

(5)已知a,b∈R+,則下列各式中成立的是（）

2θ·lga+sin2θ·lgb

2θ·lgb>lg(a+b)

cos2θ·bsin2θ=a+bcos2θ·bsin2θ>a+b

答案:A

+

(6)設(shè)a,b∈R,且ab-a-b≥1,則有（）

+b≥2(2+b ≤+b(2+1)

+b ≤2(2+1)

答案:A

用分析法證明:3(1+a

+a4)≥(1+a+a2)2用分析法證明:ab+cd ≤

a2?c2? 2

用分析法證明下列不等式:

(1)5?7?1?(2)x?1?

x?2?

x?3?a?b2

?

x?

4(x≥4)

a?b?c

?

(3)當(dāng)a,b,c∈R+2（ab)?3(abc)

若a,b>0,2c>a+b,求證:

(1)c2>ab

（2）c-c2?ab

五、換元法

三角換元：

若0≤x≤1，則可令x = sin?(0???

?

2)或x = sin2?(?

?2

???

?2

若x2?y2?1，則可令x = cos? , y = sin?(0???2?若x2?y2?1，則可令x = sec?, y = tan?(0???2?若x≥1，則可令x = sec?(0???若x?R，則可令x = tan?(? 代數(shù)換元：

?2

?2

???

?2

“整體換元”,“均值換元”,例1求證：?

?x?x

?

證一：（綜合法）證二：（換元法）例2 已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求證：

1x?1y

?3?22

例3 若x?y?1，求證：|x?2xy?y|?

例4證明：若a > 0，則a?

1a

?2?a?

1a

?2

證：設(shè)x?a?

1a,y?

a?

1a,(a?0,x?2,y?

2)

則x?y

?1??

??a????

?a???1?2

a?2??2

a??

x?y?a?

1a

?a?

1a

?2?2（當(dāng)a = 1時取“=”）

∴x?y?

x?yx?y

?

22?

?2?2

即y?2?x?2∴原式成立

六、放縮法與反證法

例1若a, b, c, d?R，求證：

?2

c?d?bd?a?c

bcd

證明：（用放縮法）記m =???

a?b?db?c?ac?d?bd?a?c

1?

a?b?d

?

b?c?a

a

?

?

a

b

c

d

+

∵a, b, c, d?R+∴m?

a

a?b?c?da?b?c?ac?d?a?babcd

????2m?

a?ba?bc?dd?c

?

b

?

c

?

dd?a?b?c

?1

∴1 < m < 2即原式成立

例2當(dāng) n > 2 時，求證：logn(n?1)logn(n?1)?1 證明：（用放縮法）∵n > 2∴l(xiāng)ogn(n?1)?0,logn(n?1)?0

?lognn2??logn(n2?1)??logn(n?1)?logn(n?1)?

??∴l(xiāng)ogn(n?1)logn(n?1)????1 ????22???2???

∴n > 2時,logn(n?1)logn(n?1)?1 例3求證：

?

?

???

1n

?2

證明：（用放縮法）

1n

1n

?

1n(n?1)

12?

?

1n?1

?13

?

1n

1n?1

1n

1n

∴?

?

????1?1??????2??2

例4設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時大于 證明：（用反證法）設(shè)(1 ? a)b >

14,(1 ? b)c >

164

14,(1 ? c)a >

14,則三式相乘：(1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a >①

?(1?a)?a?

又∵0 < a, b, c < 1∴0?(1?a)a?

??2??

?

同理(1?b)b?

14,(1?c)c?

164

將以上三式相乘(1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤∴(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時大于

此與①矛盾

例4已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0證明：（用反證法）設(shè)a < 0,∵abc > 0,∴bc < 0 又由a + b + c > 0,則b + c >?a > 0

∴ab + bc + ca = a(b + c)+ bc < 0此與題設(shè)矛盾 又 若a = 0，則與abc > 0矛盾，∴必有a > 0 同理可證 b > 0,c > 0 練習(xí)

1．設(shè)x > 0, y > 0,a?

x?y1?x?y

x1?x?y, b?

x1?xy

?

y1?yx1?x，求證：a < b

放縮法：

x?y1?x?y

??

1?x?y

??

y1?y

2．lg9?lg11 < 1

?lg9?lg11??lg99??2?

放縮法：lg9?lg11??????????1

2???2??2?

3．logn(n?1)logn(n?1)?1

?lognn2??logn(n2?1)?

放縮法：logn(n?1)logn(n?1)??????

22????

?1

4．若a > b > c,則

1a?b1n?1

?

1a?b

?

1b?c

?

4c?a

?0

放縮法：

1n

?

1b?c1

?2

??2

??2???(a?b)(b?c)?(a?b)?(b?c)?

11n

?

4a?c

5．?

n?2

????1(n?R,n?2)

?

放縮法：左邊?

1n?1

1n

?

1n

?

1n

???

12n

1n

?

1n

?

n?nn

?1

6．??

n?2

????1

放縮法：

12n

?n?中式?

1n?1

?n?1

7．已知a, b, c > 0, 且a2 + b2 = c2，求證：an + bn < cn(n≥3, n?R*)?a??a??a??b?

放縮法： ∵??????1，又a, b, c > 0, ∴?????,?c??c??c??c??a??b??a??b?

∴????????????1? an + bn < cn

?c??c??c??c?

n

n

n

?b??b?

????? ?c??c?

n2

8．設(shè)0 < a, b, c < 2，求證：(2 ? a)c,(2 ? b)a,(2 ? c)b,不可能同時大于1 反證法：(2 ? a)c>1,(2 ? b)a>1,(2 ? c)b>1,則(2 ? a)c(2 ? b)a(2 ? c)b>1?① 又因?yàn)樵O(shè)0 < a, b, c < 2，(2 ? a)a?

(2?a)?a

?1,同理(2 ? b)b≤1,(2 ? c)c≤1,所以(2 ? a)c(2 ? b)a(2 ? c)b≤19．若x, y > 0，且x + y >2，則

1?yx

和

1?xy

中至少有一個小于2

反證法：設(shè)

1?yx

≥2，1?xy

≥2∵x, y > 0，可得x + y ≤2與x + y >2矛盾

第五篇：高中數(shù)學(xué)選修4-5：2.1.5證明不等式的基本方法——反證法

2.1.5證明不等式的基本方法——反證法

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握反證法證明不等式的方法.2.掌握反證法證明不等式的方法步驟.【自主學(xué)習(xí)】

1.什么是反證法？

2.反證法證明不等式的理論依據(jù)是什么？

3.反證法證明不等式的步驟有哪些？通常什么樣的問題的證明用反證法？

【自主檢測】

1.設(shè)a,b∈R,給出下列條件：①a+b＞1②a+b=2③a+b＞2④＞2⑤ab＞1.其中能給出“a,b中至少有一個大于1”的條件是.2.已知a,b,c是互不相等的非零實(shí)數(shù),用反證法證明下列三個方程：

0中至少有一個方程有兩

個相異實(shí)根.3.已知

（1）證明：函數(shù)f(x)在（－1,+∞）上為增函數(shù);

（2）用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.【典型例題】

例1.若x,y都是正實(shí)數(shù),且x+y＞2,求證：

例2.已知

為－.求證 ,若a+c=0,f(x)在[－1,1]上的最大值為2,最小值中至少有一個成立.例3.若p＞0,q＞0,且p3+q3=2, 求證：p+q≤

2例4.設(shè)a,b,c都是奇數(shù),求證：方程

沒有整數(shù)根.【課堂檢測】

1.用反證法證明質(zhì)數(shù)有無限多個的過程如下：

假設(shè)______________．設(shè)全體質(zhì)數(shù)為p1、p2、?、pn，令p＝p1p2?pn＋1.顯然，p不含因數(shù)p1、p2、?、pn.故p要么是質(zhì)數(shù)，要么含有______________的質(zhì)因數(shù)．這表明，除質(zhì)數(shù)p1、p2、?、pn之外，還有質(zhì)數(shù)，因此原假設(shè)不成立．于是，質(zhì)數(shù)有無限多個．

2.已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.用反證法證明：a+b+c≥

3.若a,b∈N*,ab能被5整除,求證：a,b至少有一個能被5整除.4.已知數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝

4能成等差數(shù)列．

【總結(jié)提升】

1.當(dāng)要證明的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯,直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰時的不等式的證明常用反證法.2.如果從正面入手證明需分多種情況進(jìn)行分類討論,而從反面進(jìn)行證明,只研究一種或很少的幾種情況的不等式證明常用反證法...求證：數(shù)列{bn}中的任意三項不可

§2.1.6證明不等式的基本方法——放縮法

（一）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

3.理解放縮法證明不等式的原理.4.掌握放縮法證明不等式的方法步驟.【自主學(xué)習(xí)】

4.什么是放縮法,放縮法證明不等式的理論依據(jù)是什么？ 5.放縮法證明不等式時,如何把握放大和縮?。?【自主檢測】 1.求證: ?

k?1n

15*

?（n∈N）k23

2.求證：

11??1*

?2?（n∈N）??2n?2n?12n?1?

6n11

?1???

(n?1)(2n?1)49

?

15*

.(n∈N）?

n23

3.求證:

【典型例題】

例1.已知n∈

N*求證：（1

?

;??.（2）2?1?

??an1aa

例2.已知an?2n?1(n?N*).求證：??1?2?...?n(n?N*).23a2a3an?1

例3．函數(shù)f（x）=

例4．已知an=n，求證：∑

k=1

【課堂檢測】 1.求證:1?

n

4x1?4x，求證：f（1）+f（2）+?+f（n）>n+

12n?1

?(n?N*)2

k ak

＜3．

11171??????(n?2)222

62(2n?1)35(2n?1)

2n3

2.已知an?4?2,Tn?,求證:T1?T2?T3???Tn?

2a1?a2???an

n

n

6.求證:（1）(1?1)(1?)(1?)?(1?)?

352n?1

2n?1.（2）(1?

1111)(1?)(1?)?(1?)?2462n

12n?1

4.已知函數(shù)f?

x??

x??0,???.對任意正數(shù)a,證明：1?f?x??2．

【總結(jié)提升】

所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對照證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的一個重要步驟。