第一篇：求三角形面積——海倫公式

證明：海倫公式：若ΔABC的三邊長為a、b、c，則

SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4(這是海倫公式的變形，“負號“－”從a左則向右經(jīng)過a、b、c”，負號從x軸負軸向正軸掃描一個周期！我覺得這么記更簡單，還設(shè)個什么l=(a+b=c)/2啊，多此一舉！)

證明：設(shè)邊c上的高為 h,則有

√(a^2－h(huán)^2)＋√(b^2－h(huán)^2)=c

√(a^2－h(huán)^2)=c－√(b^2－h(huán)^2)

兩邊平方，化簡得：

2c√(b^2－h(huán)^2)=b^2+c^2-a^2

兩邊平方，化簡得：

h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))

SΔABC=ch/2

=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2

仔細化簡一下，得：

SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4

用三角函數(shù)證明！

證明：

SΔABC=absinC/2

=ab√(1-(cosC)^2)/2————（1）

∵cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

∴代入（1）式，（仔細）化簡得：

SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4

第二篇：海倫公式與四邊形面積公式

海倫公式與四邊形面積公式

2007年08月01日 星期三 00:43 我們知道，已知三角形的三條邊長度a，b，c（2p＝a+b+c），就可以由海倫公式得到三角形的面積：

所以：已知圓內(nèi)接三角形的三邊長，其面積公式為海倫公式。事實上，對于圓內(nèi)接四邊形，已知其四邊形的四邊長（不妨設(shè)其為a，b，c，d，2p＝a+b+c+d），也可以求其面積，而且公式的形式與海倫公式相類似：

證明：

設(shè)圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，設(shè)∠BAD=θ，則∠BCD=180°-θ，設(shè)其對角線BD＝x，由余弦定理有：

聯(lián)立兩式解得：

第三篇：高中數(shù)學(xué)三角形面積公式

高中數(shù)學(xué)三角形面積公式

由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做三角形。平面上三條直線或球面上三條弧線所圍成的圖形。三條直線所圍成的圖形叫平面三角形;三條弧線所圍成的圖形叫球面三角形，也叫三邊形。面積公式：

(1)S=ah/2

(2).已知三角形三邊a,b,c，則(海倫公式)(p=(a+b+c)/2)S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

(3).已知三角形兩邊a,b,這兩邊夾角C，則S=1/2 * absinC

(4).設(shè)三角形三邊分別為a、b、c，內(nèi)切圓半徑為r

S=(a+b+c)r/2

(5).設(shè)三角形三邊分別為a、b、c，外接圓半徑為R

S=abc/4R

(6).根據(jù)三角函數(shù)求面積：

S= absinC/2a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

第四篇：三角形面積公式教案

課題: §1.2解三角形應(yīng)用舉例

教學(xué)目標：

知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關(guān)三角形的問題, 掌握三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用

過程與方法：本節(jié)課補充了三角形新的面積公式，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時總結(jié)出該公式的特點，循序漸進地具體運用于相關(guān)的題型。

情感態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生進一步鞏固所學(xué)的知識，加深對所學(xué)定理的理解，進一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗愉悅的成功體驗

教學(xué)重點：

推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡單的相關(guān)題目。

教學(xué)難點：

三角形面積公式與正弦余弦定理的綜合應(yīng)用。

教學(xué)過程： Ⅰ.課題導(dǎo)入

師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學(xué)習(xí)它的另一個表達公式。

121推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個公式嗎？

211生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB 22根據(jù)以前學(xué)過的三角形面積公式S=ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，可以Ⅱ.講授新課

[范例講解] 例

1、在?ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（1）已知a=5cm,c=7cm,B=60?;（2）已知B=30?,C=45?,b=2cm;（3）已知三邊的長分別為a=3cm,b=5cm,c=7cm

分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。

例

2、（1）銳角?ABC中，S=33，BC=4，CA=3，求角C 與c邊。

變式：?ABC中，S=33，BC=4，CA=3，求角C與c邊。（2）?ABC中a=2，B=練習(xí)：課本P18練習(xí)2

3?,S=,解三角形。

例3.如圖,在某市進行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為60m,100m,140m,這個區(qū)域的面積是多少？

Ⅲ.課時小結(jié)

（1）三角形面積公式正用和逆用。

（2）三角形面積公式在實際問題中的應(yīng)用。Ⅳ.課后作業(yè):(1)：已知在?ABC中，?C=120?,b=6,c=63,求a及?ABC的面積S(2): 已知在?ABC中，a,b,c是角A,B,C的對邊，?ABC的面積為S,若a=4,b=5,S=53,求c的長。

第五篇：海倫公式

海倫公式

與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》）中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為下述推導(dǎo)[1]

cosC =(a^2+b^2-c^2）/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√（1-cos^2 C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]

=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

設(shè)p=(a+b+c)/2

則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

證明⑵

中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年也提出了“三斜求積術(shù)”。它與海倫公式基本一樣，其實在《九章算術(shù)》中，已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由于土地的面積并不是三角形，要找出它來并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據(jù)三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，中國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”。

秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜?！靶g(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實”，作1作為“隅”，開平方后即得面積。

所謂“實”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p為“隅”，q為“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以

q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}

當(dāng)P=1時，△ 2=q,△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}

因式分解得

△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2）^2]

=1/4[(c+a)^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]

=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)]

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得：

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。

S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}.其中c>b>a.根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運算。如下題：

已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積

這里用海倫公式的推廣

S圓內(nèi)接四邊形= 根號下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p為周長一半，a,b,c,d，為4邊）

代入解得s=8√ 3

證明⑶

在△ABC中∠A、∠B、∠C對應(yīng)邊a、b、c

O為其內(nèi)切圓圓心，r為其內(nèi)切圓半徑，p為其半周長

有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1

r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）=r

∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2

∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）

=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2

=ptanA/2tanB/2tanC/2

=r

∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3

∴S^2=p^2r^2=(pr^3）/(tanA/2tanB/2tanC/2）

=p(p-a)(p-b)(p-c)

∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)