第一篇：平行線的證明輔導(dǎo)

平行線的證明

一．知識(shí)導(dǎo)學(xué)

本節(jié)是以一個(gè)公理作為基礎(chǔ)，從而推出兩個(gè)定理。

公理：同位角相等，兩直線平行。

定理：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

定理：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

以上定理說明，在現(xiàn)階段，我們證明兩條直線平行的方法有三種。

二、例題：

例1．已知如圖，指出下列推理中的錯(cuò)誤，并加以改正。

（1）∵∠1和∠2是內(nèi)錯(cuò)角，∴∠1=∠2，（2）∵∠1=∠2，∴AB//CD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

分析：根據(jù)“三線八角”的概念，對（1），（2）可從內(nèi)錯(cuò)角的條件入手。

解：（1）因?yàn)闆]有直線CD//AB的條件，不能得出內(nèi)錯(cuò)角∠1，∠2相等的結(jié)論。

（2）理由填錯(cuò)了，應(yīng)改為：

∵∠１＝∠2，∴CD//AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

例2．如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，試問EF是否與GH平行？

分析：要判斷EF與GH是否平行，只要能找到與EF，GH有關(guān)的一對角（同位，內(nèi)錯(cuò)，同旁內(nèi)角都可以）相等或互補(bǔ)即可。

解：∵∠1=∠2（已知）又∵∠CGE=∠2（對頂角相等）

∴∠1=∠CGE（等量代換）

又∵∠3=∠4（已知）

∴∠3+∠1=∠4+∠CGE（等量加等量，其和相等）

即∠MEF=∠EGH，∴EF//GH（同位角相等，兩直線平行）。

說明：本題解答過程就是一種推理過程，每一步因果關(guān)系分明。由因?qū)Ч囊罁?jù)要在式子后面的括號(hào)內(nèi)寫明了。此題屬于平行線判定類型。

例3．如圖寫出能使AB//CD成立的各種題設(shè)。

分析：應(yīng)先找和AB，CD這二條直線有關(guān)的第三條截線所組成的“三線八角”來判定AB//CD。

解：使AB//CD成立的題設(shè)有：

（1）根據(jù)同位角相等，判定兩直線平行有：∠EAB=∠EDC，∠FDC=∠FAB

（2）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，判定兩直線平行有：∠3=∠4或∠7=∠8。

（3）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，判定兩直線平行有：∠BAD+∠ADC=180°或∠ABC+∠BCD=180°。

例4．已知如圖，AB//CD，∠1=∠3，求證：AC//BD。

分析：因?yàn)楸绢}是判定兩條直線平行的，應(yīng)選用平行線的判定，應(yīng)從給定的條件中去尋找角的關(guān)系，因?yàn)锳B//CD，所以可知∠1=∠2，又因?yàn)椤?=∠3，可推出∠2=∠3，能判定AB與CD平行。

證明：∵AB//CD（已知）

∴∠1=∠2（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）

又∵∠1=∠3（已知）

∴∠2=∠3（等量代換）

∴AC//BD（同位角相等，兩直線平行）。

例5．已知如圖∠1=∠2，BD平分∠ABC，求證：AB//CD

證明：∵BD平分∠ABC（已知）

∴∠2=∠3（角平分線定義）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠1=∠3（等量代換）

∴AB//CD（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）。

例6．如圖，已知直線a,b,c被直線d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求證：a∥c

分析：運(yùn)用綜合法，證明此題的思路是由已知角的關(guān)系推證出兩直線平行，然后再由兩直線平行解決其它角的關(guān)系?！?與∠7是直線a和c被d所截得的同

位角。須證a//c。

法

（一）證明：

∵d是直線（已知）

∴∠1+∠4=180°（平角定義）

∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）

∴∠3=∠4（等角的補(bǔ)角相等）

∴a//c（同位角相等，兩直線平行）

法

（二）證明：

∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）

∴∠1+∠3=180°（等量代換）

∵∠5=∠1，∠6=∠3（對頂角相等）

∴∠5+∠6=180°（等量代換）

∴a//c（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

說明：從以上幾例我們可以發(fā)現(xiàn)，證明兩條直線平行，必須緊扣兩直線平行的條件，往往歸結(jié)于求證有關(guān)兩個(gè)角相等，根據(jù)圖形找出兩直線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，設(shè)法證明這一組同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等，或同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

易錯(cuò)分析

1．兩條直線平行是兩條直線的第二種位置關(guān)系，它的定義是用兩條直線不相交來定義的。但在空間兩條不相交的直線不一定平行，如圖中的AB和CD既不相交也不平行，所以平行線的定義中必須說“在同一平面內(nèi)”這個(gè)條件。

2．平行公理是幾何學(xué)中的一個(gè)重要公理，這個(gè)公理是說明，經(jīng)過直線外一點(diǎn)作直線，可以存在一條直線與已知直線平行，并且只有唯一的一條直線與已知直線平行。這是研究平行線的判定和性質(zhì)的基礎(chǔ)，應(yīng)該熟練地掌握。例如由平行線的公理推出了一個(gè)結(jié)論“平行于同一直線的兩直線平行”也是平行的一個(gè)判定方法。在學(xué)習(xí)習(xí)近平行線性質(zhì)時(shí)也要用平行公理來推導(dǎo)。由于經(jīng)過直線外一點(diǎn)作平行線的“存在性”和“唯一性”,因而解決了平行線作圖的可行性和確定性。

3．平行線的判定和平行線的性質(zhì)要區(qū)分開。

平行線的判定講的是兩條直線具備什么條件時(shí)，它們互相平行，起的是判定作用。平行線的性質(zhì)講的是已知兩條直線在互相平行的前提下，圖形會(huì)具備什么性質(zhì)。

懂得了如何應(yīng)用，就可以分清它們的區(qū)別。做到對判定及性質(zhì):①會(huì)文字?jǐn)⑹?；②?huì)畫圖形；③會(huì)用數(shù)學(xué)式子表示；④會(huì)用來作題；⑤知道平行線的性質(zhì)公理和判定公理是互逆的。

例如平行線判定（1）

（1）文字?jǐn)⑹觯簝蓷l直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。

（2）畫出圖形（如圖）

（3）幾何語言：

∵直線AB，CD被EF所截（已知）

∠EMB=∠END（已知）

∴ AB//CD（同位角相等，兩直線平行）

（4）會(huì)用：當(dāng)知道了兩個(gè)同位角相等。就可以判定兩條直線是平行的。

又如平行線的性質(zhì)（1）

（1）文字?jǐn)⑹觯簝蓷l直線被第三條直線所截，如果兩直線平行，那么同位角相等。

（2）畫出圖形（如圖）

（3）幾何語言表示：

∵直線AB，CD被EF所截，AB//CD（已知）

∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）

4.利用平行線的性質(zhì)和判定定理證題時(shí)，應(yīng)注意不要出現(xiàn)下列錯(cuò)

誤：

1．不管有無兩直線平行的條件，見到同位角，內(nèi)錯(cuò)角，就說它們相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

2．分不清內(nèi)錯(cuò)角是哪兩條直線被第三條直線所截得的，結(jié)果導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤；

3．分不清哪個(gè)是性質(zhì)定理，哪個(gè)是判定定理，造成盲目的下結(jié)論，亂填理由。

第二篇：平行線的證明

平行線的證明：命題：判斷一個(gè)事情的句子。

命題一般由條件和結(jié)論組成。通?？梢詫懗扇绻敲础男问健Ｈ绻龅氖菞l件那么引出的是結(jié)論。

正確的為真命題不正確的為假命題

要證明一個(gè)命題是假命題通常要舉一個(gè)例子，使它具備問題得條件不具備問題得結(jié)論，我們稱這樣的例子為反例。

經(jīng)過證明的真命題為定理

平行線的判定：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么兩條直線平行。

（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么

兩條直線平行。

（同位角相等，兩直線平行）

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩條直線平行。

（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

平行線的性質(zhì)：兩直線平行同位角相等

兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等

兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)

平行線及其判定練習(xí)題

一、選擇題:

1.如圖1所示,下列條件中,能判斷AB∥CD的是()

A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2;C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD

A

D

AE

DA

E

C

(1)(2)(3)2.如圖2所示,如果∠D=∠EFC,那么()

A.AD∥BCB.EF∥BCC.AB∥DCD.AD∥EF3.如圖3所示,能判斷AB∥CE的條件是()

A.∠A=∠ACEB.∠A=∠ECDC.∠B=∠BCAD.∠B=∠ACE4.下列說法錯(cuò)誤的是()

A.同位角不一定相等B.內(nèi)錯(cuò)角都相等

C.同旁內(nèi)角可能相等D.同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行

5.不相鄰的兩個(gè)直角,如果它們有一邊在同一直線上,那么另一邊相互()A.平行B.垂直C.平行或垂直D.平行或垂直或相交

二、填空題:

1.在同一平面內(nèi),直線a,b相交于P,若a∥c,則b與c的位置關(guān)系是______.2.在同一平面內(nèi),若直線a,b,c滿足a⊥b,a⊥c,則b與c的位置關(guān)系是______.CD3.如圖所示,BE是AB的延長線,量得∠CBE=∠A=∠C.(1)由∠CBE=∠A可以判斷______∥______,根據(jù)是(2)由∠CBE=∠C可以判斷______∥______,根據(jù)是

三、訓(xùn)練平臺(tái):(每小題15分,共30分)

1.如圖所示,已知∠1=∠2,AB平分∠DAB,試說明DC∥AB.A

2.如圖所示,已知直線EF和AB,CD分別相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E=?30°,試說明AB∥CD.E

AC

四、提高訓(xùn)練:

K

H

BD

如圖所示,已知直線a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,則a與c平行嗎??為什么?

de

abc

五、探索發(fā)現(xiàn):

如圖所示,請寫出能夠得到直線AB∥CD的所有直接條件.24AC

B

657D

六、中考題與競賽題:

(2000.江蘇)如圖所示,直線a,b被直線c所截,現(xiàn)給出下列四個(gè)條件:?①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能說明a∥b的條件序號(hào)為()

A.①②B.①③C.①④D.③④

c

41a

57b

第三篇：平行線的證明

優(yōu)毅教育2014年3月22日春季數(shù)學(xué)同步提高課導(dǎo)學(xué)案設(shè)計(jì)人：杜老師學(xué)生：

第八章平行線的有關(guān)證明

一、知識(shí)點(diǎn)歸納

（一）關(guān)于命題、定理及公理

1.對名稱和術(shù)語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給出它們的。

2.判斷一件事情的句子，叫做。3.每個(gè)命題都由和兩部分組成。4.正確的命題稱為，不正確的命題稱為。想要判定一個(gè)命題是假命題只需要,而要說明一個(gè)命題是真命題則需.（二）平行線的性質(zhì)及判定

判定：（1）（公理）（2）（3）性質(zhì)：（1）（公理）（2）（3）

1.如圖1，已知直線a，b與直線c相交，下列條件中不能判定直線a與直線b平行的是（）

A.∠2＋∠3＝180°B.∠1＋∠5＝180°

C.∠4＝∠7D.∠1＝∠8

5.公認(rèn)的真命題稱為公理（所有公理）6.推理的過程稱為。7.經(jīng)過證明的真命題稱為。

8．由一個(gè)公理或定理直接推出的定理，叫做這個(gè)公理或定理的同步練習(xí)：

1.把命題“對頂角相等”改寫成“如果??那么??”形式為。2.請給出命題：“如果兩個(gè)數(shù)的積是正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)一定都是正數(shù)”是（真命題或假命題），理由：______________________________________。3.下列語句不是命題的是（）

A.2008年奧運(yùn)會(huì)的舉辦城是北京B.如果一個(gè)三角形三邊a，b，c滿足a＝b＋c，則這個(gè)三角形是直角三角形C.同角的補(bǔ)角相等D.過點(diǎn)P作直線l的垂線4.下列命題是真命題的是（）

ca3 25b

7圖1圖23.如圖2，用兩個(gè)相同的三角板按照如圖方式作平行線，能解釋其中道理的定理是（）

A同位角相等兩直線平行 B.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 C內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行D平行于同一條直線的兩直線平行4.已知，如右圖AB∥CD，若∠ABE = 130°,∠CDE = 152,則∠BED =__________.AFB

E5、如下圖，平行直線AB和CD與相交直線EF、GH相交，圖中的同旁內(nèi)角共有（）對.6、如下圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，則∠CBD的度是.A.?a一定是負(fù)數(shù)B.a?0

C.平行于同一條直線的兩條直線平行

D.有一角為80°的等腰三角形的另兩個(gè)角都為50° 5．舉例說明“兩個(gè)銳角的和是銳角”是假命題.第5題圖

中考（平行線）

1．（山東濟(jì)寧）在一次夏令營活動(dòng)中，小霞同學(xué)從營地A點(diǎn)出發(fā)，要到距離A點(diǎn)1000m的C地去，先沿北偏東70?方向到達(dá)B地，然后再沿北偏西20?方向走了500m到達(dá)目的地C,此時(shí)小霞在營地A的A.北偏東20?方向上B.北偏東30?方向上C.北偏東40?方向上D.北偏西30?方向上 5．（湖南郴州）下列圖形中，由AB?CD，能得到?1??2的是（）

6．（2010湖北襄樊）如圖1，已知直線AB//CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，則∠C的度數(shù)為（）A．150° B．130° C．120° D．100°

圖1．

2．（山東威海）如圖，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，7.（甘肅）如圖，AB∥CD，EF?AB于E，EF

交CD 于F，已知?1?60°，則?2?（）∠DBC＝20°，則∠CAE的度數(shù)是 A．30°B．20°C．25°D．35° A．40°

B．60°D C．70°D．80°E A

B A E3．（山東聊城）如圖，l∥m，∠1＝115o，∠2＝95o，則

∠3＝（）8．如圖1，直線a∥b，C與a、b均相交，則?

＝（）

A．120oB．130oC．140oD．150o

4．（山東省德州）如圖，直線AB∥CD，∠A＝70?，∠C＝40?，則∠E等于

第2題圖

C9．（荷澤）如圖，直線PQ∥MN，C是MN上一點(diǎn)，CE交

PQ于A，CF交PQ于B，且∠ECF＝90°，如果∠FBQ＝50°，則∠ECM的度數(shù)為

A．60° B．50° C．40° D．30°

M

Q N

（Ａ）30°（Ｂ）40°（C）60°（Ｄ）70°

C 5題圖

10．（新疆維吾爾）如圖，小明課間把老師的三角板的直角頂點(diǎn)放在黑板的兩條平行線a、b上，已知∠1=55°，則∠2的度數(shù)為（）

A.45°B.35°C.55°D.125°

11．（2010貴州遵義）如圖，梯子的各條橫檔互相平行，若∠1=80°，則∠2的度數(shù)是 A．80°B．100°C．110°D．120 °

15．（福建三明）如圖，已知∠C=100°，若增加一個(gè)條件，使得AB//CD，試寫出符合要求的一個(gè)條件：。

（三）三角形的內(nèi)角和外角的定理

1.三角形內(nèi)角和定理：。2.三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

12．（2010廣東肇慶）如圖1，AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E，則∠C等于（）

B．25°

D．40°

3.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

1、（2011?昭通）將一副直角三角板如圖所示放置，使含30°

角的三角板的一條直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，則∠1的度數(shù)為（）

13．（2010山東日照）如圖，C島在A島的北偏東50o方向，C島在B島的北偏西40方向，則從C島看A，B兩島的視角∠ACB等于．

o

A、45°B、60°

C、75°D、85°

2、（2011?臺(tái)灣）如圖中有四條互相不平行的直線L1、L2、L3、L4所截出的七個(gè)角．關(guān)于這七個(gè)角的度數(shù)關(guān)系，下列何者正確（）

14．（2010山東煙臺(tái)）將兩張矩形紙片如圖所示擺放，使其中一張矩形紙片的一個(gè)頂點(diǎn)恰好落在另一張矩形紙片的一條邊上，則∠1+∠2=_____________。

A、∠2=∠4+∠7B、∠3=∠1+∠6C、∠1+∠4+∠6=180°D、∠2+∠3+∠5=360°

3、（2011?臺(tái)灣）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，則∠B的外角度數(shù)為何（）

4、（2011?臺(tái)灣）若鈍角三角形ABC中，∠A=27°，則下列何者不可能是∠B的度數(shù)？（）A、37B、57C、77D、975、直角三角形中兩銳角平分線所交成的角的度數(shù)是（）

6、（2009?荊門）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB=（）

2.如圖所示，?XOY=90°，點(diǎn)A、B分別在射線OX，OY上移動(dòng)，BE是?ABY的平分線，BE的反向延長線與?OAB的平分線相交于點(diǎn)C，試問?ACB的大小是否變化，如果保持不變，請給出證明，如果隨點(diǎn)A、B的移動(dòng)變化，請給出變化范圍。

7、關(guān)于三角形的內(nèi)角，下列判斷不正確的是（）

A、至少有兩個(gè)銳角B、最多有一個(gè)直角

C、必有一個(gè)角大于60°D、至少有一個(gè)角不小于60°

8、如圖，BE、CF都是△ABC的角平分線，且∠BDC=110°，則∠A=（）

3.一件商品如果按定價(jià)打九折出售可以盈利20%；如果打八

9如圖，將等邊三角形ABC剪去一個(gè)角后，則∠1+∠2的大

小為（）

折出售可以盈利10元，問此商品的定價(jià)是多少？

4.一個(gè)兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的和大9；如果交換十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個(gè)兩位數(shù)．

10、若一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角的平分線所成的鈍角為145°，則這個(gè)三角形的形狀為（）

解答題

1.已知：如圖15，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E =∠3。求證：AD平分∠BAC。

第四篇：平行線證明難題

第二章平行線的性質(zhì)和判定拔高訓(xùn)練

1．(1)如圖1所示，把一個(gè)長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D，C的位置．若∠EFB=65°，則?AED等于__________．

(2)如圖2所示，AD∥EF，EF∥BC，且EG∥AC．那么圖中與∠1相等的角(不包括∠1)的個(gè)數(shù)是__________．

(3)如圖3所示，AB∥CD，直線AB，CD與直線l相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EG平分∠AEF，F(xiàn)H平分∠EFD，則GE與FH的位置關(guān)系為__________．

''

'

2．如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，且其中一個(gè)角比另一個(gè)角的4倍少30°，那么這兩個(gè)角分別是（）A．30°和150°

B．42°和138°

C．都等于10°

D．42°和138°或都等于10°

3．如圖所示，點(diǎn)E在CA延長線上，DE、AB交于點(diǎn)F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P為線段DC上一動(dòng)點(diǎn)，Q為PC上一點(diǎn)，且滿足∠FQP=∠QFP，F(xiàn)M為∠EFP的平分線．則下列結(jié)論：①AB∥CD，②FQ平分∠AFP，③∠B＋∠E=140°，④∠QEM的角度為定值．其中正確的結(jié)論有（）個(gè)數(shù) A．1

B．2

C．3

D．4

4．如圖所示，AB∥EF，EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B＋∠BED＋∠D=192°，∠B－∠D=24°，則∠GEF=__________．

5．已知：如圖所示，AD⊥BC于點(diǎn)D，EG⊥BC于點(diǎn)G，∠E＝∠3．求證：AD平分∠BAC． 6．如圖所示，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，試說明：AD∥BE．

7．如圖所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足為E，∠BDA＋∠ECA=180°，求證：DA⊥EF

8．已知，如圖所示，∠1＋∠2=180°，∠1＋∠EFD=180°，∠3=∠B，試判斷∠AED與∠C的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

9．已知，如圖所示，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求證：EF平分∠BED．

10．如圖所示，在△ABC中，CE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，AC∥ED，CE是△ACB的角平分線．求證：∠EDF=∠BDF．

11．如圖，AB∥CD，∠ABF=∠DCE，求證∠BFE=∠FEC

第五篇：平行線證明基礎(chǔ)訓(xùn)練

例

1、已知，如圖，EF//BC,?A??D,?AOB?70，?1??C?150,求?B的度數(shù)．

解：

?EF?BC,?A??D(已知)

?AB?CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

?

?COE??1?180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

?

??AOB??COE?70（對頂角相等）

???

??1?180?70?110（等式的性質(zhì)）

?

??1??C?150（已知）

???

??C?150-110?40（等式的性質(zhì)）

??

??C??B（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

?

??B?40（等量代換）

例

2、已知：如圖，AC//BD,?A??D，求證：?E??F.證明：

?AC?BD(已知)

??

??ABD??BAC?180，?BOC??ACD?180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）?1??（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）2??A??O（已知）

??ABD??ACD（等式的性質(zhì)）

?

??1??A??E?180

?

?2??D??F?180（三角形內(nèi)角和定理）

??E??F（等式的性質(zhì)）

練習(xí)：

1、如右圖,AB //CD ,AD // BE ,試說明∠ABE=∠D.∵ AB∥CD(已知)

∴ ∠ABE=___________(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∵ AD∥BE(已知)

∴ ∠D=_________()∴∠ABE=∠D(等量代換)

2、已知：如圖，AB∥CD，EF為直線，∠1=67°，∠2=23°，求證：EF⊥CD．證明：因?yàn)锳B∥CD（），所以∠1=∠3=67°（）．又因?yàn)椤?=23°（），所以∠2+∠3=90°

故EF⊥CD（垂直的定義）．

3、已知：如圖，AB∥CD，∠1=∠2，求證：EF∥CD．證明：因?yàn)锳B∥CD（），所以∠A=∠）．又因?yàn)椤?=∠A（），所以∠1=∠FCD（）．

故EF∥CD（）．

E

A

B

2C

3DF

.cn

E

O

F

D

.cn

A

例

1、如圖，（1）根據(jù)同位角相等，兩直線平行，若要EF∥AC，只要∠=∠，或者∠=∠；

（2）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，由∠4=∠，可得 EF∥；由∠4=∠，可得ED∥；

（3）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，由∠4+∠=1800，可得EF∥； 由∠4+∠=1800，可得ED∥；

? 例

2、如圖所示，由下列條件?，?，?，可以判定那兩條直線平行，BEDB???180A??AODACB??F

并說明判定的依據(jù)。

解：?（）?A??AOD

?//（）?（）?ACB??F

?//（）?（）?ACB??F

?//（）

?

（）??BED??B?180

AD

?//（）例

3、如圖,已知:∠1=∠2,∠A=760,求∠ABC的度數(shù).解:∵∠1=∠

2()

AD∥

BC()∠ABC=1800－∠A()∵∠A=76()

∠ABC=_______－______=_______度.例

3、如圖,已知:AB∥CD.說明∠2=∠B－∠D的理由.解:過點(diǎn)E畫EF∥CD.∵ AB∥

CD()

AB∥

EF()∠BEF=∠B,∠1=∠

D.()∠BEF－∠1=∠B－∠D.()即 ∠___=∠B－∠D.例

4、一個(gè)角的余角與這個(gè)角的補(bǔ)角的一半互為余角，求這個(gè)角。

??0??A)，外角為(180??A)A，則它的余角為(9解：設(shè)這個(gè)角為?

D

CA

A

B

C

D

E

F

1????

由題意得：(解得? 90??A)(180??A)?90A?60

例

5、已知如下圖，若∠BED=∠B+∠D，則直線AB與CD平行嗎？為什么？解：過點(diǎn)E作EF∥AB．

所以∠BEF=∠B（），又因?yàn)椤螧ED=∠B+∠D（），∠BED=∠BEF+∠DEF，所以∠B+∠D=∠BEF+∠DEF（），所以∠D=∠DEF（）所以EF∥CD（）所以AB∥CD（）

例

6、如圖所示，已知AB//CD，?BAE?40?，?ECD?62?，EF平分?，求?AECAEF的度數(shù)。

解：過E作EG//AB

D

?AB//CD（已知）

?EG//CD（）

??

??（）??AEG??BAE40CEGE??CD?60???? ?AEC??AEG??CEG?40?62?10

2（已知）AEC?EF平分?

??AEF?

?AEC?51?（角平分線定義）2

練習(xí)

1、如圖所示，已知AB//CD，? 1??2?AB//CD（），???1______（）?（），??1??2??2_____（）?BD是?的________.ABC2、如圖所示，已知??，?? A?FC?D?（）?A??F

?AC//DF（）

DC

AB

DEF

ABC

?D??______（）?C??D?（）

?1??C?（）

?BD//CE（）

作業(yè)：1.如圖，直線a、b都與直線c相交，給出下列條件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4＋∠7=180°；④∠5＋∠8=180°.其中能判斷a∥b的是（）.（A）①③（B）②④（C）①③④（D）①②③④

2.如圖，AB∥CD，P為AB、CD之間的一點(diǎn)，已知∠1=∠2=250，求∠BPC的度數(shù)？

析解：由于此圖不是“三線八角”的基本圖形，需要添加輔助線構(gòu)造基本圖形。

過點(diǎn)P作射線PN∥CD，因?yàn)锳B∥CD（），所以PN∥AB（），所以∠1=∠3=250

（）。

由PN∥CD（已作），所以∠2=∠4=250

（）。所以∠BPC=∠3+∠4=500。

說明：通過作輔助線構(gòu)造圖形，使圖形滿足某些性質(zhì)，從而達(dá)到解決問題的目的。3.如圖，CD⊥AB于D，E是BC上一點(diǎn)，EF⊥AB于F，∠l=∠2．試說明：∠AGD=∠ACB．

析解：要說明兩個(gè)角相等，其方法很多，但由于∠AGD=∠ACB是同位角，這樣問題轉(zhuǎn)化為說明GD∥CB。

因?yàn)镃D⊥AB，EF⊥AB，所以CD∥。

所以∠3=∠2（），而∠l=∠2（已知），所以∠3=∠l（），所以GD∥CB（），所以∠AGD=∠ACB（）。4.如圖,已知:DE∥AC,EF∥CD.說明∠1=∠2的理由.解: A DF

BC

A

5.如圖,已知:AC∥DE,DC∥EF, ∠1=∠2.說明∠3=∠4的理由.解:

F

B

E

A

B

6.如圖, 已知∠1=∠2, BE∥CF, 說明

BA∥CD的理由.EFC

D