第一篇：1平行線的證明

平行線的證明

一．知識導(dǎo)學(xué)

本節(jié)是以一個(gè)公理作為基礎(chǔ)，從而推出兩個(gè)定理。

公理：同位角相等，兩直線平行。

定理：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

定理：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

以上定理說明，在現(xiàn)階段，我們證明兩條直線平行的方法有三種。

二、例題：

例1．已知如圖，指出下列推理中的錯(cuò)誤，并加以改正。

（1）∵∠1和∠2是內(nèi)錯(cuò)角，∴∠1=∠2，（2）∵∠1=∠2，∴AB//CD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

分析：根據(jù)“三線八角”的概念，對（1），（2）可從內(nèi)錯(cuò)角的條件入手。

解：（1）因?yàn)闆]有直線CD//AB的條件，不能得出內(nèi)錯(cuò)角∠1，∠2相等的結(jié)論。

（2）理由填錯(cuò)了，應(yīng)改為：

∵∠１＝∠2，∴CD//AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

例2．如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，試問EF是否與GH平行？

分析：要判斷EF與GH是否平行，只要能找到與EF，GH有關(guān)的一對角（同位，內(nèi)錯(cuò)，同旁內(nèi)角都可以）相等或互補(bǔ)即可。

解：∵∠1=∠2（已知）又∵∠CGE=∠2（對頂角相等）

∴∠1=∠CGE（等量代換）

又∵∠3=∠4（已知）

∴∠3+∠1=∠4+∠CGE（等量加等量，其和相等）

即∠MEF=∠EGH，∴EF//GH（同位角相等，兩直線平行）。

說明：本題解答過程就是一種推理過程，每一步因果關(guān)系分明。由因?qū)Ч囊罁?jù)要在式子后面的括號內(nèi)寫明了。此題屬于平行線判定類型。

例3．如圖寫出能使AB//CD成立的各種題設(shè)。

分析：應(yīng)先找和AB，CD這二條直線有關(guān)的第三條截線所組成的“三線八角”來判定AB//CD。

解：使AB//CD成立的題設(shè)有：

（1）根據(jù)同位角相等，判定兩直線平行有：∠EAB=∠EDC，∠FDC=∠FAB

（2）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，判定兩直線平行有：∠3=∠4或∠7=∠8。

（3）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，判定兩直線平行有：∠BAD+∠ADC=180°或∠ABC+∠BCD=180°。

例4．已知如圖，AB//CD，∠1=∠3，求證：AC//BD。

分析：因?yàn)楸绢}是判定兩條直線平行的，應(yīng)選用平行線的判定，應(yīng)從給定的條件中去尋找角的關(guān)系，因?yàn)锳B//CD，所以可知∠1=∠2，又因?yàn)椤?=∠3，可推出∠2=∠3，能判定AB與CD平行。

證明：∵AB//CD（已知）

∴∠1=∠2（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）

又∵∠1=∠3（已知）

∴∠2=∠3（等量代換）

∴AC//BD（同位角相等，兩直線平行）。

例5．已知如圖∠1=∠2，BD平分∠ABC，求證：AB//CD

證明：∵BD平分∠ABC（已知）

∴∠2=∠3（角平分線定義）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠1=∠3（等量代換）

∴AB//CD（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）。

例6．如圖，已知直線a,b,c被直線d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求證：a∥c

分析：運(yùn)用綜合法，證明此題的思路是由已知角的關(guān)系推證出兩直線平行，然后再由兩直線平行解決其它角的關(guān)系?！?與∠7是直線a和c被d所截得的同位角。須證a//c。

法

（一）證明：

∵d是直線（已知）

∴∠1+∠4=180°（平角定義）

∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）

∴∠3=∠4（等角的補(bǔ)角相等）

∴a//c（同位角相等，兩直線平行）

法

（二）證明：

∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）

∴∠1+∠3=180°（等量代換）

∵∠5=∠1，∠6=∠3（對頂角相等）

∴∠5+∠6=180°（等量代換）

∴a//c（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

說明：從以上幾例我們可以發(fā)現(xiàn)，證明兩條直線平行，必須緊扣兩直線平行的條件，往往歸結(jié)于求證有關(guān)兩個(gè)角相等，根據(jù)圖形找出兩直線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，設(shè)法證明這一組同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等，或同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

第二篇：平行線證明難題

第二章平行線的性質(zhì)和判定拔高訓(xùn)練

1．(1)如圖1所示，把一個(gè)長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D，C的位置．若∠EFB=65°，則?AED等于__________．

(2)如圖2所示，AD∥EF，EF∥BC，且EG∥AC．那么圖中與∠1相等的角(不包括∠1)的個(gè)數(shù)是__________．

(3)如圖3所示，AB∥CD，直線AB，CD與直線l相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EG平分∠AEF，F(xiàn)H平分∠EFD，則GE與FH的位置關(guān)系為__________．

''

'

2．如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，且其中一個(gè)角比另一個(gè)角的4倍少30°，那么這兩個(gè)角分別是（）A．30°和150°

B．42°和138°

C．都等于10°

D．42°和138°或都等于10°

3．如圖所示，點(diǎn)E在CA延長線上，DE、AB交于點(diǎn)F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P為線段DC上一動點(diǎn)，Q為PC上一點(diǎn)，且滿足∠FQP=∠QFP，F(xiàn)M為∠EFP的平分線．則下列結(jié)論：①AB∥CD，②FQ平分∠AFP，③∠B＋∠E=140°，④∠QEM的角度為定值．其中正確的結(jié)論有（）個(gè)數(shù) A．1

B．2

C．3

D．4

4．如圖所示，AB∥EF，EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B＋∠BED＋∠D=192°，∠B－∠D=24°，則∠GEF=__________．

5．已知：如圖所示，AD⊥BC于點(diǎn)D，EG⊥BC于點(diǎn)G，∠E＝∠3．求證：AD平分∠BAC． 6．如圖所示，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，試說明：AD∥BE．

7．如圖所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足為E，∠BDA＋∠ECA=180°，求證：DA⊥EF

8．已知，如圖所示，∠1＋∠2=180°，∠1＋∠EFD=180°，∠3=∠B，試判斷∠AED與∠C的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

9．已知，如圖所示，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求證：EF平分∠BED．

10．如圖所示，在△ABC中，CE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，AC∥ED，CE是△ACB的角平分線．求證：∠EDF=∠BDF．

11．如圖，AB∥CD，∠ABF=∠DCE，求證∠BFE=∠FEC

第三篇：平行線證明練習(xí)

田野教育集團(tuán)一對一輔導(dǎo)中心

證明題練習(xí)如圖所示，若∠1=52°，問∠Ｃ為多少度時(shí)，能使直線AB∥CD？ 2 如圖所示，∠1=45°，∠2=135°，l1∥l2嗎？為什么？如圖所示，∠1=120°，∠2=60°，問直線a與b有什么關(guān)系？

Ｅ

A

B

l1 2 l

3C

１題圖

D

a３題圖

４ 如圖，已知直線AB、ＣＤ被直線EF所截且∠AGE=46°，∠EHD=134°，那么AB∥

CD嗎？說明理由。如圖，已知∠1和∠D互余，CF⊥DF，問AB與CD平行嗎？如圖所示，∠EFB=∠GHD=53°，∠IGA=127°，由這些條件你能找到幾對平行線？說說你的理由。

E

4題圖

F

F

I

B

D 6題圖 F

E B

C

5題圖

C D如圖，∠BAF=46°，∠ACE=136°，CE⊥CD，問CD∥AD嗎？為什么？ 8 如圖，∠1=∠2，能判斷AB∥CD嗎？為什么？

若不能判斷AB∥DF，你認(rèn)為還需要再添加一個(gè)條件是什么？寫出這個(gè)條件，并說明你的理由？如圖，AB∥CD，EF∥GH，CD與EF相交于點(diǎn)I，試探究∠1與∠2的關(guān)系，并說明理由。

F C E 7題圖

C

D

D F

C

8題圖 9題圖

第四篇：平行線證明 2

第九講平行線的證明

1、定義的概念：

對名稱和術(shù)語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，就是給出它們的定義。例子：下列語句屬于定義的是（）

A、明天是晴天

B、長方形的四個(gè)角都是直角

C、等角的補(bǔ)角相等

D、平行四邊形是兩組對邊分別平行的四邊形

2、命題：

判斷一件事情的句子，叫做命題。

注意：（1）命題必須是一個(gè)完整的句子，通常是陳述句，包括肯定句和否定句。

（2）命題必須對某件事情作出肯定或否定的判斷。

（3）錯(cuò)誤的判斷性語句也是命題。

(4)一般命題都可以寫成“如果....那么.....”的形式。

例子：下列語句中哪些是命題？哪些不是命題？

（1）相等的角不是對頂角

（2）同位角相等，兩直線平行

（3）過點(diǎn)O作直線AB的平行線

（4）若x2=y2，則x=y

（5）老師今天表揚(yáng)你了嗎？

3、正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題。

4、公認(rèn)的真命題稱為真理。

5、演繹推理的過程稱為證明。

6、經(jīng)過證明的真命題稱為定理。

7、平行線的判定

（1）同位角相等兩直線平行。

（2）同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行。

（3）內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行。

8、平行線的性質(zhì)

（1）兩直線平行，同位角相等

（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

基礎(chǔ)練習(xí)

一、選擇題

1、下列圖形中，由AB∥CD，能得到?1??2的是（）

A B A BCD D C 2

2、如圖，直線A． LB C．

D．

1∥L2 ,則∠α為（）.A.1500B.1400C.1300D.12003、下列命題：

1①不相交的兩條直線平行； ②梯形的兩底互相平行；

③同垂直于一條直線的兩直線平行； ④同旁內(nèi)角相等，兩直線平行.（第2題圖）其中真命題有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4、下列命題：

①兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積是偶數(shù)；②帶有負(fù)號的數(shù)是負(fù)數(shù)；

③乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)；④絕對值相等的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).其中假命題有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè) A

5、如圖，AB∥CD，那么∠BAE+∠AEC+∠ECD =（）A.1800B.2700C.3600D.5400

6、下列說法中，正確的是（）

A．經(jīng)過證明為正確的真命題叫公理B．假命題不是命題

E

C

D

C．要證明一個(gè)命題是假命題，只要舉一個(gè)反例，即舉一個(gè)具備命題的條件，而不具備命題結(jié)論的命題即可

D．要證明一個(gè)命題是真命題，只要舉一個(gè)例子，說明它正確即可.7、下列選項(xiàng)中，真命題是（）.A．a(chǎn)＞b，a＞c，則b=cB．相等的角為對頂角

C．過直線l外一點(diǎn)，有且只有一條直線與直線l平行D．三角形中至少有一個(gè)鈍角

8、下列命題中，是假命題的是（）

A．互補(bǔ)的兩個(gè)角不能都是銳角B．如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角 C．乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)D．全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等.9、下列命題中，真命題是（）

A．任何數(shù)的絕對值都是正數(shù)B．任何數(shù)的零次冪都等于

1C．互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為零 D．在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大

10、如圖所示,下列條件中,能判斷AB∥CD的是()

A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2;C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD

二、填空題

11、觀察如圖所示的三棱柱.用符號表示下列線段的位置關(guān)系：

ACCC1 ,BCB1C1 ；

C

B（第13題圖）（第12題圖）

（第11題圖）

12、如圖三角形ABC中，∠C = 900，AC=23,BC=32,把

AC、BC、AB的大小關(guān)系用“>”號連接：.13、如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)E ,DF∥AB，若∠AEC=1000，則∠D的度數(shù)等于.D

（第14題圖）

14、如圖，把長方形ABCD沿EF對折，若∠1=500，則∠

15、圖中有對對頂角.三.解答題

16、如圖，AB∥CD,AD∥BC,∠A﹦∠B.求∠A、∠B、∠C、∠D的度數(shù).D

C17、如圖，AB∥CD,直線EF交AB、CD于點(diǎn)G、H.如果GM平分∠BGF,HN平分∠CHE，那么，GM與HN平行嗎？為什么？

EA B

CH

F 0018、如圖，AB∥CD，∠BAE=30,∠ECD=60,那么∠AEC度數(shù)為多少？

A

E

D C19、如圖，B處在A處的南偏西450方向，C處在B處的北偏東800方向.（1）求∠ABC.（2）要使CD∥AB，D處應(yīng)在C處的什么方向？（12分）

D20、如圖所示,已知直線a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,則a與c平行嗎??為什么?（13分）

de

abc

參 考 答 案

一、1.B2.D3.B4.B5.C6.C7.C8.B9.D10.D

二、11.（1）⊥

12.AB >BC >AC13.80014.115015.9

三、16.1350,450,1350,450

提示：可以用方程.設(shè)∠B=x0 ,根據(jù)AD∥BC，得x+3x=180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）,解得x=45.以下略.17.GM∥HN.理由：因?yàn)镚M平分∠BGF,HN平分∠CHE，所以∠MGF= ∠BGF，∠NHE=

∠CHE,又因?yàn)锳B∥CD，所以∠BGF=∠CHE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），所以∠MGF=2

∠NHE.所以GM∥HN（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.18.如圖，過E作EF∥AB，則∠1=∠A=300

（??）；

因?yàn)锳B∥CD，所以EF∥CD（如果兩條直線 都與第三條直線平行，那么這

兩條直線也互相平行）,C 所以∠2=∠C=600（??）,那么∠AEC=∠1＋∠2=300＋600=900.19.（1）∠ABC=800－450=350.（2）要使CD∥AB，D處應(yīng)在C處的南偏西450方向.20.解:平行.∵∠1=∠2, ∴a∥b,又∵∠3+∠4=180°, ∴b∥c, ∴a∥c.D

第五篇：平行線證明基礎(chǔ)訓(xùn)練

例

1、已知，如圖，EF//BC,?A??D,?AOB?70，?1??C?150,求?B的度數(shù)．

解：

?EF?BC,?A??D(已知)

?AB?CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

?

?COE??1?180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

?

??AOB??COE?70（對頂角相等）

???

??1?180?70?110（等式的性質(zhì)）

?

??1??C?150（已知）

???

??C?150-110?40（等式的性質(zhì)）

??

??C??B（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

?

??B?40（等量代換）

例

2、已知：如圖，AC//BD,?A??D，求證：?E??F.證明：

?AC?BD(已知)

??

??ABD??BAC?180，?BOC??ACD?180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）?1??（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）2??A??O（已知）

??ABD??ACD（等式的性質(zhì)）

?

??1??A??E?180

?

?2??D??F?180（三角形內(nèi)角和定理）

??E??F（等式的性質(zhì)）

練習(xí)：

1、如右圖,AB //CD ,AD // BE ,試說明∠ABE=∠D.∵ AB∥CD(已知)

∴ ∠ABE=___________(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∵ AD∥BE(已知)

∴ ∠D=_________()∴∠ABE=∠D(等量代換)

2、已知：如圖，AB∥CD，EF為直線，∠1=67°，∠2=23°，求證：EF⊥CD．證明：因?yàn)锳B∥CD（），所以∠1=∠3=67°（）．又因?yàn)椤?=23°（），所以∠2+∠3=90°

故EF⊥CD（垂直的定義）．

3、已知：如圖，AB∥CD，∠1=∠2，求證：EF∥CD．證明：因?yàn)锳B∥CD（），所以∠A=∠）．又因?yàn)椤?=∠A（），所以∠1=∠FCD（）．

故EF∥CD（）．

E

A

B

2C

3DF

.cn

E

O

F

D

.cn

A

例

1、如圖，（1）根據(jù)同位角相等，兩直線平行，若要EF∥AC，只要∠=∠，或者∠=∠；

（2）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，由∠4=∠，可得 EF∥；由∠4=∠，可得ED∥；

（3）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，由∠4+∠=1800，可得EF∥； 由∠4+∠=1800，可得ED∥；

? 例

2、如圖所示，由下列條件?，?，?，可以判定那兩條直線平行，BEDB???180A??AODACB??F

并說明判定的依據(jù)。

解：?（）?A??AOD

?//（）?（）?ACB??F

?//（）?（）?ACB??F

?//（）

?

（）??BED??B?180

AD

?//（）例

3、如圖,已知:∠1=∠2,∠A=760,求∠ABC的度數(shù).解:∵∠1=∠

2()

AD∥

BC()∠ABC=1800－∠A()∵∠A=76()

∠ABC=_______－______=_______度.例

3、如圖,已知:AB∥CD.說明∠2=∠B－∠D的理由.解:過點(diǎn)E畫EF∥CD.∵ AB∥

CD()

AB∥

EF()∠BEF=∠B,∠1=∠

D.()∠BEF－∠1=∠B－∠D.()即 ∠___=∠B－∠D.例

4、一個(gè)角的余角與這個(gè)角的補(bǔ)角的一半互為余角，求這個(gè)角。

??0??A)，外角為(180??A)A，則它的余角為(9解：設(shè)這個(gè)角為?

D

CA

A

B

C

D

E

F

1????

由題意得：(解得? 90??A)(180??A)?90A?60

例

5、已知如下圖，若∠BED=∠B+∠D，則直線AB與CD平行嗎？為什么？解：過點(diǎn)E作EF∥AB．

所以∠BEF=∠B（），又因?yàn)椤螧ED=∠B+∠D（），∠BED=∠BEF+∠DEF，所以∠B+∠D=∠BEF+∠DEF（），所以∠D=∠DEF（）所以EF∥CD（）所以AB∥CD（）

例

6、如圖所示，已知AB//CD，?BAE?40?，?ECD?62?，EF平分?，求?AECAEF的度數(shù)。

解：過E作EG//AB

D

?AB//CD（已知）

?EG//CD（）

??

??（）??AEG??BAE40CEGE??CD?60???? ?AEC??AEG??CEG?40?62?10

2（已知）AEC?EF平分?

??AEF?

?AEC?51?（角平分線定義）2

練習(xí)

1、如圖所示，已知AB//CD，? 1??2?AB//CD（），???1______（）?（），??1??2??2_____（）?BD是?的________.ABC2、如圖所示，已知??，?? A?FC?D?（）?A??F

?AC//DF（）

DC

AB

DEF

ABC

?D??______（）?C??D?（）

?1??C?（）

?BD//CE（）

作業(yè)：1.如圖，直線a、b都與直線c相交，給出下列條件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4＋∠7=180°；④∠5＋∠8=180°.其中能判斷a∥b的是（）.（A）①③（B）②④（C）①③④（D）①②③④

2.如圖，AB∥CD，P為AB、CD之間的一點(diǎn)，已知∠1=∠2=250，求∠BPC的度數(shù)？

析解：由于此圖不是“三線八角”的基本圖形，需要添加輔助線構(gòu)造基本圖形。

過點(diǎn)P作射線PN∥CD，因?yàn)锳B∥CD（），所以PN∥AB（），所以∠1=∠3=250

（）。

由PN∥CD（已作），所以∠2=∠4=250

（）。所以∠BPC=∠3+∠4=500。

說明：通過作輔助線構(gòu)造圖形，使圖形滿足某些性質(zhì)，從而達(dá)到解決問題的目的。3.如圖，CD⊥AB于D，E是BC上一點(diǎn)，EF⊥AB于F，∠l=∠2．試說明：∠AGD=∠ACB．

析解：要說明兩個(gè)角相等，其方法很多，但由于∠AGD=∠ACB是同位角，這樣問題轉(zhuǎn)化為說明GD∥CB。

因?yàn)镃D⊥AB，EF⊥AB，所以CD∥。

所以∠3=∠2（），而∠l=∠2（已知），所以∠3=∠l（），所以GD∥CB（），所以∠AGD=∠ACB（）。4.如圖,已知:DE∥AC,EF∥CD.說明∠1=∠2的理由.解: A DF

BC

A

5.如圖,已知:AC∥DE,DC∥EF, ∠1=∠2.說明∠3=∠4的理由.解:

F

B

E

A

B

6.如圖, 已知∠1=∠2, BE∥CF, 說明

BA∥CD的理由.EFC

D