第一篇：7.4平行線的性質(zhì)例題與講解(2013-2014年北師大八年級上)

平行線的性質(zhì)

1．平行線的性質(zhì)公理

平行線的性質(zhì)公理：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單記為：兩直線平行，同位角相等．

如圖，推理符號表示為：

∵AB∥CD，∴∠1＝∠

2.談重點(diǎn)兩直線平行，同位角相等

①兩直線平行的性質(zhì)公理是推理論證后面兩個(gè)性質(zhì)定理的基礎(chǔ)；

②“同位角相等”是在“兩直線平行”的前提下才成立的，是平行線特有的性質(zhì)．要避免一提同位角就以為其相等的錯(cuò)誤；

③兩直線平行的性質(zhì)公理與兩直線平行的判定公理的條件與結(jié)論是互逆的．其中判定公理是在已知同位角相等(數(shù)量關(guān)系)的前提下推理論證兩直線的平行位置關(guān)系，是由角到線的推理過程；而兩直線平行的性質(zhì)公理是在已知兩直線平行的前提下推理論證同位角相等的數(shù)量關(guān)系，是由線到角的推理過程．

【例1】 如圖，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1＝25°，那么∠2的度數(shù)是________．

解析：本題考查平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等．由條件CE平分∠ACD，∠

1＝25°，可得∠ACD＝2∠1＝50°.而∠2與∠ACD是同位角，根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”可得∠2＝∠ACD＝50°.答案：50°

點(diǎn)評：根據(jù)平行直線求角時(shí)，要先觀察兩個(gè)角之間的關(guān)系．

2．平行線的性質(zhì)定理

(1)性質(zhì)定理1

兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．

簡單記為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．

符號表示：∵AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°

.(2)性質(zhì)定理

2兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．

簡單記為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．

符號表示：∵AB∥CD，∴∠2＝∠4.點(diǎn)評：①平行線的性質(zhì)定理是在平行線性質(zhì)公理的基礎(chǔ)上推理得出的；②從平行線得到角相等或互補(bǔ)的關(guān)系；③內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的前提條件是“兩條直線平行”．要避免出現(xiàn)一提內(nèi)錯(cuò)角就相等或一提同旁內(nèi)角就互補(bǔ)的錯(cuò)誤．

【例2－1】 某商品的商標(biāo)可以抽象為如圖所示的三條線段，其中AB∥CD，∠EAB＝45°，則∠FDC的度數(shù)是()．

A．30°B．45°C．60°D．75°

解析：由鄰補(bǔ)角的定義求得∠BAD的度數(shù)，又由AB∥CD，可求得∠ADC的度數(shù)，再求出∠FDC的度數(shù)即可． ∵∠EAB＝45°，∴∠BAD＝180°－∠EAB＝180°－45°＝135°.∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠BAD＝135°.∴∠FDC＝180°－∠ADC＝45°.故選B.答案：B

點(diǎn)評：此題考查了平行線的性質(zhì)．注意兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．

【例2－2】 如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)E，DF∥AB.若∠AEC＝100°，則∠D等于()．

A．70°B．80°C．90°D．100°

解析：由對頂角相等，可得∠BED＝∠AEC＝100°，由DF∥AB可知同旁內(nèi)角∠DEB和∠D互補(bǔ)，可求得∠D＝180°－∠BED＝80°.故選B.答案：

B

3．證明的步驟

(1)證明的一般步驟：

①理解題意； ②根據(jù)題意正確畫出圖形；

③結(jié)合圖形，寫出“已知”和“求證”；

④分析題意，探索證明的思路；

⑤依據(jù)尋求的思路，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言條理清晰地寫出證明過程；

⑥檢查表達(dá)過程是否正確、完善．

(2)證明的思路：

可以從求證出發(fā)向已知追溯，也可以由已知向結(jié)論探索，還可以從已知和結(jié)論兩個(gè)方向同時(shí)出發(fā)，互相接近．

點(diǎn)評：對于用文字?jǐn)⑹龅拿}的證明，要先分清命題的條件和結(jié)論，然后根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知和求證，證明即可．

4．借助輔助線構(gòu)造平行線

在有平行線的條件下，證明兩個(gè)角相等或求某個(gè)角，當(dāng)這兩個(gè)角不是兩條平行線所截得的同位角、同旁內(nèi)角或內(nèi)錯(cuò)角時(shí)，往往要利用其他的角，轉(zhuǎn)化為平行線所截的角．

但有些題目中某些條件所對應(yīng)的圖形沒有或不完整，這時(shí)就需要通過添加輔助線去構(gòu)造某些“基本圖形”，再由圖形聯(lián)想相關(guān)性質(zhì)，從而確定方法，達(dá)到解題的目的．

釋疑點(diǎn)平行線判定與性質(zhì)的應(yīng)用

以平行為條件的求值或證明角相等的問題中，關(guān)鍵要分析出哪對角相等(或互補(bǔ))，再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而求出結(jié)論中的角或完成證明．

【例3】 證明“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”．

分析：本題是文字證明題．根據(jù)文字證明的一般步驟，先根據(jù)題意畫出兩條直線a，b都與直線c垂直，根據(jù)已知和圖形寫出本題的已知和求證，已知是直線a⊥c，b⊥c，求證是a∥b.證明兩條直線平行，可根據(jù)平行線的判定方法，證明同位角相等就可以．然后寫出證明過程．

解：已知：如圖，直線a，b被直線c所截，且a⊥c，b⊥c

.求證：a∥b.證明：∵a⊥c，b⊥c(已知)，∴∠1＝90°，∠2＝90°(垂直的定義)．

∴∠1＝∠2(等量代換)．

∴a∥b(同位角相等，兩直線平行)．

點(diǎn)技巧文字證明題的步驟文字證明題的已知和求證要結(jié)合圖形來寫，因此在分析題意時(shí)，要確定應(yīng)該畫什么圖形．書寫證明過程時(shí)，要注重格式，注意推理的條理性，每一步都要有理有據(jù)．

【例4】 如圖，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠C＝35°，則∠BEC＝

__________.解析：從圖形上看，由于沒有直線截AB與CD，所以無法直接運(yùn)用平行線的相關(guān)性質(zhì)，這就需要構(gòu)造出“兩條平行線被第三條直線所截”的基本圖形，然后才可以運(yùn)用平行線的性質(zhì)．可過E點(diǎn)作EF∥AB，根據(jù)AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE＋∠BEF＝180°，∠FEC＝∠C，所以∠BEC＝∠BEF＋∠DCE＝60°＋35°＝95°.答案：95°

點(diǎn)評：解決本題有兩條思路：一是構(gòu)造與AB，CD都相交的截線；二是過E點(diǎn)作EF∥AB，根據(jù)AB∥CD，可得EF∥CD，這樣可將圖形轉(zhuǎn)化．

5．平行線性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

(1)平行線的性質(zhì)與判定的區(qū)別

平行線的性質(zhì)定理和判定定理的條件和結(jié)論正好相反．性質(zhì)是由條件“平行”得到結(jié)論“角的關(guān)系”；判定是由條件“角的關(guān)系”得到結(jié)論“平行”．

具體為：

在判定中，把角相等或互補(bǔ)作為判斷兩直線是否平行的前提．角相等或互補(bǔ)是已知，結(jié)論是兩直線平行．判定則是由“角相等或互補(bǔ)”推理論證“兩直線平行”．

在性質(zhì)中，兩直線平行是條件，結(jié)論是角相等或互補(bǔ)．性質(zhì)是用來說明兩個(gè)角相等或互

補(bǔ)的，即由“兩直線平行”推理論證“角相等或互補(bǔ)”．

釋疑點(diǎn)平行線的性質(zhì)與判定要分清 在書寫證明過程中，填寫推理的根據(jù)或者理由時(shí)，要注意性質(zhì)與判定的區(qū)別，防止填錯(cuò)．

(2)平行線性質(zhì)的應(yīng)用

平行線的應(yīng)用包括生活中的實(shí)際應(yīng)用和綜合應(yīng)用．實(shí)際應(yīng)用要挖掘題目中隱含的平行線，利用平行線的性質(zhì)來解決和角有關(guān)的計(jì)算問題．而綜合應(yīng)用主要是綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定來求角的度數(shù)或證明，要注意與圖形的結(jié)合(數(shù)形結(jié)合)和角的轉(zhuǎn)換．

如求方位角和機(jī)器零件的角度問題就是實(shí)際應(yīng)用比較多的問題．解決時(shí)，確定平行線是關(guān)鍵．

【例5－1】 如圖，已知：AD∥BC，∠A＝∠C，求證：AB∥CD

.分析：觀察圖形，發(fā)現(xiàn)截平行線AD，BC和AB，CD的直線有三條，應(yīng)選與∠A＝∠C有關(guān)的直線作為“第三條直線”，這樣就能很快確定與它們有關(guān)的角，從而順利解決問題．先從AD∥BC出發(fā)，選擇與∠A有關(guān)的第三條直線AB(也可選擇與∠C有關(guān)的第三條直線CD)．因?yàn)锳D∥BC，所以∠A＝∠ABF，又因?yàn)椤螦＝∠C，可得∠C＝∠ABF，∠C、∠ABF是AB，DC被CF所截的同位角，所以AB∥CD.證明：∵AD∥BC(已知)，∴∠A＝∠ABF(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．

又∵∠A＝∠C(已知)，∴∠C＝∠ABF(等量代換)．

∴AB∥CD(同位角相等，兩直線平行)．

點(diǎn)評：證明兩條直線平行，可以通過同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等或者同旁內(nèi)角互補(bǔ)．關(guān)鍵是利用有關(guān)知識把已知條件轉(zhuǎn)化為上述各角．

【例5－2】 如圖1，在甲、乙兩地之間修一條筆直的公路，從甲地測得公路的走向是北偏東48°.甲、乙兩地間同時(shí)開工，若干天后，公路準(zhǔn)確接通，則乙地所修公路的走向是南偏西__________．

解析：根據(jù)圖形，利用平行線的性質(zhì)解答即可．如圖2，∵AC∥BD，∠1＝48°，∴∠2＝∠1＝48°，根據(jù)方向角的概念可知，乙地所修公路的走向是南偏西48°.答案：48°

點(diǎn)評：解答此類題需要正確畫出方位角，再結(jié)合平行線的性質(zhì)求解．

第二篇：平行線的判定例題與講解

平行線的判定

1．平行線的判定公理

(1)平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單記為：同位角相等，兩直線平行． 如圖，推理符號表示為：

∵∠1＝∠2，∴AB∥CD

.談重點(diǎn)同位角相等，兩直線平行

①平行線的判定公理是證明兩直線平行的原始依據(jù)；②應(yīng)用時(shí)，應(yīng)先確定同位角及形成同位角的是哪兩條直線；③本判定方法是由兩同位角相等(數(shù)量關(guān)系)來確定兩條直線平行(位置關(guān)系)，所以在推理過程中要先寫“兩角相等”，然后再寫“兩線平行”．

(2)平行公理的推論：

①垂直于同一條直線的兩條直線平行．若a⊥b，c⊥b，則a∥c；

②平行于同一條直線的兩條直線平行．若a∥b，c∥b，則a∥c.【例1】 工人師傅想知道砌好的墻壁的上下邊緣AB和CD是否平行，于是找來一根筆直的木棍，如圖所示將其放在墻面上，那么，他通過測量∠EGB和∠GFD的度數(shù)，就知道墻壁的上下邊緣是否平行了．請問：∠EGB和∠GFD滿足怎樣的條件時(shí)，墻壁的上下邊緣才會平行？你的依據(jù)是什么？

解析：判定兩條直線是否平行，常根據(jù)兩條直線被第三條直線所截而構(gòu)成的角來判斷．題中∠EGB和∠GFD是直線AB和直線CD(墻的上下邊緣)被直線EF所截時(shí)形成的同位角，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，可知只有∠EGB和∠GFD相等時(shí)，墻壁的上下邊緣才會平行．

答案：∠EGB和∠GFD相等時(shí)，墻壁的上下邊緣才會平行．其依據(jù)是同位角相等，兩

直線平行．

2．平行線的判定定理

(1)判定定理

1兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行． 簡單記為：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．

符號表示：如下圖，∵∠2＋∠3＝180°，∴AB∥CD

.談重點(diǎn)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

①定理是根據(jù)公理推理得出的真命題，可直接應(yīng)用；②應(yīng)用時(shí)，找準(zhǔn)哪兩個(gè)角是同旁內(nèi)

角，使哪兩條直線平行．

(2)判定定理2 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行．

簡單記為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．

符號表示：如上圖，∵∠2＝∠4，∴AB∥CD.【例2－1】 如圖，小明利用兩塊相同的三角板，分別在三角板的邊緣畫直線AB和CD，這是根據(jù)________，兩直線平行．

解析：由題圖可看出，直線AB和CD被直線BC所截，此時(shí)兩塊相同的三角板的兩個(gè)

最小角的位置關(guān)系正好是內(nèi)錯(cuò)角，所以這是根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，來判定兩直線平行的．

答案：內(nèi)錯(cuò)角相等

【例2－2】 如圖，下列說法中，正確的是()．

A．因?yàn)椤螦＋∠D＝180°，所以AD∥BC

B．因?yàn)椤螩＋∠D＝180°，所以AB∥CD

C．因?yàn)椤螦＋∠D＝180°，所以AB∥CD

3．平行線的判斷方法

平行線的判定方法主要有以下六種：

(1)平行線的定義(一般很少用)．

(2)同位角相等，兩直線平行．

(3)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．

(4)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．

(5)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線相互平行．

(6)如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．

析規(guī)律如何選擇判定兩直線平行的方法

①在利用平行線的公理或定理判定兩條直線是否平行時(shí)，要分清同位角、內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角是由哪兩條直線被第三條直線所截而構(gòu)成的；

②證明兩條直線平行，關(guān)鍵是看與待證結(jié)論相關(guān)的同位角或內(nèi)錯(cuò)角是否相等，同旁內(nèi)角是否互補(bǔ)．

【例3】 如圖，直線a，b與直線c相交，形成∠1，∠2，?，∠8共八個(gè)角，請你填上你認(rèn)為適當(dāng)?shù)囊粋€(gè)條件：__________，使a∥b.解析：本題主要是考查平行線的三種判定方法．

若從“同位角相等，兩直線平行”考慮，可填∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠3＝∠7，∠4＝∠8中的任意一個(gè)條件；

若從“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”考慮，可填∠3＝∠6，∠4＝∠5中的任意一個(gè)； 若從“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”考慮，可填∠3＋∠5＝180°，∠4＋∠6＝180°中的一個(gè)條件；

從其他方面考慮，還可以填∠1＝∠8，∠2＝∠7，∠1＋∠7＝180°，∠2＋∠8＝180°，∠4＋∠7＝180°，∠3＋∠8＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠1＋∠6＝180°中的任意一個(gè)條件．

答案：答案不唯一，如可填下列之一：∠1＝∠5或∠4＝∠5或∠3＋∠5＝180°?

4．平行線判定的應(yīng)用

(1)平行線的生活應(yīng)用

數(shù)學(xué)來源于生活，同樣生活中也有大量的平行線，其判定平行的方法也常在生活中遇到．如木工師傅判定所截得的木板的對邊是否平行，工人師傅判定所制造的機(jī)器零件是否符合平行的要求??

對于生活中的平行線判斷，關(guān)鍵是利用工具確定與平行有關(guān)的角是否相等，比較常用的是利用直角尺判斷同位角是否相等，從而判定兩直線是否平行．

(2)平行線在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用平行線判定方法在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用主要通過角之間的關(guān)系判定兩條直線平行，進(jìn)一步解決其他有關(guān)的問題．常見的條件探索題就是其應(yīng)用之一．探索題是培養(yǎng)發(fā)散思維能力的題型，它具有開放性，所要求的答案一般不具有唯一性．解決探索性問題，不僅能提高分析問題的能力，而且能開闊視野，增加對知識的理解和掌握．

釋疑點(diǎn)判定平行的關(guān)鍵 判定兩直線平行，關(guān)鍵是確定角的位置關(guān)系及大小關(guān)系．

【例4－1】 如圖，一個(gè)零件ABCD需要AB邊與CD邊平行，現(xiàn)只有一個(gè)量角器，測得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，這個(gè)零件合格嗎？__________(填“合格”或“不合格”)．

解析：要判斷AB邊與CD邊平行，則需滿足同旁內(nèi)角互補(bǔ)的條件．∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＋∠BCD＝120°＋60°＝180°.∴AB∥CD.∴這個(gè)零件合格．

答案：合格

【例4－2】 已知：如圖在四邊形ABCD中，∠A＝∠D，∠B＝∠C，試判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說明理由．

分析：根據(jù)四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°，結(jié)合已知條件得到∠A＋∠B＝180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得AD∥BC.解：AD與BC的位置關(guān)系是平行．

理由：∵四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴∠A＋∠B＝180°.∴AD∥BC(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)．

點(diǎn)評：本題考查四邊形的內(nèi)角和以及利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，來判定兩直線平行．

第三篇：7.2定義與命題例題與講解(2013-2014學(xué)年北師大八年級上)

定義與命題

1．定義

對某些名稱或術(shù)語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，就是對名稱和術(shù)語下定義． 談重點(diǎn)下定義的注意事項(xiàng)

①在定義中，必須揭示出事物與其他事物的本質(zhì)屬性的區(qū)別．②定義的雙重性：定義本身既可以當(dāng)性質(zhì)用，又可以當(dāng)判定用．③語句必須通順、嚴(yán)格、準(zhǔn)確，一般不能用“大約”“大概”“差不多”“左右”等含糊不清的詞語．要有利于人們對被定義的事物或名詞與其他事物或名詞區(qū)別．

【例1】 下列語句，屬于定義的是()．

A．兩點(diǎn)之間線段最短

B．連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線

C．三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半

D．三人行則必有我?guī)熝?/p>

解析：判斷是不是定義，關(guān)鍵看是否對名稱或術(shù)語的含義加以描述，而且作出了規(guī)定．很明顯，A，C，D沒有對名稱或術(shù)語作出描述，故應(yīng)選B.答案：B

點(diǎn)技巧分清定義與命題

注意定義與命題的區(qū)分，作出判斷的是命題，對名稱或術(shù)語作出描述的是定義．

2．命題

(1)定義：判斷一件事情的句子，叫做命題．

(2)命題的組成結(jié)構(gòu)：

①每個(gè)命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成．條件是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng)．命題一般寫成“如果??那么??”的形式．“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結(jié)論．

②有些命題沒有寫成“如果??那么??”的形式，條件和結(jié)論不明顯．對于這樣的命題，要經(jīng)過分析才能找到條件和結(jié)論，也可以將它們改寫成“如果??那么??”的形式．命題的條件部分，有時(shí)也可用“已知??”或“若??”等形式表述．命題的結(jié)論部分，有時(shí)也可用“求證??”或“則??”等形式表述．

談重點(diǎn)改寫命題

命題的改寫不能是簡單地加上“如果”“那么”，而應(yīng)當(dāng)使改寫的命題和原來的命題內(nèi)容不變，且語句通順完整，命題的條件、結(jié)論要清楚可見．有些命題條件和結(jié)論不一定只有一個(gè)，要注意區(qū)分．

【例2】 指出下列命題的條件和結(jié)論：①平行于同一直線的兩條直線互相平行；②若ab＝1，則a與b互為倒數(shù)；③同角的余角相等；④矩形的四個(gè)角都是直角．

分析：命題的條件是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng)．命題一般寫成“如果??，那么??”的形式．“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結(jié)論． 解：①條件：兩條直線都和第三條直線平行，結(jié)論：這兩條直線互相平行． ②條件：ab＝1，結(jié)論：a與b互為倒數(shù)．

③條件：兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，結(jié)論：這兩個(gè)角相等．

④條件：一個(gè)四邊形是矩形，結(jié)論：這個(gè)四邊形的四個(gè)角都是直角．

點(diǎn)技巧分清條件和結(jié)論

“若??則??”形式的命題中“若”后面是條件，“則”后面是結(jié)論．

3．公理、定理、證明

(1)公理

公認(rèn)的真命題稱為公理．

①公理是不需推理論證的真命題． ②公理可以作為推理論證定理及其他命題真假的依據(jù)． 常用的幾個(gè)公理：

①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．

②兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等． ③兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．

④兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．

⑤三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．

⑥全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等．

其他公理：等式和不等式的有關(guān)性質(zhì)，等量代換都可以看作公理．

(2)定理

有些命題的正確性是通過推理的方法證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．

①定理是經(jīng)過推理論證的真命題，但真命題不一定都是定理．

②定理可以作為推理論證其他命題的依據(jù)．

(3)證明

推理的過程叫證明．推理必須做到步步有據(jù)，條條有理．

【例3】 下列說法正確的是()．

A．真命題都可以作為定理

B．公理不需要證明

C．定理不一定都要證明

D．證明只能根據(jù)定義、公理進(jìn)行

解析：真命題并不都是定理，故選項(xiàng)A不正確；定理必須經(jīng)過證明，故選項(xiàng)C不正確；證明可以根據(jù)定義、公理、定理進(jìn)行，故選項(xiàng)D不正確；公理是公認(rèn)的真命題，不需要證明，故選B.答案：B

點(diǎn)評：掌握公理、定理、命題之間的區(qū)別，明確其含義，是解決本題的關(guān)鍵．

4．命題及真假命題的判斷

(1)命題的判斷

判斷一個(gè)句子是否為命題，要根據(jù)命題的定義．

①命題的特征：一是必須為一個(gè)完整的句子；二是必須對某件事情做出肯定或否定的判斷，即具有明確的判斷性．如果一個(gè)句子對某一件事情沒有作出任何判斷，那么它就不是命題．

②命題并不是數(shù)學(xué)所獨(dú)有，凡是判斷某一件事情的正確或錯(cuò)誤的語句都是命題．

③命題是陳述語句，其他形式的句子，如：疑問句、感嘆句、祈使句等都不是命題．如：“你愛好什么運(yùn)動？”沒有作出判斷，這不是命題． 注意：錯(cuò)誤的判斷也是命題，不能以正確與否來判斷是否為命題．

(2)真假命題的判斷

命題是一個(gè)判斷，這個(gè)判斷可能正確，也可能錯(cuò)誤．因此可以將命題分為真命題和假命題．

①正確的命題稱為真命題．

②不正確的命題稱為假命題．

③真命題、假命題的判斷與比較：

要說明一個(gè)命題是假命題，通?？梢耘e出一個(gè)例子，使之具有命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子稱為反例；要說明一個(gè)命題是真命題需根據(jù)公理和定理證明．

談重點(diǎn)判斷真假命題的方法

①如果題設(shè)成立，結(jié)論也一定成立，那么這樣的命題為真命題；②如果題設(shè)成立，但結(jié)論不成立，這樣的命題為假命題．

【例4－1】 下列句子中是命題的有__________(填序號)．①直角三角形中的兩個(gè)銳角互余．②正數(shù)都小于0.③如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1與∠2互補(bǔ)．④太陽不是行星．⑤

對頂角相等嗎？⑥作一個(gè)角等于已知角．

解析：判斷是否為命題，要根據(jù)命題的特征：一是必須為一個(gè)完整的句子；二是必須對某件事情做出肯定或否定的判斷．所以①②③是命題，它們都對事情作出了肯定回答；④是命題，它對事情作出了否定回答；⑤不是陳述語句；⑥只是描述了一個(gè)作圖的過程，并未作出判斷，不是命題．

答案：①②③④

【例4－2】 下列命題中，真命題是()．

A．若a·b＞0，則a＞0，b＞0B．若a·b＜0，則a＜0，b＜0

C．若a·b＝0，則a＝0，且b＝0D．若a·b＝0，則a＝0，或b＝0

解析：分析是否為真命題，需要分析各題設(shè)能否推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．由a·b＞0可得a，b同號，可能同為正，也可能同為負(fù)，所以A是假命題；a·b＜0可得a，b異號，所以B是假命題；a·b＝0可得a，b中必有一個(gè)字母的值為0，但不一定同時(shí)為零，所以C是假命題；若a·b＝0，則a＝0，或b＝0，或二者同時(shí)為0，所以D是真命題．故選

D.答案：D

【例4－3】 已知下列命題：①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；②等腰梯形的對角線相等；③對角線互相垂直的四邊形是菱形；④內(nèi)錯(cuò)角相等．

其中假命題有__________(填序號)．

解析：

答案：析規(guī)律巧判真假命題

命題是判斷事情的語句．若命題判斷的事情是正確的，則命題是真命題；反之，命題為假命題．

5．命題的組合命題是由條件和結(jié)論組成的，當(dāng)條件成立，結(jié)論也成立時(shí)，該命題即為真命題．命題的組成就是通過選擇一定的條件，使結(jié)論成立，即組成真命題．

組合新的命題是考察命題的概念及有關(guān)知識的重要題型．該題型常見于對幾何的考查，一般是給出幾個(gè)單獨(dú)的論斷，根據(jù)有關(guān)知識內(nèi)容結(jié)合圖形重新組合寫出正確的命題．

命題的條件和結(jié)論往往不是固定的，要使所組合的命題是正確的，要求必須理解掌握有關(guān)的知識內(nèi)容．

點(diǎn)評：①命題組合時(shí)，條件可能不止一個(gè)，注意兩個(gè)條件的情況．②組合命題一般是幾何中的某一圖形的性質(zhì)或者判定．

【例5－1】 如圖，在△ABD和△ACE中，有下列四個(gè)論斷：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠B＝∠C；④BD＝CE.請以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題__________．(用序號?????的形式寫出)

解析：答案不唯一，如：由AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，得到△ABD≌△ACE，則AD＝AE.所以①③④?②.答案：①③④?②

【例5－2】 對同一平面內(nèi)的三條直線a，b，c，給出下列五個(gè)論斷：①a∥b；②b∥c；

③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中兩個(gè)論斷為條件，另一個(gè)論斷為結(jié)論，組成一個(gè)你認(rèn)為正確的命題：__________(用序號表示)．

解析：答案不唯一．根據(jù)“如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行”，可得出：若①②，則④.答案：若①②，則④

第四篇：平行線的性質(zhì)教案(浙教版八年級上)

1.3平行線的性質(zhì)（2）

【教學(xué)目標(biāo)】

◆知識目標(biāo)：理解掌握平行線的性質(zhì)并能應(yīng)用

◆能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生形成觀察辨別、逆向推理等數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生良好的創(chuàng)造性思維能力、逆向思維能力和嚴(yán)密的推理過程?！羟楦心繕?biāo)：通過多種教學(xué)活動，樹立自信，自強(qiáng)，自主感，由此激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

◆重點(diǎn)：平行線的性質(zhì)是重點(diǎn) ◆難點(diǎn)：例4是難點(diǎn)

【教學(xué)過程】

一、知識回顧：

1、平行線的判定

2、平行線的性質(zhì)

二、1．合作學(xué)習(xí)：

如圖，直線AB∥CD，并被直線EF所截?！?與∠3相等嗎？∠3與∠4的和是多少度？ 思考下列幾個(gè)問題：

（1）圖中有哪幾對角相等？

（2）∠3與∠1有什么關(guān)系？∠4與∠2有什么關(guān)系？ 2．你發(fā)現(xiàn)平行線還有哪些性質(zhì)？平行線的性質(zhì)：

CFA432DE1B兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。簡單地說，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。簡單地說，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

3．做一做：

如圖，AB，CD被EF所截，AB∥CD（填空）

若∠1=120°，則∠2=（）∠3= －∠1=（）

4．例3 如圖1-14，已知AB∥CD，AD∥BC。判斷∠1與∠2是否相等，并說明理由。

思考下列幾個(gè)問題：

（1）∠1與∠BAD是一對什么的角？它們是否相等？為什么？（2）∠2與∠BAD是一對什么的角？它們是否相等？為什么？（3）那么∠1與∠2是否相等？為什么？ 解：∠1=∠2 ∵AB∥CD（已知）

∴∠1+∠BAD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵AD∥BC（已知）

∴∠2+∠BAD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

京翰教育http://004km.cn/

E1B3DA2FCD1A2BC圖1—14∴∠1=∠2（同角的補(bǔ)角相等）

討論：還有其它解法嗎？如不用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”這個(gè)性質(zhì)是否可以解？ 5．練一練：（P．14課內(nèi)練習(xí)1、2）

6．例4如圖1-15，已知∠ABC+∠C=180°，BD平分∠ABC。∠

ABCBD與∠D相等嗎？請說明理由。思考下列幾個(gè)問題：

（1）AB與CD平行嗎？為什么？

（2）∠D與∠ABD是一對什么的角？它們是否相等？為什么？（3）∠CBD與∠ABD相等嗎？為什么？ 解：∠D=∠CBD ∵∠ABC+∠C=180°（已知）

∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴∠D=∠ABD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵BD平分∠ABC（已知）

∴∠CBD=∠ABD=∠D 想一想：是否還有其它方法？（用三角形內(nèi)角和定理等）7．練一練：

如圖，已知∠1=∠2，∠3=65°，求∠4的度數(shù)。

三、拓展

12a34bD圖1-15Ccd1、如圖1，已知AD∥BC，∠BAD=∠BCD。判斷AB與CD是否平行，并說明理由

2、如圖2，已知AB∥CD，AE∥DF。請說明∠BAE=∠CDF D C

ABA 圖1 B FECD

四、知識整理：

1、平行線的性質(zhì)：

兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。簡單地說，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。簡單地說，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

2、思維方法：如不能直接證明其成立，則需證明它們都與第三個(gè)量相等

3、要注意一題多解

五、布置作業(yè)

P．15 作業(yè)題及作業(yè)本

圖2京翰教育http://004km.cn/

第五篇：平行線的判定與性質(zhì)試題4

班級___________________

姓名_______________ 得分____ 知識點(diǎn)一 同位角相等 兩直線平行

1．如圖1所示，若∠1=60°，∠2=60°，則AB_______CD．

圖1 圖2 圖3 2．如圖2所示，若∠1=∠2，則a∥_____． 知識點(diǎn)二 內(nèi)錯(cuò)角相等 兩直線平行 3．如圖2所示，若∠2=∠3，則b______c． 4．如圖2所示，b∥c，若∠1=______，則a∥c． 知識點(diǎn)三 同旁內(nèi)角互補(bǔ) 兩直線平行

5．如圖3所示，若∠BEF+______=180°，則AB∥CD．

6．（2008，齊齊哈爾市）如圖4所示，請你寫一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件_______，?使AD∥BC．

圖4 圖5 圖6 ◆課后測控

1．如圖5所示，若∠1=30°，∠2=80°，∠3=30°，∠4=70°，若AB∥____． 2．如圖6所示，若∠1=110°，∠2=70°，則a_______b． 3．如圖7所示AE∥BD，下列說法不正確的是（）

A．∠1=∠2 B．∠A=∠CBD C．∠BDE+∠DEA=180° D．∠3=∠4

圖7 圖8 圖9 4．如圖8所示，能說明AB∥DE的有（）

①∠1=∠D； ②∠CFB+∠D=180°； ③∠B=∠D； ④∠BFD=∠D． A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

5．（易錯(cuò)題）如圖9所示，能說明AD∥BC，下列條件成立的是（）A．∠2=∠3 B．∠1=∠4 C．∠1+∠2=∠3+∠4 D．∠A+∠C=180°

6．（過程探究題）如圖所示，若∠1+∠2=180°，∠1=∠3，EF與GH平行嗎？ [解答]因?yàn)椤?+∠2=180°（）

所以AB∥_______（）

又因?yàn)椤?=∠3（）

所以∠2+∠________=180°（）

所以EF∥GH（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）7．（經(jīng)典題）如圖所示，完成下列填空．

（1）∵∠1=∠5（已知）

∴a∥______（同位角相等，兩直線平行）

（2）∵∠3=_______（已知）

∴a∥b（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

（3）∵∠5+_______=180°（已知）

∴______∥_______（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

8．（原創(chuàng)題）如圖所示，寫出所有角滿足的條件使AB∥EF，并說明理由．

◆拓展創(chuàng)新 9．（應(yīng)用題）（1）如圖（1）所示，AB，CD，EF是三條公路，且AB⊥EF，CD⊥EF．

判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由;（2）如圖（2）所示在（1）的條件下，若小路OM平分∠EOB．通往加油站N?的岔道O′N平分∠CO′F，試判斷OM與O′N位置關(guān)系．

答案: 回顧歸納

1．同位角相等 2．內(nèi)錯(cuò)角相等 3．同旁內(nèi)角 課堂測控

1．∥ 2．b 3．∥ 4．∠2或∠3 5．∠EFD

6．∠ABC+∠BAD=180°或∠ADB=∠DBC或∠FAD=∠ABC．（任選一個(gè)即可）．

解題規(guī)律：依照三個(gè)判定定理，同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角關(guān)系判定兩直線平行． 課后測控

1．CD 2．∥ 3．D 4．C（點(diǎn)撥：①②④正確）

5．A（點(diǎn)撥：∠1=∠4得AB∥CD，∠1+∠2≠∠3+∠4，∠A+∠C≠180°）6．已知，CD，同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，已知，∠3，等量代換

解題規(guī)律：EF∥GH成立→∠2+∠3=180°，又∠1=∠3，∴∠1+∠2=180°（已知）7．（1）b（2）∠5（3）∠4，a，b 思路點(diǎn)撥：由條件與結(jié)論關(guān)系及括號中定理判斷填空內(nèi)容． 8．①同位角∠A=∠CEF，∠B=∠EFC，②內(nèi)錯(cuò)角∠ADE=∠DEF，③同旁內(nèi)角．∠A+∠AEF=180°，∠B+∠BFE=180°，∠BDE+∠DEF=180°

思路點(diǎn)撥：AB，EF被AC所截，AB，EF被BC所截，AB，EF被DE所截，?三個(gè)方面的關(guān)系中存在同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角來判定AB∥EF的條件． 9．（1）∵AB⊥EF，CD⊥EF

∴AB∥CD（兩條直線都垂直于同一條直線，這兩條直線平行）

（2）延長NO′至P，可證∠EOM=∠EO′P=45°，得OM∥O′N．

解題技巧：（1）中由垂線定義及平行線判定推理來證，（2）中要作輔助線延長NO′至P，運(yùn)用同位角相等來證明．