第一篇：2013中考備考數(shù)學(xué)證明專題-圓相關(guān)的證明(試題與標(biāo)準(zhǔn)答案)

2013中考備考 數(shù)學(xué)證明專題《圓相關(guān)的證明》

與圓有關(guān)的證明問題

（時(shí)間：100分鐘總分：100分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的）

1．已知AB、CD是⊙O的兩條直徑，則四邊形ADBC一定是（）A．等腰梯形B．正方形C．菱形D．矩形

2．如圖1，DE是⊙O的直徑，弦AB⊥ED于C，連結(jié)AE、BE、AO、BO，則圖中全等三角形有（）

A．3對(duì)B．2對(duì)C．1對(duì)D．0對(duì)

3．垂徑定理及推論中的四條性質(zhì)：①經(jīng)過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的弧．由上述四條性質(zhì)組成的命題中，假命題是（）A．①②?③④B．①③?②④C．①④?②③D．②③?①④

4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，給出下列三個(gè)結(jié)論：①以點(diǎn)C為圓心，?2.3cm長(zhǎng)為半徑的圓與AB相離；②以點(diǎn)C為圓心，2.4cm長(zhǎng)為半徑的圓與AB相切；?③以點(diǎn)C為圓心，2.5cm長(zhǎng)為半徑的圓與AB相交，則上述結(jié)論正確的有（）

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

AC上的任意一點(diǎn)（與A、C不重合），則5．在⊙O中，C是?AB的中點(diǎn)，D是?

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

7．如圖3，在△ABC中，AD是高，AE是直徑，AE交BC于G，有下列四個(gè)結(jié)論：?①AD2=BD·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正確結(jié)論的有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè) 8．如圖4，AB是⊙O的直徑，CD為弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，交⊙O于G．下面的結(jié)論：①EC=DF；②AE+BF=AB；③AE=GF；④FG·FB=EC·ED．其中正確的有（）

A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④

9．如圖5，圓內(nèi)接△ABC的外角∠ACH的平分線與圓交于D點(diǎn)，DP⊥AC，?垂?；③AP=BH；足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列結(jié)論：①CH=CP；②?AD?BD

④DH為圓的切線，其中一定成立的是（）

A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③

（1）

(2)(3)(4)

（）

A．AC+CB=AD+DBB．AC+CB

C．AC+CB>AD+DBD．AC+CB與AD+DB的大小關(guān)系不確定

6．如圖2，梯形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD∥BC，EF切⊙O于點(diǎn)C，則圖中與∠ACB相等的角（不包括∠ACB）共有（）．

(5)(6)(7)(8)

《圓相關(guān)的證明》

10．如圖6，在⊙O中，AB=2CD，那么（）

三、解答題（本大題共46分，19～23題每題6分，24題、25題每題8分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

19．如圖，AB是⊙O的弦（非直徑），C、D是AB上兩點(diǎn)，并且OC=OD，求證：AC=BD．

20．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC交于點(diǎn)D，與AC?交于點(diǎn)E，求證：△DEC為等腰三角形．

21．如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC與AB成30°角，CD與⊙O切于C，交AB?的延長(zhǎng)線于D，求證：AC=CD．

?D;B．??DAB?2CAB?

2CA．?

?D;D．AD與2CD的大小關(guān)系可能不確定 AB?2CC．?

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

11．在⊙O中，若AB⊥MN于C，AB為直徑，MN?為弦，?試寫出一個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論：_________．

12．已知⊙O1和⊙O2的半徑分別為10cm，6cm，OO的長(zhǎng)為3cm，則⊙O1與⊙O

2的位置關(guān)系是_________．

13．如圖7，C是⊙O的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線CD，D為切點(diǎn)，連結(jié)AD、OD、BD，請(qǐng)你根據(jù)圖中所給的條件（不再標(biāo)字母或添輔助線），寫出一個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論____________．

14．已知⊙O的直徑為10，P為直線L上一點(diǎn)，OP=5，那么直線L與⊙O?的位置關(guān)系是_______．

15．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)O是△ABC的外心，現(xiàn)以O(shè)為圓心，?分別以2，2．5，3為半徑作⊙O，則點(diǎn)C與⊙O的位置關(guān)系分別是________． 16．以等腰△ABC的一腰AB為直徑作圓，交底邊BC于D，則∠BAD與∠CAD?的大小關(guān)系是∠BAD________∠CAD．

17．在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以C為圓心，以

2線AB?的位置關(guān)系是____________． 18．如圖8所示，A、B、C是⊙O上的三點(diǎn)，當(dāng)BC平分∠ABO時(shí)得結(jié)論_________．

《圓相關(guān)的證明》

22．如圖20-12，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，?AB??AF，BF和AD交于E，求證：AE=BE．

24．如圖，已知直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點(diǎn)C，∠A=28°．

（1）求∠ACM的度數(shù)．（2）在MN上是否存在一點(diǎn)D，使AB·CD=AC·BC，說明理由．

23．如圖，AB是⊙O的直徑，以O(shè)A為直徑的⊙O1與⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足為E．

（1）求證：AD=DC．（2）求證：DE是⊙O1的切線．

25．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半徑為3．（1）若圓心O與C重合時(shí)，⊙O與AB有怎樣的位置關(guān)系？（2）若點(diǎn)O沿CA移動(dòng)，當(dāng)OC等于多少時(shí)，⊙O與AB相切？

《圓相關(guān)的證明》

答案：

一、選擇題

1．D2．A3．B4．D5．C6．D7．B8．B9．D10．A

二、填空題

11．BM=BN等12．內(nèi)含13．∠ADO=∠BDC等14．相交或相切15．在圓外、?在圓上、在圓內(nèi)16．=17．相交18．OC∥AB等

三、解答題

19．證明：過點(diǎn)O作OE∥AB于E，則AE=BE．在△OCD中，OE⊥CD，OC=OD，∴CE=?DE．?∴AC=BD．

20．證明：∵四邊形ABDE是圓內(nèi)接四邊形，∴∠DEC=∠B．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=CD．∴△DEC為等腰三角形．

21．證明：連結(jié)BC，由AB是直徑可知，?ACB?90???A?30???∠ABC=60°．

?

CD是切線?∠BCD=∠A=30°?∠D=30°=∠A?AC=CD． 22．證明：連結(jié)AB，AC，BC是直徑??BAC?90???ABC??ACB?90??

AD?BC??ADB?90???ABC??BAD?90??

?

??ACB??BAD

??

???∠BAD=∠ABF?AE=BE． AB??AF??ACB??ABF??

23．證明：（1）連結(jié)OD，AO是直徑??ADO?90??

AO?CO??AD=DC．

?

（2）連結(jié)O1D，O1D?O1A??A??ADO1?

OA?OC??A??C?

???C??ADO1

?

DE?CE??C??CDE?90??

?

??ADO1??CDE?90???O1DE?90??

D在?O??DE是切線．

1上?

24．解：（1）連結(jié)BC，AB是直徑??ACB?90??

?A?28???∠B=62°．

?

MN是切線?∠ACM=∠B=62°．

（2）過點(diǎn)B作BD⊥MN，則

?BDC1?90???ACB

?

MN是切線??BCN??A??△ACB∽△CNB

?

?

ACABCD?·CD1=AC·BC．

BC

?AB過點(diǎn)A作AD2⊥MN，則 ?AD1C?90???ACB

?

MN是切線??MCA??CBA??△ABC∽△ACD2

?

?ACD2AB

?CCB

?CD2·AB=AC·CB

25．解：（1）過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，由三角形的面積公式得AB·CH=AC·BC，-4-

《圓相關(guān)的證明》

∴CH=AC?BCAB

=

606013，即圓心到直線的距離d=

．

∵d=

6013

>3，∴⊙O與AB相離．

（2）過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，則OE=3．

∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，∴△AOE∽△ABC，∵OA=

OE?ABBC

=

3?1312?

134

∴OC=AC-OA=5-1374

=4

．

∴當(dāng)OC=

時(shí)，⊙O與AB相切．

第二篇：中考數(shù)學(xué)與圓有關(guān)的證明問題

與圓有關(guān)的證明問題

一、選擇題

1．已知AB、CD是⊙O的兩條直徑，則四邊形ADBC一定是（）

A．等腰梯形B．正方形C．菱形D．矩形

2．如圖1，DE是⊙O的直徑，弦AB⊥ED于C，連結(jié)AE、BE、AO、BO，則圖中全等三角形有（）

A．3對(duì)B．2對(duì)C．1對(duì)D．0對(duì)

（1）(2)(3)(4)

3．垂徑定理及推論中的四條性質(zhì)：①經(jīng)過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的?。缮鲜鏊臈l性質(zhì)組成的命題中，假命題是（）

A．①②?③④B．①③?②④

C．①④?②③D．②③?①④

4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，給出下列三個(gè)結(jié)論：①以點(diǎn)C為圓心，?2.3cm長(zhǎng)為半徑的圓與AB相離；②以點(diǎn)C為圓心，2.4cm長(zhǎng)為半徑的圓與AB相切；?③以點(diǎn)C為圓心，2.5cm長(zhǎng)為半徑的圓與AB相交，則上述結(jié)論正確的有（）

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

5．在⊙O中，C是?AB的中點(diǎn)，D是?AC上的任意一點(diǎn)（與A、C不重合），則（）

A．AC+CB=AD+DBB．AC+CB

C．AC+CB>AD+DBD．AC+CB與AD+DB的大小關(guān)系不確定

6．如圖2，梯形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD∥BC，EF切⊙O于點(diǎn)C，則圖中與∠ACB相等的角（不包括∠ACB）共有（）．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

7．如圖3，在△ABC中，AD是高，AE是直徑，AE交BC于G，有下列四個(gè)結(jié)論：?①AD2=BD·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正確結(jié)論的有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

8．如圖4，AB是⊙O的直徑，CD為弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，交⊙O于G．?下面的結(jié)論：①EC=DF；②AE+BF=AB；③AE=GF；④FG·FB=EC·ED．其中正確的有（）

A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④

9．如圖5，圓內(nèi)接△ABC的外角∠ACH的平分線與圓交于D點(diǎn)，DP⊥AC，?垂足是P，DH⊥

?；③AP=BH；④DH為圓的切線，其中AD?BDBH，垂足是H，下列結(jié)論：①CH=CP；②?

一定成立的是（）

A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③

(5)(6)(7)(8)10．如圖6，在⊙O中，AB=2CD，那么（）

?;B．??;A．?AB?2CDAB?2CD

?;D．AD與2CD的大小關(guān)系可能不確定C．?AB?2CD

二、填空題

11．在⊙O中，若AB⊥MN于C，AB為直徑，MN?為弦，?試寫出一個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論：_________．

12．已知⊙O1和⊙O2的半徑分別為10cm，6cm，OO的長(zhǎng)為3cm，則⊙O1與⊙O2的位置關(guān)系是_________．

13．如圖7，C是⊙O的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線CD，D為切點(diǎn)，連結(jié)AD、OD、BD，請(qǐng)你根據(jù)圖中所給的條件（不再標(biāo)字母或添輔助線），寫出一個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論____________． 14．已知⊙O的直徑為10，P為直線L上一點(diǎn)，OP=5，那么直線L與⊙O?的位置關(guān)系是_______． 15．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)O是△ABC的外心，現(xiàn)以O(shè)為圓心，?分別以2，2．5，3為半徑作⊙O，則點(diǎn)C與⊙O的位置關(guān)系分別是________．

16．以等腰△ABC的一腰AB為直徑作圓，交底邊BC于D，則∠BAD與∠CAD?的大小關(guān)系是∠BAD________∠CAD． 17．在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以C為圓心，以

AB?的位置關(guān)系是____________．

18．如圖8所示，A、B、C是⊙O上的三點(diǎn)，當(dāng)BC平分∠ABO時(shí)得結(jié)論_________．

三、解答題19．如圖，AB是⊙O的弦（非直徑），C、D是AB上兩點(diǎn)，并且OC=OD，求證：AC=BD．

20．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC交于點(diǎn)D，與AC?交于點(diǎn)E，求證：△DEC為等腰三角形．

21．如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC與AB成30°角，CD與⊙O切于C，交AB?的延長(zhǎng)線于D，求證：AC=CD．

22．如圖20-12，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，?AB??AF，BF和AD交于E，求證：AE=BE．

23．如圖，AB是⊙O的直徑，以O(shè)A為直徑的⊙O1與⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足為E．

（1）求證：AD=DC．（2）求證：DE是⊙O1的切線．

24．如圖，已知直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點(diǎn)C，∠A=28°．

（1）求∠ACM的度數(shù)．（2）在MN上是否存在一點(diǎn)D，使AB·CD=AC·BC，說明理由．

25．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半徑為3．（1）若圓心O與C重合時(shí)，⊙O與AB有怎樣的位置關(guān)系？（2）若點(diǎn)O沿CA移動(dòng)，當(dāng)OC等于多少時(shí)，⊙O與AB相切？

答案：

一、選擇題

1．D2．A3．B4．D5．C6．D7．B8．B9．D10．A

二、填空題

11．BM=BN等12．內(nèi)含13．∠ADO=∠BDC等14．相交或相切15．在圓外、?在圓上、在圓內(nèi)16．=17．相交18．OC∥AB等

三、解答題

19．證明：過點(diǎn)O作OE∥AB于E，則AE=BE．在△OCD中，OE⊥CD，OC=OD，∴CE=?DE．?∴AC=BD．

20．證明：∵四邊形ABDE是圓內(nèi)接四邊形，∴∠DEC=∠B．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=CD．∴△DEC為等腰三角形．

21．證明：連結(jié)BC，由AB是直徑可知，?ACB?90????∠ABC=60°．

?A?30??

CD是切線?∠BCD=∠A=30°?∠D=30°=∠A?AC=CD． 22．證明：連結(jié)AB，AC，BC是直徑??BAC?90???ABC??ACB?90??

?

AD?BC??ADB?90???ABC??BAD?90??

??ACB??BAD??

??∠BAD=∠ABF?AE=BE． ??AB?AF??ACB??ABF??

23．證明：（1）連結(jié)OD，AO是直徑（2）連結(jié)O1D，??ADO?90??

??AD=DC．

AO?CO?

O1D?O1A??A??ADO1?

?

OA?OC??A??C???C??ADO1

?

?

DE?CE??C??CDE?90??

??ADO1??CDE?90???O1DE?90??

??DE是切線．

D在?O1上?

24．解：（1）連結(jié)BC，AB是直徑??ACB?90??

??∠B=62°．

?A?28??

MN是切線?∠ACM=∠B=62°．

（2）過點(diǎn)B作BD⊥MN，則

?BDC1?90???ACB

?

??△ACB∽△CNB

MN是切線??BCN??A?

ACAB

??AB·CD1=AC·BC． CD1BC

?

過點(diǎn)A作AD2⊥MN，則

?AD1C?90???ACB

?

??△ABC∽△ACD2

MN是切線??MCA??CBA?

ACCD2

??CD2·AB=AC·CB ABCB

?

25．解：（1）過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，由三角形的面積公式得AB·CH=AC·BC，AC?BC6060

=，即圓心到直線的距離d=． AB131360

∵d=>3，∴⊙O與AB相離．

∴CH=

（2）過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，則OE=3．

∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，∴△AOE∽△ABC，OE?AB3?1313

? =

BC124

137

∴OC=AC-OA=5-=． 447

∴當(dāng)OC=時(shí)，⊙O與AB相切．

∵OA=

第三篇：中考數(shù)學(xué)證明問題

中考數(shù)學(xué)專題1 線段角的計(jì)算證明問題

第一部分 真題精講，AD?3，BC?8．求1．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BD?CD，?BDC?90°

AB的長(zhǎng)．

2.已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，?DCB?90?，AC?BD于點(diǎn)O，DC?2,BC?4，求AD的長(zhǎng).A

D

BC

AD∥BC，?B?90?，AD=2，BC?5，3.如圖，在梯形ABCD中，tanC?E為DC中點(diǎn)，4．求

3AE的長(zhǎng)度 AD

E

BC

．

【總結(jié)】 以上三道真題,都是在梯形中求線段長(zhǎng)度的問題.這些問題一般都是要靠做出精妙的輔助線來解決.輔助線的總體思路就是將梯形拆分或者填充成矩形+三角形的組合,從而達(dá)到利用已知求未知的目的.一般來說,梯形的輔助線主要有以下5類

:

1、過一底的兩端做另一底的垂線，拆梯形為兩直角三角形+

一矩形

2、平移一腰，分梯形為平行四邊形+ 三角形

3、延長(zhǎng)梯形兩腰交于一點(diǎn)構(gòu)造三角形

4、平移對(duì)角線，轉(zhuǎn)化為平行四邊形+三角形

5、連接頂點(diǎn)與中點(diǎn)延長(zhǎng)線交于另一底延長(zhǎng)線構(gòu)筑兩個(gè)全等三角形或者過中點(diǎn)做底邊垂線

構(gòu)筑兩個(gè)全等的直角三角形

以上五種方法就是梯形內(nèi)線段問題的一般輔助線做法。對(duì)于角度問題，其實(shí)思路也是一樣的。通過做輔助線使得已知角度通過平行，全等方式轉(zhuǎn)移到未知量附近。之前三道例題主要是和線段有關(guān)的計(jì)算。我們接下來看看和角度有關(guān)的計(jì)算與證明問題。

3.如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分?ADC，過點(diǎn)A作AE∥BD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且?C?2?E，?BDC?30?，AD?3，求CD的長(zhǎng)．

AB

ED

5.已知：PAPB?4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).如圖，當(dāng)∠APB=45°時(shí)，求AB及PD的長(zhǎng)；

第二部分 發(fā)散思考

通過以上的一模真題，我們對(duì)線段角的相關(guān)問題解題思路有了一些認(rèn)識(shí)。接下來我們自己動(dòng)手做一些題目。希望考生先做題，沒有思路了看分析，再?zèng)]思路了再看答案。

【思考1】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB?CD．若AC⊥BD，AD+BC=10，且?ABC?60?，求CD的長(zhǎng)．

【思考2】如圖，梯形ABCD中，AD//BC，∠B=30°，∠C=60°，E，M，F(xiàn)，N分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，已知BC=7，MN=3，求EF

【思考3】已知?ABC，延長(zhǎng)BC到D，使CD?BC．取AB的中點(diǎn)F，連結(jié)FD交AC于點(diǎn)E．

AE⑴ 求的值； AC

⑵ 若AB?a，F(xiàn)B?EC，求AC的長(zhǎng)．

B

【思考4】如圖3，△ABC中，∠A=90°，D為斜邊BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AB，AC上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE=3，CF=4，試求EF的長(zhǎng)．

D

【思考5】 如圖，在四邊形ABCD中，E為AB上一點(diǎn)，?ADE和?BCE都是等邊三角形，AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為P、Q、M、N，試判斷四邊形PQMN為怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論．

第四篇：圓票證明

圓 票 證 明

地稅局：

茲有 公司在我單位承接消防安裝工程，需圓票金額，現(xiàn)由該公司 前來辦理圓票手續(xù)，請(qǐng)貴局給予辦理為謝!

業(yè)主單位名稱 年 月 日

第五篇：2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練習(xí)圓切線證明方法

中考數(shù)學(xué)23題圓的切線證明及不規(guī)則陰影面積問題的解法探究

有關(guān)切線證明問題，通常給出直線與圓的交點(diǎn)時(shí)，要連半徑通過證明半徑與直線垂直，解決問題，證垂直的方法：（1）證明三角形全等，得出對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而證得垂直；（2）通過證平行得出角相等，推出90度角得垂直；（3）通過角之間的關(guān)系，推出兩角互余，證垂直。若直線與圓沒有交點(diǎn)，可過圓心作直線的垂線，證明垂線段長(zhǎng)等于半徑即可，這個(gè)類型的證明多用全等三角形來解決。

不規(guī)則圖形面積的求法，通常是轉(zhuǎn)化為三角形的面積與扇形面積和差來解決。在具體證明解題時(shí)，要根據(jù)題中的條件確定解題思路。在解題時(shí)注意三角形中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用；圓與平行四邊形、菱形、正方形的綜合題要學(xué)會(huì)從整體上著眼，從局部入手，充分運(yùn)用特殊四邊形的性質(zhì)解題。

在解決這類問題時(shí)，經(jīng)常要運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)來建立方程，求相關(guān)的量，總而言之，這類題綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)要認(rèn)真分析，書寫要嚴(yán)謹(jǐn)。

典型題解析

1.(2019葫蘆島)如圖，點(diǎn)M是矩形ABCD的邊AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以AM為直徑的⊙O交矩形對(duì)角線AC于點(diǎn)F，在線段CD上取一點(diǎn)E，連接EF，使EC=EF.(1)

求證：EF是⊙O的切線；

(2)

若cos∠CAD=，AF=6，MD=2，求FC的長(zhǎng).解析

：（1）連接OF，∵四邊形ABCD是矩形可得∠CDA=900，∴∠DCA+∠DAC=900

∵EC=EF,OF=OA

∴∠EFC=∠DCA,∠OFA=∠DAC

∴∠EFC+∠OFA=900

∴∠EFO=1800-(∠EFC+∠OFA)=900

∴OF⊥EF

∴EF是⊙O的切線

(3)

過點(diǎn)O作OH⊥AF，垂足為H。

∵AF=6

∴AH=3

∵cos∠CAD=，cos∠CAD=

∴AO=5

∵AM=2AO=10,MD=2

∴AD=8

∵cos∠CAD=,cos∠CAD=

∴AC=

∴CF=AC-AF=-6=

2.（2019.鐵嶺）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，以點(diǎn)A為圓心、AB長(zhǎng)為半徑的⊙A恰好經(jīng)過BC的中點(diǎn)E，連接DE,AE,BD,AE與BD交于點(diǎn)F.（1）

求證：DE與⊙A相切

（2）

若AB=6，求BF的長(zhǎng)。

解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴BC=AD=2AB.∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)

∴BE=AD

∵AE=AB

∴AE=AB=BE

∴∠CBA=∠AEB=600

∵DC∥AB

∴∠C+∠CBE=1800

∴∠C=1200

∵CD=AB,AB=BE=CE

∴CD=CE

∴∠CDE=∠CED=300

∴∠DEA=1800-(∠CED+∠AEB)=900

∴AE⊥DE

∴DE與⊙A相切

（3）

過點(diǎn)B作BH⊥AE，垂足為H.則AH=HE,∵AB=6，∴AD=2AB=12,BE=6,AH=EH=3

∴BH=

∵BE∥AD

∴△FBE∽△FDA

∴

∴EF=AE=2

∴FH=EH-EF=1

∴BF=

3.(2018.撫順)如圖，AB為⊙O直徑，AC為⊙O的弦，過⊙O外的點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接DC并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于點(diǎn)H.（1）

判斷直線DC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）

若HB=2，cos∠D=，請(qǐng)求出AC的長(zhǎng).解析：連接OC.∵OC=OA

∴∠OAC=∠OCA

∴∠COP=∠OAC+∠OCA=2∠OAC

∵∠D=2∠A，∴∠D=∠COP

∵DE⊥OA

∴∠DEP=900

∴∠D+∠P=900

∴∠COP+∠P=900

∴OC⊥DC

∴DC與⊙O相切

（3）

∵cos∠D=，cos∠D=

又OB=OC,BH=2

∴

解得：OC=5

∴OH=3,OC=0A=5

∴CH=,AH=8

∴AC=

4.（2020.丹東）如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，連接BD，∠CBD的平分線交⊙O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，且AF=AB.（1）

判斷BC所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）

若tan∠FBC=，DF=2，求⊙O的半徑.解析：（1）∵AB為直徑

∴∠ADB=900

∴∠DFB+∠DBF=∠ADB=900

∵BF是∠CBD的平分線,AF=AB.∴∠DBF=∠CBF,∠ABF=∠AFB

∴∠CBF+∠ABF=900

∴BC⊥AB

∴BC所在直線與⊙O相切

(2)

∵tan∠FBC=，∠DBF=∠CBF,DF=2

∴tan∠DBF=,∴BD=5

∵AF=AB

∴AD=AF-BD=AB-2

∵BD2+AD2=AB2

∴25+(AB-2)2=AB2

解得

：AB=

5.（2017.鐵嶺）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是半圓上一點(diǎn)，連接OC，BC，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，CB為邊作∠BCF=∠BOC,延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D.(1)

求證：直線CF是半圓O的切線；

(2)

若BD=5，CD=,求弧BC的長(zhǎng).解析

：（1）∵OC=OB

∴∠OCB=∠OBC

∴∠OBC+∠OCB+∠BOC=1800

∴∠OCB+∠BOC=900

∵∠BCF=∠BOC

∴∠OCB+∠BCF

=900

∴OC⊥CF

∴直線CF是半圓O的切線；

(2)設(shè)半徑為r

則有：r2+CD2=(r+BD)2

即

r2+75=(r+5)2

解得，r=5

∵OB=BD,∠OCD=900

∴BC=OB=OC=5

∴∠BOC=600

∴弧BC=

6.（2020.錦州）平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)F，G是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BG，交AC于點(diǎn)H，且∠DBG=∠BAD.（1）

求證：BG是⊙O的切線；

（2）

若CH=3,tan∠DBG=，求⊙O的直徑.解析:(1)∵AB是直徑

∴∠BEA=900

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴平行四邊形ABCD是菱形

∴AB=AD

∴∠BAE=∠BAD.∵∠DBG=∠BAD.∴∠DBG=∠BAE

∵∠BAE+∠ABE=900,∴∠DBG

+∠ABE=900,∴BG⊥AB

(2)設(shè)HE=x

∵tan∠DBG=

tan∠BAE=，∴BE=2HE=2x,AE=4x

∵CE=AE,CH=3

∴3+x=4x,解得：x=1，即

AE=4,BE=2

∴AB=

7.（2019.本溪）如圖，點(diǎn)P為正方形ABCD的對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接BP并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，⊙O是△DEF的外接圓，連接DP.（1）

求證：DP是⊙O的切線；

（2）

若tan∠PDC=，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，求⊙O的半徑和線段OP的長(zhǎng).7.解析：（1）連接OD.∵四邊形ABCD是正方形

∴CD=CB,∠DCP=∠BCP=450

∵CP=CP

∴△DCP≌△BCP

∴∠CDP=∠CBP

∵∠DCB=900

∴∠CEB+∠CBE=900

∵OD=OE,∠OED=∠CEB

∴∠ODE=∠OED=CEB

∴∠ODE+∠CDP=900

∴OD⊥DP

∴DP是⊙O的切線

(2)∵tan∠PDC=tan∠CBE=,BC=4

∴DE=CE=2

∵BC∥AF

∴∠EFA=∠CBE

∴tan∠DFE=

∴DF=4

∴FE=

∴OD=

過點(diǎn)P作PH⊥DC垂足為H.∵tan∠PDC==

∴DH=2PH

∵∠PCH=∠CPH=4500

∴PH=CH

∵DH+CH=4

∴DH=,PH=CH=

∴DP=

∴OP=

8.（2018.撫順）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=900，以AB為直徑作⊙O，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，且CD=CB，連接DO并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由：

（2）若BE=4,DE=8,求AC的長(zhǎng).解析：理由如下：

連接OC.∵CB=CD,OB=OD,OC=OC

∴△OBC≌△ODC

∴∠ODB=∠OBC=900

∴OD⊥DC

∴直線CD與⊙O相切

（2）設(shè)半徑

為r，則OE=DE-OD=8-r,OB=r

∵OB2+BE2=OE2

∴r2+16=(8-r)2

解得：r=3

即OB=3,AB=6,OE=5

∵∠OEB=∠CED,∠EBO=∠EDC=900

∴△OEB∽△CED

∴

∴EC=

∴BC=CE-BE=10-4=6

∴AC=

9.(2020。遼陽(yáng))如圖，在平行四邊形ABCD中，AC是對(duì)角線，∠CAB=900,以點(diǎn)A為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作⊙A，交BC邊于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接DE.（1）求證：DE與⊙A相切；

（2）若∠ABC=600，AB=4，求陰影部分的面積.解析

：連接AE.∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴BA=DC,∠B=∠ADC

∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB,DC=AE

∵BC∥AD

∴∠EAD=∠AEB=∠CDA

∵DA=AD

∴△DAC≌△ADE

∴∠DEA=∠ACD

∵CD∥AB

∴∠DCA=∠BAC=900

∴∠DEA=∠ACD=900

∴AE⊥DE

∴DE與⊙A相切

(2)過點(diǎn)E作EH⊥AC垂足為H.∵∠ABC=600，AE=AB=4

∴∠EAB=600,AC=

∴∠CAE=300

∴FE=1

∴陰影部分的面積=S△AEC-S扇形FAE=

10.（2018.葫蘆島）如圖AB是⊙O的直徑弧AC=弧BC，E是OB的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使EF=CE,連接AF交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，BE.(1)求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若OB=2，求BD的長(zhǎng)。

解析：（1）連接OC.∵B是⊙O的直徑弧AC=弧BC

∴∠COA=∠COB=900

∵E是OB的中點(diǎn)

∴CE=FE

∵EF=CE,∠CEO=∠FEB

∴△CEO≌△FEB

∴∠FBA=∠COB=900

∴AB⊥BF

∴直線BF是⊙O的切線

(2)∵△CEO≌△FEB

∴BF=OC=OB=2

又∵AB=2OB=4

∴AF=

由AB?BF=AF?DB得

DB=

11.（2020.葫蘆島）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交線段BC，AC于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，線段FD，AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G.（1）

求證：DF是⊙O的切線；

（2）

若CF=1,DF=,求圖中陰影部分的面積。

解析：（1）證明

：連接OD，AD.∵AB是⊙O直徑

∴∠ADB=900

∵AB=AC，OD=OA

∴∠BAD=∠CAD，∠OAD=∠ODA

∴∠CAD=∠ODA

∴OD∥AC

∴∠AFG=∠ODG

∵DF⊥AC

∴∠ODG=∠AFG=900

∴OD⊥FD

∴DF是⊙O的切線

（2）∵CF=1,DF=，∠DFC=900

∴∠C=600，CD=2

∵AB=AC，∠ADB=900

∴∠OBD=∠C=600,DB=DC=2

∵OD=OB

∴△ODB是等邊三角形

∴∠BOD=600,OD=2

∴∠OCG=300

∴DG=

∴圖中陰影部分的面積=S△ODC-S扇形DOB=

12.（2017.本溪）如圖，△PAB內(nèi)接于⊙O，平行四邊形ABCD的邊AD是⊙O的直徑，且∠C=∠APB，連接BD.(1)

求證：BC是⊙O的切線。

(2)

若BC=2，∠PBD=600，求AP與弦AP圍成的陰影部分的面積。

解析

：（1）連接OB.∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴∠C=∠DAB

∵∠C=∠APB

∴∠DAB=∠APB

∴弧BD=弧AB

∵AB是直徑

∴∠AOB=∠BOD=900

∵AD∥BC

∴∠OBC=∠AOB==900

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切線。

（2）連接OP.∵∠PBD=600

∴∠PAD=∠PBD=600

∵OP=OA

∴△OAP是等邊三角形

∴∠AOP=600,OH=

∵AD=BC=2

∴OA=1

∴AP與弦AP圍成的陰影部分的面積=S扇形OAP-S△OAP=

13.（2017.鐵嶺）如圖，四邊形ABCD中，連接AC，AC=AD，以AC為直徑的⊙O過點(diǎn)B，交CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F.（1）

求證：EF是⊙O的切線；

（2）

若∠BAC=∠DAC=300,BC=2,求弧BCE的長(zhǎng)。（結(jié)果保留）

解析：（1）證明：連接OE,AE.∵AC為直徑

∴∠AEC=∠AED=900

∵AC=AD

∴CE=DE

∵OA=OC

∴OE∥AD

∴∠OEF=∠EFD

∵EF⊥AD

∴∠OEF=∠EFD=900

∴OE⊥EF

∴EF是⊙O的切線；

（2）連接OB.∵∠BAC=∠DAC=300,∠CAE=∠CAD

∴∠BAE=∠CAE+∠BAC=450

∴∠BOE=2∠BAE=900

∵AC是直徑

∴∠ABC=900

∴AC=2BC=4

∴弧BCE的長(zhǎng)=

14.（2017.撫順）如圖，在△ABC中，∠ACB=900，AC=CB，點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，⊙O經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，交AB于點(diǎn)D，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，以GD，GC為鄰邊作GDEC.（1）

判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由。

（2）

若點(diǎn)B是弧DBC的中點(diǎn)，⊙O的半徑為2，求弧BC的長(zhǎng)。

解析：（1）DE與⊙O的位置相切，理由如下：

連接OD.∵∠ACB=900，AC=CB

∴∠B=∠A=450

∴∠DOC=2∠B=900

∵四邊形DECB是平行四邊形

∴ED∥CG

∴∠EDO+∠DOC=1800

∴∠EDO=900

∴OD⊥DE

∴DE與⊙O的位置相切

（2）∵點(diǎn)B是弧DBC的中點(diǎn)

∴弧CB=弧DB

∴∠DOB=∠COB

∵∠DOB+∠COB+∠DOC=3600，∠DOC=900

∴∠COB=1350

∵⊙O的半徑為2

∴弧CB=

15.（2017.營(yíng)口）如圖，△ABC中，∠ACB=900,BO為△ABC的角平分線，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作⊙O與線段AC交于點(diǎn)D.（1）

求證：AB為⊙O的切線；

（2）

若tan∠A=，AD=2,求BO的長(zhǎng).解析：（1）證明：過點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為H.則∠OHB=900

∵BO為△ABC的角平分線，∴∠HBO=∠CBO

∵∠ACB=900,∴∠OHB=∠ACB，又BO=BO

∴△BOH≌△BOC

∴OH=OC=R

∴AB為⊙O的切線

（2）設(shè)OH=3k，由tan∠A=得，AH=4K,根據(jù)勾股定理

得，AO=5k。

∵AD=2，AO=AD+OD,OD=OH=3k.∴5k=2+3k，解得：k=1

∴OC=3，AC=8

在Rt△ACB中

tan∠A=

∴BC=6

∴OB=

16.（2018.本溪）如圖，在Rt△ABC中，∠C=900，點(diǎn)O，D分別為AB，BC的中點(diǎn)，連接OD，作⊙O與AC相切于點(diǎn)E，在AC邊上取一點(diǎn)F，使DF=DO，連接DF.（1）

判斷直線DF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）

當(dāng)∠A=300，CF=時(shí)，求⊙O的半徑。

解析：（1）直線DF與⊙O的位置相切，理由如下：

連接OE,過點(diǎn)O作OH⊥DF，垂足為H.∵⊙O與AC相切于點(diǎn)E,∴OE⊥AB

∵點(diǎn)O，D分別為AB，BC的中點(diǎn)

∴OD∥AC

∴∠ODC+∠C=1800,又∠C=900，∴∠ODC=∠OEC=∠C=900

∴四邊形DCEO是矩形

∴DC=OE=R

∵∠ODH=∠CFD,DF=DO,∠OHD=∠DCF=900

∴△OHD≌△DCF

∴OH=DC=OE=R

∴直線DF與⊙O的位置相切

（2）∵OD是△ABC的中位線

∴OD=AC,∵四邊形DCEO是矩形

∴OD=CE

∴OD=AE

在Rt△OEA中，∠A=300，∠OEA=900

∴OD=AE=OE=R

∵△OHD≌△DCF

∴DH=CF=

在Rt△OHD中，OH2+DH2=OD2

∴R2+2=3R2,解得：R=1