第一篇：南京大學(xué)附中2014屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元訓(xùn)練：推理與證明

南京大學(xué)附中2014屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元訓(xùn)練：推理與證明

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．

第Ⅰ卷(選擇題 共60分)

一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1．若P?a?a?7，Q?a?3?a?4，(a?0)則P、Q的大小關(guān)系是()

B．P＝Q

D．由a的取值確定 A．P＞Q C．P＜Q

【答案】C

2．如果正數(shù)a,b,c,d滿足a?b?cd?4，那么()

A． ab?c?d且等號(hào)成立時(shí)a,b,c,d的取值唯一

B． ab?c?d且等號(hào)成立時(shí)a,b,c,d的取值唯一

C． ab?c?d且等號(hào)成立時(shí)a,b,c,d的取值不唯一

D． ab?c?d且等號(hào)成立時(shí)a,b,c,d的取值不唯一

22【答案】A 3．用反證法證明命題：“如果a?b?0，那么a?b”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是()

A．a(chǎn)?b

C．a(chǎn)?b

【答案】C

4．平面內(nèi)有一長度為2的線段AB和一動(dòng)點(diǎn)P,若滿足|PA|+|PB|=8,則|PA|的取值范圍是()

A．[1,4];B．[2,6];C．[3,5 ];D． [3,6].【答案】C

5．下面哪個(gè)平面圖形與空間的平行六面體作為類比對(duì)象較合適()

A．三角形B．平行四邊形

C．梯形D．矩形

【答案】B

6．下邊所示的三角形數(shù)組是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)的，稱為楊輝三角形，根據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律，a所表示的數(shù)是()

A．2 B．4 C．6 D．2222B．a(chǎn)?b D．a(chǎn)?b且a?b 22222

2【答案】C

7．由7598139b?mb與之間大小關(guān)系為()?,?,?,?若a>b>0,m>0,則10811102521a?ma

B．前者大 C．后者大 D．不確定 A．相等

【答案】B

8．用反證法證明命題：“a,b,c,d?R,a?b?1,c?d

少有一個(gè)負(fù)數(shù)”時(shí)的假設(shè)為()?1,且ac?bd?1,則a,b,c,d中至

A．a(chǎn),b,c,d中至少有一個(gè)正數(shù)

C．a(chǎn),b,c,d中至多有一個(gè)負(fù)數(shù) B．a(chǎn),b,c,d全為正數(shù) D．a(chǎn),b,c,d全都大于等于0

【答案】D

9．為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文a,b,c,d對(duì)應(yīng)密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4對(duì)應(yīng)密文5,7,18,16.當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時(shí),則解密得到的明文為()

A．4,6,1,7 B．7,6,1,4 C．6,4,1,7 D．1,6,4,7

【答案】C

2S10．設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝；類a＋b＋c

比這個(gè)結(jié)論可知：四面體S－ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為R，四面體P－ABC的體積為V，則R＝()

V2VA．B．S1＋S2＋S3＋S4S1＋S2＋S3＋S

43V4VC．D． S1＋S2＋S3＋S4S1＋S2＋S3＋S4

【答案】C

11．用反證法證明命題“a，b?N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個(gè)能被5整除．則假設(shè)的內(nèi)容是()

A．a(chǎn)，b都能被5整除

C．a(chǎn)不能被5整除

【答案】B B．a(chǎn)，b都不能被5整除D．a(chǎn)，b有1個(gè)不能被5整除

ax?a?x

12．類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，S(x)?，2ax?a?x，其中a?0，且a?1，下面正確的運(yùn)算公式是()C(x)?2

①S(x?y)?S(x)C(y)?C(x)S(y)；

②S(x?y)?S(x)C(y)?C(x)S(y)；

③C(x?y)?C(x)C(y)?S(x)S(y)；

④C(x?y)?C(x)C(y)?S(x)S(y)；

A．①③

【答案】Ｄ

第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)

二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)

13．連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦．半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別等于

B．②④ C．①④ D．①②③④

．

【答案】

514．某同學(xué)在證明命題“

要證明7?7???2”時(shí)作了如下分析，請(qǐng)你補(bǔ)充完整.?6?2，只需證明____________,只需證明____________,＋2?9?2，即?,只需證明14?18,____________,展開得9

所以原不等式:7??6?2成立.22(7?2)?(6?)7?2??3【答案】,，因?yàn)?4?18成立。

15．同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案，則按此規(guī)律第23個(gè)圖案中需用黑色瓷磚塊

.【答案】100

16．在一次珠寶展覽會(huì)上，某商家展出一套珠寶首飾，第一件首飾是1顆珠寶，第二件首飾是 由6顆珠寶（圖中圓圈表示珠寶）構(gòu)成如圖1所示的正六邊形，第三件首飾如圖2，第四件 首飾如圖3，第五件首飾如圖4，以后每件首飾都在前一件上，按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量 的珠寶，使它構(gòu)成更大的正六邊形，依此推斷第7件首飾上應(yīng)有____________顆珠寶。

【答案】9

1三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17．已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)，求證：a也是偶數(shù)．

【答案】（反證法）假設(shè)a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)．

設(shè)a?2n?1(n?Z)，則a2?4n2?4n?1．

∵4(n2?n)是偶數(shù)，∴4n2?4n?1是奇數(shù)，這與已知a2是偶數(shù)矛盾．

由上述矛盾可知，a一定是偶數(shù)．

18．有一種密英文的明文(真實(shí)文)按字母分解,其中英文的a,b,c,?,z的26個(gè)字母(不分大小寫),依次對(duì)應(yīng)1,2,3,?,26這26個(gè)自然數(shù),見如下表格

:

給出如下變換公式:

?x?1(x?N,1?x?26,x不能被2整除)??2' X???x?13(x?N,1?x?26,x能被2整除)??

285+1將明文轉(zhuǎn)換成密文,如8→+13=17,即h變成q；如5→=3，即e變成c.22

①按上述規(guī)定，將明文good譯成的密文是什么？

②按上述規(guī)定，若將某明文譯成的密文是shxc，那么原來的明文是什么？

【答案】①g→7→7+115+1→d;o→15→→h;d→o;22

則明文good的密文為dhho

②逆變換公式為

'''??2x?1(x?N,1?x?13)x??' ''??2x?26(x?N,14?x?26)

則有s→19→2×19-26=12→l；h→8→2×8-1=15→o；

x→24→2×24-26=22→v；c→3→2×3-1=5→e

故密文shxc的明文為love

19．設(shè){an}和{bn}均為無窮數(shù)列．

(1）若{an}和{bn}均為等比數(shù)列，試研究：{an?bn}和{anbn}是否是等比數(shù)列？請(qǐng)證明你的結(jié)論；若是等比數(shù)列，請(qǐng)寫出其前n項(xiàng)和公式．

(2）請(qǐng)類比（1），針對(duì)等差數(shù)列提出相應(yīng)的真命題（不必證明），并寫出相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（用首項(xiàng)與公差表示）．

【答案】（1）①設(shè)cn?an?bn，則設(shè)cn2n?12n?2n?cn?1cn?1?(a1q1n?1?b1q2)?(a1q1n?b1q2))(a1q1n?2?b1q2

n?2?a1b1q1n?2q2(q1?q2)2

ncn?1an?1?bn?1a1q1n?b1q2??(或）n?1cnan?bna1q1n?1?b1q2

當(dāng)q12?q2時(shí)，對(duì)任意的n?N,n?2，cn?cn?1cn?1（或cn?1?q1）恒成立，cn

故{an?bn}為等比數(shù)列；

?n(a1?b1),q1?q2?1,?Sn??(a1?b1)(1?q1n),q1?q2?1.?1?q1?

當(dāng)q1?q2時(shí)，2證法一：對(duì)任意的n?N,n?2，cn

證法二：c22?cn?1cn?1，{an?bn}不是等比數(shù)列． 2?c1c3?a1b1[2q1q2?(q12?q2)]?0，{an?bn}不是等比數(shù)列．

②設(shè)dn?anbn，對(duì)于任意n?N，*dn?1an?1bn?1??q1q2，{anbn}是等比數(shù)列． dnanbn

?n(a1b1),q1q2?1,?nSn??a1b1(1?q1nq2),qq?1.12?1?qq12?

(2）設(shè){an}，{bn}均為等差數(shù)列，公差分別為d1，d2，則：

①{an?bn}為等差數(shù)列；Sn?(a1?b1)n?n(n?1)(d1?d2)2

②當(dāng)d1與d2至少有一個(gè)為0時(shí)，{anbn}是等差數(shù)列，n(n?1)a1d2； 2

n(n?1)若d2?0，Sn?a1b1n?b1d1． 2若d1?0，Sn?a1b1n?

③當(dāng)d1與d2都不為0時(shí)，{anbn}一定不是等差數(shù)列．

20．求證： 6?【答案】要證：

只需：?即證： > 22?7 ?5>22?77>22?成立，26?7??2> 2??2

只需證：13+242> 13+240

即證：42>40

∵42>40顯然成立，∴ 6?5>22?證畢。

21．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，a,b,c分別為三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊，求證：

113??。a?bb?ca?b?c

【答案】要證

即證113a?b?ca?b?c，即需證????3。a?bb?ca?bb?ca?b?cca222??1。又需證c(b?c)?a(a?b)?(a?b)(b?c)，需證c?a?ac?b a?bb?c

∵△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列?！郆=60°。由余弦定理，有b2?c2?a2?2cacos60?，即b2?c2?a2?ac?！郼2?a2?ac?b2成立，命題得證。

22．已知x?1,y?1，用分析法證明：x?y??xy.x?y??xy，即證?x?y?2??1?xy?2，22【答案】要證22即證x?y?1?xy，即證x?11?y

因?yàn)?

?2????2??0，??0，不等式得證． x?1,y?1，所以x2?1?0,1?y2?0，22所以x?11?y

第二篇：高三推理證明與數(shù)學(xué)歸納法一輪復(fù)習(xí)

第十六模塊推理證明與數(shù)學(xué)歸納法

第一部分合情推理與演繹推理

一、推理?設(shè)?前提：已知的事實(shí)或假 斷?結(jié)論：由前提推出的判

??歸納推理合情推理??

二、推理分類? ?類比推理?演繹推理?主要講三段論推理??

合情推理：前提為真，結(jié)論可能為真的推理

演繹推理：前提為真，結(jié)論必然為真的推理

合情推理的意義，可以根據(jù)條件猜測(cè)結(jié)論，為證明提供方向。

歸納推理：根據(jù)一類事物部分對(duì)象具有的性質(zhì)推出這類事物所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理。

類比推理：根據(jù)兩類事物A與B有某些性質(zhì)P類似（或完全相同）。若A類事物還有性質(zhì)q可猜測(cè)B事物也有q的性質(zhì)。

例母雞與母鴨都是家禽類，母鴨會(huì)下蛋，類比推理母雞也會(huì)下蛋。

母雞與母鴨都是家禽類，母鴨會(huì)游泳，類比推理母雞也會(huì)游泳。

白母鴨與黑母鴨都是家禽類，白母鴨會(huì)游泳，類比推理黑母鴨也會(huì)游泳。

三段論推理：

大前提：一般性的判斷，如性質(zhì)，公理，定理，公式，已知常識(shí)等

小前提：已知條件

結(jié)論：由大前提和小前提推出的判斷

例：用三段論推理證明下面問題

已知：AB//CD,求證：∠1=∠

22大前提：兩直線平行，同位角相等

小前提：∠1與∠2是同位角，結(jié)論：∠1=∠2

第二部分直接證明與間接證明

??綜合法?直接證明?證明方法??分析法

?間接證明：?反證法??

一、綜合法由因到果（略）

二、分析法：由果索因

若a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：lg

要想結(jié)論成立 只需lga?bb?cc?a?lg?lg?lga?lgb?lgc 222a?bb?cc?a..?lgabc成立 22

2由于y=lgx在x??0,???上為增函數(shù) a?bb?cc?a..?abc①成立 222

a?bb?cc?a??ab;?;?caa,b,c?R由于a,b,c是不全相等的正數(shù)故 因?yàn)?22

a?bb?cc?a..?abca,b,c是不全相等的正數(shù)，所以等號(hào)取不到 所以222故這只需??

所以①成立。

所以原命題正確

分析法套話：要想?成立

只需?成立

這只需?成立

即?成立（變形）

因?yàn)?所以?顯然成立

所以原命題正確

練習(xí)：

設(shè)a,b,c為任意三角形的三邊長，I=a+b+c,S=ab+bc+ca

試證：I2?4S

證明：要想結(jié)論成立

只需?a?b?c??4?ab?bc?ca?成立① 2

這只需

即需

即需a222?b?c?2ab?2bc?2ca?0成立② 2222?a?ab?ac???b?bc?ba???c?ca?cb??0成立③ a

2?ab?ac?0,b?bc?ba?0,c?ca?cb?0成立④ 22?a?b?c,b?a?c,c?a?b ∴a?ab?ac?0,b?bc?ba?0,c?ca?cb?0顯然成立 22

分析：①?②?③?④?

分析法的每一步只要找上一步成立的充分性條件即可

⑵是否存在常數(shù)c,使得不等式xyxy??c??對(duì)任意的x,y恒成2x?yx?2yx?2y2x?y

立？試證明你的結(jié)論

分析：特值法找到c,再利用分析法證明

三、反證法：

1、證明格式：首先做出與問題結(jié)論相反的假設(shè)

從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證得出矛盾

所以假設(shè)不成立，原命題正確

注：這里的矛盾指的是與已知的矛盾，與假設(shè)矛盾，與公理，性質(zhì)，定理矛盾。例已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0

求證：a>0,b>0,c>0

師生活動(dòng)：把“全（都）”，“不全（都）”，“至多”，“至少”化成恰好，找到原命題結(jié)論的否定結(jié)論。

A,b,c有3個(gè)數(shù)大于0，有0個(gè)數(shù)小于或等于0

a,b,c有2個(gè)數(shù)大于0，有1個(gè)數(shù)小于或等于0

a,b,c有1個(gè)數(shù)大于0，有2個(gè)數(shù)小于或等于0

a,b,c有0個(gè)數(shù)大于0，有3個(gè)數(shù)小于或等于0

從上面的分析可以看出，a,b,c全都大于0的反面是a,b,c至少有一個(gè)數(shù)小于或等于0 不妨設(shè)c≤0

由于abc>0故c≠0,故c<0以下略

第三部分?jǐn)?shù)學(xué)歸納法

一、數(shù)學(xué)歸納法證明步驟

1、奠基步：驗(yàn)證n?n時(shí)命題成立（n是使命題成立的最小自然數(shù)）002、遞推步：假設(shè)n=k時(shí)命題正確（此時(shí)默認(rèn)

納假設(shè)）

驗(yàn)證n=k+1時(shí)命題正確

3、綜上：n?n0?n?k時(shí)命題正確，所以這一步也叫做歸n,n?N0?命題成立

?等式問題?不等式問題??

二、數(shù)學(xué)歸納法類型題?數(shù)列問題

?整除問題???幾何問題

（一）等式問題

例求證：?n?1??n?2???n?n??

分析：⑴當(dāng)n=1(從哪看出來？)

左=？怎么算？兩頭代中間夾。

右=？兩頭代中間夾

∴左=右

∴n=1時(shí)命題正確

⑵假設(shè)n=k時(shí)命題正確。即?k?1??k?2???k?k??2n?1?2??2n?1?n?N ???2k?1?3??2k?1?k?N ???

（把n換成k抄一遍）

當(dāng)n=k+1時(shí)

左=？直接代入，再用“兩頭代中間夾”變形技巧把歸納假設(shè)找出來，用歸納假設(shè)證明問題。右=？直接代入

∴n=k+1時(shí)命題正確

綜上n?N*命題成立

證明：⑴當(dāng)n=1時(shí)

左=1+1=2，右=2?1?

22k1∴左=右 ∴n=1時(shí)命題正確 ⑵假設(shè)n=k時(shí)命題正確。即?k?1??k?2???k?k??

當(dāng)n=k+1時(shí)

右??1?3??2k?1?k?N ???2k?1?1?3??2k?1?

左=?k?2??k?3???2k?2?

??k?2???k?k??2k??2k?1???2k?2?

??k?1??k?2???k?k???2k?1??2

?2?1?3??2k?1? k?

1=右

∴n=k+1時(shí)命題正確

綜上n?N*命題成立

㈡ 不等式問題

用數(shù)學(xué)歸納法證明

1?111*????n?nn?N,n?1 232?1

11? 23??證明：當(dāng)n=2時(shí) 左=1?

右=2

∴左<右

∴n=2時(shí)命題正確

假設(shè)n=k時(shí)命題正確，即1?

當(dāng)n=k+1時(shí) 111????k?k成立 232?1

左=1?111????k?1 232?1

?1?11111???k?k??k?1 232?122?1

∴n=k+1命題成立

∴n?2,n?N*命題成立

練習(xí)：

1、用數(shù)學(xué)歸納法證明n?㈢ 數(shù)列問題

㈣ 整除問題 N*時(shí)，111n ????2n?12n?12n?11?33?

5是否存在正整數(shù)m使得f?n???2n?7?3n?9對(duì)任何n?N能被m整除？若存在，求*

出最大m的值，若不存在說明理由

解釋“最大”的含義

例6,8,12能被1,2整除，其中最大的且能整除這3個(gè)數(shù)是2，這個(gè) 2也叫6,8,12最大公約數(shù)。其中本題“最大的m”指所有項(xiàng)的最大公約數(shù)

f（1）=36,f（2）=108=3×36,f（3）=360

猜想m=36

下證f?n???2n?7?3n?9能被36整除

證明：n=1時(shí)顯然成立

假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即f?k???2k?7?

當(dāng)n=k+1時(shí) 3k?9能被36整除

f?k?1???2?k?1??7?

3kk?1?9 ?1 ?3??2k?7??9?3?183

由二項(xiàng)式定理 ?k?1?

3k?1?1??2?1?

0k?11k?1?1 1k?21?Ck?1

2顯然1?Ck?121??Ck?121k?21k?2?Ck?121?1 k?10k?13k?1?1能被2整除

∴18?3k?1?1能被36整除 ?

∴f（k+1）能被36整除

∴n=k+1時(shí)命題成立

綜上n?

三常見問題 N*命題成立

1、投機(jī)取巧：奠基步不證明，例當(dāng)n?n時(shí)，左邊=右邊，所以n?n時(shí)命題正確 002、把歸納假設(shè)證明了

3、格式不完整，缺少最后總結(jié)語

4、推理中沒有用到歸納假設(shè)。在變形中一定要把假設(shè)變出來再用假設(shè)證明問題。

第三篇：2014屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)鞏固與練習(xí)：推理與證明推理與證明

鞏固

1．下列幾種推理過程是演繹推理的是()A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A與∠B是兩條直線的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝180°

B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人數(shù)均超過50人

C．由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì)

11D．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋)(n≥2)，由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式 2an－

1解析：選A.兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)(大前提)

∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角(小前提)

∠A＋∠B＝180°(結(jié)論)

2．下列表述正確的是()

①歸納推理是由部分到整體的推理 ②歸納推理是由一般到一般的推理 ③演繹推理是由一般到特殊的推理 ④類比推理是由特殊到一般的推理 ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理

A．①②③B．②③④

C．②④⑤D．①③⑤

解析：選D.歸納推理是由部分到整體的推理，演繹推理是由一般到特殊的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理．

3．下面使用類比推理恰當(dāng)?shù)氖?)

A．“若a23＝b23，則a＝b”類推出“若a20＝b20，則a＝b”

a＋babB．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“ cc

a＋babC．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“c≠0)” ccc

nnnnnnD．“(ab)＝ab”類推出“(a＋b)＝a＋b” c

解析：選C.由類比推理的特點(diǎn)可知．

4．(2010年安徽省皖南八校高三調(diào)研)定義集合A，B的運(yùn)算：A?B＝{x|x∈A或x∈B且x?(A∩B)}，則A?B?A＝________.解析：如圖，A?B表示的是陰影部分，設(shè)A?B＝C，運(yùn)用類比的方法可知，C?A＝B，所以A?B?A＝B

.答案：B

5．(2009年高考浙江卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，________，________，T16成等比數(shù)列． T1

2解析：由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，因此當(dāng)?shù)炔顢?shù)列依次每4項(xiàng)之和仍成等差數(shù)列時(shí)，類比到等比數(shù)列為依次每4項(xiàng)的積的商成等比數(shù)列．下面證明該結(jié)論的正確性：

設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，首項(xiàng)為b1，則T4＝b1q，T8＝b1q＝b1q，121＋2＋?＋111266

T12＝b1q＝b1q，4681＋2＋?＋7828

T8T12422438

＝b1q，T4T8T82T12T8T12

即)2T4，故T4，成等比數(shù)列． T4T8T4T8

T8T12

答案：T4T8

6．等差數(shù)列{an}中，公差為d，前n項(xiàng)的和為Sn，有如下性質(zhì)：(1)通項(xiàng)an＝am＋(n－m)d；

*

(2)若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N，則am＋an＝ap＋aq；(3)若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap；

(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等差數(shù)列．

∴＝b1q，請(qǐng)類比出等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)．

解：等比數(shù)列{an}中，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，則可以推出以下性質(zhì)：

n－m

(1)an＝amq；

*

(2)若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N，則am2an＝ap2aq；

(3)若m＋n＝2p，則am2an＝ap；

(4)當(dāng)q≠－1時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等比數(shù)列．

練習(xí)

1．下列平面圖形中與空間的平行六面體作為類比對(duì)象較合適的是()A．三角形B．梯形 C．平行四邊形D．矩形

解析：選C.因?yàn)槠叫辛骟w相對(duì)的兩個(gè)面互相平行，類比平面圖形，則相對(duì)的兩條邊互相平行，故選C.7598139b＋mb2，>>，?若a>b>0且m>0，則()

10811102521a＋maA．相等B．前者大 C．后者大D．不確定

b＋mb

解析：選B.觀察題設(shè)規(guī)律，由歸納推理易得.a＋ma

3．“所有9的倍數(shù)(M)都是3的倍數(shù)(P)，某奇數(shù)(S)是9的倍數(shù)(M)，故此奇數(shù)(S)是3的倍數(shù)(P)”，上述推理是()

A．小前提錯(cuò)B．結(jié)論錯(cuò) C．正確的D．大前提錯(cuò) 解析：選C.大前提正確，小前提正確，故命題正確． 4．下列推理是歸納推理的是()

A．A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的軌跡為橢圓

B.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式

x2y2

C．由圓x＋y＝r的面積πr，猜想出橢圓＝1的面積S＝πab

ab

D．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛水艇

解析：選B.從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理．

5．給出下列三個(gè)類比結(jié)論．

nnnnnnn

①(ab)＝ab與(a＋b)類比，則有(a＋b)＝a＋b；

②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ；

2222222

③(a＋b)＝a＋2ab＋b與(a＋b)類比，則有(a＋b)＝a＋2a2b＋b.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()

A．0B．1 C．2D．3 解析：選B.③正確．

6．觀察圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n≥2)個(gè)圓點(diǎn)，第n個(gè)圖案中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是an，按此規(guī)律推斷出所有圓點(diǎn)總和Sn與n的關(guān)系式為（）

A．Sn＝2n－2nB．Sn＝2n

C．Sn＝4n－3nD．Sn＝2n＋2n

解析：選A.事實(shí)上由合情推理的本質(zhì)：由特殊到一般，當(dāng)n＝2時(shí)有S2＝4，分別代入即可淘汰B，C，D三選項(xiàng)，從而選A.也可以觀察各個(gè)正方形圖案可知圓點(diǎn)個(gè)數(shù)可視為首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，因此所有圓點(diǎn)總和即為等差數(shù)列前n－1項(xiàng)和，即Sn＝(n－1)34(n－1)(n－2)2＋2n－2n.7．y＝cosx(x∈R)是周期函數(shù)，演繹推理過程為________． 答案：大前提：三角函數(shù)是周期函數(shù)； 小前提：y＝cosx(x∈R)是三角函數(shù)； 結(jié)論：y＝cosx(x∈R)是周期函數(shù)．

8．對(duì)于非零實(shí)數(shù)a，b，以下四個(gè)命題都成立：

12222

①aa＋b)＝a＋2ab＋b；③若|a|＝|b|，則a＝±b；④若a＝ab，則a

a

＝b.那么，對(duì)于非零復(fù)數(shù)a，b，仍然成立的命題的所有序號(hào)是________．

解析：對(duì)于①，當(dāng)a＝i時(shí)，ai＋i－i＝0，故①不成立；

ai

對(duì)于②④，由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的性質(zhì)知，仍然成立．

對(duì)于③，取a＝1，b＝i，則|a|＝|b|，但a≠±b，故③不成立． 答案：②④

9．已知數(shù)列2008,2009,1，－2008，－2009，?，這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前2009項(xiàng)之和S2009等于________．

解析：數(shù)列前幾項(xiàng)依次為2008,2009,1，－2008，－2009，－1,2008,2009，?每6項(xiàng)一循環(huán)，前6項(xiàng)之和為0，故前2009項(xiàng)包含334個(gè)周期和前5個(gè)數(shù)，故其和為2008＋2009＋1－2008－2009＝1.答案：1

10．用三段論的形式寫出下列演繹推理．

(1)若兩角是對(duì)頂角，則該兩角相等，所以若兩角不相等，則該兩角不是對(duì)頂角；(2)矩形的對(duì)角線相等，正方形是矩形，所以，正方形的對(duì)角線相等． 解：(1)兩個(gè)角是對(duì)頂角

則兩角相等，大前提 ∠1和∠2不相等，小前提 ∠1和∠2不是對(duì)頂角.結(jié)論

(2)每一個(gè)矩形的對(duì)角線相等，大前提 正方形是矩形，小前提 正方形的對(duì)角線相等.結(jié)論 11.觀察：

(1)tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；

(2)tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝1.由以上兩式成立，推廣到一般結(jié)論，寫出你的推論． 解：若銳角α，β，γ滿足α＋β＋γ＝90°，則tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanαtanγ＝1.12．已知等差數(shù)列{an}的公差d＝2，首項(xiàng)a1＝5.(1)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；

(2)設(shè)Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并歸納出Sn與Tn的大小規(guī)律．

解：(1)由已知a1＝5，d＝2，∴an＝a1＋(n－1)2d＝5＋2(n－1)＝2n＋3.∴Sn＝n(n＋4)．

(2)Tn＝n(2an－5)＝n[2(2n＋3)－5]，∴Tn＝4n＋n.22

∴T1＝5，T2＝432＋2＝18，T3＝433＋3＝39，T4＝4342＋4＝68，T5＝4352＋5＝105.S1＝5，S2＝23(2＋4)＝12，S3＝33(3＋4)＝21，S4＝43(4＋4)＝32，S5＝53(5＋4)＝45.由此可知S1＝T1，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn

第四篇：高三推理與證明專題復(fù)習(xí)

推理與證明專題復(fù)習(xí)

中心發(fā)言人：王 鑫

時(shí)間：2013年04月22日

教學(xué)目標(biāo)

推理與證明

重點(diǎn)與難點(diǎn)

合情推理與演繹推理、直接證明與間接證明

教學(xué)過程

知識(shí)要點(diǎn)

1．推理

(1)歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征(或性質(zhì))，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征(或性質(zhì))的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，叫做歸納推理(簡稱歸納)．歸納推理是由特殊到一般、部分到整體的推理．

(2)類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，叫做類比推理(簡稱類比)．類比推理是由特殊到特殊的推理．

(3)演繹推理：根據(jù)一般性的真命題(或邏輯規(guī)則)導(dǎo)出特殊性命題為真的推理．常用模式“三段論”：大前提、小前提、結(jié)論．

2．?dāng)?shù)學(xué)證明

(1)直接證明：分析法和綜合法是兩種思路相反的證明推理方法．

①分析法：從欲證結(jié)論出發(fā)，對(duì)結(jié)論進(jìn)行等價(jià)變形，建立未知結(jié)論和已知的“條件，結(jié)論”因果關(guān)系；

②綜合法：從已知條件和結(jié)論出發(fā)，以演繹推理中的“三段論”規(guī)則為工具，推出未知結(jié)論；

說明：分析法是倒溯，綜合法是順推．分析法側(cè)重于結(jié)論提供的信息，綜合法則側(cè)重于條件提供的信息，把兩者結(jié)合起來，全方位地收集、儲(chǔ)存、加工和運(yùn)用題目提供的全部信息，才能找到合理的解題思路．沒有分析，就沒有綜合，分析是綜合的基礎(chǔ)，它們相輔相成是對(duì)立統(tǒng)一的．

(2)間接證明：反證法是一種間接證明命題的方法，它從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而肯定命題的結(jié)論．證明欲證命題的等價(jià)命題—逆否命題.典例解析

f(x)?

例

1設(shè)，先分別求f(0)?f(1),f(?1)?f(2),f(?2)?f(3),，然后歸納猜想

一般性結(jié)論，并給出證明。

分析：由f(x)?計(jì)算各和式?得出結(jié)論?歸納猜想?證明

f(0)?f(1)?

?

?

?，同理可得

：

解

：

f(?1)?

f(2)?

f(?2)?f(3)?

證明：設(shè)x1?x2?

1,f(x1?x2)?

?

?

?

?

?

?

???,1?上是增函數(shù)；

例2（1）證明函數(shù)f(x)??x?2x在（2）當(dāng)x?[?5,?2]時(shí)，f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)？

分析：（1）證明本題的大前提是增函數(shù)的定義，即增函數(shù)f(x)滿足：在給定區(qū)間內(nèi)任取自變量的兩個(gè)值

x1,x

2且

x1?x2，f(x1)?f(x2)，小前提是函數(shù)

f(x)??x?2x，x∈

???,1?，結(jié)論滿足增函數(shù)定義。（2）關(guān)鍵是看[?5,?2]與f(x)的增區(qū)間或減區(qū)間的關(guān)系.證明：（1）

方法一：

任取

x1,x2

∈

???,1?，x1?x2

則

f(x1)?f(x2)?(x2?x1)(x2?x1?2),?x1?x2?1,?x2?x1?2?0,?f(x1)?f(x2)?0,f(x1)?f(x2)

于是，根據(jù)“三段論”可知，方法二：

'

f(x)??x?2x

在???,1?上是增函數(shù).'

?f(x)??2x?2??2(x?1),當(dāng)x?(??,1)時(shí)，x?1?0,??2(x?1)?0,?f(x)?0在x?(??,1)上恒成立.故f(x)在(??,1]上是增函數(shù)。

???,1?的子區(qū)間，∴f(x)在解（2）∵f(x)在(??,1]上是增函數(shù)，而[?5,?2]是區(qū)間

[?5,?2]

上是增函數(shù).例3設(shè)P為?ABC內(nèi)一點(diǎn)，?ABC三邊上的高為hA,hB,hC，P到三邊的距離為lA,lB,lC，則有

lAhA

?lBhB

?lChC

?

類比到空間中，設(shè)P是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，四頂點(diǎn)到對(duì)面的距離

分別為hA,hB,hC,hD，P到四個(gè)面的距離為lA,lB,lC,lD，則有：解析：面積法：

lAhA

?lBhB

?lChC

?1；體積法：

lAhA

?lBhB

?lChC

?lDhD

?1

??a?b

?????

例 4（分析法）已知非零向量a,b，且a?b，求證：|a?b|.?2?2

????a?a

b?0。同意注意，分析：a?b?a?，將要證式子變形平方即可獲證。

??a?b

????

?????a?b?a?b||a?b|a?ba?

b?0證明：∵∴，要證，只需證，只需證 ?2???2?2???2?2???2?2?2

a?2ab?b?2(a?2a?b?b),只需證a?2ab?b?2a?2b，?2?2????

只需證a?b?2ab?0，即（a?b）?0，上式顯然成立，故原不等式得證。

13.例5（綜合法）已知x+y+z=1，求證

x?y?z?

222

分析：利用a2?b2?2ab，同時(shí)變形利用x+y+z=1，從而(x?y?z)2=1可證。證明：

?x?y?2xy,x?z?2xz,y?z?2yz,222222

?2x?2y?z?2xy?2xz?2yz.?3x?3y?3z?x?y?z?2xy?2xz?2yz?3(x?y?z)?(x?y?z)?1?x?y?z?

31??

?x?R,x??ax?1?a?x?1

.例6（反證法）給定實(shí)數(shù)a,a?0且a?1，設(shè)函數(shù)y?

求證：經(jīng)過該函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸.證明：假設(shè)y1?

y2(x1?x2)，即：

x1?1ax1?1

?x2?1ax2?1

?(x1?1)(ax2?1)?(x2?1)(ax1?1)

?(a?1)(x1?x2)?0

.因?yàn)閤1?x2，所以x1?x2?0，則a?1?0，即a?1這與已知條件相矛盾，故原命題成立.綜合訓(xùn)練

1.下列表述正確的是（D）.①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；

⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.2．分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的（A）Ａ．充分條件 Ｂ．必要條件 Ｃ．充要條件 Ｄ．等價(jià)條件 3．有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b??

平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，?

這是因?yàn)椋ˋ）

A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.非以上錯(cuò)誤 4．實(shí)數(shù)a、b、c不全為0的條件是（A）

A．a(chǎn)、b、c均不為0；B．a(chǎn)、b、c中至少有一個(gè)為0； C．a(chǎn)、b、c至多有一個(gè)為0； D．a(chǎn)、b、c至少有一個(gè)不為0.5．自然數(shù)按下表的規(guī)律排列

1251017

|||| 4 — 361118||| 9 — 8 — 71219|| 16—15— 14 —1320| 25—24— 23 — 22 — 21

則上起第2 007行，左起第2 008列的數(shù)為(D)

A．2 0072B．2 0082C．2 006×2 007D．2 007×2 008 6．對(duì)大于或等于2的自然數(shù)m的n次方冪有如下分解方式：

22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19 根據(jù)上述分解規(guī)律，則5＝1＋3＋5＋7＋9；若m(m∈N)的分解中最小的數(shù)是21，則m的值為5.7．在?ABC中，?A,?B,?C成等差數(shù)列，其對(duì)邊分別為a,b,c.求證：（提示：變形為

ca?b

?

aa?c

?1?a?c?ac?b

23*

1a?b

?

1b?c

?

3a?b?c

.；?B?600，用余弦定理即可）.?lg

b?c2

?lg

c?a2

?lga?lgb?lgc

8.若a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：lg

a?b2

.14

9.若a,b,c都是小于1的正數(shù)，求證：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a三個(gè)數(shù)不可能同時(shí)大于.

第五篇：2013版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練 推理與證明

安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)附中2013版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練：推理與證明

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．

第Ⅰ卷(選擇題 共60分)

一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1．用反證法證明命題“a，b?N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個(gè)能被5整除．則假設(shè)的內(nèi)容是()

A．a(chǎn)，b都能被5整除 C．a(chǎn)不能被5整除【答案】B

2．設(shè)n為正整數(shù),f(n)?1?

f(16)?3,f(32)?

212?13?...?

1n

B．a(chǎn)，b都不能被5整除

D．a(chǎn)，b有1個(gè)不能被5整除

52,經(jīng)計(jì)算得f(2)?,f(4)?2,f(8)?，觀察上述結(jié)果,可推測(cè)出一般結(jié)論()

A． f(2n)?【答案】B

2n?12

n

B．f(2)?

n?22

2C． f(n)?

n?22

D．以上都不對(duì)

3．用反證法證明命題“若a2?b2?0，則a,b全為0”其反設(shè)正確的是()

A．a(chǎn),b至少有一個(gè)不為0 C． a,b全不為0【答案】A

4．給出下面四個(gè)類比結(jié)論：

①實(shí)數(shù)a,b,若ab?0則a?0或b?0；類比向量a,b,若a?b?0，則a?0或b?0 ②實(shí)數(shù)a,b,有(a?b)?a?2ab?b;類比向量a,b,有(a?b)?a?2a?b?b

B． a,b至少有一個(gè)為0

D． a,b中只有一個(gè)為0

③向量a

?a；類比復(fù)數(shù)z，有z

?z

2222

④實(shí)數(shù)a,b有a?b?0，則a?b?0；類比復(fù)數(shù)z，z2有z1?z2?0，則z1?z2?0

其中類比結(jié)論正確的命題個(gè)數(shù)為()A．0 【答案】B

B．

1C．2

D．

35．若定義在正整數(shù)有序?qū)仙系亩瘮?shù)f(x,y)滿足：①f(x,x)?x，②f(x,y)?f(y,x)③

(x?y)f(x,y)?yf(x,x?y)，則f(12,16)的值是()

A．12 B． 16 C．24 D．48 【答案】D

6．用反證法證明命題：“若整數(shù)系數(shù)一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有有理根，那么 a,b,c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，應(yīng)假設(shè)()

A．a(chǎn),b,c中至多一個(gè)是偶數(shù) C． a,b,c中全是奇數(shù) 【答案】C 7．由

710

?5811,9?81025,13

?921

B． a,b,c中至少一個(gè)是奇數(shù)

D． a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù),?若a>b>0,m>0,則

b?ma?m

與

ba

之間大小關(guān)系為()D．不確定

A．相等 B．前者大 C．后者大

【答案】B

8．下面幾種推理過程是演繹推理的是()

A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果?A和?B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則?A??B?180?． B．由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體性質(zhì)．

C．某校高三共有10個(gè)班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測(cè)各班都超過50人． D．在數(shù)列?an?中，a1?1,an?【答案】A

9．在求證“數(shù)列2，3，,5 不可能為等比數(shù)列”時(shí)最好采用()

A．分析法

B．綜合法

C．反證法

D．直接法

1?1?

a??n?1??n?2?，由此歸納出?an?的通項(xiàng)公式． 2?an?1?

【答案】C

10．下列哪個(gè)平面圖形與空間的平行六面體作為類比對(duì)象比較合適()

A．三角形

C．平行四邊形

B．梯形 D．矩形

【答案】C

11．給出下列四個(gè)推導(dǎo)過程：

①∵a，b∈Ｒ＋，∴（b／a）+（a／b）≥2②∵x，y∈Ｒ＋，∴lgx+lgy≥2

;

=2;

③∵a∈R，a≠0， ∴（4／a）+a≥2 ④∵x，y∈R，xy＜0，=4;

∴（x／y）+（y／x）=-［（-（x／y））+（-（y／x））］≤-2其中正確的是()A．①② 【答案】D

B．②③

C．③④

D．①④

=-2.12．在證明命題“對(duì)于任意角?，cos4??sin4??cos2?”的過程：

“cos4??sin4??(cos2??sin2?)(cos2??sin2?)?cos2??sin2??cos2?”中應(yīng)用了()A．分析法

B．綜合法 D．間接證法

C．分析法和綜合法綜合使用 【答案】Ｂ

第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)

二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．觀察下列式子：1?

2?

32，1+

?

3?

54，1?

?

?

?

???，由此可歸納出的一般結(jié)

論是．

【答案】

14．三段論推理的規(guī)則為____________ ①如果p?q,p真，則q真;②如果b?c,a?b則a?c;③如果a//b,b//c, 則a//c④如果a?b,b?c,則a?c 【答案】②

a2b2ab

15．若a、b是正常數(shù)，a≠b，x、y∈(0，＋∞)＝xyxy49??

1論，可以得到函數(shù)f(x)＝x∈0，?的最小值為____________．

x1－2x??2??【答案】3

516．同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案，則按此規(guī)律第23個(gè)圖案中需用黑色瓷磚

塊

.【答案】100

三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．如圖，已知PA?矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)． 求證：（1）MN∥平面PAD；（2）MN?CD．

【答案】（1）取PD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，NE． 分別為PC，PD的中點(diǎn)． ∴EN為△PCD的中位線，∵N，E

∥∴EN

CD，AM?

AB，而ABCD為矩形，∴CD∥AB∴EN∥AM∴AENM，且CD?AB．，且EN?AM．

．

為平行四邊形，MN∥AE，而MN?平面PAC，AE?平面PAD，∴MN∥平面PAD∴CD?PA

(2）∵PA?矩形ABCD所在平面，而CD?AD，PA與AD是平面PAD內(nèi)的兩條直交直線，∴CD?平面PAD，而AE?平面PAD，．

又∵M(jìn)N∥AE，∴MN?CD．

∴AE?CD

18．若x,y都是正實(shí)數(shù)，且x?y?2, 求證：

1?xy

1?xy

?2

與

1?yx

?2中至少有一個(gè)成立.【答案】假設(shè)

?2

和

1?yx

?2都不成立，則有

1?xy

?2和

1?yx

?2同時(shí)成立，因?yàn)閤?0且y?0，所以1?x?2y且1?y?2x 兩式相加，得2?x?y?2x?2y.所以x?y?2，這與已知條件x?y?2矛盾.因此

1?xy

?2

和

1?yx

?2中至少有一個(gè)成立.19．有一種密英文的明文(真實(shí)文)按字母分解,其中英文的a,b,c,?,z的26個(gè)字母(不分大小寫),依次對(duì)應(yīng)1,2,3,?,26這26個(gè)自然數(shù),見如下表格

:

給出如下變換公式:

?x?1

(x?N,1?x?26,x不能被2整除)??2'

X??

?x?13(x?N,1?x?26,x能被2整除)??2

85+1

將明文轉(zhuǎn)換成密文,如8→+13=17,即h變成q；如5→=3，即e變成c.22①按上述規(guī)定，將明文good譯成的密文是什么？

②按上述規(guī)定，若將某明文譯成的密文是shxc，那么原來的明文是什么？ 【答案】①g→7→

7+115+1

=4→d;o→15→=8→h;d→o;22

則明文good的密文為dhho ②逆變換公式為

'''

??2x?1(x?N,1?x?13)

x??

'''

??2x?26(x?N,14?x?26)

則有s→19→2×19-26=12→l；h→8→2×8-1=15→o； x→24→2×24-26=22→v；c→3→2×3-1=5→e 故密文shxc的明文為love

20．已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)，求證：a也是偶數(shù)． 【答案】（反證法）假設(shè)a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)．

設(shè)a?2n?1(n?Z)，則a2?4n2?4n?1．

∵4(n?n)是偶數(shù)，22

∴4n?4n?1是奇數(shù)，這與已知a是偶數(shù)矛盾．

由上述矛盾可知，a一定是偶數(shù)．

?a?b?c)．

【答案】因?yàn)閍2?b2≥2ab，所以2(a2?b2)≥a2?b2?2ab（此處省略了大前提），?b≥2，a?b)（兩次省略了大前提，小前提）

同理，b?c)2

c?a)，a?b?c)．

?(省略了大前提，小前提）

n

22．設(shè) f(x)＝x＋a.記f(x)＝f(x)，f(x)＝f(f

n－1

(x))，n＝1，2，3，?，1n

M＝{a∈R|對(duì)所有正整數(shù)n，|f(0)|≤2}．證明，M＝[－2，]．

4【答案】⑴ 如果a＜－2，則|f(0)|＝|a|＞2，a∈/M．

11nn－12

⑵ 如果－2≤a≤f(0)＝a，f(0)＝(f(0))＋a，n＝2，3，??．則

411n

① 當(dāng)0≤a≤|f(0)|≤，(?n≥1).42

事實(shí)上，當(dāng)n＝1時(shí)，|f(0)|＝|a|≤，設(shè)n＝k－1時(shí)成立(k≥2為某整數(shù)），21112

則對(duì)n＝k，|fk(0)|≤|fk－1(0)|＋a≤(2＋．

242

② 當(dāng)－2≤a＜0時(shí)，|f(0)|≤|a|，(?n≥1)．

事實(shí)上，當(dāng)n＝1時(shí)，|f1(0)|≤|a|，設(shè)n＝k－1時(shí)成立(k≥2為某整數(shù))，則對(duì)n＝k，有

n

－|a|＝a≤(fk－1(0))＋a≤a2＋a

注意到當(dāng)－2≤a＜0時(shí)，總有a2≤－2a，即a2＋a≤－a＝|a|．從而有|fk(0)|≤|a|．由歸納法，推出[－2，1

?M． 4

⑶ 當(dāng)a＞時(shí)，記an＝fn(0)，21n＋1n

則對(duì)于任意n≥1，an＞aan＋1＝f(0)＝f(f(0))＝f(an)＝an＋a．

21111

對(duì)于任意n≥1，an＋1－an＝an－an＋a＝(an)2＋a－a－．則an＋1－an≥a－．

2444

12－a1

所以，an＋1－a＝an＋1－a1≥n(a)．當(dāng)n＞時(shí)，an＋1＞n(a－)＋a＞2－a＋a＝2，414

a－

即fn＋1(0)＞2．因此a∈/M．綜合⑴，⑵，⑶，我們有M＝[－2，4