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2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國

II卷）

理科數(shù)學

一、選擇題

1.設集合，則s（）

A.B.C.D.答案：

A

解答：

或，∴.2.設,則在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

答案：

C

解析：，對應的點坐標為,故選C.3．已知，，則（）

A.B.C.D.答案：

C

解答：

∵，∴，解得，∴.4．2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就。實現(xiàn)月球背面軟著路需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系。為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地球月拉格朗日點的軌道運行，點是平衡點，位于地月連線的延長線上。設地球的質(zhì)量為，月球質(zhì)量為，地月距離為，點到月球的距離為，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，滿足方程。設。由于的值很小，因此在近似計算中，則的近似值為（）

A．

B．

C．

D．

答案：

D

解答：

所以有

化簡可得，可得。

5.演講比賽共有9位評委分別給出某位選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分。7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（）

A．

中位數(shù)

B．

平均數(shù)

C．

方差

D．極差

答案：

A

解答：

由于共9個評委，將評委所給分數(shù)從小到大排列，中位數(shù)是第5個，假設為，去掉一頭一尾的最低和最高分后，中位數(shù)還是，所以不變的是數(shù)字特征是中位數(shù)。其它的數(shù)字特征都會改變。

6.若，則（）

A.B.C.D.答案：

C

解答：

由函數(shù)在上是增函數(shù)，且，可得，即.7.設為兩個平面，則的充要條件是（）

A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行

B.內(nèi)有兩條相交直線與平行

C.平行于同一條直線

D.垂直于同一平面

答案：

B

解析：

根據(jù)面面平行的判定定理易得答案.選B.8.若拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，則（）

A.2

B.3

C.4

D.8

答案：

D

解答：

拋物線的焦點是，橢圓的焦點是，∴，∴.9.下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間單調(diào)遞增的是（）

A.B.C.D.答案：

A

解答：

對于A,函數(shù)的周期,在區(qū)間單調(diào)遞增,符合題意；

對于B,函數(shù)的周期,在區(qū)間單調(diào)遞減,不符合題意；

對于C，函數(shù)，周期,不符合題意；

對于D,函數(shù)的周期,不符合題意.10.已知，則（）

A.B.C.D.答案：

B

解析：，則，所以，所以.11.設為雙曲線的右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與圓交于

兩點，若，則的離心率為（）

A.B.C.D.答案:

A

解答：

∵，∴,又，∴

解得，即.12.已知函數(shù)的定義域為，且當時，若對任意的，都有，則的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

答案：

B

解答：

由當，且當時，可知當時，當時，……當時，函數(shù)值域隨變量的增大而逐漸減小，對任意的，都有有解得的取值范圍是。

二、填空題

13.我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進。經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20

個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為

.答案：

0.98

解答：

經(jīng)停該站的列出共有40個車次，所有車次的平均正點率的估計值為。

14.已知是奇函數(shù)，且當時,.若，則_______.答案：

解答：

∵，∴.15.的內(nèi)角的對邊分別為，若則的面積為_______.答案：

解析：,16.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有

個面，其棱長為

.(本題第一空2分，第二空3分.)

答案：

解析：

由圖2結(jié)合空間想象即可得到該正多面體有26個面；將該半正多面體補成正方體后，根據(jù)對稱性列方程求解.三、解答題

17.如圖，長方體的底面是正方形，點在棱上，（1）證明：平面;

（2）若，求二面角的正弦值.答案：

（1）見解析

（2）

解析：

（1）證明：∵平面，平面，∴，又，∴平面.（2）設底面邊長為，高為，∴，∵平面，∴即，∴解得.∵平面，∴，又，∴平面，故為平面的一個法向量.∵平面與平面為同一平面，故為平面的一個法向量，在中，∵故與成角，∴二面角的正弦值為.18.11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了個球該局比賽結(jié)束.（1）

求；

（2）

求事件“且甲獲勝”的概率.答案：

（1）；（2）

解析：

（1）

時，有兩種可能：

①甲連贏兩局結(jié)束比賽，此時；

②乙連贏兩局結(jié)束比賽，此時，∴；

（2）

且甲獲勝，即只有第二局乙獲勝，其他都是甲獲勝，此時.19.已知數(shù)列和滿足，，.（1）證明：

是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；

（2）求和的通項公式.答案：

（1）見解析

（2），.解析：

(1)將，相加可得，整理可得，又，故是首項為，公比為的等比數(shù)列.將，作差可得，整理可得，又，故是首項為，公差為的等差數(shù)列.（2）由是首項為，公比為的等比數(shù)列可得①；

由是首項為，公差為的等差數(shù)列可得②；

①②相加化簡得，①②相減化簡得。

20.已知函數(shù)

(1)

討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明函數(shù)有且只有兩個零點；

(2)

設是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線。

答案：

略

解答：

（1）函數(shù)的定義域為，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以在區(qū)間存在一個零點，且，所以在區(qū)間上也存在一個零點，所以函數(shù)有且只有2個零點；

（2）因為是函數(shù)的一個零點，所以有。曲線在處的切線方程為，曲線曲線當切線斜率為時，切點坐標為，切線方程為，化簡為，所以曲線在處的切線也是曲線的切線。

21.已知點，動點滿足直線和的斜率之積為，記的軌跡為曲線.（1）求的方程，并說明什么曲線；

（2）過坐標原點的直線交于兩點，點在第一象限，軸，垂足為，連結(jié)

并延長交于點.①證明：是直角三角形；

②求的面積的最大值.答案：

見解析

解答：

(1)由題意得：，化簡得：，表示焦點在軸上的橢圓（不含與軸的交點）.(2)

①依題意設，直線的斜率為，則，∴，又，∴，∴，即是直角三角形.②直線的方程為，聯(lián)立，得，則直線，聯(lián)立直線和橢圓，可得，則，∴，令，則，∴，∵，∴.四、選做題（2選1）

22.選修4-4（極坐標與參數(shù)方程）

在極坐標系中，為極點，點在曲線上，直線過點且與垂直，垂足為.（1）

當時，求及的極坐標方程；

（2）

當在上運動且在線段上時，求點軌跡的極坐標方程.答案：

（1），的極坐標方程：；

（2）

點軌跡的極坐標方程為.解答：

（1）

當時，以為原點，極軸為軸建立直角坐標系，在直角坐標系中有，，則直線的斜率，由點斜式可得直線：，化成極坐標方程為；

（2）

∵∴，則點的軌跡為以為直徑的圓，此時圓的直角坐標方程為，化成極坐標方程為，又在線段上，由可得，∴點軌跡的極坐標方程為.23.選修4-5（不等式選講）

已知。

（1）當時，求不等式的解集；

（2）若時，求的取值范圍。

答案：

略

解答：

（1）當時，所以不等式等價于或或解得不等式的解集為。

（2）當時，由，可知恒成立，當時根據(jù)條件可知不恒成立。所以的取值范圍是。