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2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)

III卷）

理科數(shù)學(xué)

一．

選擇題

1、已知集合，則（）

A.B.B.C.C.D.D.答案：

A

解答：，所以.2.若，則（）

A.B.C.D.答案：

D

解答：,.3.《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著，某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（）

A.B.C.D.答案：

C

解答：

4.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）

A.B.C.D.答案：

A

解答：

由題意可知含的項(xiàng)為，所以系數(shù)為.5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）

A.B.C.D.答案：

C

解答：

設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，由已知得，因?yàn)榍?，則可解得，又因?yàn)?，即可解得，則.6.已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）

A.,B.,C.,D.,答案：

D

解析：

令，則，得.，可得.故選D.7.函數(shù)在的圖像大致為（）

A.B.C.D.答案：

B

解析：

∵，∴，∴為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)C.又∵，根據(jù)圖像進(jìn)行判斷，可知選項(xiàng)B符合題意.8.如圖，點(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點(diǎn)，則（）

A.，且直線，是相交直線

B.，且直線，是相交直線

C.，且直線，是異面直線

D.，且直線，是異面直線

答案：

B

解析：

因?yàn)橹本€，都是平面內(nèi)的直線，且不平行，即直線，是相交直線，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則由題意可得：，根據(jù)余弦定理可得：，所以，故選B.9.執(zhí)行右邊的程序框圖，如果輸出為，則輸出的值等于（）

A.B.C.D.答案：

C

解析：

第一次循環(huán)：；

第二次循環(huán)：；

第三次循環(huán)：；

第四次循環(huán)：；

…

第七次循環(huán)：，此時(shí)循環(huán)結(jié)束，可得.故選C.10.雙曲線：的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為的一條漸近線的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若則的面積為（）

A:

B:

C:

D:

答案:

A

解析：

由雙曲線的方程可得一條漸近線方程為；在中過(guò)點(diǎn)做垂直因?yàn)榈玫?所以;故選A;

11.若是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，則（）

A.B.C.D.答案：

C

解析:

依據(jù)題意函數(shù)為偶函數(shù)且函數(shù)在單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；因?yàn)?；又因?yàn)?；所以；故選C.12.設(shè)函數(shù)，已知在有且僅有個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：

在有且僅有個(gè)極大值點(diǎn)

在有且僅有個(gè)極小值點(diǎn)

在單調(diào)遞增的取值范圍是

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是

A.B.C.D.答案：

D

解析：

根據(jù)題意，畫(huà)出草圖，由圖可知，由題意可得，解得，所以，解得，故對(duì)；

令得，∴圖像中軸右側(cè)第一個(gè)最值點(diǎn)為最大值點(diǎn)，故對(duì)；

∵，∴在有個(gè)或個(gè)極小值點(diǎn)，故錯(cuò)；

∵，∴，故對(duì).二.填空題

13.已知，為單位向量，且，若，則

.答案：

解析：

∵，∴，∵，∴.14.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則

.答案：

解析：

設(shè)該等差數(shù)列的公差為，∵，∴，故，∴.15.設(shè)、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，若為等腰三角形，則的坐標(biāo)為_(kāi)_______.答案：

解析：

已知橢圓可知，，由為上一點(diǎn)且在第一象限，故等腰三角形中，，，代入可得.故的坐標(biāo)為.16.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用D打印技術(shù)制作模型。如圖，該模型為長(zhǎng)方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長(zhǎng)方體的中心，分別為所在棱的中點(diǎn)，,D打印機(jī)所用原料密度為，不考慮打印損耗，則作該模型所需原料的質(zhì)量為

.答案：

解答：，..三．解答題

17.為了解甲，乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同，摩爾溶度相同。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記為事件“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到的估計(jì)值為0.70.（1）

求乙離子殘留百分比直方圖中的值；

（2）

分別估計(jì)甲，乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.答案：

見(jiàn)解析

解答:

（1）

依題意得，解得.（2）

得到甲離子殘留百分比的平均值為4.05,，乙離子殘留百分比的平均值為5.7.18.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.(1求B;

(2)

若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.答案：

（1）

（2）見(jiàn)解析

解析：

因?yàn)椋唤Y(jié)合正弦定理,得,即；得到；

（2）

因?yàn)?所以又因?yàn)?;又因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)闉殇J角，若越大越大，則越小越?。辉酱螅?；所以，所以.19.圖1是由矩形，和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，.將其沿折起使得與重合，連結(jié)，如圖2.（1）證明：圖2中的四點(diǎn)共面，且平面平面；

（2）求圖2中的二面角的大小.答案：

見(jiàn)解析

解析：

證明：（1）由題意知，，又，平面，又平面，平面平面.(2)分別取，的中點(diǎn)為，連結(jié)，則，四邊形為棱形，且60，又平面，即平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,，令，則,得到，平面的一個(gè)法向量為，,故二面角的大小為.20.已知函數(shù).（1）

討論的單調(diào)性；

（2）

是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為？若存在，求出的所有值；若不存在，說(shuō)明理由.答案：

見(jiàn)解析

解析：

（1）

?當(dāng)時(shí)，此時(shí)在單調(diào)遞增.?當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得.此時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.?當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得.此時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上可得，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）

由（1）中結(jié)論可知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，此時(shí)，∴，滿足題意.當(dāng)時(shí)，若，即，則在單調(diào)遞減，此時(shí)，∴，滿足題意.若，即，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.此時(shí)?

∵

∴當(dāng)時(shí)，?，由??可得，與矛盾，故不成立.當(dāng)時(shí)，?，由??可得，與矛盾，故不成立.綜上可知，或滿足題意.21.已知曲線，為直線上的動(dòng)點(diǎn).過(guò)作的兩條切線,切點(diǎn)分別是，（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn);

（2）若以為圓心的圓與直線相切,且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn),求四邊形的面積.答案：

見(jiàn)解析；

解答：

（1）當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，設(shè)過(guò)的直線方程為，與曲線聯(lián)立化簡(jiǎn)得，由于直線與曲線相切，則有，解得，并求得坐標(biāo)分別為，所以直線的方程為；

當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)不為時(shí)，設(shè)直線的方程為（），由已知可得直線

不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)即，聯(lián)立直線方程與曲線的方程可得，消并化簡(jiǎn)得，∵有兩個(gè)交點(diǎn)∴，設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理有，，由已知可得曲線為拋物線等價(jià)于函數(shù)的圖像，則有，則拋物線在上的切線方程為①，同理，拋物線在上的切線方程為②，聯(lián)立①，②并消去可得，由已知可得兩條切線的交點(diǎn)在直線上，則有，化簡(jiǎn)得，∵，∴，即，即為，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件，所以直線的方程為過(guò)定點(diǎn)，綜上所述，直線過(guò)定點(diǎn)得證.（2）由（1）得直線的方程為，當(dāng)時(shí)，即直線方程為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，以為圓心的圓與直線相切于恰為中點(diǎn)，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，直線方程與曲線方程聯(lián)立化簡(jiǎn)得，，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，由已知可得，即，解得，由對(duì)稱性不妨取，則直線方程為，求得的坐標(biāo)為，到直線距離，到直線距離，則，綜上所述，四邊形的面積為或.四．

選做題（2選1）

22.如圖，在極坐標(biāo)系中，，，弧，所在圓的圓心分別是，，曲線是弧,曲線是弧，曲線是弧.（1）分別寫(xiě)出，的極坐標(biāo)方程；

（2）曲線由，構(gòu)成，若點(diǎn)在上，且,求的極坐標(biāo).答案：

見(jiàn)解答

解答：

（1）

由題意可知，的直角坐標(biāo)方程為：，，所以，的極坐標(biāo)為，.（2）

時(shí)，，時(shí)，或，時(shí)，，所以點(diǎn)的極坐標(biāo)為，，.23.設(shè)，且.（1）求的最小值；

（2）若成立，證明：或.答案：

見(jiàn)解析

解析：

（1）

根據(jù)柯西不等式，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取最小值;

（2）

方法一：根據(jù)柯西不等式，證得或.方法二：令，有，證得或