第一篇：考研數(shù)學(xué)之高等數(shù)學(xué)講義第七章(考點知識點+概念定理總結(jié))

第七章

多元函數(shù)積分學(xué)

§7.1 二重積分

(甲)內(nèi)容要點

一、在直角坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序序問題

模型I：設(shè)有界閉區(qū)域

D??(x,y)a?x?b,?1(x)?y??2(x)? 其中?1(x),?2(x)在[a,b]上連續(xù)，f(x,y)在D上連續(xù)，則

b?2(x)??f(x,y)d????f(x,y)dxdy??dx??f(x,y)dyDDa1(x)

模型II：設(shè)有界閉區(qū)域

D??(x,y)c?y?d,?1(y)?x??2(y)?

其中?1(y),?2(y)在[c,d]上連續(xù)，f(x,y)在D上連續(xù)

d?2(y)

則 ??f(x,y)d????f(x,y)dxdy??dy??DDcf(x,y)dx

1(y)關(guān)于二重積分的計算主要根據(jù)模型I或模型II，把二重積分化為累次積分從而進(jìn)行計算，對于比較復(fù)雜的區(qū)域D如果既不符合模型I中關(guān)于D的要求，又不符合模型II中關(guān)于D的要求，那么就需要把D分解成一些小區(qū)域，使得每一個小區(qū)域能夠符合模型I或模型II中關(guān)于區(qū)域的要求，利用二重積分性質(zhì)，把大區(qū)域上二重積分等于這些小區(qū)域上二重積分之和，而每個小區(qū)域上的二重積分則可以化為累次積分進(jìn)行計算。

在直角坐標(biāo)系中兩種不同順序的累次積分的互相轉(zhuǎn)化是一種很重要的手段，具體做法是先把給定的累次積分反過來化為二重積分，求出它的積分區(qū)域D，然后根據(jù)D再把二重積分化為另外一種順序的累次積分。

二、在極坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分

在極坐標(biāo)系中一般只考慮一種順序的累次積分，也即先固定?對?進(jìn)行積分，然后再對?進(jìn)行積分，由于區(qū)域D的不同類型，也有幾種常用的模型。

模型I 設(shè)有界閉區(qū)域

D??(?,?)?????,?1(?)????2(?)? 107

其中?1(?),?2(?)在[?,?]上連續(xù)，f(x,y)?f(?cos?,?sin?)在D上連續(xù)。

??2(?)則 ??f(x,y)d????f(?cos?,?sin?)?d?d????d????DD1(f(?cos?,?sin?)?d?)模型II 設(shè)有界閉區(qū)域D??(?,?)?????,0????(?)?其中?(?)在[?,?]上連續(xù)，f(x,y)?f(?cos?,?sin?)在D上連續(xù)。

??(?)則 ??f(x,y)d????f(?cos?,?sin?)?d?d????d??f(?cos?,?sin?)?d?

DD0

§7.2 三重積分（數(shù)學(xué)一）

(甲)內(nèi)容要點 一、三重積分的計算方法

1、直角坐標(biāo)系中三重積分化為累次積分

（1）設(shè)?是空間的有界閉區(qū)域

??(x,y,z)z1(x,y)?z?z2(x,y),(x,y)?D ??其中D是xy平面上的有界閉區(qū)域，z1(x,y),z2(x,y)在D上連續(xù)函數(shù)f(x,y,z)在?上連續(xù)，則

z2(x,y)

???f(x,y,z)dv???dxdy??Df(x,y,z)dz

z1(x,y)（2）設(shè)??(x,y,z)??z??,(x,y)?D(z)其中D(z)為豎坐標(biāo)為z的平面上的有界閉區(qū)域，則

???

???f(x,y,z)dv???dz???f(x,y,z)dxdy

D(z)

2、柱坐標(biāo)系中三重積分的計算 ???f(x,y,z)dxdydz????f(rcos?,rsin?,z)rdrd?dz

??相當(dāng)于把(x,y)化為極坐標(biāo)（r,?）而z保持不變

3、球坐標(biāo)系中三重積分的計算

?x??sin?cos???y??sin?sin??z??cos?????0???0?????? ???0???2??

???f(x,y,z)dxdydz????f(?sin?cos?,???sin?sin?,?cos?)?2sin?d?d?d?

§7.3 曲線積分（數(shù)學(xué)一）

(甲)內(nèi)容要點

一、第一類 曲線積分（對弧長的曲線積分）參數(shù)計算公式

我們只討論空間情形（平面情形類似）設(shè)空間曲線L的參數(shù)方程 x?x(t),y?y(t),z?z(t),(??t??)

則 ?Lf(x,y,z)ds??f?x(t),y(t),z(t)??x?(t)???y?(t)???z?(t)?dt

222??（假設(shè)f(x,y,z)和x?(t),y??t?,z?(t)皆連續(xù)）這樣把曲線積分化為定積分來進(jìn)行計算

二、第二類 曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）

參數(shù)計算公式

我們只討論空間情形（平面情形類似）

設(shè)空間有向曲線L 的參數(shù)方程x?x(t),y?y(t),z?z(t),起點A對應(yīng)參數(shù)為

?,始點B對應(yīng)參數(shù)為?(注意:現(xiàn)在?和?的大小不一定???)如果P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)皆連續(xù),又x?(t),y?(t),z?(t)也都連續(xù),則?L??ABP(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz

?????P?x(t),y(t),z(t)?x?(t)?Q?x(t),y(t),z(t)?y?(t)?R?x(t),y(t),z(t)?z?(t)?dt這樣把曲線積分化為定積分來計算。值得注意：如果曲線積分的定向相反，則第二類曲線積分的值差一個負(fù)號，而第一類曲線積分的值與定向無關(guān)，故曲線不考慮定向。

三、兩類曲線積分之間的關(guān)系

AB為空間一條逐段光滑有定向的曲線，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)空間情形：設(shè)L=?在L上連續(xù)，則

??ABP(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dzAB????P(x,y,z)cos??Q(x,y,z)cos??R(x,y,z)cos??ds其中cos?,cos?,cos?為曲線弧上AB上點(x,y,z)處沿定向A到B方向的切線的方向余弦.四、格林公式

關(guān)于平面區(qū)域上的二重積分和它的邊界曲線上的曲線之間的關(guān)系有一個十分重要的定理，它的結(jié)論就是格林公式。定理

1、（單連通區(qū)域情形）

設(shè)xy平面上有界閉區(qū)域D由一條逐段光滑閉曲線L所圍的單連通區(qū)域，當(dāng)沿L正定向移動時區(qū)域D在L的左邊，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有

??(D?Q?P?)dxdy???LPdx?Qdy ?x?y

五、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的幾個等價條件

設(shè)P(x,y)，Q(x,y)在單連通區(qū)域D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下面幾個條件彼此等價 1．任意曲線L=AB 在D內(nèi)

?P(x，y)dx?Q(x,y)dx與路徑無關(guān)

L2．D內(nèi)任意逐段光滑閉曲線C，都有

?Cp(x,y)dx?Q(x,y)dy?0

3．p?x,y?dx?Q?x,y?dy?du?x,y?成立 4．D內(nèi)處處有 ?Q?P ??x?y110

§7.4

曲面積分

（數(shù)學(xué)一）

（甲）內(nèi)容要點

一、第一類曲面積分（對面積的曲面積分）基本計算公式

設(shè)曲面S的方程 z?z?x,y?,?x,y??D

f?x,y,z?在2z?x,y?在D上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，2S上連續(xù)，則??f?x,y,z?ds???SD??z???z?f?x,y,zx,y1??????????dxdy ???x???y?這樣把第一類曲面積分化為二重積分進(jìn)行計算

二、第二類曲面積分（對坐標(biāo)的曲面積分）基本計算公式

如果曲面S的方程 z?z?x,y?,?x,y??Dxy

Z?x,y?在Dxy上連續(xù)，R?x,y,z?在S上連續(xù)，則

?x,y,z?x,y???dxdy ??R?x,y,z?dxdy????R?SDxy若曲面S指定一側(cè)的法向量與Z軸正向成銳角取正號，成鈍角取負(fù)號，這樣把這部分曲面積分化為xy平面上的二重積分，其它兩部分類似地處理。

三、兩類曲面積分之間的關(guān)系

??pdydz?Qdzdx?Rdxdy????pcos??Qcos??Rcos??dS

SS其中cos?,cos?,cos?為曲面S在點?x,y,z?處根據(jù)定向指定一側(cè)的法向量的三個方向余弦

?????令F??P,Q,R?,n0??cos?,cos?,cos??????? Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?F?nds????0SS

四、高斯公式

定理 設(shè)?是由分塊光滑曲面

S圍成的單連通有界閉區(qū)域，P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z?在?上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則

??P?Q?R?????dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy ????x?y?z???S(外側(cè))????Pcos??Qcos??Rcos??dS

S其中cos?,cos?,cos?為S在點?x,y,z?處的法向量的方向余弦

五、斯托克斯公式

定理：設(shè)L是逐段光滑有向閉曲線，S是以L為邊界的分塊光滑有向曲面，L的正向與S的側(cè)（取法向量的指向）符合右手法則，函數(shù)P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z?在包含S的一個空間區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有

dydzdzdxdxdy??LPdx?Qdy?Rdz???S??xP??yQ? ?zR??R?Q???Q?P???P?R??????dydz??dzdx?????dxdy ???y?z???z?x???x?y?S?也可用第一類曲面積分

cos?cos???yQcos??dS ?zR??LPdx?Qdy?Rdz???S??xP

六、梯度、散度和旋度

1、梯度 設(shè)u?u?x,y,z?,則gradu????u?u?u?，? ?x?y?z??稱為u的梯度，令???則 gradu??u

?????，?是算子 ??x?y?z???

2、散度 設(shè)F??P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z??

???P?Q?R???????F 則 divF??x?y?z??稱為F的散度

112

?????f(?cos?,?sin?)?d?d??d?f(?cos?,?sin?)?d?D

???0高斯公式可寫成???divFdv??????F????n?0dS

?S（外側(cè)）

其中??n?0??cos?,cos?,cos??為外側(cè)單位法向量

3、旋度

設(shè)?F???P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z???i?j?krotF??????F????? ?x?y?zPQR＝???R?Q????P?R????Q??y??z??i????z??x??j????x??P???y??k 稱為??F的旋度。

斯托克斯公式可寫成

???LF??dr?????rotF??????n?0dS

S其中dr???dx,dy,dz?,??n?0??cos?,cos?,cos??

??f(x,y)d??D

第二篇：高等數(shù)學(xué)考研大總結(jié)之五 微分中值定理

第五章微分中值定理

一，羅爾（Rolle）中值定理費馬（Fermat）引理：設(shè)f?x?在點x0取得極值，且f/?x0?存在則f/?x0?=0。解析：幾何意義：曲線在極值點處的切線是平行于x軸的。

2羅爾（Rolle）中值定理：函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點都具有導(dǎo)數(shù)）并且在閉區(qū)間?a,b?的端點函數(shù)值相等，即：f?a??f?b?，那么在開區(qū)間?a,b?內(nèi)至少有一點?使得f/????0。

解析：⑴該定理是奠定一系列中值定理的基礎(chǔ)。

⑵此定理反映了由區(qū)間端點函數(shù)值的情況來表現(xiàn)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)值的變化情況，給出了?點的具體位置和計算方法（與Lagrange中值定理的區(qū)別）。

⑶幾何意義：若連接曲線兩端點的弦是水平的，則曲線上至少有一點的切線是水平的。⑷兩個推論：①推論1：如果函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒等于零，那么函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)是一個常數(shù)。②推論2：如果函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)處處有

。f/?x??g/?x?，則在此區(qū)間內(nèi)f?x??g?x??C（常數(shù)）

二，拉格朗日（Lagrange）中值定理

設(shè)函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)且在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點都具有導(dǎo)數(shù)）那么在開區(qū)間?a,b?內(nèi)至少有一點??a???b?使等式f?b??f?a??f

該定理的其它幾種表示形式：⑴f//????b?a?成立。????f?b??f?a? b?a

?AB解析：反映其幾何意義：如果連接曲線y?f?x?的弧上除端點外處處具有不垂直于x軸的切線，那么這弧上至少有一點?，使曲線在?處的切線平行于弦AB。

⑵令??a???b?a?,?0???1?則f?b??f?a??f/?a???b?a???b?a?,?0???1?。解析：由于?的特定取值范圍，所以在證明不等式時較常用，若令a?x0,b?x0?h那么有：f?x0?h??f?x0??f/?x0??h?h,?0???1?。

⑶有限增量公式：如果用?x表示?b?a?則函數(shù)增量?y?f?b??f?a?，這時該定理變成?y?f/????x。

解析：⑴從理論上與微分的區(qū)別：該公式準(zhǔn)確的表明了函數(shù)增量與自變量增量（不要求其趨第1頁

于零或比較小而僅要求其為有限增量）的關(guān)系，而微分只能近似的表示這一關(guān)系，并且要求

?x比較小，而且當(dāng)?x?0時dy表示?y的誤差才趨于零。但在實際應(yīng)用中仍常用微分去

近似表示函數(shù)值的改變量。⑵類比與上式，則還可表示為?y?f三，柯西(Cauchy)中值定理

設(shè)兩個函數(shù)f?x?和g?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)且在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點都具有導(dǎo)數(shù)）且g/?x?在?a,b?內(nèi)每一點均不為零，則在?a,b?內(nèi)至少存在一點?使得

/

?x???x??x,?0???1?。

f?b??f?a?f/????,?a???b?成立。gb?gag/?解析：⑴要求分子與分母中的?是同一個值。⑵

類

比

于

Lagrange

定

理，此

定

理

可

表

示

為

f?x0?h??f?x0?f/?x0??h?

?,?0???1?。

gx0?h?gx0g/x0??h四，Rolle,Lagrange,Cauchy中值定理間的關(guān)系

?x??xf?a??f?b?

Cauchy?g???Lagrange?????Rolle

五，泰勒(Taylor)中值定理定義：若f?x?在?a,b?上有直到n階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在開區(qū)間?a,b?上?n?1?階導(dǎo)數(shù)存在，則

對

于

任

意的x,x0??a,b?

有：

f?x??f?x0??

f

/

?x0?

1！

?x?x0??

f

//

?x0?

2！

?x?x0?

f?n??x0??x?x0?n?Rn?x?其中???

n！

f?n?1????稱為余項（與誤差估計有關(guān)）。其中當(dāng)x0?x?x0?n?1（?介于x與x0之間）Rn?x??

n?1！

取零時的泰勒(Taylor)公式稱為麥克勞林（Maclaurin）公式。

解析：使復(fù)雜函數(shù)成為簡單函數(shù)的有效方法。2 各種形式的泰勒(Taylor)公式

⑴帶有皮亞諾（Peano）余項的泰勒

(Taylor)公式：

?f/?x0?f//?x0?f?n??x0?2nn

????????????Taylor:fx?fx?x?x?x?x???x?x??x?x,?x?x0?00000

?1！2！n！?///?n?

?Maclaurin:f?x??f?0??f?0?x?f?0?x2???f?0?xn??xn,?x?0??1！2！n！?

??

??

⑵帶有Lagrange余項的泰勒(Taylor)公式：

?f/?x0?f//?x0?f?n??x0?f?n?1????2nn?1

????????????Taylor:fx?fx?x?x?x?x???x?x?x?x?00000

n?11！2！n！?

?///?n??n?1?

??x?xn?1,?0???1??Maclaurin:f?x??f?0??f?0?x?f?0?x2???f?0?xn?f

?n?11！2！n！?

⑶

帶

有

Cauchy

余

項的泰

勒

(Taylor)

公

式

：

n?f?k??x0?

?x?x0?kf?x?????n?1?

????x???n?m,?x???x?m!fk！k?0?Taylor:?0m

?gkx0n!gn?1?k

?x?x0?g?x??? ?

k！k?0?

n??x?x0??x???n?n?1?f?k??x0?k

?x?x0?????f?Cauchy:令g?x??x,m?0則f?x???k！n！k?0?

⑷帶有積分余項的泰勒(Taylor)公式：

n

?f?k??x0?1x?n?1?kn

????????Taylor:fx?x?x?ftx?tdt??0?x0

k！n！?k?0

??k?n?1n1f?0?kxn?n?1??Maclaurin:f?x??????x?fxt1?tdt???0k！n！k?0?常見函數(shù)的麥克勞林（Maclaurin）展式

⑴帶有皮亞諾（Peano）余項的麥克勞林（Maclaurin）展式：

n

x3x5x2n?1x2k?1n?1k?12n

sinx?x???????1???x????1???x2n

2n?12k?13！5??！k?1

????

2n2kn

x2x4nxkx2n

cosx?1???????1???x????1???x2n

2n2k2！4??！k?0

????

kn

xx2xnk?1xn

e?1???????x????1???xn

1！2！n！k！k?0x

????

??

nkn

x2x3n?1xk?1xn

ln?1?x??x???????1???x????1???xn

23nkk?1

??

?1?x?

?

n

????1?2????1????2?????n?1?nnkk

?1??x?x???x???x??1??C?x???xn?2！n！k?1

⑵帶有Langrange余項的麥克勞林（Maclaurin）展式：

sinx????1?

k?1n

n

k?1

x2k?1ncos?x

???1?x2n?1,?0???1?2k?12n?1！

x2kn?1cos?x

cosx????1????1?x2n?2,?0???1?

2k2n?2！k?0

k

xke?x

e???xn?1,?0???1?

！k?0k！n?1x

n

ln?1?x?????1`?

k?1

n

k?1

xkxn?1n

???1?,?x?1,0???1?n?1kn?11??x

?1?x?

?

kk

?1??C?x?

k?1

n

????1?????n??1??x???n?1xn?1,?x?1,0???1?

n?1！Taylor公式的應(yīng)用

⑴求極限。⑵近似計算，誤差估計。⑶與冪級數(shù)的關(guān)系。⑷不等式證明。六，羅比塔（L”Hospital）法則解決問題的情況：

00?

。?

解析：不是以上兩種型的轉(zhuǎn)化為以上型。例如：

“0?”型，“???”型，“00”型，“?0”型，“1?”型。需注意的問題：⑴只有未定式才能應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則，不是未定式，則不能用羅比塔（L”Hospital）法則，且分子與分母分別求導(dǎo)。

⑵只有

法則。

00?

未定式才能直接應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）?

00

?

未定?

⑶求其他類型未定式的值時，就首先將其轉(zhuǎn)化為

式，然后才能應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則。

⑷可以對未定式反復(fù)應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則，直到求出確定的極限值為止。⑸用對數(shù)方法求極限時還要將結(jié)果還原為指數(shù)形式。

⑹有些未定式若用羅比塔（L”Hospital）法則求不出它的值時，就改用其它方法計算。

第三篇：2012考研數(shù)學(xué)重要知識點解析之高等數(shù)學(xué)(一)

在考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)開始之前，萬學(xué)海文數(shù)學(xué)考研輔導(dǎo)專家們提醒2012年的考生們要對考研數(shù)學(xué)的基本命題趨勢和試題難度有比較深刻的認(rèn)識，根據(jù)自己對考研數(shù)學(xué)的定位，要做到有的放矢的復(fù)習(xí)，才能達(dá)到事半功倍的效果。

復(fù)習(xí)備考的主要策略：緊扣考綱，扎實基礎(chǔ)，注重聯(lián)系，加強訓(xùn)練。

本文萬學(xué)海文輔導(dǎo)老師們主要闡述如何在復(fù)習(xí)當(dāng)中緊扣考綱。考研數(shù)學(xué)作為標(biāo)準(zhǔn)化考試，其命題范圍有明確的規(guī)定，2012年考生基礎(chǔ)階段復(fù)習(xí)主要就是依據(jù)考試大綱，詳細(xì)了解考試的基本要求，類別和難度特點，準(zhǔn)確定位。我們以數(shù)一中第一章為例：

一、函數(shù)、極限、連續(xù)

考試內(nèi)容

函數(shù)的概念及表示法 函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù) 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形 初等函數(shù) 函數(shù)關(guān)系的建立

數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì) 函數(shù)的左極限與右極限 無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系 無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較 極限的四則運算 極限存在的兩個準(zhǔn)則：單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則 兩個重要極限:

函數(shù)連續(xù)的概念 函數(shù)間斷點的類型 初等函數(shù)的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

考試要求

1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系.2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念.4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念.5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系.6.掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則.7.掌握極限存在的兩個準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法.8.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限.9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會判別函數(shù)間斷點的類型.10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應(yīng)用這些性質(zhì).考試內(nèi)容中給考生列出了第一章的考試知識點，所以考生在復(fù)習(xí)過程中首先要弄懂這些知識點?？荚囈笾袠?biāo)明了對各個知識點的掌握所應(yīng)該能夠達(dá)到的程度，一般分為了解、理解、會、掌握，幾個層次。

了解：指對該知識點的含義要很清楚，一般在數(shù)學(xué)中指的是概念、公式、性質(zhì)、定理及推論等知識內(nèi)容。比如：了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性等。

但是并不是說了解的內(nèi)容就只是了解這些性質(zhì)，知道這些知識點就行了，有人錯誤的認(rèn)為了解的知識一般不會考，這種認(rèn)識是錯誤的，只要是在考試大綱中出現(xiàn)的考試內(nèi)容都有可能考到，甚至對要求了解的知識點考的也比較深入。

理解：指要對知識點懂且認(rèn)識的很清楚。在考研數(shù)學(xué)當(dāng)中主要指對概念、定理、推理的知識點及知識點之間的關(guān)系。在這里萬學(xué)海文輔導(dǎo)老師提醒2012年得考生要注意了解和理解的區(qū)別，了解偏重于知道，理解在了解的基礎(chǔ)上增加了懂得和能夠體會其深層次的意思;理解也就是從表到里深層遞進(jìn)的含義。在考研數(shù)學(xué)大綱中要求理解的知識點考查的較多，比如：理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系等幾乎每年必考.會(求、計算、建立、應(yīng)用、判斷等)：其含義為理解、懂得，并根據(jù)所學(xué)知識能夠計算表達(dá)式結(jié)果、列出方程、畫出圖形、建立數(shù)學(xué)模型等。在考研數(shù)學(xué)大綱中對知識點要求會求、會計算、會建立方程表達(dá)式、會描繪等，主要指計算方法、知識點的靈活運用測試的要求;萬學(xué)海文數(shù)學(xué)輔導(dǎo)老師提醒大家學(xué)習(xí)時不僅要記住、理解定理還要會推導(dǎo)，才達(dá)到會求解的程度。

掌握：了解、熟知并加以運用。在考研數(shù)學(xué)大綱中所有知識點的要求中掌握的層次是最高的，要求掌握的知識點往往是考試的重點、熱點和難點，比如：掌握極限存在的兩個準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法等都是每年真題中涉及的內(nèi)容;萬學(xué)海文建議2012年得考生在學(xué)習(xí)時對于大綱要求掌握的知識點不僅要掌握知識點本身還要學(xué)習(xí)它的推理、證明以及解題時經(jīng)常用到的結(jié)論，同時還要注意與該知識點相關(guān)聯(lián)的知識點及它們之間的關(guān)系。

在了解了考研數(shù)學(xué)大綱內(nèi)容及要求之后我們就可以有的放矢的進(jìn)行復(fù)習(xí)了。古人云：“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢”，這為我們下面能夠扎實復(fù)習(xí)打開了一個美麗的開端。

第四篇：高等數(shù)學(xué)考研知識點總結(jié)5

@第五講 中值定理的證明技巧

一、考試要求

1、理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。

2、理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并會用柯西中值定理。掌握這四個定理的簡單應(yīng)用（經(jīng)濟(jì)）。

3、了解定積分中值定理。

二、內(nèi)容提要

1、介值定理（根的存在性定理）

（1）介值定理

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 M 與最小值m之間的任何值.（2）零點定理

設(shè)f(x)在[a、b]連續(xù)，且f(a)f(b)＜0，則至少存在一點,c?(a、b)，使得f(c)=0

2、羅爾定理

若函數(shù)f(x)滿足：

（1）f(x)在?a,b?上連續(xù)（2）f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)（3）f(a)?f(b)

則一定存在??(a,b)使得f'(?)?0

3、拉格朗日中值定理

若函數(shù)f(x)滿足：

（1）f(x)在?a,b?上連續(xù)（2）f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

則一定存在??(a,b)，使得f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)

4、柯西中值定理

若函數(shù)f(x),g(x)滿足:（1）在?a,b?上連續(xù)（2）在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)（3）g'(x)?0

f(b)?f(a)f'(?)?g'(?)則至少有一點??(a,b)使得g(b)?g(a)

5、泰勒公式

x如果函數(shù)f(x)在含有0的某個開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到n?1階導(dǎo)數(shù)? 則當(dāng)x在(a,b)內(nèi)時? f(x)可以表示為x?x的一個n次多項式與一個余項Rn(x)之和，即

0f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?1f??(x0)(x?x0)2? ? ? ? ?1f(n)(x0)(x?x0)n?Rn(x)2!n!

f(n?1)(?)Rn(x)?(x?x0)n?1x(n?1)!其中(?介于0與x之間)?

在需要用到泰勒公式時，必須要搞清楚三點：

1．展開的基點； 2．展開的階數(shù)；

3．余項的形式．

其中余項的形式，一般在求極限時用的是帶皮亞諾余項的泰勒公式，在證明不等式時用的是帶拉格朗日余項的泰勒公式．

而基點和階數(shù)，要根據(jù)具體的問題來確定．

6、積分中值定理

若f(x)在[a、b]上連續(xù)，則至少存在一點c∈[a、b]，使得

?baf(x)dx=f(c)(b-a)

三、典型題型與例題

題型一、與連續(xù)函數(shù)相關(guān)的問題（證明存在?使f(?)?0或方程f(x)=0有根）方法：大多用介值定理 f(x)滿足：在[a,b]上連續(xù)；f(a)f(b)<0.思路：1）直接法

2）間接法或輔助函數(shù)法

例

1、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，a?x1?x2???xn?b,ci?0(i?1,2,?,n)，證明存在??[a,b]，使得

f(?)?c1f(x1)?c2f(x2)???cnf(xn)

c1?c2???cn例

2、設(shè)b?a?0,f(x)在[a,b]上連續(xù)、單調(diào)遞增，且f(x)?0，證明存在??(a,b)

使得

a2f(b)?b2f(a)?2?2f(?)

*例

3、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)且f(x)?0，證明存在??(a,b)使得

??af(x)dx??f(x)dx??b1bf(x)dx。2?a

.例

4、設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，證明存在??(a,b)使得

例

5、設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，且f(x)<1.證明：2x??f(t)dt?1在(0,1)內(nèi)有且僅

0xg(?)?f(x)dx?f(?)?g(x)dx

a?b?有一個實根。例

6、設(shè)實數(shù)a1,a2,?,an滿足關(guān)系式a1?ana2???(?1)n?1?0，證明方程 32n?1?

a1coxs?a2co3sx???ancos2(n?1)x?0，在(0,)內(nèi)至少有一實根。

2例

7、（0234，6分）

設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，且g(x)>0,利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存在一點??[a,b]使得

題型

二、驗證滿足某中值定理

?3?x2,x?1??2例

8、驗證函數(shù)f(x)??，在[0，2]上滿足拉格朗日中值定理，并求

1?,x?1??x滿足定理的?

?baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

ab題型

三、證明存在?, 使f(n)(?)?0(n=1,2,…)

方法：

1、用費馬定理

2、用羅爾定理（或多次用羅爾定理）

3、用泰勒公式

思路：可考慮函數(shù)f(n?1)(x)

例

9、設(shè)f(x)在[a,b]上可導(dǎo)且f??(a)f??(b)?0，證明至少存在一個

??(a,b)使得f?(?)?0

例

10、設(shè)f(x)在[0,3]上連續(xù)，在（0,3）內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?f(1)?f(2)?3,f(3)?1，證明存在一個??(0,3)使得f?(?)?0

*例

11、設(shè)f(x)在[0,2]上連續(xù)，在（0，2）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且

1f(x)lim?0,2?1f(x)dx?f(2)，證明存在??(0,2)使得f??(?)?0 12x?cos?x2 題型

四、證明存在?, 使G(?,f(?),f?(?))?0

方法：1）用羅爾定理（原函數(shù)法，常微分方程法），2）直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理（要求a,b分離）

思路：1）?換為x

2）恒等變形，便于積分 3）積分或解微分方程

4）分離常數(shù)：F(x,f(x))?C F(x,f(x))即為輔助函數(shù)(1)用羅爾定理 1)原函數(shù)法:

步驟：將?換為x;

恒等變形，便于積分；

求原函數(shù)，取c=0； 移項，得F(x).例

12、設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且g?(x)?0(x?(a,b))，求證

f(a)?f(?)f?(?)?存在??(a,b)使得

?g(?)?g(b)g(?)

例

13、（0134）設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且

f(1)?k?xe1?xf(x)dx,k?1

證明：在(0,1)內(nèi)至少存在一點?, 使 f?(?)?(1???1)f(?).1k0例

14、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)f(b)>0,f(a)?f(在[a,b]上連續(xù)，試證對???(a,b),使得f?(?)?g(?)f(?)..a?b)?0, g(x)2*例

15、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)一階可導(dǎo)，且?f(x)dx?0,?xf(x)dx?0.0011試證：???(0,1),使得 f?(?)?(1???1)f(?)..2)常微分方程法:

適用: ??,f?(?)??(?,f(?))

步驟：??x,f?(x)??(x,f(x))

解方程 G(x,f(x))?c

令 F(x)?G(x,f(x))

例

16、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?f(b)??，證明存在??(a,b)使得f?(?)?f(?)??*例

17、設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0)=0，f(1)=1, 證明：對任意實數(shù)?,必存在??（0，1), 使得f?(?)??[f(?)??]?

1(2)直接用拉格朗日或柯西中值定理

例18、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求證存在??(a,b)，使得

bf(b)?af(a)?f?(?)??f(?)

b?a

例

19、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求證存在??(a,b)，使得

bn1b?af(a)anf(b)??n?1[nf(?)??f?(?)],n?1

例20、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(0?a?b)，求證存在??(a,b)，b使得 f(b)?f(a)??lnf?(?)

a例

21、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(0?a?b)，求證存在??(a,b)，f(b)?f(a)f?(?)使得

?(a2?ab?b2)2b?a3?

題型

5、含有f??(?)(或更高階導(dǎo)數(shù))的介值問題

方法：1）原函數(shù)法（對f?(x)仍用微分中值定理:羅爾定理，拉格朗日，柯 西中值定理）；

2）泰勒公式

例

22、設(shè)f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo)，且f(0)=f(1), 試證至少存在一個??(0,1), 使

2f?(?)f??(?)?

1??

例

23、（012，8分）設(shè)f(x)在[?a,a](a?0)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0(1)寫出f(x)的帶拉氏余項的一階麥克勞林公式。(2)證明在[?a,a]上至少存在一個?使得

af??(?)?3?f(x)dx

?a3a例

24、設(shè)f(x)在[－1, 1]上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(-1)=0, f(1)=1, f?(0)=0, 證明: 在(-1,1)內(nèi)存在一點?，使得f???(?)?3..例

25、（103）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0, 3]上連續(xù), 在開區(qū)間(0, 3)內(nèi)二階可導(dǎo), 且 f(0)=?20f(x)dx= f(2)+ f(3).(I)證明存在 ? ?(0, 2), 使得f(?)= f(0);(II)證明存在 ? ?(0, 3), 使得 f??(?)=0..題型

6、雙介值問題F(?,?,?)?0

方法：1）同時兩次用拉格朗日中值定理或柯西中值定理 2）用一次后再用一次中值定理

例

26、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，0?a?b，求證存在?,??(a,b)使f?(?)得f?(?)?(a?b)

2?

例

27、（051，12分）已知函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?0,f(1)?1

證明：（1）存在??(0,1)，使得f(?)?1??

（2）存在兩個不同的點?,??(0,1)使得f?(?)f?(?)?1 題型

7、綜合題

*例

29、（011，7分）

設(shè)函數(shù)f(x)在（-1,1）內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f??(x)?0，試證（1）對于(-1,1)內(nèi)的任意x?0,存在唯一的?(x)?(0,1)使得

?f

f(x)?f(0?)x?((x成立)x

1（2）lim?(x)?

x?0

2例29、試證明若f(x)在[a,b]上存在二階導(dǎo)數(shù)，且f?(a)?f?(b)?0，則存在4??(a,b)使得f??(?)?f(b)?f(a)2(b?a)*例30、設(shè)e

ae?ae?blnalnb?0 1

b1?e???13

第五篇：2018考研數(shù)學(xué)三高等數(shù)學(xué)考點知多少

2018考研數(shù)學(xué)三高等數(shù)學(xué)考點知多少

來源：智閱網(wǎng)

高等數(shù)學(xué)是考研數(shù)學(xué)三中很重要的學(xué)科，所以，就讓大家一起來了解一下高等數(shù)學(xué)的?？贾R點吧！

1.函數(shù)、極限與連續(xù)：主要考查極限的計算或已知極限確定原式中的常數(shù);討論函數(shù)連續(xù)性和判斷間斷點類型;無窮小階的比較;討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間上零點的個數(shù)或確定方程在給定區(qū)間上有無實根。

2.一元函數(shù)微分學(xué)：主要考查導(dǎo)數(shù)與微分的定義;各種函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的計算;利用洛比達(dá)法則求不定式極限;函數(shù)極值;方程的的個數(shù);證明函數(shù)不等式;與中值定理相關(guān)的證明;最大值、最小值在物理、經(jīng)濟(jì)等方面實際應(yīng)用;用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖形;求曲線漸近線。

3.一元函數(shù)積分學(xué)：主要考查不定積分、定積分及廣義積分的計算;變上限積分的求導(dǎo)、極限等;積分中值定理和積分性質(zhì)的證明;定積分的應(yīng)用，如計算旋轉(zhuǎn)面面積、旋轉(zhuǎn)體體積、變力作功等。

4.多元函數(shù)微分學(xué)：主要考查偏導(dǎo)數(shù)存在、可微、連續(xù)的判斷;多元函數(shù)和隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù);多元函數(shù)極值或條件極值在與經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用;二元連續(xù)函數(shù)在有界平面區(qū)域上的最大值和最小值。此外，數(shù)學(xué)一還要求會計算方向?qū)?shù)、梯度、曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線。

大家還可以通過湯家鳳老師的2018《考研數(shù)學(xué)接力題典1800》（數(shù)學(xué)三），掌握高等數(shù)學(xué)等的常考題型和解題方法。想買考研數(shù)學(xué)三相關(guān)內(nèi)容的朋友，可以去天貓商城北京世紀(jì)文都專營店上看看，月末會有周年店慶，買書就送優(yōu)惠，非常劃算。