第一篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇_6_函_數(shù)_的_概_(tái)念.

函 數(shù) 的 概 念 教材分析

與傳統(tǒng)課程內(nèi)容相比，這節(jié)內(nèi)容的最大變化就是函數(shù)概念的處理方式．事實(shí)上，“先講映射后講函數(shù)”比“先講函數(shù)后講映射”，有利于學(xué)生更好地理解函數(shù)概念的本質(zhì)．第一，在初中函數(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上繼續(xù)深入學(xué)習(xí)函數(shù)，銜接自然，利于學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上提升對(duì)函數(shù)概念的理解；第二，直接進(jìn)入函數(shù)概念的學(xué)習(xí)更有利于學(xué)生將注意力放在理解函數(shù)概念的學(xué)習(xí)上，而不必花大量精力學(xué)習(xí)映射，使其認(rèn)識(shí)映射與函數(shù)的關(guān)系后才能理解函數(shù)的概念．

函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的概念之一．函數(shù)概念、思想貫穿于整個(gè)中學(xué)教材之中．通過(guò)實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己的觀察、分析、歸納和概括，獲得用集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言刻畫(huà)的函數(shù)概念．

對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解，首先應(yīng)通過(guò)與初中定義的比較、與其他知識(shí)的聯(lián)系以及不斷地應(yīng)用等，初步理解用集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言刻畫(huà)的函數(shù)概念．其次在后續(xù)的學(xué)習(xí)中通過(guò)基本初等函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生以具體函數(shù)為依托、反復(fù)地、螺旋式上升地理解函數(shù)的本質(zhì)．教學(xué)重點(diǎn)是函數(shù)的概念，難點(diǎn)是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)的理解． 教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型．在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用．

2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域． 3.了解映射的概念． 任務(wù)分析

學(xué)生在初中對(duì)函數(shù)概念有了初步的認(rèn)識(shí)．這節(jié)課的任務(wù)是在學(xué)生原認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上，用集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)，了解構(gòu)成函數(shù)定義的三要素，認(rèn)識(shí)映射與函數(shù)是一般與特殊的關(guān)系． 教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情景

1.一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過(guò)60s落到地面擊中目標(biāo)．炮彈的射高為4410m，且炮彈距地面的高度h隨時(shí)間t的變化規(guī)律是h＝294t－4.9t2，（0≤t≤60，0≤h≤4410）． 2.近幾十年來(lái)，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問(wèn)題．下圖中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從1979年到2001年的變化情況．

3.國(guó)際上常用恩格爾系數(shù)反映一個(gè)國(guó)家人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高．下表中恩格爾系數(shù)隨時(shí)間（年）變化的情況表明，“八五”計(jì)劃以來(lái)，我國(guó)城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化． 表6-1 “八五”計(jì)劃以來(lái)我國(guó)城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況

問(wèn)題：分析以上三個(gè)實(shí)例，對(duì)任一個(gè)給定的ｔ，射高ｈ、臭氧層空洞面積Ｓ、恩格爾系數(shù)是否有值與之對(duì)應(yīng)？若有，有幾個(gè)？

二、建立模型

1.在學(xué)生充分分析和討論的基礎(chǔ)上，總結(jié)歸納以上三個(gè)實(shí)例的共同特點(diǎn)

在三個(gè)實(shí)例中，變量之間的關(guān)系都可以描述成兩個(gè)集合間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系：對(duì)于數(shù)集Ａ中的任一個(gè)ｘ，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集Ｂ中都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)．

2.教師明晰

通過(guò)學(xué)生的討論歸納出函數(shù)的定義：

設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任一個(gè)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）與它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作：y＝f（x），x∈A．其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合：｛y｜y＝f（x），x∈A｝叫作函數(shù)的值域．

注意：（1）從函數(shù)的定義可以看出：函數(shù)由定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域三部分組成，它們稱為函數(shù)定義的三要素．其中，y＝f（x）的意義是：對(duì)任一x∈A，按照對(duì)應(yīng)法則f有唯一y與之對(duì)應(yīng)．

（2）在函數(shù)定義的三個(gè)要素中，核心是定義域和對(duì)應(yīng)法則，因此，只有當(dāng)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域相同時(shí)，我們才認(rèn)為這兩個(gè)函數(shù)相同． 思考：函數(shù)f（x）＝

三、解釋?xiě)?yīng)用

［例 題］ 與g（x）＝是同一函數(shù)嗎？

1.指出下列函數(shù)的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則各是什么？如何用集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)描述它們？

（1）y＝1，（x∈R）．（2）y＝ax＋b，（a≠0）．

（3）y＝ax2＋bx＋c，（a＞0）．（4）y＝kx，（k≠0）． 解：（3）定義域：｛x｜x∈R｝，值域：｛y｜

y≥

（自變量）2＋b·（自變量）＋c，即：f：x→ax2＋bx＋c（1），（2），（4）略． ｝對(duì)應(yīng)法則f：自變量→a 2.已知：函數(shù)f（x）＝（1）求函數(shù)的定義域．

（2）求f（－3），f（）的值．

（3）當(dāng)a＞0時(shí)，求f（a），f（a－1）的值． 目的：深化對(duì)函數(shù)概念的理解． 3.求下列函數(shù)的值域．

（1）f（x）＝2x．（2）f（x）＝1－x＋x2，（x∈R）．（3）y＝3－x，（x∈N）．

解：（1）｛y｜y≠0｝．（2）｛y｜

y≥｝．（3）｛3，2，1，0，－1，－2，…｝． 4.（1）已知：f（x）＝x2，求f（x－1）．（2）已知：f（x－1）＝x2，求f（x）． 目的：深化對(duì)函數(shù)符號(hào)的理解． 解：（1）f（x－1）＝（x－1）2．

（2）f（x－1）＝x2＝［（x－1）＋1］2＝（x－1）2＋2（x－1）＋1． ∴f（x）＝x2＋2x＋1． ［練習(xí)］

1.求下列函數(shù)的定義域．

2.已知二次函數(shù)f（x）＝x2＋a的值域是［－2，＋∞），求a的值． 3.函數(shù)f（x）＝［x］，［x］表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，求：（1）f（3.5），（2）f（－3.5）．

四、拓展延伸

在函數(shù)定義中，將數(shù)集推廣到任意集合時(shí)，就可以得到映射的概念． 集合A＝｛a1，a2｝到集合B＝｛b1，b2｝的映射有哪幾個(gè)？ 解：共有4個(gè)不同的映射．

思考：集合A＝｛a1，a2，a3｝到B＝｛b1，b2，b3｝的映射有多少個(gè)？ 點(diǎn) 評(píng)

這篇案例設(shè)計(jì)完整，條理清楚．案例從三個(gè)方面（實(shí)際是函數(shù)的三種表示方法，為后續(xù)內(nèi)容埋下伏筆）各舉一個(gè)具體事例，從中概括出函數(shù)的本質(zhì)特征，得出函數(shù)概念，體現(xiàn)了由

具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生理解函數(shù)概念，更好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)從實(shí)踐中來(lái)．例題、練習(xí)由淺入深，完整，全面．映射的概念作為函數(shù)概念的推廣，處理方式有新意．“拓展延伸”的設(shè)計(jì)為學(xué)生加深對(duì)概念的理解，提供了素材．

在“問(wèn)題情景”中的三個(gè)事例中，第一個(gè)例子中的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”比較明顯，后兩個(gè)例子則不太明顯．如果能在教學(xué)設(shè)計(jì)中加以細(xì)致對(duì)比說(shuō)明，效果會(huì)更好．

第二篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇 12 對(duì) 數(shù) 函 數(shù)

對(duì) 數(shù) 函 數(shù)

教材分析

對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型，它與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．教材是在學(xué)生學(xué)過(guò)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)及其運(yùn)算的基礎(chǔ)上引入對(duì)數(shù)函數(shù)的概念的．須要說(shuō)明的是，這里與傳統(tǒng)的教材有所不同，即沒(méi)有先學(xué)習(xí)反函數(shù)，這對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)有較大影響，使指數(shù)函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)不能直接應(yīng)用于對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，但從對(duì)數(shù)的定義中知道：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式可互化．因此，在某些方面，如在畫(huà)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖像列表時(shí)，可以把畫(huà)指數(shù)函數(shù)y＝2x圖像時(shí)列的表中的x與y的值對(duì)調(diào)．這節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)，難點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．

教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)具體實(shí)例，直觀了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型刻畫(huà)的數(shù)量關(guān)系，初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，并能畫(huà)出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)．

2.知道指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)（a＞0且a≠1）． 3.能應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解有關(guān)問(wèn)題．

任務(wù)分析

首先復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)的定義及對(duì)數(shù)的性質(zhì)，這也是學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)．解析式x＝logay是函數(shù)，叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，為了符合習(xí)慣，常寫(xiě)成y＝logax．這些內(nèi)容學(xué)生較難理解，教學(xué)時(shí)要引起重視．教學(xué)中，要注意從實(shí)例出發(fā)，使學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)提高到理性認(rèn)識(shí)；要注意運(yùn)用對(duì)比的方法；要結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像抽象概括對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．注意：不要求討論形式化的函數(shù)定義，也不要求求已知函數(shù)的反函數(shù)，只須知道對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情境

同指數(shù)函數(shù)中的細(xì)胞分裂問(wèn)題，即：某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，4個(gè)分裂成8個(gè)……1個(gè)這樣的細(xì)胞分裂x次后，得到的細(xì)胞的個(gè)數(shù)為y．

我們已經(jīng)知道，個(gè)數(shù)y是分裂次數(shù)x的函數(shù)，解析式是y＝2x．形式上是指數(shù)函數(shù)（這里的定義域是N）．

思考：在這個(gè)問(wèn)題中，細(xì)胞分裂的次數(shù)x是不是細(xì)胞分裂個(gè)數(shù)y的函數(shù)？若是，這個(gè)函數(shù)的解析式是什么？ x也是y的函數(shù)，由對(duì)數(shù)的定義得到這個(gè)新函數(shù)是x＝log2y．其中，細(xì)胞的個(gè)數(shù)y是自變量，細(xì)胞分裂的次數(shù)x是函數(shù)．

二、建立模型 1.學(xué)生討論

（1）函數(shù)x＝log2y與指數(shù)函數(shù)y＝2x有何關(guān)系？

（2）函數(shù)ｘ＝log2y中的自變量、字母與我們以前所學(xué)的函數(shù)有何區(qū)別？

結(jié)論：?jiǎn)栴}（1）：兩函數(shù)中的x表示的都是細(xì)胞分裂的次數(shù)，y表示的都是細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)法則都是以2為底數(shù)，一個(gè)是取對(duì)數(shù)，一個(gè)是取指數(shù)，正好相逆．

注意：這里不能說(shuō)它們互為反函數(shù)，因?yàn)檫€沒(méi)有學(xué)習(xí)反函數(shù)的概念．

問(wèn)題（2）：這里的自變量所用字母是y，以前學(xué)習(xí)的函數(shù)的自變量常用字母x，即這里的用法不合習(xí)慣．

2.教師明晰

定義：函數(shù)x＝long2y，（a＞0，且a≠1）叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，它的定義域是（0，＋∞），值域是（－∞，＋∞）．

由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可知，在指數(shù)函數(shù)y＝ax和對(duì)數(shù)函數(shù)x＝logay中，x，y兩個(gè)變量之間的關(guān)系是一樣的．不同的只是在指數(shù)函數(shù)y＝ax里，x是自變量，y是因變量，而在對(duì)數(shù)函數(shù)x＝logay中，y是自變量，x是因變量．習(xí)慣上，我們常用x表示自變量，y表示因變量，因此，對(duì)數(shù)函數(shù)通常寫(xiě)成y＝logay，（a＞0且a≠1，x＞0）．

3.練習(xí)

在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出下列函數(shù)的圖像．

（1）y＝long2x．

（2）y＝解：列表：

表12-1

．

思考：上表中的x，y的對(duì)應(yīng)值與指數(shù)函數(shù)中所列表的對(duì)應(yīng)值有何關(guān)系？ 描點(diǎn)，畫(huà)圖：

4.觀察上面的函數(shù)圖像，結(jié)合列表，仿照指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，歸納總結(jié)出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

（1）定義域是（0，＋∞），值域是（－∞，＋∞）．（2）函數(shù)圖像在y軸的右側(cè)且過(guò)定點(diǎn)（1，0）．

（3）當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，且當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0．

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，且當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0．

三、解釋?xiě)?yīng)用

［例 題］

1.求下列函數(shù)的定義域．

（1）y＝log2x2．

（2）y＝loga（4－x）．

（3）y＝

．

解：（1）｛x｜x≠0｝．

（2）（－∞，4）．

（3）（0，1）． 2.比較下列各組數(shù)的大?。?）log23與log23.5．

（2）loga5.1與loga5.9，（a＞0且a≠1）．（3）log67與log76． 解：（1）考查對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x． ∵2＞1，∴它在（0，＋∞）上是增函數(shù)． 又3＜3.5，∴l(xiāng)og23＜log23.5．

（2）當(dāng)a＞1時(shí)，loga5.1＜loga5.9； 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，loga5.1＞loga5.9．（3）log67＞1＞log76．

總結(jié)：本例是利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小，當(dāng)?shù)讛?shù)與1的大小不確定時(shí)，要分類討論；當(dāng)不能直接進(jìn)行比較時(shí)，可在兩個(gè)數(shù)中間插入一個(gè)已知數(shù)間接比較兩個(gè)數(shù)的大?。?3.溶液的酸堿度是通過(guò)pH值來(lái)刻畫(huà)的，pH值的計(jì)算公式為pH＝－lg［H+］，其中［H+］表示溶液中氫離子的濃度，單位是mol／L．

（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)及上述pH值的計(jì)算公式，說(shuō)明溶液的酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關(guān)系．

（2）已知純凈水中氫離子的濃度為［H+］＝10-7mol／L，計(jì)算純凈水的pH值． 解：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，有

pH＝－lg［H+］＝lg［H+］－1＝lg，所以溶液中氫離子的濃度越大，溶液的酸度就越?。?/p>

（2）當(dāng)［H+］＝10-7時(shí)，pH＝－lg10-7＝7，所以，純凈水的pH值是7．

4.設(shè)函數(shù)f（x）＝lg（ax－bx），（a＞1＞b＞0），問(wèn)：當(dāng)a，b滿足什么關(guān)系時(shí)，f（x）在（1，＋∞）上恒取正值？

解：當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)，lg（ax－bx）＞0恒成立令g（x）＝ax－bx． ∵a＞1＞b＞0，∴g（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，ax－bx＞1恒成立． ∴當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）＝a－b，∴當(dāng)a－b≥1時(shí)，f（x）在（1，＋∞）上恒取正值． ［練習(xí)］

1.求函數(shù)y＝的定義域．

2.比較log0.50.2與log0.50.3的大?。?/p>

3.函數(shù)y＝lg（x2－2x）的增區(qū)間是 ____________ ．

4.已知a＞0，且a≠1，則在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝a-x和y＝loga（－x）的圖像有可能是（）．

5.大西洋鮭魚(yú)每年都要逆流而上2000m，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．研究鮭魚(yú)的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，一歲鮭魚(yú)的游速可以表示為函數(shù)，單位是m／s，其中Q表示鮭魚(yú)的耗氧量．

（1）當(dāng)一條鮭魚(yú)的耗氧量是2700個(gè)單位時(shí)，它的游速是多少？（2）計(jì)算一條鮭魚(yú)的最低耗氧量．

四、拓展延伸

1.作出對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax，（a＞1）與y＝logax，（0＜a＜1）的草圖． 2.說(shuō)出指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系．

以指數(shù)函數(shù)y＝2x與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x為代表加以說(shuō)明．

（1）對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x是把指數(shù)函數(shù)y＝2x中自變量與因變量對(duì)調(diào)位置而得出的． 教師明晰：當(dāng)一個(gè)函數(shù)是一一映射時(shí)，可以把這個(gè)函數(shù)的因變量作為一個(gè)新的函數(shù)的自變量，而把這個(gè)函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的因變量．我們稱這兩個(gè)函數(shù)互為函數(shù)．函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)記作：y＝f-1（x）． 對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x與指數(shù)函數(shù)y＝2x互為反函數(shù)．

（2）對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x與指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．

（3）指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)照表． 表12-2

點(diǎn) 評(píng)

這篇案例首先通過(guò)細(xì)胞分裂問(wèn)題說(shuō)明了對(duì)數(shù)函數(shù)的意義，這樣安排既有利于學(xué)生理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，又有利于學(xué)生了解了它與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．其次通過(guò)畫(huà)具體的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，歸納總結(jié)出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了由特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，知識(shí)傳授較為自然．性質(zhì)的列舉模仿了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．通過(guò)對(duì)比，便于學(xué)生理解、記憶．例題、練習(xí)的選配注意了題目的代表性，并且由易到難，注重學(xué)生解題能力的提高．拓展延伸側(cè)重于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像、性質(zhì)方面的關(guān)系，加深了學(xué)生對(duì)這兩個(gè)函數(shù)的理解，并使學(xué)生從中了解了反函數(shù)的概念．

第三篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇 30 幾何概型

幾何概型

教材分析

和古典概型一樣，在特定情形下，我們可以用幾何概型來(lái)計(jì)算事件發(fā)生的概率．它也是一種等可能概型．

教材首先通過(guò)實(shí)例對(duì)比概念給予描述，然后通過(guò)均勻隨機(jī)數(shù)隨機(jī)模擬的方法的介紹，給出了幾何概型的一種常用計(jì)算方法．與本課開(kāi)始介紹的P（A）的公式計(jì)算方法前后對(duì)應(yīng)，使幾何概型這一知識(shí)板塊更加系統(tǒng)和完整．

這節(jié)內(nèi)容中的例題既通俗易懂，又具有代表性，有利于我們的教與學(xué)生的學(xué)．教學(xué)重點(diǎn)是幾何概型的計(jì)算方法，尤其是設(shè)計(jì)模型運(yùn)用隨機(jī)模擬方法估計(jì)未知量；教學(xué)難點(diǎn)是突出用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想，把求未知量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型求概率的問(wèn)題．

教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)這節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)，讓學(xué)生了解幾何概型，理解其基本計(jì)算方法并會(huì)運(yùn)用． 2.通過(guò)對(duì)照前面學(xué)過(guò)的知識(shí)，讓學(xué)生自主思考，尋找?guī)缀胃判偷碾S機(jī)模擬計(jì)算方法，設(shè)計(jì)估計(jì)未知量的方案，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際操作能力．

3.通過(guò)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性與規(guī)律性，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維方法，提高學(xué)生對(duì)自然界的認(rèn)知水平．

任務(wù)分析

在這節(jié)內(nèi)容中，介紹幾何概型主要是為了更廣泛地滿足隨機(jī)模擬的需要，因此，教學(xué)重點(diǎn)是隨機(jī)模擬部分．這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)需要一些實(shí)物模型作為教具，如教科書(shū)中的轉(zhuǎn)盤(pán)模型、例2中的隨機(jī)撒豆子的模型等．教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意讓學(xué)生實(shí)際動(dòng)手操作，以使學(xué)生相信模擬結(jié)果的真實(shí)性，然后再通過(guò)計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬試驗(yàn)，得到模擬的結(jié)果．隨機(jī)模擬的教學(xué)中要充分使用信息技術(shù)，讓學(xué)生親自動(dòng)手產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，進(jìn)行模擬活動(dòng)．有條件的學(xué)?？梢宰寣W(xué)生用一種統(tǒng)計(jì)軟件統(tǒng)計(jì)模擬的結(jié)果．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情境

如圖，有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)．甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向Ｂ區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝． 問(wèn)題：在下列兩種情況下分別求甲獲勝的概率．

二、建立模型 1.提出問(wèn)題

首先引導(dǎo)學(xué)生分析幾何圖形和甲獲勝是否有關(guān)系，若有關(guān)系，和幾何體圖形的什么表面特征有關(guān)系？學(xué)生憑直覺(jué)，可能會(huì)指出甲獲勝的概率與扇形弧長(zhǎng)或面積有關(guān)．即：字母B所在扇形弧長(zhǎng)（或面積）與整個(gè)圓弧長(zhǎng)（或面積）的比．接著提出這樣的問(wèn)題：變換圖中B與N的順序，結(jié)果是否發(fā)生變化？（教師還可做出其他變換后的圖形，以示決定幾何概率的因素的確定性）．

題中甲獲勝的概率只與圖中幾何因素有關(guān)，我們就說(shuō)它是幾何概型．

注意：（1）這里“只”非常重要，如果沒(méi)有“只”字，那么就意味著幾何概型的概率可能還與其他因素有關(guān)，這是錯(cuò)誤的．

（2）正確理解“幾何因素”，一般說(shuō)來(lái)指區(qū)域長(zhǎng)度（或面積或體積）． 2.引導(dǎo)學(xué)生討論歸納幾何概型定義，教師明晰———抽象概括

如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型．

在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式如下：

3.再次提出問(wèn)題，并組織學(xué)生討論

（1）情境中兩種情況下甲獲勝的概率分別是多少？

（2）在500ml的水中有一個(gè)草履蟲(chóng)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)草履蟲(chóng)的概率．（3）某人午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開(kāi)收音機(jī)，想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10min的概率．

通過(guò)以上問(wèn)題的研討，進(jìn)一步明確幾何概型的意義及基本計(jì)算方法．

三、解釋?xiě)?yīng)用 ［例 題］

1.假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：30～7：30之間把報(bào)紙送到你家，而你父親離開(kāi)家去工作的時(shí)間在早上7：00～8：00之間，問(wèn)你父親在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙（稱為事件A）的概率是多少．

分析：我們有兩種方法計(jì)算事件的概率．（1）利用幾何概型的公式．（2）利用隨機(jī)模擬的方法．

解法1：如圖，方形區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示送報(bào)人送到報(bào)紙的時(shí)間，縱坐標(biāo)表示父親離開(kāi)家去工作的時(shí)間．假設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)落在方形內(nèi)任一點(diǎn)是等可能的，所以符合幾何概型的條件．根據(jù)題意，只要點(diǎn)落到陰影部分，就表示父親在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙，即事件A發(fā)生，所以

解法2：設(shè)X，Y是0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)．X＋6.5表示送報(bào)人送到報(bào)紙的時(shí)間，Y＋7表示父親離開(kāi)家去工作的時(shí)間．如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5，那么父親在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙．用計(jì)算機(jī)做多次試驗(yàn)，即可得到P（A）．

教師引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立解答，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生自主設(shè)計(jì)隨機(jī)模擬方法，并組織學(xué)生展示自己的解答過(guò)程，要求學(xué)生說(shuō)明解答的依據(jù)．教師總結(jié)，并明晰用計(jì)算機(jī)（或計(jì)算器）產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的模擬試驗(yàn)．強(qiáng)調(diào)：這里采用隨機(jī)數(shù)模擬方法，是用頻率去估計(jì)概率，因此，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越接近概率． 2.如圖，在正方形中隨機(jī)撒一大把豆子，計(jì)算落在圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆子數(shù)之比，并以此估計(jì)圓周率的值．

解：隨機(jī)撒一把豆子，每個(gè)豆子落在正方形內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，落在每個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)與這個(gè)區(qū)域的面積近似成正比，即

假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則

由于落在每個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)是可以數(shù)出來(lái)的，所以

這樣就得到了π的近似值．

另外，我們也可以用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)模擬，步驟如下：

（1）產(chǎn)生兩組0～1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)，a1＝RAND，b1＝RAND；（2）經(jīng)平移和伸縮變換，a＝（a1－0.5）*2，b＝（b1－0.5）*2；

（3）數(shù)出落在圓內(nèi)a2＋b2＜1的豆子數(shù)N1，計(jì)算子數(shù)）．

（N代表落在正方形中的豆可以發(fā)現(xiàn)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，得到π的近似值的精度會(huì)越來(lái)越高．

本例啟發(fā)我們，利用幾何概型，并通過(guò)隨機(jī)模擬法可以近似計(jì)算不規(guī)則圖形的面積． ［練習(xí)］

1.如圖30-4，如果你向靶子上射200鏢，你期望多少鏢落在黑色區(qū)域． 2.利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算圖30-5中陰影部分（y＝1和y＝x圍成的部分）的面積．

23.畫(huà)一橢圓，讓學(xué)生設(shè)計(jì)方案，求此橢圓的面積．

四、拓展延伸

1.“概率為數(shù)?0?的事件是不可能事件，概率為1的事件是必然事件”，這句話從幾何概型的角度還能成立嗎？

2.你能說(shuō)一說(shuō)古典概型和幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系嗎？ 3.你能說(shuō)說(shuō)頻率和概率的關(guān)系嗎？

點(diǎn) 評(píng)

這篇案例設(shè)計(jì)完整，整體上按知識(shí)難易逐漸深入，同時(shí)充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，以學(xué)生之間互動(dòng)為主，教師引導(dǎo)為輔．例題既有深化所學(xué)知識(shí)的，又有應(yīng)用所學(xué)知識(shí)的．“拓展延伸”既培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，又有利于學(xué)生從總體上把握這節(jié)課所學(xué)的知識(shí)．

第四篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例古典概型

古典概型

教材分析

古典概型是概率中最基本、最常見(jiàn)而又最重要的類型之一．這節(jié)內(nèi)容是在一般隨機(jī)事件的概率的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究等可能性事件的概率．教材首先通過(guò)一些熟悉的例子，歸納出古典概型的特征，進(jìn)而給出古典概型的定義，這里滲透了從特殊到一般的思想．這節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容是古典概型的概念，難點(diǎn)是利用古典概型的概念求古典概率．

教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)實(shí)例對(duì)古典概型概念的歸納和總結(jié)，使學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生和形成的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力．

2.理解古典概型的概念，能運(yùn)用所學(xué)概念求一些簡(jiǎn)單的古典概率，并通過(guò)實(shí)例歸納和總結(jié)出概率的一般加法公式．

3.通過(guò)對(duì)古典概型的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)隨機(jī)事件概率的實(shí)際意義．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容在學(xué)生已理解隨機(jī)事件概率的基礎(chǔ)上，由具體的例子抽象出古典概型的概念．在這里，一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型是難點(diǎn)，故要通過(guò)具體例子總結(jié)古典概型的兩個(gè)共同特征，特別要注意反例的列舉．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情境

1.擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．這個(gè)試驗(yàn)的基本事件空間Ω＝｛1，2，3，4，5，6｝．它有6個(gè)基本事件．由于骰子的構(gòu)造是均勻的，因而出現(xiàn)這６種結(jié)果的機(jī)會(huì)是均等的，均為

．

2.一先一后擲兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況．這個(gè)試驗(yàn)的基本事件空間Ω＝｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝．它有4個(gè)基本事件．因?yàn)槊恳幻队矌拧俺霈F(xiàn)正面”與“出現(xiàn)反面”的機(jī)會(huì)是均等的，所以可以近似地認(rèn)為出現(xiàn)這4種結(jié)果的機(jī)會(huì)是均等的，均為．

3.在適宜的條件下“種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”．這個(gè)試驗(yàn)的基本事件空間為Ω＝｛發(fā)芽，不發(fā)芽｝，而這兩種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)一般是不均等的．

二、建立模型

1.討論以上三個(gè)問(wèn)題的特征

在這里，教師可引導(dǎo)學(xué)生從試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果上以及每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性上討論． 結(jié)論：（1）問(wèn)題1，2與問(wèn)題3不相同．（2）問(wèn)題1，2有兩個(gè)共同特征：

①有限性．在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè)，即只有有限個(gè)不同的基本事件． ②等可能性．每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的． 2.古典概型的定義

通過(guò)學(xué)生的討論，歸納出古典概型的定義．

如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有上述（2）中的兩個(gè)共同特征，我們就稱這樣的試驗(yàn)為古典概型，上述前2個(gè)例子均為古典概型．

一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征———有限性和等可能性，并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型．例如，第3個(gè)例子就不屬于古典概型．

3.討論古典概型的求法

充分利用問(wèn)題1，2抽象概括出古典概型的求法．

一般地，對(duì)于古典概型，如果試驗(yàn)的n個(gè)事件為A1，A2，…，An，由于基本事件是兩兩互斥的，則由互斥事件的概率加法公式，得

P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）＝P（A1∪A2∪…∪An）＝P（Ω）＝1． 又∵P（A1）＝P（A2）＝…＝P（An），∴代入上式，得nP（A1）＝1，即P（A1）＝

．

∴在基本事件總數(shù)為n的古典概型中，每個(gè)基本事件發(fā)生的概率為．

如果隨機(jī)事件Ａ包含的基本事件數(shù)為m，同樣地，由互斥事件的概率加法公式可得P（A）＝mn，即

三、解釋?xiě)?yīng)用

.［例題一］

1.擲一顆骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，求擲得奇數(shù)點(diǎn)的概率． 注：規(guī)范格式，熟悉求法．

2.從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率．

［練習(xí)一］

在例2中，把“每次取出后不放回”換成“每次取出后放回”，其余條件不變，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率．

注意：放回抽樣與不放回抽樣的區(qū)別． ［例題二］

甲、乙兩人做出拳游戲（錘子、剪刀、布）．求：（1）平局的概率．（2）甲贏的概率．（3）乙贏的概率．

解：把甲、乙出的“錘子”、“剪刀”、“布”分別標(biāo)在坐標(biāo)軸上．

其中△為平局，⊙為甲贏，※為乙贏，一次出拳共有3×3＝9種，結(jié)果如圖29-1．設(shè)平局為事件A，甲贏為事件B，乙贏為事件C．

由古典概率的計(jì)算公式，得

思考：例3這類概率問(wèn)題的解法有何特點(diǎn)？

［練習(xí)二］

拋擲兩顆骰子，求：（1）點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)7點(diǎn)的概率．（2）出現(xiàn)兩個(gè)4點(diǎn)的概率． ［例題三］

擲紅、藍(lán)兩顆骰子，事件A＝｛紅骰子的點(diǎn)數(shù)大于3｝，事件B＝｛藍(lán)骰子的點(diǎn)數(shù)大于3｝，求事件A∪B＝｛至少有一顆骰子點(diǎn)數(shù)大于3｝發(fā)生的概率．

教師明晰：古典概型的情況下概率的一般加法公式． 設(shè)A，B是Ω中的兩個(gè)事件．

P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B），特別地，當(dāng)A∩B＝［練習(xí)三］

時(shí)，P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．

一個(gè)電路板上裝有甲、乙兩根熔絲，甲熔斷的概率為0.85，乙熔斷的概率為0.74，兩根同時(shí)熔斷的概率為0.63．問(wèn)：至少有一根熔斷的概率是多少？

四、拓展延伸

每個(gè)人的基因都有兩份，一份來(lái)自父親，另一份來(lái)自母親．同樣地，他的父親和母樣的基因也有兩份．在生殖的過(guò)程中，父親和母親各自隨機(jī)地提供一份基因給他們的后代．

以褐色的眼睛為例，每個(gè)人都有一份基因顯示他眼睛的顏色：（1）眼睛為褐色．（2）眼睛不為褐色．

如果孩子得到父母的基因都為“眼睛為褐色”，則孩子的眼睛也為褐色．如果孩子得到父母的基因都為“眼睛不為褐色”，則孩子眼睛不為褐色（是什么顏色取決于其他的基因）．如果孩子得到的基因中一份為“眼睛為褐色”，另一份為“眼睛不為褐色”，則孩子的眼睛不會(huì)出現(xiàn)兩種可能，而只會(huì)出現(xiàn)眼睛顏色為褐色的情況．生物學(xué)家把“眼睛為褐色”的基因叫作顯性基因．

為方便起見(jiàn)，我們用字母B代表“眼睛為褐色”這個(gè)顯性基因，用b代表“眼睛不為褐色”這個(gè)基因．每個(gè)人都有兩份基因，控制一個(gè)人眼睛顏色的基因有BB，Bb（表示父親提供基

因B，母親提供基因b），bB，bb．注意在BB，Bb，bB和bb這4種基因中只有bb基因顯示為眼睛顏色不為褐色，其他的基因都顯示眼睛顏色為褐色．

假設(shè)父親和母親控制眼睛顏色的基因都為Bb，則孩子眼睛不為褐色的概率有多大？

點(diǎn) 評(píng)

這篇案例設(shè)計(jì)思路清晰，重點(diǎn)突出，目標(biāo)明確，為分散難點(diǎn)案例采用了從具體到抽象的方法，充分展示了知識(shí)的形成過(guò)程，使學(xué)生感到自然，沒(méi)有突兀感，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．例題的設(shè)計(jì)有梯度，跟蹤練習(xí)有針對(duì)性，教學(xué)過(guò)程充分發(fā)揮了學(xué)生自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式，對(duì)學(xué)生后繼學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)有積極的作用．

第五篇：第二部分高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例

第二部分 高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例

正弦函數(shù)的性質(zhì)

教材分析

這篇案例的內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握正弦函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察、歸納和總結(jié)，得出正弦函數(shù)的五個(gè)重要性質(zhì)，即正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性．教學(xué)重點(diǎn)是正弦函數(shù)的圖像特征及五個(gè)重要性質(zhì)，難點(diǎn)是周期函數(shù)及最小正周期的意義．由于周期函數(shù)的概念比較抽象，因此，在引入定義之前，應(yīng)注意通過(guò)具體實(shí)例讓學(xué)生充分體會(huì)這種“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，體會(huì)新概念的形成過(guò)程．

教學(xué)目標(biāo)

1.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，分析y＝sinx的圖像，進(jìn)而歸納、總結(jié)出正弦函數(shù)的圖像特征，并抽象出函數(shù)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析圖像的能力和數(shù)形結(jié)合的能力．

2.理解和掌握正弦函數(shù)的五個(gè)重要性質(zhì)，能夠解決與正弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域、最小正周期及單調(diào)區(qū)間等簡(jiǎn)單問(wèn)題．

3.使學(xué)生進(jìn)一步了解從特殊到一般、從一般到特殊的思維方法，體會(huì)分析、探索、化歸、類比的科學(xué)研究方法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用．

4.使學(xué)生初步體會(huì)事物周期變化的一些奧秘，進(jìn)一步提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握了正弦函數(shù)圖像特征的基礎(chǔ)上，運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言把圖像特征進(jìn)一步“量化”，從而得出正弦函數(shù)的五個(gè)性質(zhì)．一般來(lái)說(shuō)，從正弦曲線的形狀，可以很清晰地看出正弦函數(shù)的定義域、值域、最值、符號(hào)、周期性、奇偶性、單調(diào)性等，但對(duì)于周期性及單調(diào)區(qū)間的表述，學(xué)生可能會(huì)有一定的困難．因此，在引入周期函數(shù)的定義之前，要讓學(xué)生充分觀察圖像，必要時(shí)可把物理中的彈簧振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)再做一做，讓學(xué)生體會(huì)“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，體會(huì)概念的形成過(guò)程．

此外，對(duì)于周期函數(shù)，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)： 1.x應(yīng)是“定義域內(nèi)的每一個(gè)值”．

2.對(duì)于某些周期函數(shù)，在它所有的周期中，不一定存在一個(gè)最小的正周期，即某些周期函數(shù)沒(méi)有最小正周期． 3.對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫作f（x）的最小正周期．今后涉及的周期，如果不加特殊說(shuō)明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情境

1.教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)

我們學(xué)習(xí)過(guò)正弦函數(shù)圖像的畫(huà)法，并通過(guò)觀察圖像，得到了正弦曲線的一些特征，那么這些特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)怎樣的性質(zhì)呢？

用投影膠片展示正弦曲線，引導(dǎo)學(xué)生探索正弦函數(shù)的性質(zhì)：

注：由此學(xué)生得出正弦函數(shù)的如下性質(zhì)：（1）定義域?yàn)镽．

（2）值域?yàn)椋郏?，1］，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ＋當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ－

（k∈Z）時(shí)，正弦函數(shù)取得最大值1，（k∈Z）時(shí)，正弦函數(shù)取得最小值－1．

注：在此處，教師應(yīng)提醒學(xué)生注意前面的“2kπ”，使學(xué)生初步感受一下正弦函數(shù)的“周而復(fù)始”性．

2.教師進(jìn)一步提出問(wèn)題

從正弦曲線我們注意到，函數(shù)y＝sinx在x∈［－2π，0］，x∈［2π，4π］，x∈［4π，6π］，…時(shí)的圖像與x∈［0，2π］的形狀完全一樣，只是位置不同，這種特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)的什么性質(zhì)呢？

（設(shè)計(jì)目的：引導(dǎo)學(xué)生從物理中彈簧的振動(dòng)，即小球在平衡位置的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，體會(huì)事物的“周期性”變化）

（2）數(shù)學(xué)中的這種周期性變化能否用一個(gè)數(shù)學(xué)式子來(lái)體現(xiàn)？

二、建立模型 1.引導(dǎo)學(xué)生探究

2.教師明晰

通過(guò)學(xué)生的討論，歸納出周期函數(shù)的定義：

一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x±T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)Ｔ叫作這個(gè)函數(shù)的周期．

說(shuō)明：若學(xué)生歸納和總結(jié)出周期函數(shù)的如下定義，也應(yīng)給以充分的肯定．

如果某函數(shù)對(duì)于自變量的一切值每增加或減少一個(gè)定值，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)，那么這個(gè)函數(shù)就叫作周期函數(shù)．

給出最小正周期的概念：對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作它的最小正周期．教科書(shū)中今后涉及的周期，如果不加特殊說(shuō)明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

3.深化定義的內(nèi)涵

（1）觀察等式sin（y＝sinx的周期？為什么？

＋）＝sin是否成立？如果成立，能不能說(shuō)是正弦函數(shù)（2）函數(shù)f（x）＝c是周期函數(shù)嗎？它有沒(méi)有最小正周期？ 3.歸納正弦函數(shù)的性質(zhì)

通過(guò)觀察圖像，我們得到了正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性等性質(zhì)，除此之外，正弦函數(shù)還有哪些性質(zhì)呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出以下兩條性質(zhì)：

奇偶性：由誘導(dǎo)公式sin（－x）＝－sinx，知正弦函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 單調(diào)性：觀察正弦曲線可以看出，當(dāng)x由－由－1增大到1；當(dāng)x由

增大到

增大到時(shí)，曲線逐漸上升，sinx的值

時(shí)，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1．因此，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函數(shù)，其值從－1＋2kπ］（k∈Z）上都是減函數(shù)，其值從1減正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［－增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［小到－1．

三、解釋?xiě)?yīng)用 1.例題分析

＋2kπ，＋2kπ，例1 求使下列函數(shù)取得最大值和最小值的x的集合，并說(shuō)出最大值和最小值是什么．（1）y＝sin2x．

（2）y＝sinx＋2．

（3）y＝asinx＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4．

解：（1）當(dāng)2x＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sin2x取得最

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sin2x大值，最大值是1；當(dāng)2x＝2kπ－取得最小值，最小值是－1．

（k∈Z），即x＝kπ－∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝kπ－

（k∈Z）｝，最大值是1；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值是－1．

（2）由于函數(shù)y＝sinx與函數(shù)y＝sinx＋2同時(shí)取得最大值和最小值．因此，當(dāng)x＝2kπ＋（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sinx＋2取得最大值，最大值為3；當(dāng)x＝2kπ－

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sinx＋2取得最小值，最小值為1．

∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，最大值為3；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值為1．

（3）當(dāng)a＞0時(shí)，使函數(shù)取得最大值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋＝a＋b；使函數(shù)取得最小值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，ymax

（k∈Z）｝，ymin＝－a＋b． 當(dāng)a＜0時(shí)，使函數(shù)取得最大值時(shí)的ｘ的集合為｛x｜x＝2kπ－a＋b；使函數(shù)取得最小值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝，ymax＝－

（k∈Z）｝，ymin＝a＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝

設(shè)t＝sinx，則y＝二次函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題了．，且t∈［－1，1］，于是問(wèn)題就變成求閉區(qū)間上當(dāng)t＝1，即sinx＝1時(shí)，ymax＝1，取最大值時(shí)x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝；

當(dāng)t＝－1，即sinx＝－1時(shí)，ymin＝－9，取最小值時(shí)x的集合為｛x｜x＝2kπ－∈Z）｝.［練習(xí)］

求下列函數(shù)的最值，以及使函數(shù)取得值時(shí)的自變量ｘ的集合．

（k（1）y＝｜a｜sinx＋b．

（2）y＝－sin2x＋例2 求下列函數(shù)的周期．

sinx＋．

（1）y＝sin2x．

（2）y＝．

解：（1）要求函數(shù)y＝sin2x的周期，只須尋求使等式sin2（x＋T）＝sin2x恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使sin（2x＋2T）＝sin2x恒成立的正數(shù)2T的最小值是2π，∴當(dāng)2T＝2π時(shí)，T＝π． 因此，函數(shù)y＝sin2x的周期為π．

（2）要求函數(shù)y＝的周期，只須尋求使等式 2.教師啟發(fā)，誘導(dǎo)學(xué)生自主反思

（1）從上面的例題分析中，你是否有所發(fā)現(xiàn)？（這類函數(shù)的周期好像只與x的系數(shù)有關(guān)）

（2）一般地，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期是多少？ ［要求函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的周期，只須尋求使等式Asin［ω（x＋T）＋φ］＝Asin（ωx＋φ），即Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的正數(shù)ωT，最小值是2π，∴當(dāng)ωT＝2π時(shí)，T＝.因此，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0，x∈R）的周期為3.鞏 固 ［練習(xí)］ 求下列函數(shù)的周期．

4.進(jìn)一步強(qiáng)化

例3 不求值，指出下列各式大于零還是小于零．

例4 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（1）y＝1－sin3x．

（2）y＝log2sin3x．

四、拓展延伸

1.若常數(shù)T為f（x）的周期，nT（n∈N*）是否也是它的周期？ 2.你能證明正弦函數(shù)的最小正周期是2π嗎？

3.某港口的水深y（m）是時(shí)間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，下面是該港口的水深表： 表35-1

經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的觀察，描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y＝Asinωt＋B的圖像．

（1）試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出函數(shù)y＝Asinωt＋B的表達(dá)式．

（2）一般情況下，船舶航行時(shí)船底同海底的距離不少于4.5m時(shí)是安全的．如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間（忽略離港用的時(shí)間）？