第一篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇 31 角的概念的推廣

角的概念的推廣

教材分析

這節(jié)課主要是把學(xué)生學(xué)習(xí)的角從不大于周角的非負(fù)角擴(kuò)充到任意角，使角有正角、負(fù)角和零角．首先通過(guò)生產(chǎn)、生活的實(shí)際例子闡明了推廣角的必要性和實(shí)際意義，然后又以“動(dòng)”的觀點(diǎn)給出了正、負(fù)、零角的概念，最后引入了幾個(gè)與之相關(guān)的概念：象限角、終邊相同的角等．在這節(jié)課中，重點(diǎn)是理解任意角、象限角、終邊相同的角等概念，難點(diǎn)是把終邊相同的角用集合和符號(hào)語(yǔ)言正確地表示出來(lái)．理解任意角的概念，會(huì)在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)認(rèn)識(shí)角的幾何表示和終邊相同的角的表示，是學(xué)好這節(jié)的關(guān)鍵．

教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)實(shí)例，體會(huì)推廣角的必要性和實(shí)際意義，理解正角、負(fù)角和零角的定義． 2.理解象限角的概念、意義及表示方法，掌握終邊相同的角的表示方法．

3.通過(guò)對(duì)“由一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線形成的圖形”到“射線繞著其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成角”的認(rèn)識(shí)過(guò)程，使學(xué)生感受“動(dòng)”與“靜”的對(duì)立與統(tǒng)一．培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)審視事物，用對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律揭示生活中的空間形式和數(shù)量關(guān)系．

任務(wù)分析

這節(jié)課概念很多，應(yīng)盡可能讓學(xué)生通過(guò)生活中的例子（如鐘表上指針的轉(zhuǎn)動(dòng)、體操運(yùn)動(dòng)員的轉(zhuǎn)體、自行車輪子上的某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)等）了解引入任意角的必要性及實(shí)際意義，變抽象為具體．另外，可借助于多媒體進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情境 ［演 示］ 1.觀覽車的運(yùn)動(dòng)．

2.體操運(yùn)動(dòng)員、跳臺(tái)跳板運(yùn)動(dòng)員的前、后轉(zhuǎn)體動(dòng)作． 3.鐘表秒針的轉(zhuǎn)動(dòng)． 4.自行車輪子的滾動(dòng)． ［問(wèn) 題］ 1.如果觀覽車兩邊各站一人，當(dāng)觀覽車轉(zhuǎn)了兩周時(shí)，他們觀察到的觀覽車上的某個(gè)座位上的游客進(jìn)行了怎樣的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)了多大的角？

2.在運(yùn)動(dòng)員“轉(zhuǎn)體一周半動(dòng)作”中，運(yùn)動(dòng)員是按什么方向旋轉(zhuǎn)的，轉(zhuǎn)了多大角？ 3.鐘表上的秒針（當(dāng)時(shí)間過(guò)了1.5min時(shí)）是按什么方向轉(zhuǎn)動(dòng)的，轉(zhuǎn)動(dòng)了多大角？ 4.當(dāng)自行車的輪子轉(zhuǎn)了兩周時(shí)，自行車輪子上的某一點(diǎn)，轉(zhuǎn)了多大角？

顯然，這些角超出了我們已有的認(rèn)識(shí)范圍．本節(jié)課將在已掌握的0°～360°角的范圍的基礎(chǔ)上，把角的概念加以推廣，為進(jìn)一步研究三角函數(shù)作好準(zhǔn)備．

二、建立模型

1.正角、負(fù)角、零角的概念

在平面內(nèi)，一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)有兩個(gè)方向：順時(shí)針?lè)较蚝湍鏁r(shí)針?lè)较颍?xí)慣上規(guī)定，按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的角叫作正角；按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角叫作負(fù)角；當(dāng)射線沒(méi)有旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也把它看成一個(gè)角，叫作零角．

2.象限角

當(dāng)角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合、角的始邊與ｘ軸正半軸重合時(shí)，角的終邊在第幾象限，就把這個(gè)角叫作第幾象限的角．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限．

3.終邊相同的角

在坐標(biāo)系中作出390°，－330°角的終邊，不難發(fā)現(xiàn)，它們都與30°角的終邊相同，并且這兩個(gè)角都可以表示成0°～360°角與k個(gè)（k∈Z）周角的和，即

390°＝30°＋360°，（k＝1）； －330°＝30°－360°，（k＝－1）．

設(shè)S＝｛β｜β＝30°＋k·360°，k∈Z｝，則390°，－330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素（此時(shí)k＝0）．容易看出，所有與30°角終邊相同的角，連同30°角在內(nèi)，都是S中的元素；反過(guò)來(lái)，集合S中的任一元素均與30°角終邊相同．一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合：S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一與α終邊相同的角，都可以表求成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角．（1）－150°．

（2）650°．

（3）－950°5′．

2.分別寫出與下列角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β＜720°的元素寫出來(lái)．

（1）60°．（2）－21°．（3）363°14′． 3.寫出終邊在y軸上的角的集合．

解：在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在ｙ軸上的角有兩個(gè)，即90°，270°．因此，與這兩個(gè)角終邊相同的角構(gòu)成的集合為

S1＝｛β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝，而所有與270°角終邊相同的角構(gòu)成的集合為

S2＝｛β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z｝＝ ｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝． 于是，終邊在y軸上的角的集合為

S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋n·180°，n∈Z｝．

注：會(huì)正確使用集合的表示方法和符號(hào)語(yǔ)言． ［練習(xí)］

1.寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來(lái)．

（1）45°．（2）－30°．（3）420°．（4）－225°． 2.辨析概念．（分別用集合表示出來(lái)）

（1）第一象限角．（2）銳角．（3）小于90°的角．（4）0°～90°的角． 3.一角為30°，其終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為．

4.終邊在x軸上的角的集合為；終邊在第一、三象限的角的平分線上的角集合為．

四、拓展延伸

1.若角α與β終邊重合，則α與β的關(guān)系是；若角α與β的終邊互為反向延長(zhǎng)線，則角α與β的關(guān)系是． 2.如果α在第二象限時(shí)，那么2α，是第幾象限角？

注：（1）不能忽略2α的終邊可能在坐標(biāo)軸上的情況．

（2）研究在哪個(gè)象限的方法：討論k的奇偶性．（如果是呢？）

點(diǎn) 評(píng)

這篇案例運(yùn)用多媒體展示了生活中常見(jiàn)的實(shí)例，極易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情．在對(duì)知識(shí)的探討過(guò)程中，特別注意了知識(shí)的形成過(guò)程，重點(diǎn)突出．例題的設(shè)置比較典型，難易度適中．練習(xí)題注重基礎(chǔ)，但也有一定的梯度，利于培養(yǎng)學(xué)生靈活處理問(wèn)題的能力，并為學(xué)生學(xué)習(xí)以后章節(jié)做了較好的鋪墊．

第二篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇 36 向量的概念

向量的概念

教材分析

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本概念之一，它集“大小”與“方向”于一身，融“數(shù)”、“形”于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)，也是數(shù)形結(jié)合思想的重要載體．這節(jié)通過(guò)對(duì)物理中的位移和力的歸納，抽象、概括出向量的概念、有向線段、向量的表示、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的準(zhǔn)確含義．與數(shù)學(xué)中的許多概念一樣，都可以追溯它的實(shí)際背景．這節(jié)的重點(diǎn)是向量的概念、相等向量的概念和向量的幾何表示等．難點(diǎn)是向量的概念．

教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)對(duì)平面向量概念的抽象概括，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和科學(xué)的思維方法，使學(xué)生逐步由感性思維上升為理性思維．

2.理解向量的概念，會(huì)用有向線段表示向量，會(huì)判斷零向量，單位向量，平行的、相等的、共線的向量．

任務(wù)分析

在這之前，學(xué)生接觸較多的是只有大小的量（數(shù)量）．其實(shí)生活中還有一種不同于數(shù)量的量———向量．剛一開(kāi)始，學(xué)生很不習(xí)慣，但可適時(shí)地結(jié)合實(shí)例，逐步讓學(xué)生理解向量的兩個(gè)基本要素———大小和方向，再讓學(xué)生于實(shí)際問(wèn)題中識(shí)別哪些是向量，哪些是數(shù)量．這樣由具體到抽象，再由抽象到具體；由實(shí)踐到理論，再由理論到實(shí)踐，可使學(xué)生比較容易地理解．緊緊抓住向量的大小和方向，便于理解兩個(gè)向量沒(méi)有大小之分，只有相等與不相等、平行與共線等．要結(jié)合例、習(xí)題讓學(xué)生很好地理解相等向量（向量可以平移）．這些均可為以后用向量處理幾何等問(wèn)題帶來(lái)方便．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情景

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)．思考以下問(wèn)題：

1.在數(shù)學(xué)或其他學(xué)科中，你接觸過(guò)哪些類型的量？這些量本質(zhì)上有何區(qū)別？試描述這些量的本質(zhì)區(qū)別．

2.既有大小又有方向的量應(yīng)如何表示？

二、建立模型 1.學(xué)生分析討論

學(xué)生回答：人的身高，年齡，體重；……圖形的面積，體積；物體的密度，質(zhì)量；……物理學(xué)中的重力、彈力、拉力，速度、加速度，位移……

引導(dǎo)學(xué)生慢慢抽象出數(shù)量（只有大?。┖拖蛄浚扔写笮∮钟蟹较颍┑母拍睿?2.教師明晰

人們?cè)陂L(zhǎng)期生產(chǎn)生活實(shí)踐中，會(huì)遇到兩種不同類型的量，如身高、體重、面積、體積等，在規(guī)定的單位下，都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)表示它們的大小，我們稱之為數(shù)量；另一類，如力、速度、位移等，它們不僅有大小，而且有方向．作用于某物體上的力，它不僅有大小，而且有作用方向；物體運(yùn)動(dòng)的速度既有快慢之分，又有方向的區(qū)別．這類既有數(shù)量特性又有方向特性的量，就是我們要研究的向量．

在數(shù)學(xué)上，往往用一條有方向的線段，即有向線段來(lái)表示向量．有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．向量不僅可以用有向線段表示，也可用a，b，c，…表示，還可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如就是向量的長(zhǎng)度（模），記作，向量的大小.長(zhǎng)度等于

.長(zhǎng)度為零的向量叫零向量，記作0或1的向量叫作單位向量．

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，記作a∥b，規(guī)定0∥a（a為任一向量）長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，記作a＝b．任意兩個(gè)相等的非零向量都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)．在同一平面上，兩個(gè)平行的長(zhǎng)度相等且指向一致的有向線段可以表示同一向量．因?yàn)橄蛄客耆伤姆较蚝湍Q定．

任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，因此，平行向量也叫“共線向量”． 3.提出問(wèn)題，組織學(xué)生討論

（1）時(shí)間、路程、溫度、角度是向量嗎？速度、加速度、物體所受重力是向量嗎？（2）兩個(gè)單位向量一定相等嗎？（3）相等向量是平行向量嗎？

（4）物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對(duì)共線向量嗎？

（5）方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量是共線向量嗎？強(qiáng)調(diào)：大小、方向是向量的兩個(gè)基本要素，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量的大小和方向兩個(gè)要素完全相同時(shí)，兩個(gè)向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共線向量之間的異同．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

如圖，邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF的中心為O，試分別寫出與線的向量，以及單位向量．

相等、平行和共

解：都是單位向量．

［練習(xí)］

1.如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，試寫出圖中與相等的向量．

2.如果四邊形ABCD滿足，那么四邊形ABCD的形狀如何？

3.設(shè)E，F(xiàn)，P，Q分別是任意四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，對(duì)于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？

4.在平面上任意確定一點(diǎn)O，點(diǎn)P在點(diǎn)O“東偏北60°，3cm”處，點(diǎn)Q在點(diǎn)O“南偏西30°，3cm”處，試畫(huà)出點(diǎn)P和Q相對(duì)于點(diǎn)O的向量．

5.選擇適當(dāng)?shù)谋壤?，用有向線段分別表示下列各向量．（1）在與水平成120°角的方向上，一個(gè)大小為50N的拉力．（2）方向東南，8km／h的風(fēng)的速度．（3）向量

四、拓展延伸

1.如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點(diǎn)，在向量中相等的向量是哪些？為什么？

2.數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，那么與數(shù)的運(yùn)算類比，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算？

案例點(diǎn)評(píng)

這篇案例設(shè)計(jì)完整，思路清晰．該案例首先通過(guò)實(shí)例闡述了向量產(chǎn)生的背景，然后歸納、抽象了向量、平行向量、相等向量等概念，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是教學(xué)思維過(guò)程的教學(xué)，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的精神．例題與練習(xí)由淺入深，完整，全面．“拓展延伸”的設(shè)計(jì)有新意，有深度．為學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)提供了平臺(tái)．

第三篇：第二部分高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例

第二部分 高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例

正弦函數(shù)的性質(zhì)

教材分析

這篇案例的內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握正弦函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察、歸納和總結(jié)，得出正弦函數(shù)的五個(gè)重要性質(zhì)，即正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性．教學(xué)重點(diǎn)是正弦函數(shù)的圖像特征及五個(gè)重要性質(zhì)，難點(diǎn)是周期函數(shù)及最小正周期的意義．由于周期函數(shù)的概念比較抽象，因此，在引入定義之前，應(yīng)注意通過(guò)具體實(shí)例讓學(xué)生充分體會(huì)這種“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，體會(huì)新概念的形成過(guò)程．

教學(xué)目標(biāo)

1.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，分析y＝sinx的圖像，進(jìn)而歸納、總結(jié)出正弦函數(shù)的圖像特征，并抽象出函數(shù)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析圖像的能力和數(shù)形結(jié)合的能力．

2.理解和掌握正弦函數(shù)的五個(gè)重要性質(zhì)，能夠解決與正弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域、最小正周期及單調(diào)區(qū)間等簡(jiǎn)單問(wèn)題．

3.使學(xué)生進(jìn)一步了解從特殊到一般、從一般到特殊的思維方法，體會(huì)分析、探索、化歸、類比的科學(xué)研究方法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用．

4.使學(xué)生初步體會(huì)事物周期變化的一些奧秘，進(jìn)一步提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握了正弦函數(shù)圖像特征的基礎(chǔ)上，運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言把圖像特征進(jìn)一步“量化”，從而得出正弦函數(shù)的五個(gè)性質(zhì)．一般來(lái)說(shuō)，從正弦曲線的形狀，可以很清晰地看出正弦函數(shù)的定義域、值域、最值、符號(hào)、周期性、奇偶性、單調(diào)性等，但對(duì)于周期性及單調(diào)區(qū)間的表述，學(xué)生可能會(huì)有一定的困難．因此，在引入周期函數(shù)的定義之前，要讓學(xué)生充分觀察圖像，必要時(shí)可把物理中的彈簧振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)再做一做，讓學(xué)生體會(huì)“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，體會(huì)概念的形成過(guò)程．

此外，對(duì)于周期函數(shù)，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)： 1.x應(yīng)是“定義域內(nèi)的每一個(gè)值”．

2.對(duì)于某些周期函數(shù)，在它所有的周期中，不一定存在一個(gè)最小的正周期，即某些周期函數(shù)沒(méi)有最小正周期． 3.對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫作f（x）的最小正周期．今后涉及的周期，如果不加特殊說(shuō)明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情境

1.教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)

我們學(xué)習(xí)過(guò)正弦函數(shù)圖像的畫(huà)法，并通過(guò)觀察圖像，得到了正弦曲線的一些特征，那么這些特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)怎樣的性質(zhì)呢？

用投影膠片展示正弦曲線，引導(dǎo)學(xué)生探索正弦函數(shù)的性質(zhì)：

注：由此學(xué)生得出正弦函數(shù)的如下性質(zhì)：（1）定義域?yàn)镽．

（2）值域?yàn)椋郏?，1］，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ＋當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ－

（k∈Z）時(shí)，正弦函數(shù)取得最大值1，（k∈Z）時(shí)，正弦函數(shù)取得最小值－1．

注：在此處，教師應(yīng)提醒學(xué)生注意前面的“2kπ”，使學(xué)生初步感受一下正弦函數(shù)的“周而復(fù)始”性．

2.教師進(jìn)一步提出問(wèn)題

從正弦曲線我們注意到，函數(shù)y＝sinx在x∈［－2π，0］，x∈［2π，4π］，x∈［4π，6π］，…時(shí)的圖像與x∈［0，2π］的形狀完全一樣，只是位置不同，這種特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)的什么性質(zhì)呢？

（設(shè)計(jì)目的：引導(dǎo)學(xué)生從物理中彈簧的振動(dòng)，即小球在平衡位置的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，體會(huì)事物的“周期性”變化）

（2）數(shù)學(xué)中的這種周期性變化能否用一個(gè)數(shù)學(xué)式子來(lái)體現(xiàn)？

二、建立模型 1.引導(dǎo)學(xué)生探究

2.教師明晰

通過(guò)學(xué)生的討論，歸納出周期函數(shù)的定義：

一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x±T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)Ｔ叫作這個(gè)函數(shù)的周期．

說(shuō)明：若學(xué)生歸納和總結(jié)出周期函數(shù)的如下定義，也應(yīng)給以充分的肯定．

如果某函數(shù)對(duì)于自變量的一切值每增加或減少一個(gè)定值，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)，那么這個(gè)函數(shù)就叫作周期函數(shù)．

給出最小正周期的概念：對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作它的最小正周期．教科書(shū)中今后涉及的周期，如果不加特殊說(shuō)明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

3.深化定義的內(nèi)涵

（1）觀察等式sin（y＝sinx的周期？為什么？

＋）＝sin是否成立？如果成立，能不能說(shuō)是正弦函數(shù)（2）函數(shù)f（x）＝c是周期函數(shù)嗎？它有沒(méi)有最小正周期？ 3.歸納正弦函數(shù)的性質(zhì)

通過(guò)觀察圖像，我們得到了正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性等性質(zhì)，除此之外，正弦函數(shù)還有哪些性質(zhì)呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出以下兩條性質(zhì)：

奇偶性：由誘導(dǎo)公式sin（－x）＝－sinx，知正弦函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 單調(diào)性：觀察正弦曲線可以看出，當(dāng)x由－由－1增大到1；當(dāng)x由

增大到

增大到時(shí)，曲線逐漸上升，sinx的值

時(shí)，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1．因此，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函數(shù)，其值從－1＋2kπ］（k∈Z）上都是減函數(shù)，其值從1減正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［－增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［小到－1．

三、解釋應(yīng)用 1.例題分析

＋2kπ，＋2kπ，例1 求使下列函數(shù)取得最大值和最小值的x的集合，并說(shuō)出最大值和最小值是什么．（1）y＝sin2x．

（2）y＝sinx＋2．

（3）y＝asinx＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4．

解：（1）當(dāng)2x＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sin2x取得最

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sin2x大值，最大值是1；當(dāng)2x＝2kπ－取得最小值，最小值是－1．

（k∈Z），即x＝kπ－∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝kπ－

（k∈Z）｝，最大值是1；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值是－1．

（2）由于函數(shù)y＝sinx與函數(shù)y＝sinx＋2同時(shí)取得最大值和最小值．因此，當(dāng)x＝2kπ＋（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sinx＋2取得最大值，最大值為3；當(dāng)x＝2kπ－

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sinx＋2取得最小值，最小值為1．

∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，最大值為3；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值為1．

（3）當(dāng)a＞0時(shí)，使函數(shù)取得最大值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋＝a＋b；使函數(shù)取得最小值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，ymax

（k∈Z）｝，ymin＝－a＋b． 當(dāng)a＜0時(shí)，使函數(shù)取得最大值時(shí)的ｘ的集合為｛x｜x＝2kπ－a＋b；使函數(shù)取得最小值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝，ymax＝－

（k∈Z）｝，ymin＝a＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝

設(shè)t＝sinx，則y＝二次函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題了．，且t∈［－1，1］，于是問(wèn)題就變成求閉區(qū)間上當(dāng)t＝1，即sinx＝1時(shí)，ymax＝1，取最大值時(shí)x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝；

當(dāng)t＝－1，即sinx＝－1時(shí)，ymin＝－9，取最小值時(shí)x的集合為｛x｜x＝2kπ－∈Z）｝.［練習(xí)］

求下列函數(shù)的最值，以及使函數(shù)取得值時(shí)的自變量ｘ的集合．

（k（1）y＝｜a｜sinx＋b．

（2）y＝－sin2x＋例2 求下列函數(shù)的周期．

sinx＋．

（1）y＝sin2x．

（2）y＝．

解：（1）要求函數(shù)y＝sin2x的周期，只須尋求使等式sin2（x＋T）＝sin2x恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使sin（2x＋2T）＝sin2x恒成立的正數(shù)2T的最小值是2π，∴當(dāng)2T＝2π時(shí)，T＝π． 因此，函數(shù)y＝sin2x的周期為π．

（2）要求函數(shù)y＝的周期，只須尋求使等式 2.教師啟發(fā)，誘導(dǎo)學(xué)生自主反思

（1）從上面的例題分析中，你是否有所發(fā)現(xiàn)？（這類函數(shù)的周期好像只與x的系數(shù)有關(guān)）

（2）一般地，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期是多少？ ［要求函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的周期，只須尋求使等式Asin［ω（x＋T）＋φ］＝Asin（ωx＋φ），即Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的正數(shù)ωT，最小值是2π，∴當(dāng)ωT＝2π時(shí)，T＝.因此，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0，x∈R）的周期為3.鞏 固 ［練習(xí)］ 求下列函數(shù)的周期．

4.進(jìn)一步強(qiáng)化

例3 不求值，指出下列各式大于零還是小于零．

例4 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（1）y＝1－sin3x．

（2）y＝log2sin3x．

四、拓展延伸

1.若常數(shù)T為f（x）的周期，nT（n∈N*）是否也是它的周期？ 2.你能證明正弦函數(shù)的最小正周期是2π嗎？

3.某港口的水深y（m）是時(shí)間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，下面是該港口的水深表： 表35-1

經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的觀察，描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y＝Asinωt＋B的圖像．

（1）試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出函數(shù)y＝Asinωt＋B的表達(dá)式．

（2）一般情況下，船舶航行時(shí)船底同海底的距離不少于4.5m時(shí)是安全的．如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間（忽略離港用的時(shí)間）？

第四篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇___32_任意角的三角函數(shù)

任意角的三角函數(shù)

教材分析

這節(jié)課是在初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)．任意角的三角函數(shù)通常是借助直角坐標(biāo)系來(lái)定義的．三角函數(shù)的定義是本章教學(xué)內(nèi)容的基本概念和重要概念，也是學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，更是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵．因此，要重點(diǎn)地體會(huì)、理解和掌握三角函數(shù)的定義．在此基礎(chǔ)上，這節(jié)課又進(jìn)一步研討了三角函數(shù)的定義域，函數(shù)值在各象限的符號(hào)，以及誘導(dǎo)公式

（一），這既是對(duì)三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，也是為學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容做了必要準(zhǔn)備．

教學(xué)目標(biāo)

1.讓學(xué)生認(rèn)識(shí)三角函數(shù)推廣的必要性，經(jīng)歷三角函數(shù)的推廣的過(guò)程，增強(qiáng)對(duì)數(shù)的理解能力．

2.理解和掌握三角函數(shù)的定義，在此基礎(chǔ)上探索與研究三角函數(shù)定義域、三角函數(shù)值的符號(hào)和誘導(dǎo)公式

（一），并能初步應(yīng)用它們解決一些問(wèn)題．

3.通過(guò)對(duì)任意角的三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，初步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和運(yùn)用的過(guò)程，提高學(xué)生的科學(xué)思維水平．

任務(wù)分析

在初中，我們只是學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是任意角的三角函數(shù)．定義的對(duì)象從銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)，從四種三角函數(shù)增加到六種三角函數(shù)．定義的媒介則從直角三角形改為平面直角坐標(biāo)系．為了便于學(xué)生體會(huì)和理解，突出定義適用于任意角，通常要把終邊出現(xiàn)在四個(gè)象限的情況都畫(huà)出來(lái)（注意表示角時(shí)不用箭頭），學(xué)習(xí)時(shí)，必須弄清并強(qiáng)調(diào)：

這六個(gè)比值的大小都與點(diǎn)P在角的終邊上的位置無(wú)關(guān)，只與角的大小有關(guān)，即它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，符合函數(shù)的定義，從而歸納和總結(jié)出任意角的三角函數(shù)的定義．對(duì)于三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)和誘導(dǎo)公式

（一），可放手讓學(xué)生探索、研究、討論和歸納，用以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、情景設(shè)置 了當(dāng)α

初中我們學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，由其所在的直角三角形的對(duì)應(yīng)邊的比值為函數(shù)值，并且定義角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函數(shù)．這節(jié)課，我們研究是一個(gè)任意角時(shí)的三角函數(shù)的定義．

在初中，三角函數(shù)的定義是借助直角三角形來(lái)定義的．如圖32-1，在Rt△ABC中，現(xiàn)在，把三角形放到坐標(biāo)系中．如圖32-2，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），則OC＝b＝x，CB＝a＝y(tǒng)，OB＝，從而

即角α的三角函數(shù)可以理解為坐標(biāo)的比值，在此意義下對(duì)任意角α都可以定義其三角函數(shù)．

二、建立模型

一般地，設(shè)α是任意角，以α的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以角α的始邊的方向作為ｘ軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系xOy．P（x，y）為α終邊上不同于原點(diǎn)的任一點(diǎn)．如圖：

那么，OP＝，記作r，（r＞0）． 對(duì)于三個(gè)量x，y，r，一般地，可以產(chǎn)生六個(gè)比值：.當(dāng)α確定時(shí)，根據(jù)初中三角形相似的知識(shí)，可知這六個(gè)比值也隨之相應(yīng)的唯一確定．根據(jù)函數(shù)的定義可以看出，這六個(gè)比值都是以角為自變量的函數(shù)，分別把角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函數(shù)，記為

稱之為α

對(duì)于定義，思考如下問(wèn)題：

1.當(dāng)角α確定后，比值與P點(diǎn)的位置有關(guān)嗎？為什么？

2.利用坐標(biāo)法定義三角函數(shù)與利用直角三角形定義三角函數(shù)有什么關(guān)系？ 3.任意角α的正弦、余弦、正切都有意義嗎？為什么？

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)P（－2，3），求角α的六個(gè)三角函數(shù)值． 思考：若P（－2，3）變?yōu)椋ǎ?m，3m）呢？（m≠0）2.求下列角的六個(gè)三角函數(shù)值．

注：強(qiáng)化定義． ［練習(xí)］

1.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)下列各點(diǎn)，求角α的六個(gè)三角函數(shù)值．（1）P（3，－4）．（2）P（m，3）． 2.計(jì) 算．

（1）5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°．

四、拓展延伸

1.由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，三角函數(shù)可以看成以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，如sina＝，不論α取任何實(shí)數(shù)，恒有意義，所以sina的定義域?yàn)椋粒痢蔙｝．類似地，研究cosa，tana，cota的定義域．

2.根據(jù)三角函數(shù)的定義以及x，y，r在不同象限內(nèi)的符號(hào)，研究sina，cosa，tana，cota的值在各個(gè)象限的符號(hào)．

3.計(jì)算下列各組角的函數(shù)值，并歸納和總結(jié)出一般性的規(guī)律．（1）sin30°，sin390°．

（2）cos45°，cos（－315°）．

規(guī)律：終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，即sin（α＋k360°）＝sina，cos（α＋k·360°）＝cosa，tan（α＋k·360°）＝tana，（k∈Z）．

五、應(yīng)用與深化 ［例 題］

1.確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)．

2.求證：角α為第三象限角的充要條件是sinθ＜0，并且tanθ＞0． 證明：充分性：如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ為第三象限角．

∵sinθ＜0成立，所以θ的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的負(fù)半軸上． 又∵tanθ＞0成立，∴θ角的終邊可能位于第一或第三象限． ∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的終邊只能位于第三象限．

必要性：若θ為第三象限角，由三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)，知sinθ＜0，tanθ＞0． 從而結(jié)論成立． ［練習(xí)］

1.設(shè)α是三角形的一個(gè)內(nèi)角，問(wèn)：在sina，cosa，tana，tan取負(fù)值？為什么？

中，哪些三角函數(shù)可能2.函數(shù)的值域是 ____________ ．

點(diǎn) 評(píng)

這節(jié)課在設(shè)計(jì)上特別注意了以下幾點(diǎn)：①前后知識(shí)的聯(lián)系，知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程，如任意角的三角函數(shù)的定義，由初中所講“0°～360°”的情況逐漸過(guò)渡到“任意角”的情況，講清了推廣的必要性及意義．②注重了知識(shí)的探究，如三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)，及誘導(dǎo)公式

（一）．這里由學(xué)生自己去研究，討論，探索得出一般性結(jié)論，培養(yǎng)了學(xué)生獲取知識(shí)、探究知識(shí)的能力，強(qiáng)化了自主學(xué)習(xí)的意識(shí)．③注意了跟蹤練習(xí)的設(shè)計(jì)．

例題典型，練習(xí)有層次和變化，鞏固知識(shí)到位．

總體來(lái)說(shuō)，這是一節(jié)實(shí)用較強(qiáng)，形式又不乏新穎的較好案例．

第五篇：角的概念的推廣(教學(xué)設(shè)計(jì))

§2 角的概念的推廣

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過(guò)實(shí)例，理解角的概念推廣的必要性，了解任意角的概念，根據(jù)角的旋轉(zhuǎn)方向，能判斷正角、負(fù)角和零角；

2.學(xué)會(huì)建立直角坐標(biāo)系來(lái)討論任意角，理解象限角的定義，掌握終邊相同角的表示方法； 3.通過(guò)觀察、聯(lián)想得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)律的學(xué)習(xí)過(guò)程，體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維方法.【教學(xué)重點(diǎn)】

1.了解任意角的概念，初步理解正角、負(fù)角、零角、象限角、終邊相同的角的概念； 2.初步學(xué)會(huì)終邊相同的角的表示方法.【教學(xué)難點(diǎn)】

終邊相同的角的集合的表示方法.【教學(xué)方法】

六環(huán)節(jié)分層導(dǎo)學(xué)法

【課前準(zhǔn)備】

（學(xué)案導(dǎo)學(xué)）教師編印導(dǎo)學(xué)案，提前兩天下發(fā)，指導(dǎo)學(xué)生完成并檢查.學(xué)生預(yù)習(xí)教材P6-8相關(guān)內(nèi)容，完成優(yōu)化設(shè)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)梳理部分和導(dǎo)學(xué)案自主學(xué)習(xí)部分內(nèi)容，形成對(duì)角的概念的推廣的初步認(rèn)識(shí)；學(xué)有余力的同學(xué)嘗試完成優(yōu)化設(shè)計(jì)典型例題領(lǐng)悟部分和導(dǎo)學(xué)案合作探究部分，至少明確本節(jié)課的研究主線.（小組交流）學(xué)生分組交流討論，分享自己的學(xué)習(xí)心得，解決個(gè)別同學(xué)存在的困惑，共同梳理出自己小組存在的問(wèn)題，以便在課堂上得到及時(shí)解決。

（檢查反饋）

學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力比較差，主要存在以下問(wèn)題： 1)書(shū)寫不夠規(guī)范，角的單位“°”容易漏寫； 2)思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)，審題不仔細(xì)，做題往往不注意條件； 3)終邊相同的角的表示方法掌握不熟練； 4)概念辨析缺乏方法.完成較好的學(xué)生有：白煥煥、楊宇、楊強(qiáng)、何楠.【教學(xué)過(guò)程】

一、導(dǎo)入新課

初中階段我們學(xué)習(xí)了“角的概念”，請(qǐng)大家思考一下問(wèn)題：（1）初中學(xué)過(guò)的角是如何定義的，角的范圍又是怎樣的？（2）跳水運(yùn)動(dòng)員在空中身體的旋轉(zhuǎn)周數(shù)如何用角度來(lái)表示？（3）汽車在前進(jìn)和后退中，車輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角度如何表示才合理？

（4）工人師傅在擰緊或擰松螺絲時(shí)，扳手轉(zhuǎn)動(dòng)的角度如何表示比較合適？ 學(xué)生圍繞以上問(wèn)題進(jìn)行討論，從而得出正角、負(fù)角和任意角的有關(guān)概念.教師對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行總結(jié)，并強(qiáng)調(diào)：在日常生活中，我們經(jīng)常要遇到大于360°的角及按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角，這些都說(shuō)明了我們研究推廣角的概念的必要性.之后提出本節(jié)課的主要問(wèn)題，即在初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，將角的概念推廣到任意角.【板書(shū)】角的概念的推廣

二、展示評(píng)價(jià)

學(xué)生以組推薦代表展示導(dǎo)學(xué)案的完成情況，并回答問(wèn)題：本節(jié)課中學(xué)習(xí)了哪些新概念，這些概念分別是如何定義的？其他同學(xué)補(bǔ)充完善，不同組別之間展開(kāi)交流點(diǎn)評(píng)，教師根據(jù)學(xué)生的回答情況進(jìn)行板書(shū)，并點(diǎn)撥、激勵(lì)、評(píng)價(jià).展示形式：實(shí)物投影展示導(dǎo)學(xué)案的完成情況，口頭表述回答教師所提問(wèn)題.三、導(dǎo)引探究

教師引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)探究象限角的判定與終邊相同角的表示方法，學(xué)會(huì)建立直角坐標(biāo)系來(lái)討論任意角，理解象限角的定義，掌握終邊相同角的表示方法.探究1：判斷角所在象限

例1 在0°~360°之間，找出與下列各角終邊相同的角，并分別指出它們是第幾象限角：

（1）480°；

（2）-760°；

（3）932°；

歸納小結(jié)：判斷角α所在象限的方法：先在0°~360°之間，找出與所求角終邊相同的角β，因?yàn)棣僚cβ終邊相同，因此只需判斷角β所在象限，即為角α所在象限.跟蹤訓(xùn)練1：象限角的概念：

第一象限角的集合可表示為_(kāi)___________

______； 第二象限角的集合可表示為_(kāi)________

________ _； 第三象限角的集合可表示為

； 第四象限角的集合可表示為

.跟蹤訓(xùn)練2：銳角是第幾象限角？第一象限的角都是銳角嗎？ 探究2：終邊相同的角的表示方法

例2 寫出與60°終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式-360°≤β<720°的元素寫出來(lái).歸納小結(jié)：一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合

S={β|β=α+k×360°，k∈Z}.跟蹤訓(xùn)練3：在直角坐標(biāo)系中，寫出終邊在y軸上的角的集合（用0°~360°表示）

四、當(dāng)堂檢測(cè)

學(xué)生獨(dú)立完成導(dǎo)學(xué)案鞏固提高部分，教師巡視學(xué)生完成情況，檢測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)效果.五、課堂小結(jié)

師生共同回顧本節(jié)課的相關(guān)概念，總結(jié)解題方法 1.正角、負(fù)角、零角 2.象限角和終邊相同的角

3.角所在象限的判定和終邊相同的角的表示方法

六、作業(yè)布置

習(xí)題1-2

第2，3題 【教學(xué)反思】

本節(jié)課是北師大版必修4第一章第二節(jié)的內(nèi)容，是在初中的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)角的概念，是學(xué)好三角函數(shù)的基礎(chǔ).本節(jié)課使用的方法是六環(huán)節(jié)分層導(dǎo)學(xué)法，由學(xué)生先課前預(yù)習(xí)，完成導(dǎo)學(xué)案，小組進(jìn)行交流學(xué)習(xí)，課堂由學(xué)生展示和教師引導(dǎo)的課堂探究以及當(dāng)堂檢測(cè)組成.由于學(xué)生課前預(yù)習(xí)的過(guò)程中存在較大的問(wèn)題，自主學(xué)習(xí)能力較差，學(xué)習(xí)的主動(dòng)性不夠，獲取信息的能力較弱，導(dǎo)致學(xué)生課前完成的導(dǎo)學(xué)案問(wèn)題較多，影響了課堂展示評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)的進(jìn)行，再加上教師對(duì)六環(huán)節(jié)分層導(dǎo)學(xué)模式的應(yīng)用不夠熟練，導(dǎo)致課堂評(píng)價(jià)展示環(huán)節(jié)流于形式，變成教師的“滿堂解釋”，導(dǎo)引探究部分，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)角所在象限的判斷和終邊相同的角的表示方法進(jìn)行探究，學(xué)生基本能掌握兩種方法，但理解不夠，動(dòng)手能力還不好.最后由于時(shí)間把握不好，當(dāng)堂檢測(cè)部分未能按時(shí)完成.這節(jié)課基本上完成了教學(xué)任務(wù)，但是沒(méi)能很好的體現(xiàn)六環(huán)節(jié)分層導(dǎo)學(xué)模式，今后在教學(xué)中將會(huì)對(duì)這種教學(xué)模式進(jìn)行進(jìn)一步的探究，以期能熟練應(yīng)用這種教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)，提升教學(xué)效率.