第一篇：新利息理論教案第3章
第3章：變額年金
本課程第2章討論的都是等額支付的年金問題。本章將討論年金不相等的情況。如果每次支付的金額沒有任何變化規(guī)律，那么只好分別計(jì)算每次付款的現(xiàn)值與終值，然后將其相加求得年金的現(xiàn)值與終值。但某些變額年金仍然是有規(guī)律可循的，本節(jié)將討論這方面的年金。
第3.1節(jié)：遞增年金
本節(jié)內(nèi)容：
3.1.1期末付遞增年金
假設(shè)第一期末支付1元，第二期末支付2元，…，第n期末支付n元，那么這項(xiàng)年金就是按算術(shù)級(jí)數(shù)遞增的。
一、年金現(xiàn)值(Ia)nn
(Ia)如果用(Ia)n表示其現(xiàn)值，則有
?v?2v2?3v3?...?nvn（1）公式推導(dǎo)過程：
上式兩邊同乘（1+i）
(1?i)(Ia)?1?2v?3v2?...?nvn?1n
用第二式減去第一式 i(Ia)?(1?v?v2?v3?...?vn?1)?nvnn
?an?nvn
所以：(Ia)?ann?nvni
（2）公式的另一種推導(dǎo)思路（略）
二、年金終值(Is)nn
nii
三、例題
例
1、一項(xiàng)20年期的遞增年金，在第1年末支付65元，第2年末支付70元，第3年末支付75元，以此類推，最后一次支付發(fā)生在第20年末，假設(shè)年實(shí)際利率為6%，求此項(xiàng)年金在時(shí)刻零的現(xiàn)值。
解：最后一次支付的金額應(yīng)該為65?19?5?160元。將此年金分解成一項(xiàng)每(Is)?(1?i)(Ia)n?sn?n?sn?1?(n?1)年末支付60元的等額年金和一項(xiàng)第1年末支付5，每年遞增5元的遞增年金。這時(shí)：
例
2、一項(xiàng)遞增年金，第1年末支付300元，第2年末支付320元，第3年末支付340元，以此類推，直到最后一次支付600元，假設(shè)年實(shí)際利率為5%，試計(jì)算此項(xiàng)年金在最后一次支付時(shí)刻的終值。
20上述年金的現(xiàn)值為：60a20?5(Ia)?1181.70解：支付金額每次遞增20元，因?yàn)?00?300?15?20，所以一共支付了16次。最后一次支付發(fā)生在第16年末。
將此年金分解成一項(xiàng)每年末支付280元的等額年金和一項(xiàng)第1年末支付20，每年遞增20元的遞增年金。這時(shí)：
上述年金的終值為：280s16?20(Is)?10160.2516
3.1.2 期初付遞增年金
假設(shè)第一期初支付1元，第二期初支付2元，…，第n期初支付n元，那么這項(xiàng)年金就是按算術(shù)級(jí)數(shù)遞增的。
一、年金現(xiàn)值
如果用(Ia)n表示其年金現(xiàn)值，則有
?nvnd(Ia)n?(1?i)(Ia)n?an
二、年金終值 如果用(Is)nn表示年金現(xiàn)值，則有
dd
三、永續(xù)年金
當(dāng)n趨于無窮大時(shí)：
111??(1?(Ia)?diii)112??(1?)(Ia)?d2i
四、例題
1、確定期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值，每次付款為1、2、3、…。設(shè)實(shí)際利率為i=5%。
解：(Is)?(1?i)(Is)n?sn?n?sn?1?(n?1)(Ia)??111?(1?)diii=420 2
本節(jié)重點(diǎn)：
(Ia)年金現(xiàn)值本節(jié)難點(diǎn)：
年金現(xiàn)值n的計(jì)算公式。
(Ia)n的公式推導(dǎo)。
第3.2節(jié)：遞減年金
本節(jié)內(nèi)容：
3.2.1 期末付遞減年金
假設(shè)第一期末支付n元，第二期末支付n-1元，…，第n期末支付1元，那么這項(xiàng)年金就是按算術(shù)級(jí)數(shù)遞減的。
(Da)
一、年金現(xiàn)值如果用
n
(Da)nn表示其現(xiàn)值，則有
(Da)?nv?(n?1)v2?(n?2)v3?...?nn（1）公式推導(dǎo)過程：
上式兩邊同乘（1+i）
(1?i)(Da)?n?(n?1)v?(n?2)v2?...?vn?1n
用第二式減去第一式 i(Da)?n?(v?v2?v3?...?vn)?n?ann
(Da)所以：?nn?ani
（2）公式的另一種推導(dǎo)思路（略）
二、年金終值(Ds)nn
i
3.2.2 期初付遞減年金
假設(shè)第一期初支付n元，第二期初支付n-1元，…，第n期初支付1元，那么這項(xiàng)年金就是按算術(shù)級(jí)數(shù)遞減的。
一、公式(Ds)?(1?i)n(Da)n?n(1?i)n?sn1、如果用(Da)n表示其年金現(xiàn)值，則有
n?and(Da)n?(1?i)(Da)n?
2、如果用(Ds)n表示年金現(xiàn)值，則有
(Ds)n?(1?i)(Ds)n?n(1?i)n?snd
說明 ：遞減年金不存在永續(xù)年金的情況。
二、例題
本節(jié)重點(diǎn)：
(Da)年金現(xiàn)值本節(jié)難點(diǎn)：
年金現(xiàn)值
n(Da)和
n的計(jì)算公式。
(Da)n公式的證明。
第3.3節(jié)：付款金額按幾何級(jí)數(shù)變化的年金（復(fù)遞增年金）
本節(jié)內(nèi)容：
3.3.1 期末付復(fù)遞增年金
2(1?r)假設(shè)第一年末付款1元，第二年末付款(1+r)元，第三年末付款元,…，n?1(1?r)第n年末付款元，那么這項(xiàng)年金就是按幾何級(jí)數(shù)增長，其中(1?r)?0。當(dāng)r>0時(shí)，年金為遞增的，當(dāng)r<0時(shí)，年金為遞減的。
1、如果用A表示其年金現(xiàn)值，則有
1?rn1?()1?i?i?rA（推導(dǎo)過程略）
2、如果用S表示年金終值，則有
1?rn1?()(1?i)n?(1?r)nn1?iS?(1?i)[]?i?ri?r
3.3.2 期初付復(fù)遞增年金
2(1?r)假設(shè)第一年初付款1元，第二年初付款(1+r)元，第三年初付款元,…，4 n?1(1?r)第n年初付款元，那么這項(xiàng)年金就是按幾何級(jí)數(shù)增長，其中(1?r)?0。當(dāng)r>0時(shí)，年金為遞增的，當(dāng)r<0時(shí)，年金為遞減的。
1、如果用A表示其年金現(xiàn)值，則有
A1?rn1?()1?i?(1?i)i?r
2、如果用S表示年金終值，則有
(1?i)n?(1?r)nS?(1?i)i?r
3、關(guān)于永續(xù)年金
1?rn1?()11?i?i?r 在A中，當(dāng)r
4、例題
例1、20年期末付年金，首次付款1000元，以后每年遞增4%，如果年利率為7%，計(jì)算年金現(xiàn)值。
解：i=7%，r=4% 1?r101?()1?i?1000i?r現(xiàn)值=14459元 本節(jié)重點(diǎn)：
1?rn1?()1?i?i?r A。本節(jié)難點(diǎn)：
1?rn1?()1?i?i?rA的推導(dǎo)。
第3.4節(jié)：每年支付m次的變額年金
本節(jié)討論的年金屬于廣義變額年金。
本節(jié)內(nèi)容：
本部分內(nèi)容以期末付為例進(jìn)行分析
本部分為確定年金中最復(fù)雜的情況，主要以下述年金為例說明。假設(shè)利息結(jié) 轉(zhuǎn)周期為n，每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期支付款項(xiàng)m 次，那么總的付款次數(shù)為mn。如果每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期支付款項(xiàng)m 次，付款又是逐期遞增的，在第一個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期末支付1/m元，在第二個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期末支付2/m元，…，在第n個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期末支付n/m元。下面分兩種情況討論：
一、在同一個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)付款相同，但后一個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期比前一個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期每次多付1/m元。這樣在第一個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)每次付款1/m元，在第二個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)每次付款2/m元，…，在第n個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)每次付款n/m元。年金現(xiàn)值記為
(Ia)?m?n?？梢酝茖?dǎo)出計(jì)算公式。
(Ia)
1、?i(m)?m?n?a1(m)(1?2v?3v2?..?nvn?1)an?nvn
同里也可以推出終值的計(jì)算公式。
2、例題
二、在同一個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)付款也是逐期遞增。為了保證在第一個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期末付款1/m元，在第二個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期末付款2/m元，…，在第n個(gè)利息
1222mm結(jié)轉(zhuǎn)周期末付款n/m元，假設(shè)第一次付款元，第二次付款元，第三次付
?m?3mnn(m)?22a)n。可以推導(dǎo)出mmm元。年金現(xiàn)值記為(I款元，…，第mn次付款計(jì)算公式。
(m)(Ia)
1、?m?n?(m)an?nvni(m)
2、例題
本節(jié)重點(diǎn)：
遞增年金的計(jì)算公式。本節(jié)難點(diǎn)：
(m)(Ia)?m?n?(m)an?nvni(m)的推導(dǎo)。
第3.5節(jié)：連續(xù)支付的變額年金
本節(jié)內(nèi)容：
3.5.1 連續(xù)支付的變額年金
一、連續(xù)支付的遞增年金
an?nvn1、現(xiàn)值(Ia)n??
2(Is)?sn?n、終值n?
3、永續(xù)年金現(xiàn)值
(Ia)??1?d
二、連續(xù)支付的遞減年金
1、現(xiàn)值(Da)n?n?an?
n(1?i)n?sn2、終值(Ds)n??
3.5.2 連續(xù)支付連續(xù)遞增的年金
(m?m?a(m)
一、由(I)a)n?n?nvni(m)推出
(Ia)n公式
二、(Ia)n公式的直接推導(dǎo)
3.5.3 連續(xù)支付連續(xù)遞減的年金
（略）
3.5.4一般連續(xù)變額年金
一、現(xiàn)值
ntPV? ??texp[?0??sds]dt0
二、終值
nnFV? ??texp[0??sds]dtt
本節(jié)重點(diǎn)：
連續(xù)變額年金公式的推導(dǎo)。本節(jié)難點(diǎn)：
一般連續(xù)變額年金現(xiàn)值的表示。
第3.6節(jié)：年金問題的案例
一、固定養(yǎng)老金計(jì)劃
1.一般情景
責(zé)任：退休前時(shí)，每月初存入一定的金額，具體方式為，25-29歲，月付x1元；30-39歲，月付x2元；40-49歲，月付x3元；50-59歲，月付x4元。
權(quán)益：從60歲（退休）開始每月初領(lǐng)取p元，一直進(jìn)行20年。問題：在給定年利率i情況下，分析x1、x2、x3、x4與p的關(guān)系。2.（1）假設(shè)某人25歲參加保險(xiǎn)，則基本價(jià)值方程為
(12)(12)(12)12pa20?12x1s5(1?i)30?12x2s10(1?i)20(12)(12)?12x3s10(1?i)10?12x4s10
于是，p?x1s35?(x2?x1)s30?(x3?x2)s20?(x4?x3)s10a20
若i=10%，x1=200元，x2=300元，x3=500元，x4=1000元。
p?2s35?s30?2s20?5s10a?10580.48
20（2）如果從30歲開始加入，p?100則3s30?2s20?5s10a?8077.89
20（3）如果從40歲開始加入，p?500s則20a?s1020?4299.73
二、購房分期付款
某人采用貸款方式購房。已知房價(jià)為50萬元，首付比例為30%，貸款的年實(shí)際利率為8%。若每月底等額付款。求相應(yīng)貸款期為五年，八、十年時(shí)的月還款額。
解：(1?k)p?12Ran 計(jì)算出i(12)?12?=7.7208%。
五年期：月付款額7050.05元 八年期：月付款額4898.33元。十年期：月付款額4194.98元
三、汽車零售
某汽車商計(jì)劃采用如下零售策略：（1）若一次付清款項(xiàng)，價(jià)格為10萬元；（2）以年利率提供8%給4年分期貸款（每月末付款）。已知當(dāng)前市場(chǎng)上商業(yè)消費(fèi)貸款的月度結(jié)轉(zhuǎn)名義利率為12%，試分析第2種銷售策略的當(dāng)前成本（第2種付款的現(xiàn)值）。解：在8%的年實(shí)際利率下，月度付款100000/（12a4）=2428.2（元）；
按12%當(dāng)前利率計(jì)算上述月付款的當(dāng)前價(jià)值為：2428.2 當(dāng)前成本為100000-92209.6=7790。
?12?a48=92209.6（元）
第二篇：新利息理論教案第2章
第 2 章：等額年金
第 2.1 節(jié)：年金的含義
本節(jié)內(nèi)容：
一、年金的含義（annuity）
年金是指一系列的付款（或收款）。
年金最原始的含義是指一年付款一次，每次支付相等的金額的一系列款項(xiàng)。但現(xiàn)在被廣泛應(yīng)用到其他更一般的情形，時(shí)期和金額都可以變化。
二、年金的分類
1、確定年金和風(fēng)險(xiǎn)年金。
2、定期年金和永續(xù)年金。
3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付多次年金和連續(xù)年金。
4、期初付年金和期末付年金。
5、即期年金和延期年金。
6、等額年金和變額年金。本節(jié)重點(diǎn)：
年金的定義。本節(jié)難點(diǎn)：
年金的分類。
第 2.2 節(jié)：年金的現(xiàn)值
年金現(xiàn)值是一系列款項(xiàng)在期初的價(jià)值。
本節(jié)內(nèi)容：
2.2.1 期末付定期年金的現(xiàn)值
假設(shè)年金支付期限為n個(gè)時(shí)期，每個(gè)時(shí)期末支付1元，那么這種年金就是期末付定期年金。其現(xiàn)值一般用符號(hào)記為
ani表示。在不引起混淆的情況下，通常簡aan。an的計(jì)算過程圖（略）
一、公式
n?v?v2?v3?...?vn
v(1?vn)1?vn? ?1?vi
二、理解
n?v1?ian
三、例題
1、現(xiàn)在向銀行存入一筆錢，希望在以后的5年中每年末得到4000元，如果年實(shí)際利率為8%，現(xiàn)在應(yīng)該存入多少錢？
解：應(yīng)用期末付年金現(xiàn)值公式：
4000 說明：a58%=4000×3.9927=15971 a58%的具體數(shù)值可以通過年金現(xiàn)值表查到
2、一筆年金在20年內(nèi)每年末支付4，另一筆年金在10年內(nèi)每年末支付5。如果年實(shí)際利率為i，則這兩筆年金的現(xiàn)值相等。若另一筆款項(xiàng)n年內(nèi)以利率i投資可以翻番，求n。
解：4a20?5a10
1?v201?v104?5iiv10?0.25
i=0.148698
2.2.2 期初付定期年金的現(xiàn)值
假設(shè)年金支付期限為n個(gè)時(shí)期，每個(gè)時(shí)期初支付1元，那么這種年金就是期初付定期年金。其現(xiàn)值一般用符號(hào)記為
ani表示。在不引起混淆的情況下，通常簡aaan。an的計(jì)算過程圖（略）
一、公式
n?1?v?v2?v3?...?vn?1
(1?vn)1?vn? ?1?vd
二、n與nnan的關(guān)系
（可用公式展開證明）a2、a1、?(1?i)an?1?an?1（可用圖形講述）
三、例題
1、某企業(yè)租用了一間倉庫，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假設(shè)年實(shí)際利率為6%，試計(jì)算如果每年初支付租金，該倉庫的年租金應(yīng)該為多少？
解：設(shè)倉庫的年租金為A，可以建立
50000=Aa8，A=7596
2.2.3 期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值 永續(xù)年金是指無限期支付下去的年金。因此，其現(xiàn)值等于定期年金的現(xiàn)值當(dāng)支付期限n趨于無限大時(shí)的極限。若用a?表示期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值，則有
1?lim?a?n??ani
2.2.4 期初付永續(xù)年金的現(xiàn)值
一、公式
若用a?表示期初付永續(xù)年金的現(xiàn)值，則有
a??limann??1?d
二、a?與a?的關(guān)系 a??(1?i)a
?
三、例題
1、某企業(yè)租用了一間倉庫，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假設(shè)年實(shí)際利率為6%，試計(jì)算如果每年初支付租金，該倉庫的年租金應(yīng)該為多少？
解：設(shè)倉庫的年租金為A，可以建立
50000=Aa8，A=7596
2、一筆10000元的貸款，期限為10年。如果年利率為6%，比較下述三種還款方式，那種支付的利息多。（1）在10年末一次性償付所有本息；（2）每年末支付利息，在第10年末再償付本金；（3）10年內(nèi)每年末償付相等的金額，在10年末剛好付清。
解：（1）這筆款項(xiàng)在第10年末的累計(jì)值為
10000(1?0.06)10?17909
因此支付的利息總額為：17909-10000=7909元（2）每年末支付的利息為10000?0.06?600 因此支付的利息總額為：6000元（3）設(shè)每年末償付的金額為A 則Aa10?10000
A=1359 因此支付的利息總額為：1359?10?13590
3、A留下一筆十萬元遺產(chǎn)。這筆財(cái)產(chǎn)頭10年的利息付給收益人B，第2個(gè)10年利息付給收益人C，此后的均給慈善機(jī)構(gòu)D。若此項(xiàng)財(cái)產(chǎn)的年實(shí)際利率為7%，試確定B、C、D在此項(xiàng)財(cái)產(chǎn)中的分額。
解：此項(xiàng)財(cái)產(chǎn)實(shí)際上為100000×0.007=7000元其末付永續(xù)年金。
B：7000a10=7000×7.0236=49165 3 C：7000（a20-a10）=7000a10v10=24993 D：7000（a?-a20）=7000a20?v=25842
本節(jié)重點(diǎn)：
期末付定期年金的現(xiàn)值的計(jì)算公式。本節(jié)難點(diǎn)：
公式之間的關(guān)系。
第 2.3 節(jié)：年金的終值
定期年金存在終值，而永續(xù)年金不存在終值。本節(jié)內(nèi)容：
2.3.1 期末付定期年金的終值
期末付定期年金的終值一般用符號(hào)sni表示。
一、公式
sn?1?(1?i)?(1?i)2?...?(1?i)n?1
1?(1?i)n(1?i)n ?1?(1?i)??1i
二、解釋
(1?i)n?isn?1
2.3.2 期初付定期年金的終值 期初付定期年金的終值一般用符號(hào)sni表示。
一、公式
sn?(1?i)?(1?i)2?...?(1?i)n?1?(1?i)n
(1?i)(1?(1?i)n)(1?i)n?1(1?i)n ?1?(1?i)?i/1?i??1d
二、sn與sn的關(guān)系
1、sn?sn(1?i)（可用公式展開證明）
2、sn?sn?1?1（可用圖形講述）
三、例題
1、某人預(yù)計(jì)在10年后需要40000的資金，為此他打算每年初往一種基金存入一筆錢。如果基金的年實(shí)際利率為6%，那么他每年初應(yīng)該存入多少錢才能保證在10年末獲得40000元。
解：假設(shè)每年初存入A元
As10?40000
A=2863
2、投資者A和投資者B在40年間每年末均投資100，從第41年開始，投資者A每年末抽回X并持續(xù)15年，投資者B每年末抽回Y也持續(xù)15年。兩項(xiàng)投資在最后一次抽回后的賬面余額均為0.已知投資者A得年利率為8%，投資者B的年利率為10%，求Y-X。
解：對(duì)于投資者A：
100s100s400.08?Xa150.08
得 X=3026.54 對(duì)于投資者B：
400.1?Ya150.1
得 Y=5818.94 Y-X=2792.40
本節(jié)重點(diǎn)：
期末付定期年金的終值。本節(jié)難點(diǎn)：
s n與sn的關(guān)系。
第 2.4 節(jié)：年金的現(xiàn)值與終值的關(guān)系
本節(jié)內(nèi)容：
2.4.1 年金的現(xiàn)值與終值之間的換算關(guān)系
ss?ann?an(1?i)n
n(1?i)n
2.4.2 年金的現(xiàn)值與終值之間的倒數(shù)關(guān)系
1aa ??1nss?i
?d n1n1n
本節(jié)重點(diǎn)： 年金的現(xiàn)值與終值之間的換算關(guān)系。本節(jié)難點(diǎn)：
年金的現(xiàn)值與終值之間的倒數(shù)關(guān)系。
第 2.5 節(jié)：年金在任意時(shí)點(diǎn)上的值
本節(jié)內(nèi)容：
2.5.1年金在支付期開始前任意時(shí)點(diǎn)上的值
一、延期m個(gè)時(shí)期的期末付定期年金的現(xiàn)值m|an。
m|amn?an(1?i)?m?anv m|an?am?n?am
二、延期m個(gè)時(shí)期的期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值m|a?
vmm|a??i
三、期初付延期年金的現(xiàn)值的計(jì)算（略）
四、例題
2.5.2 年金在支付期內(nèi)任意時(shí)點(diǎn)上的值
2.5.3年金在支付期結(jié)束后任意時(shí)點(diǎn)上的值
本節(jié)重點(diǎn)：延期m個(gè)時(shí)期的期末付定期年金的現(xiàn)值m|an。本節(jié)難點(diǎn)：延期m個(gè)時(shí)期的期末付定期年金的現(xiàn)值m|an。
第2.6節(jié)：可變利率的年金的現(xiàn)值與終值
本節(jié)內(nèi)容：
2.6.1 每筆款項(xiàng)都以其支付時(shí)的利率計(jì)算
2.6.2 每筆款項(xiàng)經(jīng)歷哪個(gè)時(shí)期，就以哪個(gè)時(shí)期的利率計(jì)算
本節(jié)重點(diǎn)： 本節(jié)難點(diǎn)：
補(bǔ)充：
一、非標(biāo)準(zhǔn)時(shí)期與利率
二、非復(fù)利年金
補(bǔ)充概念：
一、利息結(jié)轉(zhuǎn)周期和年金支付周期
周期是一個(gè)時(shí)間的概念。利息結(jié)轉(zhuǎn)周期是指結(jié)轉(zhuǎn)一次利息所需要的時(shí)間長度；年金支付周期是指支付一次年金所需要的時(shí)間長度。
二、利息結(jié)轉(zhuǎn)周期和年金支付周期不相等時(shí)的的利息問題。具體計(jì)算有兩種思路。
第2.7節(jié) 每個(gè)利息接轉(zhuǎn)周期支付m次的年金（每年支付m次年金）本節(jié)內(nèi)容：
一、此類問題的直接計(jì)算
例：一筆50000元的貸款，計(jì)劃在今后的5年內(nèi)按月償還，如果年實(shí)際利率為6.09%，試計(jì)算每月末的付款金額。
解：月實(shí)際利率
(1?0.0609)12?1?0.0049386
假設(shè)每月末的付款金額為X，則有 50000?1Xa600.0049386
X=965
二、新公式
n表示利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)，m表示每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期包含的支付次數(shù)，mn表示年金的支付次數(shù)，i表示每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期的實(shí)際利率。2.7.1 期末付年金
一、n表示利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)，m表示每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期包含的支付次數(shù)，i表示每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期的實(shí)際利率，在每個(gè)支付周期末付款1/m元，每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期的付款是1元，那么該年金的現(xiàn)值為：
(m)an121n?1m?(v?vm?...?vm?vn)m1?vni?(m)?(m)anii(m)(m)sn?(1?i)nan
二、相應(yīng)的，在每個(gè)支付周期末付款1/m元，那么該年金的終值為
?ii(m)sn
三、例題
1、投資者在每月末向某基金存入100元，如果基金的年實(shí)際利率為5%，試計(jì)算該投資者在第5年末的累計(jì)值是多少？
解：m=12，i=5%，每年支付的總額為1200元。
s=6781.37 i(12)
52、有一筆3000萬元的貸款將在今后的5年內(nèi)每半年末等額償還一次，若貸款的年利率為5%，計(jì)算每半年末的付款額R應(yīng)該為多少。
解：每年付款總額為2R，(2)2Ra5?3000(12)1200s5?1200iR=342.24萬元
2.7.2 期初付年金
一、n表示利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)，m表示每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期包含的支付次數(shù)，i表示每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期的實(shí)際利率，在每個(gè)支付周期初付款1/m元，每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期的付款是1元，那么該年金的現(xiàn)值為：
(m)an121n?1?(1?vm?vm?...?vm)m1?vnd?(m)?(m)an dd
二、相應(yīng)的，在每個(gè)支付周期初付款1/m元，那么該年金的終值為
(m)(m)sn?(1?i)nan
?dd(m)sn
1m
三、轉(zhuǎn)換關(guān)系 an sn(m)(m)?(1?i)an
1m(m)(m)?(1?i)sn
四、例題
例、一筆50000元的貸款，計(jì)劃在今后的5年內(nèi)按月償還，如果年實(shí)際利率為6019%，試計(jì)算每月初的付款金額。
解：設(shè)每月初的付款金額為X，那么全年付款總額為12X，因此有
(12)50000?12Xa50.0609X=960元
2.7.3 永續(xù)年金
一、m表示每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期包含的支付次數(shù)，i表示每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期的實(shí)際利率，在每個(gè)支付周期末付款1/m元的永續(xù)年金現(xiàn)值為：
8(m)a?121m?(v?vm?...)m?11i(m)
二、同理，在每個(gè)支付周期初付款1/m元的永續(xù)年金現(xiàn)值為：
a(m)??d(m)(m)
三、轉(zhuǎn)換關(guān)系 a?(m)?(1?i)a?
1m本節(jié)重點(diǎn)：
(m)an121nn?1m1?vi?(v?vm?...?vm?vn)?(m)?(m)anmii的推導(dǎo)。
本節(jié)難點(diǎn)：
(m)a n121nn?1m1?vinmm?(v?v?...?v?v)?(m)?(m)anmii的推導(dǎo)。
第2.8節(jié) 連續(xù)年金
本節(jié)內(nèi)容：
2.8.1連續(xù)年金的現(xiàn)值
一、如果總的利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)為n，每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期的實(shí)際利率為i，在每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)連續(xù)支付、支付總量為1元的年金現(xiàn)值用
an表示，則有：
a
二、ntnnvv?11?vn??vtdt?|0??lnv??0n
an的其他推導(dǎo)
三、其他關(guān)系 an??ain
an?1?e?n??
四、例題
例
1、假設(shè)年實(shí)際貼現(xiàn)率為5%，在第5年末和第7年末之間，某銀行每年連續(xù)支付1000元。請(qǐng)計(jì)算該項(xiàng)款項(xiàng)在第2年末的現(xiàn)值。
1解：d=0.05，則??1?d?0.95，1?i?
0.95??ln(1?i)?ln(1/0.95)
上述款項(xiàng)在第5年末的現(xiàn)值為1000a2，則在第2年末的現(xiàn)值為：
1000a2v3?1629.73
例
2、假設(shè)年實(shí)際利率為6%，請(qǐng)計(jì)算每年連續(xù)支付500元的永續(xù)年金的現(xiàn)值。解：500a?0.06?500??8580.91
2.8.2 連續(xù)年金的終值
一、如果總的利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)為n，每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期的實(shí)際利率為i，在每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)連續(xù)支付、支付總量為1元的年金終值用
sn表示，則有：
s
二、n(1?i)tn(1?i)n?1??(1?i)dt?|0?
ln(1?i)?0tnsn的其他推導(dǎo)
三、其他關(guān)系 snn??sin
s?en??1?
四、例題
例
1、假設(shè)年實(shí)際利率為6%，在第2年末和第7年末之間，某銀行每年連續(xù)支付1000元。請(qǐng)計(jì)算該項(xiàng)款項(xiàng)在第10年末的累積值。
解：
上述款項(xiàng)在第7年末的累積為1000則在第10年末的累積為：
s50.06?5804.56
5804.56(1?0.06)3?6913.33
五、補(bǔ)充
nss?(1?i)ana與nnn的關(guān)系
1a ?n1s??
n
本節(jié)重點(diǎn)：
an、sn計(jì)算公式。
本節(jié)難點(diǎn)：
第 2.9 節(jié)：年金問題求解（價(jià)值方程）
本節(jié)內(nèi)容：
2.9.1利率問題求解
一、年金問題包含三個(gè)變量。
1、年金的現(xiàn)值或終值；
2、年金的支付次數(shù)；
3、利率。
二、計(jì)算未知利率的方法
1、解析法；
例、已知sn的其他推導(dǎo)。
a2?1.75，求i。
121?()1?i?1.75解： i42?5 i? 72、線性插值法；
3、迭代法。
f(xn)牛頓迭代公式：xn?1?xn?'
f(xn)
三、迭代法的基本思路
四、例題。
2.9.2 時(shí)間問題求解
一、解析法
二、非正規(guī)日期付款
例
1、投資者將20000元存入某基金，希望在每年末領(lǐng)取1000元，假設(shè)基金的年收益率為4.5%，試計(jì)算投資者最多可以領(lǐng)取多長時(shí)間（只考慮余額在最后一次付款時(shí)全部支付），最后一次的領(lǐng)款時(shí)的余額。
解：1000an=20000, A=20 ?ln(1?Ai)n?ln(1?i)?52.3114（年）
1000S52?X?20000(1?0.045)52
X=302.52（元）
本節(jié)重點(diǎn)：
迭代法的基本思路。本節(jié)難點(diǎn)：
迭代法的基本思路。
第三篇：《利息理論》教學(xué)大綱
《利息理論》教學(xué)大綱
The Theory of Interest
學(xué)分?jǐn)?shù)：3
周學(xué)時(shí)：3 一．說明
1． 課程名稱：利息理論（一學(xué)期課程）2．教學(xué)目的和要求：（1）課程性質(zhì)：本課程是數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院選修課，為數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院本科高年級(jí)學(xué)生所選修。（2）基本內(nèi)容：利息、年金、收益率、債務(wù)償還、償債基金、債券與證券、隨機(jī)利率。
（3）基本要求：通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)工具對(duì)金融保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中與利息
有關(guān)的方面進(jìn)行定量分析的一些方法，并為今后對(duì)現(xiàn)代金融業(yè)務(wù)作進(jìn)一步研究或?qū)崉?wù)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
3．教
材：《利息理論》 劉占國編，南開大學(xué)出版社，2000年。
參考書：《 The Theory of Interest 》 S.G.kellison RICHARD D.IRWIN, INC.1991.二、講授綱要
第一章 利息的基本概念 §1.1利息度量 §1.2利息問題求解
本章教學(xué)要求：掌握實(shí)際利率、實(shí)際貼現(xiàn)率、名義利率、名義貼現(xiàn)率、利息效力、貼現(xiàn)效力的概念，知道利息度量中所涉及的基本原則與基本假設(shè)。會(huì)用時(shí)間圖建立價(jià)值方程，從而求出原始投資的本金、投資時(shí)期的長度、利率或本金在投資期末的積累值。第二章 年金
§2.1年金的標(biāo)準(zhǔn)型 §2.2年金的一般型
本章教學(xué)要求：掌握標(biāo)準(zhǔn)年金、一般年金和永續(xù)年金的概念。掌握推演年金在任意時(shí)刻現(xiàn)時(shí)值的代數(shù)表達(dá)式的方法，會(huì)求在任意時(shí)刻的年金值，會(huì)求解年金的未知時(shí)間、未知利率問題。第三章 收益率
§3.1收益率
§3.2收益率的應(yīng)用
本章教學(xué)要求：掌握收益率的概念。會(huì)在單純借貸業(yè)務(wù)和更廣大的商業(yè)與金融業(yè)務(wù)領(lǐng)域中，通過對(duì)現(xiàn)金流動(dòng)的分析，計(jì)算出某項(xiàng)資金運(yùn)動(dòng)的收益情況。第四章 債務(wù)償還 §4.1分期償還計(jì)劃 §4.2償債基金
本章教學(xué)要求：掌握償還貸款的兩種主要方法：分期償還方法和償債基金方法。會(huì)計(jì)算在任何時(shí)刻的未償還貸款余額，會(huì)劃分還款對(duì)本金的償還和利息的支付。第五章 債券與其他證券 §5.1債券
§5.2其它類型的債券與證券 本章教學(xué)要求：掌握債券、股票的概念。會(huì)計(jì)算債券、股票的價(jià)格、收益率和其在被購買后的一給定日期的價(jià)值。第六章 利息理論的應(yīng)用于金融分析 §6.1利息理論的應(yīng)用 §6.2金融分析
本章教學(xué)要求：掌握誠實(shí)信貸、不動(dòng)產(chǎn)抵押貸款的概念。會(huì)計(jì)算銀行信貸業(yè)務(wù)的收益率、投資成本和固定資產(chǎn)的折舊。第七章 利息的隨即處理 §7.1隨機(jī)利率 §7.2模型 本章教學(xué)要求：掌握隨機(jī)利率的概念。會(huì)用資產(chǎn)估價(jià)模型分析不同類型投資收益率的變化規(guī)律，會(huì)用Black-Scholes模型和兩項(xiàng)模型計(jì)算期權(quán)價(jià)值。本綱要編寫者：黃云敏
第四篇：《利息》精品教案(通用版)
利息
教學(xué)目標(biāo)
1．通過具體情境，理解本金、利息、利率等儲(chǔ)蓄術(shù)語的意義和關(guān)系。2．經(jīng)歷分析、比較的過程，掌握利息的計(jì)算方法，并能解決實(shí)際問題。3．在學(xué)習(xí)的過程中，體會(huì)儲(chǔ)蓄對(duì)國家和社會(huì)的作業(yè)，理解儲(chǔ)蓄的意義。教學(xué)重、難點(diǎn)
重點(diǎn)：掌握利息的計(jì)算方法。難點(diǎn)：理解本金、利息和利率的關(guān)系。教學(xué)準(zhǔn)備 多媒體課件。教學(xué)過程
一、新課導(dǎo)入
師：同學(xué)們，課前大家分組對(duì)儲(chǔ)蓄知識(shí)進(jìn)行了調(diào)查，誰愿意介紹一下你們組調(diào)查的地點(diǎn)和方式？
學(xué)生可能會(huì)說：
●我們組成員一起到xx銀行看到了人民幣儲(chǔ)蓄利率表。●我們采訪了xx的爸爸，因?yàn)樗陌职志驮阢y行上班?！裎覀兘M是在網(wǎng)上查的資料。
二、合作探索 1．全班交流。
師：同學(xué)們真是“八仙過海，各顯其能”呀！在調(diào)查中，你們了解到哪些有關(guān)儲(chǔ)蓄的知識(shí)？
讓各組充分的發(fā)言。教師可做適當(dāng)?shù)挠涗?。如：現(xiàn)在的利率。
師：同學(xué)們的收獲還真不小，那么誰能說一說儲(chǔ)蓄對(duì)個(gè)人、國家有哪些重要意義呢？
學(xué)生可能會(huì)說：
●個(gè)人可以獲得一定的利息。
●把錢存到銀行里，既能得利息，又保險(xiǎn)。
●儲(chǔ)蓄可以促進(jìn)國家發(fā)展，國家可以用大家的存款進(jìn)行國家建設(shè)，繁榮經(jīng)濟(jì)。儲(chǔ)蓄對(duì)國家的意義如果學(xué)生說不上來，教師可以作為參與者發(fā)言。2．認(rèn)識(shí)利率。
師：儲(chǔ)蓄種類共有幾種？
生：有活期、整存整取、零存整取和定活兩便四種。師：每種儲(chǔ)蓄的期限有哪些？ 指名回答。
師：誰能解釋一下“整存整取”和“零存整取”有什么不同？
生：整存整取就是把一筆錢存一定的期限，到期時(shí)，全部取出；“零存整取”就是一定的期限內(nèi)多次存入同樣的錢數(shù)，到期時(shí)，一次取出。（教師可舉例說明）
學(xué)生說不清，教師補(bǔ)充。課件出示儲(chǔ)蓄表
師：那這個(gè)“年息”和％又表示什么？ 生：“年息”就是年利率。
師：沒錯(cuò)，年息就是利息占所存錢數(shù)的百分比。那什么又是“利息”呢？ 生：取款時(shí)，比存入的錢多的部分叫做“利息”。
對(duì)于幾個(gè)“術(shù)語”的含義，學(xué)生如果說不出來，教師可作為參與者發(fā)言。課件演示：
利息＝本金×利率×存款時(shí)間 師：想一想利息的多少與什么有關(guān)？ 生1：與利率有關(guān)。生2：和存款的時(shí)間有關(guān)。生3：與原來存錢的多少有關(guān)。3．計(jì)算利息。
師：同學(xué)們了解了儲(chǔ)蓄方面的知識(shí)，下面我們來解決一個(gè)有關(guān)儲(chǔ)蓄的問題吧。課件演示
到期時(shí)可以取回多少錢？
師：想想到期時(shí)銀行付給任先生的錢包括什么？
生：銀行付給任先生的錢，應(yīng)該包括任先生存入的錢和應(yīng)得的利息。師：對(duì)！到期時(shí)，銀行付給任先生的錢，包括兩部分：任先生存入的錢和銀行應(yīng)該付的利息。原來存入的錢有一個(gè)名字叫本金，所以銀行付給任先生的錢等于本金加利息。
本金＋利息＝銀行應(yīng)付的錢
學(xué)生根據(jù)當(dāng)時(shí)的利率計(jì)算，然后計(jì)算后全班交流，教師板書算式。8000＋8000×4.25%×3＝9020（元）。
三、自主練習(xí)
1．從2012年7月6日起，工商銀行整存整取一年期的年利率由3.5%調(diào)至3.25%。
（1）如果按調(diào)整前的年利率計(jì)算，5000元存一年，到期后應(yīng)得利息多少元？（2）同樣是5000元存一年，調(diào)整后比調(diào)整前少得利息多少元？ 答案：（1）5000×3.5%×1＝175（元）（2）175﹣5000×3.25%×1＝12.5（元）2．
（1）小王家在2012年買三年期的國債10000元，到期后可以得到多少利息？（2）同樣買5000元的國債，到期后五年期的比三年期的利息多多少元？（3）你還能提出什么問題？
答案：（1）10000×5.43%×3＝1629（元）
（2）5000×6.00%×5－5000×5.43%×3＝685.5（元）（3）買8000元的三年期國債到期后能拿到多少錢的利息？
四、課堂小結(jié)
通過今天的學(xué)習(xí)，你收獲了什么？什么是利息，怎么計(jì)算利息呢？（利息＝本金×利率×存款時(shí)間）
五、課后作業(yè)
1．2012年8月，張爺爺把兒子寄來的8000元錢存入銀行，存期為5年，年利率為4.75%，到期支取時(shí)，張爺爺可以得到多少利息？
2．小紅媽媽將5000元存入銀行活期儲(chǔ)蓄，月利息是0.6%，4個(gè)月后，她可得利息多少錢，可取回的本金和利息一共是多少元？
參考答案：
1．8000×4.75%×5＝1900（元）
2．5000×0.6%×4＝120（元）5000+120＝5120（元）板書設(shè)計(jì)
利息
利息＝本金×利率×存款時(shí)間
8000＋8000×4.25%×3＝9020（元）
第五篇：利息-教學(xué)教案
1．使學(xué)生了解本金、利息、利率、利息稅的含義．
2．理解算理，使學(xué)生學(xué)會(huì)計(jì)算定期存款的利息．
3．初步掌握去銀行存錢的本領(lǐng)．
教學(xué)重點(diǎn)
1．儲(chǔ)蓄知識(shí)相關(guān)概念的建立．
2．一年以上定期存款利息的計(jì)算．
教學(xué)難點(diǎn)
“年利率”概念的理解．
教學(xué)過程
一、談話導(dǎo)入
教師：過年開心嗎？過年時(shí)最開心的事是什么？你們是如何處理壓歲錢的呢？
教師：壓歲錢除了一部分消費(fèi)外，剩下的存入銀行，這樣做利國利民．
二、新授教學(xué)
（一）建立相關(guān)儲(chǔ)蓄知識(shí)概念．
1．建立本金、利息、利率、利息稅的概念．
（1）教師提問：哪位同學(xué)能向大家介紹一下有關(guān)儲(chǔ)蓄的知識(shí)．
（2）教師板書：
存入銀行的錢叫做本金．
取款時(shí)銀行多支付的錢叫做利息．
利息與本金的比值叫做利率．
2．出示一年期存單．
（1）仔細(xì)觀察，從這張存單上你可以知道些什么？
（2）我想知道到期后銀行應(yīng)付我多少利息？應(yīng)如何計(jì)算？
3．出示二年期存單．
（1）這張存單和第一張有什么不同之處？
（2）你有什么疑問？（利率為什么不一樣？）
教師總結(jié)：存期越長，國家就可以利用它進(jìn)行更長期的投資，從而獲得更高的利益，所以利息就高．
4．出示國家最新公布的定期存款年利率表．
（1）你發(fā)現(xiàn)表頭寫的是什么？
怎么理解什么是年利率呢？
你能結(jié)合表里的數(shù)據(jù)給同學(xué)們解釋一下嗎？
（2）小組匯報(bào)．
（3）那什么是年利率呢？
（二）相關(guān)計(jì)算
張華把400元錢存入銀行，存整存整取3年，年利率是2.88％．到期時(shí)張華可得稅后利息多少元？本金和稅后利息一共是多少元？
1．幫助張華填寫存單．
2．到期后，取錢時(shí)能都拿到嗎？為什么？
教師介紹：自1999年11月1日起，為了平衡收入，幫助低收入者和下崗職工，國家開始征收利息稅，利率為20％．（進(jìn)行稅收教育）
3．算一算應(yīng)繳多少稅？
4．實(shí)際，到期后可以取回多少錢？
（三）總結(jié)
請(qǐng)你說一說如何計(jì)算“利息”？
三、課堂練習(xí)
1．小華今年1月1日把積攢的零用錢500元存入銀行，定期一年．準(zhǔn)備到期后把利息
捐贈(zèng)給“希望工程”，支援貧困地區(qū)的失學(xué)兒童．如果年利率按10.98％計(jì)算，到明年1月1日小華可以捐贈(zèng)給“希望工程”多少元錢？
2．趙華前年10月1日把800元存入銀行，定期2年．如果年利率按11.7％計(jì)算，到今年10月1日取出時(shí)，他可以取出本金和稅后利息共多少元錢？下列列式正確的是：
（1）800×11.7％
（2）800×11.7％×2
（3）800×（1＋11.7％）
（4）800＋800×11.7％×2×（1－20％）
3．王老師兩年前把800元錢存入銀行，到期后共取出987.2元．問兩年期定期存款的利率是多少？
四、鞏固提高
（一）填寫一張存款單．
1．預(yù)測(cè)你今年將得到多少壓歲錢？你將如何處理？
2．以小組為單位，填寫一張存單，并算一算到期后能取回多少錢？
（二）都存1000元，甲先存一年定期，到期后連本帶息又存了一年定期；乙直接存了二年定期．到期后，甲、乙兩人各說自己取回的本息多．你認(rèn)為誰取回的本息多？為什么？
五、課堂總結(jié)
通過今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？
六、布置作業(yè)
1．小華2001年1月1日把積攢的200元錢存入銀行，存整存整取一年．準(zhǔn)備到期后把稅后利息捐贈(zèng)給“希望工程”，支援貧困地區(qū)的失學(xué)兒童．如果年利率按2.25％計(jì)算，到期時(shí)小華可以捐贈(zèng)給“希望工程”多少元錢？
2．六年級(jí)一班2002年1月1日在銀行存了活期儲(chǔ)蓄280元，如果年利率是0.99％，存滿半年時(shí)，本金和稅后利息一共多少元？
3．王洪買了1500元的國家建設(shè)債券，定期3年，如果年利率是2.89％到期時(shí)他可以獲得本金和利息一共多少元？
七、板書設(shè)計(jì)百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用本金 利息 利息稅 利國利民利率：利息與本金的比值叫利率．利息＝本金×利率×?xí)r間探究活動(dòng)購物方案
活動(dòng)目的1．使學(xué)生理解生活中打折等常見的優(yōu)惠措施，并能根據(jù)實(shí)際情況選擇最佳的方案與策略．
2．通過小組合作，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．
3．培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神，滲透事物是對(duì)立統(tǒng)一的辯證唯物主義思想，使學(xué)生能夠辯證、發(fā)展、全面地對(duì)待實(shí)際生活中的問題．
活動(dòng)過程
1．教師出示價(jià)格表
a套餐原價(jià)：16.90元 現(xiàn)價(jià)：10.00元
b套餐原價(jià)：15.40元 現(xiàn)價(jià)：10.00元
c套餐原價(jià)：15.00元 現(xiàn)價(jià)：10.00元
d套餐原價(jià)：15.00元 現(xiàn)價(jià)：10.00元
e套餐原價(jià)：18.00元 現(xiàn)價(jià)：10.00元
f套餐原價(jià)：14.40元 現(xiàn)價(jià)：10.00元
學(xué)生討論：如果你買，你選哪一套？
2．教師出示價(jià)格表
a套餐原價(jià)：16.90元 現(xiàn)價(jià)：12.00元
b套餐原價(jià)：15.40元 現(xiàn)價(jià)：10.78元
c套餐原價(jià)：15.00元 現(xiàn)價(jià)：12.00元
d套餐原價(jià)：15.00元 現(xiàn)價(jià)：12.00元
e套餐原價(jià)：18.00元 現(xiàn)價(jià)：13.50元
f套餐原價(jià)：14.40元 現(xiàn)價(jià)：12.24元
學(xué)生討論：現(xiàn)在買哪一套最合算呢？
3．教師出示價(jià)格表
每套18.00元，冰淇淋7.00元．
第一周：每套16.20元；買一個(gè)冰淇淋回贈(zèng)2元券．
第二周：降價(jià)20％；買一個(gè)冰淇淋回贈(zèng)2元券．
第三周：買5套以上打七折；買一個(gè)冰淇淋回贈(zèng)2元券．
學(xué)生討論：
（1）你準(zhǔn)備在哪一周買
（2）你打算怎么買？
（3）你設(shè)計(jì)方案的優(yōu)點(diǎn)是什么？
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