第一篇：有效數(shù)字教案

2.11 有效數(shù)字與科學(xué)計數(shù)法（第一課時）

學(xué)習任務(wù)分析：

學(xué)習目標：

1、了解近似數(shù)與有效數(shù)字的概念，體會近似數(shù)的意義及在生活中的作用

2、能說出一個近似數(shù)的精確度或有幾個有效數(shù)字，能按照要求用四舍五入的方法取一個數(shù)的近似數(shù) 學(xué)習重點：

按要求取一個數(shù)的近似數(shù) 學(xué)習難點：

正確地求一個近似數(shù)的精確度及它的有效數(shù)字的個數(shù)

學(xué)習過程設(shè)計：

一、問題與情境1： 請你想一想：

在實際應(yīng)用中，往往不需要保留很多的小數(shù)位數(shù)，在小學(xué)算術(shù)中我們曾學(xué)過用“四舍五入法”根據(jù)實際需要保留一定的小數(shù)位數(shù)，取它的近似值． 練習：求下列近似值：(1)將2.953保留整數(shù)得3(2)將2.953保留一位小數(shù)得3.0(3)將2.953保留兩位小數(shù)得2.95 若按數(shù)的近似值記法有： 2.953≈3(保留整數(shù))2.953≈3.0(保留一位小數(shù))2.953≈2.95(保留兩位小數(shù))

二、問題與情境2： 自我學(xué)習

1．準確數(shù)和近似數(shù)

在日常生活和生產(chǎn)實際中，我們接觸到很多這樣的數(shù)：例如初一(6)班有55個學(xué)生，某工廠有126臺機床，我有4個練習本，這些數(shù)：55、126、4都是與實際完全符合的準確數(shù)．但是在實際生活和實際計算中存在著大量與實際上大體符合的近似數(shù)．

又如月球到地球的距離約是38萬公里，李明同學(xué)的身高約是1.63米，38萬、1.63米都是與實際接近的近似數(shù)．

在計算面積、體積時，由于測量出來的長度都不可能做到絕對準確，因此所求面積、體積也是一個近似數(shù)．

所以，準確數(shù)是與實際完全符合的數(shù)，近似數(shù)是與實際接近的數(shù)． 由此我們看到在解決實際問題時，往往只能用近似數(shù)，一方面搞得絕對準確是不可能的，另一方面往往也沒有必要搞得完全準確．

2．關(guān)于精確度問題．

在大量的實際數(shù)學(xué)問題中，都會遇到近似數(shù)問題，使用近似數(shù)，我們知道就有一個近似程度問題，也即精確度問題．

例如前面提到的積2.953 2.953≈3 保留整數(shù)，叫做精確到個位(或精確到1)；

2.953≈3.0 保留一位小數(shù)，叫做精確到十分位(或精確到0.1)； 2.953≈2.95 保留兩位小數(shù)，叫做精確到百分位(或精確到0.01)． 結(jié)果取3，就叫做精確到個位(或精確到1)； 取3.3，就叫做精確到十分位(或精確到0.1)； 取3.33，就叫做精確到百分位(或精確到0.01)． ??

一般地，一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位．

3．近似數(shù)的有效數(shù)字

在一個近似數(shù)中，從左邊第一個不是零的數(shù)字起，到右邊最后一位四舍五入所得的數(shù)字止，一共包含的數(shù)字的個數(shù)，叫做這個近似數(shù)的有效數(shù)字的個數(shù)(或位數(shù))，其中任意一位上的數(shù)字都是有效數(shù)字． 上例中，3有一個有效數(shù)字：3； 3.0有兩個有效數(shù)字：

3、0； 2.95有三個有效數(shù)字：2、9、5．

三、問題與情境3： 請你試一試

例1 下列由四舍五入得到的近似數(shù)各精確到哪一位，各有哪幾個有效數(shù)字？(1)43.8；(2)0.03086；(3)2.4萬；(4)3000．

解：(1)43.8，精確到十分位(即精確到0.1)有三個有效數(shù)字4、3、8；(2)0.03086，精確到十萬分位(即精確到0.00001)有四個有效數(shù)字3、0、8、6；(3)2.4萬，精確到千位，有兩個有效數(shù)字2、4；(4)3000，精確到個位，有四個有效數(shù)字3、0、0、0．

注意：(1)有效數(shù)字是從左邊第一個不是零的數(shù)起；

(2)從左邊第一個不是零的數(shù)起到精確到的位數(shù)(即最后一位四舍五入所得的數(shù))止，所有的數(shù)字．例(2)中，0.03086左邊第一個不是零的數(shù)是3，最后一位四舍五入所得的數(shù)是6，從3到6的所有的數(shù)是3、0、8、6，左邊的兩個0不算，3與6之間的0要算，這個近似數(shù)有4個有效數(shù)字3、0、8、6；

(3)要注意末位的零，如(4)中末三個0不能丟．

（4）在實際生活中，有時近似數(shù)并不是按“四舍五入”法得到的。如：七年級3班共有54名同學(xué)，想租用38座的客車外出秋游。因為54÷38=1.421??，這里就不能用四舍五入法，二要用“進一法”（或叫收尾法）來估計應(yīng)該租用客車的數(shù)量，即應(yīng)租2輛。

四、問題與情境4： 看你行不行

練習1 下列由四舍五入得到的近似數(shù)，各精確到哪一位，各有哪幾個有效數(shù)字？(1)25.7；(2)0.407；

(3)103萬；(4)1.60；(5)10億．

解：(1)25.7，精確到十分位，有三個有效數(shù)字2、5、7；(2)0.407，精確到千分位，有三個有效數(shù)字4、0、7；(3)103萬，精確到萬位，有三個有效數(shù)字1、0、3；(4)l.60，精確到百分位，有三個有效數(shù)字1、6、0；(5)10億，精確到億位，有兩個有效數(shù)字1、0．

練習2．近似數(shù)1.6和1.60有什么不同，能把近似數(shù)1.60寫成1.6嗎？ 答：近似數(shù)1.6和1.60的精確度不同，1．6是精確到十分位，有兩個有效數(shù)字1、6，1.60精確到百分位，有3個有效數(shù)字1、6、0．

練習3．從近似數(shù)的觀點看，近似數(shù)2.4萬和24000這兩個數(shù)的意義相同嗎？ 答：2.4萬和24000這兩個近似數(shù)的意義并不相同．2.4萬表示精確到千位，它有兩個有效數(shù)字2、4，24000表示精確到個位，它有五個有效數(shù)字2、4、0、0、0．

五、問題與情境5： 自我提升：

1．正確理解和掌握近似數(shù)、準確數(shù)、精確度和有效數(shù)字等概念；

2．要學(xué)會給出一個近似數(shù)，能準確地確定它精確到哪一位，它有哪幾個有效數(shù)字；

3．對例1后面提及到的注意事項應(yīng)引起重視．

六、問題與情境6 自我檢測：

1．用四舍五入法對下列各數(shù)按括號中的要求取近似值：(1)12.17，0.009403，8607000(保留三個有效數(shù)字)；(2)2.768，3.4017，92.598(精確到百分位)；(3)19.74，8.965，0.409(精確到0.1)；(4)3590，17289，3.04×104(精確到千位)；(5)1.375，0.768，0.002561(保留兩個有效數(shù)字)；(6)89.6，213.4，1906.57(精確到個位)；(7)3709，496317，23.91(保留兩個有效數(shù)字)．

2．用四舍五入法按要求保留有效數(shù)字，取近似數(shù)，并說出它精確到哪一位？(l)56.32(保留三個有效數(shù)字)；(2)0.6648(保留一個有效數(shù)字)；(3)0.7096(保留兩個有效數(shù)字)；(4)472864(保留四個有效數(shù)字)．

3．用四舍五入法按括號里面要求的精確度取近似數(shù)，并指出近似數(shù)有幾個有效數(shù)字？

(1)708.45(精確到個位)；(2)50437413(精確到萬位)；(3)0.04537(精確到0.0001)；(4)1.9561(精確到0.1)．

4．判斷下列說法是否正確？為什么？(1)近似數(shù)10.0與近似數(shù)10的精確度相同；(2)近似數(shù)4千萬和近似數(shù)4000萬精確度一樣；

(3)2.718精確到十分位后(即精確到0.1)有兩個有效數(shù)字；(4)近似數(shù)25.0和近似數(shù)25的有效數(shù)字相同，都為2、5．

典型例題

例1 判斷下列各數(shù)，哪些是準確數(shù)，哪些是近似數(shù)：

(1)初一(2)班有43名學(xué)生，數(shù)學(xué)期末考試的平均成績是82.5分；(2)某歌星在體育館舉辦音樂會，大約有一萬二千人參加；(3)通過計算，直徑為10cm的圓的周長是31.4cm；(4)檢查一雙沒洗過的手，發(fā)現(xiàn)帶有各種細菌80000萬個；(5)1999年我國國民經(jīng)濟增長7.8％．

解：(1)43是準確數(shù)．因為43是質(zhì)數(shù)，求平均數(shù)時不一定除得盡，所以82.5一般是近似數(shù)；(2)一萬二千是近似數(shù)；

(3)10是準確數(shù)，因為3.14是π的近似值，所以31.4是近似數(shù)；(4)80000萬是近似數(shù)；

(5)1999是準確數(shù)，7.8％是近似數(shù)．

說明：1．在近似數(shù)的計算中，分清準確數(shù)和近似數(shù)是很重要的，它是決定我們用近似計算法則進行計算，還是用一般方法進行計算的依據(jù)． 2．產(chǎn)生近似數(shù)的主要原因：

(1)“計算”產(chǎn)生近似數(shù)．如除不盡，有圓周率π參加計算的結(jié)果等等；(2)用測量工具測出的量一般都是近似數(shù)，如長度、重量、時間等等；

(3)不容易得到，或不可能得到準確數(shù)時，只能得到近似數(shù)，如人口普查的結(jié)果，就只能是一個近似數(shù)；

(4)由于不必要知道準確數(shù)而產(chǎn)生近似數(shù)．

例2 下列由四舍五入得到的近似數(shù)，各精確到哪一位？各有哪幾個有效數(shù)字？

(1)38200(2)0.040(3)20.05000(4)4×10

4分析：對于一個四舍五入得到的近似數(shù)，如果是整數(shù)，如38200，就精確到個位；如果有一位小數(shù)，就精確到十分位；兩位小數(shù)，就精確到百分位；象0.040有三位小數(shù)就精確到千分

4位；象20.05000就精確到十萬分位；而4×10=40000，只有一個有效數(shù)字4，則精確到萬位．有效數(shù)字的個數(shù)應(yīng)按照定義計算．

解：(1)38200精確到個位，有五個有效數(shù)字3、8、2、0、0．(2)0.040精確到千分位(即精確到0.001)有兩個有效數(shù)字4、0．(3)20.05000精確到十萬分位(即精確到0.00001)，有七個有效數(shù)字2、0、0、5、0、0、0．(4)4×10精確到萬位，有一個有效數(shù)字4． 4說明：(1)一個近似數(shù)的位數(shù)與精確度有關(guān)，不能隨意添上或去掉末位的零．如20.05000的有效數(shù)字是2、0、0、5、0、0、0七個．而20.05的有效數(shù)字是2、0、0、5四個．因為20.05000精確到0.00001，而20.05精確到0.01，精確度不一樣，有效數(shù)字也不同，所以右邊的三個0不能隨意去掉．

(2)對有效數(shù)字，如0.040，4左邊的兩個0不是有效數(shù)字，4右邊的0是有效數(shù)字．(3)近似數(shù)40000與4×10有區(qū)別，40000表示精確到個位，有五個有效數(shù)字4、0、0、0、40，而4×10表示精確到萬位，有1個有效數(shù)字4．

例3 下列由四舍五入得到的近似數(shù)，各精確到哪一位？各有幾個有效數(shù)字？

(1)70萬(2)9.03萬(3)1.8億(4)6.40×10

54分析：因為這四個數(shù)都是近似數(shù)，所以

(1)的有效數(shù)字是2個：

7、0，0不是個位，而是“萬”位；(2)的有效數(shù)字是3個：9、0、3，3不是百分位，而是“百”位；(3)的有效數(shù)字是2個：

1、8，8不是十分位，而是“千萬”位；(4)的有效數(shù)字是3個：6、4、0，0不是百分位，而是“千”位． 解：(1)70萬.精確到萬位，有2個有效數(shù)字7、0；(2)9.03萬.精確到百位，有3個有效數(shù)字9、0、3；(3)1.8億.精確到千萬位，有2個有效數(shù)字1、8；(4)6.40×10.精確到千位，有3個有效數(shù)字6、4、0． 5說明：較大的數(shù)取近似值時，常用×萬，×億等等來表示，這里的“×”表示這個近似數(shù)的有效數(shù)字，而它精確到的位數(shù)不一定是“萬”或“億”．對于不熟練的學(xué)生，應(yīng)當寫出原數(shù)之后再判斷精確到哪一位，例如9.03萬=90300，因為“3”在百位上，所以9.03萬精確到百位．

例4 用四舍五入法，按括號里的要求對下列各數(shù)取近似值．

(1)1.5982(精確到0.01)(2)0.03049(保留兩個有效數(shù)字)(3)3.3074(精確到個位)(4)81.661(保留三個有效數(shù)字)

分析：四舍五入是指要精確到的那一位后面緊跟的一位，如果比5小則舍，如果比5大或等于5則進1，與再后面各位數(shù)字的大小無關(guān)．

(1)1.5982要精確到0.01即百分位，只看它后面的一位即千分位的數(shù)字，是8＞5，應(yīng)當進1，所以近似值為1.60．

(2)0.03049保留兩個有效數(shù)字，3左邊的0不算，從3開始，兩個有效數(shù)字是3、0，再看第三個數(shù)字是4＜5，應(yīng)當舍，所以近似值為0.030．(3)、(4)同上．

解：(1)1.5982≈1.60(2)0.03049≈0.030(3)3.3074≈3(4)81.661≈81.7

說明：1.60與0.030的最后一個0都不能隨便去掉．1.60是表示精確到0.01，而1.6表示精確到0.1．對0.030，最后一個0也是表示精確度的，表示精確到千分位，而0.03只精確到百分位．

例5 用四舍五入法，按括號里的要求對下列各數(shù)取近似值，并說出它的精確度(或有效數(shù)字)．

(1)26074(精確到千位)(2)7049(保留2個有效數(shù)字)

(3)26074000000(精確到億位)(4)704.9(保留3個有效數(shù)字)分析：根據(jù)題目的要求：(1)26074≈26000；(2)7049≈7000

(3)26074000000≈26100000000(4)704.9≈705

(1)、(2)、(3)題的近似值中看不出它們的精確度，所以必須用科學(xué)記數(shù)法表示． 解：(1)26074=2.6074×10≈2.6×10，精確到千位，有2個有效數(shù)字2、6．

44(2)7049=7.049×10≈7.0×10，精確到百位，有兩個有效數(shù)字7、0．

33(3)26074000000=2.6074×10≈2.61×10，精確到億位，有三個有效數(shù)字2、6、1．

10(4)704.9≈705，精確到個位，有三個有效數(shù)字7、0、5． 說明：求整數(shù)的近似數(shù)時，應(yīng)注意以下兩點：(1)近似數(shù)的位數(shù)一般都與已知數(shù)的位數(shù)相同；

(2)當近似數(shù)不是精確到個位，或有效數(shù)字的個數(shù)小于整數(shù)的位數(shù)時，一般用科學(xué)記數(shù)法表示這個近似數(shù)．因為形如a×10n(1≤a＜10，n為正整數(shù)＝的數(shù)可以體現(xiàn)出整數(shù)的精確度． 例6 指出下列各問題中的準確數(shù)和近似數(shù)，以及近似數(shù)各精確到哪一位？各有幾個有效數(shù)字？

(1)某廠1998年的產(chǎn)值約為1500萬元，約是1978年的12倍；

(2)某校初一(2)班有學(xué)生52人，平均身高約為1.57米，平均體重約為50.5千克；(3)我國人口約12億人；

(4)一次數(shù)學(xué)測驗，初一(1)班平均分約為88.6分，初一(2)班約為89.0分．

分析： 對于四舍五入得到的近似數(shù)，如果是整數(shù)，就精確到個位；若有1位小數(shù)，就精確到十分位，如近似數(shù)89.0就精確到十分位．若去掉末位的“0”成為89，則精確到個位了，這就不是原來的精確度了，故近似數(shù)末位的零不能去掉．

解：(1)1998和1978是準確數(shù)．近似數(shù)1500萬元，精確到萬位，有四個有效數(shù)字；近似數(shù)12精確到個位，有兩個有效數(shù)字．

(2)52是準確數(shù)．近似數(shù)1.57精確到百分位，有3個有效數(shù)字；近似數(shù)50.5精確到十分位，有3個有效數(shù)字．

(3)近似數(shù)12億精確到億位，有兩個有效數(shù)字．

(4)近似數(shù)88.6和89.0都精確到十分位，都有3個有效數(shù)字．

說明：在大量的實際數(shù)學(xué)問題中，都會遇到近似數(shù)的問題．使用近似數(shù)，就有一個近似程度的問題，也就是精確度的問題．

一般地，一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位．這時，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位(這個數(shù)位上的數(shù)字若是0也得算)止，所有的數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字．

第二篇：有效數(shù)字

一、有效數(shù)字

1.在分析工作中實際能測量到的數(shù)字就稱為有效數(shù)字。

2.在記錄有效數(shù)字時，規(guī)定只允許數(shù)的末位欠準，而且只能上下差1。

二、有效數(shù)字修約規(guī)則

用“四舍六入五成雙”規(guī)則舍去過多的數(shù)字。

即當尾數(shù)≤4時，則舍；尾數(shù)≥6時，則入；尾數(shù)等于5時，若5前面為偶數(shù)則舍，為奇數(shù)時則入。當5后面還有不是零的任何數(shù)時，無論5前面是偶或奇皆入。例如：將下面左邊的數(shù)字修約為三位有效數(shù)字

2.324→2.32 2.325→2.32 2.326→2.33 2.335→2.34 2.32501→2.33

三、有效數(shù)字運算法則

1.在加減法運算中，每數(shù)及它們的和或差的有效數(shù)字的保留，以小數(shù)點后面有效數(shù)字位數(shù)最少的為標準。在加減法中，因是各數(shù)值絕對誤差的傳遞，所以結(jié)果的絕對誤差必須與各數(shù)中絕對誤差最大的那個相當。

例如：2.0375＋0.0745＋39.54 = ？

39.54是小數(shù)點后位數(shù)最少的，在這三個數(shù)據(jù)中，它的絕對誤差最大，為±0.01，所以應(yīng)以39.54為準，其它兩個數(shù)字亦要保留小數(shù)點后第二位，因此三數(shù)計算應(yīng)為：

2.04＋0.07＋39.54 = 41.65

2.在乘除法運算中，每數(shù)及它們的積或商的有效數(shù)字的保留，以每數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的為標準。在乘除法中，因是各數(shù)值相對誤差的傳遞，所以結(jié)果的相對誤差必須與各數(shù)中相對誤差最大的那個相當。

例如：13.92×0.0112×1.9723 = ？

0.0112是三位有效數(shù)字，位數(shù)最少，它的相對誤差最大，所以應(yīng)以0.0112的位數(shù)為準，即：

13.9×0.0112×1.97 = 0.307

3.分析結(jié)果小數(shù)點后的位數(shù)，應(yīng)與分析方法精密度小數(shù)點后的位數(shù)一致。

4.檢驗結(jié)果的寫法應(yīng)與藥典規(guī)定相一致。

第三篇：2.6有效數(shù)字與科學(xué)計數(shù)法教案[模版]

懷文中學(xué)2012---2013學(xué)第一學(xué)期教學(xué)設(shè)計

初 二 數(shù) 學(xué)(2.6有效數(shù)字與科學(xué)計數(shù)法）

主備：劉香

審校：陳秀珍

日期：2012-10-14 學(xué)習目標：

1．了解近似數(shù)與有效數(shù)字的概念，體會近似數(shù)的意義及在生活中的作用

2．能說出一個近似數(shù)的精確度或有幾個有效數(shù)字，能按照要求用四舍五入的方法取一個數(shù)的近似數(shù)

教學(xué)重難點：按要求用四舍五入法取一個數(shù)的近似數(shù) 教學(xué)過程： 一．自主探究

探討：下面文段中出現(xiàn)的數(shù)是準確數(shù)還是近似數(shù)？

陳凱歌執(zhí)導(dǎo)的《無極》在戛納電影節(jié)上一擲千金，耗資1000萬人民幣大做宣傳。而今馮小剛執(zhí)導(dǎo)的古裝電影《夜宴》也看中了戛納這塊宣傳寶地，《夜宴》戛納之行的總預(yù)算約為400萬人民幣。

二．自主合作

1．近似數(shù)

取一個數(shù)的近似值有多種方法，是最常用的一種方法。用四舍五入法取一個數(shù)的近似數(shù)時，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)

到哪一位.例如，圓周率=3.1415926…

取π≈3，就是精確到

位（或精確到）

取π≈3.1，就是精確到

位（或精確到）取π≈3.14，就是精確到

位（或精確到）2.有效數(shù)字

對一個近似數(shù)，從左面第一個

的數(shù)字起，到

止，所有的數(shù)字都稱為這個近似數(shù)的。

例如：上面圓周率π的近似值中，3.14有3個有效數(shù)字

3.142有

個有效數(shù)字

例1：求下列各數(shù)的近似值 1、0.9016 2、2.3087153

例2：小亮用天平稱得罐頭的質(zhì)量為2.026千克,按下列要求求近似數(shù):(1)精確到0.01千克: 是保留____個有效數(shù)字。(2)精確到0.1千克 : 是保留____個有效數(shù)字(3)精確到1千克 : 是保留____個有效數(shù)字

例3：用四舍五入法，將下列各數(shù)保留有效數(shù)字 1、2.056781（保留2個有效數(shù)字）2、23795100000（保留2個有效數(shù)字)

四．鞏固練習1、10.08與0.1008這兩個近似數(shù)，下列說法中，正確的是（）A、它們的有效數(shù)字與精確位數(shù)都不同 B、它們的有效數(shù)字與精確位數(shù)相同 C、它們的精確位數(shù)不同，有效數(shù)字相同 D、它們的有效數(shù)字不同，精確位數(shù)相同

2、用四舍五入法，按要求對下列各數(shù)取近似值并用科學(xué)記數(shù)法表示(1)地球上七大洲的總面積為149480000平方千米(保留2個有效數(shù)字)

(2)某人一天飲水1890毫升(精確到1000毫升)

3、由四舍五入得到的下列近似數(shù)分別精確到哪一位?分別有幾個有效數(shù)字?(1)1.32米（2）5.2×104

千米（3）300

五．課堂小結(jié)

六．布置作業(yè) 教學(xué)反思：

三．典例分析

第四篇：A Level 物理有效數(shù)字問題

A Level 物理有效數(shù)字問題

(by: Dr.Yu)筆者：Dr.喻麟佑，華南國際預(yù)科中心，學(xué)術(shù)副校長，美國亞利桑那大學(xué)物理學(xué)博士

一、前言：

很多教師都感覺得到，有效數(shù)字(significant figures, 或簡寫成 s.f.)，無論是在劍橋（Cambridge CIE）或者是愛得思（Edexcel）的A Level 物理考試里面，總是令人有點擔心的，尤其是劍橋的A Level 物理。筆者有鑒于此，特撰寫此文，以減低種種不必要的誤會或困擾，請各界多加指教。

為什么會有“有效數(shù)字”的需要呢？為什么比小數(shù)點幾位數(shù)更重要呢？這個有效數(shù)字的真意，老師們?nèi)绻袑嶎I(lǐng)悟了，就會發(fā)覺其重要性與必要性。否則，雖然知道怎么按照規(guī)定來使用，但不明白它真正的用意，卻還是不究竟的了。

二、有效數(shù)字的基本概念與含義

來描述有效數(shù)字的基本概念，就讓筆者舉一個最簡單的例子來出發(fā)吧。我們用直尺來量物體的長度。大家都明白，一個直尺的精密度（最小刻度），大概是1mm（1毫米），也就是0.1 cm(0.1厘米)。好了，我們用這支尺來測量一支牙簽的長度，我們得到了測量值：

牙簽的長度 = 6.4 cm

這是一個有效數(shù)字為2的數(shù)值。那么，如果有一位同學(xué)說，我測到的是：

牙簽的長度 = 6.43 cm

這位同學(xué)，很可能是言過其實了，他或她怎么能夠確定那0.03 cm是可靠的呢？其中猜測的成分就比較高的了，也就是說，那多出來的一位數(shù)是“無效的”了。然而，我們說，牙簽的長度 = 6.4 cm，可以相當明確的、肯定的說：那不是6.3 cm 或6.5 cm，而是6.4 cm，這6.4 cm的兩位數(shù)字，則都是“有效的”了。再說，牙簽的長度 = 6.4 cm, 這種描述，應(yīng)該是令人滿意的了，畢竟只是一支牙簽。如果有些物體，精確度非常重要，而必須測量出更精確的數(shù)值，那么，就必須考慮使用更精密的儀器來測量，而不能憑猜測的。

我們再舉一個例子，還是用直尺，但是用來量度一條水庫魚的長度（筆者喜歡去吃農(nóng)家菜），如果，我們得到：

水庫魚長度 = 64.3 cm（很大的一條魚）

那么，這回是一個有效數(shù)字為3的數(shù)值了。有效數(shù)字多出了一位，其中的含義是什么呢？ 事實上，這條水庫魚，即使我們我們用了2個有效數(shù)字來描述，說是64 cm，大部分的人也是能夠接受的，如果有人要求高些，也可以按要求，給出3個有效數(shù)字：64.3 cm。

我們現(xiàn)在來看看有效數(shù)字的含義：

先看牙簽的長度：

牙簽的長度 = 6.4 cm, 測量的誤差最多為加減0.1 cm，或說 1 mm（也就是最差的情況，一般不太可能那么差），那么最大的百分誤差是多少呢？我們來算算： 0.1/6.4 = 0.016 = 1.6 % 所以說，最大的百分誤差應(yīng)該是加減1.6 %；百分之1.6，誤差不大，一般用途，可以接受。

再看看水庫魚長度：

水庫魚長度 = 64.3 cm，誤差最多也為加減 0.1 cm（亦即1 mm）那么最大的百分誤差可計算如下 0.1/64.3= 0.0016 = 0.16 % 最大的百分誤差誤差則是 0.16%，也就是千分之1.6了，精密度也就是更大了，精密了10倍。所以說，有效數(shù)字，可直接反映出百分誤差的大小。

再舉一個例子，比如說，我們用一個卷尺（也具有1 mm的刻度），來測量一段道路的長度，發(fā)現(xiàn)數(shù)值為

64.327米（或6432.7 cm）

這是一個有效數(shù)字為5的數(shù)值，其最大百分誤差為

0.001/64.327或0.1/6432.7 = 0.000016 = 十萬分之1.6（注：1 mm = 0.001 m）

十萬分之1.6的精密度，實在是不小，重點是，有沒有那個必要？或者，在某些用途中，十萬分之1.6的精密度，有沒有實際意義在？比如說，吾人報告此段道路的長度為64.3米（三位有效，3 s.f.），甚至說64米（兩位有效，2 s.f.），一般來說，是令人滿意的了，如果說是64.327米，可能有人會覺得很沒必要那么說，甚至于很可笑了，因為開車時、或走路時，那0.001米，對大家來說，是沒太大意義的。即使說64.3米，其誤差也只有千分之1.6了，因為，即使最大誤差為10厘米（0.1米）那么多，我們可以確定道路長度，在最大的誤差之下，則可能會是64.2米或64.4米（事實上不可能差那么多），則最大百分誤差為 0.1米/64.3米 = 0.0016 = 0.16%，也就是千分之1.6了，針對一般用途來說，已經(jīng)是非常精確的了。

所以，以一般用途而言，2個有效數(shù)字（2 s.f.）往往隱含著百分之幾的誤差；而3個有效數(shù)字（3 s.f.），往往隱含著千分之幾的誤差。至于更多的有效數(shù)字，往往是用在非常特別的領(lǐng)域之中，有其非常特別的需求與用意在。

三、有效數(shù)字的表達方法

談到有效數(shù)字的表達方法，科學(xué)記數(shù)法(scientific notation)，可以說是一種表達有效數(shù)字特別有用的方法，尤其是針對于特別大的數(shù)、或特別小的數(shù)，特別有幫助，例如

? 地球的質(zhì)量為：5.98?1024kg ? 電子的質(zhì)量為：9.11?10?31kg ? 光速在真空中為：3.00?108 m/s ? 質(zhì)子的電量為：1.60?10?19 C

以上相當重要的物理數(shù)值，在大學(xué)教科書的數(shù)值表中，一般是給出三位有效數(shù)字為主。在大學(xué)物理中，如果沒有特別要求，一般的計算的結(jié)果，大多是以三位有效數(shù)字以內(nèi)來表達，除非有特別要求，必須使用高于三位有效數(shù)字，才使用之。

但是，有時，科學(xué)記數(shù)法，并非最佳的表達法，很多時候，沒有必要來用，例如，20頭羊，偏要寫成2.00?101頭羊，反而顯得過分了些，比較沒有必要。

我們再多看一些例子：

? 0.0207，前面的兩個0不是有效數(shù)字，后面的2、0、7均為有效數(shù)字，所以0.0207是一個有3個有效數(shù)字的數(shù)值，也可以寫成 2.07?10?2，也是有3位有效數(shù)字。? 4.307?106，4、3、0、7均為有效數(shù)字，后面的10的6次方不是有效數(shù)字，所以4.307?106是一個有4個有效數(shù)字的數(shù)值。

? 2.60 有3個有效數(shù)字，小數(shù)點前后的2、6、0均為有效數(shù)字。

? 0.01300，前面的兩個0不是有效數(shù)字，但是，最后的四位數(shù)1、3、0、0均為有效數(shù)字（最后的兩個0也算）。所以這是一個有4個有效數(shù)字的數(shù)值。

? 200.340 有6位有效數(shù)字。

? 2.998?108，若寫成3個有效數(shù)字的數(shù)值，則為3.00?108。以上表達有效數(shù)字的原則比較沒有問題，然而, 我們來看以下一個問題：

Find the weight(in Newton)of a 325 kg object on the surface of the Earth.(g = 9.8 N/kg)

我們可以計算在地球表面的重力：

Weight = mg =325kg?9.8N/kg?3185N

要寫成2位有效數(shù)字的答案（因為9.8乃2位有效數(shù)字），則可以寫成 Weight = 3200 N，或者也可以寫成3.2?103N，也就是說，在這里3200，是一個正確的2位有效數(shù)字的表達，這是完全沒有問題的，在A Level物理考題的Mark Scheme里面，是普遍表明的、使用的，讀者不可不察。

因此把3185寫成2位有效數(shù)字的答案，并非一定要寫成3.2?103。

如果堅持要說3200是一個4位有效數(shù)字的數(shù)值，就不應(yīng)該了。

因此，給與一個整數(shù)形式的表達，后面的零算不算是有效數(shù)字，是要看問題本身的實際狀況，以及整個計算過程的狀況而定，比如說以上題為例，不可直接把3200定為4位有效數(shù)字的表達了。像這種例子，在A Level物理考題的Mark Scheme里面表達的非常之多，尤其是答案是三位數(shù)、四位數(shù)，往往不用科學(xué)記數(shù)法來寫，以免反而變麻煩了。先舉一個例子，在2011年六月愛得思A Level物理Unit 5 第16題的Mark Scheme里，表明如下：

其中計算出來的溫度T = 971 K，然而答案則寫為970 K，顯然是一個2位有效數(shù)字的答案，這是合理的，因為在計算中，我們可以看出3.2 W只有兩位有效數(shù)字。再多舉幾個例子：

2012年夏季，愛得思A Level物理Unit 5的Mark Scheme里：

以上的答案，很明顯，Energy = 780 J，與Temperature = 180 K，雖然沒有用科學(xué)記數(shù)法來寫，但都是以二位有效數(shù)字來表達的（不能說是有3位有效數(shù)字了，后面的0，不能稱為有效數(shù)字），這是合理的，因為在計算中，最低的有效數(shù)字有兩位的。

2012年一月（春季），愛得思A Level物理Unit 5的Mark Scheme里：

顯然，Time = 1100 s，雖然沒有用科學(xué)記數(shù)法來寫，還是以二位有效數(shù)字來表達的（不能說是有4位有效數(shù)字了，后面的0，實在是不能稱為有效數(shù)字的），這是合理的，因為觀察計算過程，就完全可以明白了。諸如此類的例子，比比皆是，不甚枚舉。

四、使用有效數(shù)字的一些法則

使用有效數(shù)字，有許多默認的法則，比如說有關(guān) ? 四舍五入的原則，? 不同有效數(shù)字運算在一起的原則，? 甚至于，與對數(shù)計算有關(guān)的

等等原則，相信讀者大多有所了解，限于篇幅，本短文不加以贅述了。

五、結(jié)語

A Level物理對于有效數(shù)字的表達，有某種程度的強調(diào)，在實驗部分的考卷里，會更加地重視，甚至于因此而扣分，也是完全可能的。即使不是實驗考題，若在有效數(shù)字方面，表達的不好（給太多無意義的有效數(shù)字，或沒按要求，給的太少），會給改考官一個不太好的印象，甚至于遭到扣分，也是可能的。劍橋的物理A Level，就更加的講究了，請各位老師及同學(xué)多加注意。祝 身體健康

~Dr.Yu 謹識

2014/1/6，于廣州，華南國際預(yù)科中心

第五篇：近似數(shù)和有效數(shù)字

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蘇科數(shù)學(xué)八上教學(xué)案

2.6近似數(shù)與有效數(shù)字

班級 姓名 學(xué)號 學(xué)習目標：1了解近似數(shù)與有效數(shù)字的概念，體會近似數(shù)的意義及在生活中的作用

2能說出一個近似數(shù)的精確度或有幾個有效數(shù)字，能按照要求用四舍五入的方法取一個數(shù)的近似數(shù)

學(xué)習難點：按要求用四舍五入法取一個數(shù)的近似數(shù) 教學(xué)過程：

（一）情境創(chuàng)設(shè)

李宇春以3528308條短信獲得冠軍

周筆暢以3270840條短信獲得亞軍 張靚穎則以1353906條短信獲得季軍

今年22歲的夏洛特·凱利4年前生出詹尼弗和簡孿生姐妹，今年7月30日又生出魯思和艾米麗兩位可愛的孿生小姐妹。艾米麗出生時體重約為8.12磅，魯思出生時的體重則為約7.20磅。

（設(shè)計說明：讓學(xué)生自己搜集生活中與數(shù)有關(guān)的信息，從中進一步感受數(shù)的意義）

（二）講授新課

近似數(shù)

實際生產(chǎn)生活中的許多數(shù)據(jù)都是近似數(shù)，例如測量長度，時間，速度所得的結(jié)果都是近似數(shù)，且由于測量工具不同，其測量的精確程度也不同。在實際計算中對于像π這樣的數(shù)，也常常需取它們的近似值.請說說生活中應(yīng)用近似數(shù)的例子。

（設(shè)計說明：通過交流生活中近似數(shù)的例子，使學(xué)生認識到生活中存在近似數(shù)，感受近似數(shù)在生活中的作用，體會數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系）

取一個數(shù)的近似值有多種方法，四舍五入是最常用的一種方法。用四舍五入法取一個數(shù)的近似數(shù)時，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位.例如，圓周率=3.1415926?

取π≈3，就是精確到個位（或精確到1）取π≈3.1，就是精確到十分位（或精確到0.1）取π≈3.14，就是精確到百分位位（或精確到0.01）取π≈3.142，就是精確到千分位位（或精確到0.001）

有效數(shù)字

對一個近似數(shù)，從左面第一個不是0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都稱為這個近似數(shù)的有效數(shù)字。

例如：上面圓周率π的近似值中，3.14有3個有效數(shù)字3，1，4；3.142有4個有效數(shù)字3，1，江蘇省泰州中學(xué)附中 鳳凰數(shù)學(xué)網(wǎng)(004km.cn)

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4，2.（三）例題教學(xué)

例1 小亮用天平稱得罐頭的質(zhì)量為2.026kg，按要求取近似數(shù)，并指出每個近似數(shù)的有效數(shù)字：（1）精確到0.01kg;

（2）精確到0.1kg;

（3）精確到1kg.(設(shè)計說明：簡單應(yīng)用上面所學(xué)知識，先四舍五入取近似值，再確定近似數(shù)的有效數(shù)字，應(yīng)注意提醒學(xué)生不能隨便將小數(shù)點后的0去掉.)例2 用四舍五入法，按要求對下列各數(shù)取近似值，并用科學(xué)記數(shù)法表示.（1）地球上七大洲的面積約為149480000（保留2個有效數(shù)字）（2）某人一天飲水1890ml（精確到1000ml）（3）小明身高1.595m（保留3個有效數(shù)字）

（4）人的眼睛可以看見的紅光的波長為0.000077cm（精確到0.00001）

（設(shè)計說明：通過討論使學(xué)生理解用科學(xué)記數(shù)法記數(shù)，不僅便于記一些較大（?。┑臄?shù)，而且易于表示近似數(shù)的有效數(shù)字）

（四）課堂練習基礎(chǔ)訓(xùn)練

書p78 1,2 2 創(chuàng)新探究

（2）張娟和李敏在討論問題。

張娟：如果你把7498近似到千位數(shù)，你就會得到7000.李敏：不，我有另外一種解答方法，可以得到不同的答案。首先將7498近似到百位得7500，接著把7500近似到千位，就得到8000。張娟：??

你怎樣評價張娟和李敏的說法呢？ 3 研究性學(xué)習練習

（1）有一個四位數(shù)x，先將它四舍五入到十位，得到近似數(shù)m，再把四位數(shù)m四舍五入到百位，得到近似數(shù)n，再把四位數(shù)n四舍五入到千位，恰好是2000，你能求出四位數(shù)x的最大值與最小值嗎？

（設(shè)計說明：通過練習，進一步鞏固所學(xué)知識，發(fā)展能力）

（五）課堂小結(jié)

舉出生活中的近似數(shù)，指出它們精確到哪一位？各有幾個有效數(shù)字？ 五 教后反思：

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【課后作業(yè)】

班級 姓名 學(xué)號

一、精心選一選

⒈圓周率π＝3.1415926?精確到千分位的近似數(shù)是

（）

A．3.14

B．3.141

C．3.142

D．3.1416 ⒉近似數(shù)3.14×104的有效數(shù)字有

（）Ａ．1個

Ｂ．2個

Ｃ．3個

Ｄ．4個

⒊2004年某市完成國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）達3466.53億元，用四舍五入法取近似值，保留3個有效數(shù)字，并用科學(xué)記數(shù)法表示，其結(jié)果是

（）A．3.47×103億元

B．3.47×104億元 C．3.467×103億元

D．3.467×104億元

⒋對于近似數(shù)10.08與0.1008，下列說法正確的是

（）A．它們的有效數(shù)字與精確位數(shù)都不相同

B．它們的有效數(shù)字與精確位數(shù)相同 C．它們的精確位數(shù)不同，有效數(shù)字相同

D．它們的有效數(shù)字不同，精確位數(shù)相同

二、細心填一填

⒌近似數(shù)1.69萬精確到

位，有

個有效數(shù)字，有效數(shù)字是

． ⒍小明的體重約為51.51千克，如果精確到10千克，其結(jié)果為

千克；如果精確到1千克，其結(jié)果為

千克；如果精確到0.1千克，其結(jié)果為

千克．

⒎2003年10月15日9時10分，我國神舟五號載人飛船準確進入預(yù)定軌道．16日5時59分，返

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回艙與推進艙分離，返回地面．其間飛船繞地球共飛行了14圈，飛行的路程約為60萬km，則神舟五號載人飛船繞地球平均每圈飛行

km（用科學(xué)記數(shù)法表示，結(jié)果保留3個有效數(shù)字）．

三、用心做一做

⒏計算：⑴3＋2－3（保留兩個有效數(shù)字）

⑵

32（精確到0.01）

⒐以下問題中的近似數(shù)各精確到哪一位？各有幾個有效數(shù)字？ ⑴我國人口約為13億人； ⑵π的近似值是3.14；

⑶某廠2004年的產(chǎn)值約為2000萬元，約是1998年的6.8倍． ⒑用四舍五入法,，按要求對下列各數(shù)取近似值，并用科學(xué)記數(shù)法表示：

⑴太空探測器“先驅(qū)者10號”從發(fā)射到2003年2月人們收到它最后一次發(fā)回的信號時，它已飛離地球12200000000km（保留2個有效數(shù)字）；

⑵2005年6月5日是世界第34個世界環(huán)境日，目前全球海洋總面積約為36105.9萬km2（保留3個有效數(shù)字）；

⑶光年是天文學(xué)中的距離單位，1光年大約是9500000000000km； ⑷某市全年的路燈照明用電約需4200萬kw·h（精確到百萬位）．

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