第一篇：高中數(shù)學必修2教學設計案例

篇一：高中數(shù)學必修2教案

第一章：空間幾何體

1.1.1柱、錐、臺、球的結構特征

一、教學目標 1．知識與技能

（1）通過實物操作，增強學生的直觀感知。

（2）能根據(jù)幾何結構特征對空間物體進行分類。

（3）會用語言概述棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、棱臺、圓臺、球的結構特征。

（4）會表示有關于幾何體以及柱、錐、臺的分類。2．過程與方法

（1）讓學生通過直觀感受空間物體，從實物中概括出柱、錐、臺、球的幾何結構特征。

（2）讓學生觀察、討論、歸納、概括所學的知識。3．情感態(tài)度與價值觀

（1）使學生感受空間幾何體存在于現(xiàn)實生活周圍，增強學生學習的積極性，同時提高學生的觀察能力。

（2）培養(yǎng)學生的空間想象能力和抽象括能力。

二、教學重點、難點

重點：讓學生感受大量空間實物及模型、概括出柱、錐、臺、球的結構特征。

難點：柱、錐、臺、球的結構特征的概括。

三、教學用具

（1）學法：觀察、思考、交流、討論、概括。

（2）實物模型、投影儀

四、教學思路

（一）創(chuàng)設情景，揭示課題

1．教師提出問題：在我們生活周圍中有不少有特色的建筑物，你能舉出一些例子嗎？這些建筑的幾何結構特征如何？引導學生回憶，舉例和相互交流。教師對學生的活動及時給予評價。

2．所舉的建筑物基本上都是由這些幾何體組合而成的，（展示具有柱、錐、臺、球結構特征的空間物體），你能通過觀察。根據(jù)某種標準對這些空間物體進行分類嗎？這是我們所要學習的內(nèi)容。

（二）、研探新知

1．引導學生觀察物體、思考、交流、討論，對物體進行分類，分辯棱柱、圓柱、棱錐。2．觀察棱柱的幾何物件以及投影出棱柱的圖片，它們各自的特點是什么？它們的共同特點是什么？

3．組織學生分組討論，每小組選出一名同學發(fā)表本組討論結果。在此基礎上得出棱柱的主要結構特征。（1）有兩個面互相平行；（2）其余各面都是平行四邊形；（3）每相鄰兩上四邊形的公共邊互相平行。概括出棱柱的概念。

4．教師與學生結合圖形共同得出棱柱相關概念以及棱柱的表示。

5．提出問題：各種這樣的棱柱，主要有什么不同？可不可以根據(jù)不同對棱柱分類？

請列舉身邊具有已學過的幾何結構特征的物體，并說出組成這些物體的幾何結構特征？它們由哪些基本幾何體組成的？

6．以類似的方法，讓學生思考、討論、概括出棱錐、棱臺的結構特征，并得出相關的概念，分類以及表示。7．讓學生觀察圓柱，并實物模型演示，如何得到圓柱，從而概括出圓標的概念以及相關的概念及圓柱的表示。

8．引導學生以類似的方法思考圓錐、圓臺、球的結構特征，以及相關概念和表示，借助實物模型演示引導學生思考、討論、概括。

9．教師指出圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體，棱臺與圓臺統(tǒng)稱為臺體，圓錐與棱錐統(tǒng)稱為錐體。10．現(xiàn)實世界中，我們看到的物體大多由具有柱、錐、臺、球等幾何結構特征的物體組合而成。請列舉身邊具有已學過的幾何結構特征的物體，并說出組成這些物體的幾何結構特征？它們由哪些基本幾何體組成的？

（三）質疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維，教師提出問題，讓學生思考。1．有兩個面互相平行，其余后面都是平行四邊形的幾何體是不是棱柱（舉反例說明，如圖）2．棱柱的何兩個平面都可以作為棱柱的底面嗎？ 3．課本p8，習題1.1 a組第1題。

4．圓柱可以由矩形旋轉得到，圓錐可以由直角三角形旋轉得到，圓臺可以由什么圖形旋轉得到？如何旋轉？

5．棱臺與棱柱、棱錐有什么關系？圓臺與圓柱、圓錐呢？

四、鞏固深化

練習：課本p7 練習1、2（1）（2）

課本p8習題1.1 第2、3、4題

五、歸納整理

由學生整理學習了哪些內(nèi)容

六、布置作業(yè)

課本p8 練習題1.1 b組第1題

課外練習課本p8習題1.1 b組第2題 1.2.1 空間幾何體的三視圖（1課時）

一、教學目標 1．知識與技能

（1）掌握畫三視圖的基本技能

（2）豐富學生的空間想象力 2．過程與方法

主要通過學生自己的親身實踐，動手作圖，體會三視圖的作用。3．情感態(tài)度與價值觀

（1）提高學生空間想象力

（2）體會三視圖的作用

二、教學重點、難點

重點：畫出簡單組合體的三視圖

難點：識別三視圖所表示的空間幾何體

三、學法與教學用具

1．學法：觀察、動手實踐、討論、類比 2．教學用具：實物模型、三角板

四、教學思路

（一）創(chuàng)設情景，揭開課題

“橫看成嶺側看成峰”，這說明從不同的角度看同一物體視覺的效果可能不同，要比較真實反映出物體，我們可從多角度觀看物體，這堂課我們主要學習空間幾何體的三視圖。

在初中，我們已經(jīng)學習了正方體、長方體、圓柱、圓錐、球的三視圖（正視圖、側視圖、俯視圖），你能畫出空間幾何體的三視圖嗎？

（二）實踐動手作圖

1．講臺上放球、長方體實物，要求學生畫出它們的三視圖，教師巡視，學生畫完后可交流結果并討論;2．教師引導學生用類比方法畫出簡單組合體的三視圖

（1）畫出球放在長方體上的三視圖

（2）畫出礦泉水瓶（實物放在桌面上）的三視圖

學生畫完后，可把自己的作品展示并與同學交流，總結自己的作圖心得。

作三視圖之前應當細心觀察，認識了它的基本結構特征后，再動手作圖。3．三視圖與幾何體之間的相互轉化。

（1）投影出示圖片（課本p10，圖1.2-3）

請同學們思考圖中的三視圖表示的幾何體是什么？

（2）你能畫出圓臺的三視圖嗎？

（3）三視圖對于認識空間幾何體有何作用？你有何體會？

教師巡視指導，解答學生在學習中遇到的困難，然后讓學生發(fā)表對上述問題的看法。4．請同學們畫出1.2-4中其他物體表示的空間幾何體的三視圖，并與其他同學交流。

（三）鞏固練習

課本p12 練習1、2 p18習題1.2 a組1

（四）歸納整理

請學生回顧發(fā)表如何作好空間幾何體的三視圖

（五）課外練習 1．自己動手制作一個底面是正方形，側面是全等的三角形的棱錐模型，并畫出它的三視圖。2．自己制作一個上、下底面都是相似的正三角形，側面是全等的等腰梯形的棱臺模型，并畫出它的三視圖。

1.2.2 空間幾何體的直觀圖（1課時）

一、教學目標 1．知識與技能

（1）掌握斜二測畫法畫水平設置的平面圖形的直觀圖。

（2）采用對比的方法了解在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖形兩種方法的各自特點。2．過程與方法

學生通過觀察和類比，利用斜二測畫法畫出空間幾何體的直觀圖。3．情感態(tài)度與價值觀

（1）提高空間想象力與直觀感受。

（2）體會對比在學習中的作用。

（3）感受幾何作圖在生產(chǎn)活動中的應用。

二、教學重點、難點

重點、難點：用斜二測畫法畫空間幾何值的直觀圖。

三、學法與教學用具

1．學法：學生通過作圖感受圖形直觀感，并自然采用斜二測畫法畫空間幾何體的過程。2．教學用具：三角板、圓規(guī)

四、教學思路

（一）創(chuàng)設情景，揭示課題

1．我們都學過畫畫，這節(jié)課我們畫一物體：圓柱 把實物圓柱放在講臺上讓學生畫。

2．學生畫完后展示自己的結果并與同學交流，比較誰畫的效果更好，思考怎樣才能畫好物體的直觀圖呢？這是我們這節(jié)主要學習的內(nèi)容。

（二）研探新知

1．例1，用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖，由學生閱讀理解，并思考斜二測畫法的關鍵步驟，學生發(fā)表自己的見解，教師及時給予點評。

畫水平放置的多邊形的直觀圖的關鍵是確定多邊形頂點的位置，因為多邊形頂點的位置一旦確定，依次連結這些頂點就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時，直觀圖的畫法可以歸結為確定點的位置的畫法。強調(diào)斜二測畫法的步驟。

練習反饋

根據(jù)斜二測畫法，畫出水平放置的正五邊形的直觀圖，讓學生獨立完成后，教師檢查。2．例2，用斜二測畫法畫水平放置的圓的直觀圖

教師引導學生與例1進行比較，與畫水平放置的多邊形的直觀圖一樣，畫水平放置的圓的直觀圖，也是要先畫出一些有代表性的點，由于不能像多邊那樣直接以頂點為代表點，因此需要自己構造出一些點。

教師組織學生思考、討論和交流，如何構造出需要的一些點，與學生共同完成例2并詳細板書畫法。

3．探求空間幾何體的直觀圖的畫法

（1）例3，用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長方體abcd-a’b’c’d’的直觀圖。

教師引導學生完成，要注意對每一步驟提出嚴格要求，讓學生按部就班地畫好每一步，不能敷衍了事。

（2）投影出示幾何體的三視圖、課本p15圖1.2-9，請說出三視圖表示的幾何體？并用斜二測畫法畫出它的直觀圖。教師組織學生思考，討論和交流完成，教師巡視幫不懂的同學解疑，引導學生正確把握圖形尺寸大小之間的關系。4．平行投影與中心投影

投影出示課本p17圖1.2-12，讓學生觀察比較概括在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖形的各自特點。

5．鞏固練習，課本p16練習1（1），2，3，4

三、歸納整理

學生回顧斜二測畫法的關鍵與步驟

四、作業(yè)

1．書畫作業(yè)，課本p17 練習第5題 2．課外思考 課本p16，探究（1）（2）1.3.1柱體、錐體、臺體的表面積與體積

一、教學目標

1、知識與技能

（1）通過對柱、錐、臺體的研究，掌握柱、錐、臺的表面積和體積的求法。

（2）能運用公式求解，柱體、錐體和臺全的全積，并且熟悉臺體與術體和錐體之間的轉換關系。

（3）培養(yǎng)學生空間想象能力和思維能力。

2、過程與方法

篇二：新課標高中數(shù)學必修二全冊教案必修2教案

講義1： 空 間 幾 何 體

一、教學要求：通過實物模型，觀察大量的空間圖形，認識柱體、錐體、臺體、球體及簡單組合體的結構特征，并

能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結

構.二、教學重點：讓學生感受大量空間實物及模型，概括出柱體、錐體、臺體、球體的結構特征.三、教學難點：柱、錐、臺、球的結構特征的概括.四、教學過程：

（一）、新課導入：

1.導入：進入高中，在必修②的第一、二章中，將繼續(xù)深入研究一些空間幾何圖形，即學習立體幾何，注意學習方法：直觀感知、操作確認、思維辯證、度量計算.（二）、講授新課：

1.教學棱柱、棱錐的結構特征：

①、討論：給一個長方體模型，經(jīng)過上、下兩個底面用刀垂直切，得到的幾何體有哪些公共特征？把這些幾何體用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？

②、定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成

的幾何體叫棱柱.→ 列舉生活中的棱柱實例（三棱鏡、方磚、六角螺帽）.結合圖形認識：底面、側面、側棱、頂點、高、對角面、對角線.③、分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等.表示：棱柱abcde-a’b’c’d’e’

④、討論：埃及金字塔具有什么幾何特征？

⑤、定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫棱錐.結合圖形認識：底面、側面、側棱、頂點、高.→ 討論：棱錐如何分類及表示？

⑥、討論：棱柱、棱錐分別具有一些什么幾何性質？有什么共同的性質？ ★棱柱：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都

是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形

★棱錐：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方.2.教學圓柱、圓錐的結構特征：

① 討論：圓柱、圓錐如何形成？

② 定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱；以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,其余兩邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐.→結合圖形認識：底面、軸、側面、母線、高.→ 表示方法 ③ 討論：棱柱與圓柱、棱柱與棱錐的共同特征？ → 柱體、錐體.④ 觀察書p2若干圖形，找出相應幾何體；

三、鞏固練習：

1.已知圓錐的軸截面等腰三角形的腰長為 5cm，面積為12cm,求圓錐的底面半徑.2.已知圓柱的底面半徑為3cm，軸截面面積為24cm,求圓柱的母線長.3.正四棱錐的底面積為46cm2,側面等腰三角形面積為6cm2,求正四棱錐側棱.（四）、教學棱臺與圓臺的結構特征：

① 討論：用一個平行于底面的平面去截柱體和錐體，所得幾何體有何特征？

② 定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分叫做棱臺；用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分叫做圓臺.結合圖形認識：上下底面、側面、側棱（母線）、頂點、高.討論：棱臺的分類及表示？ 圓臺的表示？圓臺可如何旋轉而得？

③ 討論：棱臺、圓臺分別具有一些什么幾何性質？

★ 棱臺：兩底面所在平面互相平行；兩底面是對應邊互相平行的相似多邊形；側面是梯形；側棱的延長線相交于一點.★ 圓臺：兩底面是兩個半徑不同的圓；軸截面是等腰梯形；任 意兩條母線的延長線交于一點；母線長都相等.④ 討論：棱、圓與柱、錐、臺的組合得到6個幾何體.棱臺與棱柱、棱錐有什么關系？圓臺與圓柱、圓錐有什么關系？（以臺體的上底面變化為線索）2．教學球體的結構特征：

① 定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體，叫球體.結合圖形認識：球心、半徑、直徑.→ 球的表示.② 討論：球有一些什么幾何性質？

③ 討論：球與圓柱、圓錐、圓臺有何關系？（旋轉體）棱臺與棱柱、棱錐有什么共性？（多面體）

3.教學簡單組合體的結構特征：

① 討論：礦泉水塑料瓶由哪些幾何體構成？燈管呢？

② 定義：由柱、錐、臺、球等幾何結構特征組合的幾何體叫簡單組合體.4.練習：圓錐底面半徑為１cm，其中有一個內(nèi)接正方體，求這個內(nèi)接正方體的棱長.（補充平行線分線段成比例定理）

（五）、鞏固練習： 1.已知長方體的長、寬、高之比為4∶3∶12，對角線長為26cm, 則長、寬、高分別為多少？ 2.棱臺的上、下底面積分別是25和81，高為4，求截得這棱臺的原棱錐的高 3.若棱長均相等的三棱錐叫正四面體，求棱長為a的正四面體的高.★例題：用一個平行于圓錐底面的平面去截這個圓錐，截得的圓臺的上、下底面的半徑的比是1：4，截去的圓錐的母線長為3厘米，求此圓臺的母線之長。

●解：考查其截面圖，利用平行線的成比例，可得所求為9厘米。

★ 例題2：已知三棱臺abc—a′b′c′ 的上、下兩底均為正三角形，邊長分別為3和6，平行于底面的截面將側棱分為1：2兩部分，求截面的面積。（43）

★ 圓臺的上、下度面半徑分別為6和12，平行于底面的截面分 高為2：1兩部分，求截面的面積。（100π）

▲ 解決臺體的平行于底面的截面問題，還臺為錐是行之有效的一種方法。

講義

2、空間幾何體的三視圖和直視圖

一、教學要求：能畫出簡單幾何體的三視圖；能識別三視圖所表

示的空間幾何體.掌握斜二測畫法；能用斜二測

畫法畫空間幾何體的直觀圖.二、教學重點：畫出三視圖、識別三視圖.三、教學難點：識別三視圖所表示的空間幾何體.四、教學過程：(一)、新課導入：

1.討論：能否熟練畫出上節(jié)所學習的幾何體？工程師如何制作工程設計圖紙？ 2.引入：從不同角度看廬山，有古詩：“橫看成嶺側成峰，遠

近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中。” 對于我們所學幾何體，常用三視圖和直觀圖來畫在紙上.三視圖：觀察者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形；直觀圖：觀察者站在某一點觀察幾何體，畫出的空間幾何體的圖形.用途：工程建設、機械制造、日常生活.(二)、講授新課：

1.教學中心投影與平行投影：

① 投影法的提出：物體在光線的照射下，就會在地面或墻壁上

產(chǎn)生影子。人們將這種自然現(xiàn)象加以的抽象，總結其

中的規(guī)律，提出了投影的方法。

② 中心投影：光由一點向外散射形成的投影。其投影的大小隨

物體與投影中心間距離的變化而變化，所以其投影不

能反映物體的實形.③平行投影：在一束平行光線照射下形成的投影.分正投影、斜投影.→討論：點、線、三角形在平行投影后的結果.2.教學柱、錐、臺、球的三視圖：

① 定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側視圖（從左向右）、俯視圖

② 討論：三視圖與平面圖形的關系？ → 畫出長方體的三視圖，并討論所反應的長、寬、高

③ 結合球、圓柱、圓錐的模型，從正面（自前而后）、側面（自左而右）、上面（自上而下）三個角度，分別觀察，畫出觀察得出的各種結果.→ 正視圖、側視圖、俯視圖.③ 試畫出：棱柱、棱錐、棱臺、圓臺的三視圖.（④ 討論：三視圖，分別反應物體的哪些關系（上下、左右、前后）？哪些數(shù)量（長、寬、高）

正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度；

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度；

側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。

⑤ 討論：根據(jù)以上的三視圖，如何逆向得到幾何體的形狀.（試變化以上的三視圖，說出相應幾何

體的擺放）

3.教學簡單組合體的三視圖：

① 畫出教材p16 圖（2）、（3）、(4)的三視圖.② 從教材p16思考中三視圖，說出幾何體.4.練習：

① 畫出正四棱錐的三視圖.④ 畫出右圖所示幾何體的三視圖.③ 右圖是一個物體的正視圖、左視圖和俯視圖，試描述該物體的形狀.(三)復習鞏固、篇三：人教版高中數(shù)學必修2-全冊教案

第一章 空間幾何體 重難點解析

人教版數(shù)學必修二 第一章 課文目錄

1．1 空間幾何體的結構

1．2 空間幾何體的三視圖和直觀圖1．3 空間幾何體的表面積與體積

重難點：

1、讓學生感受大量空間實物及模型、概括出柱、錐、臺、球的結構特征。

2、畫出簡單組合體的三視圖。

3、用斜二測畫法畫空間幾何值的直觀圖。

4、柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算，臺體體積公式的推導。

5、了解推導球的體積和面積公式所運用的基本思想方法。

知識結構：

一、空間幾何體的結構、三視圖和直觀圖 1．柱、錐、臺、球的結構特征

（1）柱

棱柱：一般的，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱；棱柱中兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱為底；其余各面叫做棱柱的側面；相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱；側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點。

底面是三角形、四邊形、五邊形??的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱?? 圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側面的母線。

棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體；（2）錐

棱錐：一般的有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐；這個多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面；各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點；相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱。

底面是三角錐、四邊錐、五邊錐??的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐?? 圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉形成的曲面叫做圓錐的側面。

棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體。（3）臺

棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；棱臺也有側面、側棱、頂點。

圓臺：用一個平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面；圓臺也有側面、母線、軸。

圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體。（4）球

以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體叫做球體，簡稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。

（5）組合體

由柱、錐、臺、球等幾何體組成的復雜的幾何體叫組合體。幾種常凸多面體間的關系

一些特殊棱柱、棱錐、棱臺的概念和主要性質：

幾種特殊四棱柱的特殊性質： 2．空間幾何體的三視圖

三視圖是觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形。他具體包括：

（1）正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖； 它能反映物體的高度和長度；（2）側視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖； 它能反映物體的高度和寬度；

（3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖； 它能反映物體的長度和寬度； 三視圖畫法規(guī)則：

高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊 長對正：主視圖與俯視圖的長應對正 寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應相等 3．空間幾何體的直觀圖

（1）斜二測畫法

①建立直角坐標系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的ox，oy，建立直角坐標系；

②畫出斜坐標系，在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應的ox,oy,使?xoy=45（或135），它們確定的平面表示水平平面；

‘

③畫對應圖形，在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x軸，且長度

‘

保持不變；在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

④擦去輔助線，圖畫好后，要擦去x軸、y軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）。（2）平行投影與中心投影

平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點。注意：畫水平放置的多邊形的直觀圖的關鍵是確定多邊形頂點的位置，因為多邊形頂點的位置一旦確定，依次連結這些頂點就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時，直觀圖的畫法可以歸結為確定點的位置的畫法。強調(diào)斜二測畫法的步驟。

例題講解：

’’

’’

[例1]將正三棱柱截去三個角（如圖1所示a，b，c分別是△ghi三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側視圖（或稱左視圖）為（）a g 側視 d 圖1 e 圖2 b e a． b． e d e c． e d．

[例2]在正方體abcd?a1b1c1d1中，e，f分別為棱aa1，cc1的中點，則在空間中與三條直線a1d1，ef，cd都相交的直線（）a．不存在

b．有且只有兩條 c．有且只有三條 d．有無數(shù)條

[例3]正方體abcd_a1b1c1d1的棱長為2，點m是bc的中點，點p 是平面abcd內(nèi)的一 個動點，且滿足pm=2，p到直線a1d1p的軌跡是（）a.圓 b.雙曲線 c.兩個點 d.直線

解析： 點p到a1d1p到ad的距離為1，滿足此條件的p的軌跡是到直線ad的距離為1的兩條平行直線，又?pm?2，?滿足此條件的p的軌跡是以m為圓心，半徑為2的圓，這兩種軌跡只有兩個交點.故點p的軌跡是兩個點。選項為c。

點評：該題考察空間內(nèi)平面軌跡的形成過程，考察了空間想象能力。

[例4]兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長為1的正方體內(nèi)，使正四棱

錐的底面abcd與正方體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何．．．體體積的可能值有（）

a．1個 b．2個 c．3個 d．無窮多個

解析：由于兩個正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心在正四棱錐底面正方形abcd中心，有對稱性知正四棱錐的高為正方體棱長的一半，影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形abcd的面積，問題轉化為邊長為1的正方形的內(nèi)接正方形有多少種，所以選d。

點評：本題主要考查空間想象能力，以及正四棱錐的體積。正方體是大家熟悉的幾何體，它的一些內(nèi)接或外接圖形需要一定的空間想象能力，要學會將空間問題向平面問題轉化。題型2：空間幾何體的定義

[例5]長方體abcd?a1bc11d1的8個頂點在同一個球面上，且ab=2，ad=，aa1?1，則頂點a、b間的球面距離是()a． 1 22 b． c．2? d．22? 42 解析：?bd1?ac1?2r??r? 設

bd1?ac1?o,則oa ?ob?r? ??aob? ? 2 ,?l?r??? 2 ,故選

ｂ.點評：抓住本質的東西來進行判斷，對于信息要進行加工再利用。

第二篇：高中數(shù)學必修一教學設計

篇一：高一數(shù)學必修一教案

課題： 1.1 集合

教材分析：集合概念及其基本理論，稱為集合論，是近、現(xiàn)代數(shù)學的一個重要的基礎，一方

面，許多重要的數(shù)學分支，都建立在集合理論的基礎上。另一方面，集合論及其所

反映的數(shù)學思想，在越來越廣泛的領域種得到應用。

課 型：新授課

教學目標：（1）通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的理解集合“屬于”關系；

（2）能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體

問題，感受集合語言的意義和作用；

教學重點：集合的基本概念與表示方法；

教學難點：運用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法，正確表示一些簡單的集合； 教學過程：

一、引入課題

軍訓前學校通知：8月15日8點，高一年段在體育館集合進行軍訓動員；試問這個通知的對象是全體的高一學生還是個別學生？

在這里，集合是我們常用的一個詞語，我們感興趣的是問題中某些特定（是高一而不是高

二、高三）對象的總體，而不是個別的對象，為此，我們將學習一個新的概念——集合（宣布課題），即是一些研究對象的總體。

二、新課教學

（一）集合的有關概念

1.集合理論創(chuàng)始人康托爾稱集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這

些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個總體。2.一般地，研究對象統(tǒng)稱為元素（element），一些元素組成的總體叫集合（set），也簡

稱集。

3.關于集合的元素的特征

（1）確定性：設a是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是a的元素，或者不是a的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立。

（2）互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應重復出現(xiàn)同一元素。

（3）集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣 4.元素與集合的關系；

（1）如果a是集合a的元素，就說a屬于（belong to）a，記作a∈a（2）如果a不是集合a的元素，就說a不屬于（not belong to）a，記作a?a（或a a）? 5.常用數(shù)集及其記法

非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作n 正整數(shù)集，記作n或n+；

整數(shù)集，記作z 有理數(shù)集，記作q 實數(shù)集，記作r

（二）集合的表示方法

我們可以用自然語言來描述一個集合，但這將給我們帶來很多不便，除此之外還常用列舉法和描述法來表示集合。

（1）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，?；

思考2，引入描述法

說明：集合中的元素具有無序性，所以用列舉法表示集合時不必考慮元素的順序。

（2）描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內(nèi)。

具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，?；

強調(diào)：描述法表示集合應注意集合的代表元素 {(x,y)|y= x2+3x+2}與 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起誤解，集合的代表元素也可省略，例如：{整數(shù)}，即代表整數(shù)集z。

辨析：這里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必寫{全體整數(shù)}。下列寫法{實數(shù)集}，{r}也是錯誤的。

說明：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。

三、歸納小結

本節(jié)課從實例入手，非常自然貼切地引出集合與集合的概念，并且結合實例對集合的概念作了說明，然后介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法。* 課題: 1.2集合間的基本關系

教材分析：類比實數(shù)的大小關系引入集合的包含與相等關系

了解空集的含義

課 型：新授課

教學目的：（1）了解集合之間的包含、相等關系的含義；

（2）理解子集、真子集的概念；

（3）能利用venn圖表達集合間的關系；

（4）了解與空集的含義。

教學重點：子集與空集的概念；用venn圖表達集合間的關系。

教學難點：弄清元素與子集、屬于與包含之間的區(qū)別；

教學過程：

四、引入課題

1、復習元素與集合的關系——屬于與不屬于的關系，填以下空白：（1）0 n；（2）；（3）-1.5 r

2、類比實數(shù)的大小關系，如5<7，2≤2，試想集合間是否有類似的“大小”關系呢？（宣

布課題）

五、新課教學

（一）集合與集合之間的“包含”關系； a={1，2，3}，b={1，2，3，4} 集合a是集合b的部分元素構成的集合，我們說集合b包含集合a；

如果集合a的任何一個元素都是集合b的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合a是集合b的子集（subset）。

記作：a?b(或b?a)讀作：a包含于（is contained in）b，或b包含（contains）a 當集合a不包含于集合b時，記作 a b a?b(或b?a)用venn圖表示兩個集合間的“包含”關系

（二）集合與集合之間的 “相等”關系； a?b且b?a，則a?b中的元素是一樣的，因此a?b ?a?ba?b?? b?a?即

結論：

任何一個集合是它本身的子集

（三）真子集的概念

若集合a?b，存在元素x?b且x?a，則稱集合a是集合b的真子集（proper subset）。

記作：a b（或b a）

讀作：a真包含于b（或b真包含a）

（四）空集的概念

（實例引入空集概念）

不含有任何元素的集合稱為空集（empty set），記作：? 規(guī)定： 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（五）結論：

1a?a ○2a?b，且b?c，則a?c ○

（六）例題

（1）寫出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。

（2）化簡集合a={x|x-3>2},b={x|x?5}，并表示a、b的關系；

（七）歸納小結，強化思想

兩個集合之間的基本關系只有“包含”與“相等”兩種，可類比兩個實數(shù)間的大小關系，同時還要注意區(qū)別“屬于”與“包含”兩種關系及其表示方法；

已知集合a?{x|a?x?5}，b?{x|x≥2}，○且滿足a?b，求實數(shù)a的取值范圍。

設集合a?{四邊形}，b?{平行四邊形}，c?{矩形}，○ enn圖表示它們之間的關系。d?{正方形}，試用v 課題：

1.3集合的基本運算

教學目的：（1）理解兩個集合的并集與交集的的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；

（2）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；（3）能用venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。

課 型：新授課

教學重點：集合的交集與并集、補集的概念；

教學難點：集合的交集與并集、補集“是什么”，“為什么”，“怎樣做”；

教學過程：

六、引入課題

我們兩個實數(shù)除了可以比較大小外，還可以進行加法運算，類比實數(shù)的加法運算，兩個集合是否也可以“相加”呢？

思考（p9思考題），引入并集概念。

七、新課教學 1.并集 一般地，由所有屬于集合a或屬于集合b的元素所組成的集合，稱為集合a與b的并集（union）

記作：a∪b讀作：“a并b”

即： a∪b={x|x∈a，或x∈b} venn圖表示：

篇二：新課標人教版高中數(shù)學必修1優(yōu)秀教案全套

備課資料

［備選例題］

【例1】判斷下列集合是有限集還是無限集,并用適當?shù)姆椒ū硎?(1)被3除余1的自然數(shù)組成的集合;(2)由所有小于20的既是奇數(shù)又是質數(shù)的正整數(shù)組成的集合;(3)二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象上的所有點組成的集合;(4)設a、b是非零實數(shù),求y=abab的所有值組成的集合.??|a||b||ab| 思路分析：本題主要考查集合的表示法和集合的分類.用列舉法與描述法表示集合時,一要分清元素是什么,二要明確元素滿足的條件是什么.解：(1)被3除余1的自然數(shù)有無數(shù)個,這些自然數(shù)可以表示為3n+1(n∈n).用描述法表示為{x|x=3n+1,n∈n}.(2)由題意得滿足條件的正整數(shù)有:3,5,7,11,13,17,19.則此集合中的元素有7個,用列舉法表示為{3,5,7,11,13,17,19}.(3)滿足條件的點有無數(shù)個,則此集合中有無數(shù)個元素,可用描述法來表示.通常用有序數(shù)對(x,y)表示點,那么滿足條件的點組成的集合表示為{(x,y)|y=x2+2x-10}.(4)當ab<0時,y=abab=-1;當ab>0時,則a>0,b>0或a<0,b<0.??|a||b||ab| abababab=3;若a<0,b<0,則有y==-1.|a||b||ab||a||b||ab|若a>0,b>0,則有y= ∴y=abab的所有值組成的集合共有兩個元素-1和3.則用列舉法表示為{-1,3}.??|a||b||ab| 【例2】定義a-b={x|x∈a,x?b},若m={1,2,3,4,5},n={2,3,6},試用列舉法表示集合n-m.分析:應用集合a-b={x|x∈a,x?b}與集合a、b的關系來解決.依據(jù)定義知n-m就是集合n中除去集合m和集合n的公共元素組成的集合.觀察集合m、n,它們的公共元素是2,3.集合n中除去元素2,3還剩下元素6,則n-m={6}.答案：{6}.(設計者：張新軍)設計方案

（二）教學過程

導入新課

思路1.在初中代數(shù)不等式的解法一節(jié)中提到:一般地,一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成這個不等式的解的集合,簡稱這個不等式的解集.不等式解集的定義中涉及到“集合”,那么,集合的含義是什么呢?這就是我們這一堂課所要學習的內(nèi)容.今天我們開始學習集合,引出

課題.思路2.開場白:集合是現(xiàn)代數(shù)學的基本語言,它可以簡潔、準確地表達數(shù)學內(nèi)容.這個詞聽起來比較陌生,其實在初中我們已經(jīng)有所接觸,比如自然數(shù)集、有理數(shù)集,一元一次不等式x-3>5的解集,這些都是集合.還有,我們學過的圓的定義是什么？(提問學生)圓是到一個定點的距離等 于定長的點的集合.接著點出課題.推進新課

新知探究

提出問題

教師利用多媒體設備向學生投影出下面實例,這5個實例的共同特征是什么?(1)1~20以內(nèi)的所有質數(shù);(2)我國古代的四大發(fā)明;(3)所有的安理會常任理事國;(4)所有的正方形;(5)北京大學2004年9月入學的全體學生.活動：教師組織學生分小組討論,每個小組選出一位同學發(fā)表本組的討論結果,在此基礎上,師生共同概括出5個實例的特征,并給出集合的含義.引導過程: ①一般地,指定的某些對象的全體稱為集合(簡稱為集),集合中的每個對象叫做這個集合的元素.②集合常用大寫字母a,b,c,d,?表示,元素常用小寫字母a,b,c,d,?表示.③集合的表示法:a.自然語言(5個實例);b.字母表示法.④集合元素的性質:a.確定性:即任給一個元素和一個集合,那么這個元素和這個集合的關系只有兩種:這個元素要么屬于這個集合,要么不屬于這個集合;b.互異性:一個給定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重復出現(xiàn)的;c.無序性:集合中的元素是沒有順序的.⑤集合相等:如果兩個集合中的元素完全相同,那么這兩個集合是相等的.⑥元素與集合的關系:“屬于”和“不屬于”分別用“∈”和“?”表示.元素確定性的符號語言表述為:對任意元素a和集合a,要么a∈a,要么a?a.⑦在初中我們學過了一些數(shù)的集合,國際標準化組織(iso)制定了常用數(shù)集的記法: 自然數(shù)集(包含零):n,正整數(shù)集:n*(n+),整數(shù)集:z,有理數(shù)集:q,實數(shù)集:r.因此字母n、z、q、r不能再表示其他的集合,否則會出現(xiàn)混亂的局面.提出問題

(1)請列舉出“小于5的所有自然數(shù)組成的集合a”.(2)你能寫出不等式2-x>3的所有解嗎？怎樣表示這個不等式的解集？

活動：學生回答后,教師指出: ①在數(shù)學中,為書寫規(guī)范,我們把封閉曲線簡化為一個大括號,然后把元素一一列舉出來,元素與元素之間用逗號隔開寫在大括號內(nèi)來表示這個集合.這種表示集合的方法稱為列舉法.如本例可表示為a={0,1,2,3,4}.②描述法:將集合的所有元素都具有的性質(滿足的條件)表示出來,寫成{x|p(x)}的形式.其中x為元素的一般特征,p(x)為x滿足的條件.如數(shù)集常用{x|p(x)}表示,點集常用{(x,y)|p(x,y)}表示.應用示例

思路1 1.課本第3頁例1.思路分析：用相應的數(shù)學知識明確集合中的元素,再寫在大括號內(nèi).點評：本題主要考查集合表示法中的列舉法.如果一個集合是有限集,并且元素的個數(shù)較少時,通常選擇列舉法表示,其特點是非常顯明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;列舉法表示集合的步驟:(1)用字母表示集合;(2)明確集合中的元素;(3)把集合中所有元素寫在大括號“{}”內(nèi),并寫成a={??}的形式.變式訓練 請試一試用列舉法表示下列集合:(1)a={x∈n|且9∈n};9?x(2)b={y|y=-x2+6,x∈n,y∈n};(3)c={(x,y)|y=-x2+6,x∈n,y∈n}.分析:本題考查列舉法與描述法的相互轉化.明確各個集合中的元素后再寫在大括號內(nèi).(1)集合a中元素x滿足9均為自然數(shù);9?x(2)集合b中y值為函數(shù)y=-x2+6的函數(shù)值的集合;(3)集合c中元素為點,拋物線上橫、縱坐標均為自然數(shù)的點.答案：(1)a={0,6,8};(2)b={2,5,6};(3)c={(0,6),(1,5),(2,2)}.2.課本第4頁例2.思路分析：本題重點學習用描述法表示集合.用一個小寫英文字母表示集合中的元素,作為集合中元素的代表符號,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用數(shù)學符號來表達,然后寫在大括號“{}”內(nèi).點評：本題主要考查集合的表示方法,以及應用知識解決問題的能力;描述法表示集合的步驟:(1)用字母分別表示集合和元素,(2)用數(shù)學符號表達集合元素的共同特征;(3)在大括號內(nèi)先寫上集合中元素的代表符號及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.并寫成a={?|?}的形式;描述法適合表示有無數(shù)個元素的集合,當集合中的元素個數(shù)較少時,通常用列舉法表示.變式訓練

課本p5練習2.思路2 1.下列所給對象不能構成集合的是()a.一個平面內(nèi)的所有點 b.所有大于零的正數(shù)

c.某校高一(4)班的高個子學生 d.某一天到商場買過貨物的顧客

答案：c 變式訓練

下列各組對象中不能構成集合的是()a.高一(1)班全體女生 b.高一(1)班全體學生家長 c.高一(1)班開設的所有課程 d.高一(1)班身高較高的男同學

分析:判斷所給對象能否構成集合的問題,只需根據(jù)構成集合的條件,即集合中元素的確定性便可以解決.因為a、b、c中所給對象都是確定的,從而可以構成集合;而d中所給對象不確 定,原因是找不到衡量學生身高較高的標準,故不能構成集合.若將d中“身高較高的男同學”改為“身高175 cm以上的男同學”,則能構成集合.答案：d 2.用另一種形式表示下列集合:(1){絕對值不大于3的整數(shù)};(2){所有被3整除的數(shù)};(3){x|x=|x|,x∈z且x<5};(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈z};(5){(x,y)|x+y=6,x>0,y>0,x∈z,y∈z}.思路分析：用列舉法與描述法表示集合時,一要分清元素是什么,二要明確元素滿足的條件是什么.答案：(1){絕對值不大于3的整數(shù)}還可以表示為{x||x|≤3,x∈z},也可表示為{-3,-2,-1,0,1,2,3}.(2){x|x=3n,n∈z}.(3)∵x=|x|,∴x≥0.又∵x∈z且x<5, ∴{x|x=|x|,x∈z且x<5}還可以表示為{0,1,2,3,4}.(4){-2}.(5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.變式訓練

用適當?shù)男问奖硎鞠铝屑?(1)絕對值不大于3的整數(shù)組成的集合;(2)所有被3整除的數(shù)組成的集合;(3)方程(3x-5)(x+2)(x2+3)=0實數(shù)解組成的集合;(4)一次函數(shù)y=x+6圖象上所有點組成的集合.分析:元素較少的有限集宜采用列舉法;對無限集或元素較多的有限集宜采用描述法.答案：(1){x||x|≤3,x∈z}或{-3,-2,-1,0,1,2,3};(2){x|x=3n,n∈z};(3){5,-2};3(4){(x,y)|y=x+6}.3.已知集合a={x|ax2-3x+2=0,a∈r},若a中至少有一個元素,求a的取值范圍.思路分析：對于方程ax2-3x+2=0,a∈r的解,要看這個方程左邊的x2的系數(shù),a=0和a≠0方程的根的情況是不一樣的,則集合a的元素也不相同,所以首先要分類討論.解：當a=0時,原方程為-3x+2=0?x=2,符合題意;3 ?a?0,9解得a≠0且a≤.8?9?8a?0.當a≠0時,方程ax2-3x+2=0為一元二次方程,則? 綜上所得a的取值范圍是{a|a≤ 4.用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?(1)方程組?9}.8?2x-3y?14,的解集;?3x?2y?8(2)1000以內(nèi)被3除余2的正整數(shù)所組成的集合;(3)直角坐標平面上在第二象限內(nèi)的點所組成的集合;(4)所有正方形;(5)直角坐標平面上在直線x=1和x=-1的兩側的點所組成的集合.分析:本題考查集合的表示方法.所謂適當?shù)谋硎痉椒?就是較簡單、較明了的表示方法.由于方

?2x-3y?14,程組?的解為x=4,y=-2.故(1)宜用列舉法;(2)中盡管是有限集,但由于它的元素個3x?2y?8? 數(shù)較多,所以用列舉法表示是不明智的,故用描述法;(3)和(5)也宜用描述法;而(4)則宜用列舉法為好.解：(1){(4,-2)};(2){x|x=3k+2,k∈n且x<1000};(3){(x,y)|x<0且y>0};(4){正方形};(5){(x,y)|x<-1或x>１}.知能訓練

課本p5練習1、2.拓展提升

1.已知a={x∈r|x=|a||b||c||ab||ac||bc||abc|,abc≠0},用列舉法表示集??abcabacbcabc 合a.分析:解決本題的關鍵是去掉絕對值符號,需分類討論.解：題目中x的取值取決于a、b、c的正負情況,可分成以下幾種情況討論:(1)a、b、c全為正時,x=7;(2)a、b、c兩正一負時,x=-1;(3)a、b、c一正兩負時,x=-1;(4)a、b、c全為負時,x=-1.∴a={7,-1}.注意：(2)、(3)中又包括多種情況(a、b、c各自的正負情況),解題時應考慮全面.2.已知集合c={x|x=a+b,a∈a,b∈b}.(1)若a={0,1,2,3},b={6,7,8,9},求集合c中所有元素之和s;(2)若a={0,1,2,3,4,?,2 005},b={5,6,7,8,9},試用代數(shù)式表示出集合c中所有元素之和s;(3)聯(lián)系高斯求s=1+2+3+4+?+99+100的方法,試求出(2)中的s.思路分析：先用列舉法寫出集合c,然后解決各個小題.答案：(1)列舉法表示集合c={6,7,8,9,10,11,12},進而易求得s=6+7+8+9+10+11+12=63.(2)列舉法表示集合c={5,6,7,?,2 013,2 014},由此可得s=5+6+7+?+2 013+2 014.(3)高斯求s=1+2+3+4+?+99+100時,利用1+100=2+99=3+98=?=50+51=101,進而得s=1+2+3+4+?+99+100=101×50=5 050.本題(2)中s=5+6+7+?+2 013+2 014=2 019×1 005=2 029 095.課堂小結

在師生互動中,讓學生了解或體會下列問題:(1)本節(jié)課我們學習過哪些知識內(nèi)容?(2)你認為學習集合有什么意義？

(3)選擇集合的表示法時應注意些什么? 篇三：高中數(shù)學必修一教案

第一章 集合與函數(shù)概念 1.1 集合

1.1.1 集合的含義與表示

課標三維定向

〖知識與技能〗

1、了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系。

2、掌握集合中元素的特性。

3、能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用。

〖過程與方法〗通過實例，從集合中的元素入手，正確表示集合，結合集合中元素的特性，學會觀察、比較、抽象、概括的思維方法，領悟分類討論的數(shù)學思想。

〖情感、態(tài)度、價值觀〗在運用集合語言解決問題的過程中，逐步養(yǎng)成實事求是、扎實嚴謹?shù)目茖W態(tài)度，學會用數(shù)學思維方法解決問題。

教學重、難點

〖重點〗集合的含義與表示方法。

〖難點〗集合表示方法的恰當選擇及應用。

教學過程設計

一、閱讀課本：p2—6（10分鐘）（學生課前預習）

二、核心內(nèi)容整合

1、為什么要學習集合——現(xiàn)代數(shù)學的基礎（數(shù)學分支）

2、集合的含義：把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。

3、集合的特性

（1）確定性。問題：“高個子”能不能構成集合？我國的小河流呢？

〖知識鏈接〗模糊數(shù)學（“模糊數(shù)學簡介”、“淺談模糊數(shù)學”）

（2）互異性：集合中的元素不重復出現(xiàn)。如{1，1，2}不能構成集合（3）無序性——相等集合，如{1，2} = {2，1}

4、元素與集合之間的“屬于”關系：a?a,a?a

5、一些常用數(shù)集的記法：n（n*，n+），z，q，r。如：r+表示什么？

6、集合的表示法：

（1）列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{}“括起來。例

1、用列舉法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然數(shù)組成的集合；{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}（2）方程x?x的所有實數(shù)根組成的集合；（0，1）

（3）由1 ~ 20以內(nèi)的所有質數(shù)組成的集合。（難點：質數(shù)的概念）{2，3，5，7，11，13，17，19}（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示。{x|x?p} 例

2、試分別用列舉法和描述法表示下列集合：

（1）方程x?2?0的所有實數(shù)根組成的集合；

列舉法：；描述法：{x|x2?2?0}。

（2）由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合。

列舉法：{11，12，13，14，15，16，17，18，19}；描述法：{x|10?x?20,x?z}。〖知識鏈接〗代表元素：如{x|y?x2}（自變量的取值范圍），{y|y?x2}（函數(shù)值的取值范圍），{(x,y)|y?x2}（平面上在拋物線上的點）各代表的意義。

三、遷移應用

1、已知4?{1,a,(a?1)}，求實數(shù)a的值。

2、已知m?{x|ax?2x?1?0}是單元素集合，求實數(shù)a的值。

思路探求：（1）對a討論；（2）方程僅一根???0。

四、學習水平反饋：p6，練習；p13，習題11，a組，1、2。

五、三維體系構建 22222 ??元素與集合的關系集合的含義?? 集合的含義與表示??元素的特征：確定性、互異性、無序性

??集合的表示：列舉法、描述法

六、課后作業(yè)：p13，習題11，a組，3、4。

22補充：已知a?{a?2,(a?1),a?3a?3}，若1?a，求實數(shù)a的值。

七、教學反思：

1.1.2 集合間的基本關系 課標三維定向

〖知識與技能〗

1、理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集。

2、在具體情景中，了解空集的含義。

〖過程與方法〗從類比兩個實數(shù)之間的關系入手，聯(lián)想兩個集合之間的關系，從中學會觀察、類比、概括和思維方法。

〖情感、態(tài)度、價值觀〗通過直觀感知、類比聯(lián)想和抽象概括，讓學生體會數(shù)學上的規(guī)定要講邏輯順序，培養(yǎng)學生有條理地思考的習慣和積極探索創(chuàng)新的意識。

教學重、難點

〖重點〗理解子集、真子集、集合相等等。

〖難點〗子集、空集、集合間的關系及應用。

教學過程設計

一、問題情境設疑——類比引入

問題：實數(shù)有相等關系、大小關系，可否拓展到集合之間的關系？

引例：觀察下面幾個例子，你能發(fā)現(xiàn)兩個集合之間的關系嗎？

（1）a = {1，2，3}，b = {1，2，3，4，5}；

（2）設a為新華中學高一（2）班全體女生組成的集合，b為這個班全體學生組成的集合；

（3）設c = {x | x是兩條邊相等的三角形}，d = {x | x是等腰三角形}。

二、核心內(nèi)容整合

1、子集的概念

集合a中任意一個元素都是集合b的元素，記作a?b或b?a。圖示如下 符號語言：任意x?a，都有x?b。

2、集合相等

類比：實數(shù)：a?b且a?b?a?b 集合：a?b且b?a?a?b

3、真子集的概念

集合a?b，但存在元素x?b，且x?a，記作a?b或b?a。（a ≠ b）說明：從自然語言、符號語言、圖形語言三個方面加以描述。

4、空集的概念：

不含任何元素的集合，記作? 規(guī)定：空集是任何集合的子集：??a 〖知識鏈接〗比較計算機“我的文檔”的“文件夾”與子集的關系。如何體現(xiàn)“集合相等”？

5、包含關系{a}?a與屬于關系a?a有什么區(qū)別？

如0，{0}，?。注意區(qū)分元素與集合，集合與集合之間的符號表示。

6、集合的性質

（1）反身性：a?a,??a（2）傳遞性：a?b,b?c?a?c 課堂練習：判斷集合a是否為集合b的子集，若是打“√”，若不是打“×”。

（1）a = {1，3，5}，b = {1，2，3，4，5，6}（√）

（2）a = {1，3，5}，b = {1，3，6，9}（×）

（3）a = {0}，b = {x|x2?1?0}（×）

（4）a = {a，b，c，d}，b = {d，b，c，a}（√）

三、例題分析示例

例

1、寫出集合{a , b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。?，{a}，，{a，b}?！继骄客卣埂骄毩暎簆8，練習1。

探究：集合a中有n個元素，請總結出它的子集、真子集的個數(shù)與n的關系。子集的個數(shù)：2 n，真子集的個數(shù)：2 n – 1。與楊輝三角形比較。

例

2、設a?{x,x,xy},b?{1,x,y}，且a = b，求實數(shù)x，y的值。

例

3、若a?{x|?3?x?4},b?{x|2m?1?x?m?1}，當b?a時，求實數(shù)m的取值范圍。2

四、學習水平反饋：p8，練習2，3；p14，1，2。

五、三維體系構建

集合間的基本關系：子集，集合相等，真子集，空集。

六、課后作業(yè)

1、已知a , x∈r，集合a = {2 , 4 , x 2 – 5x + 9} , b = {3 , x 2 + ax + a}，（1）若a = {2 , 3 , 4}，求x的值；

（2）若2?b,b?a，求a , x的值。

2、已知a = {x | x < – 1或x > 2} , b = {x | 4x + p < 0}，且a?b，求實數(shù)p的取值范圍。

第三篇：高中數(shù)學必修2的內(nèi)容分析與教學思考及案例

高中數(shù)學必修2的內(nèi)容分析與教學思考及案例

一．內(nèi)容分析

在本模塊中，學生將學習立體幾何初步、平面解析幾何初步。幾何學是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數(shù)學學科。人們通常采用直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形及其性質。三維空間是人類生存的現(xiàn)實空間，認識空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力、以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學必修系列課程的基本要求。在立體幾何初步部分，學生將先從對空間幾何體的整體觀察入手，認識空間圖形；再以長方體為載體，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系；能用數(shù)學語言表述有關平行、垂直的性質與判定，并對某些結論進行論證。學生還將了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法。解析幾何是17世紀數(shù)學發(fā)展的重大成果之一，其本質是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質，體現(xiàn)了數(shù)形結合的重要數(shù)學思想。在本模塊中，學生將在平面直角坐標系中建立直線和圓的代數(shù)方程，運用代數(shù)方法研究它們的幾何性質及其相互位置關系，并了解空間直角坐標系。體會數(shù)形結合的思想，初步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力。一）新課程標準中本模塊的內(nèi)容標準 1．立體幾何初步（約18課時）（1）空間幾何體

① 利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形，認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構。

② 能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會使用材料（如：紙板）制作模型，會用斜二側法畫出它們的直觀圖。

③ 通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。

④ 完成實習作業(yè)，如畫出某些建筑的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎上，尺寸、線條等不作嚴格要求）。

⑤ 了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）。（2）點、線、面之間的位置關系

① 借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上，抽象出空間線、面位置關系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理： 公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行。

定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。

②以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定。通過直觀感知、操作確認，歸納出以下判定定理：

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。

一個平面過另一個平面的垂線，則兩個平面垂直。

通過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質定理，并加以證明：

一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行。兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行。垂直于同一個平面的兩條直線平行。

兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。③能運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。2．平面解析幾何初步（約18課時）（1）直線與方程

①在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素。②理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。

③能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直。

④根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），體會斜截式與一次函數(shù)的關系。

⑤能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標。

⑥探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。（2）圓與方程

①回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程。②能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系。③能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。

（3）在平面解析幾何初步的學習過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。（4）空間直角坐標系

①通過具體情境，感受建立空間直角坐標系的必要性，了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標系刻畫點的位置。

②通過表示特殊長方體（所有棱分別與坐標軸平行）頂點的坐標，探索并得出空間兩點間的距離公式。說明與建議

1）．立體幾何初步的教學重點是幫助學生逐步形成空間想像能力。本部分內(nèi)容的設計遵循從整體到局部、具體到抽象的原則，教師應提供豐富的實物模型或利用計算機軟件呈現(xiàn)的空間幾何體，幫助學生認識空間幾何體的結構特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構，鞏固和提高義務教育階段有關三視圖學習和理解，幫助學生運用平行投影與中心投影，進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能。（參見例1）

2）．幾何教學應注意引導學生通過對實際模型的認識，學會將自然語言轉化為圖形語言和符號語言。教師可以使用具體的長方體的點、線、面關系作為載體，使學生在直觀感知的基礎上，認識空間中一般的點、線、面之間的位置關系；通過對圖形的觀察、實驗和說理，使學生進一步了解平行、垂直關系的基本性質以及判定方法，學會準確地使用數(shù)學語言表述幾何對象的位置關系，并能解決一些簡單的推理論證及應用問題。（參見例2）

3）．立體幾何初步的教學中，要求對有關線面平行、垂直關系的性質定理進行證明；對相應的判定定理只要求直觀感知、操作確認，在選修系列2中將用向量方法加以論證。

4）．有條件的學校應在教學過程中恰當?shù)厥褂矛F(xiàn)代信息技術展示空間圖形，為理解和掌握圖形幾何性質（包括證明）的教學提供形象的支持，提高學生的幾何直觀能力。教師可以指導和幫助學生運用立體幾何知識選擇課題，進行探究。

5）．在平面解析幾何初步的教學中，教師應幫助學生經(jīng)歷如下的過程：首先將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關系，進而將幾何問題轉化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想應貫穿平面解析幾何教學的始 終，幫助學生不斷地體會“數(shù)形結合”的思想方法。參考案例

例1 如圖是一個獎杯的三視圖，請你畫出它的直觀圖，并求出這個獎杯的體積。例2 觀察自己的教室，說出觀察到的點、線、面之間的位置關系，并說明理由。二）必修2內(nèi)容解讀與教學思考 1.必修2內(nèi)容的變化

（1）.幾何的內(nèi)容按三個層次設計

1）必修課程中的幾何，主要包括：立體幾何初步、解析幾何初步、平面向量，解三角形等.2）選修系列

1、系列2中的幾何，主要包括：圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何.3）選修系列

3、系列4（專題）中的幾何．主要包括：球面上的幾何、坐標系與參數(shù)方程、幾何證明選講等．

（2）.立體幾何內(nèi)容的變化

1）《標準》中的立體幾何定位于培養(yǎng)和發(fā)展學生把握圖形的能力、空間想像與幾何直覺的能力、邏輯推理能力等．

2）在處理方式上，與以往點、線、面、體，即從局部到整體展開幾何內(nèi)容的方式不同，《標準》按照從整體到局部的方式展開幾何內(nèi)容，并突出直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等探索研究幾何的過程.3）立體幾何內(nèi)容分層設計，在必修課程中，主要是通過直觀感知、操作確認，獲得幾何圖形的性質，并通過簡單的推理發(fā)現(xiàn)、論證一些幾何性質．進一步的論證與度量則放在選修系列2中用向量處理.（3）.解析幾何內(nèi)容的變化

突出了用代數(shù)方法解決幾何問題的過程，同時也強調(diào)代數(shù)關系的幾何意義.解析幾何的內(nèi)容也是分層次設計的：在必修課程中，主要是直線與方程、圓與方程；圓錐曲線與方程的內(nèi)容則放在選修系列

1、系列2中．(4）.削弱的內(nèi)容

1）立體幾何削弱的內(nèi)容：邏輯推理能力的要求（如判定定理的證明）；三垂線定理與逆定理及其應用；簡單幾何體的面積與體積公式的推導等.2）解析幾何削弱的內(nèi)容：兩條直線的位置關系（刪除了兩條直線的夾角）等.(5).增刪的內(nèi)容

1）立體幾何增加的內(nèi)容：三視圖；簡單幾何體的面積和體積（球除外）及其應用.解析幾何增加的內(nèi)容：直線與圓、圓與圓的位置關系；空間直角坐標系.2）立體幾何刪除的內(nèi)容：多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn).解析幾何刪除的內(nèi)容：簡單的線性規(guī)劃；曲線與方程；圓的參數(shù)方程；圓錐曲線.2.知識結構

《課程標準》中立體幾何內(nèi)容安排在兩個部分學習：必修中的《數(shù)學2》、選修中的《空間向量與立體幾何》（系列2）。這兩部分內(nèi)容和要求是： 《 數(shù)學2》主要是介紹立體幾何初步知識，培養(yǎng)和提高學生的空間想象力及把握圖形的能力。它的基本內(nèi)容是通過三視圖、直觀圖，讓學生認識空間圖形，以長方體模型為載體，讓學生認識點、線、面的位置關系，并介紹體積公式、表面積公式的簡單應用。

在《空間向量與立體幾何》中，利用學生已有的平面向量和解析幾何知識，以向量為工具進行計算、論證，進一步定量的計算點線面的關系 《課程標準》中對解析幾何的學習目標同樣安排為兩段：必修中的《數(shù)學2》及選修中的《圓錐曲線與方程》。數(shù)學2中“平面解析幾何初步”主要是讓學生學習直線、圓這兩種最常見、最基本的圖形，研究確定它們的要素及相應的方程，研究直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系；同時建立空間直角坐標系，引入空間兩點間距離公式。

《圓錐曲線與方程》中，學習橢圓、拋物線、雙曲線等圓錐曲線的有關知識 3.特點

重視幾何直觀 從整體到局部 從具體到抽象

提供豐富的圖形背景 突出解析幾何的思想 引入直線斜率的新視角 重視幾何直觀

把培養(yǎng)學生空間想象力、把握圖形的能力作為教材設計的基點。幫助學生學會用圖形描述問題、學會用圖形探索解決問題的過程、學會用圖形來表示問題的結果。

在立體幾何初步中，長方體是揭示空間圖形性質的基本載體。長方體貫穿始終。解析幾何中，突出圖形的作用。利用信息技術探索圖形性質 從整體到局部

認識幾何圖形的兩個視角：

局部——整體：這是傳統(tǒng)學習幾何的一種思考方法，即由點線面出發(fā)，展開對圖形性質的研究。

整體——局部：認識幾何圖形首先是一個整體的感受，然后再具體認識幾何元素之間的關系。

在本教材中，我們特別強調(diào)從整體到局部，從空間到平面，從長方體到其中的點、線、面之間的位置關系。從具體到抽象

認識點、線、面的位置關系經(jīng)歷以下過程：

從具體的長方體（例如教室）中點、線、面之間的位置關系，抽象為空間中點、線、面之間的位置關系。

從用自然語言敘述長方體中點、線、面之間的位置關系，抽象為用數(shù)學語言（符號語言）描述一般的點、線、面之間的位置關系。

在探索點、線、面之間位置關系的判定定理和性質定理時，經(jīng)歷以下過程：

先從具體的長方體中探索和認識這些定理，在此基礎上抽象成為空間中的一般結果。提供豐富的圖形背景 在教材中，提供了豐富的幾何圖形和生動的現(xiàn)實圖形，通過這些圖形加深對數(shù)學概念和結論的認識。

突出解析幾何的思想

我們的教材在處理解析幾何問題中，突出以下過程： 首先要學會建立適當?shù)淖鴺讼担么鷶?shù)語言描述幾何要素，然后把幾何問題轉化為代數(shù)問題。通過解決代數(shù)問題來解決幾何問題。

對一個問題，不僅要注意它的代數(shù)方程及相應的運算，而且要注意它有什么幾何意義，突出圖形與直觀，不少問題利用幾何特征還可以簡化運算。引入直線斜率的新視角

有三種引入直線斜率的方法： 正切三角函數(shù) 向量 導數(shù)

本教材利用導數(shù)的思想，引入直線斜率。并利用射影定理，解釋直線垂直的條件。這樣的方式反映了直線斜率的數(shù)學本質。我們在其他內(nèi)容中會反復認識直線斜率。以突出直線斜率是一個重要的數(shù)學概念。4.教學中應注意的問題 立體幾何初步：

（1）注意與義務教育階段課程的銜接

本章的教學內(nèi)容中的空間幾何體的結構、三視圖、表面積、體積等都與義務教育階段的學習的“空間與圖形”內(nèi)容相關，區(qū)別在于學習的深度和概括程度上。前面是對具體的棱柱（如正方體、長方體等）進行研究，對圓柱、圓錐和球的認識比較具體。本章對它們的研究更加深入，給出了它們的結構特征。同時，還學習了臺體的有關知識，簡單組合體涉及柱體、錐體、臺體以及球體，比義務教育階段數(shù)學課程“空間與圖形”部分呈現(xiàn)的組合體多。另外，本章還要求學生會在平面上畫出空間幾何體的直觀圖.（2）嚴謹適度，把握教學要求

立體幾何內(nèi)容的體系結構有重大改革。過去常從研究點、直線和平面開始，再研究由它們組成的幾何體，遵循部分到整體的原則；現(xiàn)在先從對空間幾何體的整體感受入手，再研究組成空間幾何體的點、直線和平面。這種安排有助于培養(yǎng)學生的空間想象能力、幾何直觀能力，降低立體幾何學習入門難的門檻，提高學生學習立體幾何學習的興趣。

由于沒有點、直線與平面的有關知識，本章的學習不能建立在嚴格的邏輯推理的基礎上，這與以往教科書有相當大的區(qū)別，教師在實際教學中要充分注意到這一點。

了解空間幾何體的表面積和體積的計算公式（不要求推導，也不要求記憶公式），能夠計算基本幾何體及它們的簡單組合體的表面積和體積。

（3）重視現(xiàn)代信息技術的應用

在本章，利用信息技術工具，可以給我們展現(xiàn)豐富多彩的圖形世界，幫助學生從中抽象出空間圖形。動態(tài)演示空間幾何體的三視圖和直觀圖，認識立體圖形與平面圖形的關系，幫助學生建立空間觀念，提高空間想象能力和幾何直觀能力。學好立體幾何需要學生能夠多動手畫一畫、做一做.從不同的角度觀察空間圖形，體會空間幾何體在不同的視角下的結構特征。因此，在教學中，應盡可能使用信息技術，幫助學生更好地學習，達到較好的教學效果。解析幾何初步：

（1）認真把握教學要求

教學中，注意控制教學的難度，避免進行綜合性強、難度較大的數(shù)學題的訓練，避免在解題技巧上做文章。

（2）關注重要數(shù)學思想方法的教學

重要的數(shù)學思想方法不怕重復?！稑藴省芬蟆白鴺朔ā睉灤┢矫娼馕鰩缀谓虒W的始終，幫助學生不斷地體會“數(shù)形結合”的思想方法。在教學中應自始至終強化這一思想方法，這是解析幾何的特點。教學中注意“數(shù)”與“形”的結合，在通過代數(shù)方法研究幾何對象的位置關系以后，還可以畫出其圖形，驗證代數(shù)結果；同時，通過觀察幾何圖形得到的數(shù)學結論，對結論進行代數(shù)證明，即用解析方法解決某些代數(shù)問題，不應割斷它們之間的聯(lián)系，應避免只強調(diào)“形”到“數(shù)”的方面，而忽視“數(shù)”到“形”的方面。（3）關注學生的動手操作和主動參與

學習方式的轉變是課程改革的重要目標之一。教學中，注意提供充分的數(shù)學活動和交流的機會，引導他們在自主探索的過程中獲得知識、增強技能、掌握基本的數(shù)學思想方法。（4）關注信息技術的應用

平面解析幾何是一門典型的數(shù)與形結合的學科，信息技術在加強幾何直觀，促使數(shù)與形結合方面有著特殊的作用。借助信息技術，可以形象、直觀地幫助學生認識所研究的直線。在動態(tài)演示中，觀察直線的性質，在直觀了解的基礎上，尋求形成這些性質的原因以及代數(shù)表示。通過對方程的研究，了解直線與直線的關系時，運用信息技術，可以進一步驗證得到的結果，為抽象的認識增添形象的支持。在探究點的軌跡時，可以借助信息技術，探究軌跡的形狀等等。

特別注意： 1）因材施教

對不同的學生有不同要求給教師留下較大的自主處理教材的空間

2）教學中應注意學法指導培養(yǎng)學生把握圖形、欣賞圖形、空間想象能力培養(yǎng)學生推理能力，要重視幾何直觀，培養(yǎng)合情推理，“幾何是可視邏輯” 注意幾何學習中所包含的數(shù)學文化在解析幾何教學中重視幾何背景，不僅注意它的代數(shù)方程及相應的運算，而且要注意它有什么幾何意義，幾何證明是幾何學習中重要的內(nèi)容，但不是唯一內(nèi)容（代數(shù)學習中也有證明）處理好整體與局部的關系由特殊——一般，具體——抽象，（教材欄目“實例分析”、“抽象概 括”）推理能力逐步形成與提高對幾何問題的認識需幾個反復，多角度認識，（“斜率”的處理通常有三種方式：tan,向量，變化率。教材是從變化率的角度去處理的，而學生在學習三角函數(shù)、向量時還可以進一步加深對其理解）3）關于立體幾何初步教學

重視幾何模型的應用（教材中突出了長方體）

在線面關系研究中對判定定理只要求直觀感知、操作確認。

三視圖是一難點，對于未教過三視圖的教師，對于在初中沒有學過最簡單的三視圖的學生，可以設置三視圖“欣賞”。4）關于解析幾何初步教學

直線的斜率——滲透導數(shù)的思想。

關于圓，直接從圖形到方程，由于設有學習曲線與方程的關系，這里不討論曲線方程的純粹性、完備性。

幫助學生經(jīng)歷形與數(shù)轉化的過程體會數(shù)形結合的思想。

空間坐標系對教師是新內(nèi)容，要控制難度，但要探索空間兩點間距離公式。5）關于作業(yè)

教材作業(yè)分三類：即隨堂練習，課后作業(yè)（a、b），復習題（a、b、c）。對不同學生提不同要求。

補充的練習、例題，不要“越位”。二．幾個思考

1.高中學習幾何學的目的是什么？

（1）幾何學主要是研究空間形式的，比如，各種不同的幾何體的差異，特點等。學習幾何學的一個基本目標是培養(yǎng)學生把握圖形的能力，培養(yǎng)空間想象能力。

幾何學能夠給我們提供一種直觀的形象，通過對圖形的把握，可以發(fā)展空間想象能力。這種能力是非常重要的，無論是數(shù)學本身、數(shù)學學習本身，還是在其他方面，都是一種基本能力。搞藝術的人就經(jīng)常說，這種空間想象能力與他們藝術上的想象能力、藝術創(chuàng)作能力是一種殊途同歸的感覺。

英國著名數(shù)學家m.阿蒂亞曾說過，幾何是數(shù)學中這樣的一個部分，其中視覺思維占主導地位，而代數(shù)則是數(shù)學中有序思維占主導地位的部分，這種區(qū)分也許用另外一對詞更好，即?洞察?與?嚴格?，兩者在真正的數(shù)學研究中起著本質的作用。即，幾何是直觀邏輯，代數(shù)是有序邏輯。這表明，幾何學不只是一個數(shù)學分支，而且是一種思維方式，它滲透到數(shù)學的所有分支。因此，培養(yǎng)學生的幾何直觀能力、把握圖形的能力就成為高中學習幾何的主要目的。（2）實現(xiàn)這些目標的途徑是：直觀感知，操作確認，思辯論證，度量計算。

在中學階段，幾何仍然是培養(yǎng)學生推理論證能力的重要載體，但是，我們還應該認識到幾何更本質的作用。高中數(shù)學課程中，更加關注通過對整體圖形的把握去培養(yǎng)和發(fā)展空間想象能力；關注在空間想象能力培養(yǎng)中人的認識規(guī)律，概括了人們認識和探索幾何圖形的位置關系和有關性質的規(guī)律，建議通過“直觀感知、操作確認、思辯論證、度量計算”等學習過程，培養(yǎng)和發(fā)展空間想象能力，這對幾何課程的學習應該是有幫助的。例如，在立體幾何的學習中，建議從對空間幾何體的整體觀察入手，認識整體圖形，再以長方體為載體，直觀認識空間點、線、面的位置關系，抽象出有關概念，用數(shù)學語言表述有關性質與判定。事實上，相關研究表明，個體的認識是先從對整體的認識開始的。大家知道，在立體幾何的學習中，異面直線和異面直線之間的距離是比較難理解的兩個概念，如果先講平行平面，那么，異面直線就是兩個平行平面中的兩條不平行的直線，而異面直線之間的距離問題，也會因為平行平面間距離的確定性而變得容易理解了。在生活中，我們在做事的時候也一樣，你首先要有一個整體的安排，你才能把握各個方面在其中的作用和地位。

（3）把握圖形和空間想象能力不僅僅是幾何課程的任務，而是整個數(shù)學課程的基本任務，因此，在其他的數(shù)學內(nèi)容學習中，也要強調(diào)通過直觀，通過圖形來認識相關內(nèi)容的數(shù)學本質。2.為什么“幾何思想（把握圖形）”是高中數(shù)學課程主線之一？

（1）在這次數(shù)學課程標準研制過程中，幾何是我們花費心思最多的內(nèi)容之一。在數(shù)學課程中，幾何是“圖”“文”并茂的內(nèi)容，它把數(shù)學所特有的邏輯思維和形象思維有機地結合起來。幾何思想主要體現(xiàn)在把握圖形的能力。把握圖形的能力包括空間想象力、直觀洞察力、用圖形的語言來思考問題的能力。借助幾何這個載體，可以培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。（2）幾何課程的設計分為兩部分，一部分是幾何本身；另一部分是運用幾何思想、把握圖形的能力去思考其他的數(shù)學問題。重視幾何內(nèi)容本身是共識，但是，在學習其他數(shù)學內(nèi)容時，如何運用幾何思想、把握圖形的能力去學習其它的數(shù)學，沒有引起足夠的重視。最近，我們聽了很多課，最令我們感到遺憾的，教師不太喜歡“畫圖”，講解析幾何也不畫圖，在思考一些問題時，學生常常容易“漏掉”一些解。如果教師在解決問題時，引導學生畫個圖，則就會一目了然。當代著名數(shù)學atya說過?代數(shù)是有序邏輯，幾何是直觀邏輯。?這是非常有道理的。邏輯推理是數(shù)學特別關注的，所有數(shù)學都應該關注，幾何也不例外，但是，我們必須重視培養(yǎng)學生把握圖形的能力，包括空間想象力、直觀洞察力、用圖形的語言來思考問題的能力?！皥D”可以幫助思考，把抽象地東西變得直觀，把難的變得容易。（3）在高中數(shù)學課程中，幾何內(nèi)容分為立體幾何和解析幾何。立體幾何分為必修課程中的“立體幾何初步”和選修2-1中的“空間向量與立體幾何”。解析幾何分為必修課程中的“解析幾何初步”和選修1-1和選修2-1中的“圓錐曲線”。每一部分的定位我們將在必修、選修課程的定位中給予詳細的說明。

（4）我們應該把幾何思想（把握圖形的能力）滲透到高中數(shù)學學習的各個方面。例如，在函數(shù)的學習中，一定要突出函數(shù)圖形的地位。又如，在思考數(shù)學問題的時，能畫圖盡量畫圖，目的是把抽象的東西直觀的表示出來，把本質的東西顯現(xiàn)出來。在數(shù)學學習時，應該幫助學生養(yǎng)成一種用直觀的圖形語言，刻畫、思考問題習慣。3.如何理解幾何課程的整體設計思想？

幾何課程的設計分為兩部分。一部分是將“把握圖形”的能力作為指導思想，貫穿在整個數(shù)學課程的始終。另一部分是設計了專門的幾何內(nèi)容。

將“把握圖形”的能力作為指導思想，貫穿在整個數(shù)學課程的始終，是設計幾何課程的基本思想。例如，在函數(shù)有關內(nèi)容的學習中，強調(diào)函數(shù)圖形的作用是貫穿始終的，要求把函數(shù)思想的認識、函數(shù)性質的理解、函數(shù)的應用與函數(shù)圖形的掌握有機地聯(lián)系起來。

又如，討論統(tǒng)計問題時，描述和表示數(shù)據(jù)是反映統(tǒng)計規(guī)律的重要手段，圖形和圖表是呈現(xiàn)統(tǒng)計規(guī)律的基本方式。高中數(shù)學課程，介紹了直方圖、扇形土、莖葉圖，等等。實際上，并不限于這些圖形，我們還可以選擇其它的圖形，選擇的原則只有一個，根據(jù)具體問題，直觀地反映統(tǒng)計數(shù)據(jù)的規(guī)律，盡量一目了然。

在討論線性規(guī)劃問題時，有兩個關鍵環(huán)節(jié)，一個是對可行域（目標函數(shù)的定義域）的理解，另一個認識目標函數(shù)的變化趨勢。平面區(qū)域圖形非常清晰地表達了可行域（目標函數(shù)的定義域）的特征，等高線直觀地給出了目標函數(shù)的變化趨勢。

框圖（包括算法框圖）雖然是幾何研究的對象，但是，它利用最簡單的圖形直觀地反映了完成一項工作的邏輯關系和順序，這正是幾何給我們的一種幫助。

我們可以舉出很多這樣的實例，它們屬于其它的數(shù)學領域，但是在研究的過程中，“幾何思想”發(fā)揮了重要作用。實際上，越抽象的數(shù)學，越需要直觀圖形的支持。在高層次的思考中，有人說“抽象思維”和“形象思維”是密不可分的，“形象思維”在數(shù)學上的體現(xiàn)就是“用圖形說話”，用圖形描述問題，用圖形討論問題，這是基本的數(shù)學素質。如果僅僅把幾何理解為培養(yǎng)形式推理的載體，這就小看了幾何的作用。

幾何內(nèi)容的設計，包括三大部分。一部分在必修課程中，一部分在選修2課程中，一部分在選修3、4的課程中。

必修課程的幾何內(nèi)容由三塊內(nèi)容組成，立體幾何初步，解析幾何初步，平面向量。立體幾何初步放在必修部分，其重點是在于培養(yǎng)學生的空間想象能力，定性地把握圖形；我們通過三視圖、直觀圖、長方體為載體，去認識基本的圖形的點、線、面的基本關系和基本性質；立體幾何初步的重點放在定性地理解圖形的性質、位置關系，幫助學生建立起空間想象能力、直觀能力。比較嚴格地論證和定量的分析圖形放在選修2中。

在教學中，三視圖，直觀圖是定性認識、把握圖形的一個很好的載體，要把握好“度”，無論三視圖還是直觀圖都會有很難的題目。以長方體為載體認識點線面位置關系，可以通過具體的模型過渡到抽象定義，可以從自然語言過渡到數(shù)學語言，逐步習慣用圖形的語言進行表達和思考。多角度地認識圖形，從整體到局部，從局部到整體，從外到里，從里到外，特別是從整體到局部，長方體是非常好的載體。不嚴格地說，高中立體幾何都可以體現(xiàn)在長方體中。老師可以設計一些可操作的案例，比如，切蘿卜、切土豆等，這些操作可以幫助一些學生建立空間直觀。在條件允許的情況，可以利用信息技術，幫助學生建立空間直觀，利用信息技術制作圖形，既可以建立空間直觀，也可以提高邏輯推理，制作一個圖形，就是設計一個算法，讓學生操作。希望教師能把這部分內(nèi)容當作培養(yǎng)學生興趣的一個載體，創(chuàng)造一些辦法，讓立體幾何變得有趣一些。

解析幾何初步的重點是幫助學生理解解析幾何的基本思想，“坐標系”是解析幾何思想的主要組成部分，“數(shù)軸”是學習“坐標系”思想的第一個概念，它可以幫助我們刻畫直線上的點的位置，把直線上的點與數(shù)之間建立起聯(lián)系。當我們在直線上確定了原點和單位長度，直線上的點與實數(shù)之間就建立起一一對應的關系?！爸苯亲鴺讼怠笔窃跀?shù)軸的基礎上形成的概念，它可以幫助我們用“數(shù)對”表示平面上的點，建立起“點”與“數(shù)對”之間的一一對應關系，形成一座代數(shù)與幾何之間的橋梁。解析幾何的另一個主要思想是建立方程與曲線之間的聯(lián)系，在解析幾何初步中，我們是以直線與圓為載體，幫助學生理解：在直角坐標系中，每一條直線可以用形如ax+by=c的方程表示，滿足方程ax+by=c的解組成的圖像是一條直線，對于圓也有同樣的性質。這些內(nèi)容可以幫助學生初步形成如下的觀念：可以用“方程”表示“曲線”，反之，“曲線”是“方程”的圖像。在此基礎上，可以用代數(shù)的方法討論幾何的問題，可以用幾何圖形表示代數(shù)的性質。在解析幾何的教學中，有兩點值得注意，一個是不能忽視“可以用幾何圖形表示代數(shù)的性質”這一環(huán)節(jié)，能畫圖，一定畫圖，頭腦中有圖形的觀念，對于思考解析幾何問題是非常重要的。另一個方面，在解析幾何教學中，可以適當?shù)嘏c“函數(shù)”作一個呼應。y=ax+b是一個函數(shù)，同時，它又是一個二元一次方程，它們都反映了變量x與變量y之間的關系，它們的圖像都是直線。實際上，每一個函數(shù)y=f(x)，都可以看作一個二元方程y-f(x)=0，這是問題的一個方面。另一方面，x2+y2=4是一個二元方程，它的圖像是圓，它也反映了變量y與x之間的關系。但是，在這里y與x之間不是函數(shù)關系，因為，對于x=1，y=

與y=-都滿足方程。其實，對于每一個x都有兩個y滿足方程x2+y2=4，y與x之間不能構成函數(shù)關系。但是，從另一個角度看，方程x2+y2=4又可以看作二元函數(shù)z= x2+y2-4的局部性質。函數(shù)、方程都是刻畫規(guī)律的數(shù)學模型，需要結合不同的內(nèi)容不斷地加深對它們的理解。

平面向量是幾何的一個基本內(nèi)容。它既是代數(shù)的對象，也是幾何的對象。在代數(shù)的內(nèi)容中，也會介紹向量。需要說明的是，很多內(nèi)容究竟是屬于代數(shù)還是屬于幾何，僅僅是看我們強調(diào)的方面。

在向量教學中，需要注意以下幾個方面：它是代數(shù)對象，代數(shù)的基本特征就是運算。向量作為一個新的運算對象，蘊含非常豐富的的運算。不僅包括向量與向量的運算，還包括向量與數(shù)的運算，分配律是反映不同運算聯(lián)系的法則，是需要特別注意的；向量是幾何對象，這一點常常容易被忽視。點、直線、平面等都可以用向量表示，這是非常重要的。在選修2中的空間向量與立體幾何的學習中，這是思考問題的基點，在大學數(shù)學學習中也會發(fā)揮更大的作用。對于每一個代數(shù)運算規(guī)律，都需要仔細解讀它們的幾何意義，這是掌握向量和利用向量的基礎；向量是連接幾何和代數(shù)的一座天然“橋梁”，它進一步地體現(xiàn)了解析幾何的思想。向量是體會數(shù)形結合思想的重要載體，在將來的學習中，這座“橋”會發(fā)揮出更大的作用；向量與物理的聯(lián)系是必須重視的。矢量是向量的背景，力、位移、速度、轉動慣量等等都是認識向量的基礎。在目前的中學數(shù)學教學中，數(shù)學和物理越離越遠，更多的責任在數(shù)學教學。多提供一些有物理背景的數(shù)學問題，這應該成為數(shù)學教育工作者認真思考的問題，在考試特別是高考應該有所體現(xiàn)。

在選修1、2中，都延續(xù)了解析幾何的內(nèi)容，設計了“圓錐曲線”。圓錐曲線一直是中學課程一個重要內(nèi)容，有兩個背景支持著圓錐曲線的地位。一個背景是，在我們生活的宇宙中，物體的運動軌跡大多可以用圓錐曲線近似的表示；另一個背景是光學性質，幾乎所有的光學儀器都是圓錐曲線（面）的應用。這些都是圓錐曲線不可替代的理由。在數(shù)學上，研究圓錐曲線有兩種方法，綜合幾何的方法和解析幾何的方法。我們選擇解析幾何的方法。圓錐曲線（面）又稱作二次曲線，它是體現(xiàn)解析幾何本質的最好載體。二次曲線的代數(shù)表示是二元二次方程，如何利用方程的系數(shù)確定曲線的形狀，揭示這個規(guī)律成為數(shù)學的經(jīng)典內(nèi)容。在大學數(shù)學系的課程中，以這個內(nèi)容為核心的解析幾何是最基礎的課程。

在高中階段，主要介紹了三類圓錐曲線的標準方程，強調(diào)從幾何性質到建立方程的過程。例如，從幾何來說，橢圓是到兩個定點距離之和為定長的點的集合。我們從直角坐標系的選擇，到橢圓標準方程的建立；從對標準代數(shù)方程的分析，得到一系列橢圓的幾何性質，等。全面地展示了解析幾何研究問題的過程。在高中，對圓錐曲線的討論是初步的，主要目的是進一步理解解析幾何的思想。

在選修2中，設計了空間向量與立體幾何的內(nèi)容。希望在“理工和經(jīng)濟”方面發(fā)展的學生需要學習這部分內(nèi)容。這部分內(nèi)容的定位是“定量地”思考立體幾何問題。“定量”包含兩個含義。一方面，比較嚴格地討論基本圖形的位置關系，即反映點與點、直線與直線、直線與平面、平面與平面等的一些性質；另一方面，從距離、角定量地討論基本圖形的關系。我們知道討論立體幾何問題有兩種基本思路。一個是綜合幾何的方法，一個是向量的方法。在這里，特別強調(diào)使用向量的方法，這種方法將來應用的面更大一些。這是高中數(shù)學課程的一個變化。綜合幾何的方法也是很重要的，在“幾何論證選講”專題中，能更好地體現(xiàn)綜合幾何的方法。在選修1、2幾何內(nèi)容中，突出了利用解析結合的思想討論幾何問題。這樣，在高中階段，學生就初步地了解了討論幾何問題的兩種方法：綜合幾何方法，解析幾何的方法。選修3課程有兩個專題與幾何有直接的關系，它們是“球面幾何”與“歐拉公式與閉曲面分類”。選修4中，與幾何有直接關系的有以下專題：“幾何論證選講”，“坐標系與參數(shù)方程”，“矩陣與變換”，“統(tǒng)籌與圖論初步”等。在其它一些專題中，例如，在“對稱與群”中，對稱性主要是通過圖形展示的。正如前面反復強調(diào)的，幾何直觀，空間想象，把握圖形，運用圖形語言等等都是貫穿在任何數(shù)學課程的基本思想。4.如何處理立體幾何的證明？

與以往高中數(shù)學課程中的立體幾何內(nèi)容相比，《標準》中立體幾何內(nèi)容的變化主要表現(xiàn)在幾何定位的變化，幾何內(nèi)容處理方式的變化以及幾何內(nèi)容的分層設計等方面?！稑藴省分械牧Ⅲw幾何定位于培養(yǎng)和發(fā)展學生把握圖形的能力、空間想象與幾何直覺的能力、邏輯推理能力等。在處理方式上，與以往點、線、面、體，從局部到整體展開幾何內(nèi)容的方式不同，《標準》按照整體到局部的方式展開幾何內(nèi)容，并突出直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等探索研究幾何的過程。立體幾何內(nèi)容分層設計，在必修課程中，主要是通過直觀感知、操作確認，獲得幾何圖形的性質，并通過簡單的推理發(fā)現(xiàn)、論證一些幾何性質。對于進一步的論證與度量則放在選修系列2中用向量處理。在處理立體幾何的證明問題時，老師應從以下幾個方面把握。

（1）立體幾何中的證明始終是高中數(shù)學中的難點。

標準對立體幾何內(nèi)容是分層設計的。因此，立體幾何中的證明也要分層，不能一步到位。在立體幾何初步中，首先，以長方體作為載體，給出了點、直線、平面的位置關系，以及一些基本的概念。通過直觀感知、操作確認，歸納出了四個判定定理和四個性質定理，還有一個從平面拓展到空間的角相等或互補的判定定理。本部分明確給出的定理共有九個。四個判定定理：

①若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。②如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。③如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。④如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。從平面拓展到空間的角相等或互補的判定定理：

空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。四個性質定理：

①一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行。②兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行。③垂直于同一平面的兩條直線平行。

④兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。標準只要求對于四個性質定理用綜合幾何的方法加以證明。對于其余的定理，在選修2的“空間向量與立體幾何”中利用向量的方法予以證明。

（2）立體幾何初步這部分，我們希望能使學生初步感受綜合幾何的證明。在處理證明時，要充分發(fā)揮幾何直觀的作用，而不是形式上的推導。例如，平行于同一平面的二直線平行的證明方法，有的老師就是采用了一種很直觀的證明方法（如下圖所示）。

直線a、b垂直于同一平面，只有兩種情況，直線a、b共面或者異面。如果是共面則直接轉化為平面幾何的問題，結論易證。如果是異面，則過b點作直線c與直線a平行，可得，直線c與直線a共面，且直線c也垂直于平面。因為直線b和直線c相交于點b，所以直線b和直線c也在同一個平面內(nèi)。又因為過b點有兩條直線b和c都垂直于平面，這與公理矛盾。所以原命題得證。

反證法使學生比較難理解的方法，老師可以通過上述這種直觀的方法，來幫助學生理解這個定理的證明。

（3）要把握好立體幾何初步中證明的“度”。在立體幾何初步部分，標準只要求用綜合幾何的方法證明四個性質定理和運用已獲得的證明結論證明一些空間關系的簡單命題。對于一些復雜的證明問題，則在選修2系列中用向量的方法來處理。

第四篇：高中數(shù)學必修一 2

高中數(shù)學必修一《函數(shù)的單調(diào)性》的教與學研究

1、此節(jié)課的教學流程是從學生的實際生活和所學知識出發(fā)，引導學生通過自主探究、合作討論等方式，探究函數(shù)的單調(diào)性的概念。在此基礎上通過具體的函數(shù)圖像結合函數(shù)的單調(diào)性的定義，解決簡單函數(shù)單調(diào)性的問題，在教學中不斷滲透數(shù)形結合的思想方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象類比的能力和語言表達的能力，通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高數(shù)學的論證推理能力。

2、函數(shù)的單調(diào)性的概念是本節(jié)課教學的重點，教學難點是函數(shù)單調(diào)性概念的知識形成及利用函數(shù)圖形、單調(diào)性的定義判斷和證明函數(shù)的單調(diào)性。為實現(xiàn)教學目標，突出重點和難點的突破，教學中采用在概念的探索階段，讓學生經(jīng)歷從直觀到抽象，特殊到一般，感性到理性的認識，完成對函數(shù)單調(diào)性定義的認識；在應用階段通過對證明的分析，幫助學生掌握并證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟，滲透算法思想。

3、本節(jié)課由于是函數(shù)單調(diào)性第一課時，教學中采用啟發(fā)、引導，學生自主探究學習的教學方法。通過創(chuàng)設情境引導學生探究，師生交流，最終形成概念、方法，過程中借助于多媒體的幾何畫板來輔助教學，提高學生對所學習概念的理解和認識。

4、在學法上，讓學生從問題中質疑、嘗試、歸納總結、運用，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題，研究問題、解決問題的能力。讓學生利用圖形直觀啟迪思維并通過正反例的構造，來完成從感性到理性認識的一個飛躍。學生舉出反例后的興奮，增強了學生學習數(shù)學的自信心和興趣，同時更加促進學生學習數(shù)學的主動性。在小結的環(huán)節(jié)中，從探究過程，證明方法與步驟，數(shù)學思想方法幾個方面，學生親自來總結。通過他們的主動參與，使學生深刻體會到本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法，從而實現(xiàn)對函數(shù)單調(diào)性認識的再深化。

5、通過對本節(jié)課的教學設計，使我認識到數(shù)學教學中，能鉆研教學大綱，深入挖掘教材，結合學生的實際，設計貼合教學實際的教學設計，必將達到事半功倍的效果。通過對本節(jié)課的教學，可以預見學生仍然對函數(shù)的單調(diào)性的證明與判斷仍是一個難點，對于單調(diào)性的證明過程中，究竟要變形到什么樣的程度，學生很難把握。另外學生主動參與學習數(shù)學的積極性也有待于進一步提高。

教學反思：

在本節(jié)課的教學中，通過大量的典型圖形的分析，使學生在直觀感知和自然描述的階段能夠很自然地接受“任意性”和“兩個值”。在整個設計過程中，對于典型例題的選取及變數(shù)訓練中，對單調(diào)性的概念進行了分層次的理解和應用。也就是說針對學生的不同情況設定例題、習題等。

當然學生在學習過程中容易出現(xiàn)的問題就是單調(diào)性的證明過程中，究竟要變形到什么樣的程度，以及在寫單調(diào)區(qū)間的時候用逗號還是用并，符合并集為什么是錯誤的等等。

第五篇：高中數(shù)學必修2教學設計： 1.1.1算法的概念

文字資料] 1.1.1算法的概念

算法是指完成一個任務所需要的具體步驟和方法。也就是說給定初始狀態(tài)或輸入數(shù)據(jù)，經(jīng)過計算機程序的有限次運算，能夠得出所要求或期望的終止狀態(tài)或輸出數(shù)據(jù)。

算法常常含有重復的步驟和一些比較或邏輯判斷。如果一個算法有缺陷，或不適合于某個問題，執(zhí)行這個算法將不會解決這個問題。不同的算法可能用不同的時間、空間或效率來完成同樣的任務。一個算法的優(yōu)劣可以用空間復雜度與時間復雜度來衡量?！妓惴ǖ臍v史〗

“算法”(algorithm)來自于9世紀波斯數(shù)學家比阿勒·霍瓦里松的名字al-Khwarizmi，比阿勒·霍瓦里松在數(shù)學上提出了算法這個概念。“算法”原為“algorism”，意思是阿拉伯數(shù)字的運算法則，在18世紀演變?yōu)椤癮lgorithm”。第一次編寫算法是Ada Byron于1842年為巴貝奇分析機編寫求解解伯努利方程的程序，因此Ada Byron被大多數(shù)人認為是世界上第一位程序員。因為巴貝奇(Charles Babbage)未能完成他的巴貝奇分析機，這個算法未能在巴貝奇分析機上執(zhí)行。因為“well-defined procedure”缺少數(shù)學上精確的定義，19世紀和20世紀早期的數(shù)學家、邏輯學家在定義算法上出現(xiàn)了困難。20世紀的英國數(shù)學家圖靈提出了著名的圖靈論題，并提出一種假想的計算機的抽象模型，這個模型被稱為圖靈機。圖靈機的出現(xiàn)解決了算法定義的難題，圖靈的思想對算法的發(fā)展起到了重要的作用。

一個算法應該具有以下五個重要的特征：

有窮性： 一個算法必須保證執(zhí)行有限步之后結束；

確切性： 算法的每一步驟必須有確切的定義；

輸入：一個算法有0個或多個輸入，以刻畫運算對象的初始情況，所謂0個輸入是指算法本身定除了初始條件；

輸出：一個算法有一個或多個輸出，以反映對輸入數(shù)據(jù)加工后的結果。沒有輸出的算法是毫無意義的；

可行性： 算法原則上能夠精確地運行，而且人們用筆和紙做有限次運算后即可完成。

〖形式化算法〗

算法是計算機處理信息的本質，因為計算機程序本質上是一個算法來告訴計算機確切的步驟來執(zhí)行一個指定的任務，如計算職工的薪水或打印學生的成績單。一般地，當算法在處理信息時，會從輸入設備或數(shù)據(jù)的存儲地址讀取數(shù)據(jù)，把結果寫入輸出設備或某個存儲地址供以后再調(diào)用?！妓惴ǖ膶崿F(xiàn)〗

算法不單單可以用計算機程序來實現(xiàn)，也可以在神經(jīng)網(wǎng)絡、電路或者機械設備上實現(xiàn)?！だ?/p>

這是算法的一個簡單的例子。

如果將數(shù)列中的每一個數(shù)字看成是一顆豆子的大小,可以將下面的算法形象地稱為“撿豆子”： 首先將第一顆豆子放入口袋中。

從第二顆豆子開始檢查，直到最后一顆豆子。如果正在檢查的豆子比口袋中的還大，則將它撿起放入口袋中，同時丟掉原先口袋中的豆子。

最后口袋中的豆子就是所有的豆子中最大的一顆。下面是一個形式算法，用近似于編程語言的偽代碼表示

給定：一個數(shù)列“l(fā)ist“，以及數(shù)列的長度”length(list)" largest = list[1] for counter = 2 to length(list): if list[counter] > largest: largest = list[counter] print largest 符號說明: = 用于表示賦值。即：右邊的值被賦予給左邊的變量。List[counter]用于表示數(shù)列中的第counter項。例如：如果counter的值是5，那么List[counter]表示數(shù)列中的第5項。<= 用于表示“小于或等于”。

＝＝例子＝＝

設兩個變量 M 和 N 1.如果 M < N，則交換 M 和 N 2.以 N 除以 M，得到余數(shù) R 3.判斷 R＝0，正確則 N 即為“最大公約數(shù)”，否則下一步 4.將 N 賦值給 M，將 R 賦值給 N，重做第一步。用“Basic 代碼”表示－－

If M < N Then Swap M,N Do While R <> 0 R = M Mod N M = N N = R Loop Print R

〖算法設計和分析的基本方法〗

分治法：字面上的解釋是“分而治之”，就是把一個復雜的問題分成兩個或更多的相同或相似的子問題，再把子問題分成更小的子問題??直到最后子問題可以簡單的直接求解，原問題的解即子問題的解的合并。這個技巧是很多高效算法的基礎，如排序算法(快速排序，歸并排序)，傅立葉變換(快速傅立葉變換)??

動態(tài)規(guī)劃：動態(tài)規(guī)劃在查找有很多重疊子問題的情況的最優(yōu)解時有效。它將問題重新組合成子問題。為了避免多次解決這些子問題，它們的結果都逐漸被計算并被保存，從簡單的問題直到整個

因此，動態(tài)規(guī)劃保存遞歸時的結果，因而不會在解決同樣的問題時花費時間。

貪心法（亦作饕餮法）：就是一種在每一步選擇中都采取在當前狀態(tài)下最好/優(yōu)的選擇，從而希望導致結果是最好/優(yōu)的算法。貪心法可以解決一些最優(yōu)性問題，如：求圖中的最小生成樹、求哈夫曼編碼??對于其他問題，貪心法一般不能得到我們所要求的答案。一旦一個問題可以通過貪心法來解決，那么貪心法一般是解決這個問題的最好辦法。由于貪心法的高效性以及其所求得的答案比較接近最優(yōu)結果，貪心法也可以用作輔助算法或者直接解決一些要求結果不特別精確的問題?！妓惴ǖ姆诸悺?/p>

·基本算法 〔枚舉 搜索（深度優(yōu)先搜索 廣度優(yōu)先搜索 啟發(fā)式搜索 遺傳算法）〕 ·數(shù)據(jù)結構的算法 ·數(shù)論與代數(shù)算法

·計算幾何的算法（凸包算法）

·圖論的算法（哈夫曼編碼 樹的遍歷 最短路徑算法 最小生成樹算法 最小樹形圖 網(wǎng)絡流算法 匹配算法）· 動態(tài)規(guī)劃

·其他（數(shù)值分析 加密算法 排序算法 檢索算法 隨機化算）

還可以分成串行算法、并行算法。

〖算法的復雜性〗

算法的復雜性是算法效率的度量，在評價算法性能時，復雜性是一個重要的依據(jù)。算法的復雜性的程度與運行該算法所需要的計算機資源的多少有關，所需要的資源越多，表明該算法的復雜性越高；所需要的資源越少，表明該算法的復雜性越低。

計算機的資源，最重要的是運算所需的時間和存儲程序和數(shù)據(jù)所需的空間資源，算法的復雜性有時間復雜性和空間復雜性之分。

算法在計算機上執(zhí)行運算，需要一定的存儲空間存放描述算法的程序和算法所需的數(shù)據(jù)，計算機完成運算任務需要一定的時間。根據(jù)不同的算法寫出的程序放在計算機上運算時，所需要的時間和空間是不同的，算法的復雜性是對算法運算所需時間和空間的一種度量。不同的計算機其運算速度相差很大，在衡量一個算法的復雜性要注意到這一點。

對于任意給定的問題，設計出復雜性盡可能低的算法是在設計算法時考慮的一個重要目標。另外，當給定的問題已有多種算法時，選擇其中復雜性最低者，是在選用算法時應遵循的一個重要準則。因此，算法的復雜性分析對算法的設計或選用有著

在討論算法的復雜性時，有兩個問題要弄清楚：

(1)一個算法的復雜性用怎樣的一個量來表達；

(2)怎樣計算一個給定算法的復雜性。

找到求解一個問題的算法后，接著就是該算法的實現(xiàn)，至于是否可以找到實現(xiàn)的方法，取決于算法的可計算性和計算的復雜性，該問題是否存在求解算法，能否提供算法所需要的時間資源和空間資源。

篩選法求質數(shù)

質數(shù)亦叫作素數(shù)，是大于1的自然數(shù)，并且除了該數(shù)本身和1以外沒有其它的數(shù)能整除它，如2，3，5，7，11，13，?，質數(shù)有無窮多個。

（1）判斷143是否為質數(shù)。解：

Step1：143÷2不為整數(shù)； Step2：143÷3不為整數(shù)； Step3：143÷4不為整數(shù)； Step4：143÷5不為整數(shù)； Step5：143÷6不為整數(shù)； Step6：143÷7不為整數(shù)； Step7：143÷8不為整數(shù)； Step8：143÷9不為整數(shù)；

：143÷10不為整數(shù)；

Step10：143÷11=13，143能被11整除； Step11：結論：143不是質數(shù)。（2）判斷17是否為質數(shù)。解：

Step1：17÷2不為整數(shù)； Step2：17÷3不為整數(shù)； Step3：17÷4不為整數(shù)； Step4：17÷5不為整數(shù)； Step5：17÷6不為整數(shù)； Step6：17÷7不為整數(shù)； Step7：17÷8不為整數(shù)； Step8：17÷9不為整數(shù)； Step9：17÷10不為整數(shù)； Step10：17÷11不為整數(shù)； Step11：17÷12不為整數(shù)； Step12：17÷13不為整數(shù)； Step13：17÷14不為整數(shù)； Step14：17÷15不為整數(shù)； Step15：17÷16不為整數(shù)； Step16：結論：17是質數(shù)。

3）判斷216091是不是質數(shù)

該題的計算量非常大，我們可以把算法編為程序，由計算機幫我們計算。

（4）設計一個算法，輸入大于2的整數(shù)n，由計算機判斷它是不是質數(shù)。

解：Step1：輸入整數(shù)n；

Step2：依次檢驗2~(n-1)是不是n的因數(shù)，若有這樣的數(shù)，則n不是質數(shù)，否則，n為質數(shù)。Step3：輸出結果。

說明：其中第3步在計算機中可以通過一個循環(huán)來實現(xiàn)，今后會學到