第一篇：高中數(shù)學(xué) 2.2.2 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征教案 新人教A版必修3

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

一、教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能

（1）正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。

（2）能根據(jù)實(shí)際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并做出合理的解釋。

（3）會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征。（4）形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí)。過程與方法

在解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中，進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法。情感態(tài)度與價(jià)值觀

會(huì)用隨機(jī)抽樣的方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的作用，能夠辨證地理解數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差。難點(diǎn)：能應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題。

三、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

在一次射擊比賽中,甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下﹕ 甲運(yùn)動(dòng)員﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙運(yùn)動(dòng)員﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個(gè)運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們要通過樣本的數(shù)據(jù)對(duì)總體的數(shù)字特征進(jìn)行研究?！脴颖镜臄?shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征（板出課題）。

（二）研探新知

1、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 探究：P74（1）怎樣將各個(gè)樣本數(shù)據(jù)匯總為一個(gè)數(shù)值，并使它成為樣本數(shù)據(jù)的“中心點(diǎn)”？

（2）能否用一個(gè)數(shù)值來描寫樣本數(shù)據(jù)的離散程度？（讓學(xué)生回憶初中所學(xué)的一些統(tǒng)計(jì)知識(shí)，思考后展開討論）

初中我們曾經(jīng)學(xué)過眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)等各種數(shù)字特征，應(yīng)當(dāng)說，這些數(shù)字都能夠?yàn)槲覀兲峁╆P(guān)于樣本數(shù)據(jù)的特征信息。例如前面一節(jié)在調(diào)查100位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)是2.25t（最高的矩形的中點(diǎn)）（圖略見課本第62頁）它告訴我們，該市的月均用水量為2.25t的居民數(shù)比月均用水量為其他值的居民數(shù)多，但它并沒有告訴我們到底多多少。

提出問題：原來抽樣的數(shù)據(jù)，有沒有2.25 這個(gè)數(shù)值呢？根據(jù)眾數(shù)的定義，2.25怎么會(huì)是眾數(shù)呢？為什么？（請(qǐng)大家思考作答）

分析：這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失的原因，而2.25是由樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖得來的，所以存在一些偏差。

提問：那么如何從頻率分布直方圖中估計(jì)中位數(shù)呢？

分析：在樣本數(shù)據(jù)中，有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù)。因此，在頻率分布直方圖中，矩形的面積大小正好表示頻率的大小，即中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等。由此可以估計(jì)出中位數(shù)的值為2.02。思考：2.02這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值，與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣，你能解釋其中的原因嗎？

（課本75頁圖2.2-6）顯示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少數(shù)居民的月均用水量特別高，顯然，對(duì)這部分居民的用水量作出限制是非常合理的。

思考：中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，但是它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)，你能舉例說明嗎？（讓學(xué)生討論，并舉例）

2、標(biāo)準(zhǔn)差、方差（１）標(biāo)準(zhǔn)差

平均數(shù)為我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，可是，有時(shí)平均數(shù)也會(huì)使我們作出對(duì)總體的片面判斷。某地區(qū)的統(tǒng)計(jì)顯示，該地區(qū)的中學(xué)生的平均身高為１７６㎝，給我們的印象是該地區(qū)的中學(xué)生生長發(fā)育好，身高較高。但是，假如這個(gè)平均數(shù)是從五十萬名中學(xué)生抽出的五十名身高較高的學(xué)生計(jì)算出來的話，那么，這個(gè)平均數(shù)就不能代表該地區(qū)所有中學(xué)生的身體素質(zhì)。因此，只有平均數(shù)難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài)。

例如，在一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下﹕ 甲運(yùn)動(dòng)員﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙運(yùn)動(dòng)員﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個(gè)運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？如果你是教練，選哪位選手去參加正式比賽？

我們知道，x甲?7，x乙?7。

兩個(gè)人射擊的平均成績是一樣的。那么，是否兩個(gè)人就沒有水平差距呢？（觀察Ｐ78圖２.２-８）直觀上看，還是有差異的。很明顯，甲的成績比較分散，乙的成績相對(duì)集中，因此我們從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù)。

考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示。

樣本數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn的標(biāo)準(zhǔn)差的算法：（１）、算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x。

（２）、算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的差：xi?x(i?1,2,?n)（３）、算出（２）中xi?x(i?1,2,?n)的平方。

（４）、算出（３）中n個(gè)平方數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差。（５）、算出（４）中平均數(shù)的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。其計(jì)算公式為：

s?

顯然，標(biāo)準(zhǔn)差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較大；標(biāo)準(zhǔn)差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較小。提出問題：標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為０的樣本數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？ 1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]n從標(biāo)準(zhǔn)差的定義和計(jì)算公式都可以得出：s?0。當(dāng)s?0時(shí)，意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù)。（２）．方差

從數(shù)學(xué)的角度考慮，人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的平方s（即方差）來代替標(biāo)準(zhǔn)差，作為測量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具：

1s2?[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]

n

在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的，但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差。

（三）典例精析

例1：畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的直方圖，說明他們的異同點(diǎn)。

(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８

分析：先畫出數(shù)據(jù)的直方圖，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，利用標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式即可算出每一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。

解：四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是５.０，標(biāo)準(zhǔn)差分別為：０.００，０.８２，１.４９，２.８３。他們有相同的平均數(shù)，但他們有不同的標(biāo)準(zhǔn)差，說明數(shù)據(jù)的分散程度是不一樣的。例2：（見課本Ｐ80）

分析： 比較兩個(gè)人的生產(chǎn)質(zhì)量，只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個(gè)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的大小即可，根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想，我們可以通過抽樣分別獲得相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，然后比較這兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，以此作為兩個(gè)總體之間的差異的估計(jì)值。

（四）課堂練習(xí)：P82練習(xí)1.2.3 ４

（五）課堂小結(jié)

1、用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征分兩類：（1）用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)。

（2）用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差。樣本容量越大，估計(jì)就越精確。

2、平均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表一組數(shù)據(jù)的平均水平。

3、標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度。

（六）、布置作業(yè)： P84習(xí)題2.2 A組 ３、４、１０

四、課后反思

第二篇：高中數(shù)學(xué) 2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(2課時(shí))教案 新人教B版必修3

２.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(2課時(shí))教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能

（1）正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。

（2）能根據(jù)實(shí)際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并做出合理的解釋。

（3）會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征。（4）形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí)。過程與方法

在解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中，進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法。

情感態(tài)度與價(jià)值觀

會(huì)用隨機(jī)抽樣的方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的作用，能夠辨證地理解數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。

重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差。難點(diǎn)：能應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題。教學(xué)設(shè)想

【創(chuàng)設(shè)情境】

在一次射擊比賽中,甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下﹕ 甲運(yùn)動(dòng)員﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙運(yùn)動(dòng)員﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個(gè)運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們要通過樣本的數(shù)據(jù)對(duì)總體的數(shù)字特征進(jìn)行研究。--用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征（板出課題）?！咎骄啃轮?/p>

<一>、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 〖探究〗：P62

（1）怎樣將各個(gè)樣本數(shù)據(jù)匯總為一個(gè)數(shù)值，并使它成為樣本數(shù)據(jù)的“中心點(diǎn)”？（2）能否用一個(gè)數(shù)值來描寫樣本數(shù)據(jù)的離散程度？（讓學(xué)生回憶初中所學(xué)的一些統(tǒng)計(jì)知識(shí)，思考后展開討論）

初中我們曾經(jīng)學(xué)過眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)等各種數(shù)字特征，應(yīng)當(dāng)說，這些數(shù)字都能夠?yàn)槲覀兲峁╆P(guān)于樣本數(shù)據(jù)的特征信息。例如前面一節(jié)在調(diào)查100位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)是2.25t（最高的矩形的中點(diǎn)）（圖略見課本第62頁）它告訴我們，該市的月均用水量為2.25t的居民數(shù)比月均用水量為其他值的居民數(shù)多，但它并沒有告訴我們到底多多少。〖提問〗：請(qǐng)大家翻回到課本第56頁看看原來抽樣的數(shù)據(jù)，有沒有2.25 這個(gè)數(shù)值呢？根據(jù)眾數(shù)的定義，2.25怎么會(huì)是眾數(shù)呢？為什么？（請(qǐng)大家思考作答）

分析：這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失的原因，而2.25是由樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖得來的，所以存在一些偏差。

〖提問〗：那么如何從頻率分布直方圖中估計(jì)中位數(shù)呢？

分析：在樣本數(shù)據(jù)中，有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù)。因此，在頻率分布直方圖中，矩形的面積大小正好表示頻率的大小，即中位

從標(biāo)準(zhǔn)差的定義和計(jì)算公式都可以得出：s?0。當(dāng)s?0時(shí)，意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù)。

（在課堂上，如果條件允許的話，可以給學(xué)生簡單的介紹一下利用計(jì)算機(jī)來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的方法。）

２．方差

2s從數(shù)學(xué)的角度考慮，人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的平方（即方差）來代替標(biāo)準(zhǔn)差，作為測量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具：

在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的，但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差?！纠}精析】

〖例1〗：畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的直方圖，說明他們的異同點(diǎn)。(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８

分析：先畫出數(shù)據(jù)的直方圖，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，利用標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式即可算出每一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。解：（圖略，可查閱課本Ｐ６８）

四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是５.０，標(biāo)準(zhǔn)差分別為：０.００，０.８２，１.４９，２.８３。他們有相同的平均數(shù)，但他們有不同的標(biāo)準(zhǔn)差，說明數(shù)據(jù)的分散程度是不一樣的。〖例2〗：（見課本Ｐ６９）

分析： 比較兩個(gè)人的生產(chǎn)質(zhì)量，只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個(gè)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的大小即可，根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想，我們可以通過抽樣分別獲得相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，然后比較這兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，以此作為兩個(gè)總體之間的差異的估計(jì)值?！菊n堂精練】

P７１ 練習(xí)1.2.3 ４ 【課堂小結(jié)】

1． 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征分兩類：

（１）用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)。

（２）用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差。樣本容量越大，估計(jì)就越精確。2．平均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表一組數(shù)據(jù)的平均水平。

3． 標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度?！驹u(píng)價(jià)設(shè)計(jì)】

1．P７２習(xí)題2.2 A組 ３、４、１０

第三篇：用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征反思

《用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征》教學(xué)反思

上課前我認(rèn)真研讀了教學(xué)大綱和課本，對(duì)統(tǒng)計(jì)這一部分知識(shí)有整體的認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上作了近年的高考題，并了解了學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，認(rèn)真準(zhǔn)備了本節(jié)課。總的來說今天課堂上，不但發(fā)展了學(xué)生的智力因素，提高了學(xué)生在課堂40分鐘的學(xué)習(xí)效率，出色地完成教學(xué)任務(wù)。我從以下幾方面總結(jié)：

1、自身教學(xué)方面

通過自身努力，不斷用問題引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)、能力、技能、心理、思想品德等方面達(dá)到預(yù)定的目標(biāo)，以提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。上課時(shí)目標(biāo)展示速度合適，學(xué)生對(duì)整節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容有了整體把握；探究新知識(shí)時(shí)語速有點(diǎn)快；在學(xué)生練習(xí)時(shí)計(jì)算速度稍慢；對(duì)學(xué)生的回答都作出了評(píng)價(jià)，并且以鼓勵(lì)為主。

2、學(xué)生情況方面

學(xué)生回答問題時(shí)不夠踴躍；我設(shè)計(jì)了一個(gè)探究環(huán)節(jié)及4個(gè)練習(xí)題，探究時(shí)感覺學(xué)生聲音不大，討論不太熱烈。學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的還可以，通過小測和平時(shí)的做題可以看出學(xué)生掌握的還不錯(cuò)。對(duì)學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，要及時(shí)加以總結(jié)，適當(dāng)給予鼓勵(lì)，并處理好課堂的偶發(fā)事件，及時(shí)調(diào)整課堂教學(xué)。在教學(xué)過程中，教師要隨時(shí)了解學(xué)的對(duì)所講內(nèi)容的掌握情況。如在講完一個(gè)概念后，讓學(xué)生復(fù)述；講完一個(gè)例題后，將解答擦掉，請(qǐng)中等水平學(xué)生上臺(tái)板演。有時(shí)，對(duì)于基礎(chǔ)差的學(xué)生，可以對(duì)他們多提問，讓他們有較多的鍛煉機(jī)會(huì)，同時(shí)教師根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)，及時(shí)進(jìn)行鼓勵(lì)，培養(yǎng)他們的自信心，讓他們能熱愛數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

3、在內(nèi)容方面上

總的說整堂課進(jìn)行的比較順利，也圓滿完成了本堂課的三個(gè)教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生接受的也沒問題；在知識(shí)上沒有知識(shí)體系的遺漏，并且關(guān)鍵的地方都有師生討論，去發(fā)現(xiàn)問題，去解決問題，掌握知識(shí)關(guān)鍵點(diǎn)在哪里。

4、我自身存在的不足

首先在教學(xué)方式：以后采用以學(xué)生為本，自主學(xué)習(xí)，自主探究，互幫互助，自己解決問題；真正意義上放手讓學(xué)生自己學(xué)，教師少講；此外，我們還可以結(jié)合課堂內(nèi)容，靈活采用談話、讀書指導(dǎo)、作業(yè)、練習(xí)等多種教學(xué)方法。其次，為了讓學(xué)生明確本堂課的重點(diǎn)、難點(diǎn)，教師在上課開始時(shí)，可以在黑板的一角將這些內(nèi)容簡短地寫出來，以便引起學(xué)生的重視。教師要通過聲音、手勢、板書等的變化或應(yīng)用模型、投影儀等直觀教具，刺激學(xué)生的大腦，使學(xué)生能夠興奮起來，適當(dāng)?shù)剡€可以插入與此類知識(shí)有關(guān)的笑話，對(duì)所學(xué)內(nèi)容在大腦中刻下強(qiáng)烈的印象，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生對(duì)新知識(shí)的接受能力。再次多創(chuàng)設(shè)情景，像今天的課堂這樣多舉身邊的例子，多舉與生活息息相關(guān)的例子，激發(fā)他們的積極性，激發(fā)他們的興趣。

第四篇：高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)1.5.2估計(jì)總體的數(shù)字特征教案

5.2 估計(jì)總體的數(shù)字特征

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

教科書通過現(xiàn)實(shí)生活的例子,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：只描述平均位置的特征是不夠的,還需要描述樣本數(shù)據(jù)離散程度的特征.通過對(duì)如何描述數(shù)據(jù)離散程度的探索,使學(xué)生體驗(yàn)創(chuàng)造性思維的過程.三維目標(biāo)

1.正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用,學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差；能根據(jù)實(shí)際問題的需要合理地選取樣本,從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差）,并作出合理的解釋；會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí).2.在解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中,進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想,理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法；會(huì)用隨機(jī)抽樣的方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題,認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的作用,能夠辯證地理解數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征并作出合理解釋,估計(jì)總體的基本數(shù)字特征；體會(huì)樣本數(shù)字特征具有隨機(jī)性.教學(xué)難點(diǎn)：用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差；能應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題.課時(shí)安排 1課時(shí)

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

思路1.平均數(shù)為我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是,有時(shí)平均數(shù)也會(huì)使我們作出對(duì)總體的片面判斷.某地區(qū)的統(tǒng)計(jì)顯示,該地區(qū)的中學(xué)生的平均身高為176 cm,給我們的印象是該地區(qū)的中學(xué)生生長發(fā)育好,身高較高.但是,假如這個(gè)平均數(shù)是從五十萬名中學(xué)生中抽出的五十名身高較高的學(xué)生計(jì)算出來的話,那么,這個(gè)平均數(shù)就不能代表該地區(qū)所有中學(xué)生的身體素質(zhì).因此,只有平均數(shù)難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài).所以我們學(xué)習(xí)從另外的角度來考察樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量——標(biāo)準(zhǔn)差.(教師板書課題)思路2.在一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊10次,命中環(huán)數(shù)如下： 甲運(yùn)動(dòng)員：7,8,6,8,6,5,8,10,7,4;乙運(yùn)動(dòng)員：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.我們知道x甲=7，x乙=7,兩個(gè)人射擊的平均成績是一樣的,那么,是否兩個(gè)人就沒有水平差距呢？

圖1 從圖1直觀上看,還是有差異的.很明顯,甲的成績比較分散,乙的成績相對(duì)集中,因此這 節(jié)課我們從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù),引入課題：標(biāo)準(zhǔn)差.推進(jìn)新課 新知探究 提出問題

(1)如何通過頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征（中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)）？

2(2)有甲、乙兩種鋼筋,現(xiàn)從中各抽取一個(gè)標(biāo)本（如下表）檢查它們的抗拉強(qiáng)度（單位：kg/mm）,通過計(jì)算發(fā)現(xiàn),兩個(gè)樣本的平均數(shù)均為125.甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 哪種鋼筋的質(zhì)量較好？

(3)某種子公司為了在當(dāng)?shù)赝菩袃煞N新水稻品種,對(duì)甲、乙兩種水稻進(jìn)行了連續(xù)7年的種植對(duì)比實(shí)驗(yàn),年畝產(chǎn)量分別如下：(千克)甲：600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773);乙：800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787).請(qǐng)你用所學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí),說明選擇哪種品種推廣更好?(4)全面建設(shè)小康社會(huì)是我們黨和政府的工作重心,某市按當(dāng)?shù)匚飪r(jià)水平計(jì)算,人均年收入達(dá)到1.5萬元的家庭即達(dá)到小康生活水平.民政局對(duì)該市100戶家庭進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),它們的人均收入達(dá)到了1.6萬元,民政局即宣布該市民生活水平已達(dá)到小康水平,你認(rèn)為這樣的結(jié)論是否符合實(shí)際?(5)如何考查樣本數(shù)據(jù)的離散程度的大小呢?把數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中刻畫出來,是否能直觀地判斷數(shù)據(jù)的離散程度? 討論結(jié)果：

(1)利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：

估計(jì)眾數(shù)：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點(diǎn)數(shù)字（最高矩形的中點(diǎn)）.估計(jì)中位數(shù)：中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等.估計(jì)平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.(2)

圖2 由圖2可以看出,乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110,乙樣本的最大值145高于甲樣本的最大值135,這說明乙種鋼筋沒有甲種鋼筋的抗拉強(qiáng)度穩(wěn)定.我們把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差（range）.由上圖可以看出,乙的極差較大,數(shù)據(jù)點(diǎn)較分散；甲的極差小,數(shù)據(jù)點(diǎn)較集中,這說明甲比乙穩(wěn)定.運(yùn)用極差對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,操作簡單方便,但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí),就不容易得出結(jié)論.(3)選擇的依據(jù)應(yīng)該是,產(chǎn)量高且穩(wěn)產(chǎn)的品種,所以選擇乙更為合理.(4)不符合實(shí)際.樣本太小,沒有代表性.若樣本里有個(gè)別高收入者與多數(shù)低收入者差別太大.在統(tǒng)計(jì)學(xué)里,對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析,需要結(jié)合實(shí)際,側(cè)重于考察總體的相關(guān)數(shù)據(jù)特征.比如,市民平均收入問題,都是考察數(shù)據(jù)的離散程度.(5)把問題(3)中的數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中刻畫出來.我們可以很直觀地知道,乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)更集中在平均數(shù)的附近,即乙的離散程度小, 如何用數(shù)字去刻畫這種離散程度呢? 考察樣本數(shù)據(jù)的離散程度的大小,最常用的統(tǒng)計(jì)量是方差和標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差：

考察樣本數(shù)據(jù)的離散程度的大小,最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation).標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示.所謂“平均距離”,其含義可作如下理解：

假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是x1,x2,?,xn,x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).xi到x的距離是 |xi?x|(i=1,2,?,n).于是,樣本數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn到x的“平均距離”是 s=|x1?x|?|x2?x|???|xn?x|.n由于上式含有絕對(duì)值,運(yùn)算不太方便,因此,通常改用如下公式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差： s=1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2].n意義：標(biāo)準(zhǔn)差用來表示穩(wěn)定性,標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的離散程度就越大,也就越不穩(wěn)定;標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度就越小,也就越穩(wěn)定.從標(biāo)準(zhǔn)差的定義可以看出,標(biāo)準(zhǔn)差s≥0,當(dāng)s=0時(shí),意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù).標(biāo)準(zhǔn)差還可以用于對(duì)樣本數(shù)據(jù)的另外一種解釋.例如, 在關(guān)于居民月均用水量的例子中,平均數(shù)x=1.973，標(biāo)準(zhǔn)差s=0.868，所以 x+s=2.841,x+2s=3.709； x-s=1.105,x-2s=0.237.這100個(gè)數(shù)據(jù)中，在區(qū)間［x-2s,x+2s］=［0.237,3.709］外的只有4個(gè)，也就是說，［x-2s,x+2s］幾乎包含了所有樣本數(shù)據(jù).2從數(shù)學(xué)的角度考慮，人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的平方s——方差來代替標(biāo)準(zhǔn)差，作為測量樣本數(shù)據(jù)離散程度的工具,其中s=

21222

［(x1-x)+(x2-x)+?+(xn-x)］.n顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.需要指出的是,現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的.如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢?通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的.兩者都是描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小,實(shí)際應(yīng)用中比較廣泛的是標(biāo)準(zhǔn)差.應(yīng)用示例

思路1 例1 畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖,說明它們的異同點(diǎn).(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.分析：先畫出數(shù)據(jù)的條形圖,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù),利用標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式即 可算出每一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.解：四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖如圖3：

圖3 四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5.０,標(biāo)準(zhǔn)差分別是：0.00,0.82,1.49,2.83.它們有相同的平均數(shù),但它們有不同的標(biāo)準(zhǔn)差,說明數(shù)據(jù)的離散程度是不一樣的.例2 甲、乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40 mm的一種零件.為了對(duì)兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)比,從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件,量得其內(nèi)徑尺寸如下(單位：mm)： 甲

25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙

25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 25.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48 從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看，誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高? 分析：每一個(gè)工人生產(chǎn)的所有零件的內(nèi)徑尺寸組成一個(gè)總體.由于零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)給出(內(nèi)徑25.40 mm),生產(chǎn)質(zhì)量可以從總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)角度來衡量.總體的平均數(shù)與內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)尺寸25.40 mm的差異大時(shí)質(zhì)量低,差異小時(shí)質(zhì)量高;當(dāng)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)尺寸很接近時(shí),總體的標(biāo)準(zhǔn)差小的時(shí)候質(zhì)量高,標(biāo)準(zhǔn)差大的時(shí)候質(zhì)量低.這樣,比較兩人的生產(chǎn)質(zhì)量,只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個(gè)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的大小即可.但是,這兩個(gè)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都是不知道的,根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想,我們可以通過抽樣分別獲得相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù),然后比較這兩個(gè)樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差,以此作為兩個(gè)總體之間差異的估計(jì)值.解：用計(jì)算器計(jì)算可得x甲≈25.401,x乙≈25.406;s甲≈0.037,s乙≈0.068.從樣本平均數(shù)看,甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)(25.40 mm),但是差異很小;從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看,由于s甲

某地區(qū)全體九年級(jí)的3 000名學(xué)生參加了一次科學(xué)測試,為了估計(jì)學(xué)生的成績,從不同學(xué)校的不同程度的學(xué)生中抽取了100名學(xué)生的成績?nèi)缦拢?/p>

100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該地區(qū)3 000名學(xué)生的平均分、合格率（60或60分以上均屬合格）.解：運(yùn)用計(jì)算器計(jì)算得：

100?12?90?30?80?18?70?24?60?12?50?4=79.40，100(12+30+18+24+12)÷100=96%，所以樣本的平均分是79.40分,合格率是96%,由此來估計(jì)總體3 000名學(xué)生的平均分是79.40分,合格率是96%.思路2

2例1 甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm）,試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計(jì)哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定.品種 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 解：甲品種的樣本平均數(shù)為10,樣本方差為

22222［（9.8-10）+（9.9-10）+（10.1-10）+（10-10）+（10.2-10）］÷5=0.02.乙品種的樣本平均數(shù)也為10,樣本方差為

22222［（9.4-10）+（10.3-10）+（10.8-10）+（9.7-10）+（9.8-10）］÷5=0.24.因?yàn)?.24>0.02,所以,由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定.例2 為了保護(hù)學(xué)生的視力,教室內(nèi)的日光燈在使用一段時(shí)間后必須更換.已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下,試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差.151—18181—21211—24241—27271—30301—33331—36361—39天數(shù)

0 0 0 0 0 0 0 0 燈泡數(shù) 1 11 18 20 25 16 7 2 分析：用每一區(qū)間內(nèi)的組中值作為相應(yīng)日光燈的使用壽命,再求平均壽命.解：各組中值分別為165,195,225,255，285,315,345,375,由此算得平均數(shù)約為165×1%+195×11%

+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天).這些組

中

值

2的方

2差為

11002

×［1×(165-268)+11×(195-268)+18×(225-268)+20×(255-268)+25 22222×(285-268)+16×(315-268)+7×(345-268)+2×(375-268)］=2 128.60(天).故所求的標(biāo)準(zhǔn)差約為2128.60≈46（天）.答：估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命約為268天,標(biāo)準(zhǔn)差約為46天.知能訓(xùn)練（1）在一次歌手大獎(jiǎng)賽上,七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為___________.2（2）若給定一組數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn,方差為s,則ax1,ax2,?,axn的方差為___________.(3)在相同條件下對(duì)自行車運(yùn)動(dòng)員甲、乙兩人進(jìn)行了6次測試,測得他們的最大速度(單位：m/s)的數(shù)據(jù)如下：

甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 試判斷選誰參加某項(xiàng)重大比賽更合適？

22答案：（1）9.5,0.016（2）as(3)x甲=33,x乙=33,s甲=

247237＞s乙=,乙的成績比甲穩(wěn)定,應(yīng)選乙參加比賽更合適.33拓展提升

某養(yǎng)魚專業(yè)戶在一個(gè)養(yǎng)魚池放入一批魚苗,一年以后準(zhǔn)備出售,為了在出售以前估計(jì)賣掉魚后有多少收入,這個(gè)專業(yè)戶已經(jīng)了解到市場的銷售價(jià)是每千克15元,請(qǐng)問,這個(gè)專業(yè)戶還應(yīng)該了解什么？怎樣去了解？請(qǐng)你為他設(shè)計(jì)一個(gè)方案.解：這個(gè)專業(yè)戶應(yīng)了解魚的總重量,可以先捕出一些魚（設(shè)有x條）,作上標(biāo)記后放回魚塘,過一段時(shí)間再捕出一些魚（設(shè)有a條）,觀察其中帶有標(biāo)記的魚的條數(shù),作為一個(gè)樣本來估計(jì)總體,則a條魚中帶有標(biāo)記的條數(shù)魚塘中所有帶有標(biāo)記的魚的條數(shù)(x)?.a魚塘中魚的總條數(shù) 這樣就可以求得總條數(shù),同時(shí)把第二次捕出的魚的平均重量求出來,就可以估計(jì)魚塘中的平均重量,進(jìn)而估計(jì)全部魚的重量,最后估計(jì)出收入.課堂小結(jié)

1.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征分兩類：

用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù),平均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)有“取齊”的作用,代表一組數(shù)據(jù)的平均水平.用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差.樣本容量越大,估計(jì)就越精確,標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小,反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度.2.用樣本估計(jì)總體的兩個(gè)手段（用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征）,需要從總體中抽取一個(gè)質(zhì)量較高的樣本,才能不會(huì)產(chǎn)生較大的估計(jì)偏差,且樣本容量越大,估計(jì)的結(jié)果也就越精確.作業(yè)

習(xí)題1—5 3.設(shè)計(jì)感想

統(tǒng)計(jì)學(xué)科,最大的特點(diǎn)就是與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系,也是新教材的亮點(diǎn).僅僅想借助“死記硬背一些概念及公式,簡單模仿課本例題”來學(xué)習(xí),是絕對(duì)不行的.用樣本估計(jì)總體時(shí),如果抽樣的方法比較合理,那么樣本可以反映總體的信息,但從樣本得到的信息會(huì)有偏差,其原因在于樣本的隨機(jī)性.這種偏差是不可避免的.雖然我們從樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差,而只是總體的一個(gè)估計(jì),但這種估計(jì)是合理的,特別是當(dāng)樣本的容量很大時(shí),它們確實(shí)反映了總體的信息.教師建議：親身經(jīng)歷“提出問題,收集數(shù)據(jù),分析數(shù)據(jù),并作出合理決策”過程,在此過程中不僅可以加深對(duì)概念等知識(shí)的深刻理解,更重要的是發(fā)展了思維,培養(yǎng)了分析及解決問題能力,同時(shí)在情感、意志等領(lǐng)域也得到了協(xié)調(diào)發(fā)展,這才是學(xué)校學(xué)習(xí)的科學(xué)而全面的目標(biāo),習(xí)題設(shè)置有層次,盡量源于教材,又高于教材,這也是高考命題原則.

第五篇：高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)1.4數(shù)據(jù)的數(shù)字特征教案北師大版必修3課件

1.4.2標(biāo)準(zhǔn)差

本節(jié)教材分析 一、三維目標(biāo)

1、知識(shí)與技能

(1)通過實(shí)例體會(huì)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用；(2)對(duì)一組數(shù)據(jù)，能夠計(jì)算出數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差；

(3)能根據(jù)問題的需要選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)字特征來表達(dá)數(shù)據(jù)的信息．

2、過程與方法

通過對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的探究，感知應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的方法．

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分析過程，感受數(shù)學(xué)對(duì)實(shí)際生活的需要，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活并指導(dǎo)生活的事實(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系．

二、教學(xué)重點(diǎn)：理解數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．

三、教學(xué)難點(diǎn)：理解數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用．

四、教學(xué)建議

在選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)字特征表示兩組數(shù)據(jù)的離散程度時(shí)，學(xué)生很自然地會(huì)想到義務(wù)教育階段時(shí)學(xué)習(xí)過的極差和方差．教科書除了極差和方差之外，還給出了其他兩種刻畫數(shù)據(jù)離散程度的方式(方法3和方法4)．教師在教學(xué)時(shí)可以讓學(xué)生自主思考，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)字特征來表示，在此基礎(chǔ)上，再鼓勵(lì)他們積極交流，并認(rèn)真觀察、比較不同刻畫方式的異同．體會(huì)，刻畫數(shù)據(jù)的離散程度的方式是多種多樣的．

通過上一節(jié)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了數(shù)據(jù)的一些數(shù)字特征——平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差，本節(jié)將在此基礎(chǔ)上，通過具體的實(shí)例，讓學(xué)生理解標(biāo)準(zhǔn)差的意義以及標(biāo)準(zhǔn)差與方差的區(qū)別和聯(lián)系，能選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)字特征來表達(dá)數(shù)據(jù)的信息。新課導(dǎo)入設(shè)計(jì) 導(dǎo)入一

甲、乙兩位同學(xué)分別記錄了他們10次的數(shù)學(xué)測試成績，甲對(duì)乙說：“我的最高分是100分，而你的最高分是95分，所以我的數(shù)學(xué)成績比你好．”而乙對(duì)甲說：“我的平均分是86分，你的平均分是80分，這說明我的數(shù)學(xué)比你好．”你認(rèn)為他們誰的分析正確呢？

導(dǎo)入二

刻畫數(shù)據(jù)的離散程度的度量，其理想形式應(yīng)滿足一下兩條條原則：（1）應(yīng)充分利用所得到的數(shù)據(jù)，以便提供更確切的信息；（2）僅用一個(gè)數(shù)值來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度；

方差雖然滿足以上條件，然而它有局限性：方差的單位是原始觀測數(shù)據(jù)的平方，而刻畫離散程度的一種理想度量應(yīng)當(dāng)具有與原始數(shù)據(jù)相同的單位．怎么解決這個(gè)問題呢？學(xué)好本節(jié)，你就知道了．

【問題】 P26例2

（1）觀察莖葉圖，我們不難看出：甲城市銷售額的中位數(shù)為20，眾數(shù)為10，18，30，極差為53；乙城市銷售額的中位數(shù)為29，眾數(shù)為23，34，極差為38．

（2）從莖葉圖中我們可以看出：甲城市的銷售額分布主要在莖葉圖的上方且相對(duì)較散，而乙城市的銷售額分布則相對(duì)集中在莖葉圖的中部．由此，我們可以估計(jì)：甲城市銷售額的平均數(shù)比乙城市的小，而方差比乙城市的大．

通過計(jì)算我們得到：甲城市銷售額的平均數(shù)和方差分別為22.8和210.9，乙城市銷售額的平均數(shù)和方差分別為28.6和115.2，這與上面的估計(jì)是一致的．

教科書設(shè)計(jì)了這個(gè)問題，自然承接上一節(jié)統(tǒng)計(jì)圖表的內(nèi)容，并初步發(fā)展學(xué)生從統(tǒng)計(jì)圖中獲取數(shù)字特征的能力．

【思考交流】 P26~27

對(duì)一組數(shù)據(jù)，除了需要了解它們的集中趨勢（平均水平）外，還常常需要了解它們的波動(dòng)情況，即數(shù)據(jù)的離散性度量．在此問題中，甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的10件產(chǎn)品直徑的平均值都是40 mm，僅用平均水平還難以準(zhǔn)確地刻畫一組數(shù)據(jù)．為此，我們以問題的形式引導(dǎo)學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)來分別表示這兩組數(shù)據(jù)的離散程度．

在選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)來分別表示這兩組數(shù)據(jù)的離散程度時(shí)，學(xué)生很自然地會(huì)想到義務(wù)教育階段時(shí)學(xué)習(xí)過的極差和方差．教科書上除極差和方差之外，還給出了其他兩種刻畫數(shù)據(jù)離散程度的方式（方法3和方法4）．教師在教學(xué)時(shí)可以先讓學(xué)生自主思考，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)來表示，在此基礎(chǔ)上，再鼓勵(lì)他們積極交流，并認(rèn)真觀察、比較不同刻畫方式之間的異同．顯然，刻畫數(shù)據(jù)離散程度的方式是多種多樣的．

【抽象概括】 P28

通過上面的思考交流，學(xué)生經(jīng)歷了用不同的方式刻畫數(shù)據(jù)離散程度的探索過程，并初步體會(huì)到方式是多種多樣的．學(xué)生很自然地就會(huì)提出以下問題：究竟什么樣的方式比較好？為此，教科書以抽象概括的形式，給出了刻畫數(shù)據(jù)離散程度的度量的理想形式應(yīng)滿足的三條原則．

因?yàn)闃O差對(duì)極值過于敏感，有時(shí)我們?nèi)サ糇钚〉?5%的數(shù)據(jù)與最大的25%的數(shù)據(jù)，然后求出剩下的中間數(shù)據(jù)的極差，這中間50%數(shù)據(jù)的極差，我們稱之為四分位數(shù)極差（即Q3-Q1）．

方法3（即絕對(duì)差）滿足理想形式的三條原則，它也是刻畫數(shù)據(jù)離散程度的一種方法，但是在實(shí)際中，人們更多使用的是標(biāo)準(zhǔn)差．其主要原因是：從數(shù)學(xué)上來說，二次函數(shù)的性質(zhì)比絕對(duì)值函數(shù)要好，比較方便運(yùn)算和以后統(tǒng)計(jì)量分布的推導(dǎo)．如有學(xué)生提出這樣的問題，只要向他們簡單說明一下即可，無需作過多的解釋．另外，在§9介紹最小二乘法中，在刻畫樣本點(diǎn)與直線之間的距離時(shí)，用的是平方而不是絕對(duì)值，也是出于類似的考慮．

【例題】 P28例3

在教學(xué)時(shí)，教師要通過該例讓學(xué)生在具體的情境中，理解標(biāo)準(zhǔn)差的作用與意義，并能針對(duì)具體問題算出數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．

【動(dòng)手實(shí)踐】 P29

目的是要通過這個(gè)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、作出推斷的過程，進(jìn)一步體會(huì)統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的作用．

在活動(dòng)開始時(shí)，建議教師控制“開始”和“停止”之間的時(shí)間間隔在20秒以內(nèi)，并且在增加時(shí)間間隔之前，可以先保持“開始”和“停止”之間的時(shí)間間隔不變，重復(fù)剛才的試驗(yàn)．此時(shí)，得到的平均值與確切的時(shí)間值應(yīng)該會(huì)更接近，標(biāo)準(zhǔn)差也應(yīng)該會(huì)比第一次的更小．這是因?yàn)榻?jīng)歷了剛才的活動(dòng)，學(xué)生已經(jīng)積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，加之時(shí)間間隔又沒有改變，他們估計(jì)的結(jié)果應(yīng)該會(huì)比第一次更準(zhǔn)確．隨后，教師再增加“開始”和“停止”之間的時(shí)間間隔，重復(fù)試驗(yàn)，并讓學(xué)生分析自己以及全班同學(xué)最后的估計(jì)結(jié)果．

需要特別引起注意的是，對(duì)數(shù)據(jù)數(shù)字特征內(nèi)容的評(píng)價(jià),應(yīng)當(dāng)更多地關(guān)注對(duì)其本身意義的 2 理解和在新情境中的應(yīng)用，而不是記憶和使用的熟練程度．因此，在分析數(shù)據(jù)的過程中，教師要讓學(xué)生理解數(shù)據(jù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差在此處的意義，并在此基礎(chǔ)上對(duì)全班同學(xué)的估計(jì)結(jié)果作出客觀的評(píng)判．同時(shí)，這個(gè)活動(dòng)還可以初步培養(yǎng)學(xué)生的估計(jì)能力．

【練習(xí)】 P31

小宇和志強(qiáng)在最近8場籃球比賽的平均得分分別是13分和12.75分，標(biāo)準(zhǔn)差分別是4.09和5.72，小宇的發(fā)揮相對(duì)來說更穩(wěn)定一些．

教師應(yīng)該讓學(xué)生在通過計(jì)算得到小宇和志強(qiáng)各自得分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差后，理解標(biāo)準(zhǔn)差在此處的意義：它體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)員場上發(fā)揮的穩(wěn)定程度．

【習(xí)題1―4】 P31 1．（1）可以用莖葉圖等來表示數(shù)據(jù),圖略；

（2）銷售的新鮮面包數(shù)量的平均數(shù)和中位數(shù)都是49.5,眾數(shù)是47, 50, 52；

（3）根據(jù)以上結(jié)果，該面包店每天生產(chǎn)50個(gè)新鮮面包比較合理．

2．為了運(yùn)算方便，可以先將數(shù)據(jù)化成以秒為單位的形式進(jìn)行計(jì)算，再將計(jì)算結(jié)果化成原有單位的形式．

（1）近幾屆奧運(yùn)會(huì)男子1 500 m速滑冠軍成績的平均數(shù)和中位數(shù)分別是1′54.17″，1′54.81″；女子的平均數(shù)和中位數(shù)分別是2′05.32″，2′03.42″;（2）近幾屆奧運(yùn)會(huì)男、女1 500 m速滑冠軍成績的標(biāo)準(zhǔn)差分別是3.763 7″，6.019 4″;（3）從上面的計(jì)算結(jié)果我們不難得出：近幾屆奧運(yùn)會(huì)男子速滑的冠軍成績相比女子成績優(yōu)異而且比較穩(wěn)定．