第一篇：高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量向量的概念教學(xué)設(shè)計 新人教B版必修4

2015高中數(shù)學(xué) 第二章平面向量向量的概念教學(xué)設(shè)計 新人教B版必

修4 1．向量概念的形成

1．1 讓學(xué)生感受引入概念的必要性

引子：生：去錄播室怎么走？師：出了樓門走50米就到了．

意圖：向量概念不是憑空產(chǎn)生的．用這一簡單、直觀例子中的“位移不僅有大小，而且有方向”，讓學(xué)生感受“既有大小又有方向的量”的客觀存在，自然引出學(xué)習(xí)內(nèi)容．

問題1 你能否再舉出一些既有方向，又有大小的量？ 意圖：激活學(xué)生的已有相關(guān)經(jīng)驗．

（學(xué)生能容易地舉出重力、浮力、作用力等物理中學(xué)過的量．）追問：生活中有沒有只有大小，沒有方向的量？請你舉例． 意圖：形成區(qū)別不同量的必要性．

（學(xué)生所舉的例子有年齡、身高、面積等．）概念抽象需要典型豐富的實例．讓學(xué)生舉例可以觀察到他們對概念屬性的領(lǐng)悟，形成對概念的初步認識，為進一步抽象概括做準(zhǔn)備．

T：由同學(xué)們的舉例可見，現(xiàn)實中有的量只有大小沒有方向，有的量既有大小又有方向．類似于從一支筆、一本書、一棵樹……中抽象出只有大小的數(shù)量1，數(shù)學(xué)中對位移、力……這些既有大小又有方向的量進行抽象，就形成一種新的量——向量（板書概念）． 演練回饋一【概念辨析】

1、身高是一個向量（）

2、溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量（）

3、坐標(biāo)平面上的x軸和y軸都是向量（）

4、有人說，由于海平面以上的高度（海拔）用正數(shù)表示，海平面以下的高度用負數(shù)表示，所以海拔也是向量，你認為對嗎？

1．2 向量的幾何表示

問題2 數(shù)學(xué)中，定義概念后，通常要用符號表示它．怎樣把你所舉例子中的向量表示出來呢？

意圖：讓學(xué)生先嘗試向量的表示方法，自覺接受用帶有箭頭的線段（有向線段）來表示向量．

T：看來大家都認為用帶箭頭的線段表示向量比較好．在初中，常用AB，CD，a，b，c等表示線段．現(xiàn)在，我們加上箭頭，用，，等表示向量．以前AB與BA表示同一線段，現(xiàn)在和表示同一向量嗎？為什么？

S：不．向量和起點、終點正好相反．

T：對，方向是向量的本質(zhì)屬性之一．向量的另一本質(zhì)屬性是大小，我們用||表示，稱為向量的模．同樣，用||來表示向量的模．因為向量有大小和方向兩個要素，只用代數(shù)形式或幾何形式是無法確定的，必須兩者結(jié)合．

思考：既然向量可以用有向線段表示，那么向量是否就是有向線段？ 1．3 零向量與單位向量

T：現(xiàn)在，我們已經(jīng)建立了一個向量的集合．就象每個人都有名字一樣，這個集合中的每一個向量都有了名稱．那么

問題3 你認為在所有向量組成的集合中，哪些向量較特殊？

意圖：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察一組對象．面對一組對象，首先注意特殊對象是自然的．（學(xué)生普遍認為零向量、單位向量是特殊的．）T：大家為什么認為它們最特殊？你們是怎么想的？

意圖：挖掘結(jié)果背后的思維過程．企圖引導(dǎo)學(xué)生把向量集合與實數(shù)集類比．

（課堂中，學(xué)生從長度這個角度進行了解釋，認為零向量的長度是0，單位向量的長度是1，最為特殊．這表明他們已經(jīng)在把向量集與實數(shù)集作類比．從實數(shù)集的認知經(jīng)驗出發(fā)，自然會想到零向量、單位向量的特殊性．）

T：是的．類比實數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗有利于向量的學(xué)習(xí)．在實數(shù)中，0是數(shù)的正負分界點，有0就可定義相反數(shù)；1是“單位”，作用很大．對實數(shù)的研究經(jīng)驗告訴我們，“引進一個新的數(shù)就要研究它的運算；引進一種運算就要研究運算律”．可以預(yù)見，引進向量就要研究向量的運算，進而就要研究相應(yīng)的運算律或運算法則．所以，對于向量，還有許多內(nèi)容等待我們?nèi)パ芯浚?/p>

2．相等向量、平行向量、共線向量、相反向量概念的形成

問題例2觀察圖1中的正六邊形ABCDEF．給圖中的一些線段加上箭頭表示向量，并說說你所標(biāo)注的向量之間的關(guān)系．（舉例）

意圖：不是先給出相等向量、平行向量、共線向量、相反向量的定義，再做練習(xí)鞏固，而是讓學(xué)生參與概念的定義過程，使概念成為學(xué)生觀察、歸納、概括之后的自然產(chǎn)物．

留給學(xué)生足夠的時間，并提出問題5，組織學(xué)生交流．

問題5 你是怎樣研究的？比如，你畫了哪幾個向量？你認為它們有怎樣的關(guān)系？ 意圖：不僅關(guān)注結(jié)果，更要關(guān)注過程．尤其要挖掘?qū)W生用向量概念思維的過程．

（課堂中，有的學(xué)生首先關(guān)注大??；有的學(xué)生首先畫出向量與，認為它們長度相等且方向相同，是相等的向量；也有學(xué)生首先畫出向量

與，認為它們是共線的向量；等．教師適時介入，解釋數(shù)學(xué)中的向量是自由向量，可以平移，因此，與也稱為共線向量．“平行向量”的產(chǎn)生比較順利，但“相反向量”的產(chǎn)生有困難，其間還類比了“相反數(shù)”．）

歸納得到：

（1）從“方向”角度看，有方向相同或相反，就是平行向量，記為 ∥；（2）從“長度”角度看，有模相等的向量，||=||；

（3）既關(guān)注方向，又關(guān)注長度，有相等向量=，相反向量=－． T：我們規(guī)定：零向量與任意向量都平行，即∥．

問題6 由相等向量的概念知道，向量完全由它的方向和模確定．由此，你能說說數(shù)學(xué)中的向量與物理中的矢量的異同嗎？另外，向量的平行、共線與線段的平行、共線有什么聯(lián)系與區(qū)別？

意圖：讓學(xué)生注意把向量概念與物理背景、幾何背景明確區(qū)分，真正抓住向量的本質(zhì)特征，完成“數(shù)學(xué)化”的過程．

3．閱讀課本

請同學(xué)們把課本看一遍，看看我們的討論過程與課本講的是否一致，有什么遺漏？有什么不同？

意圖：通過閱讀，對本課的內(nèi)容再一次進行歸整、明晰．引導(dǎo)學(xué)生重視課本． 4．課堂練習(xí)5．課堂小結(jié)

問題7（引導(dǎo)學(xué)生自己小結(jié)）能否畫個圖，把今天學(xué)的內(nèi)容梳理一下？

（有的學(xué)生提出可以把本課的內(nèi)容分為三個部分，與圖2所呈現(xiàn)的內(nèi)容基本一致，只是把“特殊關(guān)系”說成了“向量的性質(zhì)”，這也是正確的．教師肯定了她的結(jié)論，展示了圖2．）

T：今天我們學(xué)習(xí)向量的概念及其表示方法，并初步研究了向量這個集合，發(fā)現(xiàn)了其中的兩個特殊向量，以及向量之間的一些特殊關(guān)系．同學(xué)們要認真體會其中的基本思路，即：從同類具體事例中抽象出共同本質(zhì)特征——下定義——符號表示——認識特殊對象——考察某些特殊關(guān)系．

這里特別要注意，因為向量帶有方向，所以只用代數(shù)的形式已無法表示，必須結(jié)合幾何的形式．因此，向量具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”．隨著學(xué)習(xí)的深入，我們會看到這種身份給向量帶來的力量．

另外，我們用類比數(shù)集的方法初步認識了向量的集合．我們知道，數(shù)與運算分不開，數(shù)

2的概念的發(fā)展也與運算不可分割．例如，為了解方程x=2，我們需要有無理數(shù)概念，于是要有“開方”運算．引進一種新的數(shù)，就要研究關(guān)于它的運算；引進一種運算，就要研究相應(yīng)的運算律．今天我們引進了一個新的量——向量，下面我們該研究它的哪些問題？如何研究？請同學(xué)們課后認真考慮，下節(jié)課來交流．（說罷，教師在“特殊關(guān)系”的右邊增加了省略號“……”．）6．布置作業(yè)（略）

第二篇：平面向量概念教學(xué)設(shè)計

篇一：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．課題：平面向量概念

二、教學(xué)目標(biāo)

1、使學(xué)生了解向量的物理實際背景，理解平面向量的一些基本概念，能正確進行平面向量的幾何表示。

2、讓學(xué)生經(jīng)歷類比方法學(xué)習(xí)向量及其幾何表示的過程，體驗對比理解向量基本概念的簡易性，從而養(yǎng)成科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。

3、通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受向量的概念方法源于現(xiàn)實世界，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

三．教學(xué)類型：新知課

四、教學(xué)重點、難點

1、重點：向量及其幾何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、難點：向量的概念及對平行向量的理解。

五、教學(xué)過程

（一）、問題引入

1、在物理中，位移與距離是同一個概念嗎？為什么？

2、在物理中，我們學(xué)到位移是既有大小、又有方向的量，你還能舉出一些這樣的量嗎？

3、在物理中，像這種既有大小、又有方向的量叫做矢量。

在數(shù)學(xué)中，我們把這種既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，沒有方向的量叫數(shù)量。

（二）講授新課

1、向量的概念

練習(xí)1 對于下列各量：

①質(zhì)量② 速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨體積⑩溫度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的幾何表示

請表示一個豎直向下、大小為5n的力，和一個水平向左、大小為8n的力（1厘米表示1n）。思考一下物理學(xué)科中是如何表示力這一向量的？

（1）有向線段及有向線段的三要素

（2）向量的模

（4）零向量，記作＿＿＿＿；

（5）單位向量

練習(xí)2 邊長為6的等邊△abc中，＝＿＿，與 相等的還有哪些？ 總結(jié)向量的表示方法： 1）、用有向線段表示。2）、用字母表示。

3、相等向量與共線向量

（1）相等向量的定義

（2）共線向量的定義

六．教具：黑板

七．作業(yè)

八．教學(xué)后記

篇二：平面向量的實際背景及基本概念教學(xué)設(shè)計

平面向量的實際背景及基本概念教學(xué)設(shè)計 本節(jié)課的內(nèi)容是數(shù)學(xué)必修4，第二章《平面向量》的引言和第一節(jié)平面向量的實際背景及基本概念兩部分，所需課時為1課時。

一 教材分析

向量是近代數(shù)學(xué)最重要和最基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁，對更新和完善中學(xué)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)起著重要的作用。向量集數(shù)與形于一身，有著極其豐富的實際背景，在現(xiàn)實生活中隨處可見的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向線段是它的幾何背景。向量就是從這些實際對象中抽象概括出來的數(shù)學(xué)概念，經(jīng)過研究，建立起完整的知識體系之后，向量又作為數(shù)學(xué)模型，廣泛地應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)、物理學(xué)科及實際生活中的問題，因此它在整個高中數(shù)學(xué)的地位是不言而喻的。

本課是“平面向量”的起始課，具有“統(tǒng)領(lǐng)全局”的作用。本節(jié)概念課，重要的不是向量的形式化定義及幾個相關(guān)概念，而是能讓學(xué)生去體會認識與研究數(shù)學(xué)新對象的方法和基本思路，進而提高提出問題，解決問題的能

二 學(xué)情分析

在學(xué)生的已有經(jīng)驗中，與本課內(nèi)容相關(guān)的有：數(shù)的抽象過程、實數(shù)的絕對值（線段的長度）、數(shù)的相等、單位長度、0和1的特殊性、線段的平行與共線等。

三 目標(biāo)定位

根據(jù)以上的分析，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定位： 1）、知識目標(biāo)

? 通過對位移、速度、力等實例的分析，形成平面向量的概念；

? 學(xué)會平面向量的表示方法，理解向量集形與數(shù)于一身的基本特征；

? 理解零向量、單位向量、相等向量、平行向量的含義。2）、能力目標(biāo)培養(yǎng)用聯(lián)系的觀點，類比的方法研究向量；獲得研究數(shù)學(xué)新問題的基本思路，學(xué)會概念思維； 3）、情感目標(biāo)使學(xué)生自然的、水到渠成的實現(xiàn)“概念的形成”；讓學(xué)生積極參與到概念本質(zhì)特征的概括活動中，享受寓教于樂。

重點：向量概念、向量的幾何表示、以及相等向量概念；

難點：讓學(xué)生感受向量、平行或共線向量等概念形成過程；

四、教學(xué)過程概述： 4.1 向量概念的形成

4.1.1 讓學(xué)生感受引入概念的必要性

引子：章節(jié) 引言

意圖：向量概念不是憑空產(chǎn)生的。用這一簡單直觀的問題讓學(xué)生感受“既有大小又有方向的量”的客觀存在，自然引出學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生會有親切感，有助于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

問題1 你能否再舉出一些既有大小又有方向的量？

意圖：激活學(xué)生的已有相關(guān)經(jīng)驗。

進一步直觀演示，加深印象。

追問：生活中有沒有只有大小沒有方向的量?請舉例。

類比數(shù)的概念獲得向量概念的定義（板書）。4.1.2 向量的表示方法

問題2 數(shù)學(xué)中，定義概念后，通常要用符號表示它。怎樣把你舉例中的向量表示出來呢

意圖：讓學(xué)生先練習(xí)力的表示，讓錯誤呈現(xiàn)，激發(fā)認知沖突，最后自覺接受用帶有箭頭的線段（有向線段）來表示向量。（教師引導(dǎo)學(xué)生進一步完善）幾何表示法： 記作a b |a b|為ab的長度(又稱模)。

字母表示法：a、b、c??或a、b、c 4.1.3 單位向量、零向量的概念：

問題3用有向線段表示向量，學(xué)生演板，提出問題，大家畫得線段長度長短不一怎么回事？如何解決這問題？由單位長度引入單位向量

意圖：這樣過渡學(xué)生不會感覺新的概念是從天而降，而是進一步學(xué)習(xí)的需要

歸納小結(jié)：單位向量——長度等于1個單位長度并與a同向的向量叫做a方向上的單位向量． 讓演板學(xué)生回到座位之后利用這個情境提出問題，他位移的大小是什么？ 歸納小結(jié)：零向量——長度（模）為0的向量，記作0 提問：你們認為零向量和單位向量特殊嗎？它們的特殊性體現(xiàn)在哪？類比實數(shù)集合中的0和1.4.2 相等向量、平行(共線)向量概念的形成

設(shè)計活動：傳花游戲，游戲中將呈現(xiàn)通過學(xué)生之間傳遞花朵所產(chǎn)生的位移向量，讓他們從大小和方向兩個方面展開思考，教師適時介入，強化本質(zhì)特征、規(guī)范概念表達，與學(xué)生一起完成概念的定義。

意圖：通過游戲調(diào)動學(xué)生的興趣和積極性，讓學(xué)生通過親身經(jīng)歷去體會相等向量與平行向量的本質(zhì)特征。歸納：

1、從“方向”角度看，有方向相同或相反的非零向量就是平行向量。

記作：a ∥b ∥ c 任一組平行向量都可移到同一條直線上，所以平行向量也叫共線向量。

2、從“長度”角度看，有模相等的向量，︱a︱ =︱ b︱

3、既關(guān)注方向有又關(guān)注長度有相等向量：記作：a = b a 規(guī)定： 0 與任一向量都平行或（共線）。

教師通過動畫演示深化上述兩個概念

問題4 由相等向量的概念知道，向量完全有它的方向和大小確定。由此，你能說說數(shù)學(xué)中的向量與物理中的矢量的異同嗎？另外，向量的平行、共線與線段的平行、共線有什么區(qū)別與聯(lián)系？

意圖：讓學(xué)生注意把向量概念與物理背景、幾何背景明確區(qū)分，真正抓住向量的本質(zhì)特征，完成“數(shù)學(xué)化”的過程。4.3 課堂練習(xí)：

概念辨析

兩個長度相等的向量一定相等．

相等向量的起點必定相同．

平行向量就是共線向量．

若 ab 與 cd 共線，則 a、b、c、d 四點必在同一條直線上．

向量 a 與 b平行，則向量 a 與 b 的方向相同或相反．

教材例題

3、教材第79頁，b組第一題(選擇此題，可以進一步理解位移概念，又能為后一步的學(xué)習(xí)做好鋪墊)4.4 課堂小結(jié)（引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)）

問題5 欣賞一首關(guān)于向量的詩，布置任務(wù)能否用擬人的方式把你對向量的認識做個概述呢？

結(jié)束語：略

板書設(shè)計

5.5明確零向量的意義和作用，不過分糾纏于細節(jié)。

首先，規(guī)定零向量與任何向量平行是完善概念系統(tǒng)的需要。其次，就像數(shù)零的作用在于運算一樣，零向量的作用在于運算及其表達的幾何意義。因此孤立地討論零向量與任何向量平行沒有多少意義，也不必耗費過多時間?？傊?，作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)重要標(biāo)志之一的向量引入中學(xué)數(shù)學(xué)以后，給中學(xué)數(shù)學(xué)帶來了無限生機。這節(jié)“概念課”，概念的理解無疑是重點，也是難點。概念的教學(xué)應(yīng)在概念的發(fā)生發(fā)展過程中揭示它的本來面目。要讓學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括活動過程，這也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力的必由之路！

三、教學(xué)診斷分析

本節(jié)是平面向量的第一堂課，屬于“概念課”，概念的理解無疑是重點，也是難點。為了幫助學(xué)生建立向量的概念，與數(shù)、形的相關(guān)概念類比與聯(lián)系是值得重視的。在學(xué)生的已有經(jīng)驗中，與本課內(nèi)容相關(guān)的有：數(shù)的抽象過程、實數(shù)的絕對值（線段的長度）、數(shù)的相等、單位長度、0和1的特殊性、線段的平行與共線等。具體教學(xué)中，要設(shè)計一個能讓學(xué)生開展概括活動的過程，引導(dǎo)他們經(jīng)歷從具體事例中領(lǐng)悟向量概念的本質(zhì)特征，類比數(shù)的概念獲得向量概念的定義及表示，類比數(shù)的集合認識向量的集合，類比直線的基本關(guān)系認識向量的基本關(guān)系。使學(xué)生從中體會到認識一個數(shù)學(xué)概念的基本思路，而不是停留在某個具體的概念學(xué)習(xí)上。這也是本堂課的核心目標(biāo)。由于數(shù)學(xué)概念的高度抽象性，學(xué)生往往要費很多周折才能理解，教師應(yīng)從學(xué)生的認知水平出發(fā)，針對學(xué)生的理解困難來展開教學(xué)，保證學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括活動，確保學(xué)生有自己想明白的機會和時間，這是至關(guān)重要的。

本課的教學(xué)，我們力求使學(xué)生理了解向量概念的背景和形成過程，了解為什么要引入這個概念，怎樣定義這個概念，怎樣入手研究一個新的問題。因此，在教學(xué)中教師應(yīng)注意從宏觀上為學(xué)生勾勒研究框架和總體思路，使學(xué)生能“抬頭看路”，知道往哪里走，這是起始課的重要任務(wù)；微觀上，引導(dǎo)學(xué)生通過類比，有序地給出向量的定義、討論向量的表示、定義特殊向量、研究特殊向量的關(guān)系。在引導(dǎo)學(xué)生展開對向量及其相關(guān)概念的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)強調(diào)“讓學(xué)生參與到定義概念的活動中來”，不輕易打斷學(xué)生的思維和活動，恰如其分地“以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”，在質(zhì)疑——反思的過程中深化概念的理解，使概念的理解成為學(xué)生自己主動思維的結(jié)果。

本課中出現(xiàn)的特殊向量——零向量，很多教師都會在“零向量與任意向量平行上”花太多時間，原因是“這是考試中的一個陷阱”。這其實是對零向量的意義和作用理解不到位的表現(xiàn)：首先，規(guī)定零向量與任何向量平行是完善概念系統(tǒng)的需要；其次，就像數(shù)零的作用在于運算一樣，零向量的作用在于運算及其表達的幾何意義。因此孤立地討論零向量與任何向量平行沒有多少意義，也不必耗費過多時間。

四、本課教學(xué)特點及預(yù)期效果分析

在學(xué)生建立向量的概念之初，與數(shù)、形的相關(guān)概念類比與聯(lián)系是值得重視的。在學(xué)生的已有經(jīng)驗中，與本課內(nèi)容相關(guān)的有：數(shù)的抽象過程、實數(shù)的絕對值（線段的長度）、數(shù)的相等、單位長度、0和1的特殊性、線段的平行與共線等。因此在具體教學(xué)中，我設(shè)計了一個能讓學(xué)生開展概括活動的過程，引導(dǎo)他們經(jīng)歷從具體事例中領(lǐng)悟向量概念的本質(zhì)特征，類比數(shù)的概念獲得向量概念的定義及表示，類比數(shù)的集合認識向量的集合，類比直線的基本關(guān)系認識向量的基本關(guān)系。使學(xué)生從中體會到認識一個數(shù)學(xué)概念的基本思路，而不是停留在某個具體的概念學(xué)習(xí)上。

在向量的幾何表示中，我讓學(xué)生大膽探索，而不是“全包全攬”，教師引導(dǎo)，學(xué)生補充改進，最終明確向量幾何表示的正確方法。整個過程全體同學(xué)熱情參與，自我教育，互幫互學(xué)，課堂氣氛生動活潑。

當(dāng)同學(xué)們能將向量正確的幾何表示時，我又適時地提出問題：大家畫出的線段長短不一，怎么解決？由此自然過渡到單位長度上，使得單位向量的引入也就順理成章了。

為了幫助學(xué)生學(xué)習(xí)相等向量、平行（共線）向量的概念，本課設(shè)計了“傳花游戲”，通過學(xué)生之間傳遞花朵所產(chǎn)生的位移向量，讓學(xué)生積極參與，仔細觀察，自己概括出概念的本質(zhì)特征，將課堂氣氛推向一個新的高潮。在結(jié)束本課之前，為了讓同學(xué)對向量加深印象，我讓學(xué)生先欣賞一首關(guān)于向量的詩歌，再讓學(xué)生在課外動筆寫出自己對向量的感受。

本節(jié)課是從現(xiàn)實世界的常見實例出發(fā)，以學(xué)生自主探究的教學(xué)方式為主。在課堂上，創(chuàng)建了一個以全班學(xué)生共同參與的向量游戲平臺，讓學(xué)生在輕松愉悅的課堂環(huán)境中，共同參與，共同討論，共同分析，讓學(xué)生自然地、水到渠成的完成本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

第三篇：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．課題：平面向量概念

二、教學(xué)目標(biāo)

1、使學(xué)生了解向量的物理實際背景，理解平面向量的一些基本概念，能正確進行平面向量的幾何表示。

2、讓學(xué)生經(jīng)歷類比方法學(xué)習(xí)向量及其幾何表示的過程，體驗對比理解向量基本概念的簡易性，從而養(yǎng)成科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。

3、通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受向量的概念方法源于現(xiàn)實世界，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

三．教學(xué)類型：新知課

四、教學(xué)重點、難點

1、重點：向量及其幾何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、難點：向量的概念及對平行向量的理解。

五、教學(xué)過程

（一）、問題引入

1、在物理中，位移與距離是同一個概念嗎？為什么？

2、在物理中，我們學(xué)到位移是既有大小、又有方向的量，你還能舉出一些這樣的量嗎？

3、在物理中，像這種既有大小、又有方向的量叫做矢量。在數(shù)學(xué)中，我們把這種既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，沒有方向的量叫數(shù)量。

（二）講授新課

1、向量的概念

練習(xí)1 對于下列各量：

①質(zhì)量 ② 速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 ⑨體積 ⑩溫度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的幾何表示

請表示一個豎直向下、大小為5N的力，和一個水平向左、大小為8N的力（1厘米表示1N）。思考一下物理學(xué)科中是如何表示力這一向量的？

（1）有向線段及有向線段的三要素（2）向量的模

（4）零向量，記作＿＿＿＿；（5）單位向量

練習(xí)2 邊長為6的等邊△ABC中，＝＿＿，與 相等的還有哪些？

總結(jié)向量的表示方法： 1）、用有向線段表示。

2）、用字母表示。

3、相等向量與共線向量（1）相等向量的定義（2）共線向量的定義

六．教具：黑板 七．作業(yè) 八．教學(xué)后記

第四篇：高中數(shù)學(xué) 2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教學(xué)設(shè)計 新人教A版必修4

2.3《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》教學(xué)設(shè)計

【教學(xué)目標(biāo)】

1．了解平面向量基本定理；

2．理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實際問題的重要思想方法；

3．能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達.【導(dǎo)入新課】 復(fù)習(xí)引入： 1． 實數(shù)與向量的積

實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作：λa.（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0時，λa與a方向相同；λ<0時，λa與a方向相反；λ=0時，λa=0.2．運算定律 ?????????????????aaaaaa結(jié)合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+b)=λa+λ?b.3.向量共線定理

????向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使b=λa.新授課階段

一、平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)量.二、平面向量的坐標(biāo)表示

如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為??? 1

基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得 a?xi?yj…………○1○我們把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作 2 a?(x,y)…………○2○

2其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，○2○式叫做向量的坐標(biāo)表示.與．a(chǎn)相等的向量的坐標(biāo)也為．．．．．．．．．．(x,y).特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點O為起點作OA?a，則點A的位置由a唯一確定.設(shè)OA?xi?yj，則向量OA的坐標(biāo)(x,y)就是點A的坐標(biāo)；反過來，點A的坐標(biāo)(x,y)也就是向量OA的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.三、平面向量的坐標(biāo)運算

（1）若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2).兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.設(shè)基底為i、j，則a?b?(x1i?y1j)?(x2i?y2j)?(x1?x2)i?(y1?y2)j，即a?b?(x1?x2,y1?y2)，同理可得a?b?(x1?x2,y1?y2).（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?.一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo).AB=OB?OA=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2? x1，y2? y1).（3）若a?(x,y)和實數(shù)?，則?a?(?x,?y).實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).設(shè)基底為i、j，則?a??(xi?yj)??xi??yj，即?a?(?x,?y).2

例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐標(biāo).例2 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐標(biāo).例3 已知平面上三點的坐標(biāo)分別為A(?2，1)，B(?1，3)，C(3，4)，求點D的坐標(biāo)使這四點構(gòu)成平行四邊形四個頂點.解：當(dāng)平行四邊形為ABCD時，由AB?DC，得D1=(2，2).當(dāng)平行四邊形為ACDB時，得D2=(4，6)，當(dāng)平行四邊形為DACB時，得D3=(?6，0).例4 已知三個力F1(3，4)，F(xiàn)2(2，?5)，F(xiàn)3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐標(biāo).解：由題設(shè)F1+F2+F3=0，得：(3，4)+(2，?5)+(x，y)=(0，0)，即：??3?2?x?0,?x??5, ∴? ∴F3(?5，1).4?5?y?0,y?1.??????????例5 已知a=(2,1), b=(－3,4),求a＋b，a－b，3a＋4b的坐標(biāo).??解：a＋b＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)，??a－b＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，??3a＋4b＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).點評：利用平面向量的坐標(biāo)運算法則直接求解.例6 已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2，1）、（-1，3）（3，4），求頂點D的坐標(biāo).解：設(shè)點D的坐標(biāo)為（x,y）, AB?(?1,3)?(?2,1)?(1,2)，DC?(3,4)?(x,y)?(3?x,4?y)，且AB?DC,?(1,2)?(3?x,4? y).即 3-x=1,4-y=2.解得x=2,y=2.所以頂點D的坐標(biāo)為（2，2）.3

另解：由平行四邊形法則可得

BD?BA?BC

?(?2?(?1),1?3)?(3?(?1),4?3)

?(3,?1), OD?OB?BD ?(?1,3)?(3,?1)?(2,2).例7 經(jīng)過點M(?2,3)的直線分別交x軸、y軸于點A,B，且|AB|?3|AM|，求點A,B的坐標(biāo).解：由題設(shè)知，A,B,M三點共線，且|AB|?3|AM|，設(shè)A(x,0),B(0,y)，①點M在A,B之間，則有AB?3AM，∴(?x,y)?3(?2?x,3).解之得：x??3,y?3，點A,B的坐標(biāo)分別為(?3,0),(0,3).②點M不在A,B之間，則有AB??3AM，同理，可求得點A,B的坐標(biāo)分別為(?3,0)，2(0,?9).綜上，點A,B的坐標(biāo)分別為(?3,0),(0,3)或(?3,0)，(0,?9).2例8.已知三點A(2,3),B(5,4),C(7,10)，若AM??AB?AC，試求實數(shù)?的取值范圍，使M落在第四象限.解：設(shè)點M(x,y)，由題設(shè)得(x?2,y?3)?(3?,?)?(5,7)?(3??5,??7)，∴x?3??3,y???4，要使M落在第四象限，則x?3??3?0,y???4?0，解之得1???4.例8 已知向量a?(8,2),b?(3,3),c?(6,12),p?(6,4)，問是否存在實數(shù)x,y,z同時滿足兩個條件：(1)p?xa?yb?zc;(2)x?y?z?1？如果存在，求出x,y,z的值；如果不存在，請說明理由.4

1?x?,?2?8x?3y?6z?6,?1??解：假設(shè)滿足條件的實數(shù)x,y,z存在，則有?2x?3y?12z?4,解之得：?y?，3?x?y?z?1.??1?z?.?6?∴滿足條件的實數(shù)x?課堂小結(jié)

（1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念；（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運算；

（3）會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.作業(yè) 見同步練習(xí)拓展提升

1.設(shè)e1,e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，不能以下各組向量中作為基底的是（）A.e1，e2 B.e1+e2，e2 C.e1，2e2 D.e1，e1+e2 2.設(shè)e1,e2是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，則以下各組向量中，不能作為基底的是（）

A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-2e2和4e1-6e2 C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1+e2和e2

111,y?,z?.236???????????????????????????????????????3.已知e1,e2不共線，a =?1e1+e2，b=4 e1+2e2，并且a，b共線，則下列各式正確的是（）

A.?1=1，B.?1=2，C.?1=3，D.?1=4 ??????4.設(shè)AB=a+5b，BC=-2a+8b，CD=3a-3b，那么下列各組的點中三點一定共線的是（）

A.A，B，C B.A，C，D C.A，B，D D.Ｂ，Ｃ，Ｄ ５．下列說法中，正確的是（）

①一個平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；

②一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；

③零向量不可作為基底中的向量.Ａ．①②

Ｂ．①③

Ｃ．②③

Ｄ①②③

６．已知e1,e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列兩個結(jié)論中正確的是（）①?1e1+?2e2（?1，?2為實數(shù)）可以表示該平面內(nèi)所有向量；

???????②若有實數(shù)?1，?2使?1e1+?2e2＝0，則?1＝?2＝０.Ａ．①

Ｂ．②

Ｃ．①②

Ｄ．以上都不對

??７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ邊上的中線，若AB＝a，AC＝b，則AM＝（）????11aaＡ．（－ b）

Ｂ． －（－ b）22????11Ｃ．－（a＋b）

Ｄ．（a＋b）

22??８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六邊形，AB＝a，AE＝b，則BC＝（）????11Ａ．（a－ b）

Ｂ． －（a－ b）

22?1???1Ｃ．a(chǎn)＋b

Ｄ．（a＋b）

22?????????９．如果３e1+４e2＝a，２e1+３e2＝b，其中a，b為已知向量，則e1＝，?e2＝

.１０．已知e1,e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，且AB＝２e1+ｋe2，CB＝e1+３e2，CD＝２e1－e2，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三點共線，則ｋ的值為

.????????????????１１．當(dāng)ｋ為何值時，向量a＝４e1+２e2，b＝ｋe1＋e2共線，其中e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量.???????１２．已知：e1、e2是不共線的向量，當(dāng)ｋ為何值時，向量a＝ｋe1+e2與b＝e1＋ｋe2共線？ ? 6

參考答案

1．C 2.B 3.B 4.C 5．C 6.C 7.D 8.D 9.－2a?3b,11．②③⑤ 12.k=2

79a?b 10.－8 44 8

第五篇：高中數(shù)學(xué)必修4人教A教案第二章平面向量復(fù)習(xí)

第二章

平面向量復(fù)習(xí)課

（一）一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解向量.零向量.向量的模.單位向量.平行向量.反向量.相等向量.兩向量的夾角等概念。2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四邊形法則（共起點）和三角形法則（首尾相接）。4.了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(試問：取等號的條件是什么?)和向量形式的平行四邊形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5.了解實數(shù)與向量的乘法（即數(shù)乘的意義）： 6.向量的坐標(biāo)概念和坐標(biāo)表示法

7.向量的坐標(biāo)運算（加.減.實數(shù)和向量的乘法.數(shù)量積）

8.數(shù)量積（點乘或內(nèi)積）的概念，a·b=|a||b|cos?=x1x2+y1y2注意區(qū)別“實數(shù)與向量的乘法；向量與向量的乘法”

二、知識與方法

向量知識，向量觀點在數(shù)學(xué).物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視.數(shù)量積的主要應(yīng)用：①求模長；②求夾角；③判垂直

三、教學(xué)過程

（一）重點知識：

1.實數(shù)與向量的積的運算律：

?????????(1)?(?a)?(??)a(2)(???)a? ?a??a(3)?(a?b)??a??b

2.平面向量數(shù)量積的運算律:

?????????????????(1)a?b?b?a

(2)(?a)?b??(a?b)?a?(?b)

(3)(a?b)?c? a?c?b?c

3.向量運算及平行與垂直的判定: 設(shè)a?(x1,y1),b?(x2,y2),(b?0).則a?b?(x1?x2,y1?y2)

a?b?(x1?x2,y1?y2)

a?b?x1x2?y1y2

a//b?x1y2?x2y1?0.a?b?x1x2?y1y2?0.4.兩點間的距離:

|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2

5.夾角公式: cos??a?b a ?b?x1x2?y1y2 x1?y1?x2?y22222

6.求模：

a?a?a

a?x2?ya?(x1?x2)2?(y1?y2)2

（二）習(xí)題講解：第二章 復(fù)習(xí)參考題

（三）典型例題

例1． 已知O為△ABC內(nèi)部一點，∠AOB=150°，∠BOC=90°，設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a與b表示c

解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系xoy，其中i, j是單位正交基底向量, 則B（0，1），C（-3，0），設(shè)A（x，y），則條件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=i －3j, b=j，c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b

（四）基礎(chǔ)練習(xí)：

（五）、小結(jié)：掌握向量的相關(guān)知識。

（六）、作業(yè)：

第二章

平面向量復(fù)習(xí)課

（二）一、教學(xué)過程

（一）習(xí)題講解：

（二）典型例題

例1．已知圓C：(x?3)?(y?3)?4及點A（1，1），M是圓上任意一點，點N在線

22??段MA的延長線上，且MA?2AN，求點N的軌跡方程。

練習(xí)：1.已知O為坐標(biāo)原點，OA=（2，1），OB=（1，7），OC=（5，1），OD=xOA,y=DB·DC（x，y∈R）

求點P（x，y）的軌跡方程；

2.已知常數(shù)a>0，向量m?(0,a),n?(1,0)，經(jīng)過定點A（0，－a）以m??n為方向向量的直線與經(jīng)過定點B（0，a）以n?2?m為方向向量的直線相交于點P，其中??R.求點P的軌跡C的方程；

例2.設(shè)平面內(nèi)的向量OA?(1,7), OB?(5,1), OM?(2,1)，點P是直線OM上的一個動點，求當(dāng)PA?PB取最小值時，OP的坐標(biāo)及?APB的余弦值．

解

設(shè)OP?(x,y)．∵

點P在直線OM上，∴ OP與OM共線，而OM?(2,1)，∴

x－2y=0即x=2y，有OP?(2y,y)．∵ PA?OA?OP?(1?2y,7?y)，PB?OB?OP?(5?2y,1?y)，∴ PA?PB?(1?2y)(5?2y)?(7?y)(1?y)

= 5y2－20y+12 = 5(y－2)2－8．

從而，當(dāng)且僅當(dāng)y=2，x=4時，PA?PB取得最小值－8，此時OP?(4,2)，PA?(?3,5)，PB?(1,?1)．

于是|PA|?34，|PB|?2，PA?PB?(?3)?1?5?(?1)??8，∴ cos?APB?PA?PB|PA|?|PB|??834?2??417 17小結(jié)：利用平面向量求點的軌跡及最值。

作業(yè)：