第一篇：數(shù)學(xué)：2.4.1《向量在幾何中的應(yīng)用》教案1(新人教B版必修4)

向量的應(yīng)用教案

向量在幾何中的應(yīng)用

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能：

運(yùn)用向量的有關(guān)知識，解決平面幾何中線段的平行、垂直、相等等問題。

2.過程與方法：

通過應(yīng)用舉例，讓學(xué)生體會用平面向量解決平面幾何問題的兩種方法——向量法和坐標(biāo)法。

3.情感、態(tài)度與價值觀：

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗向量在解決平面幾何問題中的工具作用，增強(qiáng)學(xué)生的探究意識，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。

（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：用向量知識解決平面幾何問題。

難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題解決。

向量在物理中的應(yīng)用

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）

（2）

（3）培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和應(yīng)用意識，體會向量的工具作用

力

二、重點(diǎn)難點(diǎn)

（1）

（2

（三）教學(xué)方法

本小節(jié)主要是例題教學(xué)，要讓學(xué)生體會思路的形成過程，體會數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題方法，展示思路的形成過程，總結(jié)解題規(guī)律。指導(dǎo)學(xué)生搞好解題后的反思，從而提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析和解決問題的能力。

（四）教學(xué)過程

第二篇：淺談向量在幾何中的應(yīng)用

淺談向量在幾何中的應(yīng)用

寧陽四中 271400 呂厚杰

解決立體幾何問題“平移是手段，垂直是關(guān)鍵”，空間向量的方法是使用向量的代數(shù)方法去解決立體幾何問題。兩向量共線易解決平行，兩向量的數(shù)量積則易解決垂直、兩向量所成的角、線段的長度問題。合理地運(yùn)用向量解決立體幾何問題，在很大程度上避開了思維的高強(qiáng)度轉(zhuǎn)換，避開了添加輔助線，代之以向量計算，使立體幾何問題變得思路順暢、運(yùn)算簡單。

1.證平行、證垂直

具體方法利用共線向量基本定理證明向量平行，再證線線、線面平行是證明平行問題的常用手段，由共面向量基本定理先證直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩向量共面，再證方向向量上存在一點(diǎn)不屬于平面，從而得到線面平行。證明線線、線面垂直則可通過向量垂直來實(shí)現(xiàn)。

例1 如圖1，E、F分別為空間四邊形ABCD中AB、CD的中點(diǎn)，證明AD、EF、BC平行于同一平面。

圖1 證明：又

所以，且即

可知，與 共面，所以EF與AD、BC平行于同一平面。

例2.已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），則ΔABC是___________。分析：顯見：

（3，4，－8），（5，1，－7），（2，－3，1），故ΔABC為直角三角形。

2.求角、求距離

如果要想解決線面角、二面角以及距離問題就要增加平面法向量的知識。定義：如果n⊥α，那么向量n就叫平面α的法向量。

求解方法：

（1）異面直線所成的角α，利用它們所對應(yīng)的向量轉(zhuǎn)化為向量的夾角θ問題，但，所以

（2）直線與平面所成的角，利用直線的方向向量與平面的法向量夾角的余角（或補(bǔ)角的余角）。如圖2：。

圖

2（3）求二面角，轉(zhuǎn)化為兩平面法向量的夾角或夾角的補(bǔ)角，顯見上述求法都避開了找角的繁瑣，直接計算就可以了。

求點(diǎn)面距離，轉(zhuǎn)化為此點(diǎn)與面內(nèi)一點(diǎn)連線對應(yīng)向量在法向量上投影的絕對值。例3.（2005年高考題）如圖3，已知長方體ABCD�A1B1C1D1中，AB＝2，AA

1＝1，直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°，AE垂直BD于E，F(xiàn)為A1B1的中點(diǎn)。（1）求異面直線AE與BF所成的角。

（2）求平面BDF與平面AA1B所成二面角（銳角）的大小。（3）求點(diǎn)A到平面BDF的距離。

圖

3解：在長方體ABCD�A1B1C1D1中，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖3，所以A（0，0，0），B（2，0，0），F(xiàn)（1，0，1），因為直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°，所以∠DBA＝30°

又AB＝2，AE⊥BD，所以AE＝1，AD＝0），因為E（，0），D（0，（1）因為

所以

即異面直線AE、BF所成的角為

（2）易知平面AA1B的一個法向量m＝（0，1，0），設(shè)n＝（x，y，z）是平面BDF的一個法向量，由

所以取

所以

（3）點(diǎn)A到平面BDF的距離即

在平面BDF的法向量n上的投影的絕對值。

所以

例4.如圖4，已知正四棱錐R�ABCD的底面邊長為4，高為6，點(diǎn)P是高的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是側(cè)面RBC的重心。求直線PQ與底面ABCD所成的角。

圖

4解：以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)R所在直線為z軸，以過O與AB垂直的直線為x軸，與AB平行的直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系。

因為底面邊長為6，高為4，所以B（2，2，0），C（－2，2，0），R（0，0，6），所以Q（0，2），P（0，0，3），（0，－1），面ABCD的一個法向量為n＝（0，0，1），設(shè)PQ與底面ABCD所成的角為α，則。

空間向量在立體幾何中的應(yīng)用體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)了學(xué)生使用向量代數(shù)方法解決立體幾何問題的能力。目的是將空間元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，將形式邏輯證明轉(zhuǎn)化為數(shù)值計算，用數(shù)的規(guī)范性代替形的直觀性、可操作性強(qiáng)，解決問題的方法具有普遍性，大大降低了立體幾何對空間想象能力要求的難度。

第三篇：空間向量在幾何中的應(yīng)用

空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

一.平行問題

（一）證明兩直線平行

A,B?a;C,D?b,???a|| b

????????若知AB?(x1,y1),CD?(x2,y2),則有x1y2?x2y1?a||b

方法思路：在兩直線上分別取不同的兩點(diǎn)，得到兩向量，轉(zhuǎn)化為證明兩向量平行。

(二)證明線面平行

???????????線 a?面?,A,B?a,面? 的法向 n，若AB?n?0?AB?n?AB ??.方法思路：求面的法向量，在直線找不同兩點(diǎn)得一

向量，證明這一向量與法向量垂直(即證

明數(shù)量積為0)，則可得線面平行。

(三)面面平行

不重合的兩平面? 與? 的法向量分別是 ?????? m 和 n，m??n??||?

方法思路：求兩平面的法向量，轉(zhuǎn)化為證明

兩法向量平行,則兩平面平行。

二.垂直問題

(一)證明兩直線垂直

????不重合的直線 a 和直線 b 的方向向量分別為 a 和 b，則有a?b?0?a?b

方法思路：找兩直線的方向向量(分別在兩直線上各取兩點(diǎn)得兩向量)，證明兩向量的數(shù)量積為0,則可證兩直線垂直。

(二)證明線面垂直 ?????? 直線 l的方向向量為 a，e1,e2是平面? 的一組基底（不共線的向量）, ???????則有 a?e1?0且a?e2?0?a??

方法思路：證明直線的方向向量(在兩直線上取兩點(diǎn)得一向量)與

平面內(nèi)兩不共線向量的數(shù)量積都為0（即都垂直），則可證線面垂直。

(三)證明面面垂直 ???不重合的平面? 和? 的法向量分別為m 和 n，???則有 m?n?0????

方法思路：找兩平面的法向量，只需證明兩向量

數(shù)量積為為0,則可證明兩平面垂直。

三.處理角的問題

(一)求異面所成的角

a,b是兩異面直線,A,B?a,C,D?b,????????a,b所成的角為?,則有cos??|cos?AB,CD?| ????????AB?CD?|AB|?|CD|

方法思路：找兩異面直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題,套公式。

(但要理解異面直線所成的角與向量的夾角相等或互補(bǔ))。

(二)求線面角

??設(shè)平面? 的斜線 l 與面?所成的角為?，若A,B?l,m是面?的法向量，???????m?AB 則有sin??.mAB

方法思路：找直線的方向向量與平面的法向量，轉(zhuǎn)化為

向量的夾角問題,再套公式。(注意線面角與兩

向量所在直線夾角互余）

(三)求二面角

???方法1.設(shè)二面角??l?? 的大小為 ?，若面?，? 的法向量分別為 m 與 n.????m?n?(1)若二面角為銳二面角，即??(0,)則有cos??.2mn

(2)若二面角為鈍二面角，即??(,?)2???? m?n則有cos???.mn

?

四.處理距離問題

(一)點(diǎn)到面的距離d ??????任取一點(diǎn)Q?? 得 PQ, m是平面? 的法向量，則有：點(diǎn)P到???????????????? PQ?m面? 的距離d=PQ?cos??(向量PQ在法向量m 的投影的長度)|m|

(二)求兩異面直線的距離d

知a,b是兩異面直線，A,B?a,C,D?b，???找一向量與兩異面直線都垂直的向量m，???????????AC?m則兩異面直線的距離 d?AC?cos?＝|m|

方法思路：求異面直線的距離，先找一向量與兩異面直線都垂直的???向量m,然后分別在兩異面直線上各任取一點(diǎn)A,C,則其距 ??????????????AC?m離 d 就是AB在向量m上的投影的長度,距離d?|m|

????Ps：向量 m 與異面直線a、b 都垂直，可用方程組求出 m 的坐標(biāo).五.如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

1.有公共頂點(diǎn)的不共面的三線兩兩互相垂直

例如正方體、長方體、底面是矩形的直棱柱、底面是直角三角形且過直角頂點(diǎn)的側(cè)棱垂直于底面的三棱錐等等。

2.有一側(cè)棱垂直底面

OC?底面OAB

（）1?OAB是等邊三角形

（2）?OAB是以O(shè)B為斜邊的直角三角形

(1)(2)

(3)PA?底面ABCD，且四邊形ABCD是菱形

(4)PA?底面ABCD，且四邊形ABCD是?ABC＝60?的菱形

(3)

3.有一側(cè)面垂直于底面

(4)

(1)在三棱錐S－ABC中,?ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC?底面ABC,且SA?SC?(2)四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PCD是邊長為 2 的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是?ADC?60?的菱形

.(1)(2)

兩平面垂直的性質(zhì)定理:若兩面垂直,則在其中一面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一平面,轉(zhuǎn)化為有一線垂直于底面的問題.4.直棱柱的底面是菱形正四棱錐正三棱錐

第四篇：向量在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

向量在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

一、向量知識

設(shè)a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

向量的加法

OB+OA=OC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的運(yùn)算律：

交換律：a+b=b+a；

結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0

AB-AC=CB.即“共同起點(diǎn)，指向被

向量的減法

減”

a=(x,y)b=(x',y')則a-b=(x-x',y-y').3、數(shù)乘向量

實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

當(dāng)λ>0時，λa與a同方向

當(dāng)λ<0時，λa與a反方向；

向量的數(shù)乘

當(dāng)λ=0時，λa=0，方向任意。

當(dāng)a=0時，對于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0。

注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

當(dāng)λ>1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸長為原來的∣λ∣倍

當(dāng)λ<1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上縮短為原來的∣λ∣倍。

數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律

結(jié)合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量對于數(shù)的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.數(shù)對于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.數(shù)乘向量的消去律：① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的數(shù)量積

定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個數(shù)量，記作a·b。若a、b不共線，則a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共線，則a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的數(shù)量積的運(yùn)算律

a·b=b·a（交換律）

(λa)·b=λ(a·b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律)

（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

a·a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因為0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）

向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)

1．向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。

2．向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a·b=a·c(a≠0)，推不出 b=c。

3．|a·b|≠|(zhì)a|·|b|

4．由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。

5、向量的向量積

定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b（這里并不是乘號，只是一種表示方法，與“·”不同，也可記做“∧”）。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

向量的向量積性質(zhì)：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a垂直b〈=〉a×b=|a||b|。

向量的向量積運(yùn)算律

a×b=-b×a

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）

a×（b+c）=a×b+a×c.注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。

6、三向量的混合積

定義：給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數(shù)量積(a×b)·c，向量的混合積

所得的數(shù)叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

混合積具有下列性質(zhì)：

1．三個不共面向量a、b、c的混合積的絕對值等于以a、b、c為棱的平行六面體的體積V，并且當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時混合積是正數(shù)；當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時，混合積是負(fù)數(shù)，即(abc)=εV（當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時ε=1；當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時ε=-1）

2．上性質(zhì)的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=0

3．(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

4．(a×b)·c=a·(b×c)

7、三向量的二重向量積

由于二重向量叉乘的計算較為復(fù)雜，于是直接給出了下列化簡公式以及證明過程：

二重向量叉乘化簡公式及證明

三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時，左邊取等號

② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時，右邊取等號。

2．∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時，左邊取等號

② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時，右邊取等號。定比分點(diǎn)

定比分點(diǎn)公式（向量P1P=λ·向量PP2）

設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個任意實(shí)數(shù) λ且λ不等于-1，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

OP=(OP1+λOP2)/(1+λ)；（定比分點(diǎn)向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ)，y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式）

我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式

三點(diǎn)共線定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點(diǎn)共線

三角形重心判斷式

在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心 向量共線的條件

若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a=λb。

若設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則有x1y2=x2y1。

零向量0平行于任何向量。向量垂直的充要條件

a⊥b的充要條件是 a·b=0，即x1x2+y1y2=0。

零向量0垂直于任何向量。

平面向量的分解定理

平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不平行向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2我們把不平行向量e1、e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一基底．

二、應(yīng)用(一)向量在函數(shù)中的應(yīng)用 例1：求函數(shù)的值域。

解：函數(shù)的解析式可化為：，，說明：碰到此類問題，我們必須先模擬、聯(lián)想、構(gòu)造兩個向量，然后利用向量的平等關(guān)系得出函數(shù)的值域或其最值。

(二)、向量在不等式問題中的應(yīng)用

(三)、向量在三角問題中的應(yīng)用

(四)、向量在平面幾何問題中的應(yīng)用

例4：用向量證明：三角形中位線平行于底邊，且長度是底邊長度的一半。

說明：向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個實(shí)數(shù)使得，這是證明平行、共點(diǎn)、共線、共面的有力工具。

(五)、向量在解析幾何問題中的應(yīng)用

說明：在教材中增加向量內(nèi)容之前，本題可用兩種方法求解：一是利用余弦定理結(jié)合橢圓焦半徑公式求解；二是利用直線的到角公式求解，但必須注意斜率是否存在的問題，應(yīng)驗證斜率不存在的情況。

(六)、向量在立體幾何問題中的應(yīng)用

第五篇：高中數(shù)學(xué) 2.2.2向量減法及其幾何意義教學(xué)設(shè)計 新人教A版必修1

§2．2．2 向量減法運(yùn)算及其幾何意義

教學(xué)目標(biāo) 1．通過探究活動，使學(xué)生掌握向量減法概念，理解兩個向量的減法就是轉(zhuǎn)化為加法來進(jìn)行，掌握相反向量．

2．啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨(dú)立思考，學(xué)會分析問題和創(chuàng)造地解決問題．能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量． 向量的減法運(yùn)算及其幾何意義 對向量減法定義的理解 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn) 教學(xué)過程

一、新課導(dǎo)入

思路1．(問題導(dǎo)入)上節(jié)課，我們定義了向量的加法概念，并給出了求作和向量的兩種方法．由向量的加法運(yùn)算自然聯(lián)想到向量的減法運(yùn)算：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．向量的減法是否也有類似的法則呢?引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究，由此展開新課．

思路2．(直接導(dǎo)入)數(shù)的減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算．本節(jié)課，我們繼續(xù)學(xué)習(xí)向量加法的逆運(yùn)算——減法．引導(dǎo)學(xué)生去探究、發(fā)現(xiàn)．

數(shù)的減法運(yùn)算是數(shù)的加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，數(shù)的減法定義即減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，因此定義數(shù)的減法運(yùn)算，必須先引進(jìn)一個相反數(shù)的概念．類似地，向量的減法運(yùn)算也可定義為向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算．可類比數(shù)的減法運(yùn)算，我們定義向量的減法運(yùn)算，也應(yīng)引進(jìn)一個新的概念，這個概念又該如何定義?

二、新課導(dǎo)學(xué)

【探究1】相反向量

一個質(zhì)點(diǎn)，先由A點(diǎn)作直線移動到B點(diǎn)，于是得到一個向量→AB，再由B點(diǎn)按相反方向移動到A點(diǎn)又得到一個向量→BA，如此移動的實(shí)際效果，等于沒有移動，因此，→AB＋→BA＝0，這個等式就建議我們把向量→BA定→的負(fù)向量，并記作→→，于是我們有 義為向量ABBA＝－AB新知1：與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a，并且規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量，于是，－(－a)＝a.性質(zhì)：①－(－a)＝a；

②任一向量與它相反向量的和是零向量，即 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 ③如果a、b是互為相反的向量，則有 a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.練習(xí)1：判斷下列各命題的真假(1)─→AA＋─→AA＋…＋──→AA與──→AA是一對相反向量； 1223n﹣1n

n1(2)─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→Ai﹣1Ai與──→AiAi＋1＋───→Ai＋1Ai＋2＋──→AnA1是一對相反向量；(3)a＝－a的充要條件是a＝0；(4)─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223n1解：(1)真命題.∵─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→An﹣1An＝─→A1An，而──→AnA1與─→A1An長度相等，方向相反，所以命題(1)是真命題.(2)真命題.∵─→AA＋─→AA＋…＋──→AA＝─→AA，而──→AA＋───→AA＋──→AA＝─→AA，由于─→AA與122

3i﹣1i

1i

ii＋

1i＋1i＋

2n1

i1

1i─→AiA1是一對相反向量，所以命題(2)是真命題.(3)真命題.∵當(dāng)a≠0時，a≠－a；而當(dāng)a＝0時，a＝－a，故命題(3)是真命題.(4)真命題.∵─→AA＋─→AA＋──→AA＝0，∴─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223

n1

n1【探究2】向量減法

如圖，設(shè)向量AB＝b，AC=a，則AD=-b，由向量減法的定義，知AE=a+(-b)=a-b．

又b＋BC＝a，所以BC＝a－b． 由此，我們得到a-b的作圖方法．

如圖2，已知a、b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA=a，則BA=aOB=b，－b，即a－b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義．

新知2：（1）向量減法的定義：a-b=a+(-b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量．向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b),求兩個向量差的運(yùn)算，叫向量的減法．

（2）向量的減法運(yùn)算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運(yùn)算的幾何意義所在，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)．

說明：①還可以這樣定義：兩個向量a與b的差，是這樣一個向量x，它適合于等式x＋b＝a，并記作x＝a－b,并稱a為被減向量，b為減向量，而x稱為差向量．

②向量減法可以轉(zhuǎn)化為向量加法，如圖b與a－b首尾相接，根據(jù)向量加法的三角形法則有b＋(a－b)＝a,即a－b＝→CB． ③向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算.利用相反向量的意義，－→AB＝→BA，就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法，在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接兩向量終點(diǎn)，箭頭指向被減數(shù)”即可．

→＝a，→→＝a＋b，BD→＝b－a, DB→④以向量ABAD＝b，為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量為AC＝a－b，這一結(jié)論在以后應(yīng)用是非常廣泛的．

【探究3】關(guān)于向量差的模的不等式

如果我們回憶向量加法的平行四邊形法則，那么就可以知道，對于兩向量a及b為邊作成的平行四邊

→＝a＋b，BA→＝a－b，利用圖中的三角形OAB，形中，其兩條對角線分別為a與b的和及差，如圖所示，有OC并注意三角形中兩邊之差小于第三邊，于是當(dāng)a與b不共線時，有|a－b|>||a|－|b||，與向量和的模的不等式類似．

對于兩任意兩向量a與b差的長度不大小兩向量長度之和，且又不小于兩向量長度差的絕對值，即

||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 證明：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知，||a|－|b||≤|a＋(－b)|≤|a|＋|－b|，亦即 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.說明：在不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，①當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向或a、b中至少一個為0時，左邊等號成立； ②當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向或a、b中至少一個為0時，右邊等號成立； ③當(dāng)且僅當(dāng)a、b中至少一個為0時，左右兩邊的等號同時成立.上述①、②及③三個結(jié)論在有關(guān)問題的求解中是十分有用的.新知3：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 例1 如圖，已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．

分析：根據(jù)向量減法的三角形法則，需要選點(diǎn)平移作出兩個同起點(diǎn)的向量．

作法：如圖3(2)，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d．則BA=a-b，DC=c-d． 變式訓(xùn)練：在ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AB=DC 答案：C 例2 如圖4，B．AD+AB=AC C．AB-AD=BD

D．AD+BC=0 ABCD中，AB=a，AD=b，你能用a、b表示向量AC、DB嗎? 解：由向量加法的平行四邊形法則，我們知道AC=a+b，同樣，由向量的減法，知DB=AB-AD=a-b． 變式訓(xùn)練

1．已知一點(diǎn)O到ABCD的3個頂點(diǎn)A、B、C的向量分別是a、b、c，則向量OD等于（）A．a(chǎn)+b+c

B．a(chǎn)-b+c C．a(chǎn)+b-c

D．a(chǎn)-b-c 解析：如圖5，點(diǎn)O到平行四邊形的三個頂點(diǎn)A、B、C的向量分別是a、b、c，結(jié)合圖形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c．故選B．

2．若AC=a+b，DB=a-b．

①當(dāng)a、b滿足什么條件時，a+b與a-b垂直？ ②當(dāng)a、b滿足什么條件時，|a+b|=|a-b|？

③當(dāng)a、b滿足什么條件時，a+b平分a與b所夾的角？ ④a+b與a-b可能是相等向量嗎？

解析：如圖6，用向量構(gòu)建平行四邊形，其中向量AC、DB恰為平行四邊形的對角線．由平行四邊形法則，得AC=a+b，DB=AB-AD=a-b．由此問題就可轉(zhuǎn)換為：

①當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線互相垂直？(|a|=|b|)②當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線相等？(a、b互相垂直)③當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線平分內(nèi)角？(a、b相等)④a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能，因為對角線方向不同例3 化簡→AB－→AC＋→BD－→CD．

解：原式＝→CB＋→BD－→CD＝→CD－→CD＝0 變式訓(xùn)練：8．如圖所示，DC?DE?AF?BC?FE＝________．答案：→AB →＝8，|AC|→＝5，則|BC|→的取值范圍是（）例4 若|AB|A．［3，8］

B．（3，8）

C．［3，13］

D．（3，13）

→、AC→同向時，|→解析： ∵→BC＝→AC－→AB，當(dāng)ABBC|＝8－5＝3；當(dāng)→AB、→AC反向時，|→BC|＝8＋5＝13；當(dāng)→AB、→不平行時，3＜|BC|→＜13，總上3≤|→ACBCBC|≤13，故選C．

變式訓(xùn)練：向量a．b滿足|a|＝8，|b|＝12，則|a＋b|的最大值為________．答案：20

三、總結(jié)提升

1.通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家在理解向量減法定義的基礎(chǔ)上，掌握向量減法的三角形法則，并能加以適當(dāng)?shù)膽?yīng)用.2.向量減法的三角形法則的式子內(nèi)容是：兩個向量相減，則表示兩個向量起點(diǎn)的字母必須相同（否則無法相減），這樣兩個向量的差向量是以減向量的終點(diǎn)的字母為起點(diǎn)，以被減向量的終點(diǎn)的字母為終點(diǎn).四、課后作業(yè)

課本第91頁習(xí)題2.2A組第4、6、7、8題 1．已知｜AB｜＝6，｜CD｜＝9，求｜AB－CD｜的取值范圍．答案：［3，15］ 2．已知：A．B．C是不共線的三點(diǎn)，O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若→OA＋→OB＋→OC＝0，求證：點(diǎn)O是△ABC的重心． →＋OC)→，2．證明：如圖，∵→OA＋→OB＋→OC＝0，∴→OA＝－(OB→＋OC→，長度相等，方向相反的向量，∴→OA是與OB以O(shè)B、OC為相鄰兩邊作BOCD，則→OD＝→OB＋→OC，→，∴A、O、D三點(diǎn)共線． ∴→OD＝－OA

→＝EC→，OE→＝ED→，在□BOCD中，設(shè)BC交OD于點(diǎn)E，則BE

→＝2|→故AE是△ABC的邊BC的中線，且|OA|OE|，∴點(diǎn)O是△ABC的重心．