第一篇：第二章導(dǎo)數(shù)與微分總結(jié)

第二章 導(dǎo)數(shù)與微分總結(jié)

一、導(dǎo)數(shù)與微分概念

1．導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，自變量x在x0處有增量?x，相應(yīng)地函數(shù)增量?y?f?x0??x??f?x0?。如果極限

limf?x0??x??f?x0??y ?lim?x?0?x?x?0?x，存在，則稱此極限值為函數(shù)f?x?在x0處的導(dǎo)數(shù)（也稱微商），記作f??x0?，或y?x?x0df?x?dy，等，并稱函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0處可導(dǎo)。如果上面的極限不存在，x?xx?xdxdx00則稱函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

導(dǎo)數(shù)定義的另一等價(jià)形式，令x?x0??x，?x?x?x0，則f??x0??limx?x0f?x??f?x0?

x?x0f?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim? ?x?0x?x0?xf?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim? ?x?0x?x0?x

我們也引進(jìn)單側(cè)導(dǎo)數(shù)概念。

右導(dǎo)數(shù)：f???x0??lim?x?x0

左導(dǎo)數(shù)：f???x0??lim?x?x0

則有

f?x?在點(diǎn)x0處可導(dǎo)?f?x?在點(diǎn)x0處左、右導(dǎo)數(shù)皆存在且相等。

2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義

如果函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)f??x0?存在，則在幾何上f??x0?表示曲線y?f?x?在點(diǎn)?x0,f?x0??處的切線的斜率。

切線方程：y?f?x0??f??x0??x?x0?

法線方程：y?f?x0???1?x?x0??f??x0??0? f??x0?

設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)路程S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為S?f?t?，如果f??t0?存在，則f??t0?表示物體在時(shí)刻t0時(shí)的瞬時(shí)速度。

3．函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系

如果函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f?x?在點(diǎn)x0處一定連續(xù)，反之不然，即函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0處連續(xù)，卻不一定在點(diǎn)x0處可導(dǎo)。例如，y?f?x??x，在x0?0處連續(xù)，卻不可導(dǎo)。

4．微分的定義

設(shè)函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0處有增量?x時(shí)，如果函數(shù)的增量?y?f?x0??x??f?x0?有下面的表達(dá)式

?y?A?x0??x?o??x?

??x?0?

其中A?x0?為?x為無關(guān)，o??x?是?x?0時(shí)比?x高階的無窮小，則稱f?x?在x0處可微，并把?y中的主要線性部分A?x0??x稱為f?x?在x0處的微分，記以dy或

x?x0df?x?x?x0。

我們定義自變量的微分dx就是?x。

5．微分的幾何意義

?y?f?x0??x??f?x0?是曲線y?f?x?在點(diǎn)x0處相應(yīng)于自變量增量?x的縱坐標(biāo)f?x0?的增量，微分dy增量（見圖）。x?x0是曲線y?f?x?在點(diǎn)M0?x0,f?x0??處切線的縱坐標(biāo)相應(yīng)的6．可微與可導(dǎo)的關(guān)系

f?x?在x0處可微?f?x?在x0處可導(dǎo)。

且dyx?x0?A?x0??x?f??x0?dx

一般地，y?f?x?則dy?f??x?dx

所以導(dǎo)數(shù)f??x??dy也稱為微商，就是微分之商的含義。dx

7．高階導(dǎo)數(shù)的概念

如果函數(shù)y?f?x?的導(dǎo)數(shù)y??f??x?在點(diǎn)x0處仍是可導(dǎo)的，則把y??f??x?在點(diǎn)x0處

d2y的導(dǎo)數(shù)稱為y?f?x?在點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù)，記以y??，或f???x0?，或等，x?x0dx2x?x0也稱f?x?在點(diǎn)x0處二階可導(dǎo)。

如果y?f?x?的n?1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，稱為y?f?x?的n階導(dǎo)數(shù)，記以y?n?，dnyy?x?，n等，這時(shí)也稱y?f?x?是n階可導(dǎo)。

dx?n?

二、導(dǎo)數(shù)與微分計(jì)算

1．導(dǎo)數(shù)與微分表（略）

2．導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則

（1）四則運(yùn)算求導(dǎo)和微分公式

[f1f2]?f1f2?f1f2

[f1f2f3]?f1f2f3?f1f2f3?f1f2f3 '''''''f'f'g?fg'

()? 2gg

（2）反函數(shù)求導(dǎo)公式

設(shè)y?f(x)的反函數(shù)為x?g(y)，則g(y)?

（3）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和微分公式

設(shè)y?f(u),u?g(x)，則

（4）隱函數(shù)求導(dǎo)法則

每一次對(duì)x求導(dǎo)，把y看作中間變量，然后解出y

例：ex?y''11? ''f(x)f[g(y)]dydydu??f'[g(x)]g'(x)dxdudx?sin(3x?2y)?5x?6y?7，確定y?y(x)，求y'

解：兩邊每一項(xiàng)對(duì)x求導(dǎo)，把y看作中間變量

ex?y(1?y')?[cos(3x?2y)](3?2y')?5?6y'?0

'

然后把y解出來

（5）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

取對(duì)數(shù)后，用隱函數(shù)求導(dǎo)法則

y?

lny?

求導(dǎo)得

(x?1)(x?2)

(x?3)(x?4)1[ln(x?1)?ln(x?2)?ln(x?3)?ln(x?4)] 2y'11111?(???)y2x?1x?2x?3x?4

解出y'

y?xxx?0

xlnx

y?e 解出y'

lny?xlnx

y'?lnx?1解出y' y

（6）用參數(shù)表示函數(shù)的求導(dǎo)公式

dydydt?'(t)設(shè)x??(t),y??(t),則??dxdx?'(t)dt

(?'(t)?0)

第二篇：導(dǎo)數(shù)與微分(教案)

重慶工商大學(xué)融智學(xué)院

《微積分》教案

（上冊(cè)）

章節(jié)名稱： 第三章導(dǎo)數(shù)與微分 主講教師： 聯(lián)系方式：

岳斯瑋 ***

《微積分》（上冊(cè)）教案

第三章 導(dǎo)數(shù)與微分

本章教學(xué)目標(biāo)與要求

理解導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)。了解導(dǎo)數(shù)的物理意義（速度），幾何意義（切線的斜率）和經(jīng)濟(jì)意義（邊際），掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。掌握反函數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)法，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。理解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系。了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。理解微分的概念，導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系，以及一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。了解導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

本章教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

1．導(dǎo)數(shù)概念及其求導(dǎo)法則； 2．隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；

4．微分的概念，可微和可導(dǎo)的關(guān)系，微分的計(jì)算

§3.1 導(dǎo)數(shù)的概念

教學(xué)目的與要求

1.理解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義.2.掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求平面曲線的切線和法線.3.了解導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系.4.理解左右導(dǎo)數(shù)的概念、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

1.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念、利用定義求函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)

教學(xué)過程

一、引例

導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(Fermat)為研究極值問題而引入的，但與導(dǎo)數(shù)概念直接相聯(lián)系的是以下兩個(gè)問題：已知運(yùn)動(dòng)規(guī)律求速度和已知曲線求它的切線．這是由英國數(shù)學(xué)家牛頓(Newton)和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨(Leibniz)分別在研究力學(xué)和幾何學(xué)過程中建立起來的．

下面我們以這兩個(gè)問題為背景引入導(dǎo)數(shù)的概念．

《微積分》（上冊(cè)）教案

1．瞬時(shí)速度

思考：已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s?s(t)，t0為某一確定時(shí)刻，求質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)刻的速度。在中學(xué)里我們學(xué)過平均速度

?s，平均速度只能使我們對(duì)物體在一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)大致?t情況有個(gè)了解，這不但對(duì)于火箭發(fā)射控制不夠，就是對(duì)于比火箭速度慢的多的火車、汽車運(yùn)行情況也是不夠的，火車上坡、下坡、轉(zhuǎn)彎、穿隧道時(shí)速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不僅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飛行速度的變化規(guī)律.不過瞬時(shí)速度的概念并不神秘，它可以通過平均速度的概念來把握.根據(jù)牛頓第一運(yùn)動(dòng)定理，物體運(yùn)動(dòng)具有慣性，不管它的速度變化多么快，在一段充分短的時(shí)間內(nèi)，它的速度變化總是不大的，可以近似看成勻速運(yùn)動(dòng).通常把這種近似代替稱為“以勻代不勻”.設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程是時(shí)間的函數(shù) s(t)，則質(zhì)點(diǎn)在 t0到 t0??t 這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為

v?s(t0??t)?s(t0)

?t可以看出它是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0速度的一個(gè)近似值，?t越小，平均速度 v 與 t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度越接近.故當(dāng)?t?0時(shí)，平均速度v就發(fā)生了一個(gè)質(zhì)的飛躍，平均速度轉(zhuǎn)化為物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即物體在 t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為

v?limv?lim?t?0_s(t0??t)?s(t0)（1）

?t?0?t思考：按照這種思想和方法如何計(jì)算自由落體的瞬時(shí)速度？ 因?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

s?12gt，2按照上面的公式，可知自由落體運(yùn)動(dòng)在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為

112g(t0??t)2?gt0s(t??t)?s(t0)12v(t0)?lim0?lim2?lim(gt0?g?t)?gt0。?t?0?t?0?t?00?t?t2這正是我們高中物理上自由落體運(yùn)動(dòng)的速度公式.2．切線的斜率

思考：圓的的切線的定義是什么？這個(gè)定義適用于一般的切線嗎？

引導(dǎo)學(xué)生得出答案：與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線叫做圓的切線，但這個(gè)定義只適用于圓周曲線，并不適用于一般的曲線.因此，曲線的某一點(diǎn)的切線應(yīng)重新定義.（1）切線的概念

《微積分》（上冊(cè)）教案

曲線C上一點(diǎn)M的切線的是指：在M外另取C上的一點(diǎn)N，作割線MN，當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨向點(diǎn)M時(shí)，如果割線MN繞點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)而趨向極限位置MT，直線MT就叫做曲線C在點(diǎn)M處的切線。簡單說：切線是割線的極限位置。這里的極限位置的含義是：只要弦長MN趨于0，?NMT也趨向于0.（如圖所示）

（2）求切線的斜率

設(shè)曲線C為函數(shù)y?f(x)的圖形，M(x0,y0)?C，則y0?f(x0)，點(diǎn)N(x0??x,y0??y)為曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，割線MN的斜率為：

?yf(x0??x)?f(x0)??x?x根據(jù)切線的定義可知，當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨于M時(shí)，即?x?0，割線的斜率趨向于切線的tan??斜率。也就是說，如果?x?0時(shí)，上式的極限存在，則此極限便為切線的斜率記為k，即

k?tan??limf(x0??x)?f(x0)?y

（2）?lim?x?0?x?x?0?x3.邊際成本

設(shè)某產(chǎn)品的成本C是產(chǎn)量x的函數(shù)C?C(x)，試確定產(chǎn)量為x0個(gè)單位時(shí)的邊際成本。用前兩例類似的方法處理得：

?CC(x0??x)?C(x0)表示由產(chǎn)量x0變到x0??x時(shí)的平均成本，如果極限 ??x?x?CC(x0??x)?C(x0)

（3）

lim??x?0?x?x存在，則此極限就表示產(chǎn)量為x0個(gè)單位時(shí)成本的變化率或邊際成本。

思考：上述三個(gè)問題的結(jié)果有沒有共同點(diǎn)？

上述兩問題中，第一個(gè)是物理學(xué)的問題，第二個(gè)是幾何學(xué)問題，第三個(gè)是經(jīng)濟(jì)學(xué)問題，分屬不同的學(xué)科，但問題都?xì)w結(jié)到求形如

lim

?x?0f(x0??x)?f(x0）

（4）

?x68

《微積分》（上冊(cè)）教案 的極限問題.事實(shí)上，在學(xué)習(xí)物理學(xué)時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，在計(jì)算諸如物質(zhì)比熱、電流強(qiáng)度、線密度等問題中，盡管其背景各不相同，但最終都?xì)w化為討論形如（4）的極限問題.為了統(tǒng)一解決這些問題，引進(jìn)“導(dǎo)數(shù)”的概念.二、導(dǎo)數(shù)的定義

1．導(dǎo)數(shù)的概念

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處取得增量?x（點(diǎn)x0??x仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地取得增量?y?f(x0??x)?f(x0)，如果極限

f(x0??x)?f(x0)?y ?lim?x?0?x?x?0?xlim存在，則這個(gè)極限叫做函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為

y'?x?x0,f(x0),dydxx?x0或df(x)dxx?x0

當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，就說函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，否則就說f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo).特別地，當(dāng)?x?0時(shí)，點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)為無窮大.關(guān)于導(dǎo)數(shù)有幾點(diǎn)說明：

（1）導(dǎo)數(shù)除了定義中的形式外，也可以取不同的形式，常見的有

?y??，為了方便起見，有時(shí)就說y?f(x)在?xf?(x0)?limh?0f(x0?h)?f(x0)

hf(x)?f(x0)

x?x0f?(x0)?lim（2）

x?x0?yf(x0??x)?f(x0)反映是自變量 x 從x0改變到x0??x時(shí)，函數(shù)f(x)的??x?x?y'平均變化速度，稱為函數(shù)f(x)的平均變化率；而導(dǎo)數(shù)f(x0)?lim反映的是函數(shù)f(x)?x?0?x在點(diǎn)x0處的變化速度，稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的變化率。

2．導(dǎo)函數(shù)的概念

《微積分》（上冊(cè)）教案

上面講的是函數(shù)在某一點(diǎn)處可導(dǎo)，如果函數(shù)y?f(x)在開區(qū)間I的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)y?f(x)在開區(qū)間I上可導(dǎo)，這時(shí)，?x?I，都對(duì)應(yīng)f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)叫做y?f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作：

y',f'(x),即，導(dǎo)函數(shù)的定義式為：

dydf(x)?；騞xdxf(x??x)?f(x)f(x?h)?f(x)或f?(x)?lim.?x?0h?0?xh在這兩個(gè)式子中，x可以取區(qū)間I的任意數(shù)，然而在極限過程中，x是常量，?x或h才y??lim是變量；并且導(dǎo)數(shù)f(x0)恰是導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值.''3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念

我們知道在極限有左、右極限之分，而導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)是一個(gè)“比值”的極限。因此，根據(jù)左右極限的定義，不難得出函數(shù)左右導(dǎo)數(shù)的概念。

定義

極限lim??x?0f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)和lim?分別叫做函數(shù)?x?0?x?xf(x)在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，記為f??(x0)和f??(x0).如同左、右極限與極限之間的關(guān)系，顯然：

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)f??(x0)和右導(dǎo)數(shù)f??(x0)都存在并且相等.還應(yīng)說明：如果f(x)在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，且f??(a)和f??(b)都存在，就說f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo).三、按定義求導(dǎo)數(shù)舉例

1．根據(jù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可以總結(jié)出求函數(shù)某一點(diǎn)的步驟為： ① 求增量：?y?f(x??x)?f(x)

?yf(x??x)?f(x)??x?x?y③ 求極限：y??lim

?x?0?x2．運(yùn)用舉例 ② 算比值： 70

《微積分》（上冊(cè)）教案

例

1求y?C的導(dǎo)數(shù)（C為常數(shù)）.解 求增量?y?C?C?0

?y?0 ?x?y取極限

lim?0

?x?0?x作比值

所以

(C)?0

即常量的導(dǎo)數(shù)等于零.例

2求函數(shù)y?x(x?N)的導(dǎo)數(shù).解 ?y?(x??x)?x?nxnnn?1n?'?x?n(n?1)n?2x(?x)2???(?x)n，2!?yn(n?1)n?2?nxn?1?x?x???(?x)n?1，?x2!?yy'?lim?nxn?1，?x?0?x即

(xn)'?nxn?1

注意：以后會(huì)證明當(dāng)指數(shù)為任意實(shí)數(shù)時(shí)，公式仍成立，即

(x?)???x??1.'例如：(x)?(??R)

12x?1'，(x)??1x2

例3 求f(x)?sinx的導(dǎo)數(shù).解

(sinx)?lim'f(x?h)?f(x)sin(x?h)?sinx?lim

h?0h?0hhhsinh2?cosx ?limcos(x?)?h?0h22即

(sinx)'?cosx.用類似方法，可求得

(cosx)'??sinx.71

《微積分》（上冊(cè)）教案

例4 求y?logax(a?0,a?1)的導(dǎo)數(shù).hloga(1?)loga(x?h)?logaxx 解 y'?lim?limh?0h?0hhhloga(1?)x11hx??limlog(1?)h ?limah?0hxxh?0xx1?logae x所以

(logax)'?特別地，當(dāng)a?e時(shí)，有

1logae x(lnx)'?例5 教材例3.4 x

四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

由前面對(duì)切線問題的討論及導(dǎo)數(shù)的定義可知：函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)在幾何上表示曲線y?f(x)在點(diǎn)M（x0,f(x0)）處的切線的斜率。因此，曲線y?f(x)在點(diǎn)M（x0,f(x0)）處的切線方程為

'y?y0?f?(x0)(x?x0).思考：曲線某一點(diǎn)處切線和法線有什么關(guān)系？能否根據(jù)點(diǎn)M處切線的斜率求點(diǎn)M處的法線方程？

根據(jù)法線的定義：過點(diǎn)M（x0,f(x0)）且垂直于曲線y?f(x)在該點(diǎn)處的切線的直線叫做曲線y?f(x)在點(diǎn)M（x0,f(x0)）處的法線.如果f(x0)?0，根據(jù)解析幾何的知識(shí)可知，切線與法線的斜率互為倒數(shù)，則可得點(diǎn)M處法線方程為：

y?y0??例6 求雙曲線y?程.1(x?x0).f?(x0)11在點(diǎn)(,2)處的切線的斜率，并寫出該點(diǎn)處的切線方程和法線方

2x 72

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解

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，所求的切線的斜率為：

k?y'所以切線的方程為

121?()'x12??1x212??4

1y?2??4(x?)，2即 4x?y?4?0.法線的方程為

11y?2?(x?)，42即

2x?8y?15?0.五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理 函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)，則一定在該點(diǎn)連續(xù).證明：因?yàn)槿绻瘮?shù)y?f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，即

?y?f?(x0)?x?0?x，lim從而有

?y?f?(x0)???x，其中，??0(?x?0)，于是

?y?f?(x0)?x???x，因而，當(dāng)?x?0時(shí)，有?y?0。這說明函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)。

思考：定理的逆命題成立嗎？

例7 討論函數(shù)f(x)?x在x?0處是否可導(dǎo)。解

因f??(0)?lim?f(0??x)?f(0)?x?lim??1，h?0h?0?x?xf(0??x)?f(0)??xf??(0)?lim??lim???1，h?0h?0?x?x即f(x)在點(diǎn)x?0處的左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)都存在但不相等，從而f(x)?x在x?0處不可導(dǎo)。

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注意：通過例7可知，函數(shù)f(x)?x在原點(diǎn)（0,0）處雖然連續(xù)，但該點(diǎn)卻不可導(dǎo)，所以函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)，則一定連續(xù)，反之不一定成立.課堂小結(jié)

1.導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式：limf(x0??x)?f(x0)?y ?lim?x?0?x?x?0?x2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(C)'?0(x)?nxn'n?1(sinx)'?cosx(cosx)'??sinx

(logax)'?11logae(lnx)'?(ax)'?axlna(ex)'?ex xx3.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)，則一定在該點(diǎn)連續(xù)，反之不一定成立。4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，在幾何表示為曲線在此點(diǎn)的切線的斜率。

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§3.2 求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式

教學(xué)目標(biāo)與要求

1.掌握并能運(yùn)用函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 2.理解反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并能應(yīng)用；

3.理解復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并會(huì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 4.掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法； 5.掌握并能運(yùn)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法；

6.熟記求導(dǎo)法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

教學(xué)重點(diǎn)與難度

1.會(huì)用函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)； 2.會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 3.會(huì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

4.會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及能運(yùn)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。

教學(xué)過程

前面，我們根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求出了一些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。但是，如果對(duì)每一個(gè)函數(shù)都用定義去求它的導(dǎo)數(shù),有時(shí)候?qū)⑹且患浅?fù)雜或困難的事情。因此，本節(jié)介紹求導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)基本法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。鑒于初等函數(shù)的定義，有了這些法則和公式，就能比較方便地求出常見的函數(shù)——初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

一、函數(shù)的和、差、積、商求導(dǎo)法則

1.函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則

定理1 函數(shù)u(x)與v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)y?u(x)?v(x)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且

y'?[u(x)?v(x)]'?u'(x)?v'(x)。

同理可證：[u(x)?v(x)]?u(x)?v(x)即證。

''' 75

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注意：這個(gè)法則可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和，即

''[u1(x)?u2(x)???un(x)]'?u1'(x)?u2(x)???un(x)，即有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的代數(shù)和。

例1 教材例3.9

2.函數(shù)積的求導(dǎo)公式

定理2 函數(shù)u(x)與v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)y?u(x)?v(x)在點(diǎn)x也可導(dǎo)，且

y'?[u(x)?v(x)]'?u'(x)?v(x)?u(x)?v'(x)。

注意：1）特別地，當(dāng)u?c（c為常數(shù)）時(shí)，y'?[cv(x)]'?cv'(x)，即常數(shù)因子可以從導(dǎo)數(shù)的符號(hào)中提出來。而且將其與和、差的求導(dǎo)法則結(jié)合，可得：

y'?[au(x)?bv(x)]'?au'(x)?bv'(x)。

2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則，也可以推廣到有限個(gè)函數(shù)乘積的情形，即

''(u1u2?un)'?u1'u2?un?u1u2?un???u1u2?un。

例2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

1）y?3x?2x?5x?4sinx；

2）y?3x?4lnx?5cosx。解 1）323

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2）y'?4x?4?5sinx x3例3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（教材例3.10）。

sinx；

2）y?x?1）y?x?4x?lnx?cosx

解

1）3y'?(x3?4x?sinx)'?(x3)'?4[(x)'sinx?x(sinx)'] 2sinx?3x?4(?sinx?x?cosx)?3x??4x?cosx2xx2122）

y'?(x3?lnx?cosx)'?(x3)'?lnx?cosx?x3?(lnx)'?cosx?x3?lnx?(cosx)'1?3x2?lnx?cosx?x3??cosx?x3?lnx?sinxx?x2(3lnx?cosx?cosx?x?lnx?sinx)

3.函數(shù)商的求導(dǎo)法則

定理3 函數(shù)u(x)與v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且v(x)?0，則函數(shù)y?導(dǎo)，且

u(x)在點(diǎn)x處也可v(x)u(x)'u'(x)?v(x)?u(x)?v'(x)y?[]?。

v(x)v2(x)'

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注意：特別地，當(dāng)u?c（c為常數(shù)）時(shí)，c'cv'(x)y?[]??2(v(x)?0)。

v(x)v(x)'

思考：請(qǐng)各位同學(xué)總結(jié)一下三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

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總結(jié)：根據(jù)上一節(jié)中求出的正弦和余弦的導(dǎo)數(shù)公式，可得三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：

二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

想一想：在基本初等函數(shù)中，還有那么函數(shù)沒有求導(dǎo)法則？

在基本初等函數(shù)中，我們還有反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法沒有討論，如何求呢？易知，反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)分別是三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。能否通過三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來求反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)呢？這是可以的，這就是我們下面將要介紹的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

定理4 設(shè)函數(shù)y?f(x)在某一區(qū)間是單調(diào)連續(xù)，在區(qū)間任一點(diǎn)x處可導(dǎo)，且f(x)?0，則它的反函數(shù)x?f?1(y)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)也處處可導(dǎo)，且

[f?1(x)]'?或 f'(x)[f(x)]'?1

[f?1(x)]'?1證 因?yàn)楹瘮?shù)y?f(x)在某一區(qū)間內(nèi)是單調(diào)連續(xù)函數(shù)，可知其反函數(shù)x?f應(yīng)區(qū)間內(nèi)也是單調(diào)連續(xù)函數(shù)。

當(dāng)y?f(x)的反函數(shù)x?f的單調(diào)性知?x?f?1?1(y)在相

?1(y)的自變量y取得改變量?y(?y?0)時(shí)，由x?f(y)(y??y)?f?1(y)?0，于是

?x1 ??y?y?x

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又因?yàn)閤?f?1(y)連續(xù)，所以當(dāng)?y?0時(shí)，?x?0。由條件知f(x)?0，所以

[f?1(y)]'?lim故

?x111 ?lim??'?y?0?y?x?0?y?yf(x)lim?x?0?x?x11'或。[f(x)]?f'(x)[f?1(x)]'[f?1(x)]'?即證。

例6 求下列反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

1）y?arcsinx；

2）y?arccosx；

3）y?arctanx；

4）y?arccotx。

例7 求函數(shù)y?a(a?0,a?1)的導(dǎo)數(shù)。

解 由于y?a(x?(??,??))為對(duì)數(shù)函數(shù)x?logay(y?(0,??))的反函數(shù)，根據(jù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則得 xxy'?(ax)'?所以，指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為

1x?y?lna?alna '(logay)(ax)'?axlna

特別地，當(dāng)a?e時(shí)，有

(ex)'?ex

三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

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綜上，我們對(duì)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都進(jìn)行討論，根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，以及求導(dǎo)法則，就可以求一些較復(fù)雜的初等函數(shù)了。但是，在初等函數(shù)的構(gòu)成過程中，除了四則運(yùn)算外，還有復(fù)合函數(shù)形式，例如：y?sin2x。

思考：如果y?sin2x，是否有(sin2x)?cos2x？

因此，要完全解決初等函數(shù)的求導(dǎo)法則還必須研究復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。

定理 設(shè)函數(shù)u??(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)ux??(x)，函數(shù)y?f(u)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)yu?f(u)，則復(fù)合函數(shù)y?f[?(x)]在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且 '''''(f[?(x)])'?f'(u)??'(x)

簡記為dydydu'''?yu?ux。??或yxdxdudx（證明略）

注意：（1）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則表明：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)。這種從外向內(nèi)逐層的求導(dǎo)的方法，形象稱為鏈?zhǔn)椒▌t。

（2）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到有限個(gè)中間變量的情形。例如，設(shè)y?f(u)，u?g(v),v??(x)，則

dydydudv''''?yu?uv?vx ???或yxdxdudvdx（3）在熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，求導(dǎo)時(shí)不必寫出具體的復(fù)合步驟。只需記住哪些變量是自變量，哪些變量是中間變量，然后由外向內(nèi)逐層依次求導(dǎo)。

例8

教材例3.15 例9

教材例3.16 例10 求冪函數(shù)y?x的導(dǎo)數(shù)。

u

例11 教材例3.17（抽象函數(shù)求導(dǎo)）例12 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

1）y?f()；

2）y?e1xf(x)。

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四、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

1.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

（1）隱函數(shù)的概念

函數(shù)y?f(x)表示兩個(gè)變量y與x之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用各種不同的方式表達(dá)。例如y?sinx,y?lnx?1等，用這種方式表達(dá)的函數(shù)稱為y是x得顯函數(shù)。而有些函數(shù)自變量x與因變量y之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律是由一個(gè)包含x，y的方程F(x,y)?0來確定的，例如x?y?1,y?5y?x?0等，用這種方式表達(dá)的函數(shù)稱為y為x的隱函數(shù)。

（2）隱函數(shù)的求導(dǎo)方法

1）可以化為顯函數(shù)的隱函數(shù)：先化為顯函數(shù)，再用前面所學(xué)的方法求導(dǎo)。

2）不易或不能化為顯函數(shù)的隱函數(shù)：將方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)，對(duì)與只含x的項(xiàng)，按通常的方法求導(dǎo)，對(duì)于含有y以及y的函數(shù)的項(xiàng)求導(dǎo)時(shí)，則分別作為x的函數(shù)和x的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)。這樣求導(dǎo)后，就得到一個(gè)含有x，y，y的等式，從等式中解出y，即得隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（3）隱函數(shù)求導(dǎo)舉例

例13（教材例3.18）由方程e?xy?e?0確定y是x得函數(shù)，求y的導(dǎo)數(shù)。解

將方程中的y看成x的函數(shù)y?f(x)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，將方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得

y2235''ey?y'?y?x?y'?0?0，解出y??'yy(x?e?0)。yx?e

例1

4教材例3.19

2.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

（1）方法

對(duì)于某些類型的函數(shù)，可以采用先取對(duì)數(shù)，變成隱函數(shù)，利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法：對(duì)x求導(dǎo),解出y的方法求導(dǎo)。即所謂的對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。

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（2）適用范圍：

對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)冪指函數(shù)y?[f(x)]g(x)與多個(gè)函數(shù)乘積的形式特別方便。它可以使積、商導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算化為和、差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算。

例1

5求函數(shù)y?x(x?0)的導(dǎo)數(shù)。

x

例16 教材例3.22

課堂小結(jié)

想一想：求導(dǎo)法則、基本初等函數(shù)的公式、反函數(shù)求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則？

通過本節(jié)以及上一節(jié)學(xué)習(xí)，到目前為止。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了全部初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和函數(shù)的求導(dǎo)法則，以及反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。從而解決了初等函數(shù)的求導(dǎo)問題。這些公式和法則是基礎(chǔ)，所以，必須要牢記和熟記。歸納如下：

1.求導(dǎo)法則

（1）[u?v]?u?v

（2）(uv)?uv?uv ''''''u'u'v?uv'(v?0)（3）(cu)?cu（c為常數(shù)）

（4）()?vv2''c'cv'（5）()??2（c為常數(shù)）

vv（6）[f'?1(y)]'?''1(f'(x)?0)'f(x)ux，其中y?f(u),u??(x)（7）yx?yu? 83

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2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

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§3.3 高階導(dǎo)數(shù)

教學(xué)目標(biāo)與要求

1.高階導(dǎo)數(shù)的定義以及求法； 2.熟記一些常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式。

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

高階導(dǎo)數(shù)的求法

教學(xué)過程

一、回顧一階導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念

1．導(dǎo)數(shù)的定義 2．到函數(shù)的概念

二、高階導(dǎo)數(shù)

1.高階導(dǎo)數(shù)的定義

思考：什么是變速直線運(yùn)動(dòng)物體的加速度？

前面講過，若質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程s?s(t)，則物體的運(yùn)動(dòng)速度為v(t)?s?(t)，或v(t)?ds，dt而加速度a(t)是速度v(t)對(duì)時(shí)間t的變化率，即a(t)是速度v(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)：??a(t)?dvdt???dds由上可見，加速度?是s(t)的()或??v?(t)?(s?(t))?，dtdt導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這樣就產(chǎn)生了高階導(dǎo)數(shù)，一般地，先給出下列定義：

定義 若函數(shù)y?f(x)的導(dǎo)函數(shù)f?(x)在x點(diǎn)可導(dǎo)，就稱f?(x)在點(diǎn)x的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)

d2yddyy?f(x)在點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù)，記為y,f(x)或2?()，即

dxdxdx''''f'(x??x)?f'(x)y?f(x)?lim，?x?0?x''''此時(shí)，也稱函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x處二階可導(dǎo)。

關(guān)于高階導(dǎo)數(shù)有以下幾點(diǎn)說明：

1）若y?f(x)在區(qū)間I上的每一點(diǎn)都二次可導(dǎo)，則稱f(x)在區(qū)間I上二次可導(dǎo)，并稱f??(x),x?I為f(x)在I上的二階導(dǎo)函數(shù)，簡稱二階導(dǎo)數(shù)；

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2）仿上定義，由二階導(dǎo)數(shù)f??(x)可定義三階導(dǎo)數(shù)f???(x)，即

f''(x??x)?f''(x)。y?f(x)?lim?x?0?x''''''由三階導(dǎo)數(shù)f???(x)可定義四階導(dǎo)數(shù)f導(dǎo)數(shù)f(n)(4)(x)，一般地，可由n?1階導(dǎo)數(shù)f(n?1)(x)定義n階(x)；

3）二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)函數(shù)分別記為：f(n)(x0)，y(n)dny(x0)，ndxx?x0dnf或dxnx?x0與f(n)(x),y(n)dnydnf(x),n或n；

dxdxd2s

4）開始所述的加速度就是s對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù)，依上記法，可記??或??s??(t)； 2dt

5）未必任何函數(shù)所有高階都存在；

6）由定義不難知道，對(duì)y?f(x)，其導(dǎo)數(shù)（也稱為一階導(dǎo)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)為二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為四階導(dǎo)數(shù)，一般地，n?1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為n階導(dǎo)數(shù)，否則，因此，求高階導(dǎo)數(shù)是一個(gè)逐次向上求導(dǎo)的過程，無須其它新方法，只用前面的求導(dǎo)方法就可以了。

2.求高階導(dǎo)數(shù)舉例

例

1y?ax?bx?c，求y??,y???,y解

y??2ax?b例2 教材例3.23

例3 y?e，求各階導(dǎo)數(shù)。解

y??e，y???e，y????e，y

即(e)

例

4y?sinx，求各階導(dǎo)數(shù)。解 y?sinx,x(n)xxx(4)x2(4)。

?y???2a?y????0,y(4)?0。

?ex，顯然易見，對(duì)任何n，有y(n)?ex，?ex。

y??cosx?sinx(??2)

《微積分》（上冊(cè)）教案

y????sinx?sinx(??)?sinx(?2?

y?????cosx??sinx(??2)

?2)?sinx(????)?sinx(?3?)

22?

y(4)?sinx?sinx(?2?)?sinx(?4?

??

一般地，有y(n)?sin(x?n?2)

?)，即(sinx)(n)?sinx(?n)。

22?

同樣可求得(coxs)(n)?cosx(?n

?2)。

例

5y?ln1(?x)，求各階導(dǎo)數(shù)。解

y?ln1(?x)，y??11?21???y?，y????，1?x(1?x)2(1?x)y(4)??1?2?3，?? 4(1?x)(n)

一般地，有

y?(?1)n?1(n?1)!n(1?x)(n)

即

(ln(1?x))?(?1)n?1(n?1)!。

(1?x)n例6

y?x，?為任意常數(shù)，求各階導(dǎo)數(shù)。解

y?x，y???x

y一般地，y(4)????1,y????(??1)x??2，y?????(??1)(??2)x??3，??(??1)(??2)(??3)x??4，??(??1)(??2)??(??n?1)x??n ??(??1)(??2)??(??n?1)x??n。(n)即

(x)?(n)當(dāng)??k為正整數(shù)時(shí)，n?k時(shí)，(x)

n?k時(shí)，(x)

n?k時(shí)，(x)kkk(n)?k(k?1)(k?2)??(k?n?1)xk?n；

(k)?k!(?n!)； ?0。(n)87

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注意：上述例子中，所得的結(jié)論是一些常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式，因此。請(qǐng)各位同學(xué)牢記，以后直接作為公式應(yīng)用。為了便于同學(xué)們掌握，特歸納如下：

課堂小結(jié)

1.二節(jié)導(dǎo)數(shù)的定義是什么？ 2.常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式。

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§3.4 函數(shù)的微分

教學(xué)目標(biāo)與要求

1.理解函數(shù)微分的定義以及可微與可導(dǎo)的關(guān)系； 2.知道微分的幾何意義；

3.掌握微分的基本公式和運(yùn)算法則。

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

1． 微分的定義的理解；

2． 微分的基本公式和運(yùn)算法則的運(yùn)用。

教學(xué)過程

一、微分的定義

1.微分的定義

思考：在學(xué)習(xí)微分之前，請(qǐng)同學(xué)們想一想，導(dǎo)數(shù)有何實(shí)際意義？

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，知道導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)相對(duì)于自變量的變化快慢的程度。在實(shí)際生活中，還會(huì)經(jīng)常遇到與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)的一種問題，即在運(yùn)動(dòng)或變化過程中，當(dāng)自變量有一個(gè)微小的改變量時(shí)，要計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)改變量。但是，通常，計(jì)算函數(shù)的改變量是比較困難的，因此，希望能找到函數(shù)改變量的一個(gè)便于計(jì)算的近似表達(dá)式，這樣就引入了微分學(xué)中的另一個(gè)重要概念——微分。

那么，微分的定義是什么呢？首先，我們通過一個(gè)簡單的例子來體會(huì)一下微分的思想。引例：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由x0變到x0??x(?x?0)，如圖所示，問此薄片的面積改變了多少？

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設(shè)正方形的邊長為x，面積為S，則有S?x。因此，當(dāng)薄片受溫度變化的影響時(shí)面積改變量可以看成是當(dāng)自變量x由由x0變到x0??x(?x?0)時(shí)，函數(shù)S?x相應(yīng)的改變量

2?2x0?x?(?x)2。?S。即?S?(x0??x)2?x022從上式可以看出，?S由兩部分構(gòu)成： 1）第一部分2x0?x是?x的線性函數(shù)；

2）第二部分(?x)，當(dāng)?x?0時(shí)，是比?x高階的無窮小。

于是，當(dāng)?x很小時(shí)，面積S的增量?S可以近似地用其線性主部2x0?x來代替。即2?S?2x0?x。

數(shù)學(xué)上，這樣的例子有很多，思考：是否所有函數(shù)的?y都可以分成兩部分：一部分是?x的線性部分，其余部分是?x的高階無窮小？

并不是所有函數(shù)的?y都具有上述特點(diǎn)，數(shù)學(xué)上，將具有上述特性的函數(shù)的?x的線性部分稱為函數(shù)的微分。因此，微分的定義如下;定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在某區(qū)間內(nèi)由定義，x及x??x在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量?y?f(x??x)?f(x)可以表示為

?y?A??x?o(?x)，其中A是不依賴?x的常數(shù)，而o(?x)是?x的高階無窮小量。則稱函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x處可微，并稱A??x為函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x處的微分，記為dy或df(x)，即

dy?A??x或df(x)?A??x。

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如果改變量?y不能表示為?y?A??x?o(?x)的形式，則稱函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x處不可微或微分不存在。

根據(jù)微分定義，易知：

2．微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

注意：

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綜上可知，求微分的問題可歸結(jié)為求導(dǎo)數(shù)的問題，因此求導(dǎo)數(shù)與求微分的方法稱為微分法。

二、微分的幾何意義

設(shè)函數(shù)y?f(x)的圖形如圖所示，過曲線y?f(x)上一點(diǎn)M(x,y)處作切線

tan??f?(x)MT，設(shè)MT的傾角為?，則

當(dāng)自變量x有增量?x時(shí)，切線MT的縱坐標(biāo)相應(yīng)地有增量

QP?tan???x?f?(x)??x?dy

因此，微分dy點(diǎn)M(x,?f?(x)?x幾何上表示當(dāng)自變量x有增量?x時(shí)，曲線y?f(x)在對(duì)應(yīng)y)處的切線MT的縱坐標(biāo)的增量.由dy近似代替?y就是用點(diǎn)M處的縱坐標(biāo)的增量QP近似代替曲線y?f(x)的縱坐標(biāo)的增量QN。由圖可知，函數(shù)的微分dy與函數(shù)的增量?y相差的量在圖中以PN表示，當(dāng)?x?0時(shí)，變動(dòng)的PN是?x的高階無窮小量.因此，在點(diǎn)M的鄰近，可以用切線段來近似代替曲線段。簡稱“以直代曲”。

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三、微分的基本公式與運(yùn)算法則

由微分的定義dy?f(x)dx可以看出，要計(jì)算函數(shù)的微分，只要計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以自變量的微分。因此，利用函數(shù)求導(dǎo)的基本公式和運(yùn)算法則，可得出求函數(shù)微分的基本公式和運(yùn)算法則.為使用方便，列出如下.'1.微分公式

（1）dC?0

（C為任意常數(shù)）

?（2）d(x（3）d(a)???x??1dx

（?為任意實(shí)數(shù)）)??x?lnadx

（??0且??1）特殊

d(ex)?exdx x（4）d(loga（5）

x)?11dx（??0且??1）特殊

d(lnx)?dx xlnaxd(sinx)?cosxdx

d(cosx)??sinxdx

22d(tanx)?secxdx

d(cotx)??cscxdx

d(secx)?secx?tanxdx

d(cscx)??cscx?cotxdx

（6）d(arcsinx)?11?x2dx(?1?x?1)dx(?1?x?1)d(arccosx)??11?x211dx d(arctanx)?dx

d(arccotx)??1?x21?x2

2．微分的運(yùn)算法則

d(u?v)?du?dv

d(Cu)?Cdu

（C為任意常數(shù)）d(uv)?udv?vdu

?u?vdu?udvd??? 2v?v?

（證明略）

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3．復(fù)合函數(shù)的微分法則

設(shè)函數(shù)y?f(u),u??(x)分別關(guān)于u和x可導(dǎo)，則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可知

'''yx?yu?ux?f'(u)??'(x)

于是，根據(jù)微分的定義有

'dy?yxdx?f'(u)??'(x)dx

并且du??(x)dx。所以，dy?f(u)du或dy?yudu。

注意：由此可見不管自變量u是自變量還是中間變量，微分的形式dy?f(u)du總保持不變，我們稱此性質(zhì)為微分形式的不變性。

''''4．微分的運(yùn)算舉例

例3 教材例3.27

例4 教材例3.28

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課堂小結(jié)

1.微分的概念； 2.微分的幾何意義； 3.微分的基本公式 4.微分的運(yùn)算法則。

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§3.5 導(dǎo)數(shù)與微分的簡單應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)與要求

1.掌握導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用：邊際分析與彈性分析 2.了解微分的應(yīng)用：近似計(jì)算與誤差分析

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

理解并能運(yùn)用邊際分析與彈性分析

教學(xué)過程

一、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

邊際與彈性是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的兩個(gè)重要概念。從實(shí)質(zhì)上講，它們都是變量的某種增量比的極限。由于增量比值的極限總與導(dǎo)數(shù)有關(guān)，而許多經(jīng)濟(jì)函數(shù)又均可視為一個(gè)連續(xù)、可導(dǎo)的函數(shù)，因此可利用導(dǎo)數(shù)的概念來研究經(jīng)濟(jì)變量的邊際和彈性。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，常把用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)變量邊際和彈性的方法，稱為邊際分析與彈性分析。下面我們就具體來介紹邊際分析與彈性分析.（一）邊際與邊際分析

1．函數(shù)的變化率與邊際函數(shù)

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，常常用到平均變化率與邊際這兩個(gè)概念。設(shè)函數(shù)y?f(x)可導(dǎo)，在數(shù)量關(guān)系上，1）平均變化率指的是函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值，如果用函數(shù)形式來表示的話，就是?yf(x0??x)?f(x0)，它表示在(x0,x0??x)內(nèi)f(x)的平均變化速度。??x?x?y'2）而邊際則是自變量的改變量?x趨于零時(shí)的極限，即f(x)，可以說，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

?x'在經(jīng)濟(jì)學(xué)上就是邊際，f(x)在點(diǎn)x?x0的導(dǎo)數(shù)f(x0)稱為f(x)在點(diǎn)x?x0的邊際函數(shù)值，f'(x0)表示f(x)在點(diǎn)x?x0處的變化速度。

值得注意是：

對(duì)于經(jīng)濟(jì)函數(shù)f(x)，經(jīng)濟(jì)變量x在x0有一個(gè)改變量?x，則經(jīng)濟(jì)變量y的值也有一個(gè)相應(yīng)的改變量為

?y?f(x0??x)?f(x0)?f'(x0)?x

特別是，當(dāng)?x?1時(shí)，則?y?f(x0)。這就說明當(dāng)x在x0改變“一個(gè)單位”時(shí)，y相應(yīng)地近似改變f(x0)個(gè)單位。在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)濟(jì)學(xué)家常常略去“近似”而直接說y改變f(x0)

'''《微積分》（上冊(cè)）教案

個(gè)單位，這就是邊際函數(shù)值的含義。

2．邊際成本

設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)q個(gè)單位時(shí)的總成本為C = C(q)，當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到q 個(gè)單位時(shí)，任給產(chǎn)量一個(gè)增量?q，相應(yīng)的總成本將增加?C?C(q??q)?C(q)，于是再生產(chǎn)?q個(gè)單位時(shí)的平均成本為(總成本在產(chǎn)量從q變到q+?q時(shí)的平均變化率)：

C??CC(q??q)?C(q)??q?q如果總成本為C = C(q)在q可導(dǎo)，那么，C?(q)?limC(q??q)?C(q)

?q?0?q稱為產(chǎn)量為q個(gè)單位時(shí)的邊際成本，一般記為： CM(q)?C?(q)。

邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到q 個(gè)單位時(shí)，再增加一個(gè)單位的產(chǎn)量，即。?q?1時(shí)，總成本將增加C?(q)個(gè)單位（近似值）例1 設(shè)一企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的日產(chǎn)量為800臺(tái)，日產(chǎn)量為q個(gè)單位時(shí)的總成本函數(shù)為：

C(q)?0.1q2?2q?5000

求（1）產(chǎn)量為600臺(tái)時(shí)的總成本；

（2）產(chǎn)量為600臺(tái)時(shí)的平均總成本；

（3）產(chǎn)量由600臺(tái)增加到700臺(tái)時(shí)總成本的平均變化率；

（4）產(chǎn)量為600臺(tái)時(shí)的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。

解（1）C(600)?0.1?600?2?600?5000?42200；

（2）C(600)?

（3）

2C(600)211 ?6003?CC(700)?C(600)??132 ?q100

（4）CM(600)?0.2?600?2?122

這說明，當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到600臺(tái)時(shí)，再增加一臺(tái)的產(chǎn)量，總成本大約增加122。3．邊際收益

設(shè)某商品銷售量為q個(gè)單位時(shí)的總收入函數(shù)為R = R(q)，當(dāng)銷量達(dá)到q 個(gè)單位時(shí)，再給銷量一個(gè)增量?q，其相應(yīng)的總收入將增加?R?R(q??q)?R(q)，于是再多銷售?q個(gè)單位時(shí)的平均收益為：

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R??RR(q??q)?R(q)??q?q如果總收入函數(shù)R = R(q)在q可導(dǎo)，那么，R?(q)?limR(q??q)?R(q)

?q?0?q稱為銷售量為q個(gè)單位時(shí)的邊際收入，一般記為：RM(q)?R?(q)

邊際收入的經(jīng)濟(jì)意義是：銷售量達(dá)到q個(gè)單位的時(shí)候，再增加一個(gè)單位的銷量，即?q?1時(shí)，相應(yīng)的總收入增加R?(q)個(gè)單位。

例3設(shè)某種電器的需求價(jià)格函數(shù)為：q?120?4p。其中，p為銷售價(jià)格，q為需求量。求銷售量為60件時(shí)的邊際收益，銷售量達(dá)到70件時(shí)，邊際收益如何？并作出相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)解釋。（單位：元）

1q)

41'于是，銷售量為60件時(shí)的總收入為：R(q)?30?p（元）；

41所以，銷售量為60件時(shí)的邊際收益為：RM(60)?R?(60)?30??60?0。

2解 由已知總收入函數(shù)為： R?pq?q(30?這說明，當(dāng)銷售量達(dá)到60件時(shí)，再增加一件的銷量，不增加總收入。

銷售量為70件時(shí)的邊際收益為：RM(70)?R?(70)?30?1?70??5。

2這說明，當(dāng)銷售量達(dá)到70件時(shí)，再增加一件的銷量，總收入會(huì)減少5元。

4．邊際利潤

設(shè)某商品銷售量為q個(gè)單位時(shí)的總利潤函數(shù)為L = L(q)，當(dāng)銷量達(dá)到q 個(gè)單位時(shí)，再給銷量一個(gè)增量?q，其相應(yīng)的總利潤將增加?L?L(q??q)?L(q)，于是再多銷售?q個(gè)單位時(shí)的平均利潤為：

L?如果總利潤函數(shù)在q可導(dǎo)，那么，L(q??q)?L(q)

?qL?(q)?limL(q??q)?L(q)

?q?0?q稱為銷售量為q個(gè)單位時(shí)的邊際利潤，一般記為：LM(q)?L?(q)

邊際利潤的經(jīng)濟(jì)意義是：銷售量達(dá)到q個(gè)單位的時(shí)候，再增加一個(gè)單位的銷量，即?q?1 99

《微積分》（上冊(cè)）教案

時(shí)，相應(yīng)的總利潤增加L?(q)個(gè)單位。

由于總利潤、總收入和總成本有如下關(guān)系：

L(q)?R(q)?C(q)

因此，邊際利潤又可表示成：L?(q)?R?(q)?C?(q)

例3 設(shè)生產(chǎn)q件某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為：

C(q)?1500?34q?0.3q2

如果該產(chǎn)品銷售單價(jià)為：p = 280元／件，求

（1）該產(chǎn)品的總利潤函數(shù)L(q)；

（2）該產(chǎn)品的邊際利潤函數(shù)LM(q)以及銷量為q?420個(gè)單位時(shí)的邊際利潤，并對(duì)此結(jié)論作出經(jīng)濟(jì)意義的解釋。（3）銷售量為何值時(shí)利潤最大？

解（1）由已知可得總收入函數(shù)：R(q)?pq?280q，因此總利潤函數(shù)為：

L(q)?R(q)?C(q)?280q?1500?34q?0.3q2

??1500?246q?0.3q

（2）該產(chǎn)品的邊際利潤函數(shù)為：LM(q)?L?(q)?246?0.6q；

2LM(420)?246?0.6?420?? 6

這說明，銷售量達(dá)到420件時(shí)，多銷售一件該產(chǎn)品，總利潤會(huì)減少6元。

（3）令L?(q)?0，解得q?410（件），又L??(410)?? 0.6?0，所以當(dāng)銷售量q?410件時(shí)，獲利最大。

（二）彈性與彈性分析

1．彈性函數(shù)

在引入概念之前，我們先看一個(gè)例子：

有甲、乙兩種商品，它們的銷售單價(jià)分別為p1 = 12元，p2 = 1200元，如果甲、乙兩種商品的銷售單價(jià)都上漲10元，從價(jià)格的絕對(duì)改變量來說，它們是完全一致的。但是，甲商品的上漲是人們不可接受的，而對(duì)乙商品來說，人們會(huì)顯得很平靜。

就其原因，就是相對(duì)改變量的問題。相比之下，甲商品的上漲幅度為83.33％，而乙商品的漲幅只有0.0083％，乙商品的漲幅人們自然不以為然。

在這一部分，我們將給出函數(shù)的相對(duì)變化率的概念，并進(jìn)一步討論它在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。

《微積分》（上冊(cè)）教案

定義 設(shè)f(x)在x0處可導(dǎo)，那么函數(shù)的相對(duì)改變量

?yf(x0??x)?f(x0)?與自變y0f(x0)?y?xy量的相對(duì)改變量的比值：0稱為函數(shù)y = f(x)從x0到x0??x之間弧彈性，令

?xx0x0?yy?x?0，0?xx0的極限稱為y = f(x)在x0的點(diǎn)彈性，一般就稱為彈性。并記為

EyExx?x0。即EyExx?x0?limx?yx0?f?(x0)0。

?x?0?xf(x)f(x0)0y = f(x)在任一點(diǎn)x的彈性記為：

EyEx?f?(x)x，并稱其為彈性函數(shù)。f(x)Ey?yEy?x??一般來說，因此函數(shù)的彈性反映了自變量相對(duì)改變量對(duì)相應(yīng)函數(shù)yExxEx值的相對(duì)改變量影響的靈敏程度。即

EyExx?x0表示當(dāng)自變量在點(diǎn)x?x0處變化1%時(shí)，函數(shù)f(x)近似地變化EyExx?x0%，在實(shí)際應(yīng)用問題中解釋彈性的具體意義時(shí)，略去“近似”二字。

例

4教材例3.32

2．需求彈性和供給彈性（1）需求彈性

定義

1設(shè)某種商品的需求量為Q，銷售價(jià)格為p，若需求函數(shù)為Q?f(p)在p0處可導(dǎo)，稱?QQ0為該商品在p0到p0??p兩點(diǎn)間的需求彈性，記為

?pp0?(p0,p0??p)?_?QQ0?Qp0??

?pp0?pQ0 101

《微積分》（上冊(cè)）教案

而極限lim?QQ0p0?Qp0稱為該商品在p0處的需求彈性，?lim??f'(p0)??p?0?pp?p?0?pQf(p0)00?QQ0p0。?f'(p0)??p?0?ppf(p)00'記為?p?p0?lim一般地，若需求函數(shù)Q?f(p)可導(dǎo)，任意一點(diǎn)的需求彈性為：f(p)?需求彈性函數(shù)，記為

p，稱其為f(p)??f'(p)?p f(p)注意：一般情況下，Q?f(p)是減函數(shù)，價(jià)格高了，需求量反而會(huì)降低，為此??0。

另外，?Q?p，其經(jīng)濟(jì)解釋為：在銷售價(jià)格為p的基礎(chǔ)上，價(jià)格上漲1％，相應(yīng)的需??Qp求量將下降?％。

例

5教材例3.33

（2）供給彈性

定義

2設(shè)某種商品的供給量為Q，供給價(jià)格為p，若供給函數(shù)為Q??(p)在p0處可導(dǎo)，稱?QQ0為該商品在p0到p0??p兩點(diǎn)間的供給彈性，記為

?pp0?(p0,p0??p)?_?QQ0?Qp0??

?pp0?pQ0而極限lim?QQ0p0?Qp0?lim???'(p0)?稱為該商品在p0處的供給彈性，?p?0?pp?p?0?pQf(p0)00?QQ0p0??'(p0)?。

?p?0?ppf(p)00'記為?p?p0?lim一般地，若供給函數(shù)Q??(p)可導(dǎo)，任意一點(diǎn)的供給彈性為：?(p)?供給彈性函數(shù)，記為

p，稱其為f(p)???'(p)?

p f(p)《微積分》（上冊(cè)）教案

注意：一般情況下，供給函數(shù)Q?f(p)是增函數(shù)，價(jià)格高了，供給量會(huì)增加，為此??0。

另外，?Q?p，其經(jīng)濟(jì)解釋為：在供給價(jià)格為p的基礎(chǔ)上，價(jià)格上漲1％，相應(yīng)的供??Qp給量將增加?％。

（3）用需求彈性分析總收益的變化

在商品經(jīng)濟(jì)中，經(jīng)營者關(guān)心的是提價(jià)（?p?0）或降價(jià)（?p?0）對(duì)總收益的影響。而根據(jù)我們需求彈性的概念，可以分析出價(jià)格變動(dòng)是如何影響銷售收益的。具體分析為： 根據(jù)前面的知識(shí)可知：總收益R是商品價(jià)格p與銷售量Q的乘積，即R=Qp。又因?yàn)樾枨髲椥詾??Q(p)?'pdQp??。所以pdQ??Qdp。QdpQ根據(jù)函數(shù)的微分知，當(dāng)價(jià)格p變化很小的時(shí)候，收益的改變量

?R??(Qp)?d(Qp)?Qdp?pdQ?Qdp??Qdp?(1??)Qdp

即?R?(1??)Qdp?(1??)Q?p。

由此，我們給出三類商品的經(jīng)濟(jì)分析：（1）富有彈性商品

若|?|?1，則稱該商品為富有彈性商品。

對(duì)于富有彈性商品，適當(dāng)降價(jià)會(huì)增加總收入。如果價(jià)格下降10％，總收入將相對(duì)增加10(|?|?1)％。

富有彈性商品也稱為價(jià)格的敏感商品，價(jià)格的微小變化，會(huì)造成需求量較大幅度的變化。（2）單位彈性商品

若??1，則稱該商品為具有單位彈性的商品。

單位彈性的商品，對(duì)價(jià)格作微小的調(diào)整，并不影響總收入。（3）缺乏彈性商品

若|?|?1，則稱該商品為缺乏彈性商品。

對(duì)于缺乏彈性商品，適當(dāng)漲價(jià)會(huì)增加總收入。如果價(jià)格上漲10％，總收入將相對(duì)增加10(1?|?|)％。

例6

教材例3.34 例7 設(shè)某商品的需求價(jià)格函數(shù)為：q?1.5e并進(jìn)一步做出相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)解釋。

? p5，求銷售價(jià)格p?9時(shí)的需求價(jià)格彈性，103

《微積分》（上冊(cè)）教案

解 Eqpp?9?? 0.3e? p5p1.5e? p5p?9?? 1.8，由于Eqp|p?9?1.8?1，這是一種富有彈性的商品，價(jià)格的變化對(duì)需求量有較大的影響，在p?9的基礎(chǔ)上，價(jià)格上漲10％，需求量將下降18％，總收入下降8％，當(dāng)然價(jià)格下降10％，需求量將上升18％，總收入上升8％。通過以上分析，價(jià)格p?9時(shí)應(yīng)當(dāng)作出適當(dāng)降價(jià)的決策。

二、微分的應(yīng)用

設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處可微。則根據(jù)微分的定義有近似公式：

?y?f(x0??x)?f(x0)?f'(x0)?x

（1）

或

f(x0??x)?f(x0)?f'(x0)?x

（2）

并且，近似公式（1）通常用來計(jì)算函數(shù)的改變量?y的近似值，常用于誤差估計(jì)；近似公式（2）常用于計(jì)算函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0附近的近似值f(x0??x)。下面我們就分別來介紹兩個(gè)近似公式的應(yīng)用。

1．近似計(jì)算

在近似計(jì)算某點(diǎn)處的近似值時(shí)，對(duì)近似公式（2）常作如下的變換：令x0=0，?x?x，得到如下更簡單的近似公式：當(dāng)x很小時(shí)，有

f(x)?f(0)?f'(0)x

例8 教材例3.35 例9 教材例3.36 例10 教材例3.37 例11 教材例3.38

2．誤差估計(jì)

（1）絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差

設(shè)函數(shù)y?f(x)可微，若自變量經(jīng)過測(cè)量而得到的近似值為x，它與自變量實(shí)際值得誤差估計(jì)為?x，那么由x確定的函數(shù)值的近似值y與實(shí)際值的誤差可相應(yīng)地估計(jì)為

?y?f(x??x)?f(x)，104

《微積分》（上冊(cè)）教案

則稱?x與?y分別為自變量x與函數(shù)y的絕對(duì)誤差，稱數(shù)y的相對(duì)誤差

關(guān)于絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差有幾點(diǎn)說明：

?y?x與分別為自變量x與函

yx1）絕對(duì)誤差不足以說明近似程度的好壞，只有相對(duì)誤差才能較準(zhǔn)確地說明近似地精確度。

2）實(shí)際中，由于很難得知?x的精確值，所以實(shí)際計(jì)算中總是估計(jì)自變量的最大絕對(duì)誤差為?x，即?x

?y?dy?f'(x)??x?f'(x)??x。

因此，在用x的實(shí)際測(cè)量值算出的近似值f(x)來代替準(zhǔn)取值f(x??x)時(shí)，可用f(x)??x'f'(x)??x作為最大相對(duì)誤差。因此，若記函數(shù)作為近似值y?f(x)的最大絕對(duì)誤差；用

f(x)y?f(x)的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差分別別為：?y與

?y，則有 yf'(x)??x。?y?f(x)??x，?yf(x)'?y（2）應(yīng)用舉例 例12 教材例3.39

課堂小結(jié)

1.導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

（1）邊際與邊際分析：邊際成本、邊際收益、邊際利潤

（2）彈性與彈性分析：需求彈性、供給彈性 2.微分的應(yīng)用

（1）近似計(jì)算

（2）誤差估計(jì)

第三篇：高等數(shù)學(xué)考研大總結(jié)之四導(dǎo)數(shù)與微分

第四章

導(dǎo)數(shù)與微分 第一講

導(dǎo)數(shù) 一，導(dǎo)數(shù)的定義：

1函數(shù)在某一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)：設(shè)y?f?x? 在某個(gè)U?x0,??內(nèi)有定義,如果極限limf?x0??x??f?x0?f?x0??x??f?x0?(其中稱為函數(shù)f?x?在(x0,x0+?x)上的平均?x?x?x?0變化率(或差商)稱此極限值為函數(shù)f?x?在x0處的變化率)存在則稱函數(shù)f?x?在x0點(diǎn)可導(dǎo).并稱該極限值為f?x?在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)記為f/?x0?,若記?x?x?x0,?y?f?x??f?x0?則f?x??f?x0??ylim/x?x0=f?x0?=?x

x?x0?x?0lim解析：⑴導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)無窮小的比。即：函數(shù)相對(duì)于自變量變化快慢的程度,其絕對(duì)值越大,則函數(shù)在該點(diǎn)附近變化的速度越快。

⑵導(dǎo)數(shù)就是平均變化率(或差商)的極限,常用記法: f/?x0?,y/x?x0,dydxx?x0。

⑶函數(shù)f?x?在某一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)f?x?在點(diǎn)x0處函數(shù)的性質(zhì)。

⑷導(dǎo)數(shù)定義給出了求函數(shù)f?x?在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的具體方法,即：①對(duì)于點(diǎn)x0處的自變量增量?x,求出函數(shù)的增量（差分）?y=f?x0??x??f?x0?②求函數(shù)增量?y與自變量增

?y?ylim量?x之比③求極限?x若存在,則極限值就是函數(shù)f?x?在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),若極限不?x?x?0存在,則稱函數(shù)f?x?在x0處不可導(dǎo)。

⑸在求極限的過程中, x0是常數(shù), ?x是變量, 求出的極限值一般依賴于x0

⑹導(dǎo)數(shù)是由極限定義的但兩者仍有不同，我們稱當(dāng)極限值為?時(shí)通常叫做極限不存在，而導(dǎo)數(shù)則不同，因其具有實(shí)在的幾何意義，故當(dāng)在某點(diǎn)處左，右導(dǎo)數(shù)存在且為同一個(gè)廣義實(shí)數(shù)值時(shí)我們稱函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)。實(shí)質(zhì)是給導(dǎo)數(shù)的定義做了一個(gè)推廣。

⑺注意: 若函數(shù)f?x?在點(diǎn)x0處無定義,則函數(shù)在x0點(diǎn)處必?zé)o導(dǎo)數(shù),但若函數(shù)在點(diǎn)x0處有定義,則函數(shù)在點(diǎn)x0處未必可導(dǎo)。單側(cè)導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)f?x?在某個(gè)?x0??,x0?（或?x0,x0???）有定義，并且極限

第1頁 limf?x0??x??f?x0?f?x0??x??f?x?lim（或）存在，則稱其極限值為f?x?在x0點(diǎn)?x?x?x?0??x?0?/的左（右）導(dǎo)數(shù)，記為：f統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。

。左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)?x0?0?或f?/?x0?（或f/?x0?0?,f?/?x0?）函數(shù)在某一點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)的充要條件：左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)存在且相等。函數(shù)在某一區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)：⑴在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)：如果函數(shù)f?x?在開區(qū)間?a,b?內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則說f?x?在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（描述性）。⑵在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)：如果函數(shù)f?x?在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)且f?/?a?,f?/?b?存在則說函數(shù)f?x?在?a,b?上可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)f?x?在區(qū)間I上可導(dǎo)，則對(duì)于任意一個(gè)x?I都對(duì)應(yīng)著唯一一個(gè)（極

?x?，這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，稱為函數(shù)y?f?x?的導(dǎo)dydf?x?//函數(shù)。記為：f?x?或或或y，由此可知函數(shù)f?x?某一點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)是在限的唯一性）確定的導(dǎo)數(shù)值f/dxdx0點(diǎn)x0處的導(dǎo)函數(shù)值。解析：（1）區(qū)別f//而?f?x0???x0?與?f?x0??/：f/?x0?表示函數(shù)f?x?在點(diǎn)x0處的導(dǎo)函數(shù)值，表示對(duì)函數(shù)值f?x0?這個(gè)常數(shù)求導(dǎo)，其結(jié)果為零。

（2）與在某一區(qū)間可導(dǎo)的關(guān)系：在某一區(qū)間可導(dǎo)就是在該區(qū)間上存在導(dǎo)函數(shù)?？蓪?dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。二，導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 當(dāng)y=f?x?表示一條曲線時(shí),則f/?x?表示曲線在?x,y?點(diǎn)的切線的斜率，f/?x?的正和負(fù)分

/別表示曲線在該點(diǎn)是上升還是下降.f?x?的大小則表示曲線在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)起伏的程度，f/f/?x?越小說明曲線在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)近似水平,反之

?x?越大說明曲線在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)越陡,起伏明顯。

解析：⑴用曲線上某點(diǎn)和增量點(diǎn)連線的割線的斜率的極限來表達(dá)曲線在某點(diǎn)的斜率。

⑵過曲線y=f?x?上的點(diǎn)(x0,y0)的方程:①切線方程y-y0=f②法線方程: y-y0=?/?x0?(x-x0).1?x?x0?(f/f?x0?/?x0?≠0)

⑶如果點(diǎn)P(A,B)在曲線y=f?x?外,那么過P點(diǎn)與曲線相切的切線有兩條。

第2頁 ⑷若f/?x0?=?說明函數(shù)f?x?的曲線在點(diǎn)x0處的切線與

x軸垂直。若f/?x0?=0則說明f?x?的曲線在點(diǎn)x0處的切線與x軸平行。

三，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

如果函數(shù)u?u?x?及v?v?x?都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù),那么其和差積商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)。

⑴?u?x??v?x???u/?x??v/?x? /⑵?u?x?v?x???u/?x?v?x??u?x?v/?x?

?ku?x???ku/?x? //?k?kv/?x??u?x??u?x?v?x??u?x?v?x?⑶??v?x??0?

????2?v?x??0? ??2v?x?v?x??v?x???v?x??////解析：和差積可推廣為有限項(xiàng)即：⑴?u1?x??u2?x????un?x??/?u1/?x??u2/?x????un/?x?

⑵?u1?x?u2?x??un?x??/u?x? ???u1?x?u2?x??un?x??kuk?x?k?1n//四，幾類函數(shù)的求導(dǎo)法則

1反函數(shù)的求導(dǎo)法則：如果函數(shù)x?f?y?在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)且fy=f?1?y??0則它的反函數(shù)

1f/?x?在區(qū)間Ix?xx?f?y?,y?Iy內(nèi)也可導(dǎo)，且f????1?x??/??y?或

dy1?即：dxdxdyｙ是ｘ的函數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。

解析：⑴f/?y??0且x?f?y?在點(diǎn)y處連續(xù)。

/⑵反函數(shù)求導(dǎo)法則的幾何意義：由于f?x?是函數(shù)f?x?的曲線上點(diǎn)x處的切線與x軸正向夾角?的正切。而反函數(shù)x?f?y?與y=f?x?在同一坐標(biāo)系中有相同的曲線，只不過反函數(shù)x?f?y?的自變量是y所以導(dǎo)數(shù)f/?y?就是y=f?x?曲線上x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)y處

/的同一條切線與y軸正向夾角?的正切，因此：f?y??1f/?x?即：tan??1（?，tan??之和為?）22 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)角髮?dǎo)）：如果u?g?x?在點(diǎn)x可導(dǎo)，而y=f?u?在點(diǎn)u?g?x?

第3頁 可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y?f?g?x??在點(diǎn)x可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為：dydydudy??f/?u?g/?x?或。dxdudxdx解析：⑴復(fù)合函數(shù)整體在某點(diǎn)是否可導(dǎo)與u?g?x?和g?x?在某點(diǎn)是否可導(dǎo)無關(guān)。

⑵逐層分解為簡單函數(shù)在求導(dǎo)，不重，不漏。隱函數(shù)求導(dǎo)法則：對(duì)方程F?x,y??0所確定的隱函數(shù)求導(dǎo)，要把方程F?x,y??0的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)即可。在求導(dǎo)過程中應(yīng)注意y是x的函數(shù)，所以在對(duì)y或y的函數(shù)求導(dǎo)時(shí)應(yīng)理解為復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。參數(shù)方程求導(dǎo)法則：由參數(shù)方程??x???t????t???所確定的ｙ與ｘ的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：

?y???t??/?t?f?x??/。??t?/dydf/?x??//?t??/?t???/?t??//?t?//?yx2??解析：注意理解y?。3/dtdt??t?dxdxdtdt/??5 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則：是求冪指數(shù)y?f??x??x?型導(dǎo)數(shù)的有效方法即：對(duì)函數(shù)y?f??x??x?的兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，然后根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)將作為指數(shù)的函數(shù)??x?化為與lnf?x?相乘的一個(gè)因子，再利用上述方法求導(dǎo)。兩個(gè)結(jié)論：⑴可微分的周期函數(shù)其導(dǎo)數(shù)仍為具有相同周期的周期函數(shù)。

⑵可微分的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，而可微分的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)。這個(gè)事實(shí)說明：凡對(duì)稱于y軸的圖形其對(duì)稱點(diǎn)的切線也關(guān)于y軸對(duì)稱。凡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形，其對(duì)稱點(diǎn)的切線互相平行。五，常見函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) ⑴c?0（ｃ為常數(shù)）⑵xa⑹?lnx??//??/?axa?1⑶ax??/?lna?ax⑷ex??/x???ex⑸?loga/1 xlna11///2⑺?sinx??cosx⑻?cosx???sinx⑼?tanx??secx? xcos2x1///2⑽?cotx???cscx??⑾⑿????secx?secxtanxcscx??cscxcotx

sin2x⒀?arcsinx??//11?x2⒁?arccosx???/11?x2⒂?arctanx??/1 21?x⒃?arccotx???/211///2??thx?sechx?⒄⒅⒆ ????shx?chxchx?shx1?x2ch2x1/??arcshx?（21）sh2x⒇?cthx??cschx?1x?12（22）?archx??/1x?12

第4頁（23）?arcthx??/1

1?x2六，高階導(dǎo)數(shù) 設(shè)f/并且f/?x?也在I上可導(dǎo)，則稱f?x?在I上二階可導(dǎo)，?x?是函數(shù)f?x?在I上的導(dǎo)數(shù)，//并稱f?x?的導(dǎo)函數(shù)是f?x?在I上二階導(dǎo)數(shù)，記為：f//?x?或f?2??x?，一般地，設(shè)f?n?1??x??n?2?是f?x?在區(qū)間I上的?n?1?階導(dǎo)函數(shù)并且f?n?1??x?也在I上可導(dǎo)則稱f?x?在I上ｎ階可導(dǎo)，并稱f?n?1??x?的導(dǎo)函數(shù)是f?x?在區(qū)間I上的ｎ階導(dǎo)函數(shù)記為：f?n?dny?x?當(dāng)函數(shù)由y?f?x?給出時(shí)f?x?的ｎ階導(dǎo)數(shù)也可表示為：y,n,f?n??x?。若在dx?n??n?x0點(diǎn)的ｎ階導(dǎo)數(shù)常記為：fdnydnf?x??x0?,yx?x0,nx?x0,xx?x0。dxdxn解析：⑴規(guī)定函數(shù)f?x?的零階導(dǎo)數(shù)為函數(shù)f?x?的本身。

⑵該定義的給出具有數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì)，因此在求某一函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)常用數(shù)學(xué)歸納法。

⑶f?x?的ｎ階導(dǎo)數(shù)是由f?x?的?n?1?階再一階導(dǎo)而求得，所以其具有逐階刻畫的性質(zhì)。

⑷高階導(dǎo)數(shù)的常用求法：萊布尼茨(Leibniz)公式：?uv??n?k?n?k??k?(u,v??a,b?上的ｎ階連續(xù)函數(shù)）其展開式為：??Cnuvk?0n1?n?1?/2?n?2?//u?n?v?Cnuv?Cnuv???uv?n?。

七，常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) ⑴?C?⑶ax?n?n?0（Ｃ為常數(shù)）⑵xanxkxn?????a?a?1??a?2???a?n?1?xnnkxa?n

nx??????lna?a⑷?a?????klna?ax⑸ekx?????knnkxe⑹ex?????e

⑺loga???????1??nn?1??n?1?!lna?xn⑻?lnx??n????1??n?1??n?1?!⑼?sinx??n??sin?x?n??

xn???2?⑽

n???sinkx??n??knsin??kx???2?設(shè)

⑾

n???cosx??n??cos??x???2? ⑿

n???coskx??n??kncos?kx????2?⒀

y?ekxg?x?且

y/?aekxg?x?b?則有

第5頁 y?n??anekxg?x?nb?⒁設(shè)

y?ekxg?x?且

y/?kekx?g?x?b??c?則有y?n??knekx?g?x?nb??nc?（⒀，⒁用同一函數(shù)的思想求ｂ，ｃ）⒂?e?eaxsin?bx?c???n??n??a?b?2n22?eaxsin?bx?c?n??eaxcos?bx?c?n??（其

中axcos?bx?c???a?b?2n22?sin??ba?b22,cos??aa?b22）

第二講 微分 一，微分的定義

設(shè)f?x?在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域U?x0,??中有定義如果存在常數(shù)

A使f?x0??x??f?x0??A?x????x?,??x???則稱函數(shù)f?x?在x0點(diǎn)可微，并稱A?x為f?x?在點(diǎn)x0處的微分，記為：dyx?x0,df?x?x?x0,df?x0?其中稱A?x為函數(shù)增量?y的線性主部。

解析：⑴給出了求函數(shù)值的改變量的近似計(jì)算方法（極限的無窮小判別法），簡單地反映了函數(shù)增量與自變量增量的關(guān)系即：線性關(guān)系。這是一種局部線性逼近的思想。

⑵令函數(shù)y?x則dy?dx這表明自變量的微分dx就是它的增量?x。

⑶導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系：函數(shù)f?x?在點(diǎn)ｘ處可微的充要條件是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，并且有dy?f/，所以導(dǎo)數(shù)稱為微商。?x?dx（一種常見求微分的方法）

/ ⑷ 函數(shù)f?x?的微分是關(guān)于?x的線性函數(shù)，A?x（其中A?f導(dǎo)數(shù)與?x無關(guān)。

二，導(dǎo)數(shù)與微分幾何意義的比較 三，微分的四則運(yùn)算法則

設(shè)u?u?x?,v?v?x?均可微分則有：⑴d?u?v??du?dv

?x?）且函數(shù)f?x?的⑵d?uv??udv?vdu

d?ku??kdu（ｋ為常數(shù)）⑶d????u??v?vdu?udv 2vkdv?k?d????2（ｋ為常數(shù)）

v?v?四，復(fù)合函數(shù)一階微分形式的不變性

設(shè)函數(shù)y?f?u?，u?g?x?均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y?f?g?x??的導(dǎo)數(shù)為y?f//?g?x??g/?x?

第6頁 故其微分為：dy?f上式為：dy?f//?g?x??g/?x?dx注意f/?g?x???f/?u?，g/?x?dx?dg?x??du因此?u?du，無論ｕ是自變量還是中間變量都保持形式的不變性。

解析：第一類積分換元法（湊微分）的理論基礎(chǔ)。五，微分的近似計(jì)算及誤差估計(jì) 微分的近似計(jì)算：若函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0處可微，則當(dāng)?x?x?x0很小時(shí)，可用微分dy近似代替增量

?y即：f?x??f?x0??f/?x0??x?x0??f?x??f?x0??f/?x0??x?x0?。

解析：⑴用微分進(jìn)行近似計(jì)算的實(shí)質(zhì)就是在微小局部將給定的函數(shù)線性化，將復(fù)雜函數(shù)簡單化，從幾何意義角度看就是用曲線y?f?x?在點(diǎn)?x0,f?x0??處的切線來近似代替該曲線（達(dá)到化曲為直的目的）。另一種理解就是尋求其等價(jià)無窮小量。

⑵用函數(shù)微分dy?f/①dx不一定是無窮小量但應(yīng)比較?x?dx近似計(jì)算?y時(shí)要注意：小。②dx應(yīng)是一個(gè)不依賴于ｘ的增量。

⑶一般利用微分解決四個(gè)方面的問題：①計(jì)算函數(shù)增量?y的近似值即：?y?dy?f/?x?dx②計(jì)算函數(shù)的近似值即：f?x??x??f?x??f/?x?dx③求方程的近似

/解即：f?a??x??f?a??f?a??x④按照誤差的精度要求進(jìn)行近似計(jì)算。微分在誤差估計(jì)中的實(shí)際應(yīng)用：設(shè)某量的測(cè)量值為ａ，精確值為A如果A?a??則正數(shù)?稱為測(cè)量的絕對(duì)誤差。

??稱為測(cè)量的相對(duì)誤差，而在實(shí)際應(yīng)用中相對(duì)誤差多用來計(jì)

aA算。

解析：分清精確值與測(cè)量值。六，高階微分

由于對(duì)自變量x來說dx=?x與x無關(guān)，因此可微函數(shù)y?f?x?的微分dy?f/?x?dx仍是x的函數(shù)這樣若dy還可微，則把它的微分d?dy??d?f/?x?dx??f//?x??dx?2叫做函數(shù)y?f?x?的二階微分，并將d?dy?記作：d2y，把?dx?2記作：dx2，于是二階微分為d2y?f//?x?dx2由此可以更一般地若y?f?x?的?n?1?階微分d?n?1?y?f?n?1??x?dxn?1仍可微，則把它的微分：dy?fn?n?這時(shí)稱函數(shù)y?f?x??x?dxn叫做y?f?x?的ｎ階微分，ｎ階可微，二階與二階以上的微分稱為高階微分。

第7頁 解析：⑴其描述過程具有數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì)，所以求解高階微分的一般方法為數(shù)學(xué)歸納法。

⑵高階微分沒有微分形式不變性。第三講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

一，函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)y?f?x?在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)⑴如果在?a,b?內(nèi)f/?x??0那么函數(shù)y?f?x?在?a,b?上單調(diào)增加⑵如果在?a,b?內(nèi)f/?x??0那么函數(shù)y?f?x?在?a,b?上單調(diào)減少。

解析：⑴區(qū)間?a,b?具有任意性，無論開閉還是有窮，無窮均可。

⑵若在?a,b?內(nèi)f/?x??0則嚴(yán)格單增，若在?a,b?內(nèi)f/?x??0則嚴(yán)格單減。

⑶在該定理中我們研究的是導(dǎo)函數(shù)值域的性質(zhì)，并不是某一點(diǎn)導(dǎo)函數(shù)值的性質(zhì)，而是區(qū)間上任意點(diǎn)導(dǎo)函數(shù)值的性質(zhì)。

⑷此定理為充要條件，所以結(jié)合定義域可求出某函數(shù)的單調(diào)增（減）區(qū)間，與此同時(shí)一定要針對(duì)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間去談函數(shù)的單調(diào)性。

⑸幾何意義：由函數(shù)y?f?x?的導(dǎo)數(shù)f/?x?的正負(fù)來判斷曲線的升降，進(jìn)而判斷其單調(diào)性。

⑹該定理具有逐層描述的特性，即：二階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定一階導(dǎo)函數(shù)的增減性，可推廣到ｎ階。二，函數(shù)的極值

1函數(shù)極值的定義：設(shè)函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于其去心鄰域內(nèi)的任一ｘ有f?x??f?x0?（f?x??f?x0?）則稱f?x0?是函數(shù)y?f?x?的一個(gè)極大值（或極小值）函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。解析：⑴在研究函數(shù)在點(diǎn)x0處的極值時(shí)，一般要求函數(shù)是連續(xù)函數(shù)即：應(yīng)考察函數(shù)在點(diǎn)x0及其附近是否有定義。

⑵極值是一個(gè)局部性定義，它只與一點(diǎn)及其附近的函數(shù)值有關(guān)，而與整個(gè)定義域或定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的一切函數(shù)值無關(guān)，因此對(duì)于同一個(gè)函數(shù)來說在一點(diǎn)的極大值也可能小于另一點(diǎn)的極小值。在一個(gè)區(qū)間內(nèi)可能取得多個(gè)極值。（極值與最值的區(qū)別）

⑶極值點(diǎn)處函數(shù)曲線的切線平行于ｘ軸，即：導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)（或稱穩(wěn)定點(diǎn)，臨界點(diǎn)，駐點(diǎn)）不一定是極值點(diǎn)。換句話說，費(fèi)馬(Fermat)引理只是可導(dǎo)函數(shù)極值的必要條件。

⑷函數(shù)極值與方程根的個(gè)數(shù)有一定的關(guān)系。常用兩種極值的判別法（兩個(gè)充分條件）：⑴第一判別法：設(shè)函數(shù)f?x?在x0連續(xù)在U0?x0,??上可導(dǎo)①若當(dāng)x??x0??,x0?時(shí)f/?x??0，當(dāng)x??x0,x0???時(shí)f/?x??0則f?x?在x0取得極大值②若當(dāng)x??x0??,x0?時(shí)f/?x??0，當(dāng)x??x0,x0???時(shí)

第8頁 f/?x??0則f?x?在x0取得極小值。

解析：⑴反映了單調(diào)性與極值的關(guān)系。

⑵按此法求極值的步驟：①確定函數(shù)f?x?的定義域。②求函數(shù)f?x?的導(dǎo)數(shù)f③令f//?x?。?x??0求出函數(shù)f?x?的所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)。④檢查f/?x?在各駐點(diǎn)附近左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)則f?x?在這個(gè)駐點(diǎn)取得極大值，如果左負(fù)右正則f?x?在這個(gè)駐點(diǎn)取得極小值，如果左右同號(hào)，那么函數(shù)f?x?在這個(gè)駐點(diǎn)不取得極值。⑤求出函數(shù)在所有極值點(diǎn)的函數(shù)值就得到函數(shù)f?x?的各極值。

⑵第二判別法：設(shè)函數(shù)f?x?在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f/?x0??0,f//?x0??0那么①當(dāng)f//?x0??0時(shí)函數(shù)f?x?在x0處取得極大值②當(dāng)f//?x0??0時(shí)函數(shù)f?x?在x0處取得極小值。

解析：⑴其與函數(shù)的凸凹性是統(tǒng)一的。

⑵有時(shí)多用第一，二判別法綜合起來使用。

⑶按此法求極值的步驟：①確定函數(shù)f?x?的定義域且函數(shù)f?x?在定義域內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)②求函數(shù)f?x?的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)③令f/?x??0求出函數(shù)f?x?的所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)④計(jì)算各駐點(diǎn)（有不可導(dǎo)點(diǎn)時(shí)用列表法）的二階導(dǎo)數(shù)值，若二階導(dǎo)數(shù)值為正則函數(shù)在該．．點(diǎn)取得極小值，若二階導(dǎo)數(shù)值為負(fù)則函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值。若二階導(dǎo)數(shù)值為0則此法失效。⑤求出函數(shù)在所有極值點(diǎn)的函數(shù)值就得到函數(shù)f?x?的各極值。

⑶定理推廣：若函數(shù)f?x?在U?x0,??上至少存在n?2階導(dǎo)數(shù)且f/?x0??f//?x0????f?n?1??x0??0而f?n??x0??0則⑴ｎ為奇數(shù)則函數(shù)f?x?在x0不取得極值。⑵ｎ為偶數(shù)f?n??x0??0則函數(shù)f?x?在x0取得極大值；ｎ為偶數(shù)f?n??x0??0則f?x?在x0取得極小值。

解析：上述等式可用高階泰勒(Taylor)公式證明。三，函數(shù)的最值

1函數(shù)的最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系：⑴從研究范圍看函數(shù)的極值是局部性的，它只與某一點(diǎn)及其附近的函數(shù)值有關(guān)，因此對(duì)于整個(gè)區(qū)間來說可能存在多個(gè)極值而函數(shù)的最值則不然，它與閉區(qū)間?a,b?上的任意一點(diǎn)的函數(shù)值有關(guān)是對(duì)整個(gè)區(qū)間來說的，因此是唯一的。⑵最值與極值沒有必然的聯(lián)系即：如果在區(qū)間?a,b?內(nèi)部取得函數(shù)的最值，它不一定是極值。同理取

第9頁 得函數(shù)的極值，它不一定是最值。并且最大值不一定比極小值大。⑶求函數(shù)在某點(diǎn)的極值時(shí)僅把該點(diǎn)的函數(shù)值與該點(diǎn)附近的左右函數(shù)值相比較，而求函數(shù)在閉區(qū)間?a,b?上的最值時(shí)，需要與開區(qū)間?a,b?內(nèi)的所有函數(shù)值比較并且還要與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較。2 求閉區(qū)間?a,b?上函數(shù)最值的步驟：⑴求函數(shù)f?x?的導(dǎo)數(shù)f/?x?。⑵令f/?x??0求出函數(shù)f?x?在開區(qū)間?a,b?內(nèi)的所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)。⑶求出開區(qū)間?a,b?內(nèi)的所有可能的極值（包括駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)處的值）和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f?a?,f?b?。⑷比較上述所有函數(shù)值，選出最大者為函數(shù)f?x?在?a,b?上的最大值，最小者為函數(shù)f?x?在?a,b?上的最小值。3 最值在實(shí)際問題（最優(yōu)化問題）中的應(yīng)用：⑴分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即：列出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)?f?x?。⑵確定ｘ和ｙ的變化范圍，并求出ｘ變化范圍內(nèi)的各駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)。⑶求出ｘ變化范圍的端點(diǎn)函數(shù)值。⑷比較函數(shù)各駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值和端點(diǎn)函數(shù)值，根據(jù)實(shí)際意義確定函數(shù)的最值。⑸在實(shí)際問題中由f/?x??0常常僅解到一個(gè)駐點(diǎn)，若能判斷函數(shù)的最值，在ｘ的變化區(qū)間內(nèi)部得到駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是所求的最值。四，函數(shù)的凸凹性與拐點(diǎn) 函數(shù)的凸凹性：設(shè)函數(shù)f?x?在區(qū)間上有定義，如果對(duì)任意的x1,x2?I且x1?x2及任意實(shí)數(shù)???0,1?總有f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2?則稱函數(shù)f?x?是I上的下凸函數(shù)，簡稱凸函數(shù)。若總有f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2?則稱函數(shù)f?x?是I上的下凹函數(shù)，簡稱凹函數(shù)。若不等式是嚴(yán)格不等式則稱函數(shù)f?x?在I上是嚴(yán)格凸函數(shù)或凹函數(shù)。

解析：⑴凸凹性是相對(duì)方向性定義，隨所選方向的不同而不同。

⑵實(shí)際上，在研究凸凹性時(shí)就是在相同的橫坐標(biāo)下，曲線上相異兩點(diǎn)連線的縱坐標(biāo)與相應(yīng)曲線縱坐標(biāo)的比較。為了研究的方便常取??1，這時(shí)其定義為：設(shè)函數(shù)f?x?在區(qū)間2上有定義，如果對(duì)任意的x1,x2?I且x1?x2，若有f??x1?x2?f?x1??f?x2?為該區(qū)??2?2?間上的下凸函數(shù)；若有f??x1?x2?f?x1??f?x2?為該區(qū)間上的下凹函數(shù)。??22?? ⑶琴生(Jensen)不等式：設(shè)函數(shù)f?x?是區(qū)間上的下凸函數(shù)，則對(duì)于任意的第10頁

?x?x2??xnx1,x2,x3?xn?I有不等式f?1n?函數(shù)

?f?x1??f?x2???f?xn?成立，反之若??n?函

數(shù)，那

么

有

不

等

式f?x?是區(qū)間上的下凹?x?x2??xn?f?x1??f?x2???f?xn?對(duì)于上述兩式當(dāng)且僅當(dāng)x1?x2???xnf?1??nn??時(shí)取等號(hào)。

解析：此不等式是一些重要不等式的基礎(chǔ)例如：①三角形不等式：?????2???xi2???yi2?????xiyi???i?1??i?1??i?1?rn12n12n12（ri?N*）②冪平均不等式：1nr1nr?1n??1n???ak???ak?r?1?；??ak???ak?1?r?③調(diào)和，幾何，算術(shù)平均值不nk?1nk?1?nk?1??nk?1?1n?n等式：?a?aa?R??iiin1ni?1i?1?i?1ainn??④柯西(Cauchy)不等式：?n?22xy?xy???iiii??xi,yi?0? i?1?i?1?⑵凸，凹函數(shù)的幾何解釋：嚴(yán)格下凸函數(shù)的圖象在任意一點(diǎn)處切線的上方，嚴(yán)格下凹函數(shù)的圖象在任意一點(diǎn)處切線的下方。函數(shù)凸凹性的判斷：設(shè)函數(shù)y?f?x?在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么⑴若在?a,b?內(nèi)f//n2?x??0則f?x?在?a,b?上的圖形是嚴(yán)格下凸的。⑵若在?a,b?內(nèi)f//?x??0則f?x?在?a,b?上的圖形是嚴(yán)格下凹的。

解析：由于二階導(dǎo)數(shù)可以用來刻畫一階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，故得到兩點(diǎn)結(jié)論：⑴f?x?在?a,b?上連續(xù)在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，若有對(duì)于任意的x0??a,b?使得有：f?x??f?x0??f/?x0??x?x0??a?x0?b?成立則稱f?x?為?a,b?上的下凸函數(shù)，若有對(duì)于任意的x0??a,b?使得有：f?x??f?x0??f/?x0??x?x0??a?x0?b?成立則稱f?x?為?a,b?上的下凹函數(shù)。⑵反映了過曲線上任意一點(diǎn)切線斜率的變化趨勢(shì)。拐點(diǎn)：使連續(xù)曲線y?f?x?在經(jīng)過點(diǎn)?x0,f?x0??時(shí)其凸凹性發(fā)生改變的點(diǎn)?x0,f?x0??稱為曲線的拐點(diǎn)。

第11頁 解析：⑴拐點(diǎn)的性質(zhì)：若函數(shù)f?x?在U?x0,??上存在二階導(dǎo)數(shù)且點(diǎn)?x0,f?x0??是函數(shù)y?f?x?的拐點(diǎn)那么f//?x0??0。

⑵求函數(shù)拐點(diǎn)的步驟：①求f//?x?②令f//?x??0解出這個(gè)方程在區(qū)間Ｉ內(nèi)的實(shí)根并求出在區(qū)間Ｉ內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)③判斷符號(hào)：對(duì)②中所求的的每一個(gè)實(shí)根或二階不可導(dǎo)的點(diǎn)，根據(jù)f//?x?進(jìn)行左右鄰近兩側(cè)的符號(hào)判斷若兩側(cè)異號(hào)則是拐點(diǎn)，同號(hào)則不是拐點(diǎn)。

五，函數(shù)凸凹性（拐點(diǎn)）與單調(diào)性（極值）的比較 對(duì)于連續(xù)函數(shù)我們通常用一階導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，而用二階導(dǎo)數(shù)來確定凸凹性。根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)鄰近兩側(cè)單調(diào)性的不同從而確定其點(diǎn)為極值點(diǎn)，而根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)鄰近兩側(cè)凸凹性的不同從而確定其點(diǎn)為拐點(diǎn)。但二者統(tǒng)一于二階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)函數(shù)是下凸函數(shù)取得極小值；當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)函數(shù)是下凹函數(shù)取得極大值。（如果存在極值的話）六，曲線的漸近線 定義：設(shè)曲線f?x?上的動(dòng)點(diǎn)P沿曲線無限的遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P與某一直線L之間的距離趨于0，則稱直線L是曲線f?x?的漸近線。（體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的辯證法思想）分類：⑴垂（鉛）直漸近線：若

limf?x???x?x0??（或當(dāng)x?x0）則x?x0是曲線,x?x0f?x?的垂（鉛）直漸近線。

解析：確定x0點(diǎn)是關(guān)鍵，一般采用羅比塔(L’Hospital)法則或求其反函數(shù)且當(dāng)x??解出ｙ，ｙ即為x0。

⑵水平漸近線：若

limf?x??b則y?b就是曲線f?x?的水平漸近線。

x??f?x? ⑶斜漸近線：設(shè)曲線f?x?有斜漸近線y?kx?b那么ｋ=x，ｂ

x??lim=lim?f?x??kx? x??解析：判斷一個(gè)函數(shù)的漸近線時(shí)一般采取水平，垂直，斜漸近線的順序依次驗(yàn)證。七，函數(shù)圖象的描繪 ⑴確定函數(shù)的定義域。

⑵討論函數(shù)的奇偶性，周期性。

⑶確定函數(shù)的某些特殊點(diǎn)（如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)）。⑷確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值點(diǎn)，凸凹區(qū)間及拐點(diǎn)。

⑸求出漸近線（也可能不存在）列表綜合上述各情況描繪函數(shù)圖象。

第12頁 八，弧微分與曲率 弧微分：在L上取定一點(diǎn)A，作為度量弧長的基點(diǎn)，并規(guī)定x增大的方向?yàn)長的正向，?L設(shè)M?x,y?為上任意一點(diǎn)，并規(guī)定有向弧段AM的長為Ｓ，則Ｓ是Ｍ的橫坐標(biāo)x的函數(shù)，即：S?S?x?而且S?x?是x的單增函數(shù)，我們稱弧長函數(shù)S?x?的微分ds為弧微分，下面是三種形式弧微分計(jì)算公式：⑴普通方程：ds?1?y??dx⑵參數(shù)方程：

/2ds??/?t???/?t?dt⑶極坐標(biāo)方程：ds?r2?r/d?。

222解析：實(shí)際與積分的求弧長是統(tǒng)一的。

???2 曲率：⑴平均曲率：若記曲線弧AM的弧長為?s切線轉(zhuǎn)角為??則稱k?為曲線弧

?s的平均曲率。

????s?0A?MAM ⑵曲率：當(dāng)（即：）時(shí)如果的平均曲率k?的極限

?slim????limd?k?存在，則稱此極限的絕對(duì)值為曲線在點(diǎn)Ｍ處的曲率，記為：=。?s?sds?s?0?s?0解析：⑴曲率反映了曲線的彎曲程度，曲率是平均曲率的精確化，其描述曲線上每一點(diǎn)的彎曲程度（與導(dǎo)數(shù)定義的比較）

⑵曲率的計(jì)算：①普通方程：k?y//?1?y?3/22②參數(shù)方程：k??/?t??//?t???//?t??/?t???/2?t???/2?t??32。曲率圓與曲率半徑：設(shè)曲線y?f?x?在點(diǎn)Ｍ的曲率為k?k?0? 過Ｍ點(diǎn)作曲線的切線，1??，以C為圓心，以?為半徑作圓，則k稱此圓為曲線在點(diǎn)Ｍ處的曲率圓，C稱為曲率圓的中心，?稱為曲率半徑。并在曲線凹向一側(cè)的法線上取一點(diǎn)C使MC?解析：⑴在點(diǎn)Ｍ處，曲線與曲率圓具有關(guān)系：有共同的函數(shù)值，有共同的曲率，有共同的一，二階導(dǎo)數(shù)，有共同的切線，即曲率圓與曲線在Ｍ點(diǎn)相切（轉(zhuǎn)化的思想）。

⑵曲率半徑與曲率互為倒數(shù)，所以曲率半徑R??1?y?y//32/2。

⑶曲率中心的計(jì)算：設(shè)其中心坐標(biāo)為o??,??曲線的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M?x,y?，則

第13頁 2?y/1?y/???x?y//? ?/21?y???y??y//??? ⑷曲率圓方程由?x?????y????R2確定。

22曲線的漸屈線與漸伸線：當(dāng)點(diǎn)?x,f?x??沿曲線C移動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的曲率中心O的軌跡曲線G稱為曲線C的漸屈線，而曲線C稱為曲線G的漸伸線。所以漸屈線的參數(shù)方程為2?y/1?y/???x?y//?//////其中y?f?x?，y?f?x?，y?f?x?，ｘ為參數(shù)，直角坐標(biāo)系?21?y/????y?y//????o?與xoy重合（有時(shí)須坐標(biāo)平移）。

九，方程近似解的計(jì)算

在上一章中，我們介紹了二分法（根本思想）求方程近似解，下面結(jié)合本章我們?cè)俳榻B兩種求解方法： 弦位法：⑴定義：過曲線上A，B兩點(diǎn)作弦，則弦AB必與X軸有交點(diǎn)x1，我們就可把x1作為x0的一個(gè)近似值，為了達(dá)到規(guī)定的精度，我們還可以在?a,x1?內(nèi)作弦AB1，用弦AB1與X軸的交點(diǎn)x2作為x0的第二個(gè)近似值。顯然x2較x1更接近x0，如此依次作下去，我們就可以達(dá)到符合任意精度的x0的近似值，這種方法稱為弦位法。其思想核心是用直線段弦與X軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)逼近的方法近似表示曲線與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0。

⑵具體操作過程：在曲線上截取較短區(qū)間?a,b?，使?a,b?存在實(shí)根x0，這時(shí)連接兩端點(diǎn)A?a,f?a??,B?b,f?b??成弦AB，再求出AB與X軸的交點(diǎn)x1（且x1?a?b?af?a?）并根據(jù)具體的情況（單調(diào)性，凸凹性）選擇?a,x1?或?x1,b?之f?b??f?a?間選取一點(diǎn)C?c,f?c??再連AC或BC，如此依次作下去，直到達(dá)到規(guī)定的精度。2 切線法：⑴定義：過曲線f?x?上與f//?x?同號(hào)的那個(gè)端點(diǎn)作切線，則這切線與ｘ軸的交

/點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1就可作為x0的一個(gè)近似值，為了達(dá)到預(yù)定的精度，還可以在?x1,b?內(nèi)，過A

第14頁 點(diǎn)再作切線，并把這切線與ｘ軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x2作為x0的第二個(gè)近似值。顯然x2較x1更接近x0，如此做下去，就可以得到符合任何精度的x0的近似值，這種方法稱為切線法。其思想核心是用切線與ｘ軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)近似表示曲線與ｘ軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0。應(yīng)該注意的是，用切線法求近似值時(shí)必須在縱坐標(biāo)與f//?x?同號(hào)的那個(gè)端點(diǎn)作切線，如果把切線與f//?x?異號(hào)的那個(gè)端點(diǎn)，就不能保證切線與ｘ軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1比較接近于x0。另外，在實(shí)際計(jì)算中，常將弦位法與切線法綜合應(yīng)用，以求較快地得到符合規(guī)定精度的方程的近似解。⑵具體操作過程：我們只在縱坐標(biāo)與f//?x?同號(hào)的端點(diǎn)作切線，不妨設(shè)f?a?與f//?x?同號(hào)于是，區(qū)間?a,b?的左端點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)?a,f?a??作切線，并求其切線與ｘ軸的交點(diǎn)x1（x1=a?f?a?），并在?x1,b?內(nèi)取一點(diǎn)x2，再作切線，如此做下去直至達(dá)到規(guī)定的精度。

f/?a?3 弦位法與切線法的比較：應(yīng)用切線法求得同樣精度的近似值要比弦位法快一些。

第15頁

第四篇：大學(xué)課件-高等數(shù)學(xué)課件導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用

第二講

導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用

一、導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)和微分的定義

對(duì)于一元函數(shù)

對(duì)于多元函數(shù)

對(duì)于函數(shù)微分

注：注意左、右導(dǎo)數(shù)的定義和記號(hào)。

二、導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)和微分的計(jì)算：

1）能熟練運(yùn)用求導(dǎo)公式、運(yùn)算法則計(jì)算導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)和微分；

2）隱函數(shù)、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)

3）高階導(dǎo)數(shù)：特別要注意萊布尼茨公式的運(yùn)用。

例1：求函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù)。

解：，所以有

（1）

利用萊布尼茨公式對(duì)（1）兩邊求階導(dǎo)數(shù)得

當(dāng)時(shí)，由此可得

例2：求的階導(dǎo)數(shù)。

解：

設(shè)

其中，則有

注：計(jì)算時(shí)注意一階微分不變性的應(yīng)用。

4）方向?qū)?shù)與梯度

三、導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)及微分的應(yīng)用

1）達(dá)布定理：設(shè)在上可導(dǎo)，若則對(duì)介于的一切值，必有，使得。

證明：在上可導(dǎo)，則在上一定有最大值和最小值。

1、如果異號(hào)，無妨設(shè)，由于，由極

限的保號(hào)性，當(dāng)充分接近時(shí)有；當(dāng)充分接近時(shí)有，這就說明不可能是在上的最大值，所以一定存在，使得是在上的最大值，由費(fèi)馬

定理可得。

2、對(duì)于一般的的情形，設(shè)是介于的值，考慮函

數(shù)，則有異號(hào)，由前

面的證明可得，存在有，即。

2）羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理

其中，這里在與之間的某個(gè)值。

3）一元函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值

4）一元函數(shù)的凹凸性：

在區(qū)間上凹：和，若，則；

在區(qū)間上凸：和，若，則；

性質(zhì)：1、如果在區(qū)間上是凹的，則和，若，一定有；

2、如果在區(qū)間上是凸的，則和，若，一定有

證明：因?yàn)?/p>

其中，所以用數(shù)學(xué)歸納法可證明以上結(jié)論。

例3：證明：若，則有

證明：考慮函數(shù)，因?yàn)?/p>

所以時(shí)，是凹函數(shù)。因此對(duì)于由性質(zhì)有

5）多元函數(shù)幾何應(yīng)用

6）多元函數(shù)的極值：拉格朗日乘數(shù)法。

例4：設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)。又在上連續(xù)，證明：至少存在一點(diǎn)使得。

證明：因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在上存在原函數(shù)，即有。

考慮函數(shù)，則有，由羅爾中值定理可得至少存在一點(diǎn)使得

因此至少存在一點(diǎn)使得。

例5：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，（1）如果，證明：至少存在一點(diǎn)，使得。

（2）如果，且對(duì)一切有，證明：至少存在一點(diǎn)，使得。

證明：（1）如果函數(shù)在上是常數(shù)，則對(duì)于任意的都有。下面設(shè)不是常數(shù)，此種情形下存在使得，無妨設(shè)，取，因?yàn)椋源嬖?，?dāng)時(shí)有

因此我們有，由此我們可得在上的最大值不在端點(diǎn)取得，由最大值和最小值定理和費(fèi)馬定理至少存在一點(diǎn)使得

(2)因?yàn)?，由夾逼準(zhǔn)則得

考慮函數(shù)，則有在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，并且，由（1）的結(jié)論可得至少存在一點(diǎn)，使得。

例6：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可微，是個(gè)正數(shù)，且，證明：存在使得

證明：利用介值定理，存在使得，無妨我們?cè)O(shè)，對(duì)函數(shù)分別在以為端點(diǎn)區(qū)間上運(yùn)用拉格朗日中值定理可得，至少存在在之間使得

因此我們有

例7：設(shè)在上可導(dǎo)，證明：。

證明：1）設(shè)在內(nèi)的最大值為，則有

這就得到在上有，特別是；

2）設(shè)在上有，設(shè)設(shè)在內(nèi)的最大值為，則有

這就得到在上有，由數(shù)學(xué)歸納法可得在上有。同理可得在上有。

例8：設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，證明：存在，使得

證明：設(shè)，將在點(diǎn)處展成三階泰勒公式

當(dāng)時(shí)，（1）

當(dāng)時(shí)，(2)

得

因?yàn)樵诳蓪?dǎo)，且在之間，由達(dá)布定理可得，存在使得，此時(shí)即有

例9：設(shè)在上二階可導(dǎo)，證明：對(duì)于，存在使得

證明：構(gòu)造函數(shù)，則有，利用羅爾中值定理，存在有，再利用一次羅爾中值定，存在使得，又因?yàn)?/p>

由此可得

即有

例10：設(shè)函數(shù)在連續(xù)，在內(nèi)可微，且。證明：（1）存在使得；

（2）存在使得。

證明：（1）考慮函數(shù)，因?yàn)椋闪泓c(diǎn)定理，存在使得；

（2）考慮函數(shù)，因?yàn)?，由羅爾中值定理，存在使得，即有。

例11：設(shè)在上無窮次可微，并且滿足：存在，使得，；且，求證：在上。

四、練習(xí)題

1）求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)。

2）設(shè)在上有階導(dǎo)數(shù)，且，證明：存在，使得。

3）設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，且存在使得證明：存在，使得。

4）設(shè)在區(qū)間上三次可微，證明：存在，使得

5）設(shè)函數(shù)在上是導(dǎo)數(shù)連續(xù)的有界函數(shù)，證明：

五、

第五篇：大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 競賽訓(xùn)練 導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用訓(xùn)練

一、（15分）證明：多項(xiàng)式無實(shí)零點(diǎn)。

證明：用反證法證明，設(shè)存在實(shí)根，則此根一定是負(fù)實(shí)根（因?yàn)楫?dāng)時(shí)，）。假設(shè)，則有。因?yàn)?/p>

由此可得，但是，這是一個(gè)矛盾。所以多項(xiàng)式無實(shí)零點(diǎn)。

二、（20分）設(shè)函數(shù)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，證明：存在，使得

證明：設(shè)。對(duì)函數(shù)在區(qū)間上運(yùn)用拉格朗日中值定理可得，存在使得

再對(duì)函數(shù)在區(qū)間運(yùn)用拉格朗日中值定理，存在使得

由此可得

三、（20分）設(shè)是二階可微函數(shù)，滿足，且對(duì)任意的有

證明：當(dāng)時(shí)。

證明：因?yàn)椋O(shè)，則有

因此當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)。

四、（15分）設(shè)函數(shù)是可微函數(shù)，如果，證明：僅為的函數(shù)。

證明：考慮球面坐標(biāo)，其中，則有，因?yàn)?/p>

所以僅為的函數(shù)。

五、（15分）設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且。

證明：因?yàn)樵邳c(diǎn)處可導(dǎo)，所以

又因?yàn)?，所以，由此可?/p>

六、(15分)設(shè)函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且對(duì)任意的，都為正值，并且。

證明：任取數(shù)，構(gòu)造函數(shù)

因?yàn)?，并且只有，所?/p>

任取正數(shù)，則有

利用拉格拉日中值定理，存在使得，所以有

又因?yàn)?，所?/p>

當(dāng)時(shí)有，由的任意性可得對(duì)任給的有。

七、