第一篇：微分幾何期中考試
2009—2010年微分幾何期中考試試題
一、判斷題（10分）
1.在光滑曲線的正常點(diǎn)處，切線存在而且唯一。()
2.空間曲線的曲率與撓率完全確定了空間曲線的形狀。()
3.保角變換一定是等距變換。()
4.撓率是空間曲線的副法向量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度。（）
5.空間曲線穿過密切平面和從切平面,不穿過法平面。()
二、計(jì)算與證明題：
1．已知圓柱螺線的參數(shù)方程
(C):r={acost,asint,bt},t R
（1）求曲線C上任一點(diǎn)M的基本向量a,b,g。
（2）求曲線C上任一點(diǎn)M及A(a,0,0)點(diǎn)的切線和法平面及密切平面的一般方程。
（3）求曲線C的主法線曲面的參數(shù)方程和一般方程。
2．已知空間曲線(Viniani曲線)：
222ì?x+y+z=1(C):?í22???x+y=x
求曲線C在(0,0,1)點(diǎn)的曲率。
3．
第二篇：微分幾何教案 第七講
具體如下：
取M上的向量場X，對給定的x?M,有
*?(x)?T于是X(x)?TxM，xM為關(guān)于X的齊次線性函數(shù)，有
?(X)(x)??(x)?X(x)?,x?M.對?f,g?C(M)和?X,Y?X(M), 有
?(fX?gY)?f?(X)?g?(Y).下面設(shè)?1,?,?p?T*M（即1-形式），X1,?,XP為M上的向量場。
d?(?1????p)(X1,?,Xp)?????(p)?(?1)S(?)?1(Xi1)??p(XS(?)(i1?ip)?(?1)?1(Xi1)??p(Xip)?det(?i(Xj))，其中?(p)是?1,2,?,p?的置換群，即Sp,?{i1,?,ip}??(p),S(?)是?的逆序數(shù)。一般地，設(shè)
??i1??ip?ai1?ip?i1????ipi1??ip?(X1,?,Xp)?
?ai1?ip?i1????ip(X1,?,Xp).1
并且，設(shè)?和?分別為M上的p?形式和q?形式，則
(???)(X1,?,Xp?q)???(?1)S(?)(X??(p?q)?i1,?,Xip)??(Xip?1，設(shè)U?,U?是M上x處的兩個(gè)坐標(biāo)鄰域，它們的局部坐標(biāo)分別為?x?i?和?x?j?。設(shè)M上的p?形式?(x)在這兩個(gè)局部坐標(biāo)系中分別表示為
?(x)???a??iip1?ip(x)dx?i1???dxi?i1p??b
jjp1?jp(x)dxj?j1???dx?j1???p.則有坐標(biāo)變換公式：
b(x?i1,?,x?ip)j1?jp(x)????(xaii1???ip1?ip(x).?j1,?,x?jp)
三、外微分
對流形M上的0-形式f（即函數(shù)f?C?(M)），由函數(shù)的微分，有
df(x)??n?fdxi?1?xi，i 2
Xip?q?,為M上的1-形式，上式表明，“d”是F0(M)到F1(M)的映射。下面將“d”推廣為Fp(M)到Fp?1(M)的映射。df
定義：設(shè)U為流形M上含x的坐標(biāo)鄰域，局部坐標(biāo)為?xi?。如果M上的p?形式在U中寫成
?(x)??iai1?ip(x)dx?i1???dx?1???ip則定義外微分如下：
d??d(x)dxi?dai1?ipi1???dxip1???ip?a?n?i1?ip(x)i?1???ipj?1?xdxj?dxij1???d:Fp(M)?Fp?1(M)??d?
性質(zhì)：
① 對??,??Fp(M),?1,?2?R有
d(?1???2?)??1d???2d?.② 對??Fp(M),??Fq(M),有
d(???)?d????(?1)p??d?.ip，dxip.r③ d?d?0,即???F(M),都有
d(d?)?0.③ 當(dāng)p?n時(shí)，對
???Fp(M),必有 d??0.例 考慮R3，取它的直角坐標(biāo)系(x,y,z),則R3上所有微分形式為
0?形式：?0?f(x,y,z),f?C?(R3).1?形式：?1?adx?bdy?cdz,a,b,c?C?(R3).2?形式：
?2?ady?dz?bdz?dx?cdx?dy,a,b,c?C
3?形式：?3?adx?dy?dz,a?C?(R3).分別求它們的外微分。龐卡萊引理及逆命題
定義： 設(shè)M是n維微分流形，??Fp(M)。如果d??0,則稱?為閉微分形式（簡稱閉形式）。如果存在??Fp?1(M)使得??d?,則稱?為恰當(dāng)微分形式（簡稱恰當(dāng)形式）。顯然有
(R3).?定理（Poincare?引理）設(shè)?是M上的p?形式且是恰當(dāng)?shù)模瑒t?必是閉形式。定理（Poincare?引理的逆命題）
?是U上的p?形設(shè)開集U?M可收縮為一點(diǎn)，式，若?是閉的，則?是恰當(dāng)?shù)摹?/p>
對偶映射
定義：設(shè)M,N分別為m維和n維微分流形，F(xiàn):M?N是C?映射。定義映射
F*:FP(N)?FP(M),(0?p?n)??F(?)*
使得對任何x?M,X1,?,Xp?TxM有
(F*(?))(x)?X1,?,XP???(F(x))?F*(x)X1,?,F*(x)XP?
其中F*即dF，是F的微分。F*稱為映射F*的對偶映射。性質(zhì)：
⑴ F*是線性的，即對??1,?2?FP(N)，有
F*(?1?1??2?2)??1F*(?1)??2F*(?2).⑵ 對??,??Fp(N),有
F*(???)?F*(?)?F*(?).⑶ d?F*?F*?d，即對???Fp(N)有
d(F*?)?F*(d?).⑷ 若 F:M?N,G:N?P是C?的，則
(G?F)*?F*?G*.局部地，設(shè)(U,?)和(V,?)分別為M和N上包含x和y?F(x)的坐標(biāo)圖，F(xiàn)(U)?V,局部坐標(biāo)分別為?xi?和?yj?。如果設(shè)
?(y)??ai1?ip(y)dyi1???dyip，i1???ip則
F(?)(x)??ai1?ip(F(x))*i1???ipj1???jpdxj1???dxjp.?(xj1,?,xjp)?(yi1,?,yip)§5.8 流形上的積分
一、體積元與可定向流形
設(shè) ?x1,?,xn?是Rn的一個(gè)直角坐標(biāo)系?e1*,?,en*?為xi方向的單位向量構(gòu)成的一個(gè)有序標(biāo)準(zhǔn)正交基，取Rn的一個(gè)n?形式：
??dx1???dxn, 顯然
?(e,?,e)?det(dxi(e))?1.*1*n*j它給出以e1*,?,en*為邊構(gòu)成的n維正立方體。一般地，若?e1,?,en?是Rn的任一個(gè)有序基，則
于是
可將之視為以“有向?e1,?,en反）”。如R2上，取一般地，在?e1,?,en
eni??a1ije*j.j?
(e1,?,en)?(dx1???dxn)(e1,?,en)?det(dxi(ej))?det(aij).(e1,?,en)為邊的平行多面體的積”。若det(aij)?0(?0)則稱基底?e**1,?,en?的“定向相同（相dx1???dxn稱為Rn的標(biāo)準(zhǔn)體積元。e1?(1,0),e2?(0,1).（如圖示）
e1'?e2,e2'?e1.[ee?01?1',2']?[e1,e2]??10??, det(aij)??1?0.n維實(shí)向量空間V上任取兩組基?e1',?,en'?，它們的關(guān)系為
ej'?aijei,j?1,?,n.?體?與標(biāo)準(zhǔn)基???及或
?e',?,e'???e,?,e?[a].1n1nij定義等價(jià)關(guān)系：
?e1,?,en?~?e1',?,en'??det(aij)?0.這樣就可將V的所有有序基分為兩個(gè)類，稱之為V的定向。同一等價(jià)類中各元的定向相同，不同的等價(jià)類的元之間的定向相反。如 R3中，{i,j,k}代表的右手系習(xí)慣稱為正定向，而{i,k,j}代表的左手系為反定向。又如Rn中??1?,?n?確定它的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)定向流形的定向。
定義：設(shè)M是n維微分流形，?(U?,??)?是M的一個(gè)圖集。若該圖集能確定?x?M的切空間TxM的定向，則稱M是可定向的。M可定向??x?U??U?處雅可比行列式
??x?j??(x?1,?,x?n)??det??0.??x???i?x?(x?1,?,x?n)x并非所有的流形都可定向，如Mobius帶。定義：設(shè)?是M上的一個(gè)n-形式，若對?x?M，都有?(x)?0，則稱?為流形M的一個(gè)體形式（體積元）。可以證明：M可定向?M上有一個(gè)體積元。設(shè)x點(diǎn)處局部坐標(biāo)系?x1,?,xn?，則TxM有自然基?????,?,??xn???x1，若對?x?M都有?????(x)????x,?,1?xn向，否則反向。定義：設(shè)M，形，其定向分別由?:M?N為C?向相同，則稱向的。
命題：設(shè)映射N分別由n-形式所定向，則
?
保定向流形上的積分首先考慮Rn中開集系。取切空間的基
?0,則?確定了流形M
N是兩個(gè)已定向的n維微分流??Fn(M)和??Fn(N)確定，若微分形式?*?與?是保定向的；否則稱?是:M?N,x?y??(x),流形??dx1???dxn和??dy1????(y1,?,yn)?(x?0.1,?,xn)U，?xi?為Rn的整體坐標(biāo)
???????x,?,?確定U的正方
1?xn?9
正
M和?dyn的???的定映射。?反定? 向，于是Rn成為一定向流形。
設(shè)f為U上一個(gè)可積函數(shù)，??f(x)dx1???dxn.?U???Uf(x)dx1???dxn??Uf(x1,?,xn)dx1?dxn.d
下面考慮n維可定向的微分流形M。設(shè) ?(U?,??)?是M上的一個(gè)圖冊，局部坐標(biāo)為?x?1,?,x?n?，下面用切空間上的自?????x,?,??1?x?確定M的定向。
n?取M的開覆蓋?U??的一個(gè)單位分解?f?在M上的C?函數(shù)族?f??，滿足
① 對任何?及?x?M，有0?f?(x)?x?U?時(shí)，f?(x)?0； ② 對 ?x?M，僅有有限個(gè)f?(x)?0。③ 對 ?x?M，?f?(x)?1。
?設(shè)?是M上的一個(gè)n?形式，且其支集Supp??d?x?M|?(x)?0?，是一個(gè)緊子集。如果對某個(gè)?有Supp??有U?上可表示為
??a(x)dx?1???dx?n.然基，即存,且當(dāng)
U?,則?1
?定義：
?U????U?a(x)dx?1???dx?n???(U?)a(x?1,?,x?n)dx?1?dx?n.d
一般地，由于Supp是緊致的，可選有限個(gè)鄰域?U1,?,Um?覆蓋Supp?，即有
Supp???mj?1Uj.由單位分解?fm??可知???f?1j?jSupp(fi?)?Uj,j?1,?,n.于是，定義：n?形式?在已定向流形M上的積分為d?mmmM????Mfj????Ujfj?????j(Uj)fj(x)a(x)dxj?1j?1j?11可以證明，有如下性質(zhì)：
設(shè) ?,?1,?2是已定向的n維流形M上的有緊支集的n?形式，則 ① ?M(?1??2)??M?1??M?2;② ?M?????M?,??R;③ ??M????M?;
④ 若?為M上的體積元，它確定M的正向，g(x)?0 為M上的連續(xù)實(shí)函數(shù)，則
且
dxn.，? ?Mg??0
當(dāng)且僅當(dāng)g?0上式取等號。
M?M1?M2,⑤ 若M1,M2為M的不相交開集，且M1,M2的定向與M一致，則
?M???M???M?.12變量置換公式：
設(shè)M,N是已定向的n維微分流形，?:M?N是一個(gè)保定向的微分同胚，?為N上的n?形式，則
*????N?M? 特別地，當(dāng)?:U??(U)?Rn,x??(x)?y,（U為Rn的一開子集）是一微分同胚時(shí)，則對?(U)上的可積函數(shù)f(y)有
??(U)f(y)dy1?dyn??Uf(?(x))|J|dx1?dxn.如 當(dāng)n?1時(shí)，?:[a,b]?[a',b']是一C?同胚，??f(x)dx,則有
*????[a',b']?[a,b]?，即
?a'f(x)dx??af[?(t)]?'(t)dt，b'b即 經(jīng)典的變量變換公式。
第三篇：第四版微分幾何期末復(fù)習(xí)總結(jié)
1.求I弧長和交角.(1)I?du2?sinh2udv2,求u=v的弧長.解：u=v?I?du2?sinh2udu2=（1+sinh2u）du2=cosh2udu2,設(shè)曲線u=v上兩點(diǎn)A(u1),B(u2)?u1
1212?切線R-r0=?r1(0);主法線R-r0=?（?r01??r0?r0）?;副法線?R-r0?=?(r0?r0).dx2dx)?b]/[()2?1]dydy
第四篇：微分幾何答案彭家貴陳卿
習(xí)題一（P13）
2.設(shè)是向量值函數(shù)，證明：
（1）常數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)；
（2）的方向不變當(dāng)且僅當(dāng)。
（1）證明：常數(shù)常數(shù)常數(shù)。
（2）注意到：，所以的方向不變單位向量常向量。
若單位向量常向量，則。
反之，設(shè)為單位向量，若，則。
由為單位向量。
從而，由常向量。
所以，的方向不變單位向量常向量
。即的方向不變當(dāng)且僅當(dāng)。
補(bǔ)充：
定理
平行于固定平面的充要條件是。
證明：：若平行于固定平面，設(shè)是平面的法向量，為一常向量。
于是。
：若，則。若
則方向固定，從而平行于固定平面。
若，則。令則
3.證明性質(zhì)1.1與性質(zhì)1.2。
性質(zhì)1.1（1）證明：設(shè)，則
（2）證明：設(shè)，則
（3）證明：設(shè)，則
同理，所以。
性質(zhì)1.2
證明：（1）
證明：（2）
4.設(shè)是正交標(biāo)架，是的一個(gè)置換，證明：
（1）是正交標(biāo)架；
（2）與定向相同當(dāng)且僅當(dāng)是一個(gè)偶置換。
（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，所以，是正交標(biāo)架。
（2）證明：
A)當(dāng)
B)當(dāng)
C)當(dāng)
D)
當(dāng)，此時(shí)，；
E)
當(dāng)
F)
當(dāng)
所以，與定向相同當(dāng)且僅當(dāng)是一個(gè)偶置換。
習(xí)題二（P28）
1.求下列曲線的弧長與曲率：
（1）
解：
所以，2.設(shè)曲線，證明它的曲率為
證明：
3.設(shè)曲線C在極坐標(biāo)下的表示為，證明曲線C的曲率表達(dá)式為
證明：
所以，；；
。
因此，4.求下列曲線的曲率與撓率：
（4）
解：。
所以，。
5.證明：的正則曲線的曲率與撓率分別為。
證明：
根據(jù)弗雷內(nèi)特標(biāo)架運(yùn)動(dòng)方程，得：
所以。
6．證明：曲線
以為弧長參數(shù)，并求出它的曲率，撓率與Frenet標(biāo)架。
證明：1）
所以，該曲線以為弧長參數(shù)。
由及
得
所以，2）。
3）所求Frenet標(biāo)架是，其中。
10.設(shè)是中的一個(gè)合同變換。是中的正則曲線。求曲線與曲線的弧長參數(shù)、曲率、撓率之間的關(guān)系。
解：（1）
可見，與曲線除相差一個(gè)常數(shù)外，有相同的弧長參數(shù)。
（2）
可見，與曲線有相同的曲率。
（3）
可見，與曲線的曲率相差一個(gè)符號。
13.（1）求曲率（是弧長參數(shù)）的平面曲線。
解：設(shè)所求平面曲線因?yàn)槭腔￠L參數(shù)，所以
可設(shè)，由曲率的定義，知
所以，所求平面曲線。
20.證明：曲線與曲線是合同的。
證明：1）對曲線作參數(shù)變換，則。
可知是圓柱螺線()，它的曲率和撓率分別為。因此，只要證明曲線的曲率，撓率，從而根據(jù)曲線論基本定理，它們可以通過剛體運(yùn)動(dòng)彼此重合。
2）下面計(jì)算曲線的曲率與撓率。
由，進(jìn)而。
21.證明：定理4.4
定理4.4
設(shè)是連續(xù)可微函數(shù)，則
（1）
存在平面的曲線，它以為弧長參數(shù)，為曲率；
（2）
上述曲線在相差一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)的意義下是唯一的。
證明：先證明（1），為此考慮下面的一階微分方程組
給定初值，其中是中的一個(gè)與自然標(biāo)架定向相同的正交標(biāo)架，以及，則由微分方程組理論得，有唯一一組解滿足初始條件：。
若為所求曲線，則必是它的Frenet標(biāo)架。因此，我們首先證明
均是與自然定向相同的正交標(biāo)架。
將微分方程組改寫成其中。
是一個(gè)反對稱矩陣，即令
對求導(dǎo)，并利用有：
表明是微分方程組的解。
定義則
且
即
所以，是微分方程組的解。
注意到：，所以是微分方程組
滿足初始條件的唯一解。從而
所以，均是正交標(biāo)架。
由于是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)，且。故由
知。
可見，均是與自然定向相同的正交標(biāo)架。
于是由微分方程組有：，這表明為弧長參數(shù)。從而由推出是單位切向量。由推出是曲線的曲率，從而由推出由，即是單位正法向量。
可見，微分方程組的滿足初始條件：
唯一一組的確表明：存在平面的曲線，它以為弧長參數(shù)，為曲率，當(dāng)是連續(xù)可微函數(shù)時(shí)。
再證明（2）：設(shè)與是平面中兩條以為弧長參數(shù)的曲線，且定義在同一個(gè)參數(shù)區(qū)間上。則存在剛體運(yùn)動(dòng)
把曲線變?yōu)?，即?/p>
證明開始：設(shè)，考慮兩條曲線在處的Frenet標(biāo)架
與。
則存在平面中一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)把第二個(gè)標(biāo)架變?yōu)榈谝粋€(gè)標(biāo)架，即與在處的Frenet標(biāo)架重合。因此我們只須證明當(dāng)曲線與在處的Frenet標(biāo)架重合時(shí)。
曲線Frenet標(biāo)架的標(biāo)架運(yùn)動(dòng)方程為
這是一個(gè)關(guān)于向量值函數(shù)的常微分方程。曲線的Frenet標(biāo)架與的Frenet標(biāo)架都是微分方程組的解。它們在處重合就意味著這兩組解在的初值相等，由解對初值的唯一性定理立即得到。定理證明完成。
習(xí)題三（P68）
2（1）是什么曲面？
解：
4.證明：曲面的切平面過原點(diǎn)。
證明：無妨假定方程確定一個(gè)的隱函數(shù)，于是
設(shè)，則
所以，處的切平面為
易見，當(dāng)時(shí)，有：
所以結(jié)論為真。
6.證明：曲面在點(diǎn)的切平面等于曲面上過點(diǎn)的曲線在點(diǎn)的切向量的全體。
證明：設(shè)曲面的參數(shù)方程為。令為參數(shù)區(qū)域中過則的參數(shù)曲線，為曲面上過點(diǎn)的曲線。于是
這表明曲線過點(diǎn)的切向量都可由與線性表出?？梢娺^點(diǎn)的切向量都在過點(diǎn)的切平面上。另一方面，對于任意切向量，在參數(shù)區(qū)域中取過且方向?yàn)榈膮?shù)曲線
則此時(shí)，從而。
這表明：在點(diǎn)的切平面中每一個(gè)向量都是過點(diǎn)的某一曲線的位于點(diǎn)的切向量。
于是：曲面在點(diǎn)的切平面等于曲面上過點(diǎn)的曲線在點(diǎn)的切向量的全體。
25.求雙曲拋物面的Gauss曲率，平均曲率，主曲率和它們所對應(yīng)的主方向.解：
由，。，其中。
由。
于是Gauss曲率：，平均曲率：。
因?yàn)?，所以，所以主曲率?/p>
對應(yīng)的主方向?yàn)?，其?/p>
.所以。
同理，另一個(gè)主曲率：，對應(yīng)的主方向?yàn)椤?/p>
注：設(shè)為外恩格爾登變換，則。
補(bǔ)充：定理
（1）函數(shù)是主曲率的充要條件是。
（2）方向
d
=
du:dv
是主方向的充要條件是。
證明：（1）設(shè)是對應(yīng)的主方向，則有，即。
分別用與上式兩邊作內(nèi)積，得。
所以主方向滿足
由于不全為零，可得
（2）在臍點(diǎn)。
從而由可知，，中的兩個(gè)方程成為恒等式。此時(shí)，任何方向都是主方向。
在非臍點(diǎn)，分別用和代入
得到相應(yīng)的主方向
和。
將
改寫成由于不全為零，有。
28．曲面上的一條曲線稱為曲率線，如果曲線在每一點(diǎn)的切向量都是曲面在該點(diǎn)的一個(gè)主方向。證明：曲線是曲率線當(dāng)且僅當(dāng)沿著，與平行。
證明：
設(shè)為外恩格爾登變換，則。
所以，曲線是曲率線當(dāng)且僅當(dāng)沿著，與平行。
29.設(shè)是曲面的一個(gè)參數(shù)表示，證明：曲面的參數(shù)曲線和
是曲率線的充要條件是。
證明：曲面的參數(shù)曲線，記是曲率線等價(jià)于曲線在每一點(diǎn)的切向量都是曲面在該點(diǎn)的一個(gè)主方向曲線在每一點(diǎn)，同理，曲面的參數(shù)曲線，記是曲率線等價(jià)于曲線在每一點(diǎn)的切向量都是曲面在該點(diǎn)的一個(gè)主方向曲線在每一點(diǎn)，顯然，（假若，則矛盾?。?。從而。
所以，曲面的參數(shù)曲線和是曲率線的充要條件是。
35.若曲面是極小曲面，證明：除相差一個(gè)常數(shù)外，它可以寫成，這個(gè)曲面稱為Scherk面。
證明：設(shè)曲面的參數(shù)方程為，則。
因此，。
由得到，即。
上式可化為
(1)
由于上式左邊是的函數(shù)，右邊是的函數(shù)，故只能是常數(shù)，設(shè)此常數(shù)為。
當(dāng)時(shí)，由(1)可知，其中是常數(shù)。
于是該極小曲面是平面，其中。(不是Scherk曲面)
下面設(shè)。由(1)得，令，即。則有。
于是。在軸方向作一平移，可設(shè)，從而，積分得。
同理，由可得。
于是。
第五篇：蘇步青我國微分幾何研究的開拓者著名數(shù)學(xué)家
蘇步青——我國微分幾何研究的開拓者著名數(shù)學(xué)家
（１９０２－）
谷超豪
蘇步青，數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育家。早年執(zhí)教于浙江大學(xué)，后長期擔(dān)任復(fù)旦大學(xué)領(lǐng)導(dǎo)工作。研究領(lǐng)域涉及仿射曲面理論，射影曲線一般理論，曲面的射影微分
幾何理論等，獲許多優(yōu)秀成果。在計(jì)算幾何及其應(yīng)用方面頗多建樹。是我國微分幾何研究的開拓者之一。
蘇步青１９０２年９月２３日出生于浙江省平陽縣帶溪村。父親蘇宗善，靠種地為生。童年的蘇步青已學(xué)會(huì)做些輔助勞動(dòng)，割草、喂豬、放牛等活兒都干過。由于家境貧寒，不能上學(xué)讀書，他靠自己找書看，《水滸》、《聊齋》等名著不只讀過一遍。每當(dāng)放?；丶衣愤^村上私塾，他總要湊上去偷聽一陣。父親眼看兒子如此好學(xué)，終于決定節(jié)衣縮食，在他９歲時(shí)送他上學(xué)。
１９１５年８月，蘇步青考取溫州市浙江省立第十中學(xué)，１９１９年７月中學(xué)畢業(yè)，赴日本留學(xué)進(jìn)東亞日語預(yù)備校學(xué)習(xí)。第二年３月，以第一名成績考入東京高等工業(yè)學(xué)校電機(jī)系。１９２４年，又以第一名成績考進(jìn)東北帝國大學(xué)數(shù)學(xué)系。１９２７年發(fā)表第一篇學(xué)術(shù)論文，同年入本校研究生院當(dāng)研究生并兼任教員。１９３１年１月在東北帝國大學(xué)獲得理學(xué)博士學(xué)位，３月偕夫人松本米子（后加入中國籍，改名蘇松本，以畢生精力支持蘇步青的事業(yè)）回國。６０年來他一直為中國的數(shù)學(xué)事業(yè)和教育事業(yè)奮斗不息，取得了輝煌的成就，受到數(shù)學(xué)界和全國人民的敬仰和愛戴。
學(xué)術(shù)上的重大成就
蘇步青的研究方向主要是微分幾何。１８７２年，德國數(shù)學(xué)家Ｆ．克萊因（Ｋｌｅｉｎ）提出了著名的“愛爾蘭根計(jì)劃書”，在其中總結(jié)了當(dāng)時(shí)幾何學(xué)發(fā)展的情況，認(rèn)為每一種幾何學(xué)都聯(lián)系一種變換群，每種幾何學(xué)所研究的內(nèi)容就是在這些變換群下的不變性質(zhì)。除了歐氏空間運(yùn)動(dòng)群之外，最為人們所熟悉的有仿射變換群和射影變換群。因而，在１９世紀(jì)末期和本世紀(jì)的最初三四十年中，仿射微分幾何學(xué)和射影微分幾何學(xué)都得到很迅速的發(fā)展。蘇步青的大部分研究工作是屬于這個(gè)方向的。此外，他還致力于一般空間微分幾何學(xué)和計(jì)算幾何學(xué)的研究。一共發(fā)表了１５６篇學(xué)術(shù)論文，并有專著和教材十多部。他的不少成果已被許多國家的數(shù)學(xué)家大量引用或作為重要的內(nèi)容被寫進(jìn)他們的專著。
對仿射微分幾何學(xué)的研究 仿射群是比歐幾里德群大一些的變換群，它能夠保持“直線”和“平行性”，但沒有線段長度和正交性等概念。蘇步青在２０年代后期，就致力于微分幾何學(xué)這一分支的研究，當(dāng)時(shí)在國際上處于熱門。他的成就之一就是引進(jìn)和決定了仿射鑄曲面和仿射旋轉(zhuǎn)曲面，他決定了所有仿射鑄曲面并討論了它們的性質(zhì)，仿射旋轉(zhuǎn)曲面是仿射鑄曲面的一種特殊情形，它的特征是這種曲面的仿射法線必和一條定直線相交，因而它們是普通的旋轉(zhuǎn)曲面非常自然的推廣。
蘇步青對仿射微分幾何的另一極其美妙的發(fā)現(xiàn)是：他對一般的曲面，構(gòu)作出一個(gè)仿射不變的４次（３階）的代數(shù)錐面。在仿射的曲面理論中為人們注目的許多協(xié)變幾何對象，包括２條主切曲線，３條達(dá)布（Ｄａｒｂｏｕｘ）切線，３條塞格雷（Ｓｅｇｒｅ）切線和仿射法線等等，都
可以由這個(gè)錐面和它的３根尖點(diǎn)直線以美妙的方式體現(xiàn)出來，形成一個(gè)十分引人入勝的構(gòu)圖，這錐面被命名為蘇錐面。蘇步青的關(guān)于仿射微分幾何學(xué)的成果，使他在３０年代初就成為世界上著名的微分幾何學(xué)家，后來據(jù)此寫成了《仿射微分幾何》（１９８１年出版）一書，評論者（美國《數(shù)學(xué)評論》）認(rèn)為，許多內(nèi)容是“絕對杰出的”，還說，“這本漂亮的、現(xiàn)代化的書是任何學(xué)術(shù)圖書館所必備的”。
對射影曲線論的研究射影群比仿射群更大，它能保持直線的概念，但“平行性”的概念已不復(fù)出現(xiàn)。在１８、１９世紀(jì)中，射影幾何曾長期吸引數(shù)學(xué)家們的注意。例如，通過子群，它可以把歐氏幾何和另外兩類非歐幾何學(xué)統(tǒng)一在同一理論體系中。由于既無度量，又無平行性，其微分幾何的研究更為困難。即使是曲線論，雖經(jīng)著名幾何學(xué)家Ｅ．邦皮亞尼（Ｂｏｍｐｉａｎｉ）、蟹谷乘養(yǎng)等人的多年研究，甚至在３維情況，結(jié)果也并不理想，更不用說高維情況了。蘇步青發(fā)現(xiàn)平面曲線在其奇點(diǎn)的一些協(xié)變的性質(zhì)，運(yùn)用幾何結(jié)構(gòu)，以非常清楚的方法，定出了曲線在正常點(diǎn)的相應(yīng)的射影標(biāo)架（隨曲線而變動(dòng)的基本多面體），從而為射影曲線論奠定了完美的基礎(chǔ)，得到國際上高度的重視。搞局部微分幾何的學(xué)者，往往把奇點(diǎn)扔掉，而蘇步青恰恰是從奇點(diǎn)發(fā)掘出隱藏著的特性，陳省身教授對此十分欣賞。在這項(xiàng)研究中，蘇步青和他的學(xué)生也同時(shí)推進(jìn)了代數(shù)曲線奇點(diǎn)的研究，有關(guān)的工作完成于三四十年代，抗戰(zhàn)期間就已寫成專著，但始終不得出版，到１９５４年，才作為他所寫的第一本專著，由中國科學(xué)院出版。后來又出了英譯本，《數(shù)學(xué)評論》的評閱者說：“現(xiàn)在射影幾何被應(yīng)用于數(shù)學(xué)物理和廣義相對論中的各種問題，這本書已成為更重要了?！?/p>
對射影曲面論的研究射影曲面論比曲線論要復(fù)雜得多，在３０年代到４０年代中，蘇步青對它作了非常深入的，內(nèi)容豐富的研究，在這里我們僅僅指出以下幾項(xiàng)：
對于一個(gè)曲面上一般的點(diǎn)Ｐ，Ｓ．李（Ｌｉｅ）得到一個(gè)協(xié)變的二次曲面，被命名為李二次曲面。作∞２李二次曲面的包絡(luò)，除原曲面外，還有４張曲面，于是，對于每點(diǎn)Ｐ就有４個(gè)對應(yīng)點(diǎn)，它們形成了點(diǎn)Ｐ的德穆林（Ｄｅｍｏｕｌｉｎ）變換。這時(shí)，所構(gòu)成的空間四邊形稱為德穆林四邊形。蘇步青從這種四邊形出發(fā)，構(gòu)作出一個(gè)有重要性質(zhì)的協(xié)變的二次曲面，后來這二次曲面被稱為蘇二次曲面。
他還研究了一種特殊的曲面，稱為Ｓ曲面，它們的特點(diǎn)是，其上每點(diǎn)的蘇二次曲面都相同，這類曲面有許多有趣的性質(zhì)。他完全地決定了它們，并作出了分類。
蘇步青還研究了射影極小曲面，他的定義和Ｇ．湯姆森（Ｔｈｏｍｓｅｎ）用變分方法而引進(jìn)的定義是相等價(jià)的。蘇步青得到了有關(guān)射影極小曲面的戈?duì)柖啵ǎ牵铮洌澹幔酰┬蛄械摹敖慌ざɡ怼?，顯示出很優(yōu)美的幾何性質(zhì)。
蘇步青又研究了一類周期為４的拉普拉斯（Ｌａｐｌａｃｅ）序列，它和另一周期為４的拉普拉斯序列有共同的對角線匯，他把這種序列的決定歸結(jié)為求解現(xiàn)在應(yīng)用上很感興趣的正弦－戈登（Ｇｏｒｄｏｎ）方程或雙曲正弦－戈登方程，指出了這種序列的許多特性。這種研究在國際上很受重視，例如蘇聯(lián)的菲尼科夫（Φиников）學(xué)派就十分贊賞它。后來被Ｇ．博爾（Ｂｏｌ）命名為蘇鏈。
蘇步青的專著《射影曲面概論》全面總結(jié)了他在這一方面的成果。
對高維空間共軛網(wǎng)理論的研究本世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家Ｅ．嘉當(dāng)（Ｃａｒｔａｎ）建立了外微分形式的理論，他和Ｅ．凱勒（Ｋａｈｌｅｒ）的關(guān)于一般外微分形式方程組解的存在性和自由度的研究，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要成就之一。嘉當(dāng)本人以及后來的幾何學(xué)家們?nèi)缣K聯(lián)菲尼科夫?qū)W派，都用此工具，得到許多微分幾何方面的重要成果。在５０年代中，蘇步青也運(yùn)用這一工具來研究高維射影空間中的共軛網(wǎng)理論，構(gòu)作了高維射影空間中不少的具有優(yōu)美幾何性質(zhì)的拉普拉斯序列，分別討論了它們的存在性，自由度和有關(guān)的幾何性質(zhì)。
他的專著《射影共軛網(wǎng)概論》（１９７７年出版）總結(jié)了這一方面的成果。
對一般空間微分幾何學(xué)的研究在１９世紀(jì)，已經(jīng)出現(xiàn)了黎曼幾何學(xué)，它是以定義空間兩無限鄰近點(diǎn)的距離平方的二次微分形式為基礎(chǔ)而建立起來的。２０世紀(jì)以來，因受到廣義相對論的刺激，黎曼幾何發(fā)展很快，并產(chǎn)生了更一般的以曲線長度積分為基礎(chǔ)的芬斯勒（Ｆｉｎｓｌｅｒ）空間，以超曲面面積積分為基礎(chǔ)的嘉當(dāng)空間，以二階微分方程組為基礎(chǔ)的道路空間和Ｋ展空間等，通稱一般空間。蘇步青從３０年代后期開始，對于一般空間的微分幾何學(xué)的發(fā)展，作出了許多重要貢獻(xiàn)。
對于嘉當(dāng)幾何學(xué)，他著重研究了極值離差理論，即研究能保持測地線的無窮小變形的方程，這是黎曼幾何中十分重要的雅可比（Ｊａｃｏｂｉ）方程的一種推廣。
Ｋ展空間是由完全可積的偏微分方程組所定義的，由Ｊ．道格拉斯（Ｄｏｕｇｌａｓ）最早提出。蘇步青得到了射影形式的可積條件，他又研究了仿射同構(gòu)、射影同構(gòu)及其推廣，在討論這種空間的幾何結(jié)構(gòu)時(shí)，他推廣了嘉當(dāng)有關(guān)平面公理的研究。
１９５８年，包括上述結(jié)果的專著《一般空間微分幾何學(xué)》由科學(xué)出版社出版。他在一般空間幾何學(xué)的成果，獲得了我國第一屆自然科學(xué)獎(jiǎng)。
對計(jì)算幾何的研究７０年代初期，由于造船、汽車工業(yè)的需要和計(jì)算機(jī)在工業(yè)中的應(yīng)用日趨廣泛，在國際上形成了計(jì)算幾何這一學(xué)科。蘇步青出于對經(jīng)濟(jì)建設(shè)的關(guān)心，在逆境中仍然堅(jiān)持科學(xué)研究。他了解到用舊方法作船體放樣的困難后，毅然投入了這項(xiàng)密切聯(lián)系工業(yè)生產(chǎn)的研究，把曲線論中的仿射不變量方法首創(chuàng)性地引入計(jì)算幾何學(xué)科，使過去憑經(jīng)驗(yàn)直觀的一些方法有了可靠的理論基礎(chǔ)，使得有廣泛應(yīng)用的３次參數(shù)曲線、貝澤（Ｂéｚｉｅｒ）曲線等等的研究都取得了很大的進(jìn)展。
這些工作的一部分，已經(jīng)在我國造船工業(yè)中的船體放樣、航空工業(yè)中的渦輪葉片空間造型以及有關(guān)的外型設(shè)計(jì)等方面獲得了成功的應(yīng)用，因而獲得了兩項(xiàng)國家科技進(jìn)步獎(jiǎng)。
有關(guān)工作的理論部分，已寫入《計(jì)算幾何》（和劉鼎元合著）一書。該書英譯本的出版在國際上引起了重視。
總之，蘇步青在微分幾何領(lǐng)域中做了大量的杰出的研究，在各個(gè)時(shí)期中處于國際的先進(jìn)行列，并為幾何學(xué)今后的發(fā)展，提供了寶貴的財(cái)富。由于數(shù)學(xué)研究的重大成就，他于１９４８年被選為當(dāng)時(shí)在南京的中央研究院院士兼學(xué)術(shù)委員會(huì)常委。１９５５年被選為中國科學(xué)院學(xué)部委員（今稱中國科學(xué)院院士）。
除了從事研究之外，他還做過大量的組織和交流工作。１９３５年，他是中國數(shù)學(xué)會(huì)的發(fā)起人之一，并當(dāng)選為理事。他被任命為我國最早的數(shù)學(xué)研究期刊《中國數(shù)學(xué)會(huì)學(xué)報(bào)》的總編輯。中華人民共和國成立后，他又致力于中國數(shù)學(xué)會(huì)的復(fù)會(huì)工作，曾擔(dān)任中國數(shù)學(xué)會(huì)副理事長和上海數(shù)學(xué)會(huì)的理事長。他還積極參加過中國科學(xué)工作者協(xié)會(huì)杭州分會(huì)的活動(dòng)，主持過浙江省科學(xué)團(tuán)體聯(lián)合會(huì)的籌備工作。后來他又擔(dān)任過上?？茖W(xué)技術(shù)協(xié)會(huì)主席。
他還曾主持過中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的籌備工作，任數(shù)學(xué)所籌備處主任直至正式建所時(shí)為止。在復(fù)旦大學(xué)，他除了創(chuàng)建數(shù)學(xué)研究所外，還創(chuàng)辦了全國性的、高質(zhì)量雜志《數(shù)學(xué)年刊》。此刊在國際上享有聲譽(yù)。
杰出的教育家
蘇步青不僅是一位卓越的數(shù)學(xué)家，他同時(shí)還是一位杰出的教育家。早在留學(xué)日本的時(shí)期，他就和我國數(shù)學(xué)界的另一位老前輩陳建功教授相約，要回國共同建設(shè)一個(gè)具有世界水平的數(shù)學(xué)系。
１９３１年蘇步青回到祖國后，就在杭州浙江大學(xué)為這個(gè)理想而奮斗。１９３３年他晉升為教授并擔(dān)任數(shù)學(xué)系主任。他和陳建功教授設(shè)計(jì)了一套現(xiàn)代化的教學(xué)計(jì)劃，重視數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)訓(xùn)練，對學(xué)生要求嚴(yán)格，各門課程都有習(xí)題課，學(xué)生要上黑板算題，算不出就不得下去，稱為“掛黑板”。還設(shè)置了為引導(dǎo)學(xué)生及早走上當(dāng)時(shí)科研前沿的坐標(biāo)幾何、級數(shù)概論等課程。他們還強(qiáng)調(diào)閱讀和講解數(shù)學(xué)文獻(xiàn)以及從事研究能力的訓(xùn)練。在大學(xué)學(xué)習(xí)階段就設(shè)立了“數(shù)學(xué)研究”課（現(xiàn)稱討論班），由學(xué)生做報(bào)告，他們親自聽講提問，對講不清楚的地方抓住不放，層層提問，絲毫不能含混，這門課不及格就不得畢業(yè)。這是蘇步青教授主張對學(xué)生嚴(yán)格要求的體現(xiàn)。他這種做法一直堅(jiān)持到現(xiàn)在，代代相傳。
到了１９３７年，浙江大學(xué)的數(shù)學(xué)系在培養(yǎng)人才方面已顯示出雄厚的實(shí)力，并開始招收研究生。他的最早的學(xué)生方德植已寫出了研究論文。下半年，抗日戰(zhàn)爭的烽火燃燒到杭州。浙江大學(xué)先后遷到建德、泰和、宜山，直至貴州遵義和湄潭。日本侵略軍的侵略，使浙江大學(xué)受到了嚴(yán)重的摧殘。浙江大學(xué)師生在竺可禎校長的領(lǐng)導(dǎo)下，發(fā)揚(yáng)了民族正氣，在極其艱苦的條件下，克服了萬重困難，堅(jiān)持教學(xué)，堅(jiān)持科研，堅(jiān)持“求是”的校風(fēng)，使得這所處于窮鄉(xiāng)僻壤的學(xué)校產(chǎn)生了國際影響，被前來參觀的英國的李約瑟（Ｊ．Ｎｅｅｄｈａｍ）博士稱譽(yù)為“東方的劍橋”。在其中，數(shù)學(xué)系的貢獻(xiàn)是突出的。蘇步青在躲避空襲時(shí)，還帶著文獻(xiàn)，在防空洞里堅(jiān)持研究。在湄潭，蘇步青帶著他的幾位早期學(xué)生熊全治、張素誠、白正國等人，堅(jiān)持了射影微分幾何的研究，產(chǎn)生了一系列的重要成果。許多論文都在國際上很有影響的雜志上發(fā)表，在國際幾何學(xué)界享有崇高的聲譽(yù)，以蘇步青為首的浙江大學(xué)微分幾何學(xué)派已開始形成。
抗戰(zhàn)勝利后，浙江大學(xué)搬回到杭州。盡管國民黨政府的各項(xiàng)政策使教育處于極端困難的境地，反饑餓，反內(nèi)戰(zhàn)的學(xué)生運(yùn)動(dòng)遍布全國各大城市，在浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系也出現(xiàn)了不少積極分子，但數(shù)學(xué)系的研究空氣，仍然堅(jiān)持不衰。學(xué)生們在參加學(xué)運(yùn)的同時(shí)，仍然認(rèn)真跟著老師們學(xué)習(xí)和做研究，討論班進(jìn)行得有聲有色。蘇步青和陳建功看到了數(shù)學(xué)各分支之間聯(lián)系的必要，貫徹因材施教的原則，決定讓兩名成績突出的學(xué)生谷超豪和張鳴鏞同時(shí)參加“微分幾何”和“函數(shù)論”兩個(gè)討論班，這在當(dāng)時(shí)也是一個(gè)創(chuàng)舉。浙江大學(xué)還為設(shè)在上海的中央研究院數(shù)學(xué)研究所輸送了幾位高材生，也有幾位學(xué)術(shù)上已有成就的教師被選送到國外深造，這是他們?yōu)閿U(kuò)大對外交流、博采眾長的一項(xiàng)措施。
中華人民共和國建立后，蘇步青不僅繼續(xù)從事數(shù)學(xué)的教育工作，而且還當(dāng)了浙江大學(xué)的教務(wù)長。１９５２年院系調(diào)整，他到了上海復(fù)旦大學(xué)，仍然擔(dān)任教務(wù)長，后來還擔(dān)任過副校長、校長，１９８３年改任名譽(yù)校長。
他在非常繁重的行政工作的同時(shí)，仍狠抓數(shù)學(xué)的教學(xué)工作，他繼續(xù)為青年教師、研究生開課，舉辦討論班。由于各種客觀原因，微分幾何的研究集體曾幾起幾落，一度只剩了一位成員胡和生，他們兩人仍然堅(jiān)持舉辦討論班，一有時(shí)機(jī)，他們就合作培養(yǎng)研究生和高年級大學(xué)生。終于，浙江大學(xué)的微分幾何學(xué)派在復(fù)旦大學(xué)不僅又生了根，而且繼續(xù)發(fā)展，同時(shí)也培養(yǎng)出一大批學(xué)生來支援別的學(xué)科的成長。有許多學(xué)生去從事微分方程、力學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等等，形成了一個(gè)又一個(gè)新的研究集體，出現(xiàn)了一代又一代的后起之秀。蘇步青創(chuàng)建了復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，擔(dān)任所長多年，為培養(yǎng)年輕的高質(zhì)量人才和開展前沿的數(shù)學(xué)研究而努力奮斗。
作為一位老教育家，他在自己的崗位上為教育青年做出了重大貢獻(xiàn)。他經(jīng)常對青年講話，教育他們熱愛祖國，堅(jiān)定社會(huì)主義信念；教育他們要勤奮學(xué)習(xí)，保持艱苦奮斗的優(yōu)良傳統(tǒng)；教育他們堅(jiān)持實(shí)事求是的學(xué)風(fēng)。他并且主張理科學(xué)生要有文史知識，提高這方面的修養(yǎng)。凡此種種，都對青年一代產(chǎn)生了重要的影響。
蘇步青還為中等數(shù)學(xué)教育付出大量心血。６０年代初，他牽頭在上海進(jìn)行了中學(xué)數(shù)學(xué)教材的改革，編出了一整套高質(zhì)量的中學(xué)數(shù)學(xué)試點(diǎn)教材。他還一直關(guān)心中學(xué)數(shù)學(xué)師資的質(zhì)量，主張大學(xué)要關(guān)心支持中學(xué)教育。他年過８５高齡時(shí)，還親自為中學(xué)教師舉辦系統(tǒng)講座，以擴(kuò)大他們的眼界，提高他們的教學(xué)水平。
從愛國主義發(fā)展到共產(chǎn)主義
蘇步青從小抱著讀書救國的宏愿去日本留學(xué)，苦讀十多年，始終沒有忘記為祖國效力。獲得博士學(xué)位后，不顧日方的挽留和優(yōu)厚的待遇，毅然回國服務(wù)，艱苦創(chuàng)業(yè)。
抗日戰(zhàn)爭爆發(fā)，他毅然率家小西遷，經(jīng)歷了千辛萬苦，始終為祖國的教育事業(yè)奮斗不息。
抗日勝利，臺灣回歸祖國，蘇步青受命去參與接管臺灣大學(xué)，完成任務(wù)后，返回浙江大學(xué)向?qū)W生們介紹了這個(gè)寶島。
反饑餓、反內(nèi)戰(zhàn)的學(xué)生運(yùn)動(dòng)起來了，他雖然對這個(gè)政治運(yùn)動(dòng)還不十分理解，但是他反對國民黨政府迫害青年學(xué)生。１９４７年他建議教授會(huì)罷教以抗議學(xué)生領(lǐng)袖于子三被殺害。１９４８年他以訓(xùn)導(dǎo)長的身份把受迫害的共產(chǎn)黨員保護(hù)在校內(nèi)。１９４９年初又親自去保釋被監(jiān)禁的進(jìn)步學(xué)生和共產(chǎn)黨員。
１９４９年杭州解放后，蘇步青密切注視共產(chǎn)黨的行為，到學(xué)校來接管的軍代表、省委的宣傳部長穿的竟是一雙草鞋。嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)困難，終于被克服了。作為科學(xué)界的代表人物，他來到了北京，周總理宴請了他。在杭州，他參加了杭州市和浙江省的人民代表會(huì)議，和省市委領(lǐng)導(dǎo)有著較多的接觸。他在１９５１年又加入了中國民主同盟，和廣大擁護(hù)黨、擁護(hù)社會(huì)主義的知識分子共求進(jìn)步。經(jīng)過他的仔細(xì)觀察和努力學(xué)習(xí)，他相信共產(chǎn)黨是為人民服務(wù)的，他相信，共產(chǎn)黨不但能打天下，而且能把中國建設(shè)好。他也逐步認(rèn)識到，中華人民共和國能使知識分子施展才華。他教了１８年的書，浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系只有１００多名畢業(yè)生，可現(xiàn)在，復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系每年就有１００多名畢業(yè)生；在抗戰(zhàn)時(shí)期花了千辛萬苦寫出來的《射影微分幾何概論》，始終不能出版，現(xiàn)在連同其它的專著都陸續(xù)出書了，還出了英文版。１９５６年，蘇步青被邀請參加制訂了第一個(gè)發(fā)展科技的十年規(guī)劃，黨和國家把這一重大任務(wù)交給了科學(xué)家，同時(shí)又引導(dǎo)科學(xué)家開拓自己的眼界，從所熟悉的那個(gè)小圈圈里擴(kuò)大開去，擴(kuò)大到科技工作的全局，擴(kuò)大到未來的科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，擴(kuò)大到整個(gè)國家的社會(huì)主義建設(shè)。蘇步青深深地感動(dòng)了，他的心和黨進(jìn)一步靠近了。
蘇步青努力結(jié)合實(shí)際學(xué)習(xí)馬列主義、毛澤東著作，終于在內(nèi)心產(chǎn)生了參加黨的要求。１９５９年３月，他如愿以償了，他被復(fù)旦大學(xué)黨委接收為光榮的共產(chǎn)黨員。
此后，他更加努力學(xué)習(xí)和工作，在歷次上海市和全國人民代表大會(huì)上（他是二、三、五、六、七屆全國人民代表大會(huì)代表），在全國政治協(xié)商會(huì)議上（他是第二屆全國政治協(xié)商會(huì)議委員和第七、八屆全國政治協(xié)商會(huì)議副主席），他都努力堅(jiān)持社會(huì)主義方向，對政府工作中的缺點(diǎn)也毫不
保留地提出批評。在民盟里，他起著領(lǐng)導(dǎo)的作用（曾擔(dān)任副主席，后任參議委員會(huì)主任委員）。在“文化大革命”期間，他的處境十分坎坷，他以６０多歲的高齡承受著常人難以承受的重壓。批判的大棒，勞動(dòng)的懲罰都壓不倒這位堅(jiān)強(qiáng)的共產(chǎn)黨員。他在勞動(dòng)中的表現(xiàn)，甚至連青年人都自愧不如。特別是在１９７２－１９７５年，當(dāng)時(shí)他已超過古稀之年，還被迫乘公共汽車到江南造船廠“勞動(dòng)鍛煉”。他認(rèn)真地以工人為師，又在勞動(dòng)中看到了數(shù)學(xué)的作用。他抽出時(shí)間來為技術(shù)人員講課，又為了解除工人們在船體放樣中的繁重勞動(dòng)，在我國發(fā)展了計(jì)算幾何這一門應(yīng)用學(xué)科。
１９７７年，他在鄧小平同志召開的教育、科學(xué)工作座談會(huì)上慷慨陳詞，為在科、教戰(zhàn)線上的“撥亂反正”提出了許多重要建議，如恢復(fù)研究生制度、恢復(fù)高校研究機(jī)構(gòu)等等，產(chǎn)生了重大影響。
蘇步青時(shí)刻牢記自己是一名共產(chǎn)黨員，“此身到老屬于黨”是他的高超的詩作中的名句。他時(shí)常以周總理的教導(dǎo)“活到老，學(xué)到老”為自己的座右銘，盡自己的一切可能為共產(chǎn)主義事業(yè)而奮斗。
(作者：谷超豪)
簡歷
１９０２年９月２３日 生于浙江平陽縣。
１９１５—１９１９年 就讀于溫州的浙江省立第十中學(xué)。
１９２０—１９２４年 就讀于日本東京高等工業(yè)學(xué)校電機(jī)系。
１９２４—１９２７年 就讀于日本東北帝國大學(xué)數(shù)學(xué)系。
１９２７—１９３１年 就讀于日本東北帝國大學(xué)研究生院。１９３１年獲理學(xué)博士學(xué)位。
１９３１—１９５２年 在浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系執(zhí)教。１９３１為副教授，１９３３年升任教授并兼數(shù)學(xué)系主任，１９５０年 始任浙江大學(xué)教務(wù)長。期間于１９４８年任中央研究院院士。
１９５２年 任復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系教授。１９５６年前兼任復(fù)旦大學(xué)教務(wù)長，１９５６年始任副校長，１９７８年任校長，１９８３年后任名譽(yù)校長。
１９５５年 中國科學(xué)院院士。
１９９２年 當(dāng)選為全國政治協(xié)商會(huì)議副主席（此前曾任第二、三、五、六、七屆全國人民代表大會(huì)代表，第五、六、七屆常務(wù)委員，第二、七屆政治協(xié)商會(huì)議委員。
主要論著
１ 蘇步青．射影曲線概論．北京：中國科學(xué)院，１９５４．（英譯本：Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｃｕｒ—ｅｓ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＳｃｉｅｎＣｅ
Ｐｒｅｓｓ，１９５８．）
２ 蘇步青．一般空間的微分幾何學(xué)．北京：科學(xué)出版社，１９５８．
３ 蘇步青．射影曲面概論．上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，１９６４．
４ 蘇步青．射影共軛網(wǎng)概論．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，１９７８．
５ 蘇步青．微分幾何五講．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，１９７９．（英譯本：Ｌｅｃｔｕｒｅｓ ｏｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａ１ ｇｅｏｍｅｔｒｙ．Ｓｉｎｇａｐｏｒｅ：Ｗｏｒｌｄ
Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ
Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，１９８０．）
６ 蘇步青．仿射微分幾何．北京：科技出版社，１９８２．（英譯本：Ａｆｆｉｎｅ ｄｉｆｆｅｒ－ｅｎｅｔｉａｌ ｇｅｏｍｅｔｒｙ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｓｃｉｅｎｃｅ
Ｐｒｅｓｓ，Ｃｈｉｎａ；Ｇｏｒｄｏｎ ａｎｄ
ＢｒｅａＣｈ，Ｓｃｉｅｎｃｅ
Ｐｕｂ１ｉｓｈｅｒｓ，Ｉｎｃ，Ｎｅｗ
Ｙｏｒｋ，ＵＳＡ，１９８３．）
７ 蘇步青．蘇步青數(shù)學(xué)論文選集．中國科學(xué)出版社和美國高登與伯利奇科學(xué)出版社，１９８３．（英譯本：Ｓｕ Ｂｕ Ｃｈｉｎ．Ｓｅｌｅｃｔｅｄ
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ
Ｐａｐｅｒｓ，Ｓｃｉｅｎｃｅ
Ｐｒｅｓｓ ａｎｄ Ｇｏｒｄｏｎ ａｎｄ Ｂｒｅａｃｈ，Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，Ｉｎｃ．）
８ 蘇步青，劉鼎元．計(jì)算幾何．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，１９８１．（英譯本：Ｓｕ Ｂｕ－ｑｉｎ，Ｌｉｕ Ｄｉｎｇ－ｙｕａｎ．Ｔｒａｎｓｔａｔｅｄ ｂｙ
Ｃｈａｎｇ Ｇｅｎｇ－ｚｈｅ．Ｃｏｍ－ｐｕｔｉｏｎａ１ ｇｅｏｍｅｔｒｙ－Ｃｕｒｖｅ ａｎｄ ｓｕｒｆａｃｅ ｍｏｄｅｌｉｎｇ．Ａ Ｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ，Ｉｎｓ，１９８９．）
９ 蘇步青．高等幾何學(xué)五講．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，１９９１．
１０ 蘇步青．蘇步青論文選集．北京：科學(xué)出版社，１９８６．
參考文獻(xiàn)
〔１〕 蘇步青．蘇步青文選．杭州：浙江科技出版社，１９９１．
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