第一篇：高等數(shù)學求極限的14種方法

高等數(shù)學求極限的14種方法

一、極限的定義

1.極限的保號性很重要：設

x?x0

（1）若A?0，則有??0，使得當0?|x?x0|??時，f(x)?0；

（2）若有??0,使得當0?|x?x0|??時，f(x)?0,則A?0。

2.極限分為函數(shù)極限、數(shù)列極限，其中函數(shù)極限又分為x??時函數(shù)的極限和x?x0的極限。

要特別注意判定極限是否存在在： limf(x)?A，收斂于a的充要條件是它的所有子數(shù)列均收斂于a。常用的是其推論，即“一個數(shù)列收斂于a的充（1）數(shù)列?xn?

要條件是其奇子列和偶子列都收斂于a”

（2）

(3)x??

x?x0limf(x)?A?f(x)?A?x???x?x0lim?f(x)?x????A ?lim?A limlim?x?x0lim

(4)單調有界準則

（5）兩邊夾擠準（夾逼定理/夾逼原理）

(6)柯西收斂準則（不需要掌握）。極限limx?x0f(x)存在的充分必要條件。是：

???0,???0,使得當x1、x2?U?o(x0)時，恒有|f(x1)?f(x2)|??

二．解決極限的方法如下：

1.等價無窮小代換。只能在乘除時候使用。例題略。2.洛必達（L’hospital）法則（大題目有時候會有暗示要你使用這個方法）

它的使用有嚴格的使用前提。首先必須是X趨近，而不是N趨近，所以面對數(shù)列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，數(shù)列極限的n當然是趨近于正無窮的，不可能是負無窮。其次,必須是函數(shù)的導數(shù)要存在，假如告訴f（x）、g（x）,沒告訴是否可導，不可直接用洛必達法則。另外，必須是“0比0”或“無窮大比無窮大”,并且注意導數(shù)分母不能為0。洛必達法則分為3種情況：

（1）“0?”“”時候直接用 0?

(2)“0??”“???”，應為無窮大和無窮小成倒數(shù)的關系，所以無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通

?項之后，就能變成(i)中的形式了。即f(x)g(x)?f(x)或f(x)g(x)?g(x)；g(x)f(x)f(x)?g(x)?11g(x)f(x)f(x)g(x)11

(3)“0”“1”“?”對于冪指函數(shù),方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，即

這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，變成“0??”型未定式。

0?0f(x)g(x)?eg(x)lnf(x)，1

3.泰勒公式(含有ex的時候，含有正余弦的加減的時候）

x2xne?x

e?1?x?????xn?1 ；

2!n!(n?1)!

x

x3x5x2m?1cos?x2m?3m

sinx?x?????(?1)?(?1)m?1x

3!5!(2m?1)!(2m?3)!

2mx2x4cos?x2m?2mxcos=1? ????(?1)?(?1)m?1x2!4!(2m)!(2m?2)!n

x2x3xn?1n?1xn

????(?1)?(?1)ln（1+x）=x-23n(n?1)(1??x)n?1

(1+x)u=1?ux?

u(u?1)2

x???Cunxn?Cun?1(1??x)u?n?1xn?1 2!

以上公式對題目簡化有很好幫助 4.兩多項式相除:設an,bm均不為零，P（x）=anx?an?1x

n

n?1

???a1x?a0,Q(x)?bmxm?bm?1xm?1???b1x?b0

?an

?b,(m?n)nP(x)P(x0)

P(x)???(1)（2）若Q(x0)?0，則 limQ(x)??0,(n?m)Q(x)Q(x)0x?x0

??,(n?m)x??

???

lim

5.無窮小與有界函數(shù)的處理辦法。例題略。

面對復雜函數(shù)時候，尤其是正余弦的復雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。面對非常復雜的函數(shù)可能只需要知道它的范圍結果就出來了。

6.夾逼定理：主要是應用于數(shù)列極限，常應用放縮和擴大不等式的技巧。以下面幾個題目為例：

（1）設

a?b?c?0，x

n

?an?bn?cn，求limxn

n??

解：由于a?xn?a,以及

lima?a,lim(a

n??

n??)?a，由夾逼定理可知limxn?a

n??

??

（2）求lim?12?12???12?

(n?1)(2n)?n???n

解：由0?1?2

n111111

????2?2???2?，以及22

n(n?1)(2n)nnn

lim0?lim

n??

n??

?0可知，原式=0 n

?1

(3)求lim???2

n???n?1

n

n

n

1n2?2

???

?

?

? ?2

n?n?1

1?2

???

解：由1?1??1?1?

1n?n

n?1

?

1n?n

?

1n?n

??

1n?n

?

nn?n,以及

1n

7.數(shù)列極限中等比等差數(shù)列公式應用（等比數(shù)列的公比q絕對值要小于1）。例如：

n??

n??

lim1?lim

nn?n

?lim

n??

1?

?1得，原式=1

求

lim?1?2x?3x

n??

???nxn?1(|x|?1)。提示：先利用錯位相減得方法對括號內的式子求和。

?

8.數(shù)列極限中各項的拆分相加（可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡數(shù)列）。例如：

=lim??1?2?2?3???n(n?1)??lim?1?2?2?3????

???

n??

?111??111

n??

???lim?1??1 ??n?1)?n???n?1)??

9.利用xx與xn?1極限相同求極限。例如：

（1）已知a1?2,an?1?2?1，且已知an存在，求該極限值。limann??解:設

1，即A2?2A?1?0，解得結果并舍去負值得A=1+2 =A，（顯然A）則?0aA?2?limn

n??

A

（2）利用單調有界的性質。利用這種方法時一定要先證明單調性和有界性。例如設x1?2,x2?2?2,?,xn??xn?1,求limxn

n??

解：（i）顯然x1?x2?2（ii）假設xk?1?xk?2,則2?xk?1?2?xk?2?2，即xk?xk?1?2。所以，?xn?是單調遞增數(shù)列，且有上界，收斂。設lim?A，（顯然A?0)則A?

n??

2?A，即A2?A?2?0。

解方程并舍去負值得A=2.即limxn?2

n??

10.兩個重要極限的應用。（1）

lim

x?0

sinx

?1 常用語含三角函數(shù)的“0” 型未定式 x0

(2)lim?1?x?x?e，在“1”型未定式中常用

?

x?0

11.還有個非常方便的方法就是當趨近于無窮大時候不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的，n快于n！,n！快于指數(shù)型函數(shù)b(b為常數(shù))，指數(shù)函數(shù)快于冪函數(shù),冪函數(shù)快于對數(shù)函數(shù)。當x趨近無窮的時候，它們比值的極限就可一眼看出。

12.換元法。這是一種技巧，對一道題目而言，不一定就只需要換元，但是換元會夾雜其中。例如：求極限

n

n

arccosx?

?

lim

x?0

。解：設t?arccosx??,則x?0時，t?0,且x?cos(t??)??sint。

22sin2x2x

sin2x

arccosx?

2x

?

?

lim

x?0

arccosx?

2x

?

?

lim

t?0

原式=

lim

x?0

t1

??

?2sint2

1111?

13．利用定積分求數(shù)列極限。例如：求極限lim??n，所以??????。由于

n?in?2n?n?n???n?11?n

???2111?11?1?1???????????ln2 ??limlim?1n?n1xn?2n?n?n???n???n?11?1???

nn??

14.利用導數(shù)的定義求“0”型未定式極限。一般都是x?0時候，分子上是“f(a?x)?f(a)”的形式，看見了這

'

種形式要注意記得利用導數(shù)的定義。（當題目中告訴你f（a）?m告訴函數(shù)在具體某一點的導數(shù)值時，基本上

就是暗示一定要用導數(shù)定義）

n

?f?a?1??

例:設

f(a)?0,f'

?(a)?存在，求lim

??n???n??

?fa?

?????

?n

f(a)

f(a?1

n)?f(a)

?

?f?

??f(a?f(a)

n?a?1?n???f?a???

?f(a?1)?f(a)?n)?f(a)

解：原式=

lim

?n??

?1??f(a)???lim?1???f(a)?

??n??

?

??

?

f(a?1)?f(a)

11f(a)f'(a)=

lime

n

?e

f(a)

n??

第二篇：總結16種方法求極限

首先對極限的總結如下

極限的保號性很重要就是說在一定區(qū)間內函數(shù)的正負與極限一致

1極限分為一般極限，還有個數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時發(fā)散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了！?。∧氵€能有補充么？？？）等價無窮小的轉化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等價于Ax等等。全部熟記

（x趨近無窮的時候還原成無窮小）

2落筆他 法則（大題目有時候會有暗示要你使用這個方法）

首先他的使用有嚴格的使用前提?。?！

必須是X趨近而不是N趨近?。。。。ㄋ悦鎸?shù)列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件

（還有一點數(shù)列極限的n當然是趨近于正無窮的不可能是負無窮?。?/p>

必須是 函數(shù)的導數(shù)要存在?。。。。偃绺嬖V你g（x）,沒告訴你是否可導，直接用無疑于找死?。?/p>

必須是0比0無窮大比無窮大?。。。?！

當然還要注意分母不能為0

落筆他 法則分為3中情況0比0無窮比無窮時候直接用

20乘以無窮無窮減去無窮（應為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后這樣就能變成1中的形式了

30的0次方1的無窮次方 無窮的0次方

對于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0當他的冪移下來趨近于無窮的時候LNX趨近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余旋的加減的時候要 特變注意?。。?/p>

E的x展開sina展開cos展開ln1+x展開

對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則最大項除分子分母?。。。。?！

看上去復雜處理很簡單?。。。?！

5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法

面對復雜函數(shù)時候，尤其是正余旋的復雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。

面對非常復雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結果就出來了??！

6夾逼定理（主要對付的是數(shù)列極限！）

這個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴大。

7等比等差數(shù)列公式應用（對付數(shù)列極限）（q絕對值符號要小于1）

8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限）

可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)

9求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應為極限去掉有限項目極限值不變化2 個重要極限的應用。這兩個很重要?。?！對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值。地2個就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應的形式

（地2個實際上是 用于函數(shù)是1的無窮的形式）（當?shù)讛?shù)是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限）11 還有個方法，非常方便的方法

就是當趨近于無窮大時候

不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的?。。。。。。?！

x的x次方 快于x！快于指數(shù)函數(shù)快于冪數(shù)函數(shù)快于對數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）?。?！當x趨近無窮的時候他們的比值的極限一眼就能看出來了換元法是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中

13假如要算的話四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中的14還有對付數(shù)列極限的一種方法，就是當你面對題目實在是沒有辦法走投無路的時候可以考慮 轉化為定積分。一般是從0到1的形式。15單調有界的性質

對付遞推數(shù)列時候使用證明單調性?。?！

16直接使用求導數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當題目中告訴你F(0)=0時候f（0）導數(shù)=0的時候就是暗示你一定要用導數(shù)定義?。。?/p>

函數(shù)是表皮

函數(shù)的性質也體現(xiàn)在積分 微分中

例如他的奇偶性質他的周期性。還有復合函數(shù)的性質

1奇偶性，奇函數(shù)關于原點對稱偶函數(shù)關于軸對稱偶函數(shù)左右2邊的圖形一樣

（奇函數(shù)相加為0）

2周期性也可用在導數(shù)中在定積分中也有應用定積分中的函數(shù)是周期函數(shù)積分的周期和他的一致

3復合函數(shù)之間是自變量與應變量互換的關系

4還有個單調性。(再求0點的時候可能用到這個性質！）

（可以導的函數(shù)的單調性和他的導數(shù)正負相關）

:o 再就是總結一下間斷點的問題（應為一般函數(shù)都是連續(xù)的所以 間斷點 是對于間斷函數(shù)而言的）

間斷點分為第一類和第二類剪斷點

1第一類是左右極限都存在的（左右極限存在但是不等跳躍的的間斷點或者 左右極限存在相等但是不等于函數(shù)在這點的值可取的間斷點

地二類 間斷點是震蕩間斷點或者是無窮極端點

（這也說明極限即是不存在也有可能是有界的）

:o 下面總結一下

求極限的一般題型

1求分段函數(shù)的極限

當函數(shù)含有絕對值符號時，就很有可能是有分情況討論的了！?。?！

當X趨近無窮時候存在e的x次方的時候，就要分情況討論應為 E的x次方的函數(shù)正負無窮的結果是不一樣的?。。。O限中含有變上下限的積分如何解決類？？？？

說白了就是說 函數(shù)中現(xiàn)在含有積分符號，這么個符號在極限中太麻煩了你要想辦法把它搞掉?。。。。。。?！解決辦法 ：

1求導，邊上下限積分求導，當然就能得到結果了這不是很容易么？

但是?。?！有2個問題要注意??！

問題1積分函數(shù)能否求導？題目沒說積分可以導的話，直接求導的話是錯誤的??！

問題2被積分函數(shù)中 既含有T又含有x的情況下如何解決？？？？？？

解決1的方法：就是方法2微分中值定理?。。。。?/p>

微分中值定理是函數(shù)與積分的聯(lián)系！更重要的是他能去掉積分符號?。?！

解決2的方法 ： 當x與t的函數(shù)是相互乘的關系的話，把x看做常數(shù)提出來，再求導數(shù)！??！

當x 與t是除的關系或者是加減的關系，就要 換元了！?。。。。〒Q元的時候積分上下限也要變化?。。?/p>

3求的是數(shù)列極限的問題時候

夾逼 或者 分項求和 定積分都不可以的時候

就考慮x趨近的時候函數(shù)值，數(shù)列極限也滿足這個極限的當所求的極限是遞推數(shù)列的時候

首先 ： 判斷數(shù)列極限存在極限的方法是用的單調有界的定理。判斷單調性不能用導數(shù)定義??！應為是 離散的只能用前后項的 比較（前后項相除相減），數(shù)列極限是否有界可以使用 歸納法最后對xn 與xn+1兩邊同時求極限，就能出結果了！?。?/p>

4涉及到極限已經(jīng)出來了讓你求未知數(shù)和位置函數(shù)的問題

解決辦法 ：主要還是運用等價無窮小或者是同階無窮小。應為例如當x趨近0時候f（x）比x =3的函數(shù)，分子必須是無窮小否則極限為無窮

還有落筆他法則的應用，主要是應為當未知數(shù)有幾個時候，使用落筆他 法則 可以消掉模些未知數(shù)，求其他的未知數(shù)極限數(shù)列涉及到的證明題，只知道是要構造新的函數(shù)但是不太會！?。。。。。。。?！

:o最后 總結 一下間斷點的題型

首先 遇見間斷點的問題 連續(xù)性的問題復合函數(shù)的問題，在莫個點是否可導的問題。

主要解決辦法是3個一個是畫圖，你能畫出反例來當然不可以了

你實在畫不出反例，就有可能是對的，尤其是那些考概念的題目，難度不小，對我而言證明很難的！我就畫圖！我要能畫出來當然是對的，在這里就要很好的理解一階導的性質2階導的性質，函數(shù)圖形的凹凸性，函數(shù)單調性函數(shù)的奇偶性在圖形中的反應?。。?！

（在這里尤其要注意分段函數(shù)?。。。。。ɡ绶侄魏瘮?shù)導數(shù)存在還相等但是卻不連續(xù)這個性質就比較特殊?。獮橐话愕暮瘮?shù)都是連續(xù)的）

方法2就是舉出反例?。ㄔ谶@里也是尤其要注意分段函數(shù)?。。。。。?/p>

例如 一個函數(shù)是個離散函數(shù)還有個也是離散函數(shù)他們的復合函數(shù)是否一定是離散的類？？

答案是NO舉個反例就可以了

方法3上面的都不行那就只好用定義了主要是寫出公式，連續(xù)性的公式求在抹一點的導數(shù)的公式

:o最后了

總結一下 函數(shù) 在抹一點是否可導 的問題

1首先 函數(shù)連續(xù)不一定可導，分段函數(shù)x絕對值函數(shù)在（0，0）不可導，我的理解就是 ：不可導=在這點上圖形不光滑。可導一定連續(xù)，應為他有個前提，在點的領域內有定義，假如沒有這個前提，分段函數(shù)左右的導數(shù)也能相等

1主要考點 1

函數(shù)在抹一點可導，他的 絕對值函數(shù)在這點是否可導 ？

解決辦法：記住 函數(shù)絕對值的導數(shù)等于f（x）除以（絕對值（f（x）））再 乘以F（x）的導數(shù)。

所以判斷絕對值函數(shù)不可導點，首先判斷函數(shù)等于0的點，找出這些點之后，這個導數(shù)并不是百分百不存在，原因很簡單分母是無窮小，假如分子式無窮小的話，絕對值函數(shù)的導數(shù)依然存在啊，所以還要找出f（a）導數(shù)的值，不為0的時候，絕對值函數(shù)在這點的導數(shù)是無窮，所以絕對值函數(shù)在這些點上是不可導的啊

考點2

處處可導的函數(shù)與在抹一些點不可以導但是連續(xù)的函數(shù)相互乘的函數(shù)，這個函數(shù)的不可導點的判斷

直接使用導數(shù)的定義就能證明，我的理解是f（x）連續(xù)的話但是不可導，左右導數(shù)存在但是不等，左右導數(shù)實際上就是X趨近a的2個極限，f（x）乘以G（x）的函數(shù)在x趨近a的時候

f（x）在這點上的這2個極限乘以 g（a），當g（a）等于0的時候，左右極限乘以0當然相等了，乘積的導數(shù)=f（a）導數(shù)乘以G(a)+ G(a)導數(shù)乘以F（a），應為f（a）導數(shù)乘以G(a)=0，前面推出來了，所以乘積函數(shù)

第三篇：高等數(shù)學微積分求極限的方法整理

一，求極限的方法橫向總結：

1帶根式的分式或簡單根式加減法求極限：1）根式相加減或只有分子帶根式：用平方差公式，湊平方（有分式又同時出現(xiàn)未知數(shù)的不同次冪：將未知數(shù)全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都帶根式：將分母分子同時乘以不同的對應分式湊成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界變量與無窮大量加和求極限：分子與分母同時除以該無窮大量湊出無窮小量與有界變量的乘積結果還是無窮小量。

3等差數(shù)列與等比數(shù)列和求極限：用求和公式。

4分母是乘積分子是相同常數(shù)的n項的和求極限：列項求和

5分子分母都是未知數(shù)的不同次冪求極限：看未知數(shù)的冪數(shù)，分子大為無窮大，分子小為無窮小或須先通分。

6運用重要極限求極限（基本）。

7乘除法中用等價無窮小量求極限。

8函數(shù)在一點處連續(xù)時，函數(shù)的極限等于極限的函數(shù)。

9常數(shù)比0型求極限：先求倒數(shù)的極限。

10根號套根號型：約分，注意別約錯了。

11三角函數(shù)的加減求極限：用三角函數(shù)公式，將sin化cos

二，求極限的方法縱向總結：

1未知數(shù)趨近于一個常數(shù)求極限：分子分母湊出（x-常數(shù)）的形式，然后約分（因為x不等于該常數(shù)所以可以約分）最后將該常數(shù)帶入其他式子。

2未知數(shù)趨近于0或無窮：1）將x放在相同的位置

2）用無窮小量與有界變量的乘積

3）2個重要極限

4）分式解法（上述）

第四篇：高等數(shù)學-極限

《高等數(shù)學》極限運算技巧

(2009-06-02 22:29:52)轉載▼ 標簽： 分類： 數(shù)學問題解答

雜談 知識/探索

【摘 要】《高等數(shù)學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助。【關鍵詞】高等數(shù)學 極限 技巧

《高等數(shù)學》極限運算技巧

《高等數(shù)學》的極限與連續(xù)是前幾章的內容，對于剛入高校的學生而言是入門部分的重要環(huán)節(jié)。是“初等數(shù)學”向“高等數(shù)學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數(shù)的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數(shù)的應變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應性。通俗的來講，函數(shù)值因為函數(shù)變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數(shù)在變量產生這種變化時的極限！

從數(shù)學式子上來講，逼近是指函數(shù)的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結論，我夸過這樣一個海口，我說，只要你認真的記住這些內容，高數(shù)部分所要求的極限內容基本可以全部解決?，F(xiàn)在想來這不是什么?？冢瑪?shù)學再難也是基本的內容，基本的方法，關鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網(wǎng)友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規(guī)律可循的！今天我寫的內容希望可以對大家的學習有幫助!我們看到一道數(shù)學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。1，連續(xù)函數(shù)的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)的直接帶入自變量。2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉化代換，即無窮大的倒數(shù)是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據(jù)做題的需要來進行）。第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數(shù)形式的（包含冪函數(shù)四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數(shù)。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數(shù)1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數(shù)，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數(shù)形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優(yōu)先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數(shù)時候我們優(yōu)先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉換形式，即轉換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。（3）“ ”形式

這也是需要轉換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數(shù)關系，所以這種轉換時比較簡單也是比較容易解決的。轉換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如： 這道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式，最后直接套用公式。

第二種是取對數(shù)消指數(shù)。簡單來說，“

”，然后選用公式，再湊出公式的形

”形式指數(shù)的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數(shù)就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數(shù)消指數(shù)的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運算思維的培養(yǎng)

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對做題起到指導性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結。

（本文著作權歸個人所有，如需轉載請聯(lián)系本人。）

第五篇：高等數(shù)學B上冊 求極限方法總結

鍥而舍之，朽木不折；鍥而不舍，金石可鏤。

出自----荀子----《勸學》

求極限的幾種常用方法

1．約去零因子求極限

例1：求極限limx?1x4?1x?1

【說明】x?1表明x與1無限接近，但x?1，所以x?1這一零因子可以約去。

?x?1??x?1??x2?1?2【解】lim=lim?x?1??x?1?=4 x?1x?1x?1

2．分子分母同除求極限

例2：求極限limx??x3?x2 33x?1

?型且分子分母都以多項式給出的極限,可通過分子分母同除來求。? ?

11?32x?x?1 【解】lim?limx??3x3?1x??13?33x【說明】

【注】（1）一般分子分母同除x的最高次方；

0m>n

anxn?an?1xn?1?...?a0??m

anm=n bn

3．分子(母)有理化求極限

例3：求極限limx???x?3?2

2x2?1? ?【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式?！窘狻縧imx???x?3?x2?1??limx???x2?3?x2?1?x2?3?x2?1x2?3?x2?1?

?lim

2x?3?x?1

x???

?0

例4：求極限lim

x?0

?tanx??sinx

x3

【解】lim

x?0

?tanx??sinxtanx?sinx

= limx?0x3x3?tanx??sinx

=lim

x?0

1tanx?sinx1tanx?sinx1

=limlim?33x?0x?0x2x4?tanx??sinx

【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時分離極限式中的非零因子是解題的關鍵

4.應用兩個重要極限求極限

兩個重要的極限（1）lim

sinx

?1

x?0x

x

n

?1??1?

（2）lim?1???lim?1???lim?1?x?x?e

x??x??x?0

?x??n?

在這一類型題中，一般也不能直接運用公式，需要恒等變形進行化簡后才可

以利用公式。

?x?1?

例5：求極限lim??

x???x?1??

【說明】第二個重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出１，再湊+

x，最后湊指數(shù)部分。x

??x?1??1???xx?2?12?2??x?1??????1?【解】lim??e2 ?=lim?1???lim??1??x???x?1x???x?1??x?1?????x????x?1?

????2??????

補：求下列函數(shù)的極限(1)lim?lim?coscos

?

n?0n??

??

?

x2

xxx??cos......cos? 22232n???

?n2?

(2)（2）lim?1?2?? m???m??

m

5.利用無窮小量的性質求極限

無窮小量的性質：無窮小量與有界量的乘積還是無窮小量。如果limf?x??0，g?x?在x?0

某區(qū)間?x??,x???x,x???有界，則limf?x??g?x??0。這種方法可以處理一個函數(shù)不存

x?0

在但有界，和另一個函數(shù)的極限是零的極限的乘積的問題。

?0 x??x

【解】因為sinx?1lim

6.用等價無窮小量代換求極限

【說明】

(1)常見等價無窮小有：

當x?0時,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln?1?x?~e?1，x

1?cosx~

12b

x，?1?ax??1~abx 2

(2)等價無窮小量代換,只能代換極限式中的因式。(3)此方法在各種求極限的方法中應作為首選。

xln?1?x? x?01?cosx

xln?1?x?x?x

【解】lim?lim?2

x?01?cosxx?02

x2

sinx?x

例8：求極限lim

x?0tan3x

例7：lim

12x

sinx?xsinx?xcosx?1??1 【解】lim=lim?lim?limx?0tan3xx?0x?0x?03x2x33x26

?

7.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

這種方法適合求復合函數(shù)的極限。如果u?g?x?在點x0處連續(xù)g?x0??u0，而

f?u?在點x0處連續(xù)，那么復合函數(shù)y?f?g?x??在點x0處連續(xù)。limf?g?x??=f?g?x0??=

x?x0

??

f?limg?x??也就說，極限號lim與f可以互換順序。

x?x0

?x?x0??1?例9：求limln?1??

x??

?x??1?

【解】令y?lnu,u??1??

?x?

?1?

因為lnu在點u0?lim?1???e處連續(xù)

x??

?x??1?

所以limln?1??

x??

?x?

x

xx

x

??1?x?

=ln?lim?1???

x?????x???

=lne

=1

8．用洛必達法則求極限

洛必達法則只能對

0?

或型才可直接使用，其他待定型必須先化成這兩種類型之一，0?

f'?x?f?x?等于A時，那么lim存g'xgx然后再應用洛必達法則。洛必達法則只說明當也存在lim

在且等于A。如果lim

f'?x?f?x?不存在時，并不能斷定lim也不存在，這是不能用洛必達

g'xgxf?x?。

gx法則的，而須用其他方法討論lim

lncos2x?ln1?sin2x

例10：求極限lim

x?0x2lncos2x?ln1?sin2x

【解】lim 2x?0x

??

??

?2sin2xsin2x

?2

=limx?02x

=lim=3

sin2x??21?

???? 2x?02x?cos2x1?sinx?

9.用對數(shù)恒等式求limf?x?g?x?極限

例11：求極限lim?1?ln?1?x?

x?0

2x

【解】lim?1?ln?1?x?=lime

x?0

x?0

?

2x2

ln?1?ln?1?x??x

?e

x?0

lim

2ln?1?ln?1?x??

x

=e

x?0

lim

2ln?1?x?x

?e2

【注】對于1型未定義式，也可以用公式limf?x?因為

limf?x?

g?x?

g?x?

?1??e

?

lim?f?x??1?g?x?

?elimg?x?ln?1?f?x??1??elim?f?x??1?g?x?

10.利用兩個準則求極限

（1）夾逼準則：若一正數(shù)N。當n>N時，有xn?yn?zn且limxn?limzn?a，則有

x??

x??

limyn?a.x??

利用夾逼準則求極限關鍵在于從xn的表達式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數(shù)列?yn?和?zn?，使得yn?xn?zn。例12：xn?

1n?1

?

1n?2

?......1n?n

求xn的極限。

【解】因為xn單調遞減，所以存在最大項和最小項xn?

1n?n1n?1

?

1n?n1n?1

?......?

1n?n1n?1

?

nn?nnn?1

xn?

??......??

nn?n

n

?xn?

nn?1n

又因為lim

x??

n?n

?lim

x??

n?1

?1

所以limxn?1

x??

（2）單調有界準則：單調有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。

利用單調有界準則求極限，關鍵先要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的 通項遞推公式求極限。

例，證明下列極限存在，并求其極限。y1?

a,y2?a?a,y3?a?a?a,......,yn?a?a?a?...?a

證明：從這個數(shù)列看yn顯然是增加的。用歸納法可證。又因為y2?

a?y1,y3?a?y2,......,yn?a?yn?1

所以得yn?a?yn?1.因為前面證明yn是單調增加的。兩端除以yn得yn?

a?1 yn

因為yn?y1?

a,則

aa

?a，從而?1?a?1 ynyn

a?yn?a?1

即yn是有界的。根據(jù)定理yn有極限且極限唯一。

令limyn?l則limy?lim?yn?1?a?

n??n??n??

則l?l?a，因為yn>0.解方程得l?

1?4a?1

所以limyn?l?

n??

1?4a?1

本文對極限的求法作了一下小結歸納了幾種求極限的基本方法。對一般的極限用上面的方法可以求出來，復雜一點的可能要綜合幾種方法才能求出，關鍵是“運用之妙，存孚一心”。