微專題15　函數(shù)與方程、函數(shù)的實際應用

命

題

者

說

考

題

統(tǒng)

計

考

情

點

擊

2018·全國卷Ⅰ·T9·函數(shù)的零點

2018·全國卷Ⅲ·T15·函數(shù)的零點

2018·浙江高考·T11·方程組的實際應用

2017·全國卷Ⅲ·T11·函數(shù)的零點

從近5年高考情況來看，本部分內(nèi)容一直是高考的熱點，尤其是對函數(shù)的零點、方程的根的個數(shù)的判定及利用零點存在性定理判斷零點是否存在和零點存在區(qū)間的考查較為頻繁，一般會將本部分內(nèi)容知識與函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合起來考查，綜合性較強，一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，解題時要充分利用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想。

考向一

判斷函數(shù)零點的個數(shù)或所在區(qū)間

【例1】(1)函數(shù)f

(x)＝log2x－的零點所在的區(qū)間為()

A．

B．

C．(1,2)

D．(2,3)

(2)函數(shù)f

(x)＝4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|的零點個數(shù)為________。

解析(1)函數(shù)f

(x)的定義域為(0，＋∞)，且函數(shù)f

(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)。f

＝log2－＝－1－2＝－3<0，f

(1)＝log21－＝0－1<0，f

(2)＝log22－＝1－＝>0，f

(3)＝log23－>1－＝>0，即f

(1)·f

(2)<0，所以函數(shù)f

(x)＝log2x－的零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)。故選C。

(2)f

(x)＝4cos2sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝2sinx·－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，令f

(x)＝0，得sin2x＝|ln(x＋1)|。在同一坐標系中作出兩個函數(shù)y＝sin2x與函數(shù)y＝|ln(x＋1)|的大致圖象如圖所示。令ln(x＋1)＝1，則x＝e－1。觀察圖象可知，兩函數(shù)圖象有2個交點，故函數(shù)f

(x)有2個零點。

答案(1)C(2)2

(1)函數(shù)零點(即方程的根)的確定問題，常見的類型有：

①函數(shù)零點值大致存在區(qū)間的確定。

②零點個數(shù)的確定。

③兩函數(shù)圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定。

(2)判斷函數(shù)零點個數(shù)的主要方法：

①解方程f

(x)＝0，直接求零點。

②利用零點存在定理。

③數(shù)形結(jié)合法：對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形，常會通過分解轉(zhuǎn)化為兩個能畫出的函數(shù)圖象交點問題。

變|式|訓|練

1．(2018·南寧摸底)設函數(shù)f

(x)＝lnx－2x＋6，則f

(x)零點的個數(shù)為()

A．3

B．2

C．1

D．0

解析　令f

(x)＝0，則lnx＝2x－6，令g(x)＝lnx，h(x)＝2x－6(x>0)，在同一平面直角坐標系中畫出這兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)就等于函數(shù)f

(x)零點的個數(shù)，容易看出函數(shù)f

(x)零點的個數(shù)為2，故選B。

答案　B

2．已知函數(shù)f

(x)滿足：①定義域為R；②?x∈R，都有f

(x＋2)＝f

(x)；③當x∈[－1,1]時，f

(x)＝－|x|＋1，則方程f

(x)＝log2|x|在區(qū)間[－3,5]內(nèi)解的個數(shù)是()

A．5　　　　B．6

C．7　　　　D．8

解析　畫出函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知，共有5個解。故選A。

答案　A

考向二

根據(jù)函數(shù)的零點求參數(shù)的范圍

【例2】　已知函數(shù)f

(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點，則a＝()

A．－　　　B．

C．　　　D．1

解析　解法一：令f

(x)＝0，則x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)，設g(x)＝ex－1＋e－x＋1，則g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－＝，當g′(x)＝0時，x＝1，故當x<1時，g′(x)<0，函數(shù)g(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，當x>1時，g′(x)>0，函數(shù)g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，當x＝1時，函數(shù)g(x)取得最小值2，設h(x)＝x2－2x，當x＝1時，函數(shù)h(x)取得最小值－1，若－a<0，h(1)＝－ag(1)時，此時函數(shù)h(x)和－ag(x)有一個交點，即－a×2＝－1?a＝。故選C。

解法二：f

(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－2x＋a(e1－x＋ex－1)＝f

(x)，所以f

(x)的圖象關于x＝1對稱，而f

(x)有唯一的零點，則f

(x)的零點只能為x＝1，即f

(1)＝－1＋2a＝0，解得a＝。故選C。

答案　C

利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法

(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解。

(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解。

(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的位置關系問題，從而構(gòu)建不等式求解。

變|式|訓|練

已知在區(qū)間(0,2]上的函數(shù)f

(x)＝且g(x)＝f

(x)－mx在區(qū)間(0,2]內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是()

A．∪

B．∪

C．∪

D．∪

解析

由函數(shù)g(x)＝f

(x)－mx在(0,2]內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，得y＝f

(x)，y＝mx在(0,2]內(nèi)的圖象有且僅有兩個不同的交點。當y＝mx與y＝－3在x∈(0,1]相切時，mx2＋3x－1＝0，Δ＝9＋4m＝0，m＝－，結(jié)合圖象可得當－

(x)－mx在(0,2]內(nèi)有且僅有兩個不同的零點。故選A。

答案　A

考向三

函數(shù)的實際應用

【例3】(1)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖。

根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是()

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)

(2)某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件該產(chǎn)品需另投入的成本為G(x)(單位：萬元)，當年產(chǎn)量不足80千件時，G(x)＝x2＋10x；當年產(chǎn)量不小于80千件時，G(x)＝51x＋－1

450。已知每件產(chǎn)品的售價為0.05萬元。通過市場分析，該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完，則該工廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤的最大值是________萬元。

解析(1)通過題圖可知A不正確，并不是逐月增加，但是每一年是遞增的，從圖觀察C是正確的，D也正確，1～6月比較平穩(wěn)，7～12月波動較大。故選A。

(2)因為每件產(chǎn)品的售價為0.05萬元，所以x千件產(chǎn)品的銷售額為0.05×1

000x＝50x(萬元)。①當0

450－250＝1

200－≤1

200－2＝1

200－200＝1

000，當且僅當x＝，即x＝100時，L(x)取得最大值1

000萬元。由于950<1

000，所以當產(chǎn)量為100千件時，該工廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大，最大年利潤為1

000萬元。

答案(1)A(2)1

000

解決函數(shù)實際應用題的2個關鍵點

(1)認真讀題，縝密審題，準確理解題意，明確問題的實際背景，然后進行科學地抽象概括，將實際問題歸納為相應的數(shù)學問題。

(2)要合理選取參變量，設定變量之后，就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關系，建立相應的函數(shù)模型，最終求解數(shù)學模型使實際問題獲解。

變|式|訓|練

1．(2018·昆明調(diào)研)下圖是1951～2016年我國年平均氣溫變化圖。

根據(jù)上圖，下列結(jié)論正確的是()

A．1951年以來，我國年平均氣溫逐年增高

B．1951年以來，我國年平均氣溫在2016年再創(chuàng)新高

C．2000年以來，我國年平均氣溫都高于1981～2010年的平均值

D．2000年以來，我國年平均氣溫的平均值高于1981～2010年的平均值

解析　由1951～2016年我國年平均氣溫變化圖可以看出，年平均氣溫有升高的也有降低的，所以A錯誤；2016年的年平均氣溫不是最高的，所以B錯誤；2012年的年平均氣溫低于1981～2010年的平均值，所以C錯誤；2000年以來，只有2012年的年平均氣溫低于1981～2010年的平均值，所以2000年以來，我國年平均氣溫的平均值高于1981～2010年的平均值，故D正確。故選D。

答案　D

2．(2018·馬鞍山一模)某高校為提升科研能力，計劃逐年加大科研經(jīng)費投入。若該高校2017年全年投入科研經(jīng)費1

300萬元，在此基礎上，每年投入的科研經(jīng)費比上一年增長12%，則該高校全年投入的科研經(jīng)費開始超過2

000萬元的年份是________。(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()

A．2020年

B．2021年

C．2022年

D．2023年

解析　若2018年是第一年，則第n年科研費為1

300×1.12n，由1

300×1.12n>2

000，可得lg1.3＋nlg1.12>lg2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研經(jīng)費超過2

000萬元。故選B。

答案　B

1．(考向一)(2018·昆明調(diào)研)已知函數(shù)f

(x)＝則函數(shù)f

(x)的零點個數(shù)為________。

解析　解法一：當x>1時，由log2(x－1)＝0得x＝2，即x＝2為函數(shù)f

(x)在區(qū)間(1，＋∞)上的一個零點；當x≤1時，因為f

(x)＝x3－3x＋1，所以f

′(x)＝3x2－3，由f

′(x)＝0得x＝－1或x＝1，因為當x<－1時，f

′(x)>0，當－1≤x≤1時，f

′(x)≤0，所以x＝－1為函數(shù)f

(x)＝x3－3x＋1在(－∞，1]上的極大值點，因為f

(－1)＝3>0，f

(1)＝－1<0，且當x→－∞時，f

(x)→－∞，所以函數(shù)f

(x)＝x3－3x＋1在(－∞，1]上有兩個不同的零點。綜上，函數(shù)f

(x)的零點個數(shù)為3。

解法二：當x>1時，作出函數(shù)y＝log2(x－1)的圖象如圖①所示，當x≤1時，由f

(x)＝x3－3x＋1＝0得，x3＝3x－1，在同一個平面直角坐標系中分別作出函數(shù)y＝x3和y＝3x－1的圖象如圖②所示，由圖①，②可知函數(shù)f

(x)的零點個數(shù)為3。

答案　3

2．(考向一)(2018·洛陽統(tǒng)考)已知函數(shù)f

(x)滿足f

(1－x)＝f

(1＋x)＝f

(x－1)(x∈R)，且當0≤x≤1時，f

(x)＝2x－1，則方程|cosπx|－f

(x)＝0在[－1,3]上的所有根之和為()

A．8

B．9

C．10

D．11

解析　方程|cosπx|－f

(x)＝0在[－1,3]上的所有根之和即y＝|cosπx|與y＝f

(x)在[－1,3]上的圖象交點的橫坐標之和。由f

(1－x)＝f

(1＋x)得f

(x)的圖象關于直線x＝1對稱，由f

(1－x)＝f

(x－1)得f

(x)的圖象關于y軸對稱，由f

(1＋x)＝f

(x－1)得f

(x)的一個周期為2，而當0≤x≤1時，f

(x)＝2x－1，在同一坐標系中作出y＝f

(x)和y＝|cosπx|在[－1,3]上的大致圖象，如圖所示。易知兩圖象在[－1,3]上共有11個交點，又y＝f

(x)，y＝|cosπx|的圖象都關于直線x＝1對稱，故這11個交點也關于直線x＝1對稱，故所有根之和為11。故選D。

答案　D

3．(考向二)已知函數(shù)f

(x)＝－kx2(x∈R)有四個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是()

A．(－∞，0)

B．(－∞，1)

C．(0,1)

D．(1，＋∞)

解析　因為x＝0是函數(shù)f

(x)的零點，則函數(shù)f

(x)＝－kx2(k∈R)有四個不同的零點，等價于方程k＝有三個不同的根，即方程＝|x|(x＋2)有三個不同的根。記函數(shù)g(x)＝|x|(x＋2)＝由題意y＝與y＝g(x)有三個不同的交點，作圖可知(圖略)0<<1，所以k>1。故選D。

答案　D

4．(考向二)(2018·四川統(tǒng)考)函數(shù)f

(x)＝若關于x的方程2f

2(x)－(2a＋3)f

(x)＋3a＝0有五個不同的零點，則a的取值范圍是()

A．(1,2)

B．

C．

D．∪

解析

作出f

(x)＝|x|＋1，x≠0的圖象如圖所示。設t＝f

(x)，則原方程化為2t2－(2a＋3)t＋3a＝0，由圖象可知，若關于x的方程2f

2(x)－(2a＋3)f

(x)＋3a＝0有五個不同的實數(shù)解，只有當直線y＝a與函數(shù)y＝f

(x)的圖象有兩個不同的公共點時才滿足條件，所以10，解得a≠，綜上，得1

答案　D

5．(考向三)(2018·西城模擬)在標準溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質(zhì)的量的濃度(單位：mol/L，記作[H＋])和氫氧根離子的物質(zhì)的量的濃度(單位：mol/L，記作[OH－])的乘積等于常數(shù)10－14。已知pH值的定義為pH＝－lg[H＋]，健康人體血液的pH值保持在7.35～7.45之間，那么健康人體血液中的可以為________。(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()

A．　　　　B．

C．　　　　D．

解析　因為[H＋]·[OH－]＝10－14，所以＝[H＋]2×1014，因為7.35<－lg[H＋]<7.45，所以10－7.45<[H＋]<10－7.35，所以10－0.9<＝1014·[H＋]2<10－0.7,10－0.9＝>，lg100.7＝0.7>lg3>lg2，所以100.7>3>2,10－0.7<<，所以<<。故選C。

答案　C