微專題17　命題有章——數(shù)學(xué)文化與高考命題

教育部考試中心函件《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》要求“增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內(nèi)容，積極培育和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用。比如，在數(shù)學(xué)中增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容”。因此，我們特別策劃了此專題，將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，選取典型樣題深度解讀

考|題|統(tǒng)|計(jì)

卷別

題型

題號(hào)

考查角度

2018年全國(guó)卷Ⅰ

選擇題

10題

幾何概型

2018年全國(guó)卷Ⅱ

選擇題

8題

古典概型

2018年全國(guó)卷Ⅲ

選擇題

3題

三視圖

2018年北京高考

選擇題

4題

等比數(shù)列

預(yù)測(cè)1：古代數(shù)學(xué)書籍《九章算術(shù)》《數(shù)書九章》等書為背景的數(shù)學(xué)文化類題目。

預(yù)測(cè)2：與高等數(shù)學(xué)相銜接的題目，如幾類特殊的函數(shù)：取整函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、符號(hào)函數(shù)。

預(yù)測(cè)3：以課本閱讀和課后習(xí)題為背景的數(shù)學(xué)文化類題目：輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損術(shù)、秦九韶算法、進(jìn)位制、割圓術(shù)、阿氏圓等。

預(yù)測(cè)4：以中外一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題為背景的題目，如：回文數(shù)、匹克定理、哥尼斯堡七橋問題、四色猜想等經(jīng)典數(shù)學(xué)小問題。

考向一

數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化

【例1】(2018·安徽模擬)中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗。羊主曰：“我羊食半馬?！瘪R主曰：“我馬食半牛?！苯裼斨?，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟。羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半?！瘪R主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半。”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還粟a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是()

A．a(chǎn)，b，c成公比為2的等比數(shù)列，且a＝

B．a(chǎn)，b，c成公比為2的等比數(shù)列，且c＝

C．a(chǎn)，b，c成公比為的等比數(shù)列，且a＝

D．a(chǎn)，b，c成公比為的等比數(shù)列，且c＝

【解析】　由題意可得，a，b，c成公比為的等比數(shù)列，b＝a，c＝b，三者之和為50升，故4c＋2c＋c＝50，解得c＝。故選D。

【答案】　D

本題以《九章算術(shù)》為背景考查我國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，意在考查考生的閱讀理解能力和解決實(shí)際問題的能力。

【美題嘗試1】(2017·全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()

A．1盞

B．3盞

C．5盞

D．9盞

解析　由題意知由上到下各層燈數(shù)組成一個(gè)等比數(shù)列，該數(shù)列前7項(xiàng)和S7＝381，公比q＝2。設(shè)塔頂層的燈的盞數(shù)為a1，則有S7＝＝381，解得a1＝3。故選B。

答案　B

考向二

三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)文化

【例2】　在古希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測(cè)地術(shù)》中記載了著名的海倫公式，利用三角形的三邊長(zhǎng)求三角形的面積。若三角形的三邊分別為a，b，c，則其面積S＝，這里p＝。已知在△ABC中，BC＝6，AB＝2AC，則當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，sinA＝________。

【解析】　設(shè)AC＝x，AB＝2x，則由海倫公式得

S＝

＝

＝

≤·＝12，當(dāng)且僅當(dāng)x2－4＝36－x2，即x＝2，即AC＝2，AB＝4時(shí)不等式取等號(hào)。所以△ABC的面積的最大值為12，此時(shí)由余弦定理得cosA＝＝，故sinA＝＝。

【答案】

本題具有一定的綜合性，考查的知識(shí)點(diǎn)較多，涉及基本不等式、余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。求解本題的關(guān)鍵是在“設(shè)元”的基礎(chǔ)上，根據(jù)所給三角形面積的計(jì)算公式寫出△ABC的面積的表達(dá)式，并利用基本不等式確定最值。

【美題嘗試2】(2017·浙江高考)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意精度。祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年。“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6，S6＝________。

解析　如圖，連接正六邊形的對(duì)角線，將正六邊形分成六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，從而S6＝6××12×sin60°＝。

答案

考向三

算法中的數(shù)學(xué)文化

【例3】(2018·貴陽監(jiān)測(cè))我國(guó)明朝數(shù)學(xué)家程大位著的《算法統(tǒng)宗》里有一道聞名世界的題目：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭(zhēng)，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾丁？”如圖所示的程序框圖反映了對(duì)此題的一個(gè)求解算法，則輸出的n的值為()

A．20

B．25

C．30

D．35

【解析】　解法一：執(zhí)行程序框圖，n＝20，m＝80，S＝60＋＝86≠100；n＝21，m＝79，S＝63＋＝89≠100；n＝22，m＝78，S＝66＋＝92≠100；n＝23，m＝77，S＝69＋＝94≠100；n＝24，m＝76，S＝72＋＝97≠100；n＝25，m＝75，S＝75＋＝100，退出循環(huán)。所以輸出的n＝25。

解法二：設(shè)大和尚有x個(gè)，小和尚有y個(gè)，則解得根據(jù)程序框圖可知，n的值即大和尚的人數(shù)，所以n＝25。

【答案】　B

《算法統(tǒng)宗》是我國(guó)古代一部數(shù)學(xué)巨著，本題通過“僧人分饅頭”體現(xiàn)了方程思想，也折射出古代人民的智慧，增強(qiáng)了我們的民族自豪感。

【美題嘗試3】　秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州安岳(現(xiàn)四川省安岳縣)人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入n，x的值分別為4,3，則輸出v的值為()

A．20　　　B．61

C．183

D．548

解析　初始值n，x的值分別為4,3，程序運(yùn)行過程如下：v＝1，i＝3≥0，v＝1×3＋3＝6，i＝2≥0；v＝6×3＋2＝20，i＝1≥0；v＝20×3＋1＝61，i＝0≥0；v＝61×3＋0＝183，i＝－1<0，跳出循環(huán)，輸出v的值為183。故選C。

答案　C

考向四

立體幾何中的數(shù)學(xué)文化

【例4】(2018·全國(guó)卷Ⅲ)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來。構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭。若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()

A　　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　　D

【解析】　由題意知，在咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見，所以是虛線，結(jié)合榫頭的位置知選A。

【答案】　A

本題通過三視圖考查了古代建筑的木件結(jié)構(gòu)。如果考生對(duì)木件結(jié)構(gòu)沒有一定的認(rèn)識(shí)，缺乏常見的生活常識(shí)，想象不出木件結(jié)構(gòu)的構(gòu)成就很難答對(duì)本題，這也體現(xiàn)了高考對(duì)考生社會(huì)實(shí)踐能力不斷提高要求的趨勢(shì)。

【美題嘗試4】　祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”?！皟纭笔墙孛娣e，“勢(shì)”是幾何體的高，意思是兩個(gè)等高的幾何體，若在等高處截面的面積恒相等，則體積相等。已知某不規(guī)則幾何體與如下三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體滿足“冪勢(shì)同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為()

A．4－

B．8－

C．8－π

D．8－2π

解析　由祖暅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖的幾何體體積相等。根據(jù)題設(shè)所給的三視圖，可知題圖中的幾何體是從一個(gè)正方體中挖去一個(gè)半圓柱，正方體的體積為23＝8，半圓柱的體積為×(π×12)×2＝π，因此該不規(guī)則幾何體的體積為8－π，故選C。

答案　C

考向五

概率中的數(shù)學(xué)文化

【例5】(2018·全國(guó)卷Ⅰ)如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC?！鰽BC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ。在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則()

A．p1＝p2

B．p1＝p3

C．p2＝p3

D．p1＝p2＋p3

【解析】　解法一：設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a2＝b2＋c2，則區(qū)域Ⅰ的面積為S1＝bc，區(qū)域Ⅱ的面積S2＝π×2＋π×2－＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bc，所以S1＝S2，由幾何概型的知識(shí)知p1＝p2，故選A。

解法二：不妨設(shè)△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC＝2，則BC＝2，所以區(qū)域Ⅰ的面積為S1＝×2×2＝2，區(qū)域Ⅱ的面積S2＝π×12－＝2，區(qū)域Ⅲ的面積S3＝－2＝π－2。根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，得p1＝p2＝，p3＝，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故選A。

【答案】　A

從中國(guó)古代文學(xué)作品中選取素材考查數(shù)學(xué)問題，豐富了數(shù)學(xué)文化題的取材途徑。試題插圖的創(chuàng)新是本題的一個(gè)亮點(diǎn)，其一，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)問題的生活化，使數(shù)學(xué)的應(yīng)用更貼近考生的生活實(shí)際；其二，有利于考生分析問題和解決問題，這對(duì)穩(wěn)定考生在考試中的情緒和心態(tài)起到了較好的效果；其三，探索了數(shù)學(xué)試題插圖的新形式，給出了如何將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化的范例。

【美題嘗試5】　一種電子計(jì)時(shí)器顯示時(shí)間的方式如圖所示，每一個(gè)數(shù)字都在固定的全等矩形“顯示池”中顯示，且每個(gè)數(shù)字都由若干個(gè)全等的深色區(qū)域“”組成。已知在一個(gè)顯示數(shù)字8的顯示池中隨機(jī)取一點(diǎn)A，點(diǎn)A落在深色區(qū)域內(nèi)的概率為，若在一個(gè)顯示數(shù)字0的顯示池中隨機(jī)取一點(diǎn)B，則點(diǎn)B落在深色區(qū)域內(nèi)的概率為()

A．

B．

C．

D．

解析　由于數(shù)字“8”是由7個(gè)深色區(qū)域組成，由P(A)＝，得整個(gè)矩形顯示池的面積為14個(gè)深色區(qū)域的面積，而數(shù)字“0”是由6個(gè)深色區(qū)域組成，則P(B)＝＝。故選C。

答案　C

考向六

現(xiàn)代科技中的數(shù)學(xué)文化

【例6】(2017·全國(guó)卷Ⅰ)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件。為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)。這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是

20，21，22，依此類推。求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪。那么該款軟件的激活碼是()

A．440

B．330

C．220

D．110

【解析】　分段考慮數(shù)列1；1,2；1,2,4；…；1,2，…，2k－1；…該數(shù)列的前1＋2＋…＋k＝項(xiàng)的和為S＝1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2k－1)＝(20－1)＋(21－1)＋…＋(2k－1)＝2k＋1－k－2。要使得>100，又k∈N，則有k≥14，此時(shí)k＋2<2k＋1，所以k＋2是之后的等比數(shù)列1,2，…，2k＋1的部分和，也即k＋2＝1＋2＋…＋2s－1＝2s－1，所以k＝2s－3≥14，滿足題意的最小的s＝5，此時(shí)k＝25－3＝29，對(duì)應(yīng)最小的滿足條件的N為＋5＝440。

【答案】　A

本題以大學(xué)生創(chuàng)業(yè)為背景設(shè)計(jì)一道具有時(shí)代意義的試題，將歸納推理和演繹推理有機(jī)地結(jié)合在了一起，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

【美題嘗試6】　根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080。則下列各數(shù)中與最接近的是()

(參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48)

A．1033

B．1053

C．1073

D．1093

解析　因?yàn)椋?0，所以lg＝lg＝lg3361－lg1080＝361lg3－80≈93.28。所以≈1093。故選D。

答案　D