第一篇：高中數(shù)學(xué)53不等式的證明533反證法知識(shí)導(dǎo)航學(xué)案蘇教版4-5.（寫(xiě)寫(xiě)幫推薦）
5.3.3 反證法
自主整理
運(yùn)用反證法證明不等式的主要步驟: 第一步:作出與所證不等式______________的假設(shè);第二步:從____________出發(fā),應(yīng)用正確的推理方法,推出____________結(jié)論,_____________假設(shè),從而證明原不等式成立.高手筆記
用反證法證明不等式應(yīng)把握以下幾點(diǎn):(1)必須否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面,當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí),必須羅列出所有情況,做到完全否定,不能遺漏.(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推理,否則,僅否定結(jié)論,不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理,就不是反證法.(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已知條件矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與已知事實(shí),已知數(shù)學(xué)公理、定理矛盾,或自相矛盾,推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.(4)在使用反證法時(shí),“否定的結(jié)論”在推理論證中往往作為已知條件使用.名師解惑
反證法的理論依據(jù)是什么?
剖析:我們知道,互為逆否命題的兩個(gè)命題,其真假性是一致的,即原命題p?q為真命題,則?q??p也必為真命題.這是因?yàn)槿绻娣衩}?q??p為假的話,則?q?p是真的.于是有?q?p?q,即?q?q,這顯然是錯(cuò)誤的.所以我們可利用互為逆否命題的兩個(gè)命題的等價(jià)性,證明其逆否命題成立來(lái)說(shuō)明原命題成立.反證法適用于正面不太容易證,而反面易證的情況,“至多”“至少”“存在性”“唯一性”問(wèn)題常用反證法.講練互動(dòng)
【例1】設(shè)a、b、c∈R,a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求證:a>0,b>0,c>0.分析:本題的條件比較復(fù)雜,所要證明的結(jié)論比較簡(jiǎn)單,即證“a、b、c都為正數(shù)”,可用反證法.證明:假設(shè)a、b、c不全大于0,不妨設(shè)a≤0.當(dāng)a=0時(shí),abc=0與abc>0矛盾.當(dāng)a<0時(shí),∵abc>0,∴bc<0.∵a+b+c>0,∴b+c>-a>0.∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,與ab+bc+ca>0矛盾.∴假設(shè)不成立.∴a>0,b>0,c>0成立.綠色通道
“都”的反面是“不都”或“不全”,即“至少有一個(gè)”,情況較多.本題中a、b、c同等地位,可不妨設(shè)a≤0,要全部否定,注意有“=”.變式訓(xùn)練
1.若x>0,y>0,且x+y>2,求證:
1?y1?x、中至少有一個(gè)小于2.xy 1 證明:假設(shè)1?y1?xx、y都大于等于2, 即1?y1x≥2,?xy≥2.∵x>0,y>0,∴1+y≥2x,1+x≥2y.∴2+(x+y)≥2(x+y).∴x+y≤2,與x+y>2矛盾.∴假設(shè)不成立.∴1?yx、1?xy中至少有一個(gè)小于2成立.【例2】設(shè)a、b、c∈(0,1),求證:(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14.分析:本題結(jié)論情況較復(fù)雜,正面不易證出,可用反證法.證法一:假設(shè)(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14, 即(1-a)b>14,(1-b)c>114,(1-c)a>4.∵0
2.∴1?a?b2≥(1?a)b>12.∴1-a+b>1.∴b>a.同理可得c>b,a>c.∴a+b+c>a+b+c,即0>0,矛盾.∴假設(shè)不成立.∴(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于
14.證法二:假設(shè)(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14, 即有b-ab>1114,c-bc>4,a-ac>4.三式相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c>164.∵0
本題為否定性命題,用反證法證明并結(jié)合基本不等式完成推理.變式訓(xùn)練
2.設(shè)0 21.2分析:本題是判斷函數(shù)值的大小,但結(jié)論包括多種不同的情況,“至少”問(wèn)題可用反證法.證法一:假設(shè)｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜都小于 1, 21, 21｜f(2)｜=｜4+2p+q｜<, 21｜f(3)｜=｜9+3p+q｜<.2則｜f(1)｜=｜1+p+q｜<∴｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜<2.而｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜≥｜f(1)+f(3)-2f(2)｜=｜(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)｜=2,矛盾.∴假設(shè)不成立.∴｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一個(gè)不小于證法二:假設(shè)｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜都小于即｜f(1)｜< 21.21, 2111,｜f(2)｜<,｜f(3)｜<.222111,｜4+2p+q｜<,｜9+3p+q｜<, 222∵f(x)=x+px+q, ∴｜1+p+q｜< 3 111111<1+p+q<,-<4+2p+q<,-<9+3p+q<.2222223∴- 得 1272172<-(p+q)<, 92192<2p+q<-，<3p+q<-.1232.②④,得-4 得 72<-(2p+q)< 92.⑥ 由③⑥,⑦ 由⑤⑦,得矛盾.∴假設(shè)不成立.∴｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一個(gè)不小于 得-6 1.2綠色通道 本題利用函數(shù)研究函數(shù)值,證法一中構(gòu)造了絕對(duì)值不等式,較為簡(jiǎn)練,但不易想出;證法二中方法比較自然,去掉絕對(duì)值號(hào),根據(jù)不等式的性質(zhì)消元得出前后結(jié)論矛盾.變式訓(xùn)練 3.已知a、b、c均為實(shí)數(shù),a=x-2y+ 2???2 2,b=y-2z+,c=z-2x+,求證:a、b、c中至少有一236個(gè)大于0.證明:假設(shè)a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0, 則a+b+c≤0.又∵a+b+c =(x-2y+22???22)+(y-2z+)+(z-2x+)2362=x-2x+y-2y+z-2z+π 222=(x-1)+(y-1)+(z-1)+π-3 ≥π-3>0.∴矛盾.∴假設(shè)不成立.∴a、b、c中至少有一個(gè)大于0.2 4 5.3.1 比較法 自主整理 1.比較法一般分為兩種:________________和________________.2.作差比較法 (1)作差比較法的證明依據(jù):________________________________.(2)基本步驟:①作差;②合并化簡(jiǎn);③分解因式(或配方);④與0比較大小.3.作商比較法 (1)作商比較法的證明依據(jù):________________________________.(2)基本步驟:①______________;②______________;③______________;④______________.高手筆記 1.比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用,在其一般步驟中,變形是證明過(guò)程中的關(guān)鍵,變形常用的方法有配方法和分解因式法,其目的是要判斷差的正負(fù)號(hào)或商的分子、分母的大小關(guān)系,從而進(jìn)一步作出比較.2.一般地,論證多項(xiàng)式結(jié)論的不等式常用作差比較法,而有關(guān)冪、指數(shù)的不等式常用作商比較法,證明對(duì)數(shù)不等式常用作差比較法,這與它們的運(yùn)算性質(zhì)有關(guān).若“差”或“商”中含有參數(shù)時(shí),可對(duì)其進(jìn)行分類討論,注意分類的標(biāo)準(zhǔn),做到“不重不漏”.名師解惑 如何正確使用作商法? 剖析:在作商比較兩個(gè)數(shù)的大小時(shí),不要盲目地下結(jié)論,如的變形實(shí)質(zhì)上是在不等式 b＜1?a＞b是錯(cuò)誤的,因?yàn)檫@里ab＜1兩邊同乘a所得,但不等式的性質(zhì)中同乘一個(gè)正數(shù)和同乘一a個(gè)負(fù)數(shù)是不同的,當(dāng)a＞0時(shí),得b＜a,但當(dāng)a＜0時(shí),得b＞a,所以應(yīng)該看分母的符號(hào)是否確定,如果不確定要對(duì)其正、負(fù)進(jìn)行分類討論,即不等式的證明要以不等式的性質(zhì)為依據(jù).使用兩個(gè)實(shí)數(shù)具有的性質(zhì)進(jìn)行比較.講練互動(dòng) 22【例1】求證:a+b＞2(a-b-2).分析:此不等式的兩邊為多項(xiàng)式結(jié)構(gòu),通常用作差比較法進(jìn)行證明.22證明:∵a+b-2(a-b-2)22=a+b-2a+2b+4 22=(a-1)+(b+1)+2＞0, 22∴a+b＞2(a-b-2).綠色通道 不等號(hào)兩邊為多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)的不等式,通常用作差比較法證明,通過(guò)配方或分解因式變形,判斷符號(hào).變式訓(xùn)練 5532231.已知a、b都是正數(shù),且a≠b,求證:a+b＞ab+ab.證***322332222明:a+b-(ab+ab)=(a-ab)+b-ab=a(a-b)-b(a-b)=(a-b)(a-b)=(a-b)(a+b)(a+a2b+b)，22∵a、b都是正數(shù),∴a+b＞0,a+ab+b＞0.2∵a≠b,∴(a-b)＞0.∴(a-b)(a+b)(a+ab+b)＞0,即a+b＞ab+ab成立.2a2b2cb+cc+aa+b【例2】已知a＞b＞c＞0,求證:a·b·c＞a·b·c.分析:不等式的兩邊都是指數(shù)冪的乘積,根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則,可用作商比較法.222553223a2a?b2b?c2c2a-(b+c)2b-(a+c)2c-(a+b)證明:b?c=a·b·c, a?ca?ba?b?c∵a＞b＞c＞0, ∴2a-b-c＞0,2c-a-b＜0.2a-b-c2a-b-c2c-a-b2c-a-b∴a＞b,c＞b.2a-b-c2b-a-c2c-a-b2a-b-c2b-a-c2c-a-b0∴a·b·c＞b·b·b=b=1.a2a?b2b?c2c∴b?c＞1.a?ca?ba?b?c∴a·b·c＞a·b·c.綠色通道 指數(shù)冪結(jié)構(gòu)的不等式一般用作商比較法證明,并運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)胤趴s,與1比較大小.變式訓(xùn)練 abba2.已知a＞b＞0,求證:ab＞ab.2a2b2cb+ca+c a+baabba-bb-aaa-b證明:ba=a·b=()，bab∵a＞b＞0,∴∴(a＞1,a-b＞0.baa-b)＞1.baabbabba∴ba＞1.∴ab＞ab成立.ab【例3】已知a≥1,求證:a?1?a?a?a?1.分析:因不等式兩邊進(jìn)行分子有理化相減后,可判斷差的符號(hào),故可用作差法進(jìn)行證明.又∵a≥1,∴不等式兩邊都大于0,故還可以用作商法進(jìn)行證明.證法一:∵(a?1?a)-(a?a?1)=1a?1?a?1a?a?1 =a?1?a?1(a?1?a)(a?a?1)＜0, ∴a?1?a＜a?a?1.2 1證法二:∵a?1?a?1?aa?a?1?a1 a?a?1=a?a?1a?1?a＜1, 又∵a?a?1＞0, ∴a?1?a＜a?a?1成立.綠色通道 對(duì)于兩根式相加或相減,常用平方差公式進(jìn)行分子或分母有理化變形.變式訓(xùn)練 3.若a＞0,b＞0,求證:ab+ ba≥a?b.證明:∵a＞0,b＞0, ∴ab?ba-(a+b)= a?bb?b?aa =(a-b)(1b-1a)=(a?b)(a?b)ab =(a?b)(a?b)2ab.∵a＞0,b＞0,∴a?b＞0,ab＞0,(a?b) 2≥0.∴ab?ba-(a?b)≥0，即a?bba≥a?b.【例4】已知a、b是兩正實(shí)數(shù),試比較an +bn 與an- 1b+abn-1 (n∈N*,n＞1)的大小.解:an+bn-(an-1b+abn-1)=an+bn-an-1b-abn-1=an-1(a-b)-bn-1(a-b)=(a-b)(an-1-bn-1).①當(dāng)a＞b＞0時(shí),有a-b＞0,an-1-bn-1＞0,得(a-b)(an-1-bn-1)＞0,即an+bn＞an-1b+abn-1 .②當(dāng)b＞a＞0時(shí),有a-b＜0,an-1-bn-1＜0,得(a-b)(an-1-bn-1)＞0,即an+bn＞an-1b+abn-1 .③當(dāng)b=a＞0時(shí),(a-b)(an-1-bn-1)=0.∴當(dāng)a=b時(shí),an+bn=an-1b+abn-1 .綜上,當(dāng)a≠b時(shí),an+bn＞an-1b+abn-1 ;當(dāng)a=b時(shí),an+bn=an-1b+abn-1 .綠色通道 若各因子的符號(hào)不確定時(shí),可根據(jù)情況進(jìn)行分類討論,分類時(shí)做到“不重不漏”.變式訓(xùn)練 4.已知a、b∈R+,n∈N*,求證:(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+ 1).證明:∵(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+ban+bn+1-2an+1-2bn+1 =a(bn-an)+b(an-bn)=(an-bn)(b-a),(1)當(dāng)b＞a＞0時(shí),bn>an,b-a＞0.∴an-bn<0.∴(an-bn)(b-a)＜0.(2)當(dāng)a＞b＞0時(shí),an-bn＞0,b-a＜0, ∴(an-bn)(b-a)＜0.(3)若a=b＞0時(shí),(an-bn)(b-a)=0.綜上(1)(2)(3),可知對(duì)于a、b∈R+,n∈N*,都有(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).4 2.1.5證明不等式的基本方法——反證法 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.掌握反證法證明不等式的方法.2.掌握反證法證明不等式的方法步驟.【自主學(xué)習(xí)】 1.什么是反證法？ 2.反證法證明不等式的理論依據(jù)是什么？ 3.反證法證明不等式的步驟有哪些？通常什么樣的問(wèn)題的證明用反證法？ 【自主檢測(cè)】 1.設(shè)a,b∈R,給出下列條件：①a+b＞1②a+b=2③a+b＞2④＞2⑤ab＞1.其中能給出“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是.2.已知a,b,c是互不相等的非零實(shí)數(shù),用反證法證明下列三個(gè)方程： 0中至少有一個(gè)方程有兩 個(gè)相異實(shí)根.3.已知 （1）證明：函數(shù)f(x)在（－1,+∞）上為增函數(shù); （2）用反證法證明方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.【典型例題】 例1.若x,y都是正實(shí)數(shù),且x+y＞2,求證： 例2.已知 為－.求證 ,若a+c=0,f(x)在[－1,1]上的最大值為2,最小值中至少有一個(gè)成立.例3.若p＞0,q＞0,且p3+q3=2, 求證：p+q≤ 2例4.設(shè)a,b,c都是奇數(shù),求證：方程 沒(méi)有整數(shù)根.【課堂檢測(cè)】 1.用反證法證明質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)的過(guò)程如下： 假設(shè)______________．設(shè)全體質(zhì)數(shù)為p1、p2、?、pn，令p＝p1p2?pn＋1.顯然，p不含因數(shù)p1、p2、?、pn.故p要么是質(zhì)數(shù)，要么含有______________的質(zhì)因數(shù)．這表明，除質(zhì)數(shù)p1、p2、?、pn之外，還有質(zhì)數(shù)，因此原假設(shè)不成立．于是，質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)． 2.已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.用反證法證明：a+b+c≥ 3.若a,b∈N*,ab能被5整除,求證：a,b至少有一個(gè)能被5整除.4.已知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝ 4能成等差數(shù)列． 【總結(jié)提升】 1.當(dāng)要證明的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯,直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰時(shí)的不等式的證明常用反證法.2.如果從正面入手證明需分多種情況進(jìn)行分類討論,而從反面進(jìn)行證明,只研究一種或很少的幾種情況的不等式證明常用反證法...求證：數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可 §2.1.6證明不等式的基本方法——放縮法 （一）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 3.理解放縮法證明不等式的原理.4.掌握放縮法證明不等式的方法步驟.【自主學(xué)習(xí)】 4.什么是放縮法,放縮法證明不等式的理論依據(jù)是什么？ 5.放縮法證明不等式時(shí),如何把握放大和縮?。?【自主檢測(cè)】 1.求證: ? k?1n 15* ?（n∈N）k23 2.求證： 11??1* ?2?（n∈N）??2n?2n?12n?1? 6n11 ?1??? (n?1)(2n?1)49 ? 15* .(n∈N）? n23 3.求證: 【典型例題】 例1.已知n∈ N*求證：（1 ? ;??.（2）2?1? ??an1aa 例2.已知an?2n?1(n?N*).求證：??1?2?...?n(n?N*).23a2a3an?1 例3．函數(shù)f（x）= 例4．已知an=n，求證：∑ k=1 【課堂檢測(cè)】 1.求證:1? n 4x1?4x，求證：f（1）+f（2）+?+f（n）>n+ 12n?1 ?(n?N*)2 k ak ＜3． 11171??????(n?2)222 62(2n?1)35(2n?1) 2n3 2.已知an?4?2,Tn?,求證:T1?T2?T3???Tn? 2a1?a2???an n n 6.求證:（1）(1?1)(1?)(1?)?(1?)? 352n?1 2n?1.（2）(1? 1111)(1?)(1?)?(1?)?2462n 12n?1 4.已知函數(shù)f? x?? x??0,???.對(duì)任意正數(shù)a,證明：1?f?x??2． 【總結(jié)提升】 所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對(duì)照證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大和縮小的過(guò)程，在使用放縮法證題時(shí)要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來(lái)證明不等式，也可以是其他方法證題時(shí)的一個(gè)重要步驟。 2.1.4證明不等式的基本方法——反證法 （一）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.掌握反證法證明不等式的方法.2.掌握反證法證明不等式的方法步驟.【自主學(xué)習(xí)】 1.什么是反證法？ 2.反證法證明不等式的理論依據(jù)是什么？ 3.反證法證明不等式的步驟有哪些？通常什么樣的問(wèn)題的證明用反證法？ 【自主檢測(cè)】 1.實(shí)數(shù)a，b，c不全為0的條件為（） A.a,b,c均不為有B.a,b,c中至多有一個(gè)為0 C.a,b,c中至少有一個(gè)為0 D.a,b,c中至少有一個(gè)不為0 2.若a,b∈R,|a|+|b|＜1,求證：方程的兩根的絕對(duì)值都小1.3.已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd＞1.求證：a,b,c,d中至少有一個(gè)是 負(fù)數(shù).【典型例題】 a?ma?.例1.利用反證法證明：若已知a，b，m都是正數(shù)，并且a?b，則 b?mb 例2.若x, y > 0，且x + y >2，則 例3.設(shè)a3?b3?2，求證a?b?2.例4.設(shè)0 < a, b, c < 2，求證：(2 ? a)c,(2 ? b)a,(2 ? c)b不可能同時(shí)大于1 【課堂檢測(cè)】 1.否定結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的說(shuō)法中，正確的是() A．有一個(gè)解B．有兩個(gè)解 C.至少有三個(gè)解D．至少有兩個(gè)解 2.已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0,abc＞0,求證：a,b,c＞0.1?y1?x和中至少有一個(gè)小于2.xy 3.設(shè)二次函數(shù)f(x)?x2?px?q，求證：f(1),f(2),f(3)中至少有一個(gè)不小于1.2 4.設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時(shí)大1于 4 【總結(jié)提升】 1.前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說(shuō)，直接從題設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列的邏輯推理，證明不等式成立。但對(duì)于一些較復(fù)雜的不等式，有時(shí)很難直接入手求證，這時(shí)可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實(shí)性，而是證明它的反論題為假，或轉(zhuǎn)而證明它的等價(jià)命題為真，以間接地達(dá)到目的。其中，反證法是間接證明的一種基本方法。 2.反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾。具體地說(shuō)，反證法不直接證明命題“若p則q”，而是先肯定命題的條件p，并否定命題的結(jié)論q，然后通過(guò)合理的邏輯推理，而得到矛盾，從而斷定原來(lái)的結(jié)論是正確的。 3.利用反證法證明不等式，一般有下面幾個(gè)步驟： 第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論； 第二步作出與所證不等式相反的假定； 第三步從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果； 第四步斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開(kāi)始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。 4.2數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式?1?x??1?nx?x??1,x?0,n?N??，了解當(dāng)n n 為實(shí)數(shù)時(shí)貝努利不等式也成立 2.培養(yǎng)使用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本技能 【自主學(xué)習(xí)】 1.使用數(shù)學(xué)歸納法獨(dú)立完成貝努利不等式?1?x??1?nx?x??1,x?0,n?N??的證n 明 2.自我感悟什么樣的不等式易于用數(shù)學(xué)歸納法證明？ 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)要使用歸納假設(shè)進(jìn)行放縮，如何放縮才能奏效，要積累經(jīng)驗(yàn)，特別是出現(xiàn)二次式時(shí)要注意留心總結(jié).4．對(duì)于兩個(gè)數(shù)的大小的探究要提高警惕，一般探究要比較的豐富，才利于做出正確的猜測(cè).【自主檢測(cè)】 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1??? 1213?1*?nn?N,n?1?時(shí)，由n=k（k>1）時(shí)不等?2n?1 式成立，推證n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（） A.2k?1B.2k?1C.2kD.2k?1 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明11??n?1n?2?111??n?N*?時(shí)，由n=k到n=k+1時(shí)，不n?n2 4等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是＿＿＿＿ 3.當(dāng)n=1，2，3，4，5，6 時(shí)，比較2n與n2后，你提出的猜想是＿＿＿＿ 【典型例題】 1??1??1?例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：?n?N?,n?1? ?1???1???1???352n?1?????? 例2.設(shè)數(shù)列?an?滿足an?1?an2?nan?1?n?N*? ?1?.a1?2時(shí)，求a2,a3,a4并由此猜想?an?的一個(gè)通項(xiàng)公式 ?2?a1?3時(shí)，證明對(duì)所有n?1有1an?n?2 2例3.已知函數(shù)g?x??x2?2x?x?1?,f?x???a?b??ax?bx，其中a、b?R,a?1,b?1,a?b,ab?4對(duì)于任意的正整數(shù)n，指出f?n?與g?2n?的大小關(guān)系，并證明之 x11 +?1?a11?a2?11? 1?an 2【課堂檢測(cè)】 1.設(shè)n為正整數(shù)，f?n??1?????n?N??，計(jì)算知11231n 357f?2??,f?4??2,f?8??,f?16??3,f?32??，據(jù)此可以猜測(cè)得出一般性結(jié)論為()222 2n?1n?2n?2 A.f?2n??B.f?n2??C.f?2n??D.以上都不對(duì) 222 n0為驗(yàn)證的第一個(gè)值，2.欲用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于足夠大的正整數(shù)n，總有2n?n3，則()A.n0?1B.n0為大于1小于10的某個(gè)整數(shù)C.n0?10D.n0?2 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明1????11241127，n的起始值至少應(yīng)取為?n?126 44.等比數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的正整數(shù)n，點(diǎn)?n,Sn?均在函數(shù) y?bx?r(b?0,b?1，b、r均為常數(shù)）的圖像上.(1)求r的值 (2)當(dāng)b=2時(shí)，記bn?2?log2an?1 ??n?N*?，證明對(duì)所有正整數(shù)n，不等式 b1?1b2?1??b1b2bn?1? bn 【總結(jié)提升】 1.數(shù)學(xué)歸納法依然是證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式行之有效的方法.但在證明遞推的依據(jù)是成立的時(shí)候常常需要放縮，故千萬(wàn)要注意不等式的基本性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性的作用.2.數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)有時(shí)不能直接進(jìn)行，常需加強(qiáng)命題，為此難度就比較大，且加強(qiáng)又不易完成.如證明1? 為1?11??2232?11?2?223?15??n?N*,n?1?，就可以加強(qiáng)2n3152??n?N*,n?1?再用數(shù)學(xué)歸納法.?2n32n?1 3.不過(guò)關(guān)于n的不等式的證明不一定要用數(shù)學(xué)歸納法，有時(shí)使用函數(shù)的單調(diào)性就可以；放縮也是不可忽視的方法.第二篇：高中數(shù)學(xué)53不等式的證明531比較法知識(shí)導(dǎo)航學(xué)案蘇教版4-5!
第三篇：高中數(shù)學(xué)選修4-5：2.1.5證明不等式的基本方法——反證法
第四篇：高中數(shù)學(xué)選修4-5：2.1.4證明不等式的基本方法——反證法(一)
第五篇：高中數(shù)學(xué)選修4-5：42數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 學(xué)案
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