第一篇：高中數(shù)學5.6數(shù)學歸納法與知識導航學案蘇教版選修

5.6 數(shù)學歸納法與不等式

自主整理

數(shù)學歸納法證明命題P(n)的兩個步驟: 第一步:證明命題_____________成立,即證命題當n取第一個值n0(例如n0=1,2等)時成立.* 第二步:假設命題P(k)(k∈N,且k≥n0)成立,證明_____________成立,根據(jù)以上兩步得*到當n≥n0且n∈N時命題P(n)成立.高手筆記

1.數(shù)學歸納法是證明與正整數(shù)n有關的命題的一種方法.2.數(shù)學歸納法證明命題的原理: 第一步證明當n=n0時命題成立,即P(n0)成立.由P(n0)成立與第二步可得P(n0+1)成立;由P(n0+1)成立及第二步,可得P(n0+2)成立……依次類推,可得對于任意的自然數(shù)n(n≥n0),命題P(n)都成立.3.數(shù)學歸納法的兩個步驟缺一不可,最后要總結所要證的結論.4.數(shù)學歸納法中所取的第一個值n,不一定是1,有可能是0,2,3等值,要審清題意.名師解惑

數(shù)學歸納法及其證明思路是什么? 剖析:歸納法是指由一系列有限的特殊事例得出的一般結論的推理方法,它包括不完全歸納法和完全歸納法.不完全歸納法是根據(jù)事物的部分(而不是全部)特殊事例得出的一般結論的推理方法.我們知道僅根據(jù)一系列有限的特殊事例所得出的一般結論有時是不正確的,其正確性可用數(shù)學歸納法來證明.數(shù)學歸納法一般用來證明涉及與正整數(shù)n有關的命題,但不能說證明所有的與正整數(shù)n有關的命題都可用數(shù)學歸納法.用數(shù)學歸納法證明問題時,兩步缺一不可.第一步是基礎;第二步反映了無限遞推關系,即命題的正確性具有傳遞性,若只有第一步而沒有第二步,只有證明了命題在特殊情況下的正確性是不完全歸納法.若只有第二步?jīng)]有第一步,那么假設n=k成立,即P(k)成立就沒有根據(jù),缺少遞推的基礎,也無法進行遞推,有了步驟一和步驟二使傳遞成為可能,由一、二步得出命題成立.證明時歸納假設的利用是數(shù)學歸納法證明的關鍵,即第二步必須用上假設n=k成立推證出n=k+1成立,在證明過程中,需根據(jù)命題的變化、特點,利用拼湊或放縮,得出結論.講練互動

【例1】用數(shù)學歸納法證明

111111?????????.1?23?4(2n?1)?2nn?1n?2n?n分析:用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)n有關的命題,關鍵是第二步,要注意當n=k+1時,等式兩邊的式子與n=k時等式兩邊的式子的聯(lián)系,增加了哪些項,減少了哪些項,隨n怎樣變化.證明:(1)當n=1時,左邊=

111=,右邊=,等式成立.1?222(2)假設當n=k時等式成立, 即111???? 1?23?4(2k?1)?2k=111????, k?1k?22k

則當n=k+1時, 左邊=1111 ?????1?23?4(2k?1)?2k(2k?1)(2k?2)=1111 ?????k?1k?22k(2k?1)(2k?2)111111?????(?)? k?2k?32k2k?12k?2k?111111??????= k?2k?32k2k?12k?2==1111?????

(k?1)?1(k?1)?2(k?1)?k(k?1)?(k?1)=右邊.∴當n=k+1時等式成立.由(1)(2)可知等式恒成立.綠色通道

用數(shù)學歸納法證明恒等式時,一定注意等式兩邊的式子隨n怎樣變化,需要增加哪些項,且當n=k+1時,代入假設后要進行觀察,進行適當變換完成.變式訓練

1.用數(shù)學歸納法證明 2222221-2+3-4+…+(2n-1)-(2n)=-(1+2+3+…+2n).22證明:(1)當n=1時,左邊=1-2=-3,右邊=-(1+2×1)=-3, ∴左邊=右邊,等式成立.222222(2)假設當n=k時,等式成立,即1-2+3-4+…+(2k-1)-(2k)=-(1+2+…+2k)，22222222則當n=k+1時,左邊=1-2+3-4+…+(2k-1)-(2k)+(2k+1)-［2(k+1)］=-(1+2+…22+2k)+(2k+1)-［2(k+1)］

=-(1+2+3+…+2k)+［(2k+1)+2(k+1)］［(2k+1)-2(k+1)］ =-(1+2+3+…+2k)-(2k+1)-2(k+1)=-［1+2+3+…+(2k+1)+2(k+1)］=右邊.∴當n=k+1時,等式成立.由(1)(2),可知等式恒成立.【例2】設an=1?2?2?3+…+n(n?1)(n∈N).證明112n(n+1)

2n(n+1)=1,(n+1)=2.22112

k(k+1)

則當n=k+1時,112k(k+1)+(k?1)(k?2)

在所證明的不等式與自然數(shù)n有關,而不易合并的情況下,可用數(shù)學歸納法證明.變式訓練

111n?.++…+n232?121證明:(1)當n=1時,左邊=1,右邊=,∴不等式成立.2111k(2)假設當n=k時,不等式成立,即1+++…+k>.232?12111111?k?k??+k?1則當n=k+1時,左邊=1+++…+k>

232?122?12?12.已知n∈N,用數(shù)學歸納法證明1+k111k?k?k??+k?1>+222?12?12∴當n=k+1時不等式成立.由(1)(2),可知不等式恒成立.【例3】（2006高考江西卷,22）已知數(shù)列{an}滿足:a1=

=

k1k?1+=.2223nan?13*,且an=(n≥2,n∈N).22an?1?n?1(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求證:對一切正整數(shù)n,不等式a1·a2·…·an<2·n!恒成立.分析:由題設條件知,可用構造新數(shù)列的方法求得an;第(2)問的證明,可以等價變形,視為證明新的不等式.解:(1)將條件變?yōu)?-n1n?1=(1-), an3an?1因此,數(shù)列{1-

1n11n1}為一個等比數(shù)列,其首項為1-=,公比為,從而1-?n，3ana13an3

據(jù)此得an=

n?3n3n?

1(n≥1).①

(2)證明:據(jù)①,得 a1·a2·…·an=

n!.111(1?)(1?2)?(1?n)3331313213n12為證a1·a2·…·an<2·n!, 只②

顯然,左端每個因式皆為正數(shù),先證明,對每個n∈N,(1-(1-*要證n∈N*時有(1-)(1-)…(1-)>.13n)≥1-（13+

132+…

11)(1-2)…331+).n3③

用數(shù)學歸納法證明③式:(Ⅰ)n=1時,顯然③式成立,(Ⅱ)假設n=k時,③式成立, 即(1-111111)(1-2)…(1-k)≥1-(+2+…+k), 333333則當n=k+1時, 1111)(1-2)…(1-k)(1-k?1)33331111≥［1-(+2+…+k)］(1-k?1)333311111111=1-(+2+…+k)-k?1+k?1(+2+…+k)333333331111≥1-(+2+…+k+k?1), 3333(1-即當n=k+1時，③式也成立.*故對一切n∈N,③式都成立.11[1?()n]1111113 利用③,得(1-)(1-2)…(1-n)≥1-(+2+…+n)=1-313333331?311n111n1=1-［1-()］=+()>.232232綠色通道

本題提供了用數(shù)學歸納法證明相關問題的一種證明思路,即要證明的不等式不一定非要用數(shù)學歸納法去直接證明,我們通過分析法、綜合法等方法的分析,可以找到一些證明的關鍵,“要證明……”,“只需證明……”,轉化為證明其他某一個條件,進而說明要證明的不

等式是成立的.變式訓練

3.已知數(shù)列{an}是正數(shù)組成的等差數(shù)列,Sn是其前n項的和,并且a3=5,a4S2=28.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求證:不等式(1+

112311*)(1+2)…(1+)·≥對一切n∈N均成立.a3a1an2n?112n?1顯得“多余”,所以分析:第(2)問中的不等式左側,每個括號的規(guī)律是一致的,因此可嘗試變形,即把不等式兩邊同乘2n?1,然后再證明.?a1?2d?5,(1)解:設數(shù)列{an}的公差為d,由已知,得?

(2a?d)(a?3d)?28.1?1∴(10-3d)(5+d)=28.∴3d+5d-22=0.解之,得d=2或d=?∵數(shù)列{an}各項均為正, ∴d=2.∴a1=1.∴an=2n-1.*(2)證明:∵n∈N, ∴只需證明(1+

211.3111)(1+2)…(1+n)aaa1≥232n?1成立.3①當n=1時,左邊=2,右邊=2, ∴不等式成立.②假設當n=k時,不等式成立,即(1+12311)(1+2)…(1+)≥2k?1.a3a1ak1111)(1+2)…(1+)(1+)aa1akak?1那么當n=k+1時,(1+≥2332k?1(1+1ak?1)=

232k?2, ?32k?1以下只需證明232k?223≥2k?3，332k?1

即只需證明2k+2≥2k?1?2k?3.∵(2k+2)-(2k?1?2k?3)=1>0, ∴(1+2

2111)(1+2)…(1+)aa1ak?1≥23232k?3?2(k?1)?1.33*綜上①②,知不等式對于n∈N都成立.【例4】設Pn=(1+x),Qn=1+nx+n

n(n?1)2x,n∈N*,x∈(-1,+∞),試比較Pn與Qn的大小,并加2以證明.分析:這類問題,一般都是將Pn、Qn退至具體的Pn、Qn開始觀察,以尋求規(guī)律,作出猜想,再證明猜想的正確性.2P1=1+x=Q1,P2=1+2x+x=Q2, 232P3=1+3x+3x+x,Q3=1+3x+3x, 3P3-Q3=x, 由此推測,Pn與Qn的大小要由x的符號來決定.解:(1)當n=1,2時,Pn=Qn.(2)當n≥3時,(以下再對x進行分類)①若x∈(0,+∞),顯然有Pn>Qn;②若x=0,則Pn=Qn;③若x∈(-1,0), 3則P3-Q3=x<0,所以P3

3k(k?1)x22k(k?1)x=1+kx++x+kx+

22k(k?1)2k(k?1)3x+x 22k(k?1)3x

本題除對n的不同取值會有Pn與Qn之間的大小變化,變量x也影響Pn與Qn的大小關系,這就要求我們在探索大小關系時,不能只顧“n”,而忽視其他變量(參數(shù))的作用.變式訓練

xn?x?nn2?1*4.已知f(x)=n,對n∈N,試比較f(2)與2的大小,并說明理由.n?1x?x?n

分析:利用分析法探求需要推理證明的關系,然后用數(shù)學歸納法證明.n2?1n2?1?22??1?解:設F(n)=2, n?1n2?1n2?1f(2)=1-2, n2?1n2因而只需比較2與n的大小.1222324252n2n=1時,2>1;n=2時,2=2;n=3時,2<3;n=4時,2=4,n=5時,2>5,猜想n≥5時,2>n,即k22>k(k≥5),則當n=k+1時, k+1k22=2×2>2×k 22=k+k+2k+1-2k-1 22=(k+1)+(k-1)-2 2>(k+1).n2?1綜上所述,n=1或n≥5時,f(2)>2.n?1

第二篇：高中數(shù)學1.1.2充分條件和必要條件教學案選修1-1

教學目標：

1．鞏固理解充分條件與必要條件的意義，進一步掌握判斷的方法． 2．會求命題的充要條件以及充要條件的證明．

教學重點：從不同角度來進行充分條件、必要條件和充要條件的判斷． 教學難點：充要條件的求解與證明． 教學方法：問題鏈導學，講練結合． 教學過程：

一、數(shù)學建構

充要條件判斷的常用方法：

（1）從定義出發(fā)：首先分清條件和結論，然后運用充要條件的定義來判斷；（2）從集合出發(fā)：從兩個集合之間的包含關系來判斷．

“A是B的子集等價于A是B的充分條件”；

“A是B的真子集等價于A是B的充分不必要條件”；

“A＝B等價于A是B的充要條件”．

（3）從命題出發(fā)：如“原命題為真（即若p則q為真）”就說明p是q的充分條件．

二、知識應用

例1 指出下列命題中，p是q的什么條件．（在“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分又不必要條件”中選出一種）（1）p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1；

（2）p：A1A2＋B1B2＝0，q：直線A1x＋B1y＋C1＝0與直線A2x＋B2y＋C2＝0垂直；（3）p：E，F(xiàn)，G，H不共面，q：EF，GH不相交；（4）p：b2＝ac，q：a，b，c成等比數(shù)列．

例2 如果二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，則y＜0恒成立的充要條件是什么？

例3 求證：ac＜0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件．

三、隨堂練習1．已知那么 p是r的充分不必要條件,s是r的必要條件，q是s的必要條件，p是q成立的條件．

2．“(x－2)(x－3)＝0”是“x＝2”的 條件．

3x?R,則“x?1”是“x?x”3.設的.條件.4.“a＋b<0且ab>0”是“a<0且b<0”的 條件．

23x?0的 條件.x?05.（2010廣東文數(shù)）是

?6．（11重慶理2）“x???”是“x????”的條件.22x,y?Ry?2x?y?4”的 條件.x?27.（天津理2）設則“且”是“

x?2k??8.（2010上海文數(shù)）“

9.（2010山東文數(shù)）設

?4?k?Z?”是“tanx?1”成立的條件．

?an?是首項大于零的等比數(shù)列，則“a1?a2”是“數(shù)列?an?是遞增數(shù)列”的 條件.m?10.（2010廣東理數(shù)）“

14”是“一元二次方程x2?x?m?0”有實數(shù)解的 條件.班級：高二（）班

姓名：____________ 用“充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件或既不充分也不必要條件”填空． 1.（08江西卷1）“x?y”是“

x?y”的條件

2．（2013年高考湖南（文））“1

23.（2013年高考天津卷（文））設a,b?R, 則 “(a?b)a?0”是“a?b”的條件

4．（2013年高考安徽（文））“(2x?1)x?0”是“x?0”的條件 5.（2013年高考福建卷（文））設點P(x,y),則“x?2且y??1”是“點P在 直線l:x?y?1?0上”的條件

6.（2013年上海高考數(shù)學試題（文科））錢大姐常說“好貨不便宜”,她這句話的意思是:“好貨”是“不便宜”的 條件 7．（2014·安徽卷）“x＜0”是“l(fā)n(x＋1)＜0”的條件 8．(2014·北京卷)設{an}是公比為q的等比數(shù)列，則“q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的 條件

9．（05天津卷）設?、、?、?為平面，m、n、l為直線，則m??的一個充分條件 是

A． ???,????l,m?l C． ???,???,m??

B． ????m,???,???

D． n??,n??,m??

第三篇：高中數(shù)學 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第11課時 數(shù)系的擴充教學案 蘇教版選修1-2

第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入

第1課時 數(shù)系的擴充

教學目標：

1.理解數(shù)系的擴充是與生活密切相關的； 2.了解復數(shù)及其相關概念.教學重點：

復數(shù)及其相關概念，能區(qū)分虛數(shù)與純虛數(shù)，明白各數(shù)系的關系 教學難點：

復數(shù)及其相關概念的理解 教學過程： Ⅰ.問題情境

1.N、Z、Q、R分別代表什么？它們的如何發(fā)展得來的？

2判斷下列方程在實數(shù)集中的解的個數(shù)（引導學生回顧根的個數(shù)與?的關系）：

（1）x2?3x?4?0（2）x2?4x?5?0（3）x2?2x?1?0（4）x2?1?0

Ⅱ.建構數(shù)學

1.虛數(shù)單位

2.復數(shù)的概念

3.復數(shù)的分類

Ⅲ.數(shù)學應用

例1：寫出復數(shù)4，3－2i，0，?14?i，5+2i，6i的實部與虛部，并指出那些 23是實數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù).練習：寫出復數(shù)2?7，2－3i，0，?是實數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù).例2：實數(shù)m取什么值時，復數(shù)z?m(m?1)?(m?1)i是

2?5i，5+3i，7i的實部與虛部，并指出那些 3（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？

練習：實數(shù)m取什么值時，復數(shù)z?m2?m?2?(m2?1)i是（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？

例3： 已知x?y?(x?2y)i?2x?5?(3x?y)i，實數(shù)x，y的值.練習：已知復數(shù)a?bi與3?(4?k)i相等，且a?bi的實部、虛部分別是方程x2?4x?3?0 的兩根，試求：a,b,k的值.Ⅳ.課時小結: Ⅴ.課堂檢測 Ⅵ.課后作業(yè)

書本P60 習題1，2

第四篇：高中數(shù)學第三章推理與證明3.2數(shù)學證明知識導航北師大版選修1-2講義

§2 數(shù)學證明

自主整理

1.合情推理的結論有時不正確,對于數(shù)學命題,需要通過___________嚴格證明.2.___________是最常見的一種演繹推理形式.第一段講的是一般性道理,稱為___________;第二段講的是研究對象的特殊情況,稱為_____________;第三段是由大前提和小前提作出的判斷,稱為_____________.高手筆記

1.三段論是演繹推理的一般模式,可表示為: 大前提:M是P, 小前提:S是M, 結論:S是P.2.在應用三段論證明的過程中,因為作為一般性道理的大前提被人們熟知了,所以書寫時往往省略大前提.3.合情推理是認識世界、發(fā)現(xiàn)問題的基礎.結論不一定正確.演繹推理是證明命題、建立理論體系的基礎,二者相輔相成,在數(shù)學中證明一個命題,就是根據(jù)命題的條件和已知的定義、公理、定理,利用演繹推理的法則將命題推導出來,只要在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下,得到的結論就正確.名師解惑 三段論推理

剖析:三段論法的論斷基礎是這樣一個公理：“凡肯定(或否定)了某一類對象的全部,也就肯定(或否定)了這一類對象的各部分或個體.”簡言之:“全體概括個體.”

三段論中大前提是一個一般性結論,都具有的結論是共性,小前提是指其中的一個,結論為這一個也具有大前提中的結論,要得到一個正確的結論,大前提和小前提都必須正確,二者中一個有錯誤,結論就不正確,如所有的動物都用肺呼吸,魚是動物,所以魚用肺呼吸,此推理顯然錯誤,錯誤的原因是大前提錯了.再如所有的能被2整除的數(shù)是偶數(shù).合數(shù)是偶數(shù)所以合數(shù)能被2整除.錯誤的原因是小前提錯了.講練互動

【例1】梯形的兩腰和一底如果相等,它的對角線必平分另一底上的兩個角.已知在如圖所示的梯形ABCD中,AD∥BC,AD=DC=AD,AC和BD是它的對角線.求證:AC平分∠BCD,BD平分∠CBA.分析：本題可由三段論逐步推理論證.證明：(1)等腰三角形兩底角相等,(大前提)△DAC是等腰三角形,DA、DC為兩腰,(小前提)∴∠1=∠2.(結論)(2)兩條平行線被第三條直線截出的內(nèi)錯角相等,(大前提)∠1和∠3是平行線AD、BC被AC截出的內(nèi)錯角,(小前提)∴∠1=∠3.(結論)(3)等于同一個量的兩個量相等,(大前提)∠2和∠3都等于∠1,(小前提)∴∠2=∠3,(結論)即AC平分∠BCD.(4)同理DB平分∠CBA.綠色通道

命題的推理證明為多個三段論,稱為復合三段論.事實上,每一次三段論的大前提可不寫出,某一次三段論的小前提如果是它前面某次三段論的結論,也可不再寫出,即過程可簡寫.變式訓練

1.如圖所示,D、E、F分別是BC、CA、AB邊上的點,∠BFD=∠A,DE∥BA.求證:ED=AF.證明:(1)同位角相等,兩條直線平行,(大前提)∠BFD與∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)∴DF∥EA.(結論)(2)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形,(大前提)DE∥BA,且DF∥EA,(小前提)∴四邊形AFDE為平行四邊形.(結論)(3)平行四邊形的對邊相等,(大前提)ED和AF為平行四邊形的對邊,(小前提)∴ED=AF.(結論)【例2】在四邊形ABCD中,AB=CD,BC=AD(如圖).求證:ABCD為平行四邊形.寫出三段論形式的演繹推理.分析：原題可用符號表示為(AB=CD)且(BC=AD)?ABCD.用演繹推理來證明論題的方法,也就是從包含在論據(jù)中的一般原理推出包含在此題中的個別特殊事實.為了證明這個命題為真,我們只需在假設前提(AB=CD且BC=AD)為真的情況下,以已知公理、已知定義、已知定理為依據(jù),根據(jù)推理規(guī)則,導出結論ABCD為真.證明：(1)連結AC,(公理)(2)(AB=CD)且(BC=AD),(已知)AC=AC,(公理)(AB=CD)且(BC=DA)且(CA=AC).(3)平面幾何中的邊邊邊定理是:有三邊對應相等的兩個三角形全等.這一定理相當于: 對于任意兩個三角形,如果它們的三邊對應相等,則這兩個三角形全等.(大前提)如果△ABC和△CDA的三邊對應相等.(小前提)則這兩個三角形全等.(結論)符號表示:(AB=CD)且(BC=DA)且(CA=AC)?△ABC≌△CDA.(4)由全等形的定義,可知全等三角形的對應角相等.這一性質(zhì)相當于: 對于任意兩個三角形,如果它們?nèi)?則它們對應角相等.(大前提)如果△ABC和△CDA全等,(小前提)則它們的對應角相等.(結論)用符號表示,就是

△ABC≌△CDA?(∠1=∠2)且(∠3=∠4)且(∠B=∠D).(5)兩條直線被第三條直線所截,如果內(nèi)錯角相等,那么這兩條直線平行.(平行線判定定理)(大前提)直線AB、DC被直線AC所截,若內(nèi)錯角∠1=∠2, ∠1=∠2.(小前提)(已證)AB∥DC,BC∥AD.(AB∥DC)且(BC∥AD).(結論)(同理)(6)如果四邊形的兩組對邊分別平行,那么這個四邊形是平行四邊形.(平行四邊形定義)(大前提)在四邊形ABCD中,兩組對邊分別平行,(小前提)四邊形ABCD為平行四邊形.(結論)符號表示為AB∥DC,且AD∥BC四邊形ABCD為平行四邊形.綠色通道

像上面這樣詳細地分析一個證明的步驟,對于養(yǎng)成嚴謹?shù)耐评砹晳T,發(fā)展抽象思維能力,是有一定的積極作用,但書寫起來非常煩瑣,一般可以從實際出發(fā)省略大前提或小前提,采用簡略的符號化寫法,比如,本例題的證明,通?？梢赃@樣給出: 證明:連結AC.AB?CD???1??2?AB//DC??BC?DA??△ABC≌△CDA????四邊形ABCD為平行四邊形.??3??4?BC//AD?CA?AC??變式訓練

2.如圖所示為三個拼在一起的正方形,求證:α+β=

?.4

??,0<β<, 2211∴0<α+β<π.又tanα=,tanβ=，2311?tan??tan?23=1.∴tan(α+β)=?111?tan?tan?1??23證明:根據(jù)題意0<α<∵0<α+β<π, ∴在(0,π)內(nèi)正切值等于1的角只有一個∴α+β=

?.4?.4【例3】如圖所示,A、B、C、D四點不共面,M、N分別是△ABD和△BCD的重心.求證:MN∥平面ACD.分析：證明線面平行,關鍵是在面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行即可,本題是三段論證明的應用.證明：連結BM、BN并延長分別交AD、DC于P、Q兩點,連結PQ.∵M、N分別是△ABD和△BCD的重心, ∴P、Q分別為AD、DC的中點.又∵BMBN=2=,∴MN∥PQ.MPNQ又∵MN平面ADC,PQ平面ADC, ∴MN∥平面ACD.綠色通道

本題為一個三段論推理的問題,可以簡寫,遵循的原則是:如果a?b,b?c,則a?c.變式訓練

3.如圖所示,P是ABCD所在平面外一點,Q是PA的中點,求證:PC∥平面BDQ.證明:連結AC交BD于O, ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AO=OC.連結OQ, 又OQ是△APC的中位線,∴PC∥OQ.∵PC在平面BDQ外,OQ平面BDQ, ∴PC∥平面BDQ.632【例4】證明函數(shù)f(x)=x-x+x-x+1的值恒為正數(shù).分析：可對x的所有不同取值逐一給出證明,即完全歸納推理.證明：當x<0時,f(x)各項都是正數(shù), ∴當x<0時,f(x)為正數(shù);62當0≤x≤1時,f(x)=x+x(1-x)+(1-x)>0;33當x>1時,f(x)=x(x-1)+x(x-1)+1>0.綜上所述,f(x)的值恒為正數(shù).綠色通道

有關代數(shù)運算推理,也可用三段論表述,注意大前提和小前提必須明確.變式訓練 4.證明函數(shù)f(x)=-x2+2x在(-∞,1］上是增函數(shù).證明:任取x1、x2∈(-∞,1］,且x10.∵x1、x2≤1,x1≠x2, ∴x2+x1-2<0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

2+2x在(-∞,1］上是增函數(shù).教材鏈接

教材第59頁例2中的推理依據(jù)是什么? 大前提:a、b∈R,(a-6)2≥0.小前提:a21、a2、b1、b2為實數(shù),(a1b2-a2b1)≥0.結論:a22221b2-2a1b2a2b1+a2b1≥0.大前提:a-c≥b,則a≥b+c.小前提:a2b22b212-2a1b2a2b1+a21≥0.結論:2ab222b212a2b1≤a1b2+a21.大前提:a≤b,則a+c≤b+c.小前提:2a22+a221b2a2b1≤a1b22b1.結論:a2222222222+b221a2+2a1b2a2b1+b1b2≤a1b2+a1a2+a2b11b2, 即(a222221a2+b1b2)≤(a1+b1)(a2+b2).大前提:a2≤b2,即a≤|b|.小前提:(aa2222212+b1b2)≤(a1+b1)(a2+b2).結論:a1a2+b1b2222≤a1?b1·a2?b22.

第五篇：高中數(shù)學 1.4計數(shù)應用題教學案 理蘇教版選修2-3

1.4 計數(shù)應用題（理科）

教學目標：

利用排列組合知識以及兩個基本原理解決較綜合的計數(shù)應用題，提高應用意識和分析解決問題的能力．

教學重點：

理解排列和組合． 教學難點：

能運用排列和組合以及兩個計數(shù)原理解決簡單的實際問題．

教學過程：

一、知識回顧

排列：1．不重復； 2．有順序． 組合：1．不重復； 2．無順序．

Amn?mm?1m公式：C＝n 性質(zhì)：Cm，Cmn＝Cnn?1＝Cn＋Cn．

m!mn

二、數(shù)學應用

例1 高二（1）班有30名男生，20名女生，從50名學生中選3名男生，2名女生分別擔任班長，副班長，學習委員，文娛委員，文娛委員，體育委員，共有多少種不同的選法？

例2 2名女生，4名男生排成一排．（1）2名女生相鄰的不同排法共有多少種？（2）2名女生不相鄰的不同排法共有多少種？

（3）女生甲必須排在女生乙的左邊（不一定相鄰）的不同排法共有多少種？

例3 從0，1，2，…，9這10個數(shù)字中選出5個不同的數(shù)字組成五位數(shù)，其中大于13 000的有多少個？

例

4、將4位司機、4位售票員分配到四輛不同的班次的公共汽車上，每輛汽車分別有一位司機和一位售票員共有多少種不同的分配方案？

例

5、電視臺有8個節(jié)目準備分兩天播出，每天播出4個，其中某電視劇和某專題報道必須在第一天播出，一個談話節(jié)目必須在第二天播出，共有多少種不同的播出方案？

三、鞏固練習

教材P28練習第1，2，3題．

從5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論賽：

⑴如果4人中男生和女生各有2人，有多少種不同的選法？ ⑵如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，有多少種不同的選法？

⑶如果男生中的甲和女生中的乙至少有一人必須在內(nèi)，有多少種不同的選法？ ⑷如果4人中既有男生又有女生，有多少種不同的選法？

四、要點歸納與方法小結

1．相鄰（捆綁），不相鄰（插空）． 2．特殊元素（或位置）優(yōu)先安排． 3．混合問題，先組后排． 4．分類組合（隔板）．

1.4 計數(shù)應用題（理科）1、12名選手參加校園歌手大獎賽，比賽設一等獎、二等獎、三等獎各一名，每人最多獲得一種獎項，一共有

種不同的獲獎情況。

2、由數(shù)字1，2，3，4可以組成 個無重復數(shù)字的比1300大的正整數(shù)。

3、⑴要在5人中確定3人去參加某個會議，不同的方法有

種； ⑵要從5件不同的禮物中選出3件分送3位同學，不同的方法共有

種； ⑶已知集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，從兩個集合中各取1個元素，不同的取法共有

種。

4、文娛晚會中，學生的節(jié)目有9個，教師的節(jié)目有2個，若教師的節(jié)目不排在最后一個，有

種排法。

5、某人決定投資8種股票和4種債券，經(jīng)紀人向他推薦了12種股票和7種債券，他有

種不同的投資方式。

6、空間有10個點，其中任何4個點不共面，以其中每4個為頂點作一個四面體，一共可以作

個四面體。

7、四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，恰有一個空盒的放法共有多少種？

8、⑴ 7個小孩站成兩排，3個女孩站在前排，4個男孩站在后排，有多少種不同的站法？ ⑵7個人站成兩排，前排站3人，后排站4人，有多少種不同排法？