第一篇：【趣味數學】高中數學 第9課時 不等式性質應用趣題-均值不等式的應用教學案 新人教版必修1[范文]

第9課時 不等式性質應用趣題―

均值不等式的應用

教學要求：了解均值不等式在日常生活中的應用

教學過程：

一、情境引入；

日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前兩類不等式的應用與其對應函數及方程的應用如出一轍，而平均值不等式在生產生活中起到了不容忽視的作用。下面，我主要談一下均值不等式和均值定理的應用。

在生產和建設中，許多與最優(yōu)化設計相關的實際問題通常可應用平均值不等式來解決。平均值不等式知識在日常生活中的應用，筆者雖未親身經歷，但從電視、報紙等新聞媒體及我們所做的應用題中不難發(fā)現(xiàn)，均值不等式和極值定理通?？捎腥缦聨追矫娴臉O其重要的應用：（表后重點分析“包裝罐設計”問題）實踐活動 已知條件 最優(yōu)方案 解決辦法

設計花壇綠地 周長或斜邊 面積最大 極值定理一

經營成本 各項費用單價及銷售量 成本最低 函數、極值定理二 車船票價設計 航行里程、限載人數、票價最低 用極值定理二求出 速度、各項費用及相應 最低成本，再由此 比例關系 計算出最低票價

（票價=最低票價+ +平均利潤）例

1、包裝罐設計問題

1、“白貓”洗衣粉桶

“白貓”洗衣粉桶的形狀是等邊圓柱（如右圖所示），若容積一定且底面與側面厚度一樣，問高與底面半徑是 什么關系時用料最?。幢砻娣e最?。?分析：容積一定=>лr h=V（定值）

=>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2)≥2л3(r h)/4 =3 2лV(當且僅當r =rh/2=>h=2r時取等號), ∴應設計為h=d的等邊圓柱體.例

2、“易拉罐”問題

圓柱體上下第半徑為R,高為h，若體積為定值V,且上下底 厚度為側面厚度的二倍，問高與底面半徑是什么關系時用料最 ?。幢砻娣e最?。?/p>

分析：應用均值定理，同理可得h=2d（計算過程請讀者自己 寫出,本文從略）∴應設計為h=2d的圓柱體.

第二篇：高三數學總復習5.4 不等式的應用教學案 新人教版必修1

§5.4不等式的應用

一、基礎知識導學

1.利用均值不等式求最值：如果a1，a2∈R，那么

+

a?b?ab.22.求函數定義域、值域、方程的有解性、判斷函數單調性及單調區(qū)間，確定參數的取值范圍等.這些問題一般轉化為解不等式或不等式組，或證明不等式.3.涉及不等式知識解決的實際應用問題，這些問題大體分為兩類：一是建立不等式解不等式；二是建立函數式求最大值或最小值.二、疑難知識導析

不等式既屬數學的基礎知識，又是解決數學問題的重要工具，在解決函數定義域、值域、單調性、恒成立問題、方程根的分布、參數范圍的確定、曲線位置關系的討論、解析幾何、立體幾何中的最值等問題中有廣泛的應用，特別是近幾年來，高考試題帶動了一大批實際應用題問世，其特點是： 1．問題的背景是人們關心的社會熱點問題，如“物價、稅收、銷售收入、市場信息”等，題目往往篇幅較長.2．函數模型除了常見的“正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數”等標準形式外，又出現(xiàn)了以“函數bby?ax?,y?ax2?,y?k[(a?b)x(c?ax)(d?bx)]”

xx為模型的新的形式.三 經典例題導講 [例1]求y=x2?5x?42的最小值.錯解：? y=x2?5x?42?x2?4?1x?42?2x2?4?1x?42＝2 ? y的最小值為2.錯因：等號取不到，利用均值定理求最值時“正、定、等”這三個條件缺一不可.正解：令t=x2?4,則t?2,于是y=t?,(t?2)

1t由于當t?1時，y=t?51是遞增的，故當t＝2即x=0時，y取最小值.2t

22[例2]m為何值時，方程x+(2m+1)x+m－3=0有兩個正根.?2m?1?0錯解：由根與系數的關系得?2?m??3，因此當m??3時，原方程有兩個正根.?m?3?0錯因：忽視了一元二次方程有實根的條件，即判別式大于等于0.1

13?m???4???(2m?1)2?4(m2?3)?0??1???m??正解：由題意：?2m?1?0

2?2??m?3?0?m??3或m?3????1313?m??3,因此當??m??3時，原方程有兩個正根.44[例3]若正數x，y滿足6x?5y?36，求xy的最大值． 解：由于x，y為正數，則6x，5y也是正數，所以

6x?5?6x?5y?30xy 2當且僅當6x=5y時，取“=”號．

因6x?5y?36，則30xy?365454，即xy?，所以xy的最大值為.255[例4] 已知：長方體的全面積為定值S，試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值．

分析：經過審題可以看出，長方體的全面積S是定值．因此最大值一定要用S來表示．首要問題是列出函數關系式．設長方體體積為y，其長、寬、高分別為a，b，c，則y=abc．由于a+b+c不是定值，所以

2肯定要對函數式進行變形．可以利用平均值定理先求出y的最大值，這樣y的最大值也就可以求出來了．

解：設長方體的體積為y，長、寬、高分別是為a，b，c，則 y=abc，2ab+2bc+2ac=S． 而 22y=（abc）=（ab）（bc）（ac）

當且僅當ab=bc=ac，即a=b=c時，上式取“=”號，y有最小值

答：長方體的長、寬、高都等于

6ss6s時體積的最大值為.636說明：對應用問題的處理，要把實際問題轉化成數學問題，列好函數關系式是求解問題的關健.四、典型習題導練

321.某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m,深為3m，如果池底每1m的造價為150元，2池壁每1m的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

2.證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.2

3.在四面體P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，各棱長的和為m，求這個四面體體積的最大值． 4.設函數f(x)=ax+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=-x，均不相 交，試證明對一切x?R都有|ax2?bx?c|?1.4|a|25．青工小李需制作一批容積為V的圓錐形漏斗，欲使其用料最省，問漏斗高與漏斗底面半徑應具有怎樣的比例？

6．輪船每小時使用燃料費用(單位：元)和輪船速度(單位：海里／時)的立方成正比．已知某輪船的最大船速是18海里／時，當速度是10海里／時時，它的燃料費用是每小時30元，其余費用(不論速度如何)都是每小時480元，如果甲、乙兩地相距1000海里，求輪船從甲地行駛到乙地，所需的總費用與船速的函數關系，并問船速為多少時，總費用最低？

第三篇：九年級數學中考一輪復習教學案：第8課時 一次不等式(組)及其應用

第8課時 一次不等式（組）及其應用

【復習目標】

1．能根據具體問題中的大小關系了解不等式的意義，探索并掌握不等式的基本性質． 2．能運用不等式的基本性質解一元一次不等式（組），能在數軸上表示一元一次不等式的解集，會用數軸確定一元一次不等式組的解集．

3．能根據具體問題中的數量關系列出一元一次不等式或一元一次不等式組，解決簡單的實際問題．

【知識梳理】

1．不等式的相關概念：

(1)用“>”、“<”等不等號表示_______的式子，叫做不等式．(2)使不等式成立的_______的值叫做不等式的解．

(3)使不等式成立的未知數的_______叫做不等式的解集．

(4)求一個不等式的_______的過程或證明不等式無解的過程叫做解不等式． 2．不等式的性質：

3．一元一次不等式：只含有_______個未知數，且未知數的次數是_______的不等式． 4．一元一次不等式組：幾個_______合在一起就組成一個一元一次不等式組．

一般地，幾個不等式的解集_______，叫做由它們組成的不等式組的解集． 5．解一元一次不等式的基本步驟：(1)去分母．(2)________．(3)_ _______．(4)________．(5)系數化為1．

在(1)、(5)的變形中要注意不等式的性質2、3的正確使用．

6．求一元一次不等式組的解集，應先分別求出_______，再求出它們的_______部分，就得到一元一次不等式組的解集．

7．由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集有四種情況(a

?x?a(1)?的解集是x>b，即“大大取大”．，?x?b-1

－2

考點三 一次不等式（組）的解法

例3解不等式：5(x－2)＋8<6(x－1)＋7．

提示 本題是含括號的一元一次不等式，通過去括號、移項、合并同類項、系數化為1等不難求得不等式的解集．

?x?3?3?x?1① ? 例4解不等式組?

2并把解集在數軸上表示出來．

② ?1?3?x?1??8?x?提示 先求出每個不等式的解集，再找出解集的公共部分就是這個不等式組的解集．

考點四 確定不等式（組）的特殊解

??x?3?2?x 例5解不等式組，并寫出不等式組的整數解：?

??3?x?1??1?2?x?1?提示 先確定不等式組的解集，然后確定整數解．

考點五 利用不等式（組）的解集確定字母的值或取值范圍

① ②

?1?x?a 例6 若關于x的不等式組?有解，則a的取值范圍是()

2x?4?0? A．a≤3 B．a<3 C．a<2 D．a≤2 提示 已知不等式組有解，于是我們就先確定不等式組中每一個不等式的解集，再利用解集的意義確定實數a的取值范圍． 考點六 一元一次不等式（組）的應用

例7 為響應市政府“創(chuàng)建國家森林城市”的號召，某小區(qū)計劃購進A、B兩種樹苗共17棵，已知A種樹苗每棵80元，B種樹苗每棵60元．

(1)若購進A、B兩種樹苗剛好用去1 220元，問購進A、B兩種樹苗各多少棵？

(2)若購買B種樹苗的數量少于A種樹苗的數量，請你給出一種費用最省的方案，并求出該方案所需費用．

提示(1)假設購進A種樹苗x棵，則購進B種樹苗(17－x)棵，利用購進A、B兩種樹苗剛好用去1 220元，結合單價，得出方程求解即可；(2)根據購買B種樹苗的數量少于A種樹苗的數量，可找出最省方案．

?2x?3?3x?5．解不等式組?x?3x?11并求出它的整數解的和．

???62?3

6．為了抓住梵凈山文化藝術節(jié)的商機，某商店決定購進A、B兩種藝術節(jié)紀念品．若購進A種紀念品8件，B種紀念品3件，則需要950元；若購進A種紀念品5件，B種紀念品6件，則需要800元．

(1)購進A、B兩種紀念品每件各需多少元？

(2)若該商店決定購進這兩種紀念品共100件，考慮市場需求和資金周轉，用于購買100件紀念品的資金不少于7500元，但不超過7650元，則該商店共有幾種進貨方案？(3)若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第(2)問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？

第四篇：【趣味數學】高中數學 第2課時 函數中的趣題 份購房合同教學案 新人教版必修1

第2課時 函數中的趣題——

一份購房合同

教學要求：能利用一次函數及其圖象解決簡單的實際問題，發(fā)展學生數學應用能力.教學過程：

一、情境引入

最早把“函數”（function）這個詞用作數學術語的數學家是萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Le，1646-1716，德國數學家），但其含義和現(xiàn)在不同，他把函數看成是“像曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長度、垂線長度等所有與曲線上的點有關的量”.1718年，瑞士數學家約翰。貝努利（John Bernoulli，1667-1748，歐拉的數學老師）將函數概念公式化，給出了函數的一個定義，同時第一次使用了“變量”這個詞。他寫到：“變量的函數就是變量和變量以任何方式組成的量?！彼膶W生，瑞士數學家歐拉（Leonard Euler，1707-1783，被稱為歷史上最“多產”的數學家）將約翰。貝努利的思想進一步解析化，他在《無限小分析引論》中將函數定義為：“變量的函數是一個由該變量與一些常數以任何方式組成的解析表達式”，歐拉的函數定義在18世紀后期占據了統(tǒng)治地位。

二、實例嘗試，探求新知

例

1、陳老師急匆匆的找我看一份合同，是一份下午要簽字的購房合同。內容是陳老師購買安居工程2集資房72m,單價為每平方米1000元，一次性國家財政補貼28800元，學校補貼14400元，余款由個人負擔。房地產開發(fā)公司對教師實行分期付款，每期為一年，等額付款，分付10次，10年后付清，年利率為7.5%, 房地產開發(fā)公司要求陳老師每年付款4200元，但陳老師不知這個數是怎樣的到的。同學們你們能幫陳老師算一算么？

解析：陳老師說自己到銀行咨詢，對方說算法是假設每一年付款為a元,那么10年后第一年付款的本利和為1.075a元，同樣的方法算得第二年付款的本利和為1.075a元、第三年為1.075a元，…，第十年為a元，然后把這10個本利和加起來等于余額部分按年利率為7.5%計算10年的本利，即987101.075a+1.075a+1.075a+…+a =(72×1000-28800-14400)×1.075,解得的a的值即為每年應付的款額。他不能理解的是自己若按時付款，為何每期的付款還要計算利息？我說銀行的算法是正確的。但不妨用這種方法來解釋：假設你沒有履行合同，即沒有按年付每期的款額，且10年中一次都不付款，那么第一年應付的款額a元到第10年付款時，你不僅要付本金a元，還要付a元所產生的利息，共為1.075a元，同

87樣，第二年應付的款額a元到第10年付款時應付金額為1.075a元，第三年為1.075a元，…，第十年為a元，而這十年中你一次都沒付款，與你應付余款72×1000-28800-14400在10年后一次付清時的本息是98710相等的。仍得到1.075a+1.075a+1.075a+…+a =(72×1000-28800-14400)×1.075．用這種方法計算的a值即為你每年應付的款額。

例

2、經調查得知，若我們把每日租金定價為160元，則可客滿；而租金每漲20元，就會失去3位客人。每間住了人的客房每日所需服務、維修等項支出共計40元。我們該如何定價才能賺最多的錢？

解析：日租金360元。雖然比客滿價高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人還是能給我們帶來360*50=18000元的收入；扣除50間房的支出40*50=2000元，每日凈賺16000元。而客滿時凈利潤只有160*80-40*80=9600元

三、本課小結

通過本課學習我們認識到，生活是多面的，我們在研究一個問題時，可以多角度、多層次的思考，如若正面不行，亦可利用反面思考

四、作業(yè)

家用冰箱使用的氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層．臭氧含量Q呈指數函數型變化，滿足關系式

7Q?Q0e?0.0025t，其中Q0是臭氧的初始量，t是所經過的時間． 1）隨時間的增加，臭氧的含量是增加還是減少？ 2）多少年后將會有一半的臭氧消失？

第五篇：2011年高一數學學案：2.2.3《對數函數及其性質的應用》(新人教A版必修1)

2.2.3對數函數的性質（性質的應用）

A(1)進一步熟練掌握對數函數的概念、圖象和性質，設計對數型函數的定義域、值域、單調性等問題。(2)對于反函數，知道同底的對數函數與指數函數互為反函數

B通過問題的探究研討，體會函數與方程的思想、體會類比的方法解題、體會數形結合的思想、體會對數函數的模型功能。

C進一步增強函數與方程意識，培養(yǎng)運用聯(lián)系發(fā)展、變化的觀點認識事物的本質，提高數學思維品質。

一、函數性質應用

例

1、已知函數f(x)?loga(x?1),g(x)?loga(1?x)(a?0且a?1)，（1）求函數f(x)?g(x)的定義域；（2）判斷f(x)?g(x)的奇偶性，并說明理由；（3）探究f(x)?g(x)在其定義域內的單調性。

解：

例

2、已知函數f(x)?log4(2x?3?x2)，（1）求f(x)的定義域；（2）求f(x)的單調區(qū)間；（3）求f(x)的最大值，并求取得最大值時的x的值。

例3已知log0.7(2m)?log0.7(m?1)，求m的取值范圍

例4求函數y?log2

二、反函數

對數函數y?logax(a?0且a?1)與指數函數y?a(a?0且a?1)互為反函數，它們的圖象關于直線y = x對稱。試舉例說明哪些函數是互為反函數并畫出它們的圖像

xxx?log2(x?[1,8])的最大值和最小值。2

4三、函數圖像的應用

例5：畫出y = lg x的圖象，作出y = | lg x | 和y = lg | x | 的圖象，并解答以下問題： 函數y = lg | x |（）

（A）是偶函數，在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增（B）是偶函數，在區(qū)間（0，+∞）上單調遞減（C）是奇函數，在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增（D）是奇函數，在區(qū)間上（0，+∞）單調遞減 練習：將y = 2 x的圖象（）

（A）先向左平移1個單位

（B）先向右平移1個單位（C）先向上平移1個單位

（D）先向下平移1個單位 再作關于直線y = x的對稱圖象，可得到y(tǒng) = log 2(x + 1)的圖象。

四自我小結（總結本節(jié)課用到的數學方法和思想）