第一篇：數(shù)學(xué)公理

過兩點(diǎn)有且只有一條直線兩點(diǎn)之間線段最短同角或等角的補(bǔ)角相等同角或等角的余角相等過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短平行公理 經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

12兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)定理 三角形兩邊的和大于第三邊推論 三角形兩邊的差小于第三邊三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°推論1 直角三角形的兩個(gè)銳角互余推論2 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和推論3 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等

22邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等推論(AAS)有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等邊邊邊公理(SSS)有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等27 定理1 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等定理2 到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個(gè)底角相等(即等邊對(duì)等角）

推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合33 推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°

等腰三角形的判定定理 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（等角對(duì)等邊）

推論1 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

推論 2 有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半38 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

逆定理 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合

第二篇：初一數(shù)學(xué)中的公理定理

（一）學(xué)過的公理：

1、直線公理：兩點(diǎn)確定一條直線。

2、線段公理：兩點(diǎn)之間，線段最短。

3、垂線公理：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

4、平行公理：過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。

5、平行線判定公理：同位角相等，兩直線平行。

6、平行線性質(zhì)公理：兩直線平行，同位角相等。

7、全等三角形性質(zhì)公理：全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等

（二）學(xué)過的定理及推論

1、三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和等于180° ? 推論1：直角三角形兩銳角互余

? 推論2：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。? 推論3：三角形的外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。

2、公理：兩點(diǎn)之間，線段最短。? 定理：三角形兩邊之和大于第三邊 ? 推論：三角形兩邊之差小于第三邊。

3、補(bǔ)角的性質(zhì)：同角或等角的補(bǔ)角相等

4、余角的性質(zhì)：同角或等角的補(bǔ)角相等

5、對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等

6、垂線的性質(zhì)：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短。

7、平行線公理推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。

8、平行線判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行，簡記為：同位角相等，兩直線平行。? 定理1：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。? 定理2：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

9、平行線性質(zhì)公理：兩直線平行，同位角相等。? 定理1：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。? 定理2：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。? 推論：垂直于同一直線的兩直線的互相平行。

第三篇：七年級(jí)數(shù)學(xué)平行線及平行公理.doc

平行線及平行公理

教學(xué)建議

1、教材分析

(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)

本節(jié)從實(shí)例中概括出平行線的概念,給出了平行線的記法和它的畫法,并引出了平行公理及其推論.(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本節(jié)的重點(diǎn)是:平行公理及其推論.承認(rèn)“經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”的幾何是歐氏幾何,否則是非歐幾何.由此可見,平行公理在幾何中的地位十分重要.在教學(xué)時(shí),學(xué)生可以從用直尺和三角板畫平行線的畫圖過程中,理解平行公理.特別是真正地體會(huì)到公理中的“有且只有”的意義.本節(jié)難點(diǎn)是:理解平行線的概念以及由平行公理導(dǎo)出其推論的過程定義中的“在同一平面內(nèi)”的這個(gè)前提,是為了區(qū)別立體幾何中異面直線的情況.教學(xué)時(shí)只要學(xué)生能意識(shí)到,空間的直線還存在另一種不相交的情形的,即異面直線.另外,從平行公理推導(dǎo)出其推論的過程,滲透了反證法的思想.初中學(xué)生難于理解,教材對(duì)反證法既不作要求,也不必提出反證法這個(gè)詞,只要把道理說明白即可.2、教法建議

(1)概念的引入:學(xué)生從教師創(chuàng)設(shè)的情景中,可以直觀地認(rèn)識(shí)平行線.從實(shí)例中,體會(huì)平行線在現(xiàn)實(shí)中是存在的,并且有它固有的屬性,因此很有必要認(rèn)真地研究它.當(dāng)然,我們首先要能深刻地理解它的定義.(2)分析概念:教師可以舉一組圖形,幫助學(xué)生理解定義中強(qiáng)調(diào)的“在同一平面內(nèi)”這個(gè)前提條件.初步形成

(3)掌握平行線的畫法:學(xué)生剛開始接觸幾何,為降低難度,適應(yīng)學(xué)生的發(fā)展,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,作圖時(shí)不要求學(xué)生寫出已知,求做,證明等步驟,只要保留作圖痕跡.通過作圖的教學(xué)使學(xué)生能準(zhǔn)確而迅速地畫出幾何圖形,為今后的幾何學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).(4)平行公理及其推論

在學(xué)生畫圖的過程中,教師可以提出問題,過直線外一點(diǎn)有幾條直線可以與已知直線平行呢?學(xué)生在動(dòng)手操作后,可以體驗(yàn)到公理的客觀存在性.并且可以讓有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同學(xué),嘗試說明平行公理推論的正確性,通過說理,體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與邏輯性.教學(xué)設(shè)計(jì)示例

一、教學(xué)目標(biāo)

1.了解平行線的概念,理解學(xué)過的描述圖形形狀和位置關(guān)系的語句.2.掌握平行公理及推論,會(huì)用三角尺和直尺過已知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線;會(huì)用學(xué)過的幾何語句描述簡單的圖形和根據(jù)語句畫圖.3.通過畫平行線和按幾何語句畫圖的題目練習(xí),培養(yǎng)學(xué)生畫圖能力.4.通過平行公理推論的推理,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和進(jìn)行推理的能力.二、學(xué)法引導(dǎo)

1.教師教法:嘗試法、引導(dǎo)法、發(fā)現(xiàn)法.2.學(xué)生學(xué)法:在教師的引導(dǎo)下,嘗試發(fā)現(xiàn)新知,造就成就感.三、重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法

(-)重點(diǎn)

平行公理及推論.(二)難點(diǎn)

平行線概念的理解.用心 愛心 專心

(三)解決辦法

通過引導(dǎo)學(xué)生嘗試發(fā)現(xiàn)新知、練習(xí)鞏固的方法來解決.四、教具學(xué)具準(zhǔn)備

投影儀、三角板、自制膠片.五、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.通過投影片和適當(dāng)問題創(chuàng)設(shè)情境,引入新課.2.通過教師引導(dǎo),學(xué)生積極思維,進(jìn)行反饋練習(xí),完成新授.3.學(xué)生自己完成本課小結(jié).六、教學(xué)步驟

(-)明確目標(biāo)

掌握平行公理及其推論的應(yīng)用,能畫出平行線,會(huì)用幾何語句描述圖形的畫法,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.(二)整體感知

以情境引出課題,以生活知識(shí)和已有的知識(shí)為基礎(chǔ),引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)近平行公理及其推論,并以變式訓(xùn)練強(qiáng)化和鞏固新知.(三)教學(xué)過程

創(chuàng)設(shè)情境,引出課題

師:前面我們學(xué)習(xí)了兩條直線相交的情形,下面清同學(xué)們看投影片.觀察投影片中的鐵路橋梁以及立在路邊的三根電線桿,再請(qǐng)同學(xué)們觀察黑板相對(duì)的兩條邊和橫格本中兩條橫線,若把它們向兩方延長,看成直線,它們還是相交直線嗎?

學(xué)生齊聲答:不是.師:因此,平面內(nèi)的兩條直線除了相交以外,還有不相交的情形,這就是我們本節(jié)所要研究的內(nèi)容.(板書課題)

[板書]24.平行線及平行公理

【教法說明】通過具體的實(shí)物和實(shí)物的圖形,使學(xué)生建立起不相交的感性認(rèn)識(shí),同時(shí)在頭腦中初步形成平行線的圖形.探究新知,講授新課

師:在我們生活的周圍,平面內(nèi)不相交的情形還有許多,你能舉例說明嗎?

學(xué)生:窗戶相對(duì)的棱,桌面的對(duì)邊,書的對(duì)邊??

師:我們把它們向兩方無限延伸,得到的直線總也不會(huì)相交.我們把這樣的直線叫做平行線.[板書]在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線.【教法說明】初中幾何必須重視幾何概念的直觀性,所以讓學(xué)生多觀察實(shí)物形狀,在形成了感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)名稱,讓學(xué)生從中感受到數(shù)學(xué)的實(shí)在性,減少抽象性.教師出示投影片(課本第74頁圖2–17).師:請(qǐng)同學(xué)們觀察,長方體的棱 與 無論怎樣延長,它們會(huì)不會(huì)相交?

學(xué)生:不會(huì)相交.師:那么它們是平行線嗎?

學(xué)生:不是.師:也就是說平行線的定義必須有怎樣的前提條件?

學(xué)生:在同一平面內(nèi).師:誰能說為什么要有這個(gè)前提條件?

學(xué)生:因?yàn)榭臻g里,不相交的直線不一定平行.【教法說明】通過教師的引導(dǎo),學(xué)生觀察分析,自己得出結(jié)論,從而使學(xué)生切實(shí)體會(huì)到平行

用心 愛心 專心 線的“在同一平面內(nèi)”這個(gè)前提條件的重要性.教師在黑板上給出課本第73頁圖2–16.講解:平行用符號(hào)“ ”表示,如圖直線 與 是平行線記作“ ”(或)讀作“平行于 ”(或平行于)也就是說平行是相互的.【教法說明】這里教師不必贅述,讓學(xué)生清楚平行線符號(hào)表示、讀法和記法就可以了,對(duì)于平行線的圖形經(jīng)常會(huì)使用變式圖形,不要總是橫平豎直的,以防形成思維定式.師:請(qǐng)同學(xué)們思考,在同一平面內(nèi)任意畫兩條不同的直線,它們的位置關(guān)系只能有幾種情況,試畫一畫,同桌的可以討論.學(xué)生:兩種.相交和平行.由此師生共同小結(jié):在同一平面內(nèi),兩條直線的位置關(guān)系只有相交、平行兩種.嘗試反饋,鞏固練習(xí)(出示投影)

1.判斷正誤

(1)兩條不相交的直線叫做平行線.()

(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的兩直線是相交直線.()

(3)在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線一定平行.()

(4)一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線,必把這個(gè)平面分為四部分.()

2.下列說法中正確的是()

A.在同一平面內(nèi),兩條直線的位置關(guān)系有相交、垂直、平行三種.B.在同一平面內(nèi),不垂直的兩直線必平行.C.在同一平面內(nèi),不平行的兩直線必垂直.D.在同一平面內(nèi),不相交的兩直線一定不垂直.學(xué)生活動(dòng):學(xué)生回答,并簡要說明理由.【教法說明】這組練習(xí)旨在鞏固學(xué)生掌握平行線定義及平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系,通過判斷(1)、(3)題讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)平行線的“在同一平面內(nèi)”的前提條件,通過判斷(2)、(4)題和選擇題使學(xué)生對(duì)兩直線位置關(guān)系,尤其是對(duì)垂直是相交的一種特殊情況有更深層的理解.師:我們很容易畫出兩條相交直線,而對(duì)于平行線的畫法,我們?cè)谛W(xué)就學(xué)過用直尺和三角板畫,下面清同學(xué)在練習(xí)本上完成下面題目(投影顯示).已知直線 和 外一點(diǎn) ,過點(diǎn) 畫直線 ,使.師:請(qǐng)根據(jù)語句,自己畫出已知圖形.學(xué)生活動(dòng):學(xué)生在練習(xí)本上畫出圖形.師:下面請(qǐng)你們按要求畫出直線.學(xué)生活動(dòng):學(xué)生能夠很快完成,然后請(qǐng)一個(gè)學(xué)生在黑板上板演,其他學(xué)生觀察他的畫圖過程是否正確,然后師生一起訂正.注意:(1)在推動(dòng)三角尺時(shí),直尺不要?jiǎng)?

(2)畫平行線必須用直尺三角板,不能徒手畫.【教法說明】畫平行線是幾何畫圖的基本技能之一,在以后的畫圖中常常會(huì)遇到,要求學(xué)生使用工具,不僅能養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,也能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.嘗試反饋,鞏固練習(xí)(出示投影).1.畫線段 ,畫任意射線 ,在 上取、、三點(diǎn),使 ,連結(jié) ,用三角板畫 , ,分別交 于、,量出、、的長(精確到).2.讀下列語句,并畫圖形

(1)點(diǎn) 是直線 外的一點(diǎn),直線 經(jīng)過點(diǎn) ,且與直線平行.(2)直線、是相交直線,點(diǎn) 是直線、外的一點(diǎn),直線 經(jīng)過點(diǎn) 與直線平行與直線 相交于.用心 愛心 專心

(3)過點(diǎn) 畫 ,交 的延長線于.學(xué)生活動(dòng):學(xué)生在練習(xí)本上按要求畫圖,并由兩個(gè)學(xué)生在黑板上畫第2題的(2)、(3)題,學(xué)生畫完后教師給出第1題的圖形(提前做好的投影片),請(qǐng)學(xué)生回答測量的結(jié)果,然后共同訂正第2題的(2)、(3)題.【教法說明】這組練習(xí)重點(diǎn)鞏固平行線的畫法及理解描述圖形形狀和位置關(guān)系的語句,能夠根據(jù)語句畫出正確圖形,注意要求學(xué)生用準(zhǔn)確的幾何語言反映圖形,同時(shí)真正理解幾何語言才能畫好圖形.師:我們練習(xí)了過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線,請(qǐng)同學(xué)們回憶,過直線外一點(diǎn)能不能畫直線的垂線,能畫幾條?

學(xué)生活動(dòng):學(xué)生思考并回答,能畫,而且只能畫一條.師:下面請(qǐng)你試一試,前面我們完成的過直線外一點(diǎn)與已知直線平行的直線可以畫幾條,想一想,你能得到什么結(jié)論?

學(xué)生活動(dòng):學(xué)生動(dòng)手操作,思考后總結(jié)出結(jié)論:經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與已知直線平行.師:我們把這個(gè)結(jié)論叫平行公理,教師板書.【板書】平行公理:經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條直線平行.【教法說明】學(xué)生對(duì)垂線的惟一性比較熟悉,通過對(duì)惟一性的回顧,學(xué)生能夠用類比的思想,把自己動(dòng)手得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)論采用準(zhǔn)確的幾何語言描述出來,這樣不僅培養(yǎng)了學(xué)生善于類比的思想,同時(shí)也訓(xùn)練了學(xué)生語言的規(guī)范性.師:過直線外一點(diǎn),能畫這條直線的惟一平行線,若沒有條件“過直線外一點(diǎn)”,問你能畫已知直線的平行線嗎?能畫多少條?

學(xué)生:思考后,立即回答,能畫無數(shù)條.師:請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰毩?xí)本上完成.(出示投影)

已知直線 ,分別畫直線、,使 ,.學(xué)生活動(dòng):學(xué)生在練習(xí)本上完成.師:請(qǐng)同學(xué)們觀察,直線、能不能相交?

學(xué)生活動(dòng):觀察,回答:不相交,也就是說.師:為什么呢?同桌可以討論.學(xué)生活動(dòng):學(xué)生積極討論,各抒己見.【教法說明】幾何的學(xué)習(xí)不僅要求學(xué)生有較強(qiáng)的識(shí)圖能力,而且要求學(xué)生有過硬的分析能力,也就是說理能力.初一幾何課是幾何課的起始課,從開始就讓學(xué)生養(yǎng)成自己動(dòng)手、動(dòng)腦、思考、分析問題的習(xí)慣,即加強(qiáng)幾何思維不慣的培養(yǎng),這是個(gè)很重要的內(nèi)容.學(xué)生活動(dòng):教師讓學(xué)生積極發(fā)表意見,然后給出正確的引導(dǎo).師:我們觀察圖形,如果直線 與 相交,設(shè)交點(diǎn)為 ,那么會(huì)產(chǎn)生什么問題呢?請(qǐng)同學(xué)們討論.學(xué)生活動(dòng):學(xué)生在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下思考、討論,得出結(jié)論.師:同學(xué)們想得很好,因?yàn)?, ,于是過點(diǎn) 就有兩條直線、都與平行,根據(jù)平行公理,這是不可能的,這就是說, 與 不能相交,只能平行,由此我們得到平行公理的推論.[板書]如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行.師:在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線是平行的,那么不相交的兩條射線(或線段)也是平行的,對(duì)嗎?為什么?

學(xué)生活動(dòng):學(xué)生思考,回答:不對(duì),給出反例圖形，例如:如圖1所示,射線 與 就不相交,也不平行.師:同學(xué)們想一想,當(dāng)我們說兩條射線或線段平行時(shí),實(shí)際上是什么平行才可以呢?

用心 愛心 專心

生:它們所在的直線平行.嘗試反饋,鞏固練習(xí)(投影)

填空:∵ ,(已知)，∴________ _______（）.學(xué)生活動(dòng):口答.【教法說明】鞏固平行公理推論的掌握,同時(shí)讓學(xué)生清楚平行公理推論的符號(hào)語言,為今后進(jìn)行推理論證打好基礎(chǔ).變式訓(xùn)練,培養(yǎng)能力(出示投影)

選擇題

下列圖形都不相交,哪一個(gè)平行()

【教法說明】進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)平行線的理解,尤其是平行的變式圖形.(四)總結(jié)、擴(kuò)展

師:今天我們學(xué)習(xí)了平行線,知道了同一平面內(nèi)兩條直線位置關(guān)系只有相交、平行兩種,完成下表:(出示投影)

學(xué)生活動(dòng):表格中的內(nèi)容均由學(xué)生口答出來.【教法說明】通過學(xué)生完成表格,不僅回顧本節(jié)所學(xué)知識(shí),同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力,使學(xué)生所學(xué)知識(shí)形成體系,從而更好地掌握知識(shí).八、布置作業(yè)

(一)必做題

課本第96頁習(xí)題2.2A組第3題(1)、(2)題.(二)思考題

1.能直接利用定義判斷兩條直線是否平行嗎?

2.怎樣才能判斷兩條直線是否平行呢?

3.閱讀課本第76頁,“讀一讀”的觀察與實(shí)驗(yàn),課下同學(xué)之間相互演示.作業(yè)答案

3.(1)

(2)

九、板書設(shè)計(jì)

用心 愛心 專心

第四篇：高二數(shù)學(xué) 立體幾何的概念、公理、定理

立體幾何的概念、公理、定理

王 春 老師 編輯 2007-12-20

一．寫出以下公理、定理，并根據(jù)圖形寫出它們的條件與結(jié)論。

（一）立體幾何三公理

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。A∈a，B∈aA∈a，B∈a

公理

2a?bA耷ab=a,A a aìa a

公理3：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

A、B、C不在同一直線上

T有且只有一個(gè)平面α，使A∈α，B∈α，C∈α

推論

1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

∈a A?a T有且只有一個(gè)平面a，使 ìa

推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。

a∩b＝ATìa 有且只有一個(gè)平面a，使ìa

推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。

a∥b＝AT有且只有一個(gè)平面a，使ìa ìa

（二）空間直線

公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。c

a

b a∥Tb∥a//c 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。

AB//A/B/

?BAC B/A/C/

//AC//ACT

推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等。

用心 愛心 專心116號(hào)編輯

Zishi2007-12-20

異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，A∈a

P?a l與a異面 aìa

（三）直線和平面

T

直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和 這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

l

ab?

a//b bìa a?a

T

a//a

aìa

直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。

ab

?

a//aa?bbaìb

?

T

a//b

直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么

baa燙a,ba

a//b a?bOb^a轣cab^b? c^a,c^

T

定理 ：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直這個(gè)平面。

a

定理：一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。

α∥βl⊥α

l⊥β

直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

a

b

a^a

b^

b

T

a//b

?

射影定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；（3）垂線段比任何一條斜線段都短。

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。

Zishi2007-12-20

用心 愛心 專心116號(hào)編輯

PA^aPA^a

aaìa定理：aì

轣POa逆定理：

AO^a

PO^a

轣AOa

（四）平面與平面

兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行另一個(gè)平面的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面平行。

a燙a,baa?b

O

a//b,b//b

定理Ta//b

?

b///推論

a?bO

a燙a,baa/燙b,b/

a//a/,b//b/a?bO

?Ta//b

/

b

/

定理：垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行。定理：平行于同一平面的兩個(gè)平面平行。

a

a^a a^b

T

a//b

a//b

g//b

Ta//g

?

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么交線平行。

a//b

a?gaTa//bb?gb

兩個(gè)平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面

互相垂直。

a^aaìb

T

a

a^b

?

兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直

線垂直于另一個(gè)平面。a^b

a?b CD

轣ABb ABìa

AB^CD

定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi)。a^b P?a

尢aaP?a

a^b

Zishi2007-12-20

用心 愛心 專心116號(hào)編輯

二、概念與性質(zhì)

（一）空間兩直線的位置關(guān)系：空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面

1、異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線。

（二）直線和平面的位置關(guān)系： 直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行

1、直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么我們就說這條直線和這個(gè)平面平行。

2、直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面 的垂線，平面叫做直線a的垂面。

（三）兩個(gè)平面的位置關(guān)系：平行、相交

1、兩個(gè)平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點(diǎn)。

2、兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。

（四）角

1．兩異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)引兩條直線分別平行

ba

b'a'

（或重合）于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）。范圍為(0°，90°]

2、直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影 所成的銳角。

所成的角為0°角。直線和平面所成角的取值范圍為 [0°，90°]

（2）最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角。

（3）若斜線與平面所成的角為α，其在此平面內(nèi)的射影與平面內(nèi)的一 條直線所成的為β，斜線與這條直線所成的角為γ則cosγ＝cosα·cosβ

3、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為 [0°，180°]

（1）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。（2）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

（五）距離

1、兩點(diǎn)的距離：連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長度。

B

A?

a（1）規(guī)定：a、直線與平面垂直時(shí)，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，2、平行平面間距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離。

3、兩異面直線間距離: 兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度。

4、兩異面直線上兩點(diǎn)的距離：若兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA'的長度為d．在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)，A'E＝m，AF＝n，則

Zishi2007-12-20

用心 愛心 專心116號(hào)編輯

5、點(diǎn)到平面的距離．從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離。

6、平行直線和平面的距離：直線上任意一點(diǎn)到平面的距離。

（六）棱柱

1、棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。

2、棱柱的性質(zhì)

（1）側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形

（2）兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形

（3）過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面（對(duì)角面）是平行四邊形

（七）棱錐

1、棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐

2、棱錐的性質(zhì)：

（1）側(cè)棱交于一點(diǎn)。側(cè)面都是三角形

（2）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方

3、正棱錐

（1）正棱錐的定義：如果一個(gè)棱錐底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。（2）正棱錐的性質(zhì)：

①各側(cè)棱交于一點(diǎn)且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。②多個(gè)特殊的直角三角形

4、a、相對(duì)棱互相垂直的正三棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。b、側(cè)棱相等的棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的外心。

c、側(cè)面與底面所成的二面角相等的棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的內(nèi)心。

（八）多面體歐拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=

2（九）正多面體只有五種：正四、六、八、十二、二十面體。

（十）球

1、球面：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡。

2、球體：與定點(diǎn)的距離等于或小于定長的點(diǎn)的集合．

3、經(jīng)度：某地點(diǎn)的經(jīng)度就是經(jīng)過這點(diǎn)的經(jīng)線和地軸確定的半平面與本初子午線與地軸確定的半平面所成二面角的平面角的度數(shù)．

4、緯度：某地的緯度就是經(jīng)過這點(diǎn)的球半徑和赤道平面所成的角度．

5、兩點(diǎn)的球面距離：球面上兩點(diǎn)之間的最短連線的長度，就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度。

6、定理：球心與小圓的圓心的連線與小圓所在的平面垂直。

437、球的表面積：S球面=4pR8、體積公式：V球=pR9、V圓錐=

Zishi2007-12-20

133

pRV圓柱=pR333

用心 愛心 專心116號(hào)編輯

第五篇：高一數(shù)學(xué)空間圖形的基本關(guān)系與公理教案

高一數(shù)學(xué)空間圖形的基本關(guān)系與公理教

案

本資料為woRD文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載地址下載全文下載地址

空間圖形的基本關(guān)系與公理

一.教學(xué)內(nèi)容：

空間圖形的基本關(guān)系與公理

二.學(xué)習(xí)目標(biāo)：、學(xué)會(huì)觀察長方體模型中點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，并能結(jié)合長方體模型，掌握空間圖形的有關(guān)概念和有關(guān)定理；掌握平面的基本性質(zhì)、公理4和等角定理；

2、培養(yǎng)和發(fā)展自己的空間想象能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力、幾何直觀能力、通過典型例子的學(xué)習(xí)和自主探索活動(dòng)，理解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的數(shù)學(xué)思想方法；

3、培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣與嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度；體會(huì)推理論證中反映出的辯證思維的價(jià)值觀。

三、知識(shí)要點(diǎn)

（一）空間位置關(guān)系：

I、空間點(diǎn)與線的關(guān)系

空間點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有兩種：?點(diǎn)P在直線上：；?點(diǎn)P在直線外：；

II、空間點(diǎn)與平面的關(guān)系

空間點(diǎn)與平面的位置關(guān)系有兩種：?點(diǎn)P在平面上：?點(diǎn)P在平面外：；

III、空間直線與直線的位置關(guān)系：

IV、空間直線與平面的位置關(guān)系：

V、空間平面與平面的位置關(guān)系：?平行；?相交

說明：本模塊中所說的“兩個(gè)平面”“兩條直線”等均指不重合的情形。

（二）異面直線的判定、定義法：采取反證法的思路，否定平行與相交兩種情形即可；

2、判定定理：已知P點(diǎn)在平面上，則平面上不經(jīng)過該點(diǎn)的直線與平面外經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。

（三）平面的基本性質(zhì)公理

、公理1

如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)，或曰平面經(jīng)過這條直線）。

2、公理2

經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（即確定一個(gè)平面）。

3、公理3

如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過該點(diǎn)的公共直線。

4、平面的基本性質(zhì)公理的三個(gè)推論

?經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

?經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；

?經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面

思考：

?公理是公認(rèn)為正確而不需要證明的命題，那么推論呢？

?平面的基本性質(zhì)公理是如何刻畫平面的性質(zhì)的？

（四）平行公理（公理4）：平行于同一條直線的兩條直線平行。

（五）等角定理：空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

（六）空間四邊形：順次連接不共面的四點(diǎn)構(gòu)成的圖形稱為空間四邊形。

【典型例題】

考點(diǎn)一

空間點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷：主要判斷依據(jù)是平面的基本性質(zhì)公理及其推論，平行公理、等角定理等相關(guān)結(jié)論。

例1.下列命題：

?空間不同的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；

?有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必定重合；

?空間中兩兩相交的三條直線可以確定一個(gè)平面；

④平行四邊形、梯形等所有的四邊形都是平面圖形；

⑤兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

⑥一條直線和兩平行線中的一條相交，必定和另一條也相交。

其中正確的命題是。

解：⑥。

例2.空間中三條直線可以確定幾個(gè)平面？試畫出示意圖說明。

解：0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)。分別如圖（圖中所畫平面為輔助平面）：

考點(diǎn)二

異面直線的判斷：主要依據(jù)是異面直線的定義及判定定理。

例3.如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AB、cD、EF、GH這四條線段所在的直線是異面直線的有__________對(duì)，分別是____________________？

解：3對(duì)，分別是AB、GH；AB、cD；GH、EF。

考點(diǎn)三

“有且只有一個(gè)”的證明：一般地，此類題型的證明需要分為兩個(gè)步驟，分別證明“有”即存在性和“只有一個(gè)”即唯一性。

例4.求證：過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面。

已知：直線a∥b。

求證：過a，b有且只有一個(gè)平面。

證明：?存在性：由平行線的定義可知，過平行直線a，b有一個(gè)平面。

?唯一性（反證法）：假設(shè)過a，b有兩個(gè)平面。在直線上任取兩點(diǎn)A、B，在直線b上任取一點(diǎn)c，則A、B、c三點(diǎn)不共線。由于這兩個(gè)平面都過直線a，b，因此由公理1可知：都過點(diǎn)A、B、c。由平面的基本性質(zhì)公理2，過不共線三點(diǎn)的平面唯一存在，因此重合，與假設(shè)矛盾。矛盾表明：過平行直線a，b只有一個(gè)平面。

綜上所述：過a，b有且只有一個(gè)平面。

考點(diǎn)四

共點(diǎn)的判斷與證明：此類題型主要有三線共點(diǎn)和三面共點(diǎn)。

例5.三個(gè)平面兩兩相交有三條交線，求證：三條交線或平行，或交于一點(diǎn)。

已知：平面，求證：a∥b∥c或者a，b，c交于一點(diǎn)P。

證明：因?yàn)?，故a，b共面。

I、若a∥b：由于，故，因直線，故a，c無公共點(diǎn)。又a，c都在平面內(nèi)，故a∥b；故a∥b∥c。

II、若，則，故知

綜上所述：命題成立。

說明：證明三點(diǎn)共線的問題的常用思路是先證兩條直線相交，然后再證該交點(diǎn)在第三條直線上；證明交點(diǎn)在第三條直線上常證明該點(diǎn)是兩個(gè)相交平面的公共點(diǎn)，從而在這兩個(gè)平面的交線上即在第三條直線上。

考點(diǎn)五

共線的判斷與證明：常見題型是三點(diǎn)共線。

例6.如圖，o1是正方體ABcD-A1B1c1D1的面A1B1c1D1的中心，m是對(duì)角線A1c和截面B1D1A的交點(diǎn)，求證：o1、m、A三點(diǎn)共線。

證明：連結(jié)Ac.因?yàn)锳1c1∩B1D1＝o1，B1D1平面B1D1A，A1c1AA1c1c，所以o1∈平面B1D1A且o1∈AA1c1c。同理可知，m∈平面B1D1A且m∈AA1c1c；A∈平面B1D1A且A∈AA1c1c。所以，o1、m、A三點(diǎn)在平面B1D1A和AA1c1c的交線上，故o1、m、A三點(diǎn)共線。

說明：證明三線共點(diǎn)問題的常見思路是證明第三點(diǎn)在前兩點(diǎn)所確定的直線上；或者證明三點(diǎn)是兩相交平面的公共點(diǎn)，從而在這兩個(gè)平面的交線上。

考點(diǎn)六

共面問題的判斷與證明：此類題型常見的是四點(diǎn)共面或三線共面，如證明某個(gè)圖形是平面圖形。

例7.如圖，在空間四邊形ABcD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別是Bc、cD上的點(diǎn)，且cG＝Bc/3，cH＝Dc/3。求證：?E、F、G、H四點(diǎn)共面；?直線FH、EG、Ac共點(diǎn)。

證明：?如圖，連結(jié)HG，EF。在△ABD中，E、F分別為AB、AD中點(diǎn)，故EF是△ABD的中位線，故EF∥BD。在△cBD中，cG＝Bc/3，cH＝Dc/3，故GH∥BD，故EF∥GH，從而GH、EF可確定一個(gè)平面，即G、H、E、F四點(diǎn)共面。

?由于E、F、G、H四點(diǎn)共面，且FH與EG不平行，故相交，記交點(diǎn)為m，則m∈FH，F(xiàn)H面AcD，故m∈面AcD；m∈EG，EG面ABc，故m∈面ABc。從而m是面AcD和面ABc的公共點(diǎn)，由公理3可知，m在這兩個(gè)平面的交線Ac上，從而FH、EG、Ac三線共點(diǎn)。

說明：共面問題的常用的處理方法是利用平面的基本性質(zhì)公理2及三個(gè)推論，先證明部分元素確定一個(gè)平面，再證剩下的元素也在此平面上；有時(shí)也可先證部分元素共面，剩下的元素共面，然后證明這兩個(gè)平面重合（此時(shí)也可用反證法）。

［本講涉及的主要數(shù)學(xué)思想方法］、數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)表述和數(shù)學(xué)思維不可缺少的重要工具，必須能將這三種語言即文字語言、符號(hào)語言和圖形語言進(jìn)行準(zhǔn)確的互譯和表達(dá)，這在空間關(guān)系的證明與判斷中顯得十分重要；

2、空間觀念和空間想象能力：高考中立體幾何題的題型功能最重要的一點(diǎn)就是考查考生的空間觀念和空間想象能力，因?yàn)槲覀兪峭ㄟ^平面圖形（直觀圖）去研究空間關(guān)系，所以同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中一定要多觀察、多思考，動(dòng)手做一些空間模型或通過電腦動(dòng)畫模擬一些空間圖形，培養(yǎng)空間概念，提高空間想象能力。

【模擬試題】

一、選擇題、在空間內(nèi)，可以確定一個(gè)平面的條件是（）

A.兩兩相交的三條直線

B.三條直線，其中的一條與另兩條分別相交

c.三個(gè)點(diǎn)

D.三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點(diǎn)

2、（XX遼寧卷）在正方體ABcDA1B1c1D1中，E、F分別為棱AA1、cc1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，cD都相交的直線（）

A.不存在 B.有且只有兩條

c.有且只有三條

D.有無數(shù)條

*

3、已知平面外一點(diǎn)P和平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)A、B、c。A＇、Ｂ＇、Ｃ＇分別在PA、PB、Pc上，若延長A＇Ｂ＇、Ｂ＇Ｃ＇、A＇Ｃ＇與平面分別交于D、E、F三點(diǎn)，則D、E、F三點(diǎn)（）

A.成鈍角三角形

B.成銳角三角形

c.成直角三角形

D.在一條直線上

4、空間中有三條線段AB、Bc、cD，且∠ABc＝∠BcD，那么直線AB與cD的位置關(guān)系是（）

A.平行

B.異面

c.相交

D.平行或異面或相交均有可能

5、下列敘述中正確的是（）

A.因?yàn)镻∈α，Q∈α，所以PQ∈α。

B.因?yàn)镻∈α，Q∈β，所以α∩β＝PQ。

c.因?yàn)?，c∈AB，D∈AB，因此cD∈α。

D.因?yàn)?，所以A∈（α∩β）且B∈（α∩β）。

6、已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)且α∩β＝c，那么c（）

A.至少與a，b中的一條相交；

B.至多與a，b中的一條相交；

c.至少與a，b中的一條平行；

D.與a，b中的一條平行，與另一條相交

7、已知空間四邊形ABcD中，m、N分別為AB、cD的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）

二、填空題

8、在空間四邊形ABcD中，m、N分別是Bc、AD的中點(diǎn)，則2mN與AB+cD的大小關(guān)系是。

9、對(duì)于空間中的三條直線，有下列四個(gè)條件：?三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)；?三條直線兩兩平行；?三條直線共點(diǎn)；④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交。其中，能推出三條直線共面的有。

三、解答題

0、正方體ABcD-A1B1c1D1中，E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)。

?求證：cE、D1F、DA三線共點(diǎn)；

?求證：E、c、D1、F四點(diǎn)共面；

1、在正方體ABcD-A1B1c1D1中，若Q是A1c與平面ABc1D1的交點(diǎn)，求證：B、Q、D1三點(diǎn)共線。

2、如圖，已知α∩β＝a，bα，cβ，b∩a＝A，c//a.求證：b與c是異面直線。

*

13、（XX高考題改編）正方體ABcD-A1B1c1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、c1B1的中點(diǎn)，試作出正方體過P、Q、R三點(diǎn)的截面。