第一篇：數(shù)學(xué)中有哪些經(jīng)典的反直覺(jué)結(jié)論？

數(shù)學(xué)中有哪些經(jīng)典的反直覺(jué)結(jié)論？

數(shù)學(xué)中反直覺(jué)的結(jié)論大多與無(wú)窮有關(guān)，19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家康托(Cantor，1845-1918)創(chuàng)立集合論，引入了集合的勢(shì)(Cardinality)這個(gè)概念，為分析無(wú)窮提供了強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，并由此得出了一系列與直覺(jué)極不相符的結(jié)論。例如：

1、奇數(shù)的個(gè)數(shù)和自然數(shù)的個(gè)數(shù)一樣多。（可數(shù)集的勢(shì)）

2、自然數(shù)的個(gè)數(shù)和有理數(shù)的個(gè)數(shù)一樣多。

3、一個(gè)有限線段上包含的點(diǎn)的個(gè)數(shù)與整個(gè)直線包含點(diǎn)的個(gè)數(shù)一樣多。

4、一條直線上點(diǎn)的個(gè)數(shù)和整個(gè)平面上點(diǎn)的個(gè)數(shù)一樣多。

5、一個(gè)平面上包含的點(diǎn)的個(gè)數(shù)和整個(gè)空間中包含的點(diǎn)的個(gè)數(shù)一樣多。Cantor三分集上述結(jié)論和我們的直覺(jué)大相徑庭，但是都可以利用集合等勢(shì)的方法來(lái)證明，即在兩個(gè)集合之間尋找一個(gè)一一映射，如果能夠找到，則說(shuō)明兩個(gè)集合包含的元素是一樣多的，利用這種方法，數(shù)學(xué)家們成功的證明了上述結(jié)論?？低?Cantor, 1845-1918)也正因上述結(jié)論是如此地違反直覺(jué)，因此在理論剛被提出的時(shí)候遭到了大家的一致反對(duì)，甚至康托自己的老師克羅內(nèi)克(Kroneker, 1823-1891)也帶頭對(duì)他進(jìn)行了毫不留情的攻擊，最終竟使得康托精神失常，住進(jìn)了精神病院。不可否認(rèn)克羅內(nèi)克是19世紀(jì)德國(guó)非常偉大的數(shù)學(xué)家，在代數(shù)數(shù)論領(lǐng)域貢獻(xiàn)頗豐，并且是近代直覺(jué)主義的先驅(qū)，但這件事情卻淪為數(shù)學(xué)史上的一樁丑聞。當(dāng)然，這也從側(cè)面反映出這一理論是多么的“反直覺(jué)”。

4評(píng)論

IvanZhu 科學(xué)達(dá)人 01-19 16:35 108贊

踩

這個(gè)問(wèn)題很有趣。比這個(gè)問(wèn)題本身更有趣的是，找到這個(gè)問(wèn)題的答案的方法。有一個(gè)論壇，叫做“民科吧”。顧名思義，“民間科學(xué)家”吧。為什么要提到民科呢？很簡(jiǎn)單：民科為什么是民科？因?yàn)槊窨苽儭案阊芯俊睉{的是直覺(jué)，而不是邏輯和實(shí)驗(yàn)。那么，如果有一個(gè)結(jié)論是反直覺(jué)的，民科看到了呢？這不對(duì)?。∵@跟俺的直覺(jué)是反著的?。∵@肯定是錯(cuò)的??！然后就是各種，全世界的數(shù)學(xué)家都是傻X，眾人皆醉我獨(dú)醒，待我出山，幫中國(guó)拿一個(gè)諾貝爾數(shù)學(xué)獎(jiǎng)~“”上述文字摘自民科吧。對(duì)于沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)高等數(shù)學(xué)教育的人來(lái)說(shuō)，微積分是十分反直覺(jué)的。其中最關(guān)鍵的部分在于，微積分中的“無(wú)窮小”，有時(shí)候被當(dāng)做一個(gè)0，有時(shí)候又不被當(dāng)做一個(gè)0。然而這個(gè)問(wèn)題早在百年前，微積分公理化的時(shí)候就已經(jīng)解決了，民科們不好好學(xué)習(xí)，也沒(méi)辦法。“”以上摘自民科吧調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，可以說(shuō)是一個(gè)著名的反直覺(jué)結(jié)論了。1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +......+ 1/n,當(dāng)n = 無(wú)窮大 的時(shí)候，這個(gè)和是多少？如果不作思考，直覺(jué)上往往會(huì)覺(jué)得，我們加上去的數(shù)越來(lái)越小了啊，而且小到后面都小得不行了，那肯定是收斂的啊，不可能發(fā)散。但是歐拉已經(jīng)證明了，這個(gè)級(jí)數(shù)是發(fā)散的，意思就是說(shuō)，級(jí)數(shù)的和是無(wú)窮大。越加越小，結(jié)果加到頭，居然無(wú)窮大！證明也很簡(jiǎn)單：這其實(shí)已經(jīng)是十分簡(jiǎn)潔明了的證明了，但是遺憾的是，有數(shù)位民科堅(jiān)定表示，這個(gè)反直覺(jué)，所以肯定是錯(cuò)的，然后搞出來(lái)一大堆亂七八糟漏洞百出的所謂“證明”。如果你有興趣，可以去民科吧逛一逛，看看有多少人反對(duì)各種結(jié)論。一個(gè)理論被民科反對(duì)，那八成是“反直覺(jué)”的。相對(duì)論和量子力學(xué)反直覺(jué)，被民科批評(píng)的最多。不過(guò)如果你理科知識(shí)不夠扎實(shí)，逛的時(shí)候還請(qǐng)記住一句話，“這里人說(shuō)的話我一個(gè)標(biāo)點(diǎn)都不能信”然而有什么用呢？幸而人類文明不仰仗這幫不學(xué)無(wú)術(shù)之輩。

38評(píng)論

艾伯史密斯

科學(xué)問(wèn)答達(dá)人 01-21 22:58 69贊

踩

答：費(fèi)馬大定理、分球定理、超窮數(shù)理論、哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ?、各維度的點(diǎn)可以一一對(duì)應(yīng)、地圖定理、圓周率的BBP公式和虛數(shù)等等，都是數(shù)學(xué)中比較反直覺(jué)的結(jié)論。以下，意義作解釋。一：費(fèi)馬大定理我們知道勾股數(shù)有無(wú)限個(gè)，勾三股四弦五，就是最簡(jiǎn)單的勾股數(shù)。由此我們猜想：當(dāng)次數(shù)n大于2時(shí)會(huì)怎么樣？費(fèi)馬大定理指出：這樣的形式，當(dāng)指數(shù)n大于2時(shí)，不存在整數(shù)解。這簡(jiǎn)直就是反直覺(jué)啊，憑什么n=2時(shí)有無(wú)數(shù)個(gè)，大于2卻一個(gè)都沒(méi)有！事實(shí)是這樣的，該定理歷經(jīng)358年才被證明。利用費(fèi)馬大定理，可以得到一些有趣的證明，比如證明3次根號(hào)2為無(wú)理數(shù)：這個(gè)證明簡(jiǎn)直就是大炮打蚊子，但卻很美妙。二：分球定理數(shù)學(xué)中，有一條極其基本的公理，叫做選擇公理，許多數(shù)學(xué)內(nèi)容都要基于這條定理才得以成立。在1924年，數(shù)學(xué)家斯特·巴拿赫和阿爾弗萊德·塔斯基根據(jù)選擇公理，得到一個(gè)奇怪的推論——分球定理。該定理指出，一個(gè)三維實(shí)心球分成有限份，然后可以根據(jù)旋轉(zhuǎn)和平移，組成和原來(lái)完全相同的兩個(gè)實(shí)心球。沒(méi)錯(cuò)，每一個(gè)和原來(lái)的一模一樣。分球定理太違反直覺(jué)，但它就是選擇公理的嚴(yán)格推論，而且不容置疑的，除非你拋棄選擇公理，但數(shù)學(xué)家會(huì)為此付出更大的代價(jià)。三：無(wú)窮大也有等級(jí)大小在二十世紀(jì)以前，數(shù)學(xué)家們遇到無(wú)窮大都避而讓之，認(rèn)為要么哪里出了問(wèn)題，要么結(jié)果是沒(méi)有意義的。直到1895年，康托爾建立超窮數(shù)理論，人們才得知無(wú)窮大也是有等級(jí)的，比如實(shí)數(shù)個(gè)數(shù)的無(wú)窮，就比整數(shù)個(gè)數(shù)的無(wú)窮的等級(jí)高。這也太違反直覺(jué)了，我們從來(lái)不把無(wú)窮大當(dāng)作數(shù)，但是無(wú)窮大在超窮數(shù)理論中，卻存在不同的等級(jí)。四：“可證”和“真”不是等價(jià)的1931年，奧地利數(shù)學(xué)家哥德?tīng)?，提出一條震驚學(xué)術(shù)界的定理——哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ?。該定理指出，我們目前的?shù)學(xué)系統(tǒng)中，必定存在不能被證明也不能被證偽的定理。該定理一出，就粉碎了數(shù)學(xué)家?guī)浊甑膲?mèng)想——即建立完善的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，從一些基本的公理出發(fā)，推導(dǎo)出一切數(shù)學(xué)的定理和公式。可哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ碇赋觯涸撓到y(tǒng)不存在，因?yàn)槠渲幸欢ù嬖冢覀儾荒茏C明也不能證偽的“東西”，也就是數(shù)學(xué)系統(tǒng)不可能是完備的，至少它的完備性和相容性不能同時(shí)得到滿足。五：一維可以和二維甚至更高維度一一對(duì)應(yīng)按照我們的常識(shí)，二維比一維等級(jí)高，三維比四維等級(jí)高，比如線是一維的，所以線不能一一對(duì)應(yīng)于面積。但事實(shí)并非如此，康托爾證明了一維是可以一一對(duì)應(yīng)高維的，也就是說(shuō)一條線上的點(diǎn)，可以和一塊面積甚至體積的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，或者說(shuō)他們包含的點(diǎn)一樣多。說(shuō)到一一對(duì)應(yīng)，就離不開(kāi)函數(shù)，那么這樣從低維到高維的函數(shù)存在嗎？答案是肯定的！在1890年，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾，就發(fā)明了一個(gè)函數(shù)，使得函數(shù)在實(shí)軸[0,1]上的取值，可以一一對(duì)應(yīng)于單位正方形上的所有點(diǎn)，這條曲線叫做皮亞諾曲線。這個(gè)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，暗示著人類對(duì)維度的主觀認(rèn)識(shí)，很可能是存在缺陷的。六：地圖定理該定理是這樣的，比如我們?cè)趪?guó)內(nèi)，拿著中國(guó)地圖，那么在該地圖上，一定存在一個(gè)點(diǎn)，使得圖上的點(diǎn)，和該點(diǎn)所在的真實(shí)地理位置精確一致，這么一個(gè)點(diǎn)我們絕對(duì)能找到。該定理還可以擴(kuò)展，說(shuō)地球上一定存在一個(gè)對(duì)稱的點(diǎn)，在任何時(shí)刻，它們的溫度和氣壓一定精確相等，注意，這里說(shuō)的“一定”并不是概率上的“一定”，而是定理保證的絕對(duì)性。當(dāng)然，有人會(huì)說(shuō)這個(gè)定理無(wú)法用于實(shí)際。但利用這個(gè)定理，我們知道在一個(gè)公園的任意地方，標(biāo)示一張地圖的話，我們一定能在圖上找到“當(dāng)前所在位置”。七：獨(dú)立計(jì)算圓周率的任何一位我們計(jì)算圓周率的公式有很多，很長(zhǎng)一段時(shí)間里，我們都認(rèn)為要計(jì)算圓周的1000位，必須把前面999位計(jì)算出來(lái)。可是在1995年，數(shù)學(xué)家就發(fā)現(xiàn)了一個(gè)神奇的公式，該公式可計(jì)算圓周率的任何一位數(shù)字，而不需要知道前面的數(shù)字。比如計(jì)算第10億位的數(shù)字，我們不需要知道10億位之前的任何一位，該公式可以直接給出第10億位的數(shù)。該公式簡(jiǎn)稱BBP公式。

八：負(fù)數(shù)可以開(kāi)根號(hào)小時(shí)候老師告訴我們“負(fù)負(fù)得正”，可是到了高中，老師又突然把虛數(shù)單位“i”扔給我們，告訴我們“i^2=-1”，這簡(jiǎn)直就是反直覺(jué)??！為何這個(gè)數(shù)的平方會(huì)是負(fù)數(shù)。對(duì)于虛數(shù)“i”也是存在幾何意義的。數(shù)學(xué)中，反直覺(jué)的定理非常多，到底是我們的數(shù)學(xué)，本來(lái)就是違背真實(shí)世界的呢？還是我們的常識(shí)，本來(lái)就存在認(rèn)知缺陷？不同的人有不同的答案。不過(guò)，我們可以確信的一點(diǎn)是，數(shù)學(xué)是追求相容的，一套數(shù)學(xué)系統(tǒng)，只要它在定義范圍內(nèi)相容或者完備，那么這套數(shù)學(xué)系統(tǒng)，就有它存在的意義，不管是否和我們常識(shí)相悖。

第二篇：直覺(jué)思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

直覺(jué)思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)思維按照思維過(guò)程中是否遵循一定的邏輯規(guī)則可劃分為分析思維和直覺(jué)思維。分析思維，就是邏輯思維，它主要是以邏輯規(guī)則對(duì)事物按部就班地認(rèn)識(shí)，對(duì)其過(guò)程主體有清晰的意識(shí)。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，由于數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性，抽象性和系統(tǒng)性，常常掩蓋了直覺(jué)思維的存在和作用，因而在目前教學(xué)中往往偏重于演繹推理的訓(xùn)練，過(guò)分強(qiáng)調(diào)形式論證的嚴(yán)密邏輯性，而忽視了直覺(jué)思維的突發(fā)性理解與頓悟作用。在新課程標(biāo)準(zhǔn)深入課堂的今天，加強(qiáng)學(xué)生直覺(jué)思維能力的培養(yǎng)是非常有必要的。本文擬從以下三個(gè)方面談?wù)剛€(gè)人的看法。

一、數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的涵義及其特性

數(shù)學(xué)直覺(jué)思維是人腦對(duì)教學(xué)對(duì)象，結(jié)構(gòu)以及關(guān)系的敏銳的想象和迅速的判斷。所謂判斷就是人腦對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象及其規(guī)律性關(guān)系的迅速認(rèn)識(shí)、直接的理解、綜合的判斷，也就是數(shù)學(xué)的洞察力，有時(shí)也稱為數(shù)學(xué)直覺(jué)判斷。

根據(jù)數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的涵義，它具有下列特性：（1）直接性。數(shù)學(xué)直覺(jué)思維是直接反映數(shù)學(xué)對(duì)象、結(jié)構(gòu)以及關(guān)系的思維活動(dòng)，這種思維活動(dòng)表現(xiàn)為對(duì)認(rèn)識(shí)對(duì)象的直接領(lǐng)悟或洞察，這是數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的本質(zhì)屬性。（2）或然性。由于數(shù)學(xué)直覺(jué)思維是一種跳躍的思維，是在邏輯依據(jù)不充分的前提下做出判斷，因而直覺(jué)思維的結(jié)果可能正確，也可能不正確，這一特性稱為數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的或然性。（3）不可解釋性。由于直覺(jué)思維是在一剎那時(shí)間內(nèi)完成的，許多中間環(huán)節(jié)被略去了，思維者對(duì)其過(guò)程沒(méi)有清晰的意識(shí)，所以要對(duì)它的過(guò)程進(jìn)行分析研究和追憶，往往是十分困難的，只有當(dāng)?shù)贸鼋Y(jié)果并轉(zhuǎn)換成邏輯語(yǔ)言時(shí)才能為別人所理解。

邏輯思維在數(shù)學(xué)中雖然據(jù)著主導(dǎo)的地位，但直覺(jué)思維是思維中最活躍，最積極，最具有創(chuàng)造性的成分。邏輯思維與直覺(jué)思維形成了辨證的互補(bǔ)關(guān)系。直覺(jué)思維為邏輯思維提供了動(dòng)力并指引方向，而邏輯思維則對(duì)直覺(jué)思維做出檢驗(yàn)與反饋，是直覺(jué)思維的深入和精化。

二、數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的重要地位和作用

(一)數(shù)學(xué)直覺(jué)思維是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與創(chuàng)造數(shù)學(xué)必不可少的思維形式

彭加勒認(rèn)為：“邏輯是證明的工具，直覺(jué)是發(fā)現(xiàn)的工具”，“沒(méi)有直覺(jué)，數(shù)學(xué)家只能按語(yǔ)法書(shū)寫(xiě)而毫無(wú)思想”。愛(ài)因斯坦說(shuō)：“我相信直覺(jué)與靈感，真正可貴的因素是直覺(jué)”，“看來(lái)，直覺(jué)是頭等重要的”。數(shù)學(xué)家們對(duì)直覺(jué)思維在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用都給予高度評(píng)價(jià)。因此，數(shù)學(xué)直覺(jué)思維是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與創(chuàng)造數(shù)學(xué)必不可少的思維形式。

(二)數(shù)學(xué)直覺(jué)思維有利于提高學(xué)生的思維品質(zhì)，可以提高解題效率

直覺(jué)思維要求一定的依據(jù)，但又不苛求有充分的依據(jù)。這既符合學(xué)生的思維習(xí)慣，又不至于過(guò)早篩掉可能有用的信息。在數(shù)學(xué)解題中，不但要運(yùn)用邏輯進(jìn)行分析，而且還應(yīng)在分析問(wèn)題特征的同時(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)直覺(jué)思維判斷思路，直覺(jué)解題方向，并迅速洞察問(wèn)題實(shí)質(zhì)，可獲得事半功倍的效果。

三、數(shù)學(xué)直覺(jué)思維能力培養(yǎng)的途徑

（一）鼓勵(lì)大膽猜想，養(yǎng)成善于猜想的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣

猜想是一種合情合理，屬于綜合程度較高的帶有一定直覺(jué)性的高級(jí)認(rèn)識(shí)過(guò)程，牛頓說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”，對(duì)于數(shù)學(xué)研究或者發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，猜想方法是一種重要的基本思維方法。正如G．波利亞所說(shuō)：“在您證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，您必須猜想這個(gè)定理證明的主導(dǎo)思想”。數(shù)學(xué)猜想是證明的前提，“數(shù)學(xué)事實(shí)首先是被猜想，然后是被證實(shí)”，猜想是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的動(dòng)力。數(shù)學(xué)理論上的重大突破，常常起源于主意深刻的猜想。比如目前的數(shù)學(xué)“王冠”上的顆顆“明珠”，就是一個(gè)個(gè)的猜想：哥德巴赫猜想、黎曼猜想、費(fèi)馬猜想等。

(二)鼓勵(lì)標(biāo)新立異培養(yǎng)直覺(jué)思維

有突出創(chuàng)造智能的人，總想突破常人思維的局限，熱衷于求異思維，標(biāo)新立異。在傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，基本上注意力放在由學(xué)生準(zhǔn)確地再現(xiàn)學(xué)過(guò)的知識(shí)上面，常常對(duì)有天賦的學(xué)生的獨(dú)到之見(jiàn)評(píng)價(jià)不高，卻給死記硬背的答案以高分。而前者有時(shí)雖不能給出清晰的思維過(guò)程，但結(jié)果正確，而后者缺乏創(chuàng)造力。因此在教學(xué)過(guò)程中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)寬松的研討環(huán)境培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考，善于思考的習(xí)慣，鼓勵(lì)學(xué)生敢于發(fā)表自己的想法，哪怕錯(cuò)了也沒(méi)關(guān)系，對(duì)有天賦的學(xué)生的獨(dú)到之見(jiàn)要給予高度評(píng)價(jià)以激發(fā)他們的積極性。

(三)加強(qiáng)觀察力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生洞察問(wèn)題實(shí)質(zhì)的能力

在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合教材內(nèi)容，提供素材，讓學(xué)生進(jìn)行認(rèn)真仔細(xì)的觀察、分析、有意識(shí)地進(jìn)行訓(xùn)練，在觀察中，特別要注意培養(yǎng)抽象、概括、洞察問(wèn)題實(shí)質(zhì)的能力。

第三篇：淺論數(shù)學(xué)直覺(jué)思維及培養(yǎng)

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試驗(yàn)修訂本)將培養(yǎng)學(xué)生的三大能力之一“邏輯思維能力”改為“思維能力”，雖然只是去掉兩個(gè)字，概念的內(nèi)涵卻更加豐富，人們?cè)诮逃膶?shí)踐中實(shí)現(xiàn)了認(rèn)識(shí)上的轉(zhuǎn)變。在注重邏輯思維能力培養(yǎng)的同時(shí)，還應(yīng)該注重觀察力、直覺(jué)力、想象力的培養(yǎng)。特別是直覺(jué)思維能力的培養(yǎng)由于長(zhǎng)期得不到重視，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)容易造成誤解，認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥乏味的；同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。過(guò)多的注重邏輯思維能力的培養(yǎng)，不利于思維能力的整體發(fā)展。培養(yǎng)直覺(jué)思維能力是社會(huì)發(fā)展的需要，是適應(yīng)新時(shí)期社會(huì)對(duì)人才的需求。

一、數(shù)學(xué)直覺(jué)概念的界定

簡(jiǎn)單的說(shuō)，數(shù)學(xué)直覺(jué)是具有意識(shí)的人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象(結(jié)構(gòu)及其關(guān)系)的某種直接的領(lǐng)悟和洞察。

對(duì)于直覺(jué)作以下說(shuō)明：

(1)直覺(jué)與直觀、直感的區(qū)別

直觀與直感都是以真實(shí)的事物為對(duì)象，通過(guò)各種感覺(jué)器官直接獲得的感覺(jué)或感知。例如等腰三角形的兩個(gè)底角相等，兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質(zhì)的界定并沒(méi)有一個(gè)嚴(yán)格的證明，只是一種直觀形象的感知。而直覺(jué)的研究對(duì)象則是抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及其關(guān)系。龐加萊說(shuō)：“直覺(jué)不必建立在感覺(jué)明白之上．感覺(jué)不久便會(huì)變的無(wú)能為力。例如，我們?nèi)詿o(wú)法想象千角形，但我們能夠通過(guò)直覺(jué)一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個(gè)特例包括進(jìn)來(lái)?！庇纱丝梢?jiàn)直覺(jué)是一種深層次的心理活動(dòng)，沒(méi)有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內(nèi)所說(shuō)：“這些富有創(chuàng)造性的科學(xué)家與眾不同的地方，在于他們對(duì)研究的對(duì)象有一個(gè)活全生的構(gòu)想和深刻的了解，這些構(gòu)想和了解結(jié)合起來(lái)，就是所謂'直覺(jué)'……，因?yàn)樗m用的對(duì)象，一般說(shuō)來(lái)，在我們的感官世界中是看不見(jiàn)的?！?/p>

(2)直覺(jué)與邏輯的關(guān)系

從思維方式上來(lái)看，思維可以分為邏輯思維和直覺(jué)思維。長(zhǎng)期以來(lái)人們刻意的把兩者分離開(kāi)來(lái)，其實(shí)這是一種誤解，邏輯思維與直覺(jué)思維從來(lái)就不是割離的。有一種觀點(diǎn)認(rèn)為邏輯重于演繹，而直觀重于分析，從側(cè)重角度來(lái)看，此話不無(wú)道理，但側(cè)重并不等于完全，數(shù)學(xué)邏輯中是否會(huì)有直覺(jué)成分?數(shù)學(xué)直覺(jué)是否具有邏輯性?比如在日常生活中有許多說(shuō)不清道不明的東西，人們對(duì)各種事件作出判斷與猜想離不開(kāi)直覺(jué)，甚至可以說(shuō)直覺(jué)無(wú)時(shí)無(wú)刻不在起作用。數(shù)學(xué)也是對(duì)客觀世界的反映，它是人們對(duì)生活現(xiàn)象與世界運(yùn)行的秩序直覺(jué)的體現(xiàn)，再以數(shù)學(xué)的形式將思考的理性過(guò)程格式化。數(shù)學(xué)最初的概念都是基于直覺(jué)，數(shù)學(xué)在一定程度上就是在問(wèn)題解決中得到發(fā)展的，問(wèn)題解決也離不開(kāi)直覺(jué)，下面我們就以數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明為例，來(lái)考察直覺(jué)在證明過(guò)程中所起的作用。

一個(gè)數(shù)學(xué)證明可以分解為許多基本運(yùn)算或許多“演繹推理元素”，一個(gè)成功的數(shù)學(xué)證明是這些基本運(yùn)算或“演繹推理元素”的一個(gè)成功的組合，仿佛是一條從出發(fā)點(diǎn)到目的地的通道，一個(gè)個(gè)基本運(yùn)算和“演繹推理元素”就是這條通道的一個(gè)個(gè)路段，當(dāng)一個(gè)成功的證明擺在我們面前開(kāi)始，邏輯可以幫助我們確信沿著這條路必定能順利的到達(dá)目的地，但是邏輯卻不能告訴我們，為什么這些路徑的選取與這樣的組合可以構(gòu)成一條通道。事實(shí)上，出發(fā)不久就會(huì)遇上叉路口，也就是遇上了正確選擇構(gòu)成通道的路段的問(wèn)題。龐加萊認(rèn)為，即使能復(fù)寫(xiě)出一個(gè)成功的數(shù)學(xué)證明，但不知道是什么東西造成了證明的一致性，……，這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡爾認(rèn)為在數(shù)學(xué)推理中的每一步，直覺(jué)力都是不可缺少的。就好似我們平時(shí)打籃球，要靠球感一樣，在快速運(yùn)動(dòng)中來(lái)不及去作邏輯判斷，動(dòng)作只是下意識(shí)的，而下意識(shí)的動(dòng)作正是在平時(shí)訓(xùn)練產(chǎn)生的一種直覺(jué)。

在教育過(guò)程中，老師由于把證明過(guò)程過(guò)分的嚴(yán)格化、程序化。學(xué)生只是見(jiàn)到一具僵硬的邏輯外殼，直覺(jué)的光環(huán)被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對(duì)自己的直覺(jué)反而不覺(jué)得。學(xué)生的內(nèi)在潛能沒(méi)有被激發(fā)出來(lái)，學(xué)習(xí)的興趣沒(méi)有被調(diào)動(dòng)起來(lái)，得不到思維的真正樂(lè)趣?！吨袊?guó)青年報(bào)》曾報(bào)道，“約30％的初中生學(xué)習(xí)了平面幾何推理之后，喪失了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣”，這種現(xiàn)象應(yīng)該引起數(shù)學(xué)教育者的重視與反思。

二、直覺(jué)思維的主要特點(diǎn)

直覺(jué)思維具有自由性、靈活性、自發(fā)性、偶然性、不可靠性等特點(diǎn)，從培養(yǎng)直覺(jué)思維的必要性來(lái)看，筆者以為直覺(jué)思維有以下三個(gè)主要特點(diǎn)：

(1)簡(jiǎn)約性

直覺(jué)思維是對(duì)思維對(duì)象從整體上考察，調(diào)動(dòng)自己的全部知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設(shè)，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環(huán)節(jié)，而采取了“跳躍式”的形式。它是一瞬間的思維火花，是長(zhǎng)期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過(guò)程的高度簡(jiǎn)化，但是它卻清晰的觸及到事物的“本質(zhì)”。

(2)創(chuàng)造性

現(xiàn)代社會(huì)需要?jiǎng)?chuàng)造性的人才，我國(guó)的教材由于長(zhǎng)期以來(lái)借鑒國(guó)外的經(jīng)驗(yàn)，過(guò)多的注重培養(yǎng)邏輯思維，培養(yǎng)的人才大多數(shù)習(xí)慣于按部就班、墨守成規(guī)，缺乏創(chuàng)造能力和開(kāi)拓精神。直覺(jué)思維是基于研究對(duì)象整體上的把握，不專意于細(xì)節(jié)的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無(wú)意識(shí)性，它的想象才是豐富的，發(fā)散的，使人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)向外無(wú)限擴(kuò)展，因而具有反常規(guī)律的獨(dú)創(chuàng)性。

伊恩．斯圖加特說(shuō)：“直覺(jué)是真正的數(shù)學(xué)家賴以生存的東西”，許多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺(jué)。歐幾里得幾何學(xué)的五個(gè)公設(shè)都是基于直覺(jué)，從而建立起歐幾里得幾何學(xué)這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上進(jìn)發(fā)了構(gòu)造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫(kù)勒發(fā)現(xiàn)苯分了環(huán)狀結(jié)構(gòu)更是一個(gè)直覺(jué)思維的成功典范。

(3)自信力

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣的原因有兩種，一種是教師的人格魅力，其二是來(lái)自數(shù)學(xué)本身的魅力。不可否認(rèn)情感的重要作用，但筆者的觀點(diǎn)是，興趣更多來(lái)自數(shù)學(xué)本身。成功可以培養(yǎng)一個(gè)人的自信，直覺(jué)發(fā)現(xiàn)伴隨著很強(qiáng)的“自信心”。相比其它的物資獎(jiǎng)勵(lì)和情感激勵(lì)，這種自信更穩(wěn)定、更持久。當(dāng)一個(gè)問(wèn)題不用通過(guò)邏輯證明的形式而是通過(guò)自己的直覺(jué)獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內(nèi)心將會(huì)產(chǎn)生一種強(qiáng)大的學(xué)習(xí)鉆研動(dòng)力，從而更加相信自己的能力。

高斯在小學(xué)時(shí)就能解決問(wèn)題“1+2+　…… +99+100＝?”，這是基于他對(duì)數(shù)的敏感性的超常把握，這對(duì)他一生的成功產(chǎn)生了不可磨滅的影響。而現(xiàn)在的中學(xué)生極少具有直覺(jué)意識(shí)，對(duì)有限的直覺(jué)也半信半疑，不能從整體上駕馭問(wèn)題，也就無(wú)法形成自信。

三、直覺(jué)思維的培養(yǎng)

一個(gè)人的數(shù)學(xué)思維，判斷能力的高低主要取決于直覺(jué)思維能力的高低。徐利治教授指出：“數(shù)學(xué)直覺(jué)是可以后天培養(yǎng)的，實(shí)際上每個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺(jué)也是不斷提高的。”數(shù)學(xué)直覺(jué)是可以通過(guò)訓(xùn)練提高的。

(!)扎實(shí)的基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺(jué)的源泉

直覺(jué)不是靠“機(jī)遇”，直覺(jué)的獲得雖然具有偶然性，但決不是無(wú)緣無(wú)故的憑空臆想，而是以扎實(shí)的知識(shí)為基礎(chǔ)。若沒(méi)有深厚的功底，是不會(huì)進(jìn)發(fā)出思維的火花的。阿提雅說(shuō)：“一旦你真正感到弄懂一樣?xùn)|西，而且你通過(guò)大量例子以及通過(guò)與其它東兩的聯(lián)系取得了處理那個(gè)問(wèn)題的足夠多的經(jīng)驗(yàn)．對(duì)此你就會(huì)產(chǎn)生一種關(guān)于正在發(fā)展的過(guò)程是怎么回事以及什么結(jié)論應(yīng)該是正確的直覺(jué)?！卑⑦_(dá)瑪曾風(fēng)趣的說(shuō)：“難道一只猴了也能應(yīng)機(jī)遇而打印成整部美國(guó)憲法嗎?”

(2)滲透數(shù)學(xué)的哲學(xué)觀點(diǎn)及審美觀念

直覺(jué)的產(chǎn)生是基于對(duì)研究對(duì)象整體的把握，而哲學(xué)觀點(diǎn)有利于高屋建鄰的把握事物的本質(zhì)。這些哲學(xué)觀點(diǎn)包括數(shù)學(xué)中普遍存在的對(duì)立統(tǒng)一、運(yùn)動(dòng)變化、相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱性等。例如（a+b）2= a2+2ab-b2，即使沒(méi)有學(xué)過(guò)完全平方公式，也可以運(yùn)用對(duì)稱的觀點(diǎn)判斷結(jié)論的真?zhèn)巍?/p>

美感和美的意識(shí)是數(shù)學(xué)直覺(jué)的本質(zhì)，提高審美能力有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)事物間所有存在著的和諧關(guān)系及秩序的直覺(jué)意識(shí)，審美能力越強(qiáng)，則數(shù)學(xué)直覺(jué)能力也越強(qiáng)。狄拉克于1931年從數(shù)學(xué)對(duì)稱的角度考慮，大膽的提出了反物質(zhì)的假說(shuō)，他認(rèn)為真空中的反電子就是正電子。他還對(duì)麥克斯韋方程組提出質(zhì)疑，他曾經(jīng)說(shuō)，如果一個(gè)物理方程在數(shù)學(xué)上看上去不美，那么這個(gè)方程的正確性是可疑的。

(3)重視解題教學(xué)

教學(xué)中選擇適當(dāng)?shù)念}目類型，有利于培養(yǎng)，考察學(xué)生的直覺(jué)思維。

例如選擇題，由于只要求從四個(gè)選擇支中挑選出來(lái)，省略解題過(guò)程，容許合理的猜想，有利于直覺(jué)思維的發(fā)展。實(shí)施開(kāi)放性問(wèn)題教學(xué)，也是培養(yǎng)直覺(jué)思維的有效方法。開(kāi)放性問(wèn)題的條件或結(jié)論不夠明確，可以從多個(gè)角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發(fā)散性，有利于直覺(jué)思維能力的培養(yǎng)。

(4)設(shè)置直覺(jué)思維的意境和動(dòng)機(jī)誘導(dǎo)

這就要求教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，把主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生。對(duì)于學(xué)生的大膽設(shè)想給予充分肯定，對(duì)其合理成分及時(shí)給予鼓勵(lì)，愛(ài)護(hù)、扶植學(xué)生的自發(fā)性直覺(jué)思維，以免挫傷學(xué)生直覺(jué)思維的積極性和學(xué)生直覺(jué)思維的悟性。教師應(yīng)及時(shí)因勢(shì)利導(dǎo)，解除學(xué)生心中的疑惑，使學(xué)生對(duì)自己的直覺(jué)產(chǎn)生成功的喜悅感。

“跟著感覺(jué)走”是教師經(jīng)常講的一句話，其實(shí)這句話里已蘊(yùn)涵著直覺(jué)思維的萌芽，只不過(guò)沒(méi)有把它上升為一種思維觀念。教師應(yīng)該把直覺(jué)思維冠冕堂皇的在課堂教學(xué)中明確的提出，制定相應(yīng)的活動(dòng)策略，從整體上分析問(wèn)題的特征；重視數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué)，諸如：換元、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、反證法等，對(duì)滲透直覺(jué)觀念與思維能力的發(fā)展大有稗益。

四、結(jié)束語(yǔ)

直覺(jué)思維與邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會(huì)制約一個(gè)人思維能力的發(fā)展，伊思．斯圖爾特曾經(jīng)說(shuō)過(guò)這樣一句話，“數(shù)學(xué)的全部力量就在于直覺(jué)和嚴(yán)格性巧妙的結(jié)合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯?！笔芸刂频木窈透挥忻栏械倪壿嬚菙?shù)學(xué)的魅力所在，也是數(shù)學(xué)教育者努力的方向。

第四篇：數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的培養(yǎng)

定西師范高等?？茖W(xué)校 03級(jí)數(shù)學(xué)(1)班 xxx 743000

【摘要】 在數(shù)學(xué)發(fā)展史上,許多數(shù)學(xué)家都十分重視直覺(jué)思維的作用.“邏輯用于證明，直覺(jué)用于發(fā)明。” 偉大的數(shù)學(xué)家彭加勒的這一名言對(duì)于數(shù)學(xué)創(chuàng)造活動(dòng)中直覺(jué)思維的作用論述是十分精辟的.一個(gè)人的數(shù)學(xué)思維，判斷能力的高低主要取決于直覺(jué)思維能力的高低。徐利治教授指出：“數(shù)學(xué)直覺(jué)是可以后天培養(yǎng)的，實(shí)際上每個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺(jué)也是不斷提高的?！?本文主要闡述了本人對(duì)數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的認(rèn)識(shí)，以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的重要性和必要性，進(jìn)一步闡述了如何培養(yǎng)的問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】 直覺(jué)思維 邏輯思維 創(chuàng)新 猜想 數(shù)型結(jié)合

我們?cè)谧⒅剡壿嬎季S能力培養(yǎng)的同時(shí)，還應(yīng)該注重觀察力、直覺(jué)力、想象力的培養(yǎng)。特別是直覺(jué)思維能力的培養(yǎng)，由于長(zhǎng)期直覺(jué)思維得不到重視，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥乏味的，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。過(guò)多地注重邏輯思維能力的培養(yǎng)，不利于思維能力的整體發(fā)展。培養(yǎng)直覺(jué)思維能力是社會(huì)發(fā)展的需要，是適應(yīng)新時(shí)期社會(huì)對(duì)人才的需求。思·斯圖加特說(shuō)：“直覺(jué)是真正的數(shù)學(xué)家賴以生存的東西”。許多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺(jué)。歐幾里得幾何學(xué)的五個(gè)公設(shè)都是基于直覺(jué)，基于直覺(jué)，歐幾里得幾何學(xué)的五個(gè)公設(shè)夢(mèng)幻般建立起了歐幾里得幾何學(xué)這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上迸發(fā)了構(gòu)造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法?，F(xiàn)代社會(huì)需要?jiǎng)?chuàng)造性的人才，我國(guó)的教材由于長(zhǎng)期以來(lái)借鑒國(guó)外的經(jīng)驗(yàn)，過(guò)多的注重培養(yǎng)邏輯思維，培養(yǎng)的人才大多數(shù)習(xí)慣于按部就班、墨守成規(guī)，缺乏創(chuàng)造能力和開(kāi)拓精神。因此培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維是必要的。

一、對(duì)數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的認(rèn)識(shí)

1.扎實(shí)的基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺(jué)的源泉,直覺(jué)不是靠“機(jī)遇”，直覺(jué)的獲得雖然具有偶然性，但決不是無(wú)緣無(wú)故的憑空臆想，而是以扎實(shí)的知識(shí)為基礎(chǔ)。若沒(méi)有深厚的功底，是不會(huì)進(jìn)發(fā)出思維的火花的。阿提雅說(shuō)：“一旦你真正感到弄懂一樣?xùn)|西，而且你通過(guò)大量例子以及通過(guò)與其它東兩的聯(lián)系取得了處理那個(gè)問(wèn)題的足夠多的經(jīng)驗(yàn)．對(duì)此你就會(huì)產(chǎn)生一種關(guān)于正在發(fā)展的過(guò)程是怎么回事以及什么結(jié)論應(yīng)該是正確的直覺(jué)?！眰ゴ蟮臄?shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家彭加勒說(shuō)：“邏輯用于證明，直覺(jué)用于發(fā)明?！鼻疤K聯(lián)科學(xué)家凱德洛夫更明確地說(shuō)：“沒(méi)有任何一個(gè)創(chuàng)造性行為能離開(kāi)直覺(jué)活動(dòng)?！敝庇X(jué)思維就是指人們不受邏輯規(guī)則約束直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)的一種思維方式。直覺(jué)思維是對(duì)思維對(duì)象從整體上考察，調(diào)動(dòng)自己的全部知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設(shè)，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環(huán)節(jié)，而采取了“跳躍式”的形式。

2．?dāng)?shù)學(xué)直覺(jué)思維的表現(xiàn)形式是以人們已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和技能為基礎(chǔ)，通過(guò)觀察、聯(lián)想、類比、歸納、猜測(cè)之后對(duì)所研究的事物作出一種比較迅速的直接的綜合判斷，它不受固定的邏輯約束，以潛邏輯的形式進(jìn)行。關(guān)于數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的研究，目前比較統(tǒng)一的看法是認(rèn)為存在著兩種不同的表現(xiàn)形式，即數(shù)學(xué)直覺(jué)和數(shù)學(xué)靈感。這兩者的共同點(diǎn)是它們都能以高度省略、簡(jiǎn)化和濃縮的方式洞察數(shù)學(xué)關(guān)系，能在一瞬間迅速解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題。

3．?dāng)?shù)學(xué)直覺(jué)思維具有個(gè)體經(jīng)驗(yàn)性、突發(fā)性、偶然性、果斷性、創(chuàng)造性、迅速性、自由性、直觀性、自發(fā)性、不可靠性等特點(diǎn)。迪瓦多內(nèi)說(shuō)：“任何水平的數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的，無(wú)疑是使學(xué)生對(duì)他要處理的數(shù)學(xué)對(duì)象有一個(gè)可靠‘直覺(jué)’?！痹诮逃^(guò)程中，教師如果把證明過(guò)程過(guò)分的嚴(yán)格化、程序化，用僵硬的邏輯外殼掩蓋住直覺(jué)的光環(huán)，學(xué)生們只能把成功歸功于邏輯的功勞，而喪失了“可靠的直覺(jué)”，那將是我們教育的失敗?！吨袊?guó)青年報(bào)》曾報(bào)道，“約30％的初中生學(xué)習(xí)了平面幾何推理之后，喪失了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣”，這種現(xiàn)象應(yīng)該引起數(shù)學(xué)教育者的重視與反思。

直觀性：數(shù)學(xué)直覺(jué)思維活動(dòng)在時(shí)間上表現(xiàn)為快速性，即它有時(shí)是在一剎那間完成的；在過(guò)程上表現(xiàn)為跳躍性；在形式上表現(xiàn)為簡(jiǎn)約性，簡(jiǎn)約美體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。直覺(jué)思維是一瞬間的思維火花，是長(zhǎng)期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過(guò)程的高度簡(jiǎn)化。

創(chuàng)造性：直覺(jué)思維是基于研究對(duì)象整體上的把握，不專意于細(xì)節(jié)的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無(wú)意識(shí)性，它的想象才是豐富的，發(fā)散的，使人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)向外擴(kuò)展，因而具有反常規(guī)律的獨(dú)創(chuàng)性。許多重大的發(fā)現(xiàn)都基于數(shù)學(xué)直覺(jué)。

自信力: 數(shù)學(xué)直覺(jué)思維能力的提高有利于增強(qiáng)學(xué)生的自信力。成功可以培養(yǎng)一個(gè)人的自信，直覺(jué)發(fā)現(xiàn)伴隨著很強(qiáng)的“自信心”。從馬斯洛的需要層次來(lái)看，它使學(xué)生的自我價(jià)值得以充分實(shí)現(xiàn)，也就是最高層次的需要得以實(shí)現(xiàn)，比起其它的物資獎(jiǎng)勵(lì)和情感激勵(lì)，這種自信更穩(wěn)定、更持久。布魯納認(rèn)為學(xué)習(xí)的最好刺激是對(duì)教學(xué)材料的興趣。當(dāng)一個(gè)問(wèn)題不用通過(guò)邏輯證明的形式而是通過(guò)自己的直覺(jué)獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內(nèi)心將會(huì)產(chǎn)生一種強(qiáng)大的學(xué)習(xí)鉆研動(dòng)力。高斯在小學(xué)時(shí)就能解決問(wèn)題“1＋2＋?? ＋99＋100＝?”，這是基于他對(duì)數(shù)的敏感性的超常把握，這對(duì)他一生的成功產(chǎn)生了不可磨滅的影響。

數(shù)學(xué)直覺(jué)思維還有利于提高學(xué)生的思維品質(zhì)。直覺(jué)思維具有快速性，迅速肯定或否定某一思路或結(jié)論，給人以“發(fā)散”、“放射”的感覺(jué)，一計(jì)不成又生一計(jì)。因此，加強(qiáng)直覺(jué)思維能力的訓(xùn)練，對(duì)克服思維的單向性，提高思維品質(zhì)是有利的。

二、數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的培養(yǎng)

一個(gè)人的數(shù)學(xué)思維，判斷能力的高低主要取決于直覺(jué)思維能力的高低。徐利治教授指出：“數(shù)學(xué)直覺(jué)是可以后天培養(yǎng)的，實(shí)際上每個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺(jué)也是不斷提高的?！睂?duì)于一個(gè)專業(yè)的數(shù)學(xué)工作者來(lái)說(shuō)，他所具有的數(shù)學(xué)直覺(jué)顯然已不再是一種樸素意義上的原始直覺(jué)，而是一種精致化了的直覺(jué)，也即是通過(guò)多年的學(xué)習(xí)和研究才逐漸養(yǎng)成的。

扎實(shí)的基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺(jué)的源泉。迪瓦多內(nèi)一語(yǔ)道破了直覺(jué)的產(chǎn)生過(guò)程：“我以為獲得‘直覺(jué)’的過(guò)程，必須經(jīng)歷一個(gè)純形式表面理解的時(shí)期，然后逐步將理解提高、深化”?！爸庇X(jué)”不是靠“機(jī)遇”，直覺(jué)的獲得雖然具有偶然性，但決不是無(wú)緣無(wú)故地憑空臆想，成功孕育于1%的靈感和99%的血汗中。阿提雅說(shuō)：“一旦你真正感到弄懂了一樣?xùn)|西，而且你通過(guò)大量例子以及通過(guò)與其它東西的聯(lián)系取得了處理那個(gè)問(wèn)題的足夠多的經(jīng)驗(yàn)．對(duì)此你就會(huì)產(chǎn)生一種關(guān)于正在發(fā)展的過(guò)程是怎么回事以及什么結(jié)論應(yīng)該是正確的直覺(jué)?！?/p>

在課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的培養(yǎng)和發(fā)展是情感教育下的產(chǎn)物之一，把知情融為一體，使認(rèn)知和情感彼此促進(jìn)，和諧發(fā)展，互相促進(jìn)。敏銳的觀察力是直覺(jué)思維的起步器；‘一葉落而知天下秋’的聯(lián)想習(xí)慣、科學(xué)美的鑒賞力是直覺(jué)思維的助跑器；強(qiáng)有利的語(yǔ)言表達(dá)能力是直覺(jué)思維的載體。美國(guó)心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，應(yīng)該做更多的工作去發(fā)展學(xué)生的直覺(jué)思維。直覺(jué)思維能力可以通過(guò)多方聯(lián)想，學(xué)會(huì)從整體考察問(wèn)題，注意挖掘問(wèn)題內(nèi)部的本質(zhì)聯(lián)系，借助對(duì)稱、和諧等數(shù)學(xué)美感，養(yǎng)成解題后進(jìn)行反思的習(xí)慣等途徑加以培養(yǎng)。1．注重整體洞察，培養(yǎng)學(xué)生的整體直覺(jué)思維和觀察能力。直覺(jué)思維不同于邏輯思維，直覺(jué)思維是綜合的而不是分析的，它依賴于對(duì)事物全面和本質(zhì)的理解，側(cè)重于整體上把握對(duì)象而不拘泥于細(xì)節(jié)的邏輯分析，它重視元素之間的聯(lián)系、系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)，從整體上把握研究的內(nèi)容和方向。觀察是信息輸入的通道，是思維探索的大門。沒(méi)有觀察就沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，更不能有創(chuàng)造。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中圖形的識(shí)別，規(guī)律的發(fā)現(xiàn)以及理解能力、記憶能力、抽象能力、想象能力和運(yùn)算能力等都離不開(kāi)觀察。在觀察之前，要給學(xué)生提出明確而又具體的目的、任務(wù)和要求。指導(dǎo)學(xué)生從整體上觀察研究對(duì)象的特征，比如對(duì)于三角問(wèn)題指導(dǎo)學(xué)生從角、函數(shù)名和形式進(jìn)行觀察，注意幫助學(xué)生養(yǎng)成自問(wèn)和反思的習(xí)慣，努力培養(yǎng)學(xué)生濃厚的觀察興趣。

2．重視解題教學(xué)，注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維。華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形缺數(shù)時(shí)難入微?！蓖ㄟ^(guò)深入的觀察、聯(lián)想，由形思數(shù)，由數(shù)想形，利用圖形的直觀誘發(fā)直覺(jué)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺(jué)思維大有幫助。教師應(yīng)該把直覺(jué)思維在課堂教學(xué)中明確提出，制定相應(yīng)的活動(dòng)策略。重視數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué)，諸如：換元、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、反證法等，通過(guò)方法論的分析使數(shù)學(xué)中的發(fā)明、創(chuàng)造活動(dòng)成為“可以理解的”、“可以學(xué)到手的”和“可以加以推廣應(yīng)用的”，以思想方法的分析去帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)．例如:設(shè)a,b,c為三角形ABC的三邊長(zhǎng),求證:ab?c?a?bc?a?b?ca?b?c?3

分析:用證明不等式的一般方法證明結(jié)論較為繁瑣,由左邊諸分母的形式,可以聯(lián)想到構(gòu)造三角形ABC的內(nèi)切圓,利用上圖就可以將左邊化簡(jiǎn),于是原不等式可證.3．注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理猜想，培養(yǎng)歸納直覺(jué)思維。在數(shù)學(xué)解題中，運(yùn)用歸納直覺(jué)，是值得重視的。在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行猜想，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生直覺(jué)思維，掌握探求知識(shí)方法的必要手段。為了啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行猜想，我們還可以創(chuàng)設(shè)使學(xué)生積極思維，引發(fā)猜想的意境，可以提出“怎么發(fā)現(xiàn)這一定理的？”“解這題的方法是如何想到的？”諸如此類的問(wèn)題，組織學(xué)生進(jìn)行猜想、探索，還可以編制一些變換結(jié)論，引發(fā)學(xué)生猜想的愿望，猜想的積極性。教師應(yīng)及時(shí)因勢(shì)利導(dǎo)，解除學(xué)生心中的疑惑，使學(xué)生對(duì)自己的直覺(jué)產(chǎn)生成功的喜悅感。比如：探討平面內(nèi)n條直線最多能把平面分成幾個(gè)部分？

從一條直線開(kāi)始，尋找規(guī)律（如圖1）． 從圖1到圖2，我們發(fā)現(xiàn)圖中多了一個(gè)交點(diǎn)，平面被多分成2個(gè)部分，即為2+2個(gè)部分；

圖1 從圖2到圖3，我們發(fā)現(xiàn)圖中多了2 個(gè)交點(diǎn)，而平面被多分成3個(gè)部分，即 為（2+2）+3=7個(gè)部分；

依次類推，每多m個(gè)交點(diǎn)，則平面被多分成m+1分．因此，可以得到，圖圖2 圖3 個(gè)

4圖5 部

n(n+1)2 一般地，n條直線最多可分平面為2+2+3+4+5+?+n=1+1+2+3+4+5+?+n=1+ 個(gè)部分．

4．注重滲透數(shù)學(xué)的哲學(xué)觀點(diǎn)，加強(qiáng)在其它學(xué)科中應(yīng)用的意識(shí)，提高信息處理能力。直覺(jué)的產(chǎn)生是基于對(duì)研究對(duì)象整體的把握，而哲學(xué)觀點(diǎn)有利于高屋建瓴地把握事物的本質(zhì)。這些哲學(xué)觀點(diǎn)包括數(shù)學(xué)中普遍存在的對(duì)立統(tǒng)一、運(yùn)動(dòng)變化、相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱性等特點(diǎn)。例如(a+b)2=a2+2ab+b2，即使沒(méi)有學(xué)過(guò)完全平方公式，也可以運(yùn)用對(duì)稱的觀點(diǎn)判斷結(jié)論的真?zhèn)?。而函?shù)y=x+(1/x)的單調(diào)性充分體現(xiàn)了對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系。有意識(shí)地應(yīng)用于其它學(xué)科，尤其是應(yīng)用學(xué)科。例如，已知a+b=1，a>0，b>0求(1/a)+(1/b)的最小值．運(yùn)用物理學(xué)科的知識(shí)去解釋，即串聯(lián)電路的電阻值為1，將其改裝為并聯(lián)電路，使得并聯(lián)電路電阻值最大，由并聯(lián)電阻的阻值總比任一支路的電阻值小，從而使得基本不等式“深入人心”。使學(xué)生在豁然開(kāi)朗中提高直覺(jué)思維能力。

5.設(shè)置直覺(jué)思維的意境和動(dòng)機(jī)誘導(dǎo), 注意誘發(fā)學(xué)生的靈感.靈感是一種直覺(jué)思維。它大體是指由于長(zhǎng)期實(shí)踐，不斷積累經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)而突然產(chǎn)生的富有創(chuàng)造性的思路。它是認(rèn)識(shí)上質(zhì)的飛躍。靈感的發(fā)生往往伴隨著突破和創(chuàng)新。在教學(xué)中，教師應(yīng)及時(shí)捕捉和誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的靈感，對(duì)于學(xué)生別出心裁的想法，違反常規(guī)的解答，標(biāo)新立異的構(gòu)思，哪怕只有一點(diǎn)點(diǎn)的新意，都應(yīng)及時(shí)給予肯定。同時(shí)，還應(yīng)當(dāng)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、變換角度、類比形式等方法去誘導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)和靈感，促使學(xué)生能直接越過(guò)邏輯推理而尋找到解決問(wèn)題的突破口。有這樣 道題:把3/7,6/13,4/9,12/25用”>”號(hào)排列起來(lái).對(duì)與這道題,學(xué)生通常都是先通分再比較的,但由于公分母太大,解答非常麻煩,為此我們可以讓學(xué)生回頭觀察題目(*/*,*/*,*/*,*/*),然后再想一想,可以輕松的比較這些數(shù)的大小.倒過(guò)的數(shù)字引發(fā)學(xué)生瞬間的靈感.三.總結(jié)

思維與邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會(huì)制約一個(gè)人思維能力的發(fā)展，伊思．斯圖爾特曾經(jīng)說(shuō)過(guò)這樣一句話，“數(shù)學(xué)的全部力量就在于直覺(jué)和嚴(yán)格性巧妙的結(jié)合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯。”受控制的精神和富有美感的邏輯正是數(shù)學(xué)的魅力所在，也是數(shù)學(xué)教育者努力的方向。

參考書(shū)目：

［1］張奠宙主編《數(shù)學(xué)教育研究引導(dǎo)》江蘇教育出版社

［2］郭思樂(lè) 喻緯著《數(shù)學(xué)思維教育論》 上海教育出版社 [3] 李玉琪主編 《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與實(shí)踐研究》 高等教育出版社

［4］唐紹友 《試論數(shù)學(xué)教學(xué)與情感教育》《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》2002.3 [5] 趙振威 《中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法》 華東師范大學(xué)出版社

［6］史保懷 《直覺(jué)思維在解題中的運(yùn)用》 2000.5

第五篇：新GRE數(shù)學(xué)常用結(jié)論總結(jié)

三立教育ap.sljy.com

新GRE數(shù)學(xué)常用結(jié)論總結(jié)

下面為大家整理了新GRE數(shù)學(xué)常用結(jié)論：條件及獨(dú)立事件概率。

新GRE數(shù)學(xué)常用結(jié)論條件概率：考慮的是事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率

定義：設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且P(A)>0,稱 P(B|A)=P(A*B)/P(A)....................公式3 為事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率 理解：就是P(A與B的交集)/P(A集合)理解: “事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率”，很明顯，說(shuō)這句話的時(shí)候，A，B都發(fā)生了，求的是A，B同時(shí)發(fā)生的情況占A發(fā)生時(shí)的比例，就是A與B同時(shí)發(fā)生與A發(fā)生的概率比。新GRE考試數(shù)學(xué)常用結(jié)論全概率公式

某一個(gè)事件A的發(fā)生總是在一定的其它條件下如B,C,D發(fā)生的,也就是說(shuō)A的概率其實(shí)就是在,B,C,D發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率之和.A在B發(fā)生時(shí)有一個(gè)條件概率,在C發(fā)生時(shí)有一個(gè)條件概率,在D發(fā)生時(shí)有一個(gè)條件概率,如果B,C,D包括了A發(fā)生的所有的條件.那么,A的概率不就是這幾個(gè)條件概率之和么.P(A)=P(A|B)+P(A|C)+P(A|D)獨(dú)立事件與概率

兩個(gè)事件獨(dú)立也就是說(shuō)，A，B的發(fā)生與否互不影響，A是A，B是B，用公式表示就是P(A|B)=P(A)所以說(shuō)兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率就是： 三立教育ap.sljy.com

P(A U B)=P(A)×P(B)................公式4 小編為大家整理了讀懂新GRE數(shù)學(xué)題目的重要性，供大家參考，同時(shí)祝大家取得好的GRE數(shù)學(xué)成績(jī)。