第一篇：(no.1)2013年高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 《對(duì)一道數(shù)學(xué)題的展開》
知識(shí)改變命運(yùn)
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對(duì)一道數(shù)學(xué)題的展開
在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，選好一道例題。通過一題多思，一題多解，一題多講?？梢造柟虒W(xué)生知識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生思維，開拓學(xué)生視野。例題：已知ｘ，ｙ∈Ｒ且法一：均值不等式法
?x,y?R?1?1x??＋
1x?9y?1，求ｘ＋ｙ的最小值。
9y?1x6xy?9y⑴（當(dāng)且僅當(dāng)?xy?6即y?9x時(shí)取等號(hào)）
xy⑵又x?y?2(當(dāng)且僅當(dāng)x?y時(shí)取等號(hào)）⑶12?x?y?12?x?y的最小值是此題答案有誤。因?yàn)棰?，⑵式的等?hào)不能同時(shí)成立，所以⑶式等號(hào)不能取。但事實(shí)上推導(dǎo)過程無誤，只不過擴(kuò)大了ｘ＋ｙ的范圍。此種推導(dǎo)在選擇題時(shí)，其選擇項(xiàng)若是6，8，12，16，當(dāng)可排除6，8，12得16。此法作為例子強(qiáng)調(diào)使用重要不等式時(shí)等號(hào)成立條件的必不可少。法2，1的妙用
?1x?9y?11x9yyx9xy?x?y?(x?y)(???當(dāng)且僅當(dāng)?yx?)?10???16????1b
??9xy時(shí)即x?4,y?12時(shí)取等號(hào)1a又如a,b,c?R,a?b?c?1,求證（?1)(?1)(1c?1)?8
用心 愛心 專心 1 知識(shí)改變命運(yùn)
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再如a,b,c是不等正數(shù)且abc?1,求證a?b?c?11a?b?1c
法3，構(gòu)造x+y不等式法
由1x?9y?1得（x?1)(y?9)?9?(x?y?102
2)可得變式：已知x+xy+4y=5（x,y∈R＋）求xy取值范圍 法4，換元后構(gòu)造均值不等式法
由1x?9y?1得y?9?9x?1(x?1)所以x?y?x?9?9x?1?10?x?1?9
x?1?16(當(dāng)且僅當(dāng)x?1?9即x?1x?4時(shí)取等號(hào)）法5，用判別式法
由1x?9y?1得y?9xx?1(x?1)令x?y?z,則z?x?9xx?1?x2?8xx?1得關(guān)于x的二次方程x2?(8?z)x?z?0
2?0且z?8?(8?z)2可由△?(8?z)?4z?4z2?0解得z的范圍從而得到x?y的最小值。注意實(shí)根分布情況討論。類似地，如2x+y=6,求11x?y的范圍也可用判別式法。
法6，三角代換法
用心 愛心 專心 2 知識(shí)改變命運(yùn)
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令1x?(cos?),29y2?(sin?),22
?10?(tan?)?9(cot?)22則x?y?(sec?）＋（9csc?)?16變：0
z?x?9?9x?1a2x?b21?x的最小值
(x?1),z??0中，x?4，此極值必為最值)
(在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn)以上所涉及到的方法都是學(xué)生應(yīng)掌握的。通過一道例題講解即可復(fù)習(xí)多種方法。
用心 愛心 專心 3
第二篇：(no.1)2013年高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 學(xué)科德育實(shí)施初探
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學(xué)校德育不只是班主任和文科教師的任務(wù)，必須各科協(xié)作。學(xué)科德育是素質(zhì)教學(xué)的重要一環(huán)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要挖掘教學(xué)教材中顯性和隱性的德育因素，施德育于數(shù)學(xué)教學(xué)之中。
一、宣講我國數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育
１、開學(xué)初集中講。學(xué)生剛?cè)胫袑W(xué)，對(duì)什么都有新鮮感。教師要抓住第一堂數(shù)學(xué)課的機(jī)會(huì)，生動(dòng)、具體、真實(shí)地介紹我國古今數(shù)學(xué)成就，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)營造良好的氛圍。中國是世界上最早的文明古國，數(shù)學(xué)成就顯著。計(jì)算圓周率，自西漢劉備、東漢張衡，三國時(shí)劉徽、直到南北朝祖沖之等多位數(shù)學(xué)家，為之進(jìn)行艱苦探索，得出了當(dāng)時(shí)世界上最為準(zhǔn)確的圓周率。南宋數(shù)學(xué)家秦九韶1247年就編著《數(shù)學(xué)九章》，同代數(shù)學(xué)家楊輝揭示了二項(xiàng)式展開式系數(shù)的規(guī)律，比法國數(shù)學(xué)家早四百多年。
祖沖之的兒子祖恒對(duì)求幾何體積有獨(dú)特創(chuàng)見，比意大利數(shù)學(xué)家早一千多年。比劉，近代的徐光啟、李善蘭及當(dāng)代的華羅庚、陳景潤，在他們所研究的領(lǐng)域中都對(duì)數(shù)學(xué)做出了獨(dú)特的貢獻(xiàn)。通過宣講，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感和愛國主義熱情。
２、組織講座專門講。對(duì)初一學(xué)生還可借助“華羅庚金杯賽”的機(jī)會(huì)，進(jìn)行題為《如何自學(xué)成才》的專題講座，介紹我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚的生平事跡。華羅庚學(xué)歷是“初中畢業(yè)”，可他深鉆細(xì)研，成為當(dāng)代國內(nèi)外聞名的偉大數(shù)學(xué)家。通過講座，使學(xué)生懂得學(xué)習(xí)好壞關(guān)鍵在于本人的學(xué)習(xí)態(tài)度和努力，明白“外因是變化的條件，內(nèi)因是變化的根據(jù)，外因要通過內(nèi)因而起作用”的哲學(xué)道理。進(jìn)而發(fā)奮學(xué)習(xí)，將來為國家做貢獻(xiàn)。
二、結(jié)合傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義教育
１、實(shí)踐的觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象概括出來的科學(xué)，教學(xué)中要揭示數(shù)學(xué)本身的物質(zhì)基矗如講直角三角形“勾股定理”時(shí)，教師要說明早在公元一世紀(jì)，我國古代數(shù)學(xué)家在多次實(shí)踐的基礎(chǔ)上總結(jié)出了“勾廣三，股修
四、經(jīng)偶五”的規(guī)律（即勾
三、股
四、弦五），并且借助圖形對(duì)該定理進(jìn)行了兩種巧妙的證明。讓學(xué)生明確，任何一個(gè)定理、公式的形成均來自實(shí)踐，“實(shí)踐、認(rèn)識(shí)、再實(shí)踐、再認(rèn)識(shí)”是人類掌握自然規(guī)律的正確途徑。從而培養(yǎng)學(xué)生善于從客觀事物中發(fā)現(xiàn)、規(guī)律、掌握規(guī)律的能力。
２、辯證的觀點(diǎn)。恩格期指出“數(shù)學(xué)是辯證的輔助工具和表現(xiàn)形式，連初等數(shù)學(xué)也充滿著矛盾?！睌?shù)學(xué)概念正數(shù)與負(fù)數(shù)、常量與變量等，都表現(xiàn)對(duì)立的形式，又各以它的對(duì)立而存在。在數(shù)學(xué)中要揭示這一關(guān)系。直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)直線與圓心的距離小于圓半徑時(shí)，直線與圓的位置處于兩個(gè)交點(diǎn)狀態(tài)（相交）；當(dāng)距離與半徑相等時(shí)，發(fā)生質(zhì)變，直線與圓只有一個(gè)交點(diǎn)（相切）；當(dāng)距離大于半徑時(shí)，再次發(fā)生質(zhì)變，直線與圓沒有交點(diǎn)（距離）。講這一關(guān)系時(shí)，要啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)到“事物發(fā)展是一個(gè)由量變到質(zhì)變的過程”。數(shù)學(xué)中充滿著辯證法，教師應(yīng)不失時(shí)機(jī)地予以啟示，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，同時(shí)為學(xué)生樹立辯證唯物主義觀點(diǎn)打好基矗３、發(fā)展的觀點(diǎn)。世上任何事物都不是孤立的、靜止的，它是在不斷地從低級(jí)階段向高級(jí)階段發(fā)展。數(shù)學(xué)也是這樣，整數(shù)到分?jǐn)?shù)，有理數(shù)到無理數(shù)，實(shí)數(shù)到負(fù)數(shù)，有限到無限等，都遵循著這一規(guī)律。在這個(gè)數(shù)學(xué)過程中，要使學(xué)生認(rèn)識(shí)到一切事物都不是斷發(fā)展變化的，培養(yǎng)學(xué)生超越舊事物，創(chuàng)造新穎，獨(dú)特新事物的能力。[
用心 愛心 專心 1
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三、在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的作風(fēng)[ １、言位身教，從自己做起。數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，數(shù)學(xué)教師首先要有嚴(yán)謹(jǐn)、負(fù)責(zé)的態(tài)度。進(jìn)行概念數(shù)學(xué)時(shí)，要運(yùn)用數(shù)學(xué)語言完整、精練地?cái)⑹?；?duì)公式所起的作用，要講得確切；在板演過程中要有條有理，推理要步步有根據(jù)；書寫要規(guī)范，避免“圓”和“園”、“連接”和“連結(jié)”混用。時(shí)時(shí)事事給學(xué)生做出嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的表率。
２、嚴(yán)格要求，從小事抓起。數(shù)學(xué)中，教師要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生言必有據(jù)、一絲不茍、堅(jiān)持真理、修正錯(cuò)誤的科學(xué)態(tài)度。不合格的作業(yè)，一定要令其重作，哪怕只是一個(gè)錯(cuò)字、一個(gè)小數(shù)點(diǎn)也要強(qiáng)調(diào)訂正。要嚴(yán)格指出，在實(shí)際工作中點(diǎn)滴差錯(cuò)誤都有可能給國家造成很大損失。從而一點(diǎn)一滴培養(yǎng)學(xué)生精益求精，實(shí)事求是，謙虛謹(jǐn)慎的優(yōu)良作風(fēng)。
用心 愛心 專心 2
第三篇：(no.1)2013年高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 復(fù)習(xí)課上法淺談 新課標(biāo)
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高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上法淺談
一、在課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)上，更新教育觀念，始終堅(jiān)持以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)的教學(xué)原則 教育家蘇霍姆林斯基曾經(jīng)告誡我們：“希望你們要警惕，在課堂上不要總是教師在講，這種做法不好??讓學(xué)生通過自己的努力去理解的東西，才能成為自己的東西，才是他真正掌握的東西.”按我們的說法就是：師傅的任務(wù)在于度，徒弟的任務(wù)在于悟。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須廢除“注入式”“滿堂灌”的教法.復(fù)習(xí)課也不能由教師包講，更不能成為教師展示自己解題“高難動(dòng)作”的“絕活表演”，而要讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，讓他們?cè)谥鲃?dòng)積極地探索活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新、突破，展示自己的才華智慧，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和悟性.作為教學(xué)活動(dòng)的組織者，教師的任務(wù)是點(diǎn)撥、啟發(fā)、誘導(dǎo)、調(diào)控，而這些都應(yīng)以學(xué)生為中心.復(fù)習(xí)課上有一個(gè)突出的矛盾，就是時(shí)間太緊，既要處理足量的題目，又要充分展示學(xué)生的思維過程，二者似乎是很難兼顧.我們可采用“焦點(diǎn)訪談”法較好地解決這個(gè)問題，因大多數(shù)題目是“入口寬，上手易”，但在連續(xù)探究的過程中，常在某一點(diǎn)或某幾點(diǎn)上擱淺受阻，這些點(diǎn)被稱為“焦點(diǎn)”，其余的則被稱為“外圍”.我們大可不必在外圍處花精力去進(jìn)行淺表性的啟發(fā)誘導(dǎo)，好鋼要用在刀刃上，而只要在焦點(diǎn)處發(fā)動(dòng)學(xué)生探尋突破口，通過訪談，集中學(xué)生的智慧，讓學(xué)生的思維在關(guān)鍵處閃光，能力在要害處增長，弱點(diǎn)在隱蔽處暴露，意志在細(xì)微處磨礪.通過訪談實(shí)現(xiàn)學(xué)生間、師生間智慧和能力的互補(bǔ)，促進(jìn)相互的心靈和感情的溝通.二、趣濃情深，提高復(fù)習(xí)課解題教學(xué)的藝術(shù)性
在復(fù)習(xí)時(shí)，由于解題的量很大，就更要求我們將解題活動(dòng)組織得生動(dòng)活潑、情趣盎然.讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的優(yōu)美、奇異和魅力，這樣才能變苦役為享受，有效地防止智力疲勞，保持解題的“好胃口”.一道好的數(shù)學(xué)題，即便具有相當(dāng)?shù)碾y度，它卻像一段引人入勝的故事，又像一部情節(jié)曲折的電視劇，那迭起的懸念、叢生的疑竇正是它的誘人之處.“山重水覆”的困惑被“柳暗花明”的喜悅?cè)〈?，學(xué)生又怎能不贊嘆自己智能的威力？我們要使學(xué)生由“要我學(xué)”轉(zhuǎn)化為“我要學(xué)”，課堂上要想方設(shè)法調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)熱情，有這樣一些比較成功的做法：一是運(yùn)用情感原理，喚起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情；二是運(yùn)用成功原理，用心 愛心 專心
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變苦學(xué)為樂學(xué)；三是在學(xué)法上教給學(xué)生“點(diǎn)金術(shù)”等等.三、講究講評(píng)試卷的方法和技巧.復(fù)習(xí)階段總免不了要做一些試卷，但試卷并不是做得越多越好，關(guān)鍵在于做題的質(zhì)量好壞和收益的多少.怎樣才能取得好的講評(píng)效果，要做好以下幾點(diǎn)：
①照顧一般，突出重點(diǎn)
在講評(píng)試卷時(shí)，不應(yīng)該也不必要平均使用力量，有些試題只要點(diǎn)到為止，有些試題則需要仔細(xì)剖析，對(duì)那些涉及重難點(diǎn)知識(shí)且能力要求比較高的試題要特別照顧；對(duì)于學(xué)生錯(cuò)誤率較高的試題，則要對(duì)癥下藥.為此教師必須認(rèn)真批閱試卷，對(duì)每道題的得分率應(yīng)細(xì)致地進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)每道題的錯(cuò)誤原因準(zhǔn)確地分析，對(duì)每道題的評(píng)講思路精心設(shè)計(jì)，只有做到評(píng)講前心中有數(shù)，才會(huì)做到評(píng)講時(shí)有的放矢.②貴在方法，重在思維
方法是關(guān)鍵，思維是核心，滲透科學(xué)方法，培養(yǎng)思維能力是貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)全過程的首要任務(wù).通過試卷的評(píng)講過程，應(yīng)該使學(xué)生的思維能力得到發(fā)展，分析與解決問題的悟性得到提高，對(duì)問題的化歸意識(shí)得到加強(qiáng).訓(xùn)練“多題一解”和“一題多解”，不在于方法的羅列，而在于思路的分析和解法的對(duì)比，從而揭示最簡(jiǎn)或最佳的解法.③分類化歸，集中講評(píng)
涉及相同知識(shí)點(diǎn)的題，集中講評(píng)；形異質(zhì)同的題，集中評(píng)講；形似質(zhì)異的題，集中評(píng)講.用心 愛心 專心 2
第四篇：(no.1)2013年高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 構(gòu)造函數(shù)證明不等式
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構(gòu)造函數(shù)證明不等式
函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是聯(lián)系各個(gè)數(shù)學(xué)分支的橋梁和紐帶.在不等式的證明中，我們可根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立起適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，利用函數(shù)的單調(diào)性、凸性等性質(zhì)，靈活、巧妙地證明不等式.一、二次函數(shù)型：
1.作差構(gòu)造法.例1.(新教材第二冊(cè)（上）（以下同）P16習(xí)題1（2）)求證:a?b?c?ab?bc?ca.分析:將a視為變量,考察函數(shù)f?a??a??b?c?a?b?bc?c.由于該二次函數(shù)的圖象開口向上,且???3?b?c??0,故f?a??0.結(jié)論獲證.22
2例2.(教材P31.復(fù)習(xí)參考題6)設(shè)a,b,c為?ABC的三條邊,求證:a?b?c＜2?ab?bc?ca?.2222
222
分析:構(gòu)造函數(shù)f?x??x?2?b?c?x??b?c?.∵f?x?圖象開口向上,對(duì)稱軸x?b?c.∴f?x?在???,b?c?上單調(diào)遞減.∵a,b,c為?ABC的三條邊,∴b?c＜a＜b?c(不妨設(shè)b?c)∴
f
?a??f?b?c?.2
∵f?b?c???b?c??2?b?c??b?c???b?c???4c?b?c??0.∴f?a??0.即結(jié)論成立.2.判別式構(gòu)造法.2222
例3.(教材P27.例1)已知a,b,c,d都是實(shí)數(shù),且a?b?1,c?d?1.求證:ac?bd?1.分析：所證結(jié)論即是??2?ac?bd????4?a?b
??c
?d
??0.故可構(gòu)造函數(shù)
f
?x???a
?b
?x
?2?ac?bd?x?c?d.2
由于f?x???ax?2acx?c
2???bx?2bdx?d
?
??ax?c???bx?d
?
?0.當(dāng)且僅當(dāng)x?
ca
?
db
時(shí)取“=”號(hào).又因?yàn)閒?x?的圖象開口向上,故必有??0.結(jié)論成立.2
練習(xí)1.(教材P16.練習(xí)2)求證:?ac?bd???a?b??c
n
?d
?.n
n
點(diǎn)撥:證法同例3.該題是柯西不等式的特殊情形.其一般形式是:
??
ab??ii???i?1?
n
n
2i
n
?a??
i?
1i?1
?2?2
bi.可構(gòu)造函數(shù)f?x????ai?x?2?aibi?x?
i?1?i?1?
?b
i?1
2i
證之.練習(xí)2.(教材P17.習(xí)題6)已知a,b是不相等的兩個(gè)正數(shù),求證:
?a?b??a?b
3???a?b
?
.用心 愛心 專心
點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)f?x???a?b?x?2?a?b
?x?a
?b?a?x?a??b?x?b?證之.22
練習(xí)3.(教材P17.習(xí)題7)已知a,b都是正數(shù),x,y?R,且a?b?1,求證:
ax?by
??ax?by?.點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)f?z???a?b?z?2?ax?by?z?ax?by?a?z?x??b?z?y?證之.練習(xí)4.(教材P31.復(fù)習(xí)參考題5)求證:3?1?a?a
???1?a?a?
.點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)f?x??3x?2?1?a?a
?x?1?a
?a??x?1???x?a???x?a?
證之.二、分式函數(shù)型:
例4.(教材P12.例2)已知a,b,m都是正數(shù),并且a?b,求證:
分析:構(gòu)造函數(shù)f?x??
x?ax?b
a?mb?m
?ab.x??0,???.由于當(dāng)x??0,???時(shí)，f??x??
b?a
?x?b?
?0.故f?x?在?0,???上是增函數(shù).∵f?x?在x
f
?0處右連續(xù)，∴f
?x?在?0,???上是增函數(shù).∵m
?0 ∴
?m??f?0? 即
a?mb?m
?
ab
.例5.(教材P22.例3)已知a?1,b?1,求證:
a?x1?ax
a?b1?ab
?1.分析:構(gòu)造函數(shù)f?x??x???1,1?.由于當(dāng)x???1,1?時(shí)，f??x??
1?a
2?1?ax?
?0.故f?x?在??1,1?上是增函數(shù).∵f?x?在x??1處右連續(xù)，在x?1處左連續(xù).∴f?x?在??1,1?上是增函數(shù).∵?1?b?1 ∴f??1??f?b??f?1? ,即?1?
a?b1?ab
?1.ab
a?cb?d
cd
a?b1?ab
?1, 即
例6.(教材P14練習(xí)5)已知a,b,c,d都是正數(shù),且bc?ad,求證:
??.a
分析:聯(lián)想定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式,a?cb?d
可寫成b
?1?
cd
db.故可構(gòu)造函數(shù)db
a
f
?x??
b
d1?x
?
c
?x,x??0,???.∵當(dāng)x??0,???時(shí)，用心 愛心 專心 2
c
f??x??
d
?
ab
?1?x?
?
bc?adbd?1?x?
?0.∴f?x?在?0,???上是增函數(shù).∵f?x?在x
?0處右連續(xù)，∴f?x?在?0,???上是增函數(shù).又∵
cd
db
?0.∴
?d?
f?0??f???limf
?b?x???
?x?.而
f?0??
a?c?d?,f???,limf
x???bbb?d??
a
?x??
.故原不等式成立.ac?a
bc?b
練習(xí)5.(教材P14.練習(xí)4)已知c?a?b?0,求證:
點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)f?x??
xc?x
x??0,c?
?.練習(xí)6.(教材P17.習(xí)題9)已知?ABC的三邊長分別是a,b,c.且m為正數(shù).求證:
aa?m
?
bb?m
?
cc?m
.xx?m?,x??0,???.易證fcc?m
.而
aa?m
?
bb?m
點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)f?x??
f
?x?為增函數(shù).由于
?
aa?b?m
?
ba?b?m
?
a?b?c,故
?a?b??
aa?m
?
f?c?.即b
?
a?ba?b?mc
.a?ba?b?m
.故
有
b?mc?m
練習(xí)7.(教材P23.習(xí)題4)求證:
分析:構(gòu)造函數(shù)f?x??
三、冪函數(shù)型：
a?b1?a?b
?
a?b1?a?b
.x1?x,x??0,???證之.例7.如果a,b都是正數(shù)，且a?b,求證：a?b?ab?ab.分析：a?b?ab?ab??a?b
55322
3??a
?b
?.考察函數(shù)f?x??x,(n?N)在?0,???上的單調(diào)性，顯然f?x?在?0,???上為增函數(shù).n
*
若a?b,則a?b, a?b,所以?a?b
??a??a
?b?b
??0； ??0。
若a?b,則a?b, a?b,所以?a?b
2所以a?b?ab?ab.利用函數(shù)的單調(diào)性證法可以將上述結(jié)論推廣為: 若a、b是正數(shù)且a?b,求證：a四、一次函數(shù)型：
用心 愛心 專心
m?n
55322
3?b
m?n
?ab?ab.(m,n?N)
mnnm*
例8.設(shè)a,b,c??0,1?,求證:a?b?c?ab?bc?ca?1.分析:構(gòu)造函數(shù)f?a???1?b?c?a?b?c?bc?1,a??0,1?.∵f?0??b?c?bc?1??1?c??b?1??0,f?1??1?b?c?b?c?bc?1??bc?0.∴對(duì)任意a??0,1?,恒有f?a??0.故原不等式成立.五、三角函數(shù)型： 例9.(同例3)
分析:設(shè)a?cos?,b?sin?, c?cos?,d?sin?.則ac?bd?cos??cos??sin??sin?
?cos????
?
?1.練習(xí)8.設(shè)x,y?R,且x?y?1,求證
:?x?2xy?y?點(diǎn)撥:設(shè)x?rcos?,y?rsin?.其中r?1.以下略.六、指數(shù)函數(shù)型:
2例10．已知等差數(shù)列?an?和等比數(shù)列?bn?，其中a1?b1，a2?b2，0＜a1＜a2，證明當(dāng)n?3時(shí)，an da 1n?1 .所以，當(dāng)n?3時(shí)，bn?a1q q?1? ?d? ??a1?1? ?a1??? n?1 ? ???dd?11 ??a1??n?1?d?an.a1?1?Cn?1???a1?1?Cn?1 ???＞ a1a1????? 這兒,我們用二項(xiàng)式定理進(jìn)行放縮,完成了證明.七、構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)圖象的凸性： 例11.(教材P15.例6)求證3+7<2 5分析:考察函數(shù)f(x)=x的圖象,特征是上凸函數(shù).對(duì)任意x1,x2??0,???, 且x1?x2,都有：所以,即 212 ?f(x1)?f(x2)? ??f?3??f?7??? ?f?5?.（3+7）<5.兩條結(jié)論:（1用心 愛心 專心 值之和越大.例:6? 7?22? 5? ? 3? ? 2及 a? a?3? a?1? a?2 (2)下凸函數(shù),區(qū)間中點(diǎn)相同時(shí),兩端“距離”區(qū)間中點(diǎn)越近,兩端點(diǎn)函數(shù)值之和越小.練習(xí)9.已知:f?x??tanx,x??0,?? ??2? ?, 若x1,x2??0,? ? ??2? ? 且x1?x2,試判斷 ??f ?x1?? f ?x2???與 ?x?x2? f?1 ?的大小，并加以證明（94年高考理科試題變式題）.2?? 練習(xí)10.已知:f?x??lgx?x?1?,若0?x1?x2,試比較 年高考文科試題).練習(xí)11.(教材P23.習(xí)題5)求證:lg A?B2 ? lgA?lgB ??f ?x1?? f ?x2???與 ?x?x2? f?1 ?的大小(942?? ?AB?0?.以上表明,若能清楚不等式所反映的圖象意義，就會(huì)給證明提供思路.八、構(gòu)造連續(xù)函數(shù)，應(yīng)對(duì)含離散型變量的不等式問題： 例12．（2001年全國理）已知i,m,n是正整數(shù)，且1﹤i≤m＜n.（1）證明nAm＜mAn.（2）證明?1?m?＞?1?n?.n m iiii i?1i? 1分析：（1）nAm＜mAn可化為： i?1 iiii Amm i i ＜ Ann i i ??m，即： k?0 ?k? i ??n?k? ＜ k?0 mn i .構(gòu)造函數(shù)f?x?? ??x?k? k?0 x i .（x?i＞1）.i?1 兩邊取對(duì)數(shù)，得：lnf?x?? ? k?0 ln?x?k??ilnx.當(dāng)x??i,???時(shí),兩邊求導(dǎo)，得： f??x?f?x? i?1 ? ? k?0 1x?k ? ix i?1 ＞? k?0 1x ? ix ?0.由于f?x?＞0，故f??x?＞0.這說明f?x?在?i,???上是增函數(shù).∵f?x?在x?i處右連續(xù).∴ f?x?在?i,???上是增函數(shù).∵i≤m＜n.∴f?m?＜f?n?.Amm ii 即＜ Ann i i .整理，得：nAm＜mAn.用心 愛心 專心 iiii （2）不等式?1?m?＞?1?n?兩邊取對(duì)數(shù)，得：ln?1?m?＞ln?1?n?.n m n m 整理，得： ln?1?m m ? ＞ ln?1?n?n .構(gòu)造函數(shù)g?x?? ln?1?x?x ?x?2?.x 求導(dǎo)，得：g??x?? 1?x ?ln?1?x?xx .當(dāng)x?2時(shí),可得：0＜ 1?x ＜1，ln?1?x??ln3＞1.故g??x?＜0.所以g?x?在?2,???上是減函數(shù).∵g?x?在x?2處右連續(xù).∴g?x?在?2,???上是減函數(shù).∵m＜n，∴ g?m?＞g?n?.即 ln?1?m m ? ＞ ln?1?n?n .整理，得：?1?m?＞?1?n?.n m 注：不等式?1?m?＞?1?n? n m 也可化為：?1?m? 1m ＞?1?n? 1n .這時(shí)，可研究函數(shù) h?x???1?x?x?e ln?1?x?x的單調(diào)性證之.n?1 練習(xí)12.已知n是正整數(shù)且n≥3.求證：n n ＞?n?1?.n 點(diǎn)撥：不等式n n?1 ＞?n?1?兩邊取自然對(duì)數(shù)，整理得： lnnn ＞ ln?n?1?n?1 .構(gòu)造函數(shù)f?x?? lnxx 可證之.lnf?x? 說明:根據(jù)所構(gòu)造函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),我們將函數(shù)轉(zhuǎn)化為lnf?x?型或e型,方便了對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算.不等式證明的數(shù)學(xué)模型，除本文介紹的函數(shù)模型外，還可建立向量模型、解析幾何模型、方程模型等，請(qǐng)讀者自行研究、總結(jié).作者簡(jiǎn)介:陳兵,男,1976年10月26日出生,山東省滕州市人,中教二級(jí), 學(xué)士學(xué)位.用心 愛心 專心 6 知識(shí)改變命運(yùn) 百度提升自我 本文為自本人珍藏 版權(quán)所有 僅供參考 高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐總結(jié)---設(shè)疑的作用 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師根據(jù)課堂情況、學(xué)生的心理狀態(tài)和教學(xué)內(nèi)容的不同，適時(shí)地提出經(jīng)過精心設(shè)計(jì)、目的明確的問題，這對(duì)啟發(fā)學(xué)生的積極思維和學(xué)好數(shù)學(xué)有很大的作用。筆者在近幾年的教育教學(xué)研究活動(dòng)中，聽過許多學(xué)科的課堂教學(xué)，經(jīng)常會(huì)看到一些教師在課堂教學(xué)中能很快使學(xué)生帶著一種高漲的、激動(dòng)的和欣悅的心情從事學(xué)習(xí)，給我留下了深刻的印象。本文就高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)疑談?wù)勛约旱臏\見。 一、教學(xué)要從矛盾開始 教學(xué)從矛盾開始就是從問題開始。思維自疑問和驚奇開始，在教學(xué)中可設(shè)計(jì)一個(gè)學(xué)生不易回答的懸念或者一個(gè)有趣的故事，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望，起到啟示誘導(dǎo)的作用。如在教授等差數(shù)列求和公式時(shí)，有位教師先講了一個(gè)數(shù)學(xué)小故事：德國的“數(shù)學(xué)王子”高斯，在小學(xué)讀書時(shí)，老師出了一道算術(shù)題：1＋2＋3＋??＋100=?，老師剛讀完題目，高斯就在他的小黑板上寫出了答案：5050，其他同學(xué)還在一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)的挨個(gè)相加呢。那么，高斯是用什么方法做得這么快呢?這時(shí)學(xué)生出現(xiàn)驚疑，產(chǎn)生一種強(qiáng)烈的探究反響。這就是今天要講的等差數(shù)列的求和方法--倒序相加法??。 二、設(shè)疑于重點(diǎn)和難點(diǎn) 教材中有些內(nèi)容是枯燥乏味，艱澀難懂的。如數(shù)列的極限概念及無窮等比數(shù)列各項(xiàng)和的概念比較抽象，是難點(diǎn)。如對(duì)于0.9=1這一等式，有些同學(xué)學(xué)完了數(shù)列的極限這一節(jié)后仍表懷疑。為此，一位教師在教學(xué)中插入了一段“關(guān)于分牛傳說的析疑”的故事：傳說古代印度有一位老人，臨終前留下遺囑，要把19頭牛分給三個(gè)兒子。老大分總數(shù)的1/2，老二分總數(shù)的1/4，老三分總數(shù)的1/5。按印度的教規(guī)，牛被視為神靈，不能宰殺，只能整頭分，先人的遺囑更必須無條件遵從。老人死后，三兄弟為分牛一事而絞盡腦汁，卻計(jì)無所出，最后決定訴諸官府。官府一籌莫展，便以“清官難斷家務(wù)事”為由，一推了之。鄰村智叟知道了，說：“這好辦!我有一頭牛借給你們。這樣，總共就有20頭牛。老大分1/2可得10頭；老二分1/4可得5頭；老三分1/5可得4頭。你等三人共分去19頭牛，剩下的一頭牛再還我!”真是妙極了!不過，后來人們?cè)跉J佩之余總帶有一絲懷疑。老大似乎只該分9.5用心 愛心 專心 ?知識(shí)改變命運(yùn) 百度提升自我 頭，最后他怎么竟得了10頭呢?學(xué)生很感興趣，??老師經(jīng)過分析使問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生所學(xué)的無窮等比 數(shù)列各項(xiàng)和公式S?a1 1?q (|q|<1)的應(yīng)用。寓解疑于趣味之中。 三、設(shè)疑于教材易出錯(cuò)之處 英國心理學(xué)家貝恩布里奇說過：“差錯(cuò)人皆有之，作為教師不利用是不能原諒的?！睂W(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中最常見的錯(cuò)誤是，不顧條件或研究范圍的變化，丟三掉四，或解完一道題后不檢查、不思考。故在學(xué)生易出錯(cuò)之處，讓學(xué)生去嘗試，去“碰壁”和“跌跤”，讓學(xué)生充分“暴露問題”，然后順其錯(cuò)誤認(rèn)真剖析，不斷引導(dǎo)，使學(xué)生恍然大悟，留下深刻印象。 如：若函數(shù)f(x)?ax2?2ax?1圖象都在X軸上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。第五篇：(no.1)2013年高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 課堂教學(xué)實(shí)踐總結(jié) 新人教版
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