第一篇：(no.1)2013年高中數(shù)學教學論文 重視和發(fā)掘習題的潛功能

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重視和發(fā)掘習題的潛功能

第一題是這樣的：已知a,b,c是△ABC的三條邊，比較大?。╝＋b＋c）4（ab＋bc＋ca）。這道題的解答可

22以用特殊值法。取a＝b＝c＝1，得（a＋b＋c）＝9，4（ab＋bc＋ca）＝12，所以（a＋b＋c）＜4（ab＋bc＋ca）。將這道題稍微變形，就是全日制普通高級中學教科書（實驗修訂本·必修）數(shù)學第二冊（上）第31頁B組題的第6題：222設(shè)a,b,c為△ABC的三邊，求證：a＋b＋c＜2（ab＋bc＋ca）。這道題的解法緊緊圍繞三角形的邊的特征，依據(jù)不同的思維，不同的入口結(jié)合不等式證明的不同方法，可以得到不同的證法。并且依據(jù)已經(jīng)證明的結(jié)論，還可以進行引申。

1、常規(guī)思維法 不等式的證明最基本的方法就是求差比較法，基于此，有如下的解法：

222證法一∵a＋b＋c－2（ab＋bc＋ca）222222222 ＝a －2ab＋b＋c－2ac＋a＋c－2bc＋b－a－b－c222222＝（a－b）＋（c－a）＋（c－b）－a－b－c

222222＝（a－b）－c＋（c－a）－b＋（c－b）－a ＝（a－b＋c）（a－b－c）＋（c－a＋b）（c－a－b）＋（c－b＋a）（c－b－a）又∵a,b,c為△ABC的三邊

∴a－b＋c＞0 a－b－c＜0 c－a＋b＞0 c－a－b＜0 c－b＋a＞0 c－b－a＜0 ∴（a－b＋c）（a－b－c）＋（c－a＋b）（c－a－b）＋（c－b＋a）（c－b－a）＜0 222∴ a＋b＋c＜2（ab＋bc＋ca）

利用不同的組合，然舊利用求差比較法可以得到

222證法二∵ a＋b＋c－2（ab＋bc＋ca）

222 ＝（a－ab－ca）＋（b－ab－bc）＋（c－bc－ac）

＝a（a－b－c）＋b（b－a－c）＋c（c－b－a）

＝－〔a（b＋c－a）＋b（a＋c－b）＋c（b＋a－c）〕 又∵a,b,c為△ABC的三邊

∴a＞0，b＞0，c＞0且a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a 利用同向正則不等式可以相乘，得到

∴a（b＋c－a）＋b（a＋c－b）＋c（b＋a－c）＞0 ∴ －〔a（b＋c－a）＋b（a＋c－b）＋c（b＋a－c）〕＜0 222∴a＋b＋c＜2（ab＋bc＋ca）

2、利用分析法，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系和同向正則不等式可以相乘的性質(zhì)可以得到 證法三：∵a,b,c為△ABC的三邊

∴a＞0，b＞0，c＞0且a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a 利用同向正則不等式可以相乘，得到

222 a(b＋c)＞a b(a＋c)＞b c(a＋b)＞c又∵ 2（ab＋bc＋ca）

＝ab＋ac＋bc＋ba＋bc＋ac

222 ＝a(b＋c)＋b(a＋c)＋c(a＋b)＞a＋b＋c

222∴ a＋b＋c＜2（ab＋bc＋ca）

在討論題目的證明過程中，有的同學想到了這樣的證明方法： 證法四∵a,b,c為△ABC的三邊 ∴a－b＜c，b－c＜a，a－c＜b 222222∴（a－b）＜c，（b－c）＜a，（a－c）＜b 上述三個不等式相得

22222（a－b）＋（b－c）＋（a－c）＜a＋b＋c

222即a＋b＋c＜2（ab＋bc＋ca）

這種證明簡明扼要，非常優(yōu)秀，說明學生的思維是非常敏捷的。只是在三角形中由a－b＜c，b－c＜a，a－c＜b222222就一定推出（a－b）＜c，（b－c）＜a，（a－c）＜b的推理不嚴謹，師生共同改進證明方法可以得到下列優(yōu)秀證法

證明：∵a,b,c為△ABC的三邊

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∴|a－b|＜c，|b－c|＜a，|a－c|＜b 222222∴（a－b）＜c，（b－c）＜a，（a－c）＜b 上述三個同向不等式相得

22222（a－b）＋（b－c）＋（a－c）＜a＋b＋c

222即a＋b＋c＜2（ab＋bc＋ca）

題目證明完成后，進一步引申，可以得到下面的命題： 已知a,b,c為△ABC的三邊,求證關(guān)于x的不等式 2x＋（a＋b＋c）x＋ab＋ac＋bc＞0的解集為R。證明：∵ a,b,c為△ABC的三邊

2x＋（a＋b＋c）x＋ab＋ac＋b ＝（x＋a?b?c2a?b?c2）－(2a?b?c2)＋ab＋ac＋bc

2＝（x＋）＋214〔4（ab＋bc＋ac）－（a＋b＋c）〕

2由前面的命題可知

2（a＋b＋c）－4（ab＋ac＋bc）222 ＝a＋b＋c－2（ab＋bc＋ca）

222 ＝（a－ab－ca）＋（b－ab－bc）＋（c－bc－ac）

＝a（a－b－c）＋b（b－a－c）＋c（c－b－a）

＝－〔a（b＋c－a）＋b（a＋c－b）＋c（b＋a－c）〕＜0

2∴4（ab＋bc＋ac）－（a＋b＋c）＞0 又∵（x＋a?b?c2）＞0 2∴（x＋a?b?c2）＋2214〔4（ab＋bc＋ac）－（a＋b＋c）〕＞0恒成立

2∴關(guān)于x的不等式x＋（a＋b＋c）x＋ab＋ac＋bc＞0的解集為R 由上面的證明可以看出，精心研究習題的解答，重視課本習題的輻射作用，無論對教師和學生都是極其有利的。

用心 愛心 專心 2

第二篇：高中數(shù)學教學論文 數(shù)學美的教學功能

數(shù)學美的教學功能

摘要：本文通過數(shù)學的簡潔美、對稱美、和諧之美等論述了數(shù)學美在數(shù)學中的一些功能，以次激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

關(guān)鍵詞：數(shù)學；教學；美；熏陶

中圖分類號：G642.42文獻標識碼：A

TheTeachingFunctionsoftheBeautyinMath

BAIYong-li,NIUYong-li

(1.PingdingshanIndustrialCollegeofTechnology,Pingdingshan,Henan,467001

(2.No.4MiddleSchoolofPingdingshanCoalIndustry(Group)Co,Ltd,Pingdingshan,Henan,467000)

Abstract:Thearticlewitnessessomefunctionsofthebeautyinmathteachingthoughmath’sbeautiesofcompact,symmetryandaccordanceforthepurposeofarousingthestudents’interestsinstudyingMath Keywords:math;teaching;beautyfunction;cultivation

大數(shù)學家克萊因認為：“數(shù)學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作。音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學能給予以上的一切?！?/p>

美作為現(xiàn)實的事物和現(xiàn)象，物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品、藝術(shù)作品等屬性總和，具有：勻稱性、比例性、和諧性、色彩變幻、鮮明性和新穎性。作為精神產(chǎn)品的數(shù)學就具有上述美的功能。當今，審美教育的范圍正日益廣泛地滲透到人類社會的各個領(lǐng)域之中。人們不僅通過音樂、藝術(shù)，而且也通過自然美、社會美、科學美，得到美的熏陶，美化精神境界。數(shù)學教學的目的之一，應(yīng)當是讓學生對數(shù)學美具有一定的審美能力，這不僅有利于激發(fā)他們對數(shù)學科學的愛好，也有助于他們的創(chuàng)造發(fā)明能力。

基于上面數(shù)學美的論述，下面就談?wù)剶?shù)學美的功能。

(1)追求數(shù)學美，深刻理解知識

我們說，數(shù)學的發(fā)明和創(chuàng)造，除了反映客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，還來源于對美的追求。衡量一個理論是否成功，不僅有實踐標準，邏輯標準，還有美的標準。當一種理論尚未達到美的境界時，就必須繼續(xù)改進發(fā)展，“按照美的規(guī)律來制造”。我們來看解析幾何中的一個例子。

眾所周知，圓錐曲線的標準方程形式是十分優(yōu)美、勻稱，它給人以一種美的享受。就雙曲線而言，平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之差的絕對值是常數(shù)（小于│F1F2│）的點的軌跡叫做雙曲線。如圖1，取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1，F(xiàn)2的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，設(shè)M(x,y)是雙曲線上的任意一點，焦距是2c，Ｍ與

F1,F2兩點距離之差絕對值等于常數(shù)2a，則得其標準方程為=1。

在數(shù)學過程中，可以提出為什么要取“2c”與“2a”，而不取“c”與“a”呢？為什么要引進b呢？為何叫標準方程呢？

按照雙曲線的定義得p={M││MF1│-│MF2│=±2a，此可作為雙曲線方程。但它不符合簡單性原則。故方程可化為(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)即

我們說，此方程簡單多了。但是，雙曲線具有對稱性，它所表示方程也該有對稱性。于是，由于c2-a2>0，故令c2-a2=b2，即得

=1，此式是如此簡潔優(yōu)美。至此，我們清楚知道，一開始選擇“2c”、“2a”正是為了追求簡單性，而產(chǎn)生b是人為制造的，但實踐證明，b正好是雙曲線虛半軸，又具有鮮明幾何意義。為何稱為標準方程呢？應(yīng)該說，對于同一個雙曲線，建立不同的坐標系就可得到不同方程，1

其中若不規(guī)定一個作為標準的，那人們就沒有共同的語言。如此教學，通過深挖教材中數(shù)學美之因素，既能闡明問題的本質(zhì)，又能提高學生的完美能力，增強創(chuàng)造意識。

（2）寓美于教，培養(yǎng)學習興趣

首先，我們可以看一看如下例子。據(jù)說，古希臘數(shù)學家帕普斯是丟番圖最得意的一個學生，他很小的時候就跟隨丟番圖學習數(shù)學。有一天他向老師請教一個問題：有四個數(shù)，把其中每3個相加，其和分別為22、24、27、20，求這四個數(shù)。這個問題看起來很簡單，但具體做起來卻有一定的復雜性。帕普斯請教丟番圖有沒有什么巧妙的方法可以解答這個問題。丟番圖提出了一個巧妙的解法，他不是分別設(shè)四個未知數(shù)，而是設(shè)四個數(shù)之和為x，那么四個數(shù)就分別為x-22,x-24,x-27和x-20,于是有方程x=(x-22)+(x-24)+(x-27)+(x-20)。解之得x=31。從而得到四個數(shù)分別為9、7、4、11。對老師漂亮的解法帕普斯非常佩服，從而堅定了畢生研究數(shù)學的意愿，后來成了一位著名的數(shù)學家。

另外，我們知道，對數(shù)學的學習是比較機械的、枯燥的。如在本章學習之前，先提出一個問題，“一張0.01mm厚的紙折疊十次以后，有多厚”學生是可以計算得了。再此，又提出問題，若是折了100次呢？有的學生或許可以算得，估算即為2100層紙厚，為2100=(210)10≈(103)10=1030即為103×0.01×0.01×0.01km=1022km，這有1022公里長度。學生都為之驚嘆。這一數(shù)字，只是估算，學生有趣、好奇，它的新穎奇特在學生的心靈中引起了一種愉快的驚異，趣中孕育著“美感”。進一步為了解決這一繁而驚人的計算，因而追求計算的“簡單性”──數(shù)學美的表現(xiàn)形式之一，導致了對數(shù)計算方法的產(chǎn)生。學生帶著興趣、美感、追求，開始學習對數(shù)運算。又如，在學習完黃金數(shù)x=W以引申出，建筑物的窗口，寬與高度的比一般為W；人們的膝蓋骨是大腿與小腿的黃金分割點，人的肘關(guān)節(jié)是手臂的黃金分割點，肚臍是人身高的黃金分割點；當氣溫為23攝氏度時，人感到最舒服，此時23:37（體溫）＝0.618；名畫的主題，大都畫在畫面的0.618處，弦樂器的聲碼放在琴弦的0.618處，會使聲音更甜美。建筑設(shè)計的精巧、人體科學的奧秘、美術(shù)作品的高雅風格，音樂作品的優(yōu)美節(jié)奏，交融于數(shù)的對稱美與和諧美之中。

(3)具有和諧美、對稱美的例題，能達到以美啟智，提高學生探索問題和解決問題的能力。解析幾何是用數(shù)研究形的數(shù)學分科，形數(shù)結(jié)合是研究解析幾何的基本觀點，運動變化是解析幾何的主導思想。若能注意點撥這一優(yōu)美、和諧的知識結(jié)構(gòu)，將可以增強學生的“美的意識”。例如，拋物線x2=8y的焦點為F，點M(-2,4)，P為拋物線上一點，求P點坐標，使得│PM│+│PF│最小。

若以常規(guī)方法，設(shè)P(x,y)為拋物線上一點，則│MP│+│PF│=

它來自于解析幾何知識結(jié)構(gòu)以及“美的意識力”的思考。它來自于解析幾何知識結(jié)構(gòu)以及“美的意識力”的思考。

證明三角形三內(nèi)角的平分線小于三邊的連乘積。

如果記三角形的三邊分別為a,b,c，它們上的平分線相應(yīng)為ta,tb,tc，如圖所示。那么要證明的結(jié)論是tatbtc

在這個式中，無論是對ta,tb,tc來說，還是對a,b,c來說都是對稱的。要證的結(jié)論也是對稱的，但一般的不可能有ta

因為S△ABC=s△ABD+S△ADC，從該題看出，審美幫助我們進行猜測，為解題指出了方向。事實上，為了滿足某些條件，滿足某種和諧關(guān)系，事物必須是完美的。這反映了數(shù)學解題中美與真的統(tǒng)一。

第三篇：(no.1)2013年高中數(shù)學教學論文 構(gòu)造函數(shù)證明不等式

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構(gòu)造函數(shù)證明不等式

函數(shù)是高中數(shù)學的基礎(chǔ)，是聯(lián)系各個數(shù)學分支的橋梁和紐帶.在不等式的證明中，我們可根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點，建立起適當?shù)暮瘮?shù)模型，利用函數(shù)的單調(diào)性、凸性等性質(zhì)，靈活、巧妙地證明不等式.一、二次函數(shù)型：

1.作差構(gòu)造法.例1.(新教材第二冊（上）（以下同）P16習題1（2）)求證:a?b?c?ab?bc?ca.分析:將a視為變量,考察函數(shù)f?a??a??b?c?a?b?bc?c.由于該二次函數(shù)的圖象開口向上,且???3?b?c??0,故f?a??0.結(jié)論獲證.22

2例2.(教材P31.復習參考題6)設(shè)a,b,c為?ABC的三條邊,求證:a?b?c＜2?ab?bc?ca?.2222

222

分析:構(gòu)造函數(shù)f?x??x?2?b?c?x??b?c?.∵f?x?圖象開口向上,對稱軸x?b?c.∴f?x?在???,b?c?上單調(diào)遞減.∵a,b,c為?ABC的三條邊,∴b?c＜a＜b?c(不妨設(shè)b?c)∴

f

?a??f?b?c?.2

∵f?b?c???b?c??2?b?c??b?c???b?c???4c?b?c??0.∴f?a??0.即結(jié)論成立.2.判別式構(gòu)造法.2222

例3.(教材P27.例1)已知a,b,c,d都是實數(shù),且a?b?1,c?d?1.求證:ac?bd?1.分析：所證結(jié)論即是??2?ac?bd????4?a?b

??c

?d

??0.故可構(gòu)造函數(shù)

f

?x???a

?b

?x

?2?ac?bd?x?c?d.2

由于f?x???ax?2acx?c

2???bx?2bdx?d

?

??ax?c???bx?d

?

?0.當且僅當x?

ca

?

db

時取“=”號.又因為f?x?的圖象開口向上,故必有??0.結(jié)論成立.2

練習1.(教材P16.練習2)求證:?ac?bd???a?b??c

n

?d

?.n

n

點撥:證法同例3.該題是柯西不等式的特殊情形.其一般形式是:

??

ab??ii???i?1?

n

n

2i

n

?a??

i?

1i?1

?2?2

bi.可構(gòu)造函數(shù)f?x????ai?x?2?aibi?x?

i?1?i?1?

?b

i?1

2i

證之.練習2.(教材P17.習題6)已知a,b是不相等的兩個正數(shù),求證:

?a?b??a?b

3???a?b

?

.用心 愛心 專心

點撥:構(gòu)造函數(shù)f?x???a?b?x?2?a?b

?x?a

?b?a?x?a??b?x?b?證之.22

練習3.(教材P17.習題7)已知a,b都是正數(shù),x,y?R,且a?b?1,求證:

ax?by

??ax?by?.點撥:構(gòu)造函數(shù)f?z???a?b?z?2?ax?by?z?ax?by?a?z?x??b?z?y?證之.練習4.(教材P31.復習參考題5)求證:3?1?a?a

???1?a?a?

.點撥:構(gòu)造函數(shù)f?x??3x?2?1?a?a

?x?1?a

?a??x?1???x?a???x?a?

證之.二、分式函數(shù)型:

例4.(教材P12.例2)已知a,b,m都是正數(shù),并且a?b,求證:

分析:構(gòu)造函數(shù)f?x??

x?ax?b

a?mb?m

?ab.x??0,???.由于當x??0,???時，f??x??

b?a

?x?b?

?0.故f?x?在?0,???上是增函數(shù).∵f?x?在x

f

?0處右連續(xù)，∴f

?x?在?0,???上是增函數(shù).∵m

?0 ∴

?m??f?0? 即

a?mb?m

?

ab

.例5.(教材P22.例3)已知a?1,b?1,求證:

a?x1?ax

a?b1?ab

?1.分析:構(gòu)造函數(shù)f?x??x???1,1?.由于當x???1,1?時，f??x??

1?a

2?1?ax?

?0.故f?x?在??1,1?上是增函數(shù).∵f?x?在x??1處右連續(xù)，在x?1處左連續(xù).∴f?x?在??1,1?上是增函數(shù).∵?1?b?1 ∴f??1??f?b??f?1? ,即?1?

a?b1?ab

?1.ab

a?cb?d

cd

a?b1?ab

?1, 即

例6.(教材P14練習5)已知a,b,c,d都是正數(shù),且bc?ad,求證:

??.a

分析:聯(lián)想定比分點坐標公式,a?cb?d

可寫成b

?1?

cd

db.故可構(gòu)造函數(shù)db

a

f

?x??

b

d1?x

?

c

?x,x??0,???.∵當x??0,???時，用心 愛心 專心 2

c

f??x??

d

?

ab

?1?x?

?

bc?adbd?1?x?

?0.∴f?x?在?0,???上是增函數(shù).∵f?x?在x

?0處右連續(xù)，∴f?x?在?0,???上是增函數(shù).又∵

cd

db

?0.∴

?d?

f?0??f???limf

?b?x???

?x?.而

f?0??

a?c?d?,f???,limf

x???bbb?d??

a

?x??

.故原不等式成立.ac?a

bc?b

練習5.(教材P14.練習4)已知c?a?b?0,求證:

點撥:構(gòu)造函數(shù)f?x??

xc?x

x??0,c?

?.練習6.(教材P17.習題9)已知?ABC的三邊長分別是a,b,c.且m為正數(shù).求證:

aa?m

?

bb?m

?

cc?m

.xx?m?,x??0,???.易證fcc?m

.而

aa?m

?

bb?m

點撥:構(gòu)造函數(shù)f?x??

f

?x?為增函數(shù).由于

?

aa?b?m

?

ba?b?m

?

a?b?c,故

?a?b??

aa?m

?

f?c?.即b

?

a?ba?b?mc

.a?ba?b?m

.故

有

b?mc?m

練習7.(教材P23.習題4)求證:

分析:構(gòu)造函數(shù)f?x??

三、冪函數(shù)型：

a?b1?a?b

?

a?b1?a?b

.x1?x,x??0,???證之.例7.如果a,b都是正數(shù)，且a?b,求證：a?b?ab?ab.分析：a?b?ab?ab??a?b

55322

3??a

?b

?.考察函數(shù)f?x??x,(n?N)在?0,???上的單調(diào)性，顯然f?x?在?0,???上為增函數(shù).n

*

若a?b,則a?b, a?b,所以?a?b

??a??a

?b?b

??0； ??0。

若a?b,則a?b, a?b,所以?a?b

2所以a?b?ab?ab.利用函數(shù)的單調(diào)性證法可以將上述結(jié)論推廣為: 若a、b是正數(shù)且a?b,求證：a四、一次函數(shù)型：

用心 愛心 專心

m?n

55322

3?b

m?n

?ab?ab.(m,n?N)

mnnm*

例8.設(shè)a,b,c??0,1?,求證:a?b?c?ab?bc?ca?1.分析:構(gòu)造函數(shù)f?a???1?b?c?a?b?c?bc?1,a??0,1?.∵f?0??b?c?bc?1??1?c??b?1??0,f?1??1?b?c?b?c?bc?1??bc?0.∴對任意a??0,1?,恒有f?a??0.故原不等式成立.五、三角函數(shù)型： 例9.(同例3)

分析:設(shè)a?cos?,b?sin?, c?cos?,d?sin?.則ac?bd?cos??cos??sin??sin?

?cos????

?

?1.練習8.設(shè)x,y?R,且x?y?1,求證

:?x?2xy?y?點撥:設(shè)x?rcos?,y?rsin?.其中r?1.以下略.六、指數(shù)函數(shù)型:

2例10．已知等差數(shù)列?an?和等比數(shù)列?bn?，其中a1?b1，a2?b2，0＜a1＜a2，證明當n?3時，an

da

1n?1

.所以，當n?3時，bn?a1q

q?1?

?d?

??a1?1?

?a1???

n?1

?

???dd?11

??a1??n?1?d?an.a1?1?Cn?1???a1?1?Cn?1

???＞ a1a1?????

這兒,我們用二項式定理進行放縮,完成了證明.七、構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)圖象的凸性： 例11.(教材P15.例6)求證3+7<2

5分析:考察函數(shù)f(x)=x的圖象,特征是上凸函數(shù).對任意x1,x2??0,???, 且x1?x2,都有：所以,即

212

?f(x1)?f(x2)?

??f?3??f?7???

?f?5?.（3+7）<5.兩條結(jié)論:（1用心 愛心 專心

值之和越大.例:6?

7?22?

5?

?

3?

?

2及

a?

a?3?

a?1?

a?2

(2)下凸函數(shù),區(qū)間中點相同時,兩端“距離”區(qū)間中點越近,兩端點函數(shù)值之和越小.練習9.已知:f?x??tanx,x??0,??

??2?

?, 若x1,x2??0,?

?

??2?

? 且x1?x2,試判斷

??f

?x1??

f

?x2???與

?x?x2?

f?1

?的大小，并加以證明（94年高考理科試題變式題）.2??

練習10.已知:f?x??lgx?x?1?,若0?x1?x2,試比較

年高考文科試題).練習11.(教材P23.習題5)求證:lg

A?B2

?

lgA?lgB

??f

?x1??

f

?x2???與

?x?x2?

f?1

?的大小(942??

?AB?0?.以上表明,若能清楚不等式所反映的圖象意義，就會給證明提供思路.八、構(gòu)造連續(xù)函數(shù)，應(yīng)對含離散型變量的不等式問題： 例12．（2001年全國理）已知i,m,n是正整數(shù)，且1﹤i≤m＜n.（1）證明nAm＜mAn.（2）證明?1?m?＞?1?n?.n

m

iiii

i?1i?

1分析：（1）nAm＜mAn可化為：

i?1

iiii

Amm

i

i

＜

Ann

i

i

??m，即：

k?0

?k?

i

??n?k?

＜

k?0

mn

i

.構(gòu)造函數(shù)f?x??

??x?k?

k?0

x

i

.（x?i＞1）.i?1

兩邊取對數(shù)，得：lnf?x??

?

k?0

ln?x?k??ilnx.當x??i,???時,兩邊求導，得：

f??x?f?x?

i?1

?

?

k?0

1x?k

?

ix

i?1

＞?

k?0

1x

?

ix

?0.由于f?x?＞0，故f??x?＞0.這說明f?x?在?i,???上是增函數(shù).∵f?x?在x?i處右連續(xù).∴

f?x?在?i,???上是增函數(shù).∵i≤m＜n.∴f?m?＜f?n?.Amm

ii

即＜

Ann

i

i

.整理，得：nAm＜mAn.用心 愛心 專心

iiii

（2）不等式?1?m?＞?1?n?兩邊取對數(shù)，得：ln?1?m?＞ln?1?n?.n

m

n

m

整理，得：

ln?1?m

m

?

＞

ln?1?n?n

.構(gòu)造函數(shù)g?x??

ln?1?x?x

?x?2?.x

求導，得：g??x??

1?x

?ln?1?x?xx

.當x?2時,可得：0＜

1?x

＜1，ln?1?x??ln3＞1.故g??x?＜0.所以g?x?在?2,???上是減函數(shù).∵g?x?在x?2處右連續(xù).∴g?x?在?2,???上是減函數(shù).∵m＜n，∴ g?m?＞g?n?.即

ln?1?m

m

?

＞

ln?1?n?n

.整理，得：?1?m?＞?1?n?.n

m

注：不等式?1?m?＞?1?n?

n

m

也可化為：?1?m?

1m

＞?1?n?

1n

.這時，可研究函數(shù)

h?x???1?x?x?e

ln?1?x?x的單調(diào)性證之.n?1

練習12.已知n是正整數(shù)且n≥3.求證：n

n

＞?n?1?.n

點撥：不等式n

n?1

＞?n?1?兩邊取自然對數(shù)，整理得：

lnnn

＞

ln?n?1?n?1

.構(gòu)造函數(shù)f?x??

lnxx

可證之.lnf?x?

說明:根據(jù)所構(gòu)造函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點,我們將函數(shù)轉(zhuǎn)化為lnf?x?型或e型,方便了對函數(shù)的求導運算.不等式證明的數(shù)學模型，除本文介紹的函數(shù)模型外，還可建立向量模型、解析幾何模型、方程模型等，請讀者自行研究、總結(jié).作者簡介:陳兵,男,1976年10月26日出生,山東省滕州市人,中教二級, 學士學位.用心 愛心 專心 6

第四篇：(no.1)2013年高中數(shù)學教學論文 學科德育實施初探

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學校德育不只是班主任和文科教師的任務(wù)，必須各科協(xié)作。學科德育是素質(zhì)教學的重要一環(huán)。在數(shù)學教學過程中，教師要挖掘教學教材中顯性和隱性的德育因素，施德育于數(shù)學教學之中。

一、宣講我國數(shù)學家的貢獻，對學生進行愛國主義教育

１、開學初集中講。學生剛?cè)胫袑W，對什么都有新鮮感。教師要抓住第一堂數(shù)學課的機會，生動、具體、真實地介紹我國古今數(shù)學成就，為學生學習數(shù)學營造良好的氛圍。中國是世界上最早的文明古國，數(shù)學成就顯著。計算圓周率，自西漢劉備、東漢張衡，三國時劉徽、直到南北朝祖沖之等多位數(shù)學家，為之進行艱苦探索，得出了當時世界上最為準確的圓周率。南宋數(shù)學家秦九韶1247年就編著《數(shù)學九章》，同代數(shù)學家楊輝揭示了二項式展開式系數(shù)的規(guī)律，比法國數(shù)學家早四百多年。

祖沖之的兒子祖恒對求幾何體積有獨特創(chuàng)見，比意大利數(shù)學家早一千多年。比劉，近代的徐光啟、李善蘭及當代的華羅庚、陳景潤，在他們所研究的領(lǐng)域中都對數(shù)學做出了獨特的貢獻。通過宣講，增強學生的民族自豪感和愛國主義熱情。

２、組織講座專門講。對初一學生還可借助“華羅庚金杯賽”的機會，進行題為《如何自學成才》的專題講座，介紹我國著名數(shù)學家華羅庚的生平事跡。華羅庚學歷是“初中畢業(yè)”，可他深鉆細研，成為當代國內(nèi)外聞名的偉大數(shù)學家。通過講座，使學生懂得學習好壞關(guān)鍵在于本人的學習態(tài)度和努力，明白“外因是變化的條件，內(nèi)因是變化的根據(jù)，外因要通過內(nèi)因而起作用”的哲學道理。進而發(fā)奮學習，將來為國家做貢獻。

二、結(jié)合傳授數(shù)學知識，對學生進行辯證唯物主義教育

１、實踐的觀點。數(shù)學是從現(xiàn)實世界中抽象概括出來的科學，教學中要揭示數(shù)學本身的物質(zhì)基矗如講直角三角形“勾股定理”時，教師要說明早在公元一世紀，我國古代數(shù)學家在多次實踐的基礎(chǔ)上總結(jié)出了“勾廣三，股修

四、經(jīng)偶五”的規(guī)律（即勾

三、股

四、弦五），并且借助圖形對該定理進行了兩種巧妙的證明。讓學生明確，任何一個定理、公式的形成均來自實踐，“實踐、認識、再實踐、再認識”是人類掌握自然規(guī)律的正確途徑。從而培養(yǎng)學生善于從客觀事物中發(fā)現(xiàn)、規(guī)律、掌握規(guī)律的能力。

２、辯證的觀點。恩格期指出“數(shù)學是辯證的輔助工具和表現(xiàn)形式，連初等數(shù)學也充滿著矛盾?！睌?shù)學概念正數(shù)與負數(shù)、常量與變量等，都表現(xiàn)對立的形式，又各以它的對立而存在。在數(shù)學中要揭示這一關(guān)系。直線與圓的位置關(guān)系，當直線與圓心的距離小于圓半徑時，直線與圓的位置處于兩個交點狀態(tài)（相交）；當距離與半徑相等時，發(fā)生質(zhì)變，直線與圓只有一個交點（相切）；當距離大于半徑時，再次發(fā)生質(zhì)變，直線與圓沒有交點（距離）。講這一關(guān)系時，要啟發(fā)學生認識到“事物發(fā)展是一個由量變到質(zhì)變的過程”。數(shù)學中充滿著辯證法，教師應(yīng)不失時機地予以啟示，加深學生對數(shù)學知識的認識，同時為學生樹立辯證唯物主義觀點打好基矗３、發(fā)展的觀點。世上任何事物都不是孤立的、靜止的，它是在不斷地從低級階段向高級階段發(fā)展。數(shù)學也是這樣，整數(shù)到分數(shù)，有理數(shù)到無理數(shù)，實數(shù)到負數(shù)，有限到無限等，都遵循著這一規(guī)律。在這個數(shù)學過程中，要使學生認識到一切事物都不是斷發(fā)展變化的，培養(yǎng)學生超越舊事物，創(chuàng)造新穎，獨特新事物的能力。[

用心 愛心 專心 1

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三、在數(shù)學教學中，培養(yǎng)學生嚴謹求實的作風[ １、言位身教，從自己做起。數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，數(shù)學教師首先要有嚴謹、負責的態(tài)度。進行概念數(shù)學時，要運用數(shù)學語言完整、精練地敘述；對公式所起的作用，要講得確切；在板演過程中要有條有理，推理要步步有根據(jù)；書寫要規(guī)范，避免“圓”和“園”、“連接”和“連結(jié)”混用。時時事事給學生做出嚴謹求實的表率。

２、嚴格要求，從小事抓起。數(shù)學中，教師要有意識地培養(yǎng)學生言必有據(jù)、一絲不茍、堅持真理、修正錯誤的科學態(tài)度。不合格的作業(yè)，一定要令其重作，哪怕只是一個錯字、一個小數(shù)點也要強調(diào)訂正。要嚴格指出，在實際工作中點滴差錯誤都有可能給國家造成很大損失。從而一點一滴培養(yǎng)學生精益求精，實事求是，謙虛謹慎的優(yōu)良作風。

用心 愛心 專心 2

第五篇：(no.1)2013年高中數(shù)學教學論文 《對一道數(shù)學題的展開》

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對一道數(shù)學題的展開

在數(shù)學復習教學中，選好一道例題。通過一題多思，一題多解，一題多講。可以鞏固學生知識，訓練學生思維，開拓學生視野。例題：已知ｘ，ｙ∈Ｒ且法一：均值不等式法

?x,y?R?1?1x??＋

1x?9y?1，求ｘ＋ｙ的最小值。

9y?1x6xy?9y⑴（當且僅當?xy?6即y?9x時取等號）

xy⑵又x?y?2(當且僅當x?y時取等號）⑶12?x?y?12?x?y的最小值是此題答案有誤。因為⑴，⑵式的等號不能同時成立，所以⑶式等號不能取。但事實上推導過程無誤，只不過擴大了ｘ＋ｙ的范圍。此種推導在選擇題時，其選擇項若是6，8，12，16，當可排除6，8，12得16。此法作為例子強調(diào)使用重要不等式時等號成立條件的必不可少。法2，1的妙用

?1x?9y?11x9yyx9xy?x?y?(x?y)(???當且僅當?yx?)?10???16????1b

??9xy時即x?4,y?12時取等號1a又如a,b,c?R,a?b?c?1,求證（?1)(?1)(1c?1)?8

用心 愛心 專心 1 知識改變命運

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再如a,b,c是不等正數(shù)且abc?1,求證a?b?c?11a?b?1c

法3，構(gòu)造x+y不等式法

由1x?9y?1得（x?1)(y?9)?9?(x?y?102

2)可得變式：已知x+xy+4y=5（x,y∈R＋）求xy取值范圍 法4，換元后構(gòu)造均值不等式法

由1x?9y?1得y?9?9x?1(x?1)所以x?y?x?9?9x?1?10?x?1?9

x?1?16(當且僅當x?1?9即x?1x?4時取等號）法5，用判別式法

由1x?9y?1得y?9xx?1(x?1)令x?y?z,則z?x?9xx?1?x2?8xx?1得關(guān)于x的二次方程x2?(8?z)x?z?0

2?0且z?8?(8?z)2可由△?(8?z)?4z?4z2?0解得z的范圍從而得到x?y的最小值。注意實根分布情況討論。類似地，如2x+y=6,求11x?y的范圍也可用判別式法。

法6，三角代換法

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令1x?(cos?),29y2?(sin?),22

?10?(tan?)?9(cot?)22則x?y?(sec?）＋（9csc?)?16變：00,b>0，則法7，導數(shù)法

z?x?9?9x?1a2x?b21?x的最小值

(x?1),z??0中，x?4，此極值必為最值)

(在區(qū)間內(nèi)有一個極值點以上所涉及到的方法都是學生應(yīng)掌握的。通過一道例題講解即可復習多種方法。

用心 愛心 專心 3