第一篇：2018-2019學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)必修二：平面(知識講解+例題演練)

平面

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.利用生活中的實(shí)物對平面進(jìn)行描述；理解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法． 2.重點(diǎn)掌握平面的基本性質(zhì)．

3.能利用平面的性質(zhì)解決有關(guān)問題． 【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)

一、平面的基本概念 1.平面的概念：

“平面”是一個只描述而不定義的原始概念，常見的桌面、黑板面、平靜的水面等都給我們以平面的形象.幾何里的平面就是從這些物體中抽象出來的，但是，幾何里的平面是無限延展的．

要點(diǎn)詮釋：

(1)“平面”是平的（這是區(qū)別“平面”與“曲面”的依據(jù)）；(2)“平面”無厚薄之分；

(3)“平面”無邊界，它可以向四周無限延展，這是區(qū)別“平面”與“平面圖形”的依據(jù)． 2.平面的畫法：

通常畫平行四邊形表示平面． 要點(diǎn)詮釋：

(1)表示平面的平行四邊形，通常把它的銳角畫成45，橫邊長是其鄰邊的兩倍；

(2)兩個相交平面的畫法：當(dāng)一個平面的一部分被另一個平面遮住時，把被遮住的部分的線段畫為虛線或者不畫；

3.平面的表示法：

(1)用一個希臘字母表示一個平面，如平面?、平面?、平面?等；

(2)用表示平面的平行四邊形的四個字母表示，如平面ABCD；

(3)用表示平面的平行四邊形的相對兩個頂點(diǎn)的兩個字母表示，如平面AC或者平面BD； 4.點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系：

(1)點(diǎn)A在直線a上，記作A?a；點(diǎn)A在直線a外，記作A?a；(2)點(diǎn)A在平面?上，記作A??；點(diǎn)A在平面?外，記作A??；(3)直線l在平面?內(nèi)，記作l??；直線l不在平面?內(nèi)，記作l??． 要點(diǎn)

二、平面的基本性質(zhì)

平面的基本性質(zhì)即書中的三個公理，它們是研究立體幾何的基本理論基礎(chǔ).1.公理1：

(1)文字語言表述：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)；(2)符號語言表述：A?l，B?l，A??，B???l??；(3)圖形語言表述：

要點(diǎn)詮釋：

公理1是判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù).證明一條直線在某一平面內(nèi)，只需證明這條直線上有兩個不同的點(diǎn)在該平面內(nèi)．“直線在平面內(nèi)”是指“直線上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi)”．

2.公理2：

(1)文字語言表述：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面；

(2)符號語言表述：A、B、C三點(diǎn)不共線?有且只有一個平面?，使得A??，B??，C??；(3)圖形語言表述：

要點(diǎn)詮釋：

公理2的作用是確定平面，是把空間問題化歸成平面問題的重要依據(jù)．它還可用來證明“兩個平面重合”．特別要注意公理2中“不在一條直線上的三點(diǎn)”這一條件．

“有且只有一個”的含義可以分開來理解．“有”是說明“存在”，“只有一個”說明“唯一”，所以“有且只有一個”也可以說成“存在”并且“唯一”，與確定同義．

(4)公理2的推論：

①過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個平面； ②過兩條相交直線，有且只有一個平面； ③過兩條平行直線，有且只有一個平面.(5)作用：確定一個平面的依據(jù).3.公理3：

(1)文字語言表述：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線；

(2)符號語言表述：P??(3)圖形語言表述： ?????l且P?l；

要點(diǎn)詮釋：

公理3的作用是判定兩個平面相交及證明點(diǎn)在直線上的依據(jù).要點(diǎn)

三、點(diǎn)線共面的證明

所謂點(diǎn)線共面問題就是指證明一些點(diǎn)或直線在同一個平面內(nèi)的問題．

1．證明點(diǎn)線共面的主要依據(jù)：

（1）如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個平面內(nèi)（公理1）；②經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面（公理2及其推論）．

2．證明點(diǎn)線共面的常用方法：

（1）納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；（2）輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面a、β重合；（3）反證法．

3．具體操作方法：

（1）證明幾點(diǎn)共面的問題可先取三點(diǎn)（不共線的三點(diǎn)）確定一個平面，再證明其余各點(diǎn)都在這個平面內(nèi)；

（2）證明空間幾條直線共面問題可先取兩條（相交或平行）直線確定一個平面，再證明其余直線均在這個平面內(nèi)．

要點(diǎn)

四、證明三點(diǎn)共線問題

所謂點(diǎn)共線問題就是證明三個或三個以上的點(diǎn)在同—條直線上．

1．證明三點(diǎn)共線的依據(jù)是公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們還有其他的公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個公共點(diǎn)的直線．也就說一個點(diǎn)若是兩個平面的公共點(diǎn)，則這個點(diǎn)在這兩個平面的交線上．

對于這個公理應(yīng)進(jìn)一步理解下面三點(diǎn)：①如果兩個相交平面有兩個公共點(diǎn)，那么過這兩點(diǎn)的直線就是它們的交線；②如果兩個相交平面有三個公共點(diǎn)，那么這三點(diǎn)共線；③如果兩個平面相交，那么一個平面內(nèi)的直線和另一個平面的交點(diǎn)必在這兩個平面的交線上．

2．證明三點(diǎn)共線的常用方法

方法1：首先找出兩個平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個平面的公共點(diǎn)．根據(jù)公理3知，這些點(diǎn)都在交線上．

方法2：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在其上． 要點(diǎn)

五、證明三線共點(diǎn)問題

所謂線共點(diǎn)問題就是證明三條或三條以上的直線交于一點(diǎn)．

1．證明三線共點(diǎn)的依據(jù)是公理3．

2．證明三線共點(diǎn)的思路：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過這點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問題．

【經(jīng)典例題】

類型

一、平面的概念及其表示

例1．平面?內(nèi)的直線a、b相交于點(diǎn)P，用符號語寄語言概述為“ab?P，且P∈? ”，是否正確？

【答案】不正確 【解析】不正確．應(yīng)表示為：a??，b??，且a∩b=P．

相交于點(diǎn)P的直線a、b都在平面?內(nèi)，也可以說，平面?經(jīng)過相交于點(diǎn)P的直線a、b．題中的符號語言只描述了直線a、b交于點(diǎn)P，點(diǎn)P在平面?內(nèi)，而沒有描述直線a、b也都在平面內(nèi)，下圖也是題中的符號語言所表示的情形．

【總結(jié)升華】用符號語言來敘述時，必須交代清楚所有元素的位置關(guān)系，不能有半點(diǎn)遺漏．

立體幾何中的三種語言（文字語言、符號語言、圖形語言）組成立體幾何語言，我們必須準(zhǔn)確地把握它們．其中文字語言比較自然、生動，能將問題研究的對象的含義更明確地敘述出來．圖形語言給人以清晰的視覺形象，有助于空間想象力的培養(yǎng)；而符號語言更精練、簡潔．三種語言的互譯有助于我們在更廣闊的思維領(lǐng)域里尋找解決問題的途徑，有利于對思維廣闊性的培養(yǎng)．

舉一反三：

【變式1】根據(jù)下列符號表示的語句，說明點(diǎn)、線面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：（1）A∈?，B??；（2）l??，m??A，A?l；（3）P∈l，P??，Q∈l，Q∈?． 【解析】（1）點(diǎn)A在平面?內(nèi)，點(diǎn)B不在平面?內(nèi)；

（2）直線l在平面?內(nèi)，直線m與平面?相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上；

（3）直線l經(jīng)過平面?外一點(diǎn)P和平面?內(nèi)一點(diǎn)Q．

圖形分別如圖（1）、（2）、（3）所示．

類型

二、平面的確定

例2．判斷下列說法是否正確，并說明理由：

（1）一點(diǎn)和一條直線確定一個平面；

（2）經(jīng)過一點(diǎn)的兩條直線確定一個平面：

（3）兩兩相交的三條直線確定一個平面；

（4）首尾依次相接的4條線段在同一平面內(nèi)． 【答案】不正確

正確

不正確

不正確

【解析】（1）不正確．如果點(diǎn)在直線上，可以確定無數(shù)個平面；如果點(diǎn)不在直線上，在已知直線上任取兩個不同的點(diǎn)，由公理2知，有且只有一個平面，或直接由公理2的推論1知，有且只有一個平面．

（2）正確．經(jīng)過同一點(diǎn)的兩條直線是相交直線，由公理2的推論2知，有且只有一個平面．

（3）不正確．3條直線可能交于同一點(diǎn)，也可能有三個不同交點(diǎn)，如下圖（1）、（2）所示．前者，由公理2的推論2知．可以確定1個或3個平面；后者，由公理2的推論2及公理1知，能確定一個平面．

（4）不正確．四邊形中三點(diǎn)可確定一個平面，而第4點(diǎn)不一定在此平面內(nèi)，如上圖（3），因此這4條線段不一定在同一平面內(nèi)．

【總結(jié)升華】公理2及其3個推論都是確定平面的依據(jù)，對涉及這方面的應(yīng)用問題，務(wù)必分清它們的條件．立體幾何研究的對象是空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系問題，要有一定的空間想象能力．對于問題中的點(diǎn)、線，要注意它們各種不同的位置關(guān)系，以及由此產(chǎn)生的不同結(jié)果．

舉一反三：

【變式1】空間中可以確定一個平面的條件是（）A．兩條直線

B．一點(diǎn)和一直線 C．一個三角形

D．三個點(diǎn)

【答案】C 例3．在空間內(nèi)，可以確定一個平面的是（）

A．兩兩相交的三條直線

B．三條直線，其中的一條與另外兩條直線分別相交

C．三個點(diǎn)

D．三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點(diǎn)

【答案】D

【解析】A中兩兩相交的三條直線，它們可能交于同一個點(diǎn)，也可能不交于同一個點(diǎn)，若交于同一個點(diǎn)，則三條直線不一定在同一個平面內(nèi)，故排除A；

B中的另外兩條直線可能共面，也可能不共面，當(dāng)另外兩條直線不共面時，則三條直線不能確定一個平面，故排除B；

對于C來說，三個點(diǎn)的位置可能不在同一直線上，也可能在同一直線上，只有前者才能確定一個平面，因此排除C；

只有選項(xiàng)D中的三條直線，它們兩兩相交且不交于同一點(diǎn)，因而其三個交點(diǎn)不在同一條直線上，由公理2知其確定一個平面．所以應(yīng)選D．

【總結(jié)升華】要準(zhǔn)確理解“確定”的含義，即為“有且只有”，其包含存在性和唯一性兩個方面．解題時結(jié)合空間幾何體來考慮會更直觀、快速． 類型

三、平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用

例4．已知a、b、c、d是兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線． 求證：直線a、b、c、d共面． 【解析】（1）無三線共點(diǎn)的情況．如右圖所示，設(shè)a∩d=M，b∩d=N，c∩d=P，a∩b=q，a∩c=R，b∩c=S． ∵a∩d=M，∴a，d可確定一個平面?，∵N∈d，Q∈a，∴N∈?，Q∈?，∴NQ??，即b??． 同理c??．

∴直線a、b、c、d共面．

（2）有三線共點(diǎn)的情況．如右圖所示，設(shè)b、c、d三線相交于點(diǎn)K，與a分別交于N、P、M，且K?a．

∵K?a，∴A和a可確定一個平面，設(shè)為?． ∵N∈a，a??，∴N∈?，又K∈?，∴NK??，即b??．

同理c??，d??，∴直線a、b、c、d共面．

由（1）（2）知直線a、b、c、d共面．

【總結(jié)升華】（1）要證明點(diǎn)線共面，一般是依據(jù)公理2及其推論，在這些點(diǎn)、線中取出能確定一個平面的相關(guān)元素，再證明其他的點(diǎn)、線也在這個平面內(nèi)，也就是“納入法”（或“拉人下水法”），即先確定一個平面，然后將其他元素納入到這個平面之中．

（2）在證明點(diǎn)、線共面時，除了上述納入法外，也可以用下面方法來證明：①利用公理2及其推論直接證明；②重合法：先說明一些元素在一個平面內(nèi)，其余元素在另一個平面內(nèi)，再證明兩個平面重合．

（3）在證明“線共點(diǎn)”時，一般是依題意，選擇其中相交的兩條直線，再證明其交點(diǎn)在第三條直線上，在選擇時，應(yīng)注意使第三條直線為其他圖形中的某兩個平面的交線．從而轉(zhuǎn)化為證明其交點(diǎn)分別在這兩個平面內(nèi)即可．

舉一反三：

【變式1】

如右圖，已知直線m與直線a、直線b分別交于A、B且a∥b． 求證：過a、b、m有且只有一個平面．

證明：∵a∥b，∴過a、b有一個平面?．

又m∩a=A，m∩b=B，∴A∈a，B∈b，∴A∈?，B∈?．

又A∈m，B∈m，∴m??，即過a、b、m有一個平面?．

假設(shè)過a、b、m還有一個平面?異于?，則a??，b??，a??，b??．

這與a∥b，過a、b有且只有一個平面相矛盾．

因此，過a、b、m有且只有一個平面．

例5．如圖所示，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延長線)分別與平面α相交于E，F(xiàn)，G，H，求證：E，F(xiàn)，G，H必在同一直線上．

【證明】因?yàn)锳B∥CD，所以AB，CD確定平面AC，AD∩α＝H，因?yàn)镠∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC與平面α的交線上． 同理F、G、E都在平面AC與平面α的交線上，因此E，F(xiàn)，G，H必在同一直線上．

【總結(jié)升華】所謂點(diǎn)共線問題就是證明三個或三個以上的點(diǎn)在同一條直線上．

（1）證明三點(diǎn)共線的依據(jù)是公理3，對于這個公理應(yīng)進(jìn)一步理解為下面三點(diǎn)：①如果兩個相交平面有兩個公共點(diǎn)，那么過這兩點(diǎn)的直線就是它們的交線；②如果兩個相交平面有三個公共點(diǎn)，那么這三點(diǎn)共線；③如果兩個平面相交，那么一個平面內(nèi)的直線和另一個平面的交點(diǎn)必在這兩個平面的交線上．

（2）證明三點(diǎn)共線的常用方法：

方法1：首先找出兩個平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個平面的公共點(diǎn)．

方法2：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在這條直線上．

類似地有：（1）證明三線共點(diǎn)的依據(jù)是公理3．

（2）證明三線共點(diǎn)的思路是：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過這點(diǎn)，把問題化歸為證明點(diǎn)在直線上的問題．

舉一反三：

【變式1】已知E,F,G,H分別是空間四邊形各邊AB，AD，BC，CD上的點(diǎn)，且直線EF與GH交于點(diǎn)P．求證：B，D，P在同一直線上． 【解析】P?EF?P?EF?P?平面ABD?GH???

?P?GH?P?平面BCD??P?平面ABD平面BCD?BD?P?BD

例6.如下圖，在三棱錐S-ABC的邊SA、SC、AB、BC上分別取點(diǎn)E、F、G、H，若EF∩GH=P，求證：EF、GH、AC三條直線交于一點(diǎn)．

證明：∵E∈SA，SA?平面SAC，F(xiàn)∈SC，SC?平面SAC，∴EF?平面SAC．

∵G∈AB，AB?平面ABC，H∈BC，BC?平面ABC，∴GH?平面ABC，又∵EF∩GH=P，∴P∈平面SAC，P∈平面ABC． ∵平面SAC∩平面ABC=AC，∴P∈AC．

即直線EF、GH、AC共點(diǎn)于P．

【總結(jié)升華】線共點(diǎn)的證明可利用公理

1、公理3作為推理的依據(jù)．

舉一反三：

【變式1】

如右圖，已知空間四邊形ABCD（即四個點(diǎn)不在同一平面內(nèi)的四邊形）中，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且

求證：直線EF、GH、AC相交于一點(diǎn)．

證明：∵E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，∴EH∥BD且EH?CFCG2??． CBCD31BD． 2CFCG2??，CBCD

3∵F、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∴FG∥BD且FG?2BD． 3故知EH∥FG且EH≠FG，即四邊形EFGH為梯形，從而EF與GH必相交，設(shè)交點(diǎn)為P．

∵P∈EF，EF?平面ABC，∴P∈平面ABC．

同理P∈平面ADC．

∵平面ADC∩平面ABC=AC，∴P∈AC．

即EF、GH、AC交于一點(diǎn)P．

例7．如圖，有一個正方體的木塊，E為棱AA1的中點(diǎn)．現(xiàn)因?qū)嶋H需要，需要將其沿平面D1EC將木塊鋸開．請你畫出前面ABB1A1與截面D1EC的交線，并說明理由．

【證明】取AB中點(diǎn)F，連接EF，則EF即為所求的面ABB1A1與截面D1EC的交線．

理由如下：

連接A1B，∵E為棱AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，∴EF∥A1B，又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，∴直線EF與直線D1C確定一個平面α，∵直線D1C與直線外一點(diǎn)E都在平面α內(nèi)，∴平面α與平面D1EC重合，∴EF即為所求的面ABB1A1與截面D1EC的交線．

【總結(jié)升華】本題考查平面與截面交線的畫法，解題時認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)． 舉一反三：

【變式1】 已知正方體ABCD=A1B1C1D1中，M、N、P分別是棱AB、A1D1、BB1的中點(diǎn)，試作出過M、N、P三點(diǎn)的截面．

作法：（1）設(shè)M、N、P三點(diǎn)確定的平面為?，則平面? 與平面AA1B1B的交線為直線MP，設(shè)MP∩A1B1=R，則RN是平面?與平面A1B1C1D1的交線，設(shè)RN∩B1C1=Q，連接PQ，則PQ是平面?與平面BB1C1C的交線（如右圖）．

（2）設(shè)MP∩A1A=F，則FN是平面?與平面A1D1DA的交線，設(shè)FN∩AD=H，連接HM，則HM是平面?與平面ABCD的交線．

由（1）（2）知平面PMHNQ就是過M、N、P三點(diǎn)的截面（如右圖中陰影部分）．

第二篇：高中數(shù)學(xué)必修4平面向量知識點(diǎn)與典型例題總結(jié)(理).

平面向量

【基本概念與公式】 【任何時候?qū)懴蛄繒r都要帶箭頭】 1.向量:既有大小又有方向的量。記作:AB 或a。2.向量的模:向量的大小(或長度,記作:||AB 或||a。3.單位向量:長度為1的向量。若e 是單位向量,則||1e =。

4.零向量:長度為0的向量。記作:0?！?方向是任意的,且與任意向量平行】 5.平行向量(共線向量:方向相同或相反的向量。6.相等向量:長度和方向都相同的向量。

7.相反向量:長度相等,方向相反的向量。AB BA =-。8.三角形法則: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB-=(指向被減數(shù) 9.平行四邊形法則: 以,a b 為臨邊的平行四邊形的兩條對角線分別為a b +,a b-。

10.共線定理://a b a b λ=?。當(dāng)0λ>時,a b 與同向;當(dāng)0λ<時,a b 與反向。11.基底:任意不共線的兩個向量稱為一組基底。

12.向量的模:若(,a x y =,則2||a x y =+22||a a =,2||(a b a b +=+ 13.數(shù)量積與夾角公式:||||cos a b a b θ?=?;cos ||||a b a b θ?=?

14.平行與垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+=

題型1.基本概念判斷正誤:(1共線向量就是在同一條直線上的向量。

(2若兩個向量不相等,則它們的終點(diǎn)不可能是同一點(diǎn)。(3與已知向量共線的單位向量是唯一的。

(4四邊形ABCD 是平行四邊形的條件是AB CD =。(5若AB CD =,則A、B、C、D 四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形。(6因?yàn)橄蛄烤褪怯邢蚓€段,所以數(shù)軸是向量。(7若a 與b 共線, b 與c 共線,則a 與c 共線。(8若ma mb =,則a b =。(9若ma na =,則m n =。

(10若a 與b 不共線,則a 與b 都不是零向量。(11若||||a b a b ?=?,則//a b。(12若||||a b a b +=-,則a b ⊥。題型2.向量的加減運(yùn)算

1.設(shè)a 表示“向東走8km ”, b 表示“向北走6km ”,則||a b +=。2.化簡((AB MB BO BC OM ++++=。

3.已知||5OA =,||3OB =,則||AB 的最大值和最小值分別為、。4.已知AC AB AD 為與的和向量,且,AC a BD b ==,則AB = ,AD =。5.已知點(diǎn)C 在線段AB 上,且3

5AC AB =,則AC = BC ,AB = BC。題型3.向量的數(shù)乘運(yùn)算

1.計算:(13(2(a b a b +-+=(22(2533(232a b c a b c +---+-= 2.已知(1,4,(3,8a b =-=-,則1 32a b-=。

題型4.作圖法球向量的和

已知向量,a b ,如下圖,請做出向量132a b +和3 22a b-。a b 題型5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量

1.已知在ABC ?中,D 是BC 的中點(diǎn),請用向量AB AC ,表示AD。2.在平行四邊形ABCD 中,已知,AC a BD b ==,求AB AD 和。題型6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.已知(4,5AB =,(2,3A ,則點(diǎn)B 的坐標(biāo)是。2.已知(3,5PQ =--,(3,7P ,則點(diǎn)Q 的坐標(biāo)是。

3.若物體受三個力1(1,2F =,2(2,3F =-,3(1,4F =--,則合力的坐標(biāo)為。4.已知(3,4a =-,(5,2b =,求a b +,a b-,32a b-。

5.已知(1,2,(3,2A B ,向量(2,32a x x y =+--與AB 相等,求,x y 的值。6.已知(2,3AB =,(,BC m n =,(1,4CD =-,則DA =。

7.已知O 是坐標(biāo)原點(diǎn),(2,1,(4,8A B--,且30AB BC +=,求OC 的坐標(biāo)。題型7.判斷兩個向量能否作為一組基底

1.已知12,e e 是平面內(nèi)的一組基底,判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底: A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e--和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e-和

2.已知(3,4a =,能與a 構(gòu)成基底的是(A.34(,55 B.43(,55 C.34(,55--D.4(1,3--題型8.結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)

1.已知O 是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A 在第二象限,||2OA =,150xOA ∠=,求OA 的坐標(biāo)。2.已知O 是原點(diǎn),點(diǎn)A 在第一象限,||43OA =60xOA ∠=,求OA 的坐標(biāo)。題型9.求數(shù)量積

1.已知||3,||4a b ==,且a 與b 的夾角為60,求(1a b ?,(2(a a b ?+,(31(2 a b b-?,(4(2(3a b a b-?+。2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1||,||a b ,(2a b ?,(3(2a a b ?+,(4(2(3a b a b-?+。題型10.求向量的夾角

1.已知||8,||3a b ==,12a b ?=,求a 與b 的夾角。

2.已知(3,1,(23,2a b ==-,求a 與b 的夾角。3.已知(1,0A ,(0,1B ,(2,5C ,求cos BAC ∠。題型11.求向量的模

1.已知||3,||4a b ==,且a 與b 的夾角為60,求(1||a b +,(2|23|a b-。2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1||,||a b ,(5||a b +,(61 ||2a b-。

3.已知||1||2a b ==，|32|3a b-=,求|3|a b +。題型12.求單位向量 【與a平行的單位向量:||a e a =±】

1.與(12,5a =平行的單位向量是。2.與1(1,2m =-平行的單位向量是。題型13.向量的平行與垂直 1.已知(6,2a =,(3,b m =-,當(dāng)m 為何值時,(1//a b ?(2a b ⊥? 2.已知(1,2a =,(3,2b =-,(1k 為何值時,向量ka b +與3a b-垂直?(2k 為何值時,向量ka b +與3a b-平行? 3.已知a 是非零向量,a b a c ?=?,且b c ≠,求證:(a b c ⊥-。題型14.三點(diǎn)共線問題

1.已知(0,2A-,(2,2B ,(3,4C ,求證:，A B C 三點(diǎn)共線。

2.設(shè)2(5,28,3(2AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,求證:A B D、、三點(diǎn)共線。

3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,則一定共線的三點(diǎn)是。4.已知(1,3A-,(8,1B-,若點(diǎn)(21,2C a a-+在直線AB 上,求a 的值。

5.已知四個點(diǎn)的坐標(biāo)(0,0O ,(3,4A ,(1,2B-,(1,1C ,是否存在常數(shù)t ,使O A t O B O C +=成立? 題型15.判斷多邊形的形狀

1.若3AB e =,5CD e =-,且||||AD BC =,則四邊形的形狀是。2.已知(1,0A ,(4,3B ,(2,4C ,(0,2D ,證明四邊形ABCD 是梯形。3.已知(2,1A-,(6,3B-,(0,5C ,求證:ABC ?是直角三角形。

4.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),(1,8,(4,1,(1,3OA OB OC =-=-=,求證:ABC ?是等腰直角三角形。

題型16.平面向量的綜合應(yīng)用

1.已知(1,0a =,(2,1b =,當(dāng)k 為何值時,向量ka b-與3a b +平行? 2.已知(3,5a =,且a b ⊥,||2b =,求b 的坐標(biāo)。3.已知a b 與同向,(1,2b =,則10a b ?=,求a 的坐標(biāo)。3.已知(1,2a =,(3,1b =,(5,4c =,則c = a + b。

4.已知(5,10a =,(3,4b =--,(5,0c =,請將用向量,a b 表示向量c。5.已知(,3a m =,(2,1b =-,(1若a 與b 的夾角為鈍角,求m 的范圍;(2若a 與b 的夾角為銳角,求m 的范圍。6.已知(6,2a =,(3,b m =-,當(dāng)m 為何值時,(1a 與b 的夾角為鈍角?(2a 與b 的夾角為銳角?

7.已知梯形ABCD 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,2A-,(3,4B ,(2,1D ,且//AB DC ,2AB CD =,求點(diǎn)C 的坐標(biāo)。

8.已知平行四邊形 ABCD 的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(2,1，B(?1,3，C(3, 4，求第四個頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)。9.一航船以 5km/h 的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實(shí)際航行方向與水流方向成 30 角，求 水流速度與船的實(shí)際速度。10.已知 ?ABC 三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(3, 4，B(0, 0，C(c, 0，（1）若 AB ? AC ? 0，求 c 的值；（2）若 c ? 5，求 sin A 的值。【備用】 1.已知 | a |? 3,| b |? 4,| a ? b |? 5，求 | a ? b | 和向量 a, b 的夾角。2.已知 x ? a ? b，y ? 2a ? b，且 | a |?| b |? 1，a ? b，求 x, y 的夾角的余弦。1.已知 a ?(1,3, b ?(?2, ?1，則(3a ? 2b ?(2a ? 5b ?。4.已知兩向量 a ?(3, 4, b ?(2, ?1，求當(dāng) a ? xb與a ? b 垂直時的 x 的值。5.已知兩向量 a ?(1,3, b ?(2, ?，a與b 的夾角 ? 為銳角，求 ? 的范圍。變式：若 a ?(?, 2, b ?(?3,5，a與b 的夾角 ? 為鈍角，求 ? 的取值范圍。選擇、填空題的特殊方法： 1.代入驗(yàn)證法 例：已知向量 a ?(1,1, b ?(1, ?1, c ?(?1, ?，則2 c ?（1 3 A.? a ? b 2 2 1 3 B.? a ? b 2 2 3 1 C.a ? b 2 2 3 1 D.? a ? b 2 2）變式：已知 a ?(1, 2, b ?(?1,3, c ?(?1, 2，請用 a, b 表示 c。2.排除法 例：已知 M 是 ?ABC 的重心，則下列向量與 AB 共線的是（A.AM ? MB ? BC B.3 AM ? AC C.AB ? BC ? AC）D.AM ? BM ? CM 6

廣東省近八年高考試題-平面向量（理科）1.(2007年高考廣東卷第10小題 若向量 a、b 滿足| a |=| b |=1，a 與 b 的夾角為 120?，則 a a ? a b ? 2.(2008 年高考廣東卷第 3 小題 3.已知平面向量 a =（1，2），b =（－2，m），且 a ∥b，則 2 a + 3 b =（A.（－5，－10）B.（－4，－8）4.(2009 年高考廣東卷第 3 小題（x,1），b= 已知平面向量 a=，則向量 a ? b =（（－x, x 2）．）C.（－3，－6）D.（－2，－4））A平行于 x 軸 C.平行于 y 軸 B.平行于第一、三象限的角平分線 D.平行于第二、四象限的角平分線 ? ? ? ? ? ? c =(3,x滿足條件(8 a － b · c =30，b= 5.(2010 年高考廣東卷第 5 小題若向量 a =（1,1），（2,5），則x=(A．6 B．5 C．4 D．3 6.(2011 年高考廣東卷第 3 小題已知向量 a ?(1, 2, b

?(1,0, c ?(3, 4 ．若 ? 為實(shí)數(shù),(a ? ?b / / c, 則? ?(B.1 2 A． 1 4 C.1 D.2 7.(2012 年高考廣東卷第 3 小題 8．若向量 BA ?(2,3，CA ?(4,7，則 BC ?（A．(?2, ?4 B．(3, 4 C．(6,10）D．(?6, ?10 9.(2012 年高考廣東卷第 8 小題對任意兩個非零的平面向量 ? , ?，定義

? ? ? ? ??．若平面

? ?? ? ?? ?n ?向量 a, b 滿足 a ? b ? 0，a 與 b 的夾角 ? ? ? 0, ?，且

? ?和

? ?都在集合? | n ? Z ?中，則

? 4? ?2 ? b a? A． 1 2 B． 1 C． 3 2 D． 5 2 7 10.（2014 廣東省高考數(shù)學(xué)理科 12）已知向量 a ? ?1,0, ?1?則下列向量中 , 與 a 成 60 ? 夾角的是 A．（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）8

第三篇：高中數(shù)學(xué)必修4人教A教案第二章平面向量復(fù)習(xí)

第二章

平面向量復(fù)習(xí)課

（一）一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解向量.零向量.向量的模.單位向量.平行向量.反向量.相等向量.兩向量的夾角等概念。2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四邊形法則（共起點(diǎn)）和三角形法則（首尾相接）。4.了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(試問：取等號的條件是什么?)和向量形式的平行四邊形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5.了解實(shí)數(shù)與向量的乘法（即數(shù)乘的意義）： 6.向量的坐標(biāo)概念和坐標(biāo)表示法

7.向量的坐標(biāo)運(yùn)算（加.減.實(shí)數(shù)和向量的乘法.數(shù)量積）

8.數(shù)量積（點(diǎn)乘或內(nèi)積）的概念，a·b=|a||b|cos?=x1x2+y1y2注意區(qū)別“實(shí)數(shù)與向量的乘法；向量與向量的乘法”

二、知識與方法

向量知識，向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué).物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點(diǎn)，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視.數(shù)量積的主要應(yīng)用：①求模長；②求夾角；③判垂直

三、教學(xué)過程

（一）重點(diǎn)知識：

1.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：

?????????(1)?(?a)?(??)a(2)(???)a? ?a??a(3)?(a?b)??a??b

2.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律:

?????????????????(1)a?b?b?a

(2)(?a)?b??(a?b)?a?(?b)

(3)(a?b)?c? a?c?b?c

3.向量運(yùn)算及平行與垂直的判定: 設(shè)a?(x1,y1),b?(x2,y2),(b?0).則a?b?(x1?x2,y1?y2)

a?b?(x1?x2,y1?y2)

a?b?x1x2?y1y2

a//b?x1y2?x2y1?0.a?b?x1x2?y1y2?0.4.兩點(diǎn)間的距離:

|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2

5.夾角公式: cos??a?b a ?b?x1x2?y1y2 x1?y1?x2?y22222

6.求模：

a?a?a

a?x2?ya?(x1?x2)2?(y1?y2)2

（二）習(xí)題講解：第二章 復(fù)習(xí)參考題

（三）典型例題

例1． 已知O為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，∠AOB=150°，∠BOC=90°，設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a與b表示c

解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系xoy，其中i, j是單位正交基底向量, 則B（0，1），C（-3，0），設(shè)A（x，y），則條件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=i －3j, b=j，c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b

（四）基礎(chǔ)練習(xí)：

（五）、小結(jié)：掌握向量的相關(guān)知識。

（六）、作業(yè)：

第二章

平面向量復(fù)習(xí)課

（二）一、教學(xué)過程

（一）習(xí)題講解：

（二）典型例題

例1．已知圓C：(x?3)?(y?3)?4及點(diǎn)A（1，1），M是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線

22??段MA的延長線上，且MA?2AN，求點(diǎn)N的軌跡方程。

練習(xí)：1.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=（2，1），OB=（1，7），OC=（5，1），OD=xOA,y=DB·DC（x，y∈R）

求點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程；

2.已知常數(shù)a>0，向量m?(0,a),n?(1,0)，經(jīng)過定點(diǎn)A（0，－a）以m??n為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)B（0，a）以n?2?m為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中??R.求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

例2.設(shè)平面內(nèi)的向量OA?(1,7), OB?(5,1), OM?(2,1)，點(diǎn)P是直線OM上的一個動點(diǎn)，求當(dāng)PA?PB取最小值時，OP的坐標(biāo)及?APB的余弦值．

解

設(shè)OP?(x,y)．∵

點(diǎn)P在直線OM上，∴ OP與OM共線，而OM?(2,1)，∴

x－2y=0即x=2y，有OP?(2y,y)．∵ PA?OA?OP?(1?2y,7?y)，PB?OB?OP?(5?2y,1?y)，∴ PA?PB?(1?2y)(5?2y)?(7?y)(1?y)

= 5y2－20y+12 = 5(y－2)2－8．

從而，當(dāng)且僅當(dāng)y=2，x=4時，PA?PB取得最小值－8，此時OP?(4,2)，PA?(?3,5)，PB?(1,?1)．

于是|PA|?34，|PB|?2，PA?PB?(?3)?1?5?(?1)??8，∴ cos?APB?PA?PB|PA|?|PB|??834?2??417 17小結(jié)：利用平面向量求點(diǎn)的軌跡及最值。

作業(yè)：

第四篇：人教A版高中數(shù)學(xué)必修二第三章《直線與方程》測試題

必修二第三章《直線與方程》測試題

一、單選題

1．若直線mx+2y+m=0與直線3mx+(m-1)y+7=0平行，則m的值為（）

A．7

B．0或7

C．0

D．4

2．已知直線l過點(diǎn)且與直線垂直，則l的方程是（）

A．

B．

C．

D．

3．已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)

A．1

B．

C．或1

D．2或1

4．已知直線，則它們的圖象可能為（）

A．

B．

C．

D．

5．已知點(diǎn)，若直線與線段有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

6．當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時，m的值為（）

A．3

B．0

C．

D．1

7．已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（）

A．4

B．

C．

D．

8．一條直線經(jīng)過點(diǎn)，并且它的傾斜角等于直線傾斜角的2倍，則這條直線的方程是（）

A．

B．

C．

D．

9．若三條直線，與直線交于一點(diǎn)，則（）

A．-2

B．2

C．

D．

10．如圖，已知A(4,0)、B(0,4)，從點(diǎn)P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程是

()

A．

B．

C．6

D．

11．直線過點(diǎn)，且、到的距離相等，則直線的方程是（）

A．

B．

C．或

D．或

12．已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，線段的中點(diǎn)為，且滿足，則的取值范圍為（）

A．

B．

C．

D．

二、填空題

13．若A(-2,3),B(3,-2),C(4,m)三點(diǎn)共線則m的值為________.14．設(shè)直線的傾斜角是直線的傾斜角的，且與軸的交點(diǎn)到軸的距離是3，則直線的方程是____________.15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)A(a，a)，P是函數(shù)y＝

(x>0)圖象上一動點(diǎn)．若點(diǎn)P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為________．

16．過點(diǎn)作直線，若直線經(jīng)過點(diǎn)，且，則可作直線的條數(shù)為__________.三、解答題

17．已知直線，.(1)若，求的值；

(2)若，求的值.18．過點(diǎn)的直線，（1）當(dāng)在兩個坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等時，求直線的方程；

（2）若與坐標(biāo)軸交于、兩點(diǎn)，原點(diǎn)到的距離為時，求直線的方程以及的面積.19．如圖，已知三角形的頂點(diǎn)為A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)，求：

(1)直線AB的方程；

(2)AB邊上的高所在直線的方程；

(3)AB的中位線所在的直線方程．

20．已知一組動直線方程為.(1)

求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)

若直線與軸正半軸，軸正半分別交于點(diǎn)兩點(diǎn)，求面積的最小值.21．在中，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線方程為，若點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求邊上的高所在的直線的方程．

22．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為

（Ⅰ）若的縱截距是橫截距的兩倍，求直線的方程；

（Ⅱ）若，一條光線從點(diǎn)出發(fā)，遇到直線反射，反射光線遇到軸再次反射回點(diǎn)，求光線所經(jīng)過的路程。

參考答案

1．B

2．A

3．D

4．C

5．C

6．C

7．D

8．B

9．C

10．D

11．C

12．A

13．-3

14．或者，15．－1或

16．4

17．解：（1）∵直線l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，由l1⊥l2，可得

1×（m﹣2）+m×3＝0，解得．

（2）由題意可知m不等于0,由l1∥l2

可得，解得

m＝﹣1．

18．解：(1),和；

（2）依題，直線斜率存在，設(shè)其為，設(shè)方程為，即，原點(diǎn)到的距離，則，所以直線的方程為；的面積

19．解：(1)由已知直線AB的斜率＝＝3，∴直線AB的方程為y＝3x－2，即3x－y－2＝0.(2)設(shè)AB邊上的高所在的直線方程為y＝－x＋m，由直線過點(diǎn)C(－2,3)，∴3＝＋m，解得m＝，故所求直線為y＝－x＋，即x＋3y－7＝0.(3)AB邊的中位線與AB平行且過AC中點(diǎn)(0，)，∴AB的中位線所在的直線方程為y＝3x＋，即6x－2y＋7＝0.20．解：（1）直線方程，整理可得：恒成立，由此，解得，由此直線恒過定點(diǎn)（4,1）．

（2）直線分別交x軸的正半軸，軸正半分別交于點(diǎn)兩點(diǎn)，設(shè)直線方程為其中．令，;

令，所以，當(dāng)時取等號，．

21．解：（1）由已知點(diǎn)應(yīng)在邊上的高所在直線與的角平分線所在直線的交點(diǎn)，由得，故．

由，所以所在直線方程為，所在直線的方程為，由，得．

（2）由（1）知，所在直線方程，所以所在的直線方程為，即．

22．解：（Ⅰ）由題意得。

直線的方程為，令，得

令，得

∵的縱截距是橫截距的兩倍

解得或

∴直線或，即或

（Ⅱ）當(dāng)時，直線，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，解得，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為

光線所經(jīng)過的路程為

第五篇：人教A版高中數(shù)學(xué)必修二第三章《直線與方程》測試題

必修二第三章《直線與方程》測試題

一、單選題

1．若直線mx+2y+m=0與直線3mx+(m-1)y+7=0平行，則m的值為（）

A．7

B．0或7

C．0

D．4

2．已知直線l過點(diǎn)且與直線垂直，則l的方程是（）

A．

B．

C．

D．

3．已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)

A．1

B．

C．或1

D．2或1

4．已知直線，則它們的圖象可能為（）

A．

B．

C．

D．

5．已知點(diǎn)，若直線與線段有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

6．當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時，m的值為（）

A．3

B．0

C．

D．1

7．已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（）

A．4

B．

C．

D．

8．一條直線經(jīng)過點(diǎn)，并且它的傾斜角等于直線傾斜角的2倍，則這條直線的方程是（）

A．

B．

C．

D．

9．若三條直線，與直線交于一點(diǎn)，則（）

A．-2

B．2

C．

D．

10．如圖，已知A(4,0)、B(0,4)，從點(diǎn)P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程是

()

A．

B．

C．6

D．

11．直線過點(diǎn)，且、到的距離相等，則直線的方程是（）

A．

B．

C．或

D．或

12．已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，線段的中點(diǎn)為，且滿足，則的取值范圍為（）

A．

B．

C．

D．

二、填空題

13．若A(-2,3),B(3,-2),C(4,m)三點(diǎn)共線則m的值為________.14．設(shè)直線的傾斜角是直線的傾斜角的，且與軸的交點(diǎn)到軸的距離是3，則直線的方程是____________.15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)A(a，a)，P是函數(shù)y＝

(x>0)圖象上一動點(diǎn)．若點(diǎn)P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為________．

16．過點(diǎn)作直線，若直線經(jīng)過點(diǎn)，且，則可作直線的條數(shù)為__________.三、解答題

17．已知直線，.(1)若，求的值；

(2)若，求的值.18．過點(diǎn)的直線，（1）當(dāng)在兩個坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等時，求直線的方程；

（2）若與坐標(biāo)軸交于、兩點(diǎn)，原點(diǎn)到的距離為時，求直線的方程以及的面積.19．如圖，已知三角形的頂點(diǎn)為A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)，求：

(1)直線AB的方程；

(2)AB邊上的高所在直線的方程；

(3)AB的中位線所在的直線方程．

20．已知一組動直線方程為.(1)

求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)

若直線與軸正半軸，軸正半分別交于點(diǎn)兩點(diǎn)，求面積的最小值.21．在中，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線方程為，若點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求邊上的高所在的直線的方程．

22．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為

（Ⅰ）若的縱截距是橫截距的兩倍，求直線的方程；

（Ⅱ）若，一條光線從點(diǎn)出發(fā)，遇到直線反射，反射光線遇到軸再次反射回點(diǎn)，求光線所經(jīng)過的路程。