第一篇：五個(gè)一_函數(shù)及其表示(教案)_h

1.2.1函數(shù)的概念（兩個(gè)課時(shí)，到時(shí)會(huì)適當(dāng)增加一些實(shí)例，讓學(xué)生更加明確函數(shù)的概念）

一、教育目標(biāo) 知識(shí)與技能：（1）通過(guò)豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用；

（2）了解構(gòu)成函數(shù)的要素；

（3）會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；

（4）能夠正確使用“區(qū)間”的符號(hào)表示某些函數(shù)的定義域； 過(guò)程與方法： 通過(guò)實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用；

通過(guò)函數(shù)概念學(xué)習(xí)的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生從“特殊到一般”的分析問(wèn)題能力以及抽象概括能力 情感態(tài)度與價(jià)值觀

讓學(xué)生體會(huì)現(xiàn)實(shí)世界充滿變化，感受數(shù)學(xué)的抽象概括之美。

二、教學(xué)重點(diǎn)：理解函數(shù)的模型化思想，用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)；

三、教學(xué)難點(diǎn)：符號(hào)“y=f(x)”的含義，函數(shù)定義域和值域的區(qū)間表示；

四、教學(xué)過(guò)程

（一）引入新課

1.復(fù)習(xí)初中所學(xué)函數(shù)的概念，強(qiáng)調(diào)概念的模型化思想。

初中所學(xué)函數(shù)的概念：設(shè)在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y,如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)y是x的函數(shù)，x叫做自變量）； 2.高一五班學(xué)生找座位這樣一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，體會(huì)函數(shù)的映射關(guān)系

問(wèn)題一：高一五班有60個(gè)同學(xué)，高一五班這個(gè)教室剛好有60個(gè)座位，這樣每個(gè)人都可以找到一個(gè)位置，這樣的安排合理嗎？（合理）

問(wèn)題二：高一五班有60個(gè)同學(xué)，高一五班這個(gè)教室卻只有58個(gè)座位，這樣會(huì)有一些同學(xué)要共用一個(gè)座位，這種安排合理嗎？如果在座位不夠的情況下，如果有一個(gè)同學(xué)還霸占兩個(gè)座位，那么同學(xué)們同意他這種做法？（合理，這位同學(xué)的做法不道德）

問(wèn)題三：高一五班有60個(gè)同學(xué)，高一五班這個(gè)教室卻有62個(gè)座位，每個(gè)人都能得到一個(gè)座位，這樣的安排合理。這樣班里就會(huì)多出兩個(gè)座位，這是某一位同學(xué)就一個(gè)屁股坐了兩個(gè)或是三個(gè)座位，那同學(xué)們會(huì)同意嗎？（合理，不同意，這樣對(duì)其他同學(xué)不公平）老師：根據(jù)上面的三個(gè)問(wèn)題，我們可以把 集合A=｛高一五班的60個(gè)同學(xué)｝，集合A非空 對(duì)應(yīng)關(guān)系f：找座位

集合B=｛高一五班的座位數(shù)｝，集合B非空

從上面三個(gè)問(wèn)題中，我們得到以下結(jié)論：每個(gè)集合A中的元素在對(duì)應(yīng)關(guān)系f下都可以在集合B中有唯一一個(gè)座位與之對(duì)應(yīng)，而B(niǎo)中的一個(gè)座位可以給兩個(gè)同學(xué)坐，而集合A中的同學(xué)卻不可以霸占集合B中的兩個(gè)座位。

3.閱讀課本引例，體會(huì)函數(shù)是描述客觀事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型的思想：（1）炮彈的射高與時(shí)間的變化關(guān)系問(wèn)題；

（2）南極臭氧空洞面積與時(shí)間的變化關(guān)系問(wèn)題；（3）“八五”計(jì)劃以來(lái)我國(guó)城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)與時(shí)間的變化關(guān)系問(wèn)題

老師：而我們高中所學(xué)的函數(shù)的概念也會(huì)有具有以上的結(jié)論，那么函數(shù)到底是什么，請(qǐng)看下文： 新課教學(xué)

函數(shù)的有關(guān)概念 1．?dāng)?shù)的概念：

設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x（即集合A中的元素），在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)（即集合B中的元素）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（function）． 記作：

y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域（domain）；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域（range）． 注意：

“y=f(x)”是函數(shù)符號(hào)，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

函數(shù)符號(hào)“y=f(x)”中的f(x)表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，一個(gè)數(shù)，而不是f乘x． 構(gòu)成函數(shù)的三要素： 定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域

3.一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的定義域和值域討論

（由學(xué)生完成，師生共同分析講評(píng)）4.備用實(shí)例：

我國(guó)2003年4月份非典疫情統(tǒng)計(jì)： 日

期 22 23 24 25 26 27 28 29 30

新增確診病例數(shù) 106 105 89 103 113 126 98 152 101

引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述各個(gè)實(shí)例中兩個(gè)變量間的依賴關(guān)系； 根據(jù)剛剛所學(xué)的函數(shù)的概念，判斷各個(gè)實(shí)例中的兩個(gè)變量間的關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系． 5.區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類(lèi)：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間；

（2）無(wú)窮區(qū)間；（強(qiáng)調(diào)∞不是一個(gè)數(shù)+∞表示數(shù)可以無(wú)限大，—∞表示數(shù)可以無(wú)限?。?/p>

（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．（強(qiáng)調(diào)閉區(qū)間的端點(diǎn)用實(shí)點(diǎn)表示，開(kāi)區(qū)間的端點(diǎn)用空心點(diǎn)表示）典型例題

1．求函數(shù)定義域

課本

解：（略）

說(shuō)明：

函數(shù)的定義域通常由問(wèn)題的實(shí)際背景確定，如果課前三個(gè)實(shí)例；

如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒(méi)有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合；

函數(shù)的定義域、值域要寫(xiě)成集合或區(qū)間的形式． 鞏固練習(xí)：課本第1題

2．判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù) 課本例2 解：（略）

說(shuō)明：

構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)）

兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)。

3.鞏固練習(xí)：

課本第2題

判斷下列函數(shù)f（x）與g（x）是否表示同一個(gè)函數(shù)，說(shuō)明理由？（1）f(x)=(x －1)0；g(x)= 1（2）f(x)= x； g(x)=

（3）f(x)= x 2；f(x)=(x + 1)2（4）f(x)= | x | ；g(x)=

例3（1）設(shè)函數(shù)f(x)=2x+3，函數(shù)g(x)=3x-5，試求，(2)已知a,b,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2, 求：++?+ 課堂練習(xí)

1.求下列函數(shù)的定義域（1）（2）（3）（4）（5）（6）

2求下列兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域（1）

(2)

(三)歸納小結(jié)，強(qiáng)化思想

從具體實(shí)例引入了函數(shù)的的概念，用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述了函數(shù)的定義及其相關(guān)概念，介紹了求函數(shù)定義域和判斷同一函數(shù)的典型題目，引入了區(qū)間的概念來(lái)表示集合。

（四）作業(yè)布置

課本習(xí)題1．2（A組）第1—7題（B組）第1題

第二篇：函數(shù)的表示法教案_h

（計(jì)劃一個(gè)課時(shí)，可根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)調(diào)整）§1．2．2函數(shù)的表示法

一、教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能

（1）明確函數(shù)的三種表示方法；

（2）會(huì)根據(jù)不同實(shí)際情境選擇合適的方法表示函數(shù)；（3）通過(guò)具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)及應(yīng)用． 過(guò)程與方法

通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回答問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力；通過(guò)畫(huà)圖像，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力； 情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)一些實(shí)際生活應(yīng)用題，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)表示的必要性，并體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活用于生活的價(jià)值；通過(guò)函數(shù)的解析式與圖像的結(jié)合，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法。

二、教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)的三種表示方法，分段函數(shù)的概念．

難點(diǎn)：根據(jù)題目的已知條件，寫(xiě)出函數(shù)的解析式并畫(huà)出圖像

三、教學(xué)過(guò)程：

（一）、復(fù)習(xí)引入：

1．函數(shù)的定義，函數(shù)的三要素（函數(shù)相同的條件）． 集合A集合B 當(dāng)對(duì)應(yīng)關(guān)系符合下面的條件之一時(shí)，則稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（1）11（集合A和B一一對(duì)應(yīng)）

（2）2或者更多1（集合A多個(gè)對(duì)B一個(gè)）誤區(qū)：12或者更多

× 構(gòu)成函數(shù)的三要素： 定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域 函數(shù)相同：當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)。

2．函數(shù)圖象的基本方法畫(huà)法（列表、描點(diǎn)、作圖.）本節(jié)將進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的表示法和函數(shù)圖象的作法

（二）、講解新課： 函數(shù)的三種表示方法：

老師：同學(xué)們，回憶一下在初中時(shí)，我們學(xué)習(xí)過(guò)什么函數(shù)？ 一次函數(shù)： 二次函數(shù)： 反比例函數(shù)：

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納函數(shù)解析法的特點(diǎn)。

（1）解析法：把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式來(lái)表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡(jiǎn)稱(chēng)解析式。

說(shuō)明：①解析式法的優(yōu)點(diǎn)是：函數(shù)關(guān)系清楚，容易從自變量的值求出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，便于用解析式來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)；

②中學(xué)里研究的主要是用解析式表示的函數(shù)。

以下是我國(guó)1992年-1998年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：億元）年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

生產(chǎn)總值 26651.9 34560.5 4670.0 57494.9 66850.5 73142.7 76967.1

老師：根據(jù)我們學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念，我們知道年份與生產(chǎn)總值之間構(gòu)成了函數(shù)。而我們僅僅是通過(guò)一個(gè)圖表就知道生產(chǎn)總值與年份之間的關(guān)系，像這種函數(shù)的表示法，我們稱(chēng)為列表法。（2）列表法：列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式。例如：數(shù)學(xué)用表中的平方表、平方根表、三角函數(shù)表，以及銀行里常用的“利息表”。

說(shuō)明：列表法的優(yōu)點(diǎn)是：不必通過(guò)計(jì)算就知道當(dāng)自變量取某些值時(shí)函數(shù)的對(duì)應(yīng)值。老師：另外，在初中我們還學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)的圖像。

老師：像這種用圖像來(lái)表示函數(shù)的方法叫做圖像法。

（3）圖象法：用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。例如：氣象臺(tái)應(yīng)用自動(dòng)記錄器，描繪溫度隨時(shí)間變化的曲線就是用圖象法表示函數(shù)關(guān)系的。（見(jiàn)課本P53頁(yè)圖2-2 我國(guó)人口出生變化曲線）

說(shuō)明：圖象法的優(yōu)點(diǎn)是能直觀形象地表示出函數(shù)的變化情況。

（三）、例題講解

例

1、例3某種筆記本的單價(jià)是5元，買(mǎi)個(gè)筆記本需要元，試用三種表示法表示函數(shù)．（先學(xué)生獨(dú)自做，老師做個(gè)別輔導(dǎo)）首先此函數(shù)的定義域是數(shù)集{1，2，3，4，5}，那么由題意可知用解析法可將函數(shù)表示為y=5x。通過(guò)計(jì)算，用列表法可將函數(shù)表示為 筆記本數(shù)x 1 2 3 4 5 錢(qián)數(shù)y 5 10 15 20 25

在直角坐標(biāo)系上描出各點(diǎn)可得用圖像法將函數(shù)表示為

注意：

①函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等； ②解析法：必須注明函數(shù)的定義域； ③圖象法：是否連線；

④列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征． 例

2、（課本23頁(yè)例4）

例

3、國(guó)內(nèi)投寄信函（外埠），郵資按下列規(guī)則計(jì)算：

1、信函質(zhì)量不超過(guò)100g時(shí)，每20g付郵資80分，即信函質(zhì)量不超過(guò)20g付郵資80分，信函質(zhì)量超過(guò)20g，但不超過(guò)40g付郵資160分，依次類(lèi)推；

2、信函質(zhì)量大于100g且不超過(guò)200g時(shí)，付郵資（A+200）分（A為質(zhì)量等于100g的信函的郵資），信函質(zhì)量超過(guò)200g，但不超過(guò)300g付郵資（A+400）分，依此類(lèi)推.設(shè)一封x g(0

解：這個(gè)函數(shù)的定義域集合是，函數(shù)的解析式為

它的圖象是6條線段（不包括左端點(diǎn)），都平行于x軸，如圖所示.新概念教學(xué)：在上例中，函數(shù)對(duì)于自變量x的不同取值范圍，對(duì)應(yīng)法則也不同，這樣的函數(shù)通常稱(chēng)為分段函數(shù)。

注意：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù).例

3、課本24頁(yè)例5 例

4、作出分段函數(shù)的圖像

解：根據(jù)“零點(diǎn)分段法”去掉絕對(duì)值符號(hào)，即：

=

作出圖像如右圖 作函數(shù)的圖象.解：∵

∴ 這個(gè)函數(shù)的圖象是拋物線 介于之間的一段?。ㄈ鐖D）.（四）、課堂練習(xí)：

2、一個(gè)面積為100cm2的等腰梯形，上底長(zhǎng)為xcm,下底長(zhǎng)為上底長(zhǎng)的3倍，則把它的高表示成x的函數(shù)為

例1：1)設(shè)f(x)是一次函數(shù),且f[f(x)]=4x+3,求f(x)

k=4,kb+b=3

k=2,b=1或k=-2,b=-3

f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3

（五）、小結(jié)

函數(shù)的三種表示方法及圖像的作法，以及如何求函數(shù)解析式

（六）、課后作業(yè)：課本第28習(xí)題1.2：A組習(xí)題4，6，7，12，13 補(bǔ)充：

1、作出函數(shù)的函數(shù)圖像 解： 步驟：（1）作出函數(shù)y=(2x(3的圖象

（2）將上述圖象x軸下方部分以x軸為對(duì)稱(chēng)軸向上翻折（上方部分不變），即得y=|(2x(3|的圖象

f(x+1)=x+2(x+1)=x+2x+2

（七）、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）

第三篇：函數(shù)的表示法(一)教案

課題：函數(shù)的表示法

（一）課

型：新授課 課時(shí)： 1課時(shí) 教學(xué)目標(biāo)：

（1）掌握函數(shù)的三種表示方法（解析法、列表法、圖像法），了解三種表示方法各自的優(yōu)點(diǎn)；

（2）在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；（3）通過(guò)具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)。教學(xué)難點(diǎn)：分段函數(shù)的表示及其圖象。教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1．提問(wèn)：函數(shù)的概念？函數(shù)的三要素？

2．討論：初中所學(xué)習(xí)的函數(shù)三種表示方法？試舉出日常生活中的例子說(shuō)明.二、講授新課：

（一）函數(shù)的三種表示方法：

結(jié)合課本P15 給出的三個(gè)實(shí)例，說(shuō)明三種表示方法的適用范圍及其優(yōu)點(diǎn)： 解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如1.2.1的實(shí)例（1）；

優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明扼要；給自變量求函數(shù)值。

圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如1.2.1的實(shí)例（2）；

優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反映兩個(gè)變量的變化趨勢(shì)。

列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如1.2.1的實(shí)例（3）；

優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函數(shù)值，如股市走勢(shì)圖； 列車(chē)時(shí)刻表；銀行利率表等。例1．（課本P19 例3）某種筆記本的單價(jià)是2元，買(mǎi)x(x∈{1，2，3，4，5})個(gè)筆記本需要y元．試用三種表示法表示函數(shù)y=f(x)．

例2：（課本P20 例4）下表是某校高一（1）班三位同學(xué)在高一學(xué)六次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)及班級(jí)平均分表：

第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次

87 91 92 88 95 甲

76 88 75 86 80 乙

65 73 72 75 82 丙

班平均88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 分

請(qǐng)你對(duì)這三們同學(xué)在高一學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個(gè)分析．

（二）分段函數(shù)的教學(xué)： 分段函數(shù)的定義：

在函數(shù)的定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)，如以下的例3的函數(shù)就是分段函數(shù)。說(shuō)明：（1）．分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)，處理分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)，首先要確定自變量的數(shù)值屬于哪個(gè)區(qū)間段，從而選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)法則；畫(huà)分段函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)根據(jù)不同定義域上的不同解析式分別作出；（2）．分段函數(shù)只是一個(gè)函數(shù)，只不過(guò)x的取值范圍不同時(shí)，對(duì)應(yīng)法則不相同。例3：（課本P21 例6）某市“招手即?！惫财?chē)的票價(jià)按下列規(guī)則制定：

（1）5公里以內(nèi)（含5公里），票價(jià)2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票價(jià)增加1元（不足5公里的俺公里計(jì)算）。

如果某條線路的總里程為20公里，請(qǐng)根據(jù)題意，寫(xiě)出票價(jià)與里程之間的函數(shù)解析式，并畫(huà)出函數(shù)的圖象。

?2x?3,x?(??,0)例4．已知f(x)＝?2，求f(0)、f[f(-1)]的值

2x?1,x?[0,??)?

（三）課堂練習(xí)：

1．課本P23 練習(xí)1，2；

2．作業(yè)本每本0.3元，買(mǎi)x個(gè)作業(yè)本的錢(qián)數(shù)y（元）。試用三種方法表示此實(shí)例中的函數(shù)。

3．某水果批發(fā)店，100kg內(nèi)單價(jià)1元／kg，500kg內(nèi)、100kg及以上0.8元／kg，500kg及以上0.6元／kg。試用三種方法表示批發(fā)x千克與應(yīng)付的錢(qián)數(shù)y（元）之間的函數(shù)y=f(x)。歸納小結(jié)：

本節(jié)課歸納了函數(shù)的三種表示方法及優(yōu)點(diǎn)；講述了分段函數(shù)概念；了解了函數(shù)的圖象可以是一些離散的點(diǎn)、線段、曲線或射線。作業(yè)布置：

課本P24習(xí)題1.2 A組第8，9題；

第四篇：函數(shù)及其表示方法教案

函數(shù)及其表示方法

一、目標(biāo)認(rèn)知

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

(1)會(huì)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)；會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域，初步掌握換元法的簡(jiǎn)單運(yùn)用.(2)能正確認(rèn)識(shí)和使用函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法和圖象法．了解每種方法的優(yōu)點(diǎn)．在實(shí)際情

境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；

(3)求簡(jiǎn)單分段函數(shù)的解析式；了解分段函數(shù)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用．

重點(diǎn): 函數(shù)概念的理解，函數(shù)關(guān)系的三種表示方法．分段函數(shù)解析式的求法． 難點(diǎn): 對(duì)函數(shù)符號(hào)的理解；對(duì)于具體問(wèn)題能靈活運(yùn)用這三種表示方法中的某種進(jìn)行分析，什么才算“恰當(dāng)”？分段函數(shù)解析式的求法．

二、知識(shí)要點(diǎn)梳理

1.函數(shù)的三種表示法：

解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明，給自變量求函數(shù)值.圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢(shì).列表法：列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函數(shù)值.2.分段函數(shù)：

分段函數(shù)的解析式不能寫(xiě)成幾個(gè)不同的方程，而應(yīng)寫(xiě)函數(shù)幾種不同的表達(dá)式并用個(gè)左大括號(hào)括起來(lái)，并分別注明各部分的自變量的取值情況．

知識(shí)點(diǎn)

二、映射與函數(shù) 1.映射定義：

設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B的映射；記為f：A→B.象與原象：如果給定一個(gè)從集合A到集合B的映射，那么A中的元素a對(duì)應(yīng)的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：

(1)A中的每一個(gè)元素都有象，且唯一；

(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)a的象記為f(a).2.函數(shù)：

設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集，若f：A→B是從集合A到集合B的映射，這個(gè)映射叫做從集合A到集合B的函數(shù)，記為y=f(x).注意：

(1)函數(shù)一定是映射，映射不一定是函數(shù)；

(2)函數(shù)三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則；

(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定義域，值域=象集合.7.求函數(shù)的解析式

(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；

(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路點(diǎn)撥：求函數(shù)的表達(dá)式可由兩種途徑.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，則?t?1?

?f?t????,?f?2?2

2?x?1??x????;

?2?

(2)f(x+1)=2x2+1，由對(duì)應(yīng)法則特征可得：f(x)=2(x-1)2+1

即：f(x)=2x-4x+3.2

【變式1】(1)已知f(x+1)=x+4x+2，求f(x)；

(2)已知：

2，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x+4x+2=(x+1)+2(x+1)-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法3)設(shè)f(x)=ax+bx+c則

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2

(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4

總結(jié)升華：求函數(shù)解析式常用方法：

f[f(-1)]=f(4)=16.；

(1)換元法；(2)配湊法；(3)定義法；(4)待定系數(shù)法等.注意：用換元法解求對(duì)應(yīng)法則問(wèn)題時(shí)，要關(guān)注新變?cè)姆秶?8.作出下列函數(shù)的圖象.? y?x?2

y?2x?4x?3?0?x2 ?3

思路點(diǎn)撥：1.首先取不同的點(diǎn)，在圖像上描出，用一條平滑的線連接各點(diǎn)。

（1）y?x?2??2??x?2?x?2???2?x?x?2?為分段函數(shù)，圖象是兩條射線；

（2）y?2x?4x?3?0?x?3?圖象是拋物線.所作函數(shù)圖象分別如圖所示：

分段函數(shù)：

9.已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路點(diǎn)撥：分段函數(shù)求值，必須注意自變量在不同范圍內(nèi)取值時(shí)的不同對(duì)應(yīng)關(guān)系.解：f(0)=2×02+1=1

f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.??1?x?0??

【變式1】已知f?x?????x?0?，作出f(x)的圖象，求f(1)，f(-1)，f(0)的值.?x?1x?0???

解：由分段函數(shù)特點(diǎn)，作出f(x)圖象如下：

∴如圖，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=； 10.某市郊空調(diào)公共汽車(chē)的票價(jià)按下列規(guī)則制定：

(1)乘坐汽車(chē)5公里以內(nèi)，票價(jià)2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票價(jià)增加1元(不足5公里按5公里計(jì)算)，已知兩個(gè)相鄰的公共汽車(chē)站間相距約為1公里，如果沿途(包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站)設(shè)20個(gè)汽車(chē)站，請(qǐng)根據(jù)題意，寫(xiě)出票價(jià)與里程之間的函數(shù)解析式，并畫(huà)出函數(shù)的圖象.解：設(shè)票價(jià)為y元，里程為x公里，?20?x?5??35?x?10?x?N? 由空調(diào)汽車(chē)票價(jià)制定的規(guī)定，可得到以下函數(shù)解析式：y????410?x?15??515?x?19

根據(jù)這個(gè)函數(shù)解析式，可畫(huà)出函數(shù)圖象，如下圖所示：

【變式1】移動(dòng)公司開(kāi)展了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”，月租50元，每通話1分鐘，付費(fèi)0.4元；“神州行”不繳月租，每通話1分鐘，付費(fèi)0.6元，若一個(gè)月內(nèi)通話x分鐘，兩種通訊方式的費(fèi)用分別為y1，y2(元)，Ⅰ.寫(xiě)出y1，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式？

Ⅱ.一個(gè)月內(nèi)通話多少分鐘，兩種通訊方式的費(fèi)用相同？

Ⅲ.若某人預(yù)計(jì)一個(gè)月內(nèi)使用話費(fèi)200元，應(yīng)選擇哪種通訊方式？

解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；

Ⅱ： 當(dāng)y1=y2時(shí)，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250

∴當(dāng)一個(gè)月內(nèi)通話250分鐘時(shí)，兩種通訊方式費(fèi)用相同；

Ⅲ： 若某人預(yù)計(jì)月付資費(fèi)200元，采用第一種方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分鐘）

采用第二種方式：200=0.6x，x?333

∴應(yīng)采用第一種(全球通)方式.已知映射f:A→B，在f的作用下，下列說(shuō)法中不正確的是()

A． A中每個(gè)元素必有象，但B中元素不一定有原象

B． B中元素可以有兩個(gè)原 C． A中的任何元素有且只能有唯一的象

D． A與B必須是非空的數(shù) ?1?x?1?x

已知f?，求f(x)的解析式。??2?1?x?1?x?1?x?1?x 解：觀察已知函數(shù) f?

??21?x1?x???1?y?1???1?y???1?y?1????1?y?2x1?x213（分鐘）

222我們可以先令y?1?x1?x，則x?1?y1?y。所以f?y??2。從而化簡(jiǎn)得出f?y??2y1?y2，在令y=x，則就可以得出f?x??。

總結(jié)升華：

(1)由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)，不僅要確定函數(shù)的解析式，同時(shí)要求出函數(shù)的定義域(一般情況下，都要接受實(shí)際問(wèn)題的約束).(2)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中自變量所表示的具體數(shù)量的含義來(lái)確定函數(shù)的定義域，使之必須有實(shí)際意義.

第五篇：函數(shù)及其表示方法教案

§1.1集合及其表示法 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能目標(biāo)：

（1）使學(xué)生初步了解集合的概念，知道常用數(shù)集的概念及其記法（2）使學(xué)生初步了解“屬于”關(guān)系的意義。

（3）使學(xué)生初步了解有限集、無(wú)限集、空集的意義。（4）.掌握集合的兩種常用表示方法（列舉法和描述法）。.（5）通過(guò)實(shí)例能使學(xué)生選擇自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言（列舉法或描述法）描述不同的具體問(wèn)題，感受集合語(yǔ)言的意義和作用。

過(guò)程與方法目標(biāo)：

（1）重視基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)、基本技能的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng)；（2）啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，善于獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和創(chuàng)造地解決問(wèn)題；

（3）通過(guò)教師指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識(shí)結(jié)論，學(xué)會(huì)抽象概括和運(yùn)用邏輯思維的習(xí)慣。

（4）通過(guò)集合兩種表示方法的相互轉(zhuǎn)化培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括和邏輯思維能力

情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，陶冶學(xué)生的情操，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)忍不拔的意志，實(shí)事求是的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神。

教學(xué)重點(diǎn)：集合的基本概念及表示方法。

教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用集合的常用表示方法，正確表示一些簡(jiǎn)單的集合。授課方法：講授法 教學(xué)過(guò)程： 一．集合的概念

1.集合理論創(chuàng)始人康托爾稱(chēng)集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識(shí)到這些東

西，并且能判斷一個(gè)給定的東西是否屬于這個(gè)總體。

2.在本書(shū)，一般地，某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡(jiǎn)稱(chēng)集。

3.集合的正例和反例

（1）{2，3，4}，{（2，3），（3，4）}，{三角形}，{ x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，{51，52，53，…，100}，{2，4，6，8，…}

我們班的男同學(xué)；我們班的團(tuán)員；

（2）“好心的人”，“著名的數(shù)學(xué)家”，“我們班級(jí)中的高個(gè)子同學(xué)”……這類(lèi)對(duì)象一般不能構(gòu)成數(shù)學(xué)意義上的集合，因?yàn)檎也坏接靡耘袆e每一具體對(duì)象是否屬于集合的明確標(biāo)準(zhǔn)。{1，1，2}由于出現(xiàn)重復(fù)元素，也不是集合的正確表示。

4.關(guān)于集合的元素的特征

（1）確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對(duì)象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立。

（2）互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體（對(duì)象），因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素。（3）無(wú)序性：一般不考慮元素之間的順序，但在表示數(shù)列之類(lèi)的特殊集合時(shí)，通常按照習(xí)慣的由小到大的數(shù)軸順

5.集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素，元素與集合的關(guān)系用“屬于”和“不屬于”表

示；

（1）如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A，記作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A，記作a?A 例如：1∈{1，2，3}； 2.5?{1，2，3} 6．常用數(shù)集及其記法

非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N 整數(shù)集，記作Z 有理數(shù)集，記作Q 實(shí)數(shù)集，記作R 例如：1∈Z，1.2?Z，0∈N； 例題1：課本P7 7． 有限集和無(wú)限集的概念

自然數(shù)集N，{1，2，3，4，5，??}；{x|2x-3>0}；{鈍角三角形}，??；

無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合。有限集：含有有限個(gè)元素的集合。{x/x=3 },{我們班的全體同學(xué)}，{我們班中年齡小于10歲的同學(xué)} 空集：規(guī)定空集，不含元素。記作?； 二．集合的表示方法

問(wèn)題1：在初中學(xué)正數(shù)和負(fù)數(shù)時(shí)，是如何表示正數(shù)集合和負(fù)數(shù)集合的? 如表示下列數(shù)中的正數(shù) 4.8,-3,2,-0.5, 方法1: 方法2: {4.8,2,1,+73,3.1 31,+73,3.1} 3 問(wèn)題2：在初中學(xué)習(xí)不等式時(shí),如何表示不等式x+3<6的解集?（可表示為:x<3）

問(wèn)題1中，方法1為圖示法，方法2為列舉法.1.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái),寫(xiě)在大括號(hào)里的方法.說(shuō)明：(1)書(shū)寫(xiě)時(shí)，元素與元素之間用逗號(hào)分開(kāi)； 一般不必考慮元素之間的順序；

(3)在表示數(shù)列之類(lèi)的特殊集合時(shí),通常仍按慣用的次序；

(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能時(shí)，可以列出該集合的一部分元素,以提供某種規(guī)律,其余元素以省略號(hào)代替；

例1．用列舉法表示下列集合：

第2 / 6頁(yè)

(1)小于5的正奇數(shù)組成的集合；

(2)能被3整除而且大于4小于15的自然數(shù)組成的集合；(3)從51到100的所有整數(shù)的集合；(4)小于10的所有自然數(shù)組成的集合；(5)方程x?x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；(6)由1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合。

問(wèn)題6：能否用列舉法表示不等式x-7<3的解集? 由此引出描述法。2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共屬性描述出來(lái), 寫(xiě)在大括號(hào)里的方法)。

表示形式：A={x∣p}，其中豎線前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共屬性；A={x∣p}表示集合A是由所有具有性質(zhì)P的那些元素x組成的，即若x具有性質(zhì)p，則x?A；若x?A,則x具有性質(zhì)p。

說(shuō)明:(1)有些集合的代表元素需用兩個(gè)或兩個(gè)以上字母表示；(2)應(yīng)防止集合表示中的一些錯(cuò)誤。

如，把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},{x∣1,2}，用{實(shí)數(shù)集}或{全體實(shí)數(shù)}表示R。

例2．用描述法表示下列集合：(1)由適合x(chóng)-x-2>0的所有解組成的集合;(2)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合;(3)拋物線y=x上的點(diǎn);(4)拋物線y=x上點(diǎn)的橫坐標(biāo);(5)拋物線y=x上點(diǎn)的縱坐標(biāo);例3．試分別用列舉法和描述法表示下列集合：（1）方程x?2?0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；（2）由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合。

（二）集合的分類(lèi)

例4．觀察下列三個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)

1.{4.8, 7.3, 3.1,-9};2.{x?R∣0

?有限集:含有有限個(gè)元素的集合?集合的分類(lèi)?無(wú)限集:含有無(wú)限個(gè)元素的集合

?空集:不含有任何元素的集合?(empty?set)?

（三）文氏圖

集合的表示除了上述兩種方法以外，還有文氏圖法，敘述如下： 畫(huà)一條封閉的曲線,用它的內(nèi)部來(lái)表示一個(gè)集合，如圖所示：

第3 / 6頁(yè)

表示任意一個(gè)集合A 表示{3，9，27} 說(shuō)明：邊界用直線還是曲線，用實(shí)線還是虛線都無(wú)關(guān)緊要，只要封閉并把有關(guān)元素統(tǒng)統(tǒng)包含在里邊就行，但不能理解成圈內(nèi)每個(gè)點(diǎn)都是集合的元素.三．課堂練習(xí)一 例1.用“?”或者“?”填空 0 N 0 Z?

?2 Z 1* N ?2 R 2 例2.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)大于0且不超過(guò)6的全體奇數(shù)組成的集合；(2)被3除余1的自然數(shù)全體組成的結(jié)合；(3)方程組??x?y?5的解集； ?x?y??1(4)直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的點(diǎn)組成的集合.四．課堂練習(xí)二

1.元素與集合的關(guān)系用符號(hào)表示：

①a屬于集合A___________；②a不屬于集合A___________.2.常用數(shù)集記法：

字母N表示______________；用_______表示正整數(shù)集；Z表示_____________；用______ 表示有理數(shù)集；R表示_________________.3.空集是不含任何_________的集合，記作______________.第4 / 6頁(yè)

4.集合常用的表示方法有 和.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.列舉法表示下列集合：(1)10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合.(2){y|y?x2?1,?1?x?3,x?Z} 2.已知M為所有大于?2且小于1的實(shí)數(shù)組成的集合，則下列關(guān)系式正確的是（M

B.M C.1?M D.?? 2?M 3.下列寫(xiě)法正確的是（）

A.0?{(0,1)};B.1?{(0,1)};C.(0,1)?{(0,1)};D.(0,1)?{0,1}.4.在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出集合{(x,y)|xy?0,x?R,y?R}內(nèi)的點(diǎn)所在的區(qū)域.5.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)關(guān)于x的方程x2?ax?2?0,a?R的解集;(2)兩直線y?2x?1和y?x?2的交點(diǎn)組成的集合.6.方程(x?2)3(x?1)(x?3)(x?4)?0的解集含有________個(gè)元素.7.已知方程ax2?ax?1?0的解集是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【鞏固提高】

8.已知集合A?{2,(a?1)2,a2?3a?3}，且1?A，求實(shí)數(shù)a的值.9.已知集合M含有三個(gè)元素0,1,x(x?R)，且x2?M，求實(shí)數(shù)x的值.(選做)10.(1)已知方程x2?px?4?0的解集是A，且6?A，）

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求實(shí)數(shù)p的值；

(2)已知方程x2?px?q?0的解集是{6}，求實(shí)數(shù)p,q的值.【課堂例題答案】 例1.?;?;?;?;?;?

例2.(1){1,3,5};(2){x|x?3k?1,k?N};(3){(x,y)|?(4){(x,y)|x?0,y?0,x?R,y?R} 【知識(shí)再現(xiàn)答案】 1.a?A;a?A 2.自然數(shù)集；N或Z；整數(shù)集；Q；實(shí)數(shù)集 *??x?y?5}或者{(2,3)} x?y??1?

3.元素；? 4.列舉法；描述法 【習(xí)題答案】

1.(1){2,3,5,7};(2){?1,0,3} 2.D 3.C 4.第一、三象限及坐標(biāo)軸 y 陰影區(qū)域，含邊界 a

5.(1)

當(dāng)a??{}；當(dāng)a??

a?

；

2當(dāng)??a?時(shí)，? 6.4 7.0?a?4 8.a??1或0 9.x??1 10.(1)p?? 20;(2)p??12,q?36 3