第一篇：從形入手?jǐn)?shù)形結(jié)合幼兒園數(shù)學(xué)模式之探索研究報告重點

從形入手 數(shù)形結(jié)合幼兒園數(shù)學(xué)模式之探索研究報告 嘉興市宏興幼兒園課題組 執(zhí)筆：張京南 金穎芬

一、課題研究的背景及意義

改革開放所帶來的社會急劇變化和經(jīng)濟(jì)迅猛發(fā)展，向教育提出了新的挑戰(zhàn)，教育必須從現(xiàn)存的各種問題出發(fā)，尋找最佳的教育模式，以適應(yīng)社會變革和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。幼兒園數(shù)學(xué)教育作為幼兒園教育的重要組成部分，也毫不例外的要接受挑戰(zhàn)。

長期以來，由于受傳統(tǒng)小學(xué)化教學(xué)的傾向，幼兒數(shù)學(xué)教育存在著重知識、輕思想方法，過分重視數(shù)學(xué)的抽象性、邏輯性，卻使數(shù)學(xué)自成體系，而忽視了數(shù)學(xué)與兒童關(guān)系的建立，結(jié)果造成數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容籠雜、單調(diào)且重復(fù)性強(qiáng)。致使幼兒獲得的知識是孤立的、片面的、僵化的。幼兒從一開始接觸數(shù)學(xué)，就學(xué)會死記硬背，感受不到學(xué)習(xí)的樂趣，甚至產(chǎn)生畏懼與厭煩。因此，探索新的幼兒園數(shù)學(xué)教學(xué)模式刻不容緩。

新頒布的《幼兒園指導(dǎo)綱要》明確指出：能從生活和游戲中感受事物的數(shù)量關(guān)系并體驗到數(shù)學(xué)的重要和有趣。顯而易見，數(shù)教育的目標(biāo)與任務(wù)不是為了讓幼兒獲得有限的數(shù)學(xué)知識，更重要的是為了讓幼兒在掌握初淺知識的過程中運用知識來解決問題的能力；運用已有知識嘗試去獲得新知識的能力；發(fā)展思維（特別是初步的抽象邏輯思維）和舉一反

三、觸類旁通的能力。實踐證明對幼兒來說，通過數(shù)學(xué)啟蒙教育獲得的知識是很有限，但是思維的培養(yǎng)和訓(xùn)練，能力的發(fā)展和提高，對其今后的學(xué)習(xí)和成長卻是終身有益的。

其實，世界是變化萬千，繽紛多姿的，而形態(tài)各異的萬物又是由形形色色的圖形構(gòu)成的。生活在大千世界中的幼兒無時無刻不與圖形打交道，從早晨睜開眼看到的門窗、書桌，到大街上的圓柱、棱臺，天空中形如火球的太陽，以及造型千姿百態(tài)的各類建筑，天地之間無處不充滿著圖形，可以說，幼兒生活的世界是圖形的世界。千變?nèi)f化的圖形構(gòu)成幼兒的居住、生活和活動的空間，幼兒對圖形是不陌生的。因此，從幼兒的生活經(jīng)驗和客觀事實出發(fā)，變“抽象”數(shù)學(xué)為“形象”數(shù)學(xué)，把較為抽象的數(shù)方面知識與較為形象的形方面知識統(tǒng)一起來，是有利于幼兒學(xué)習(xí)、理解數(shù)學(xué)的，同時更有利于幼兒思維的發(fā)展。為此，大量事實證明我對幼兒園數(shù)學(xué)教學(xué)模式探索的改革將是可能，也是可行，且是有用的。

二、課題的界定

數(shù)學(xué)是由兩個概念構(gòu)成的，數(shù)學(xué)是由兩個概念構(gòu)成的，一個是數(shù)，一個是數(shù)，一個是形，一個是形，數(shù)抽象，數(shù)抽象，形直觀。形直觀。數(shù)學(xué)就像一棵大樹，棵大樹，它是從數(shù)和形這兩類基本東西里生長出來的并能長出千奇百怪的分枝和花朵。數(shù)形結(jié)合是抽象與直觀、數(shù)形結(jié)合是抽象與直觀、思維與感知的結(jié)合。思維與感知的結(jié)合。

“數(shù)形結(jié)合”數(shù)形結(jié)合”是本課題最為重要的研究內(nèi)容，是指把幾何圖形作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種操作材料，讓幼兒在發(fā)現(xiàn)圖形的各種規(guī)律中了解數(shù)學(xué)的初淺知識。它可分為兩個層次。第一層次指直接的數(shù)形結(jié)合。把圖形作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的操作材料，在擺弄、玩耍、游戲中感知數(shù)學(xué)的存在與有用。第二層次指間接的數(shù)形結(jié)合。這種結(jié)合是指在幼兒掌握數(shù)的初淺知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)行時間、空間，各種數(shù)學(xué)規(guī)律的高一層次教學(xué)活動。如：加法交換律，認(rèn)識時鐘等內(nèi)容。

“從形入手 數(shù)形結(jié)合 ” 它是抽象與直觀，思維與感知的結(jié)合。即指：抓住數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)性、邏輯性、抽象性，以各種美麗的圖形方式導(dǎo)入數(shù)教育。在感知幾何圖形內(nèi)在數(shù)形關(guān)系的基礎(chǔ)上，通過兩者之間的巧妙融合、巧妙滲透讓幼兒在主動探索與操作中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，利用數(shù)形結(jié)合以及自身的內(nèi)部機(jī)制理解和掌握數(shù)概念。引導(dǎo)幼兒運用數(shù)學(xué)知識，解決生活中的問題，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣?！皬男稳胧?數(shù)形結(jié)合幼兒園數(shù)學(xué)模式”數(shù)形結(jié)合幼兒園數(shù)學(xué)模式”是指：在皮亞杰認(rèn)知理論和新《綱要》思想的指導(dǎo)下，將“從形入手 數(shù)形結(jié)合”的思想，作為制定教育計劃的基礎(chǔ)，并用以處理各種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要素之間的關(guān)系，逐步建構(gòu)生成內(nèi)容與預(yù)設(shè)內(nèi)容相結(jié)合的，并能適應(yīng)幼兒思維和能力發(fā)展的幼兒數(shù)學(xué)教育新模式。

三、課題研究的基本框架（課題研究的基本框架（目標(biāo)、內(nèi)容等）

由于“從形入手 數(shù)形結(jié)合幼兒園數(shù)學(xué)模式之探索”課題研究的范圍比較大，為了能對此課題進(jìn)行深入的、可操作性的、富有實效的研究，采用總課題分解、帶動子課題運轉(zhuǎn)模式，2001年9月子課題“數(shù)學(xué)教育活動中材料投放的研究”在秀城區(qū)里立項，逐步形成了課題研究的基本框架（附表格），使課題研究日趨完善。

四、研究對象

本園小、中、大班幼兒共105名。

五、研究的方法

（一）觀察法

教師通過直接的觀察，搜集日常生活或教學(xué)過程中所發(fā)生的現(xiàn)象或資料，了解幼兒的心理變化，確定研究目標(biāo)、內(nèi)容、過程等。如：幼兒在自由擺放圖形時，觀察幼兒的擺放規(guī)律、動作、表情、語言、過程、結(jié)果，進(jìn)行記錄和分析，確定教育措施，為課題開展積累第一手感性材料，是我們開展課題研究的起點。

（二）調(diào)查法

為切實了解幼兒的發(fā)展現(xiàn)狀與幼兒的數(shù)知識等方面的內(nèi)容，在課題研究初期我們就根據(jù)小、中、大班幼兒的年齡特點，自行設(shè)計了包括幼兒數(shù)、量、形、時間、空間等方面內(nèi)容的“幼兒數(shù)學(xué)教學(xué)情況調(diào)查表”，根據(jù)調(diào)查結(jié)果逐步形成不同年齡段幼兒的研究方案。在每學(xué)期末，采用情景調(diào)查與試卷調(diào)查的方法，檢驗科研成效。

（三）行動研究法

是教師們在課題實施過程中遇到某個具體問題時，一起探尋解決問題的最好方法，也是本課題研究的主要方法。在研究過程中我們經(jīng)常根據(jù)課題目標(biāo)，發(fā)現(xiàn)問題→提出問題→提出解決問題的方案→施行方案→評價問題解決的情況→再次發(fā)現(xiàn)問題……循環(huán)反復(fù)，直至問題得到滿意的解決。如：在中班的課題開展過程中，由于教師過于注重幼兒的操作擺弄，而忽視了幼兒之間的交流、思考和教師的適時指導(dǎo)，使操作過程成為了一種無目的的行為。課題組通過反復(fù)的研究、討論，從而提出了正式教學(xué)與非正式教學(xué)不同的教學(xué)目標(biāo)與教師的角色遷移的新理念。

（四）質(zhì)的研究法

每個幼兒都有自己的生活經(jīng)驗、家庭環(huán)境，這種特定的、生物的和社會文化氛圍，導(dǎo)致不同幼兒有不同的思維方式和解決問題的策略。此項方法主要是根據(jù)不同幼兒的發(fā)展?fàn)顩r，對數(shù)學(xué)能力超常與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的幼兒進(jìn)行重點的、內(nèi)在的、長期的研究，形成特殊幼兒的研究策略。

六、課題的實施

（一）學(xué)習(xí)理解《綱要》，建立目標(biāo)、評價體系

新頒布的《幼兒園指導(dǎo)綱要》中的一個重要變化是沒有將數(shù)學(xué)領(lǐng)域單列，而是放在科學(xué)領(lǐng)域之中，并明確指出：“能運用各種感官，動手動腦，探究問題?！薄疤峁┴S富的可操作的材料，為每個幼兒都能運用多種感官、多種方式進(jìn)行探索。”有力的說明了數(shù)學(xué)教育必須以科學(xué)的事實為依據(jù)，幼兒只有處于自主和主動的狀態(tài)下，通過對物體的操作，知識的建構(gòu)才有可能。

課題組成員通過多次反復(fù)的學(xué)習(xí)和研究，使教師的教育觀念發(fā)生根本的轉(zhuǎn)變，逐步明確了幼兒數(shù)教育研究的重點是：從機(jī)械記憶為主的學(xué)習(xí)到主動建構(gòu)為主的學(xué)習(xí)，從符號為主的學(xué)習(xí)到實際意義為主的學(xué)習(xí)，讓幼兒在解決問題的過程中運用數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，使圖形成為科學(xué)探究的工具。逐步確立了以培養(yǎng)幼兒的興趣、態(tài)度、能力、習(xí)慣等內(nèi)容為重點的研究目標(biāo)，探索形成了一整套多元化、多樣化、個別化，關(guān)注幼兒內(nèi)在變化和情感體驗的描述性評價與量化評價相結(jié)合的評價體系。

（二）探究教學(xué)模式，選擇適宜內(nèi)容，體現(xiàn)全新觀念

1、教學(xué)計劃的探究

依據(jù)新《綱要》的精神和幼兒年齡特點、生活經(jīng)驗和本園的實際情況，合理安排教學(xué)計劃形成全新的教學(xué)模式是本課題研究的重中之重。我們首先把與現(xiàn)實生活息息相關(guān)的各種美麗的圖形當(dāng)作幼兒數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“領(lǐng)路人”，運用欣賞、講述、尋找、游戲等多種教學(xué)方法，讓幼兒認(rèn)識圖形，感知圖形。也就是幼兒數(shù)學(xué)教育的起點不再是學(xué)科知識的起點“1”（1和許多），而是從現(xiàn)實生活中事物各種形狀的認(rèn)識、擺弄、拼搭過渡到對數(shù)的認(rèn)識，通過教師的引導(dǎo)讓幼兒在直觀的觀察、操

作中進(jìn)行歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。其次是在圖形的擺弄中運用集合、對應(yīng)等方法發(fā)現(xiàn)物體的多少，并將物體進(jìn)行分類、排序。最后才過渡到數(shù)的理解以及時間、空間、方位等方面的內(nèi)容。形成了相互聯(lián)系、層層遞進(jìn)的數(shù)學(xué)教學(xué)新模式（計劃）。（見圖表）

2、教學(xué)內(nèi)容的探究

內(nèi)容是實現(xiàn)目標(biāo)的載體，為此我們從幼兒身心特點和學(xué)科的特殊性入手，注重內(nèi)容的生活性、豐富性、啟發(fā)性、連貫性，從興趣入手，選擇有探索欲望的教學(xué)內(nèi)容，真正調(diào)動幼兒學(xué)習(xí)的積極性。如：在集合的教育中運用動物的特性開展“找一伙”的活動；在加減運算中運用“乘汽車”“逛超市”等教育內(nèi)容，通過物品的買賣來學(xué)習(xí)加減運算；在數(shù)的組成中運用“分餅干”、“找朋友”等游戲進(jìn)行。

當(dāng)然在內(nèi)容的選擇時我們還遵循“最近發(fā)展區(qū)”的原則，讓幼兒“跳一跳，摸得到”，每一次活動中我們都給幼兒一定的發(fā)展空間，讓知識得到有效的內(nèi)化。體驗學(xué)習(xí)的樂趣，逐步形成勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神。

3、過程的探究

為了培養(yǎng)二十一世紀(jì)能生存、發(fā)展、合作，具有競爭力人，必須從小培養(yǎng)他們的主動性和創(chuàng)造性。為此在教學(xué)過程中我們把由教師教→幼兒學(xué)的單一傳導(dǎo)過程，變?yōu)榻處煛變弘p向互動及多向互動的過程。（如圖）

教師教—→幼兒 教師←→幼兒 幼兒

（單向過程）（雙向過程）（多向過程）

日常教學(xué)中，教師時刻觀察、注意幼兒的興趣和需要，作為調(diào)整和重新安排材料的依據(jù)，同時也在時刻思考如何在最恰當(dāng)?shù)臅r候建議幼兒在更高一層次上運用材料或教給幼兒一些能夠接受的數(shù)概念，還經(jīng)常主動地與一些發(fā)展水平較高和發(fā)展水平較低的幼兒一起活動，教給前者一些更高水平的游戲規(guī)則，讓他們帶動其他幼兒，給予后者必要的幫助，使他們能跟上其他幼兒。在幼兒之間發(fā)生爭執(zhí)時，教師又是活動的協(xié)調(diào)者，以幼兒能夠接受的方式解決相互間的矛盾。使教師、幼兒、材料、環(huán)境都互動起來。

（三）采用多種手段，發(fā)展幼兒的思維

1、豐富的環(huán)境，為幼兒的思維發(fā)展創(chuàng)設(shè)外部條件

中國古代曾有人用“染于蒼則蒼，染于黃則黃，所入者變，其色亦變”來說明環(huán)境對人的影響。教育總是在一定的環(huán)境中進(jìn)行的，環(huán)境是隱性教育的一種重要途徑。對幼兒來說，幼兒園的一切包括人、事、物、時間、空間等都是構(gòu)成幼兒發(fā)展的重要內(nèi)容。為了讓幼兒切實感受到圖形的美麗、神奇，激發(fā)幼兒學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，我們首先從物質(zhì)環(huán)境和精神環(huán)境兩方面進(jìn)行了探索。（1）物質(zhì)環(huán)境

物質(zhì)環(huán)境的創(chuàng)設(shè)其實是教育思想、教育概念和教育價值的物化。幼兒對美麗的、生動的物體會產(chǎn)生極大的興趣。依據(jù)這一特點，我們在環(huán)境布置中，力求做到色彩鮮艷、形象生動。如給幾何圖形、數(shù)字按上五官、手腳，將他們擬人畫。（如圖）

另外在既注環(huán)境美化裝飾功能的同時，我們更注重環(huán)境的教育功能。充分利用走廊、樓梯、過道、轉(zhuǎn)角、操場等處繪制了各種可供幼兒參與、游戲的神態(tài)不同、造型各異的動物、人物、迷宮圖、格子布和一些抽象的組合畫，讓幼兒自己即可欣賞，又可分類、排序、比較多少，還能發(fā)現(xiàn)、思考數(shù)學(xué)的

班切圓（圖1）1）

給孩子無限的遐想，他們說是花、孔雀羽毛、貝殼、草帽、面包、眼珠、彩虹、海螺……還有操場上老師自行設(shè)計的各種格子布更是深受小朋友們的喜愛（如圖2），他們在一起跳跳、玩玩、講講、議議，到處是孩子們快樂的身影。

在活動室中還設(shè)置便于幼兒存放各類操作材料的矮柜，塑料筐和大量便于幼兒操作的圖形卡片、數(shù)字卡片、貝殼、紐扣、記錄紙、鉛筆、蠟筆等豐富多彩的活動材料，并把活動室的墻留給孩子，使一幅幅雖稚嫩，但富有想象和創(chuàng)造的圖形組合畫給孩子以無窮的動力，讓孩子真實的感受到圖形世界的美麗和神奇。（2）心理環(huán)境

我們在注重創(chuàng)設(shè)物質(zhì)環(huán)境的基礎(chǔ)上，還及時將物質(zhì)環(huán)境和心理環(huán)境結(jié)合起來。一是教師常常以伙伴的身份與幼兒一起玩，如：跳格子布，走圖形迷宮、拼搭組合等，形成一種寬松的民主的氣氛。二是活動中給予幼兒充分的自由度，讓幼兒自由選擇、自由探索、自由想象，甚至做出決定。當(dāng)發(fā)現(xiàn)幼兒遇到問題自已想辦法解決或表現(xiàn)出興趣時，及時給予贊賞和鼓勵。三是平日里常常以商量的口吻和討論的方式指導(dǎo)孩子，使幼兒的思維處于輕松活躍的狀態(tài)，提高了幼兒探索和創(chuàng)新的可能性。

2、激發(fā)興趣，為幼兒的思維發(fā)展增強(qiáng)內(nèi)部動力

“數(shù)學(xué)是思維的體操”。學(xué)前兒童思維總是伴隨著活動興趣的產(chǎn)生，發(fā)展變化而同步進(jìn)行?？茖W(xué)家發(fā)現(xiàn)學(xué)前兒童的思維能力既可受活動興趣因素的激勵獲得超常發(fā)揮。也可因活動興趣的喪失而產(chǎn)生失常表現(xiàn)。所以，激發(fā)興趣就成了數(shù)教學(xué)最重要的工作之一，也是教師所遇到最困難的問題之一。

在教學(xué)實踐中我們發(fā)現(xiàn)，孩子的興趣主要是通過材料的操作與擺弄；數(shù)學(xué)美的欣賞；解決現(xiàn)實生活中的實際問題來激發(fā)的。為此我們首先從幼兒的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓幼兒發(fā)現(xiàn)問題，尋找解決問題的方法（收集操作材料）。其次通過各種教學(xué)活動在操

作材料的擺弄中引導(dǎo)幼兒欣賞數(shù)學(xué)的科學(xué)美、抽象美和創(chuàng)造美。最后用學(xué)到的知識解決現(xiàn)實問題。如：在容量和守恒的教學(xué)活動中，我們就從孩子在玩沙時爭搶的兩個不同大小的桶想到的，孩子們通過“水、沙、米”的科學(xué)小實驗不僅理解了容量的大小與容積的關(guān)系和物體守恒的道理，而且還獲得了測量的方法，極大的激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，使幼兒在生活中舉一反三，不斷的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展。

因此，興趣是學(xué)前兒童數(shù)學(xué)思維的調(diào)控器。在課題進(jìn)行中，我們正是抓住了興趣這一思維調(diào)控器，使“從形入手 數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)模式大放異彩，達(dá)到發(fā)展幼兒思維，提高認(rèn)知能力，增強(qiáng)內(nèi)部動力的功效。

3、鼓勵操作，為幼兒思維的發(fā)展提供可能

皮亞杰曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)的抽象乃是操作性質(zhì)的，他的發(fā)生、發(fā)展要經(jīng)過連續(xù)不斷的一系列階段，而其最初的來源是一些十分具體的行動”?？梢?，數(shù)學(xué)的抽象依靠的是作用于物體的一系列動作的協(xié)調(diào)，同時在心理上建立相應(yīng)的協(xié)調(diào)聯(lián)系。因此，兒童只有通過摸、畫、剪、拼、排、貼等操作活動，讓數(shù)學(xué)變成看得見、摸得著，并受幼兒喜愛的活動。

為使操作達(dá)到理想的效果，我們從數(shù)學(xué)學(xué)科本身固有的特點出發(fā)，以《綱要》的理論為依據(jù)，邊實際邊總結(jié)，提出以下幾條教學(xué)原則：

（1）條件性原則：指在幼兒操作探索過程中具備的條件①為每位幼兒提供人手一份的村料。②給予幼兒充分的操作時間和空間。③允許幼兒有同伴間交流的機(jī)會。

（2）目的性原則。在幼兒操作擺放圖形或?qū)嵨锏倪^程中，教師都應(yīng)明確活動的目的。一是通過圖形“力”的作用，發(fā)現(xiàn)問題，初步體驗到某些概念的內(nèi)涵或運算規(guī)律，二是有目的的讓幼兒用語言表述動作的結(jié)果，三是引導(dǎo)幼兒討論操作結(jié)果，使目標(biāo)有效達(dá)成。

（3）規(guī)則性原則：操作活動中的規(guī)則性可以減少教學(xué)活動或日常教學(xué)中的盲目性和隨意性。特別是自發(fā)性探索活動中，只有建立了合乎情理的規(guī)則，才能達(dá)到教學(xué)目的與幼兒探索的要求。

（4）評價性原則。在操作擺弄中所獲得的知識是初淺的、零碎的，需要教師歸納和評價。因此，評價性原則往往會對教學(xué)效果起到畫龍點睛的作用。（5）差異性原則。在幼兒操作與創(chuàng)作過程中，教師要努力根據(jù)幼兒的實際水平和年齡特點，投放不同的操作材料，促進(jìn)幼兒富有個性的發(fā)展。

在課題實施過程中，我們深深體會到只有鼓勵幼兒積極動手操作，在嘗試中發(fā)現(xiàn)問題.、思考問題、解決問題，讓幼兒體驗操作的樂趣，才能發(fā)展幼兒的思維，感受和體驗到數(shù)學(xué)活動的樂趣。

4、引導(dǎo)探索，為幼兒的思維發(fā)展擴(kuò)大空間

引導(dǎo)探索的最大特點是不直接將知識或經(jīng)驗告訴給幼兒，而是留給孩子嘗試、討論、發(fā)展和充分想象的時間和空間?；顒又薪處煹闹饕蝿?wù)是引導(dǎo)幼兒發(fā)現(xiàn)、提出和解決問題。如：在區(qū)角活動中，我投放五張大小相同的正方形紙（如圖），目的是讓幼兒探索同樣大小的

紙，為什么剪下來后，紙條的長短不一樣，并學(xué)會排序。一開始幼兒先被上面的

線條給吸引了，有的說這像枕頭面包，有的說像蛋卷，有的說像迷宮……教師只是在一旁觀察。這時突然有一位小朋友發(fā)現(xiàn)了老師畫的剪刀標(biāo)志便興奮的說，這些線是可以剪的。于是小朋友們到美工區(qū)去拿了剪刀認(rèn)真的剪了起來。當(dāng)紙被剪下來后孩子們又自發(fā)的開始比了起來。只聽見有的說像條蛇、有的像樓梯、還有的說我這條最長……這時教師便引導(dǎo)道：怎么會這樣呢？在教師的引導(dǎo)下，幼兒便開始關(guān)注紙的大小、剪得寬窄。可是教師卻發(fā)現(xiàn)拿著最長一條的小朋友十分驕

傲，便又引導(dǎo)道：誰能讓剪下來的線比他還長（教師又為幼兒提供了許多大小相同的白紙）？幼兒的興趣再一次激發(fā)，雖然有的幼兒再次剪下來的紙條還是比最長的短，但就在這剪剪、玩玩、比比中，最終找到了答案。

其實，引導(dǎo)幼兒探索時不但不宜急于將答案全盤托出，而且也不宜急于否定或肯定幼兒提出的問題。教師要充分肯定他們的不同想法，即使幼兒提出的見解是錯誤的，也要提供機(jī)會讓幼兒自己認(rèn)識錯誤，放手讓他們大膽嘗試，求新、求異。

5、相互滲透，促進(jìn)幼兒的全面發(fā)展

《幼兒園指導(dǎo)綱要》指出：幼兒的發(fā)展是整體的、全面的，幼兒教育應(yīng)注意整體性和全面性。

在兒童生活的周圍環(huán)境中，各種知識都是相互聯(lián)系滲透的，為此我們在注重教學(xué) 模式的探討研究的同時，還注重將數(shù)學(xué)內(nèi)容滲透到一日生活和各領(lǐng)域間。表現(xiàn)為整理玩具時啟發(fā)幼兒思考如何分類、排序；在游戲活動時，把數(shù)、量、形等內(nèi)容有機(jī)的融入；在各種棋類玩耍時，復(fù)習(xí)有關(guān)加減運算、互逆守恒等知識；在體育游戲時，復(fù)習(xí)上、下、前、后等空間方位知識；在繪畫、剪貼、泥塑活動時，結(jié)合已有的數(shù)學(xué)知識，準(zhǔn)確辯認(rèn)物體的形狀、大小、比例，創(chuàng)造出好的作品；在語言活動時，把枯燥的數(shù)字編入兒歌、故事中。如：我園中班幼兒創(chuàng)編的“數(shù)數(shù)歌”：你數(shù)1，我數(shù)1，1輛小車推推；你數(shù)2，我數(shù)2，2只車輪滾滾；你數(shù)3，我數(shù)3，3只氣球圓圓……等。進(jìn)一步促進(jìn)幼兒的全面發(fā)展。

七、課題研究的成效

兩年的課題研究，使我們在研究中學(xué)習(xí)、在學(xué)習(xí)中實踐、在實踐中思考、在思考中提升，獲得了較為豐碩的研究成果。不僅促進(jìn)了幼兒的發(fā)展，而且也使我園的教育質(zhì)量有了進(jìn)一步的提高，贏得了社會的肯定和家長的信任。

（一）建構(gòu)了“從形入手 數(shù)形結(jié)合”這一新的數(shù)學(xué)教學(xué)模式（如圖）

（二）理論與實踐聯(lián)系得更緊密

兩年來，在先進(jìn)教育理念與實踐的反復(fù)探索中，我們逐步擴(kuò)大了數(shù)學(xué)教育研究的 范圍，不僅使教學(xué)目標(biāo)更貼近幼兒原有的基礎(chǔ)；教學(xué)內(nèi)容更豐富；活動形式更加多樣有創(chuàng)意；環(huán)境創(chuàng)設(shè)更體現(xiàn)幼兒的參與性和班級的個性，并設(shè)計了大量的操作材料和數(shù)學(xué)游戲活動，讓理論與實踐聯(lián)系得更緊密。

由于突出幼兒數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生活化、操作化、游戲化，重視教師的自主創(chuàng)新，在探索新模式的過程中，使教育理論得以進(jìn)一步內(nèi)化，提出了教育教學(xué)中的三條原則、五個注重和六個不要。

1、三條原則：

①教是為了不教，教不是單純地教知識，而是教幼兒會主動獲取知識，學(xué)會學(xué)習(xí)。

②扶是為了不扶，幫助而不代替。

③導(dǎo)是為了不導(dǎo)，不斷提高幼兒的學(xué)習(xí)能力。

2、五注重：

①注重現(xiàn)實，從現(xiàn)實中來，并幫助幼兒實現(xiàn)。②注重優(yōu)勢，善于發(fā)現(xiàn)幼兒優(yōu)長，善待幼兒。

③注重過程，研究活動過程藝術(shù)，活動的過程就是教育。④注重方法，探索教學(xué)方法的科學(xué)，用正確的方法引出好效果。⑤注重效果，沒有效果的教育不是高質(zhì)量的教育。

3、六不要：

①不要簡單否定孩子的想法。②不要對孩子有固定的看法。③不要說孩子不行。

④不要追求孩子一下子就做得完美（標(biāo)準(zhǔn)）。⑤不要強(qiáng)制孩子一定按照教師的意見做。

⑥不要讓孩子在眾人面前難堪。

（三）大大促進(jìn)了幼兒的發(fā)展

新的教學(xué)模式使數(shù)學(xué)教育活動成為了一種形成態(tài)度、發(fā)展思維、合作意識和探索精神的活動。在后期的測查評估中發(fā)現(xiàn)實驗班幼兒的數(shù)概念發(fā)展水平明顯高于對照班，而且還帶動了相關(guān)技能提高，表現(xiàn)為：

1、邏輯思維能力的發(fā)展

通過課題研究我們發(fā)現(xiàn)幼兒思維的靈活性和創(chuàng)造性有了很大提高。逐步變單向思維，為多項思維、創(chuàng)新思維，學(xué)會從多種角度思考問題，思維的靈活性和創(chuàng)造性增強(qiáng)了。如：在圖形的拼搭中幼兒不僅能拼出小鳥、拖拉機(jī)、機(jī)器人、小狗等上百種物品，還能有效的運用圖形的不同特性和拼搭好的物品進(jìn)行分類、排序、分合等。再如：在一次“玩吸管”學(xué)習(xí)口編應(yīng)用題的活動中，小朋友們有效的利用了吸管的大小、長短、粗細(xì)以及特有的彎曲度，使每個幼兒都參加了創(chuàng)編，且無一雷同，充分表現(xiàn)了幼兒邏輯思維能力的發(fā)展。此外在其他活動中，幼兒也常常好學(xué)、好問，表現(xiàn)出強(qiáng)烈的求知欲望，帶動了觀察力、注意力、記憶力、想象力的全面發(fā)展。

2、主動性的提高

在數(shù)與形的結(jié)合、抽象與直觀的結(jié)合、思維與感知的結(jié)合中，使幼兒接觸到的數(shù)學(xué)不再是枯燥、乏味、抽象的，而是美麗、生動、具體的，使幼兒對數(shù)學(xué)活動表現(xiàn)出濃厚的興趣，學(xué)會了主動探索、積極思考、不斷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，學(xué)習(xí)的主動性大大提高。表現(xiàn)為：①會看。會觀察，能發(fā)現(xiàn)環(huán)境、材料中提供的可以利用的條件，看懂蘊含在材料所提供的解決問題的思路、操作規(guī)則、方法。②會想。不是盲目的做（試誤），而是能建立數(shù)學(xué)問題（任務(wù)）與已有的生活經(jīng)驗，已知的相關(guān)的數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，從已有經(jīng)驗中尋找解決問題的思路、方法。③會做。按照已想出的辦法（假設(shè)），去動手操作（實驗），若行不通，還能另辟蹊徑，找別的方法。

3、良好個性的形成

課題研究使幼兒在搭搭、擺擺、連連、拼拼、剪剪等操作過程中，在積累感性經(jīng)驗的同時體會到了成功的喜悅，無形中增強(qiáng)了幼兒的自尊心、自信心。教學(xué)活動中的師生互動、生生互動，有力的促進(jìn)了幼兒間的互相合作、交往與謙讓。培養(yǎng)了幼兒大膽、開朗的性格及樂意幫助同伴、愿意與人合作的良好品質(zhì)。

4、良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的習(xí)得

通過課題研究和培養(yǎng)，我園幼兒在數(shù)學(xué)活動及其他活動中都能始終保持積極的學(xué)習(xí)熱情，注意力集中，不易受干擾。對數(shù)學(xué)活動興趣濃厚了，求知欲旺盛了，他們愛動腦筋、愛提問題、愛探索，并反映在其他各科教育活動和日常生活、游戲中，愛學(xué)習(xí)將為入小學(xué)乃至終身學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。

（四）教師素質(zhì)的提高

1、更新了教育觀念

在研究過程中，教師與幼兒在活動中的角色發(fā)生了重大的改變，教師成為幼兒數(shù)學(xué)活動中材料的提供者、活動的觀察者、困難的引導(dǎo)者、過程的參與者，教師更關(guān)注的是分析孩子的思維特點和發(fā)展?fàn)顩r，制定系列活動方案，給予幼兒不同的幫助與指導(dǎo)，促進(jìn)不同層次的幼兒在不同水平上的發(fā)展。

2、變備課為備教材

以往備課，教師首先要熟悉、分析教材，找出重點、難點，尋覓與教材相匹配的教具，在教案中寫明整個教學(xué)過程的細(xì)節(jié)?，F(xiàn)在，備課成了為幼兒準(zhǔn)備活動材料，重點是如何根據(jù)不同發(fā)展水平的幼兒需要，提供不同的材料。如何為幼兒提供多種的、豐富的活動材料以及每一種材料本身具有多功能性，使課堂教學(xué)變成了幼兒作用于不同材料的探索活動，逐步實現(xiàn)了變統(tǒng)一要求、統(tǒng)一行動向同一活動、不同要求的轉(zhuǎn)化。

3、增強(qiáng)了整合意識

一直以來我們教改的側(cè)重點是在教學(xué)手段和教學(xué)方法上。課題研究卻使教師的眼光著眼在幼兒的整體發(fā)展和終身學(xué)習(xí)上。使各種有效資源得到了整合。

4、提高了數(shù)學(xué)教學(xué)活動設(shè)計的能力

在研究過程中，要設(shè)計既符合課程目標(biāo)，又適合幼兒的身心發(fā)展的教學(xué)活動，對教師們來說是具有挑戰(zhàn)性的。大家不僅充分發(fā)揮了自己的創(chuàng)造性，而且也發(fā)揚了不怕苦的精神，常常為設(shè)計一個好的活動廢寢忘食，又為創(chuàng)設(shè)出一個孩子喜歡的活動歡欣鼓舞。

5、增強(qiáng)了相互間的交流，提高了科研能力

在實施課題的過程中，課題組成員經(jīng)常一起探討、研究。選擇教材、創(chuàng)編教材、研究教學(xué)計劃、討論觀察記錄、開展教學(xué)評估、進(jìn)行效果分析等等，特別是課題后期更是有許多案頭工作，為此付出了艱辛的勞動，并在不斷磨練中逐漸成長。短短兩年內(nèi)，我園的教學(xué)工作取得了顯著的成績。共撰寫論文40余篇。其中省、市、區(qū)級的獲獎?wù)撐?篇，其中一篇還榮獲了市級二等獎的好成績。并有4個課題分別在市、區(qū)立項，青年教師人才輩出，1名教師在秀城區(qū)首屆“新苗獎”比賽中獲一等獎，大大提高了保教質(zhì)量。

八、問題與思考

兩年的探索與實踐，使我們的研究取得了較好的成效，但在實踐中，我們也發(fā)現(xiàn)了許多不足，主要表現(xiàn)在：

1、教師教育觀念轉(zhuǎn)變落后于教育行為還有不相協(xié)調(diào)的因素，在新理念的貫徹方面還需不斷探索。

2、如何更系列、有序地投放豐富、多變的活動材料。

3、如何更客觀、更全面的評價每位幼兒數(shù)知識發(fā)展情況，使每個幼兒富有個性的發(fā)展。

4、如何進(jìn)一步轉(zhuǎn)變家長的教育觀念，讓家長也投身到教育改革中來，更好的貫徹實施素質(zhì)教育。

總之，幼兒園的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是一門科學(xué)，又是一門藝術(shù)。通過課題研究使我們積累了不少的經(jīng)驗和體會，也使我們吸取了一些教訓(xùn)。我們既認(rèn)識到幼兒數(shù)學(xué)教育模式的重要性，也認(rèn)識到它的艱巨性、復(fù)雜性。為了孩子們的健康成長，我們愿繼續(xù)努力探索，創(chuàng)造出更加完善的幼兒數(shù)學(xué)教育新模式。課題組負(fù)責(zé)人：金穎芬

課題組成員：張京南、張亞明、俞加英、姚 潔 主要參考文獻(xiàn)

1．《學(xué)前兒童數(shù)學(xué)概論》 主編：金浩 華東師范大學(xué)出版社 2000．12 2．《幼兒園數(shù)學(xué)活動指導(dǎo)》 編者：王俊杰 北京地質(zhì)出版社 1998．2 3．《學(xué)前兒童數(shù)學(xué)教育》 主編：金浩 黃瑾 華東師范大學(xué)出版社 1999．3 4．《幼兒園指導(dǎo)綱要（試行）解讀》 教育部基礎(chǔ)教育組織編寫 2002．4 5．《幼兒數(shù)學(xué)新編》主編：鄒兆芳 上海在聯(lián)書店 1996．8 6．《學(xué)前教育文薈》 2000年第5期

第二篇：高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：數(shù)形結(jié)合思想

高考沖刺：數(shù)形結(jié)合

編稿：林景飛

審稿：張揚

責(zé)編：辛文升 熱點分析 高考動向

數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛，不僅在解答選擇題、填空題中顯示出它的優(yōu)越性，而且在解決一些抽象數(shù)學(xué)問題中常起到事半功倍的效果。高考中利用數(shù)形結(jié)合的思想在解決選、填題中十分方便，而在解答題中書寫應(yīng)以代數(shù)推理論證為主，幾何方法可作為思考的方法。數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”，但“以數(shù)解形”在近年高考試題中也得到了加強(qiáng)，其發(fā)展趨勢不容忽視。歷年的高考都有關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想方法的考查，且占比例較大。

知識升華

數(shù)形結(jié)合是通過“以形助數(shù)”（將所研究的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為研究其對應(yīng)的幾何圖形）或“以數(shù)助形”（借助數(shù)的精確性來闡明形的某種屬性），把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來，是解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。它能使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨特的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用。

具體地說，數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問題；或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論。

選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過程，就某些題目而言，這給學(xué)生創(chuàng)造了靈活運用數(shù)形結(jié)合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運用數(shù)形結(jié)合思想時，要注意輔之以嚴(yán)格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴(yán)密的。1．高考試題對數(shù)形結(jié)合的考查主要涉及的幾個方面：

（1）集合問題中Venn圖（韋恩圖）的運用；

（2）數(shù)軸及直角坐標(biāo)系的廣泛應(yīng)用；

（3）函數(shù)圖象的應(yīng)用；

（4）數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式幾何意義的應(yīng)用；

（5）解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結(jié)合。

2．運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：

（1）等價性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系所帶來的負(fù)面效應(yīng)；

（2）雙方性原則。既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進(jìn)行幾何分

析容易出錯；

（3）簡單性原則。不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；

二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變

量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應(yīng)設(shè)法選擇動直線與定二次曲線為佳。

3．進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的信息轉(zhuǎn)換，主要有三個途徑：

（1）建立坐標(biāo)系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動，以動求解，如解析幾何；

（2）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象求解；

（3）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。4．常見的“以形助數(shù)”的方法有：

（1）借助于數(shù)軸、文氏圖，樹狀圖，單位圓；

（2）借助于函數(shù)圖象、區(qū)域(如線性規(guī)劃)、向量本身的幾何背景；

（3）借助于方程的曲線，由方程代數(shù)式，聯(lián)想其幾何背景，并用幾何知識解決問題，如點，直線，斜

率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關(guān)系等，對解決代數(shù)問題都有重要作用，應(yīng)充分予

以重視。

5．常見的把數(shù)作為手段的數(shù)形結(jié)合：

主要體現(xiàn)在解析幾何中，歷年高考的解答題都有這方面的考查.經(jīng)典例題透析

類型一：利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題 1．(2010全國Ⅰ·理)已知函數(shù)a+2b的取值范圍是

A．

解析：畫出

由題設(shè)有，B．的示意圖.，若，且，則

C．

D．

∴，令，則

∵

∴，∴ 在，.上是增函數(shù).∴

舉一反三：

【變式1】已知函數(shù)

.選C.在0≤x≤1時有最大值2，求a的值。

解析：∵

∴拋物線，的開口向下，對稱軸是，如圖所示：

（1）

（2）

（3）

（1）當(dāng)a＜0時，如圖（1）所示，當(dāng)x=0時，y有最大值，即

∴1―a=2。即a=―1，適合a＜0。

（2）當(dāng)0≤a≤1時，如圖（2）所示，當(dāng)x=a時，y有最大值，即

。

∴a―a+1=2，解得

2。

∵0≤a≤1，∴不合題意。

（3）當(dāng)a＞1時，如圖（3）所示。

當(dāng)x=1時，y有最大值，即

綜合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

【變式2】已知函數(shù)

（Ⅰ）寫出

（Ⅱ）設(shè)的單調(diào)區(qū)間；，求

在[0，a]上的最大值。

?！郺=2。

解析：

如圖：

（1）的單調(diào)增區(qū)間：

，；單調(diào)減區(qū)間：（1，2）

時。

（2）當(dāng)a≤1時，當(dāng)

當(dāng)

【變式3】已知

()

（1）若，在上的最大值為，最小值為，求證：；

（2）當(dāng)]時，都

，時，對于給定的負(fù)數(shù)，有一個最大的正數(shù)，使得x∈[0，有|f(x)|≤5，問a為何值時，M(a)最大？并求出這個最大值。

解析：

（1）若a=0，則c=0，∴f(x)=2bx

當(dāng)-2≤x≤2時，f(x)的最大值與最小值一定互為相反數(shù)，與題意不符合，∴a≠0；

若a≠0，假設(shè)，∴區(qū)間[-2,2]在對稱軸的左外側(cè)或右外側(cè)，∴f(x)在[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，（這是不可能的）

（2）當(dāng)，時，∵，所以，（圖1）

（圖2）

(1)當(dāng)

所以

即是方程，時（如圖1），則的較小根，即

(2)當(dāng)

所以

即是方程，時（如圖2），則的較大根，即

（當(dāng)且僅當(dāng)

時，等號成立），由于，因此當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值

類型二：利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程中的參數(shù)問題 2．若關(guān)于x的方程有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍。

思路點撥：將方程的左右兩邊分別看作兩個函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關(guān)系后求解，可簡化運算。

解析：畫出

和的圖象，當(dāng)直線過點，即時，兩圖象有兩個交點。

又由當(dāng)曲線

與曲線

相切時，二者只有一個交點，設(shè)切點

又直線，則過切點，即，得，解得切點，∴當(dāng)時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，即方程有兩個不等實根。

誤區(qū)警示：作圖時，圖形的相對位置關(guān)系不準(zhǔn)確，易造成結(jié)果錯誤。

總結(jié)升華：

1．解決這類問題時要準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域。

2．用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達(dá)式（有時可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩

個函數(shù)的圖象，由圖求解。

3．在運用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點：

①要準(zhǔn)確理解一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；

②要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；

③要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；

④精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，便于問題求解.舉一反三：

【變式1】若關(guān)于x的方程在（－1，1）內(nèi)有1個實根，則k的取值范圍是。

解析：把方程左、右兩側(cè)看作兩個函數(shù)，利用函數(shù)圖象公共點的個數(shù)來確定方程根的個數(shù)。

設(shè)（x∈－1，1）

如圖：當(dāng)內(nèi)有1個實根。

或時，關(guān)于x的方程在（－1，1）

【變式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范圍及這兩個實根的和。

有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的解析：將原方程

與直線

轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象

有兩個不同的交點時，求a的范圍及α+β的值。

設(shè)，在同一坐標(biāo)中作出這兩個函數(shù)的圖象

由圖可知，當(dāng)

或

時，y1與y2的圖象有兩個不同交點，即對應(yīng)方程有兩個不同的實數(shù)根，若，設(shè)原方程的一個根為，則另一個根為.∴.若，設(shè)原方程的一個根為，則另一個根為，∴.所以這兩個實根的和為或.且由對稱性可知，這兩個實根的和為或。

類型三：依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，賦予式子恰當(dāng)?shù)膸缀我饬x，數(shù)形結(jié)合解答

3．(北京2010·理)如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動，設(shè)頂點，則函數(shù)的最小正周期為________；

在其兩個相鄰的軌跡方程是零點間的圖象與x軸所圍成的區(qū)域的面積為________.解析：為便于觀察，不妨先將正方形PABC向負(fù)方向滾動，使P點落在x軸上的點，此點即是函數(shù)的一個零點（圖1）.（一）以A為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時頂點B位于x軸上，頂點P畫出了A為圓心，1為半徑的個圓周（圖2）；

（二）繼續(xù)以B為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時頂點C位于x軸上，頂點P畫出B為圓心，為半徑的個圓周（圖3）；

（三）繼續(xù)以C為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時，頂點P位于x軸上，為點，它畫出了C為圓心，1為半徑的個圓周（圖4）.為又一個零點.∴ 函數(shù)的周期為4.相鄰兩個零點間的圖形與x軸圍成的圖形由兩個半徑為1的圓、半徑為的圓和兩個直角邊長為1的直角三角形，其面積是

.舉一反三：

2【變式1】已知圓C：(x+2)+y=1，P（x，y）為圓C上任一點。

（1）求的最大、最小值；

（2）求的最大、最小值；

（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：聯(lián)想所求代數(shù)式的幾何意義，再畫出草圖，結(jié)合圖象求解。

（1）

表示點（x，y）與原點的距離，由題意知P（x，y）在圓C上，又C（―2，0），半徑r=1。

∴|OC|=2。的最大值為2+r=2+1=3，的最小值為2―r=2―1=1。

（2）表示點（x，y）與定點（1，2）兩點連線的斜率，設(shè)Q（1，2），過Q點作圓C的兩條切線，如圖：

將整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，所以的最大值為，最小值為。

（3）令x―2y=u，則可視為一組平行線系，當(dāng)直線與圓C有公共點時，可求得u的范圍，最值必在直線與圓C相切時取得。這時

∴

。，最小值為

。，∴x―2y的最大值為

【變式2】求函數(shù)

解析：的最小值。

則y看作點P（x，0）到點A（1，1）與B（3，2）距離之和

如圖，點A（1，1）關(guān)于x軸的對稱點A＇（1，－1），則 即為P到A，B距離之和的最小值，∴

【變式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則值范圍是（）

2的取

A．

B．或

C．

D．或

解析：如圖

由題知方程的根，一個在（0，1）之間，一個在（1，2）之間，則，即

下面利用線性規(guī)劃的知識，則斜率

可看作可行域內(nèi)的點與原點O（0，0）連線的 則，選C。

第三篇：初中數(shù)學(xué)——數(shù)形結(jié)合思想(初二)

數(shù)形結(jié)合思想

“數(shù)（代數(shù)）”與“形（幾何）”是中學(xué)數(shù)學(xué)的兩個主要研究對象，而這兩個方面是緊密聯(lián)系的．體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中，包括“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”兩個方面．“數(shù)”與“形”好比數(shù)學(xué)的“左右腿”．全面理解數(shù)與形的關(guān)系，就要從“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”這兩個方面來體會．此外還應(yīng)該注意體會“數(shù)”與“形”各自的優(yōu)勢與局限性，相互補充．“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非．”華羅庚的這四句詩很好地總結(jié)了“數(shù)形結(jié)合、優(yōu)勢互補”的精要，“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要的地位．

一、以數(shù)助形

要在解題中有效地實現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”，最好能夠明確“數(shù)”與“形”常見的結(jié)合點，從“以數(shù)助形”角度來看，主要有以下兩個結(jié)合點：（1）利用數(shù)軸、坐標(biāo)系把幾何問題代數(shù)化（在高中我們還將學(xué)到用“向量”把幾何問題代數(shù)化）；（2）利用面積、距離、角度等幾何量來解決幾何問題，例如：利用勾股定理證明直角、利用三角函數(shù)研究角的大小、利用線段比例證明相似等． 例

1、如圖，在正△ABC的三邊AB、BC、CA上分別有點D、E、F.若DE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)D⊥AB同時成立，求點D在AB上的位置.例

2、如圖，△ABC三邊的長分別是BC=17，CA=18，AB=19.過△ABC內(nèi)的點P向△ABC 的三邊分別作垂線PD、PE、PF（D、E、F為垂足）.若

BD?CE?AF?27.求：BD?BF的長.例

3、已知?ABC的三邊長分別為m?n、2mn及m?n（m、n為正2222整數(shù)，且 m?n）。求?ABC的面積（用含m、n的代數(shù)式表示）。

【海倫公式：如果一個三角形的三邊長分別是a，b，c，設(shè)p?a?b?c

2，則S?】 p(p?a)(p?b)(p?c)。

例

4、將如圖的五個邊長為1的正方形組成的十字形剪拼成一個正方形．

例

5、如圖，?ABC是一塊銳角三角形余料，邊AD?80毫米，BC?120毫 米，要把它加工成一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個定點分

別在AB,AC上，設(shè)該矩形的長QM?y毫米，寬MN?x毫米．當(dāng)x與y

分別取什么值時，矩形PQMN的面積最大？最大面積是多少？

例

6、如圖,點P是矩形ABCD內(nèi)一點，PA?3，PB=4，PC=5，求PD的長．

二、以形助數(shù)

幾何圖形在數(shù)學(xué)中所具有的最大的優(yōu)勢就是直觀易懂，所以在談到“數(shù)形結(jié)合”思想時，就更偏好于“以形助數(shù)”的方法，利用幾何圖形解決相關(guān)不易求解的代數(shù)問題。幾何圖形直觀的運用于代數(shù)中主要體現(xiàn)在幾個方面：

（1）利用相關(guān)的幾何圖形幫助記憶代數(shù)公式，例如：完全平方公式與平方差公式；

（2）利用數(shù)軸及平面直角坐標(biāo)系將一些代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意義，通過構(gòu)造幾何圖形，進(jìn)而幫

助求解相關(guān)的代數(shù)問題，或者簡化相關(guān)的代數(shù)運算。

例

1、在等腰?ABC中,AB?AC?5,BC?6,P是底邊上任一點,求P到兩腰的距離的和． 例

2、已知a、b均為正數(shù)，且a?b?2。求a2?4?b2?1的最小值。

例

3、若將數(shù)軸折疊，使得A點與－2表示的點重合，若數(shù)軸上M、N兩點之間的距離為2012(M在N的左側(cè))，且M、N兩點經(jīng)過折疊后互相重合，則M、N兩點表示的數(shù)分別是：M:N:

例

4、數(shù)軸上標(biāo)出若干個點，每相鄰兩點相距一個單位，點A，B，C，D分別表示整數(shù)a，b，c，d，且d－2a＝10，則原點在（）的位置

A.點AB.點BC.點CD.點D

??x－a＞0例

5、已知關(guān)于x的不等式組?的整數(shù)解共有2個，則a的取值范圍是___________． ?2－x＞0?

例

6、如圖一根木棒放在數(shù)軸上，木棒的左端與數(shù)軸上的點A重合，右端與點B重合．

(1)若將木棒沿數(shù)軸向右水平移動，則當(dāng)它的左端移動到B點時，它的右端在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為20；

若將木棒沿數(shù)軸向左水平移動，則當(dāng)它的右端移動到A點時，則它的左端在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為5（單位：cm），由此可得到木棒長為．

(2)由題(1)的啟發(fā)，請你能借助“數(shù)軸”這個工具幫助小紅解決下列問題:

一天，小紅去問曾當(dāng)過數(shù)學(xué)老師現(xiàn)在退休在家的爺爺?shù)哪挲g，爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)125歲，是老壽星了，哈哈！”，請求出爺爺現(xiàn)在多少歲了？

1例

7、如圖，圖①是一塊邊長為1，周長記為P1的正三角形紙板，沿圖①的正2

三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一

1塊被剪掉正三角形紙板邊長的）后，得圖③，④，?，記第n(n≥3)塊紙板的周長為Pn，則Pn2

－Pn－1

?

①②③④

第四篇：初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)數(shù)形結(jié)合談數(shù)軸

數(shù)形結(jié)合談數(shù)軸

一、閱讀與思考

數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形的學(xué)科，在數(shù)學(xué)里數(shù)和形是有密切聯(lián)系的。我們常用代數(shù)的方法來處理幾何問題；反過來，也借助于幾何圖形來處理代數(shù)問題，尋找解題思路，這種數(shù)與形之間的相互作用叫數(shù)形結(jié)合，是一種重要的數(shù)學(xué)思想。

運用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的有力工具，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1、利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；

2、利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；

3、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大??；

4、利用數(shù)軸解決與絕對值相關(guān)的問題。

二、知識點反饋

1、利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；

例1：已知有理數(shù)在數(shù)軸上原點的右方，有理數(shù)在原點的左方，那么（）

A．

B．

C．

D．

拓廣訓(xùn)練：

1、如圖為數(shù)軸上的兩點表示的有理數(shù)，在中，負(fù)數(shù)的個數(shù)有（）

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

A．1

B．2

C．3

D．43、把滿足中的整數(shù)表示在數(shù)軸上，并用不等號連接。

2、利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；

例2：如果數(shù)軸上點A到原點的距離為3，點B到原點的距離為5，那么A、B兩點的距離為。

拓廣訓(xùn)練：

1、在數(shù)軸上表示數(shù)的點到原點的距離為3，則

2、已知數(shù)軸上有A、B兩點，A、B之間的距離為1，點A與原點O的距離為3，那么所有滿足條件的點B與原點O的距離之和等于

。（北京市“迎春杯”競賽題）

3、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小；

例3：已知且，那么有理數(shù)的大小關(guān)系是

。（用“”號連接）（北京市“迎春杯”競賽題）

拓廣訓(xùn)練：

1、若且，比較的大小，并用“”號連接。

例4：已知比較與4的大小

拓廣訓(xùn)練：

1、已知，試討論與3的大小

2、已知兩數(shù)，如果比大，試判斷與的大小

4、利用數(shù)軸解決與絕對值相關(guān)的問題。

例5：

有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子化簡結(jié)果為（）

A．

B．

C．

D．

拓廣訓(xùn)練：

1、有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果為。

2、已知，在數(shù)軸上給出關(guān)于的四種情況如圖所示，則成立的是。

①

②

③

④

3、已知有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)的位置如下圖：則化簡后的結(jié)果是（）

（湖北省初中數(shù)學(xué)競賽選撥賽試題）

A．

B．

C．

D．

三、培優(yōu)訓(xùn)練

1、已知是有理數(shù)，且，那以的值是（）

A．

B．

C．或

D．或

0

A

B

C2、（07樂山）如圖，數(shù)軸上一動點向左移動2個單位長度到達(dá)點，再向右移動5個單位長度到達(dá)點．若點表示的數(shù)為1，則點表示的數(shù)為（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

3、如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個點，每相鄰兩點相距1個單位，點A、B、C、D對應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)且，那么數(shù)軸的原點應(yīng)是（）

A．A點

B．B點

C．C點

D．D點

4、數(shù)所對應(yīng)的點A，B，C，D在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么與的大小關(guān)系是（）

A．

B．

C．

D．不確定的5、不相等的有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點分別為A，B，C，若，那么點B（）

A．在A、C點右邊

B．在A、C點左邊

C．在A、C點之間

D．以上均有可能

6、設(shè)，則下面四個結(jié)論中正確的是（）（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）

A．沒有最小值

B．只一個使取最小值

C．有限個（不止一個）使取最小值

D．有無窮多個使取最小值

7、在數(shù)軸上，點A，B分別表示和，則線段AB的中點所表示的數(shù)是。

8、若，則使成立的的取值范圍是。

9、是有理數(shù)，則的最小值是。

10、已知為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示：

且求的值。

11、（南京市中考題）(1)閱讀下面材料：

點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)，A、B兩點這間的距離表示為，當(dāng)A、B兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)點A在原點，如圖1，；當(dāng)A、B兩點都不在原點時，①如圖2，點A、B都在原點的右邊；

②如圖3，點A、B都在原點的左邊；

③如圖4，點A、B在原點的兩邊。

綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離。

（2）回答下列問題：

①數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離是；

②數(shù)軸上表示和-1的兩點A和B之間的距離是，如果，那么為；

③當(dāng)代數(shù)式取最小值時，相應(yīng)的的取值范圍是；

④求的最小值。

第五篇：小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)思想

小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)思想

一、數(shù)形結(jié)合教學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用

數(shù)形結(jié)合作為一種教學(xué)思想方法，一般包含兩方面內(nèi)容，一個方面是“以形助數(shù)”，另一個方面的內(nèi)容是“以數(shù)解形”。下面介紹這兩個方面的內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用。

（一）以形助數(shù)

所謂“以形助數(shù)”，是指老師在講解某些數(shù)學(xué)知識的時候，僅靠數(shù)字講解學(xué)生不太能理解，借助幾何圖形的特點，將所要講的知識點更直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前，從而將抽象化的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w化的問題。學(xué)生在學(xué)習(xí)行程問題的應(yīng)用題時，可以運用圖形的辦法清晰地展現(xiàn)問題。如：一輛汽車從甲地開往乙地，先是經(jīng)過上坡路，然后是平地，最后是下坡路，汽車上坡速度是每小時20千米，在平地的速度是每小時30千米，而下坡的速度則是每小時40千米，汽車從甲地到乙地一共上坡花了6小時，平地花了2小時，下坡花了4小時。請問汽車從乙地到甲地需要多長時間？在這道題中，既存在變量，又存在不變量。變量就是上坡路和下坡路隨著汽車行駛的方向而發(fā)生改變，當(dāng)汽車從乙地到甲地行駛時，原先的上坡路變成了下坡路，原先的斜坡路變成了上坡路。而不變量就是這兩個路程汽車行駛的速度都是始終不變的。那么在解決問題的時候，就可以直觀地展現(xiàn)出來。先算出汽車從乙地到甲地的上坡時間，即（40×4）÷20=8（小時），然后算出下坡所花費的時間，即（20×6）÷40=3（小時），而平地所花費的時間是不變的，所以汽車從乙地到甲地所花費的時間是8+3+2=13（小時）。在這道題中，運用圖像將數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系、運算都直觀地展現(xiàn)出來，學(xué)生比較易于理解，這樣的教學(xué)可以在很大程度上提高教學(xué)效率。

（二）以數(shù)解形

雖然圖形可以更加直觀地展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，但是對于一些幾何圖形，特別是小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何圖形來講，非常簡單，如果僅僅是通過直接觀察反而看不出規(guī)律，這時就可以運用“以數(shù)解形”的方式教學(xué)。比如老師在講解“平行四邊形的特征”一課時，很多學(xué)生通過學(xué)習(xí)，對概念性的東西已經(jīng)非常了解，但是在具體的情況下又不能真正把握清楚，老師在教學(xué)過程中就可以通過對四邊形進(jìn)行賦值，讓學(xué)生更深刻地理解和把握。比如給出三組數(shù)字：（1）6，5，3，7（2）7，5，5，7（3）8，6，4，6在這三組數(shù)字中，讓學(xué)生選擇平行四邊形。那么學(xué)生理解了平行四邊形的概念，即兩組對邊要平行且相等，通過比較分析，知道只有第二組數(shù)字符合平行四邊形的概念。因此，在這樣的教學(xué)中應(yīng)該充分運用“數(shù)”與“形”的特點，幫助學(xué)生更快地掌握知識要點。

二、在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合教學(xué)思想需要注意的問題

（一）注意培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合方法的習(xí)慣

老師在小學(xué)數(shù)學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行教學(xué)，幫助學(xué)生更好地理解知識點，同時要注意培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合方法解決數(shù)學(xué)題的習(xí)慣。小學(xué)生在平時的做題過程中，常常會忘了使用“數(shù)形結(jié)合”方法，有的還不會。因此，老師在平時的教學(xué)中，一定要培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成運用數(shù)形結(jié)合方法的好習(xí)慣。針對不同的年齡段學(xué)生，采用不同的方法，比如低年級學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生在生活中找實物，高年級的學(xué)生則學(xué)會簡單的畫圖等，讓學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合的思想。

（二）數(shù)形結(jié)合要注意利用多媒體技術(shù) 多媒體的發(fā)展已經(jīng)迅速蔓延到教學(xué)領(lǐng)域，對于比較難懂的知識點，老師要借助多媒體技術(shù)實施教學(xué)。因為多媒體技術(shù)可以移動圖像，當(dāng)碰到需要運用想象思維的時候，可以在多媒體中進(jìn)行展示。

三、結(jié)語

在小學(xué)數(shù)學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合教學(xué)思想，可以有效提高課堂教學(xué)效率，幫助學(xué)生更快地理解知識點。教師應(yīng)根據(jù)不同情況，綜合運用“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”這兩種不同方式，取得更好的教學(xué)效果。

作者：季利明 工作單位：赤峰市元寶山區(qū)元寶山鎮(zhèn)馬林小學(xué)