第一篇：高一數(shù)學(xué)正余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)1

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4.8正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）

教學(xué)目的：

1．理解并掌握作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的方法．

2．理解并熟練掌握用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)簡(jiǎn)圖的方法．

3．理解并掌握用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象解最簡(jiǎn)單的三角不等式的方法． 教學(xué)重點(diǎn)：用單位圓中的正弦線作正弦函數(shù)的圖象． 教學(xué)難點(diǎn)：用單位圓中的余弦線作余弦函數(shù)的圖象． 教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1． 弧度定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角。

2.正、余弦函數(shù)定義：設(shè)?是一個(gè)任意角，在?的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）

P與原點(diǎn)的距離r(r?則比值 比值yrxrx2?y2?x?y22?0)

P(x,y)r叫做?的正弦 記作： sin??叫做?的余弦 記作： cos??yrxr

?3.正弦線、余弦線：設(shè)任意角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為M，則有

sin??yr?MP，cos??xr?OM

向線段MP叫做角α的正弦線，有向線段OM叫做角α的余弦線．

二、講解新課：

1． 用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（幾何法）：為了作三角函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的自變量要用弧度制來(lái)度量，使自變量與函數(shù)值都為實(shí)數(shù)．在一般情況下，兩個(gè)坐標(biāo)軸上所取的單位長(zhǎng)度應(yīng)該相同，否則所作曲線的形狀各不相同，從而影響初學(xué)者對(duì)曲線形狀的正確認(rèn)識(shí)．（1）正弦函數(shù)y=sinx的圖象（結(jié)合課件第二頁(yè)“離散點(diǎn)”，第三頁(yè)“反射法”講解）第一步：在直角坐標(biāo)系的x軸上任取一點(diǎn)O1，以O(shè)1為圓心作單位圓，從這個(gè)圓與x軸的交點(diǎn)A起把圓分成n(這里n=12)等份.把x軸上從0到2π這一段分成n(這里n=12)等份.（預(yù)備：取自變量x值—弧度制下角與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)）.第二步：在單位圓中畫(huà)出對(duì)應(yīng)于角0,?6，?3，?2,?，2π的正弦線正弦線（等價(jià)于“列表”）.把角x的正弦線向右平行移動(dòng)，使得正弦線的起點(diǎn)與x軸上相應(yīng)的點(diǎn)x重合，則正弦線的終點(diǎn)就是正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn)（等價(jià)于“描點(diǎn)”）.第三步：連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連結(jié)起來(lái)，就得到正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象．

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根據(jù)終邊相同的同名三角函數(shù)值相等，把上述圖象沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動(dòng)，每次移動(dòng)的距離為2π，就得到y(tǒng)=sinx，x∈R的圖象.把角x(x?R)的正弦線平行移動(dòng)，使得正弦線的起點(diǎn)與x軸上相應(yīng)的點(diǎn)x重合，則正弦線的終點(diǎn)的軌跡就是正弦函數(shù)y=sinx的圖象.（課件第二頁(yè)“正弦曲線”）

（2）余弦函數(shù)y=cosx的圖象

用幾何法作余弦函數(shù)的圖象，可以用“反射法”將角x的余弦線“豎立”[把坐標(biāo)軸向下平移，過(guò)O1作與x軸的正半軸成?4角的直線，又過(guò)余弦線O1A的終點(diǎn)A作x軸的垂線，它與前面所作的直線交于A′，那么O1A與AA′長(zhǎng)度相等且方向同時(shí)為正，我們就把余弦線O1A“豎立”起來(lái)成為AA′，用同樣的方法，將其它的余弦線也都“豎立”起來(lái)．再將它們平移，使起點(diǎn)與x軸上相應(yīng)的點(diǎn)x重合，則終點(diǎn)就是余弦函數(shù)圖象上的點(diǎn)．]（課件第三頁(yè)“反射法”）

也可以用“旋轉(zhuǎn)法”把角 的余弦線“豎立”（把角x 的余弦線O1M按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)億庫(kù)教育網(wǎng)

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?2到O1M1位置，則O1M1與O1M長(zhǎng)度相等，方向相同.）（課件第三頁(yè)“旋轉(zhuǎn)法”）

根據(jù)誘導(dǎo)公式cosx?sin(x??2),還可以把正弦函數(shù)

x=sinx的圖象向左平移

?2單位即得余弦函數(shù)y=cosx的圖象.（課件第三頁(yè)“平移曲線”）

yy=sinx 1o-4?-3??3?-6?-5?-?4?5?-2?2?6?x-1

y y=cosx1

?-?-5?-3?3?4?5?-4?2?-6?-2?6?x-1

正弦函數(shù)y=sinx的圖象和余弦函數(shù)y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線． 2．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖（描點(diǎn)法）：

正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：

(0,0)(?2,1)(?,0)(?23?2,-1)(2?,0)

3?2余弦函數(shù)y=cosx

x?[0,2?]的五個(gè)點(diǎn)關(guān)鍵是

(0,1)(,0)(?,-1)(,0)(2?,1)只要這五個(gè)點(diǎn)描出后，圖象的形狀就基本確定了．因此在精確度不太高時(shí)，常采用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，要求熟練掌握．

三、講解范例：

例1 作下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖

(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，(2)y=|sinx|，（3）y=sin|x|

例2 用五點(diǎn)法作函數(shù)y?2cos(x?12?3),x?[0,2?]的簡(jiǎn)圖.例3 分別利用函數(shù)的圖象和三角函數(shù)線兩種方法，求滿足下列條件的x的集合：

四、作業(yè)：習(xí)題4.8 1.8.《優(yōu)化設(shè)計(jì)》P34 強(qiáng)化訓(xùn)練(1)sinx?;(2)cosx?12,(0?x?5?2).億庫(kù)教育網(wǎng)

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第二篇：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)教案

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)

一、學(xué)情分析:

1、學(xué)習(xí)過(guò)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)；

2、學(xué)習(xí)過(guò)周期函數(shù)的定義；

3、學(xué)習(xí)過(guò)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)?0,2??上的圖象。

二、教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)目標(biāo)：

1、正弦函數(shù)的性質(zhì)；

2、余弦函數(shù)的性質(zhì)； 能力目標(biāo)：

1、能夠利用函數(shù)圖象研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)；

2、會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 德育目標(biāo)：

滲透數(shù)形結(jié)合思想和類比學(xué)習(xí)的方法。

三、教學(xué)重點(diǎn)

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

四、教學(xué)難點(diǎn)

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)的理解與簡(jiǎn)單應(yīng)用

五、教學(xué)方法

通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，從而發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)，加深對(duì)性質(zhì)的理解。（啟發(fā)誘導(dǎo)式）

六、教具準(zhǔn)備

多媒體課件

七、教學(xué)過(guò)程

1、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

(1)我們是從哪個(gè)角度入手來(lái)研究指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的？(2)正弦、余弦函數(shù)的圖象在?0,2??上是什么樣的？

2、講授新課

（1）正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)（由教師講解）

通過(guò)多媒體課件展示出正弦函數(shù)在??2?,2??內(nèi)的圖象，利用函數(shù)圖象探究函數(shù)的性質(zhì)：

ⅰ 定義域

正弦函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R ⅱ 值域

從圖象上可以看到正弦曲線在??1,1?這個(gè)范圍內(nèi)，所以正弦函數(shù)的值域是??1,1? ⅲ 單調(diào)性

結(jié)合正弦函數(shù)的周期性和函數(shù)圖象，研究函數(shù)單調(diào)性，即：

????在2k,2 k ? ?(k上是增函數(shù)；

?

?

?

?

?

Z)

22??2k

在?

?

?

,2 k ? ?

?(k ?

Z)上是減函數(shù)；

?22???3??ⅳ 最值

觀察正弦函數(shù)圖象，可以容易發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)的圖象與虛線的交點(diǎn)，都是函數(shù)的最值點(diǎn)，可以得出結(jié)論：

當(dāng)

x ?k ?

?

,k

? Z 時(shí)，y max

?

1當(dāng)

x ?k ? ?,k

時(shí)，y min

? ? 1

? Z2??2

ⅴ 奇偶性

正弦函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以正弦函數(shù)的奇函數(shù)。ⅵ 周期性

正弦函數(shù)的圖象呈周期性變化，函數(shù)最小正周期為2?。（2）余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)（由學(xué)生分組討論，得出結(jié)論）

通過(guò)多媒體課件展示出余弦函數(shù)的圖象，由學(xué)生類比正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)進(jìn)行討論，探究余弦函數(shù)的性質(zhì)： ⅰ 定義域

余弦函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R ⅱ 值域

從圖象上可以看到余弦曲線在??1,1?這個(gè)范圍內(nèi)，所以余弦函數(shù)的值域是??1,1? ⅲ 單調(diào)性

結(jié)合余弦函數(shù)的周期性和函數(shù)圖象，研究函數(shù)單調(diào)性，即：

在,2 k ? ?(k

?2 k ?

? ?

?

Z)上是增函數(shù)；

? 2 k?,2 k ? ?

? ?(k ?

Z)上是減函數(shù)；

在ⅳ 最值

觀察余弦函數(shù)圖象，可以容易發(fā)現(xiàn)余弦函數(shù)的圖象與虛線的交點(diǎn)，都是函數(shù)的最值點(diǎn)，可以得出結(jié)論：

min 當(dāng)

x

?k ? , k ?

Z 時(shí)，y max

? 1

當(dāng)

x

? 2 k ?

?

? , k ?

Z 時(shí)，y

?

? 1

ⅴ 奇偶性

余弦函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以余弦函數(shù)的偶函數(shù)。ⅵ 周期性

余弦函數(shù)的圖象呈周期性變化，函數(shù)最小正周期為2?。

3、例題講解：

?例：求函數(shù) y

?

sin（?)的單調(diào)遞增區(qū)間。

x23分析：采用代換法，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求所給函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

1?u 的單調(diào)遞增區(qū)間是 解：令 u

?

x ?

.函數(shù) y

? sin

3[?

?

?k ?, ?

?

2k ?

Z

k ? ],?222?

?x ?? 2由k ?

?

?

k ?,2321???

?得：

5??4k??x??4k?,k?Z.33

??5??x???4k?,?4k?(k?Z)

?)的單調(diào)增區(qū)間是 所以函數(shù)

y ?

sin（?

?3323??

4、練習(xí)：

? 3求函數(shù) y

sin(x ?)的單調(diào)減區(qū)間。

4?k??8,k??8?(k?Z)???

答案：

?

?

?

?

5、小結(jié)：

（1）探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)的基本思路是什么？（2）求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的基本步驟是怎樣的？

6、作業(yè)：

習(xí)題1.4

第4題、第5題

第三篇：正弦函數(shù)余弦函數(shù)圖象教學(xué)設(shè)計(jì)

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容與任務(wù)分析

本節(jié)課的內(nèi)容選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》人教A版必修四第一章第四節(jié)1.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象。本節(jié)課的教學(xué)是以之前的任意角的三角函數(shù)，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的相關(guān)知識(shí)為基礎(chǔ)，為之后學(xué)習(xí)正弦型函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想研究正、余弦函數(shù)的性質(zhì)打下堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)。

二、學(xué)習(xí)者分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，并且剛學(xué)習(xí)三角函數(shù)線，這為用幾何法作圖提供了基礎(chǔ)，但能不能正確應(yīng)用來(lái)畫(huà)圖，這還需要老師做進(jìn)一步的指導(dǎo)。

三、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：正弦余弦函數(shù)圖象的做法及其特征

教學(xué)難點(diǎn)：正弦余弦函數(shù)圖象的做法，及其相互間的關(guān)系

四、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能目標(biāo)

（1）了解用正弦線畫(huà)正弦函數(shù)的圖象,理解用平移法作余弦函數(shù)的圖象

（2）掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象及特征

（3）掌握利用圖象變換作圖的方法，體會(huì)圖象間的聯(lián)系（4）掌握“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖 2.過(guò)程與方法目標(biāo)

（1）通過(guò)動(dòng)手作圖，合作探究，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系（2）體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想

（3）培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力 3.情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)

（1）養(yǎng)成尋找、觀察數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系的意識(shí)（2）激發(fā)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣（3）體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值

五、教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入

師：實(shí)數(shù)集與角的集合之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而確定的角又有著唯一確定的正弦（或余弦）值。

這樣任意給定一個(gè)實(shí)數(shù)x有唯一確定的值sinx（cosx）與之對(duì)應(yīng)，有這個(gè)對(duì)應(yīng)法則所確定的函數(shù)y=sinx(或y=cosx)叫做正弦函數(shù)（或余弦函數(shù)），其定義域是R。

遇到一個(gè)新的函數(shù)，我們很容易想到的就是畫(huà)函數(shù)圖象，那怎么畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象呢？

我們先來(lái)做一個(gè)簡(jiǎn)弦運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)，這就是某個(gè)簡(jiǎn)弦函數(shù)的圖象，通過(guò)實(shí)驗(yàn)是不是對(duì)正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象有了直觀印象呢

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)與其他的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

二、講授新課

（1）正弦函數(shù)y=sinx的圖象

下面我們就來(lái)一起畫(huà)這個(gè)正弦函數(shù)的圖象

第一步：在直角坐標(biāo)系的x軸上任取一點(diǎn)O1，以O(shè)1為圓心作單位圓，從這個(gè)圓與x軸的交點(diǎn)A起把圓分成n(這里n=12)等份.把x軸上從0到2π這一段分成n(這里n=12)等份.（預(yù)備：取自變量x值—弧度制下角與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)）.第二步：在單位圓中畫(huà)出對(duì)應(yīng)于角0,???，,?，2π的正弦線正弦線632（等價(jià)于“列表”）.把角x的正弦線向右平行移動(dòng)，使得正弦線的起點(diǎn)與x軸上相應(yīng)的點(diǎn)x重合，則正弦線的終點(diǎn)就是正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn)（等價(jià)于“描點(diǎn)”）.第三步：連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連結(jié)起來(lái)，就得到正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象．

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)按步驟自己畫(huà)圖，體會(huì)如何畫(huà)正弦函數(shù)的圖象。根據(jù)終邊相同的同名三角函數(shù)值相等，所以函數(shù)y=sinx,x∈[2k∏,2(k+1)∏,k∈Z且k≠0的圖象，與函數(shù)y=sinx，x∈[0,2∏)的圖象的形狀完全一致。于是我們只要將y=sinx，x∈[0,2∏)的圖象沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動(dòng)，每次移動(dòng)的距離為2π，就得到y(tǒng)=sinx，x∈R的圖象.【設(shè)計(jì)意圖】由三角函數(shù)值的關(guān)系，得出正弦函數(shù)的整體圖象。

把角x(x?R)的正弦線平行移動(dòng)，使得正弦線的起點(diǎn)與x軸上相應(yīng)的點(diǎn)x重合，則正弦線的終點(diǎn)的軌跡就是正弦函數(shù)y=sinx的圖象.（2）余弦函數(shù)y=cosx的圖象

探究1：你能根據(jù)誘導(dǎo)公式，以正弦函數(shù)圖象為基礎(chǔ)，通過(guò)適當(dāng)?shù)膱D形變得到余弦函數(shù)的圖象？

??根據(jù)誘導(dǎo)公式cosx?sin(x?),可以把正弦函數(shù)y=sinx的圖象向左平移

單位即得余弦函數(shù)y=cosx的圖象.y1-6?-5?-4?-3?-2?-?o-1y1-6?-5?-4?-3?-2?-?-1?2?3?4?5?6?xy=sinxy=cosx?2?3?4?5?6?x 正弦函數(shù)y=sinx的圖象和余弦函數(shù)y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線．

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互關(guān)系，在類比的過(guò)程中畫(huà)出余弦函數(shù)的圖象，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，以及類比的數(shù)學(xué)思想。思考：在作正弦函數(shù)的圖象時(shí)，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點(diǎn)？ 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題，為下面五點(diǎn)法繪圖方法介紹做鋪墊 2．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖（描點(diǎn)法）： 正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)((3?,-1)(2?,0)2?,1)(?,0)2余弦函數(shù)y=cosx x?[0,2?]的五個(gè)點(diǎn)關(guān)鍵是哪幾個(gè)？(0,1)((3?,0)(2?,1)2?,0)(?,-1)2只要這五個(gè)點(diǎn)描出后，圖象的形狀就基本確定了．因此在精確度不太高時(shí)，常采用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖．

3、講解范例

例1 作下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖

(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，（2）y=-COSx 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)兩道例題檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)五點(diǎn)畫(huà)圖法的掌握情況，鞏固畫(huà)法步驟。

探究1． 如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的圖象，通過(guò)圖形變換（平移、翻轉(zhuǎn)等）來(lái)得到

（1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的圖象；（2）y=sin(x-π/3)的圖象？

小結(jié)：函數(shù)值加減，圖像上下移動(dòng)；自變量加減，圖像左右移動(dòng)。探究2．

如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的圖象，通過(guò)圖形變換（平移、翻轉(zhuǎn)等）來(lái)得到y(tǒng)＝-cosx，ｘ∈〔0，２π〕的圖象？ 小結(jié)：這兩個(gè)圖像關(guān)于X軸對(duì)稱。探究3． 如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的圖象，通過(guò)圖形變換（平移、翻轉(zhuǎn)等）來(lái)得到y(tǒng)＝2-cosx，ｘ∈〔0，２π〕的圖象？

小結(jié)：先作 y=cos x圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形，得到 y＝-cosx的圖象，再將y＝-cosx的圖象向上平移2個(gè)單位，得到 y＝2-cosx 的圖象。探究4．

不用作圖，你能判斷函數(shù)y=sin(x3π/2)= sin[(x-3π/2)+2 π] =sin(x+π/2)=cosx 這兩個(gè)函數(shù)相等，圖象重合。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)四個(gè)探究問(wèn)題，對(duì)畫(huà)圖法以及正弦余弦函數(shù)及其圖象的性質(zhì)有更深刻的認(rèn)識(shí)。

4、小結(jié)作業(yè)

對(duì)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)

【設(shè)計(jì)意圖】在梳理本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)歸納的過(guò)程中進(jìn)一步加深對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象認(rèn)知。培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力，自主構(gòu)建知識(shí)體系。布置分層作業(yè)

基礎(chǔ)題A題，提高題B題

【設(shè)計(jì)意圖】將課堂延伸，使學(xué)生將所學(xué)知識(shí)與方法再認(rèn)識(shí)和升華，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)內(nèi)化。注重學(xué)生的個(gè)體發(fā)展，是每個(gè)層次的學(xué)生都有所進(jìn)步。

第四篇：高一數(shù)學(xué)《正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)(一)》教案

湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案 高一（下）第四章 三角函數(shù)

正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

（一）教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能目標(biāo)

（1）了解正切函數(shù)的圖像特征；（2）初步了解正切函數(shù)的性質(zhì)．

（二）過(guò)程與能力目標(biāo)

了解利用正切和畫(huà)出正切函數(shù)圖像的方法．

（三）情感與態(tài)度目標(biāo)

滲透數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)． 教學(xué)重點(diǎn)

正切函數(shù)圖像的畫(huà)法． 教學(xué)難點(diǎn)

y???2是y?tanx,x?(???,)的圖像的兩條漸近線的理解． 22教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)

1.正切函數(shù)的定義？定義域？

?定義域：x ?k??(k?Z)22.正切函數(shù)是否是一個(gè)周期函數(shù)？若是，最小正周期是多少？ 周 期 ：

?tan(x??)?sin(x??)??sinx?tanx(x?R,且x?k???,k?Z)cos(x??)?cosx2

??y?tanx(x?R,且x?k??,k?Z)的周期為T??(最小正周期)2正切函數(shù)的圖象：

由于正切函數(shù)是周期函數(shù)，且它的最小正周期為π，因此可以考慮先在一個(gè) 周期內(nèi)作出正切函數(shù)的圖象。正切函數(shù)周期的確定：

? 因?yàn)?y?tanx 的定義域?yàn)椋簕x|x?k??,(k?Z)},2

所以可以確定一個(gè)周期為(??,?).??22 作出y?tanx在區(qū)間(?,)上的圖象： 2湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案 高一（下）第四章 三角函數(shù)

?? ???46 ?x?2??

264

根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)

y?tanx(x?R,且x?k???(k?Z))的圖象, 稱“正切曲線”.2

y

3??3??? ?2222

o???x

? 正切曲線是被一組平行直線x?k??(k?Z)所隔開(kāi)的無(wú)窮支曲線組成.2yo正切曲線的性質(zhì)：

定義域值域周期奇偶性單調(diào)性{x|x??2R?k?,k?Z}T??tan(?x)??tanx奇函數(shù)在開(kāi)區(qū)間(??22k?Z內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增?k?,??k?)應(yīng)用：

例1.求函數(shù)y?tan(x?)的定義域.4?湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案 高一（下）第四章 三角函數(shù)

解：令z?x?{z|z??4，那么函數(shù)y?tanz的定義域是

?2?k?,k?Z}.由x?x??4?z??2?k?,可得

?2?k???4??4?k?，??所以函數(shù)y?tan(x?)的定義域是{x|x??k?,k?Z}.44

例2.不通過(guò)求值，比較tan135?與tan138? 的大小.解：?90??135??138??270?，?3?且y?tanx在（，）上為增函數(shù)，22?tan135??tan138?.例3.寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： x?（1）y?tan(?);（2）y?|tanx|.26?x??解：（1）當(dāng)k?????k??(k?Z)

22622?4??x?2k??(k?Z)時(shí)，即2k??33x?y?tan(?)單調(diào)遞增，262?4?,2k??)(k?Z)?所求單調(diào)區(qū)間是(2k??33??tanx,x?(k?,k??)(k?Z)?2（2）?y?|tanx|??

???tanx,x?(k??,k?)(k?Z)2??可知函數(shù)y?|tanx|的單調(diào)遞減區(qū)間為(k??,k?)(k?Z)，單調(diào)遞增區(qū)間為

2?(k?,k??)(k?Z)

2課堂小結(jié)：

1.正切函數(shù)的圖像.2.正切函數(shù)的特征與性質(zhì).作業(yè)：

1．閱讀教材第76～79頁(yè)； 2．教材第80頁(yè)習(xí)題4.10第1、2、4、5題．

第五篇：有理分式函數(shù)的圖象及性質(zhì)

有理分式函數(shù)的圖象及性質(zhì)

【知識(shí)要點(diǎn)】 1．函數(shù)y?

ax?bcx?

d

(c?0,ad?bc)dcdc

（2）值域：{y|y?

（1）定義域：{x|x??單調(diào)區(qū)間為(??,?直線x??

dc,y?

dcacb

x),(?,+?)（4）dc,ac，對(duì)稱中心為點(diǎn)(?)

（5）奇偶性：當(dāng)a?d?0時(shí)為奇函數(shù)。（62．函數(shù)y?ax?

(a?0,b?0)的圖象和性質(zhì)：

（1）定義域：{x|x?0}（2）值域：{y|y?或y?（3）奇偶性：奇函數(shù)（4）單調(diào)性：在區(qū)間+?),(上是增函數(shù)；在區(qū)間0)上是減函數(shù)（5以y軸和直線y?ax為漸近線（6）圖象：如圖所示。

3．函數(shù)y?ax?

b(a?0,b

?0)的圖象和性質(zhì)：

【例題精講】 1．函數(shù)y??

1x?

1的圖象是（）

A

x?1

B

C

x?3x?

2D

x?3x?2

2．函數(shù)y?

A.y?

x?3x?2

2x?

3(x?1)的反函數(shù)是

x?3x?2

（）

(x?1)

(x?2)B.y?

x?2x?a

(x?2)C.y?(x?1)D.y?

3．若函數(shù)f(x)?的圖象關(guān)于直線y?x對(duì)稱，則a的值是（）

A.1B.?1C.2D.?2

2x?1

4．若函數(shù)f(x)?存在反函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

x?aA.a??1B.a?1C.a?

（）

D.a??

5．不等式4x?

A.(?

12,0)?（12

1x的解集為

12)?（12

（）,0)?(0,12),??)B.(-?,?

ax?b,??)C.(?,0)?(0，+?)D.(?

6．已知函數(shù)f(x)?的圖象如圖所示，則a,b,c的大小關(guān)系為2

x?c

A.a?b?cB.a?c?bC.b?a?cD.b?c?a 7．若正數(shù)a、b滿足ab?a?b?3,則ab的取值范圍是_____。8．函數(shù)y?

3xx?

4（）的值域是。的反函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?1,4)成中心對(duì)稱，則實(shí)數(shù)

9．若函數(shù)y?

a?xx?a?

1a?。

10．函數(shù)y?

e?1e?1

x

x的反函數(shù)的定義域是。

11．不等式

2x?1x?

3?1的解集是。

12．函數(shù)y?

x?xx?x?1的值域是。

13．設(shè)f(x)?x?

ax?1,x?[0,+?)。

（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求f(x)的最小值；

（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，判斷f(x)的單調(diào)性，并寫出f(x)的最小值。14．設(shè)函數(shù)f(x)?調(diào)性． BABDAD

331,]9．310．(?1,1)11．x??3或x?412．[?,1)443

213．解：（1）a＝2時(shí)，f（x）＝x＋＝ x＋1＋－1≥22－1，等號(hào)在x＋1＝，x?1x?1x?1

x?ax?b

(a?b?0)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，并證明f(x)在其單調(diào)區(qū)間上的單

7．[9,+?)8．[?

x＝2－1（∵x∈[0，＋∞））時(shí)成立．

（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，設(shè)x1，x2 ∈[0，＋∞），x1＜x2 ． 則f（x2）－ f（x1）＝（x2－x1）＋

ax2?1

－

ax1?1

a

＝（x2－x1）（1－

a

(x1?1)(x2?1)）．

∵ 0＜a＜1，∴

a

(x1?1)(x2?1)

＜1，1－

(x1?1)(x2?1)

＞0，又 x2－x1＞0，于是f（x2）－ f（x1）＝（x2－x1）（1－

a

(x1?1)(x2?1)）＞0，f（x2）＞ f（x1），f（x）是增函數(shù)． 在x＝0時(shí)，f（x）的最小值是a． 14．解：函數(shù)f(x)?

x?ax?b的定義域?yàn)???,?b)?(?b,??)

f(x)在(??,?b)內(nèi)是減函數(shù)，f(x)在(?b,??)內(nèi)也是減函數(shù)

證明

f(x)

在(?b,??)內(nèi)是減函數(shù)

取x1,x2?(?b,??)，且x1?x2，那么

x1?ax1?b

x2?ax2?b

f(x1)?f(x2)?

?

?

(a-b)(x2?x1)(x1?b)(x2?b)

∵a?b?0,x2?x1?0,(x1?b)(x2?b)?0 ∴f(x1)?f(x2)?0 即

f(x)

在(?b,??)內(nèi)是減函數(shù)，同理可證

f(x)

在(??,?b)內(nèi)是減函數(shù)。

淺 說(shuō) 函 數(shù) 的 對(duì) 稱 性

函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，對(duì)稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問(wèn)題之中，而且利用對(duì)稱性往往能更簡(jiǎn)捷地使問(wèn)題得到解決，對(duì)稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。本文擬通過(guò)函數(shù)自身的對(duì)稱性和不同函數(shù)之間的對(duì)稱性這兩個(gè)方面來(lái)探討函數(shù)與對(duì)稱有關(guān)的性質(zhì)。

一、函數(shù)自身的對(duì)稱性探究

定理1.函數(shù) y = f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a ,b)對(duì)稱的充要條件是f(x)+ f(2a－x)= 2b

證明：（必要性）設(shè)點(diǎn)P(x ,y)是y = f(x)圖像上任一點(diǎn)，∵點(diǎn)P(x ,y)關(guān)于點(diǎn)A(a ,b)的對(duì)稱點(diǎn)P‘（2a－x，2b－y）也在y = f(x)圖像上，∴ 2b－y = f(2a－x)即y + f(2a－x)=2b故f(x)+ f(2a－x)= 2b，必要性得證。

（充分性）設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是y = f(x)圖像上任一點(diǎn)，則y0 = f(x0)∵ f(x)+ f(2a－x)=2b∴f(x0)+ f(2a－x0)=2b，即2b－y0 = f(2a－x0)。

故點(diǎn)P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f(x)圖像上，而點(diǎn)P與點(diǎn)P‘關(guān)于點(diǎn)A(a ,b)對(duì)稱，充分性得征。

推論：函數(shù) y = f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的充要條件是f(x)+ f(－x)= 0 定理2.函數(shù) y = f(x)的圖像關(guān)于直線x = a對(duì)稱的充要條件是

f(a +x)= f(a－x)即f(x)= f(2a－x)（證明留給讀者）推論：函數(shù) y = f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是f(x)= f(－x)

定理3.①若函數(shù)y = f(x)圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A(a ,c)和點(diǎn)B(b ,c)成中心對(duì)稱（a≠b），則y = f(x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個(gè)周期。

②若函數(shù)y = f(x)圖像同時(shí)關(guān)于直線x = a 和直線x = b成軸對(duì)稱（a≠b），則y = f(x)

是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個(gè)周期。

③若函數(shù)y = f(x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A(a ,c)成中心對(duì)稱又關(guān)于直線x =b成軸對(duì)稱（a≠

b），則y = f(x)是周期函數(shù)，且4| a－b|是其一個(gè)周期。①②的證明留給讀者，以下給出③的證明： ∵函數(shù)y = f(x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A(a ,c)成中心對(duì)稱，∴f(x)+ f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：

f(2b－x)+ f [2a－(2b－x)] =2c………………（*）又∵函數(shù)y = f(x)圖像直線x =b成軸對(duì)稱，∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：

f(x)= 2c－f [2(a－b)+ x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2(a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b)+ x]代入（**）得：

f(x)= f [4(a－b)+ x],故y = f(x)是周期函數(shù)，且4| a－b|是其一個(gè)周期。

二、不同函數(shù)對(duì)稱性的探究

定理4.函數(shù)y = f(x)與y = 2b－f(2a－x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a ,b)成中心對(duì)稱。定理5.①函數(shù)y = f(x)與y = f(2a－x)的圖像關(guān)于直線x = a成軸對(duì)稱。

②函數(shù)y = f(x)與a－x = f(a－y)的圖像關(guān)于直線x +y = a成軸對(duì)稱。③函數(shù)y = f(x)與x－a = f(y + a)的圖像關(guān)于直線x－y = a成軸對(duì)稱。定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③

設(shè)點(diǎn)P(x0 ,y0)是y = f(x)圖像上任一點(diǎn)，則y0 = f(x0)。記點(diǎn)P(x ,y)關(guān)于直線x－y = a的軸對(duì)稱點(diǎn)為P‘（x1，y1），則x1 = a + y0 , y1 = x0－a，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f(x0)之中得x1－a = f(a + y1)∴點(diǎn)P（x1，y1）在函數(shù)x－a = f(y + a)的圖像上。

同理可證：函數(shù)x－a = f(y + a)的圖像上任一點(diǎn)關(guān)于直線x－y = a的軸對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)y = f(x)的圖像上。故定理5中的③成立。

推論：函數(shù)y = f(x)的圖像與x = f(y)的圖像關(guān)于直線x = y 成軸對(duì)稱。

三、函數(shù)對(duì)稱性應(yīng)用舉例

例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f(10+x)為偶函數(shù)，且f(5－x)= f(5+x),則f(x)一定是（）（第十二屆希望杯高二 第二試題）(A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)(C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)

(B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)(D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

‘

解：∵f(10+x)為偶函數(shù)，∴f(10+x)= f(10－x).∴f(x)有兩條對(duì)稱軸 x = 5與x =10，因此f(x)是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)，∴x =0即y軸也是f(x)的對(duì)稱軸，因此f(x)還是一個(gè)偶函數(shù)。故選(A)

例2：設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y = f(x)、y = g(x)都有反函數(shù)，并且f(x－1)和g(x－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱，若g(5)= 1999，那么f(4)=（）。

（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。

解：∵y = f(x－1)和y = g(x－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱，∴y = g-1(x－2)反函數(shù)是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函數(shù)是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1)= 2 + g(x), ∴有f(5－1)= 2 + g(5)=2001 故f(4)= 2001,應(yīng)選（C）

例3.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)= f(1－x),當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，12

f(x)= －x，則f(8.6)= _________（第八屆希望杯高二 第一試題）

解：∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)∴x = 0是y = f(x)對(duì)稱軸；

又∵f(1+x)= f(1－x)∴x = 1也是y = f(x)對(duì)稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(－0.6)= 0.3

例4.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)= －f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)= x，則f(7.5)=（）(A)0.5

(B)－0.5

(C)1.5

(D)－1.5

解：∵y = f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴點(diǎn)（0，0）是其對(duì)稱中心；

又∵f(x+2)= －f(x)= f(－x)，即f(1+ x)= f(1－x)，∴直線x = 1是y = f(x)對(duì)稱軸，故y = f(x)是周期為2的周期函數(shù)。

∴f(7.5)= f(8－0.5)= f(－0.5)= －f(0.5)=－0.5 故選(B)