第一篇：利用導數(shù)的幾何意義解題

利用導數(shù)的幾何意義解題

函數(shù)y?f(x)在點x0的導數(shù)就是曲線y?f(x)在點（x0，f(x0)處的切線的斜率，這就是導數(shù)的幾何意義．這個導數(shù)的幾何意義在高考中已成為考查的熱點．

１．求函數(shù)的解析式 例１已知函數(shù)f(x)?ax?6的圖像在點Ｍ（－１，f(?1)）處的切線方程為：x2?bx?2y?5?0．求函數(shù)f(x)的解析式．

解：由函數(shù)f(x)?ax?6的圖像在點Ｍ(?1,f(?1))處的切線方程為：x?2y?5?0知x2?b?1?2f(?1)?5?0，即f(?1)??2．

1a(x2?b)?2x(ax?6)/∴Ｍ（－１，－２）且f(?1)??，又f(x)? 222(x?b)/??a?6??2?a?2b?4??1?b?∴ ?，即?a(1?b)?2(a?6)1

a(1?b)?2(?a?6)1??????(1?b)222?(1?b)2??解得a?2,b?3(?b?1?0)∴所求函數(shù)解析式為f(x)?2x?6． x2?3評注：本題是利用待定系數(shù)發(fā)求函數(shù)的解析式，解決此類問題的關鍵是根據(jù)題中條件列出關于a,b的方程組．函數(shù)函數(shù)f(x)在點Ｍ(?1,f(?1))的導數(shù)就是曲線f(x)在點Ｍ(?1,f(?1))處的切線的斜率．

２．求切線的夾角 例２ 曲線y?2?答）．

121x與y?x3?2在交點處切線的夾角是————（用弧度制作241213x?x?2，解得x?2． 241213即y?2?x與y?x?2的交點坐標為（２，０）

24121332//令f1(x)?2?x，f2(x)?x?2，則有：f1(x)??x，f2(x)?x，2441213/∴曲線y?2?x與y?x?2在交點處切線的斜率分別為k1?f1(2)??2，24解：令2?k1?f2/(2)?3

設兩切線的夾角為?，則tan??故曲線y?2?3?(?2)?1

1?(?2)?3121?x與y?x3?2在交點處切線的夾角是． 244評注：解答此類問題分兩步：第一步根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出兩條切線的斜率；第二步利用兩條直線的夾角公式；解決問題的關鍵在于第一步．

３．求參數(shù)或參數(shù)范圍

3例３曲線y?x3在點（a，a）（a?0）處的切線與x軸、直線x?a所圍成的三角形面積為1，則a＝———— 6解：∵y?x3，∴y/?3x2，∴k?f/(a)?3a2 ∴切線方程為y?a3?3a3(x?a)令y?0，得x?∴S?2a，令x?0，得y?a3，31211a?a?a3?a4?，∴a4?1，a??1． 2366評注：本題通過求導，利用導數(shù)在某點的幾何意義求切線斜率的值或相對應的切線方程，建立等式或不等式，進而解決參數(shù)問題；本題從導數(shù)知識入手，令人耳目一新，體現(xiàn)了導數(shù)較高的思維價值．

４．求過某點的切線方程

例４ 設f(x)為可導函數(shù)，且滿足條件limx?0f(1)?f(1?x)??1，求曲線y?f(x)在2x點（１，f(1)）處的切線的斜率．

分析：根據(jù)導數(shù)的幾何意義及已知條件可知，與求y?f(x)在點（１，f(1)）處的切線的斜率，即求f(1)，注意到所給條件的形式與導數(shù)的定義中

/f(x0??x)?f(x0)/的比較，由已知的極限式變形可求得f(1)．

?x?0?xf(1)?f(1?x)??1

解：∵f(x)為可導函數(shù)，且limx?02x1f(1)?f(1?x)f(1)?f(1?x)??1，∴ lim??2

∴l(xiāng)imx?0x?02xxf/(x)?lim

即f/(1)＝－２

∴ y?f(x)在點（１，f(1)）處的切線的斜率為－２．

評注：使用分析綜合法的解題思想，兼顧題設，變形構造f/(1)，這種思想是我們經(jīng)常使用的解題思想．涉及到可導函數(shù)的切線的斜率問題，可使用導數(shù)的幾何意義．求哪一點處的切線的斜率，即求哪一點處的導數(shù)（對可導函數(shù)而言）．

第二篇：導數(shù)幾何意義說課稿

導數(shù)的幾何意義說課稿

尊敬的各位評委老師下午好，我是**第一中學的劉*，今天我說課的內(nèi)容是人教B版選修2-2第一章1.3節(jié)導數(shù)的幾何意義。

下面我將從六個方面來闡述對本節(jié)課的理解與設計

一、教材分析：本節(jié)課是在學生學習了平均變化率、瞬時變化率，以及用極限定義導數(shù)的基礎上，進一步從幾何意義上理解導數(shù)的含義與價值。導數(shù)的幾何意義的學習為常見函數(shù)導數(shù)的計算、導數(shù)的應用奠定了基礎。因此，導數(shù)的幾何意義有著承前啟后的作用，是本節(jié)的重要概念。

根據(jù)上述教材分析我制定了如下教學目標和重點難點

二、教學目標

知識與技能：通過觀察探究理解導數(shù)的幾何意義；體會導數(shù)在刻畫函數(shù)性質中的作用； 過程與方法：培養(yǎng)學生分析、抽象、概括等思維能力；通過“以直代曲”思想的具體運用，使學生達到思維方式的遷移，了解科學的思維方法。

情感態(tài)度與價值觀：滲透逼近和以直代曲思想，激發(fā)學生學習興趣，培養(yǎng)學生不斷發(fā)現(xiàn)、探索新知識的精神，引導學生從有限中認識無限，體會量變和質變的辯證關系，感受數(shù)學思想方法的魅力。

教學重點：1.導數(shù)的幾何意義.2.“數(shù)形結合、以直代曲”的思想方法。

教學難點：1.發(fā)現(xiàn)和理解導數(shù)的幾何意義；2.運用導數(shù)的幾何意義解決實際問題。

為充分調(diào)動學生的學習積極性，變被動學習為主動學習，突出重點，突破難點，我再從教法上分析一下：

三、教法分析

1.學情分析：從知識上看，學生通過學習習近平均變化率，特別是導數(shù)的瞬時變化率及導數(shù)的概念，對導數(shù)概念有一定的理解與認識，也在思考導數(shù)的另外一種體現(xiàn)形式——形，學生對曲線的切線有一定的認識，特別是對拋物線的切線的概念在學習圓錐曲線與直線關系時有很深的了解與認識。從學生能力上看，經(jīng)過一年多的學習實踐，學生掌握了一定的探究問題的經(jīng)驗，具有一定的想象能力和研究問題的能力。

2.教法分析： “教必有法而教無定法”只有方法得當才會有效。

根據(jù)新課標的“自主——合作——探究”的教學要求，我將采用開放式探究、啟發(fā)式引導、小組合作討論、反饋式評價等教學方法。采用“問題驅動”的教學模式，增強課堂的時效性。3.教學手段：由于本節(jié)課幾何特點強，我采用多媒體輔助教學，為學生提供直觀感性的材料，激發(fā)學生的學習興趣。

四、學法指導 “授人以魚，不如授人以漁”最有價值的知識是關于方法的知識，學生作為教學活動的主體。在學習過程中的參與度是影響教學效果最重要的因素。在學法上我主要采用：自主探究、觀察發(fā)現(xiàn)、合作交流、歸納總結的學習方法。

五、教學過程

為了打造和諧高效課堂，這節(jié)課采用了我校推行的五環(huán)節(jié)教學法 如圖所示，為本節(jié)課的教學過程和結構設計 第一個環(huán)節(jié)，創(chuàng)設情境，導入新課。

首先，通過3個問題作為引入和切入點。問題是數(shù)學的靈魂，提出問題，解決問題，能夠激發(fā)學生探究新知的欲望，變被動學習為主動探究。設計意圖是：通過類比，構建認知沖突。接著提問學生，復習回顧，求f'?x0?的步驟。這是從“數(shù)”的角度描述導數(shù)，為探求導數(shù)的幾何意義做好準備。要研究導數(shù)的幾何意義，就要結合導數(shù)的概念，探究△x?0時圖像的變化情況。所以第二個環(huán)節(jié)是組織學生帶著需要探究的問題，小組探究，合作交流。觀察下面的動畫，通過flash生動形象的展示使學生感受到由割線到切線的變化過程，消除學生對極限的神秘感。通過小組合作討論，啟發(fā)引導學生回答探究1.平均變化率表示割線的斜率。探究2讓學生分別從“數(shù)”和“形”的角度描述△x?0的變化過程，引導出一般曲線的切線定義。同時給出探究3引入問題的合理解釋。強化切線的真實直觀本質。探究4從上述過程中引導學生概括出 f'?x0?的幾何意義，即切線PT的斜率。借助多媒體教學手段引導學生發(fā)現(xiàn)導數(shù)的幾何意義，使問題變得直觀，易于突破難點，突出重點。學生在探究過程中，可以體會逼近的思想方法，能夠同時從數(shù)與形兩個角度強化學生對導數(shù)概念的理解。

在小組合作討論之后，進入第三個環(huán)節(jié)，以學習小組為單位展示探究成果。通過板演問答，給出切線的定義和導數(shù)的幾何意義。師生合作共同對這兩個知識點進行理解、分析、闡述。適時引導、討論，即時評價。通過師生互動，實現(xiàn)提出問題解決問題的能力提升。同時介紹微積分中重要思想方法——以直代曲。

在前面的討論交流過程中，意識到學生對切線的概念還有一些模糊，為此我特地設計了下面的思考題，討論y=x在x0=0處的切線是否存在。從形的角度，發(fā)現(xiàn)它的位置。轉而思考，從數(shù)的角度，如何求解這條切線方程，需要哪些條件?引出了幾何意義中最常見的題型，求切線方程，恰到好處的實現(xiàn)由形到數(shù)的自然過渡。進入第四環(huán)節(jié) 通過例1.發(fā)現(xiàn)求切線方程的條件是切線的斜率和一個點的坐標，引導學生自主歸納總結解題步驟。通過例2讓學生動手練習，鞏固做題步驟，突出導數(shù)幾何意義的應用這一難點。關于求切線方程問題有一個常見的易錯點——“曲線在P點處的切線”與“曲線過點P處的切線”的區(qū)別，為了解決這個問題，要求學生合作交流，積極探索，結合課件的動畫展示，共同發(fā)現(xiàn)，找出本質區(qū)別。

在P點處的切線，P一定是切點，直接由例1總結方法求解。

過P點的切線，分點P在曲線上和點P不在曲線上。點P不在曲線上，就一定不是切點。點P在曲線上，也未必就是切點。因此解決這類問題的關鍵就是設出切點。利用切點處的導數(shù)值等于點P與切點共同確定的切線斜率。來求出切點坐標，從而得到切線方程。進一步突出了導數(shù)的幾何意義這一重點。

通過例3對探究成果，實戰(zhàn)演練，并引導學生歸納總結，求曲線過點P的切線方程的分析思路，輕松解決易錯點，強化這節(jié)課的重點。

為了掌握和鞏固知識的多樣化、多元化，提高學生的解題能力和應變技巧，最后一環(huán)節(jié)（第五環(huán)節(jié)）設計了4道反饋練習。當堂完成，即時點評糾錯，使教學更有針對性，同時提高了教學效率。

借著高漲的學習氣氛，對本節(jié)課的內(nèi)容進行總結反思。采取一名同學總結，其他同學補充，教師完善的方式進行。最后布置作業(yè)，專題專練。以下是我的板書設計和教學評價

六、評價與感悟

本節(jié)課我設計為一節(jié)“科學探究——合作學習”的活動課，在整個教學過程中，學生以研究者的身份學習，在問題解決的過程中，通過自身的體驗，對知識的認識從模糊到清晰，從直觀感悟到精確掌握。

力求使學生體會微積分的基本思想，感受近似與精確的統(tǒng)一，運動與靜止的統(tǒng)一，感受量變到質變的轉化。教師在這個過程中始終扮演學生學習的協(xié)助者和指導者。學生通過自身的情感體驗，能夠很快的形成知識結構，轉化為數(shù)學能力。

我的說課到此結束，懇請各位評委老師批評指正。謝謝！

第三篇：導數(shù)幾何意義的應用

七、導數(shù)幾何意義的應用

例15（1）求曲線y= x11+ 在點(1,21)處的切線方程

（2）已知曲線（t為參數(shù)），求曲線在t=1處的法線方程。

....= += tarctanty)t1ln(x2

解（1）2)x1(1x11y+.= ′......+ =′，41)x1(1y1x21x.= +.=′ = =，即k= － 41，所以過（1，21）點的切線方程為：y-21= －

41(x-1)，即 x+4y-3=0

（2）2t])t1[ln()tarctant(dxdy2= ′+ ′.=，21dxdy1t= = ；即k法=-2，又t=1時，.....π.= = 41y0x ；

所以過切點(0,1-4π)的切線方程為：y-1+ 4π=-2(x-0)

即 2x+y+ 4π-1=0

第四篇：函數(shù)的導數(shù)和它的幾何意義

2.8 函數(shù)的導數(shù)和它的幾何意義

8-A 函數(shù)的導數(shù)

前一節(jié)中描述的例子給出了引進導數(shù)概念的方法。我們從至少定義在x-軸上的某個開區(qū)間（a,b）內(nèi)的函數(shù)f(x)開始，然后我們在這個區(qū)間內(nèi)選擇一點x，引進差商

(8.1)f(x?h)?f(x)，h這里，數(shù)h(可以是正的或者負的但不能是0）要使得x+h還在（a, b）內(nèi)。這個商的分子測量了當x從x變到x+h時函數(shù)的變化。稱這個商為f在連接x與x+h的區(qū)間內(nèi)的平均變化率。

現(xiàn)在讓h→0，看看這個商會發(fā)生什么。如果商趨于某個確定的值作為極限（這就推得無論h是從正的方向還是負的方向趨于0，這個極限是一樣的），成這個極限為f在x點的導數(shù)，記為f /(x)（讀作“f一撇x”）。因此，f /(x)的正規(guī)定義可以陳述如下：

導數(shù)定義。如果

(8.2)f?(x)?limh?0f(x?h)?f(x)，h存在極限，導數(shù)f /(x)由等式（8.2）定義。數(shù)f /(x)也稱為f在x點的變化率。

對比（8.2）與前一節(jié)的（7.3），我們看到瞬時速度僅僅是導數(shù)概念的一個例子。速度v(t)等于f /(t)，這里f是位移函數(shù)，這就是常常被描述為速度是位移關于時間的變化率。在7.2節(jié)算出的例子中，位移函數(shù)由等式f(t)=144t-32t2表示，而它的導數(shù)f / 是由 f /(t)=144-32t給出的新的函數(shù)（速度）。

一般地，從f(x)產(chǎn)生f /(x)的極限過程給我們從一個給定函數(shù)f獲得一個新函數(shù)f / 的方法。這個過程稱為微分法，f / 稱為f的一階導數(shù)。依次地，如果f / 定義在開區(qū)間上，我們可以設法求出它的一階導數(shù)，記為f // 并稱其為f的二階導數(shù)。類似地，由f(n-1)定義的一階導數(shù)是f的n階導數(shù)記為f(n)，我們規(guī)定f(0)= f，即零階導數(shù)是函數(shù)本身。

對于直線運動，速度的一階導數(shù)（位移的二階導數(shù)）稱為加速度。例如，要計算7.2節(jié)中的例子的加速度，我們可以用等式（7.2）形成差商

v(t?h)?v(t)?144?32(t?h)???144?32t????32.hh因為這個差商對每一個h≠0都是常數(shù)值-32，因此當h→0時它的極限也是-32.于是在這個問題中，加速度是常數(shù)且等于-32.這個結論告訴我們速度是以每秒32尺/秒的速率遞減的。9秒內(nèi)，速度總共減少了9·32=288尺/秒。這與運動9秒期間，速度從v(0)=144變到v(9)=-144是一致的。

8-B 導數(shù)作為斜率的幾何意義

通常定義導數(shù)的過程給出了一個幾何意義，就是以自然的方式導出關于曲線的切線的思想。圖2-8-1是一個函數(shù)的部分圖像。兩個坐標(x,f(x))和(x+h,f(x+h))分別表示P, Q兩個點坐標，考慮斜邊為PQ的直角三角形，它的高度：f(x+h)-f(x)，表示P, Q兩個點縱坐標的差，因此差商

(8.4)f(x?h)?f(x)

h表示PQ與水平線的夾角α的正切，實數(shù)tanα稱為通過P, Q兩點直線的斜率，而它提供了一種測量這條直線“陡度”的方法。例如，如果f是線性函數(shù)，記為f=mx+b，則（8.4）的差商是m, 所以m是這條直線的斜率。圖2-8-2表示的是一些各種斜率的直線的例子。對于水平線而言，α=0，因而tanα也是0.如果α位于0與π/2之間, 直線是從左到右上升的，斜率是正的。如果α位于π/2與π之間，直線是從左到右下降的，斜率是負的。對于α=π/4的直線，斜率是1.當α從0增加到π/2時，tanα遞增且無界，斜率為tanα相應的直線趨于垂直的位置，因為tanπ/2沒有定義，所以我們說垂直的直線沒有斜率。

假設f在x點有導數(shù)，這就意味著，當h→0時，P點保持不動，Q沿曲線向P移動，通過P, Q兩點直線不斷改變方向，結果其斜率趨于極限f /(x)?；谶@個原因，將曲線在點P的斜率定義為數(shù)f /(x)似乎是自然的。通過P點具有這個斜率的直線稱為過點P的切線。

第五篇：導數(shù)的定義與幾何意義

導數(shù)

一．導數(shù)的定義

1.給定函數(shù)f(x)，則lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?（）

?x

A f'(x0)B f'(?x0)C ?f'(x0)D?f'(?x0)

f(x0?k)?f(x0)?（）

k?02kf(1?2?x)?f(1)?（）3.已知函數(shù)f(x)?2lnx?8x，則lim?x?0?x2.若f'(x0)?2，則lim二．導數(shù)的幾何意義 1.已知曲線f(x)?

2.已知函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，f'(x)是f(x)的導函數(shù)，則下列結論正確的是（）

A.a?x在x?4處的切線方程為5x?16y?b?0，求實數(shù)a,b的值 x0?f'(2)?f'(3)?f(3)?f(2)

B

0?f'(3)?f(3)?f(2)?f'(2)

C 0?f'(3)?f'(2)?f(3)?f(2)

D

0?f(3)?f(2)?f'(2)?f'(3)3.設P為曲線C：y?x?2x?3上的點，且曲線C在點P處的切線的傾斜角的取值范圍為[0，4.已知曲線y?f(x)?x?3x上一點P(1,-2),過點P作直線l。（1）求與曲線y?f(x)相切且以P為切點的直線l的方程。（2）求與曲線y?f(x)相切且切點異于點P的直線l的方程。

325.設函數(shù)f(x)?x?ax?9x?1(a?0)，若曲線f(x)的斜率最小的切線與直線

32?4]，則點P橫坐標的取值范圍為（）

12x?y?6平行，求實數(shù)a的值。

6.已知曲線y?x?1，問：是否存在實數(shù)a，使得經(jīng)過點(1,a)能夠做出該曲線的兩條 2切線？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由。

三．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 1.求下列函數(shù)的導數(shù)（1）y?cos 2xx?sin2

（2）y?xxxy?tanx

（3）22xx11y?x?sincos?ln(2x)y??221?x1?x（4）

（5）

四．利用導數(shù)求曲線的切線方程 1.已知點P在曲線y?2cos范圍為（）

2.已知直線y?kx是曲線y?lnx的切線，則k的值為（）

3.已知函數(shù)y?x(x?0)的圖像在點(ak,ak)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak?1，其中k?N，若a1?16，則a1?a3?a5的值為（）

4.已知兩條曲線y1?sinx,y2?cosx，是否存在這兩條曲線的一個公共點，使得在這一點處，兩條曲線的切線相互垂直？并說明理由。

25.若曲線f(x)?acosx與曲線g(x)?x?bx?1在交點（0，m）處有公切線，則a?b?xxsin上，?為曲線在點P處的切線的傾斜角，則?的取值2222的值為（）

四．能力提升

1.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x)，且滿足f(x)?2xf'(1)?lnx，則f'(2)=（）

2.已知f1(x)?sinx?cosx，記f2(x)?f'1(x)，f3(x)?f'2(x)，.....fn(x)?f'n?1(x)(n?N?,n?2), 則f1()?f2()?...?f2015()?f2016()=（）????2222

3.已知函數(shù)f(x)?ex?mx?1的圖象為曲線C,若曲線C存在與直線y?ex垂直的切線,則實數(shù)m的取值范圍為（）

4.已知曲線S:y??

5.已知直線x?2y?4?0與拋物線y?4x相交于A,B兩點，點O是坐標原點，試在曲線段AOB上求一點P,使△ABP的面積最大。

6.設函數(shù)f(x)?ax?233x?x2?4x，及點P（0，0），求過點P的曲線S的切線方程。2b，曲線y?f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為7x?4y?12?0 x（1）求f(x)的解析式

（2）證明曲線y?f(x)上任意一點的切線與直線x?0和直線y?x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值。