第一篇：高等數(shù)學(xué)中極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透

本科生畢業(yè)論文

題目：高等數(shù)學(xué)中極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透

學(xué)生姓名：段錫朋

學(xué) 號(hào)：20121050225 專(zhuān) 業(yè)：數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué) 指導(dǎo)教師：葛瑜

2016年4月27日

目錄

摘要...........................................................................................................................................3 緒論.......................................................................................................................................5 2.2 極限在拋物線(xiàn)上的應(yīng)用.............................................................................................6 第三章 極限在數(shù)列中的應(yīng)用...............................................................................................8 3.1 極限在等比數(shù)列中的應(yīng)用.........................................................................................8 3.2 洛必達(dá)法則在等比數(shù)列中的應(yīng)用.............................................................................9 第四章 極限在不等式中的應(yīng)用.........................................................................................10 4.1 極限比較不等式的大小...........................................................................................11 4.2證明不等式..................................................................................................................12 第五章 極限在立體幾何中的應(yīng)用.....................................................................................13 5.1極限確定角度的大小...................................................................................................13 結(jié)論.........................................................................................................................................16 致謝.........................................................................................................................................17 參考文獻(xiàn).................................................................................................................................18

摘要

大學(xué)數(shù)學(xué)主要以極限為基礎(chǔ)，中學(xué)數(shù)學(xué)主要鍛煉人的形象思維，隨著中學(xué)數(shù)學(xué)課程的改革，在中學(xué)數(shù)學(xué)中滲透入大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為常態(tài)，因此，了解和應(yīng)用一些簡(jiǎn)單的大學(xué)數(shù)學(xué)中極限方法對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)是非常有必要的。極限思想是大學(xué)數(shù)學(xué)中比較重要的一種思想，它從數(shù)量上描述了變量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變化趨勢(shì)。極限思想不僅在高等數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，而且在中等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用也十分廣泛，特別是在幾何，函數(shù)，數(shù)列求解，三角函數(shù)，不等式等方面也有著密切的聯(lián)系。因此，極限的方法在解決中學(xué)數(shù)學(xué)的部分問(wèn)題時(shí)有著不可忽視的作用。對(duì)于有些較難的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的極端狀態(tài)的討論和研究，運(yùn)用極限思想求解，可以避開(kāi)一些復(fù)雜的運(yùn)算，優(yōu)化了解題的過(guò)程，降低了問(wèn)題的難度，達(dá)到事半功倍的效果。

關(guān)鍵字：大學(xué)數(shù)學(xué)，中等數(shù)學(xué)，極限，幾何，數(shù)列，函數(shù)，不等式。

Abstract

College mathematics is based on the limit while the main purpose of mathematics teaching in middle school is to cultivate students’ ability of imaginal thinking.With the reform of math course in middle school, it has become normal state to infiltrate basic components of college mathematics into math teaching in middle school.Thus, it is necessary for middle school students to learn the limit method.The limit cognition which describes the variation tendency of variables in movement, is an important thinking in college math study.It has been widely applied not only in advanced mathematics but only in mathematical teaching in middle school, especially in geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation.That is to say, limit method is assignable in solving some problems of middle school mathematics.It is effective.Through the discussion and study of the extreme condition, the application of the limit cognition in solving intricate mathematical problems can simplify and optimize the concrete operations, ease the difficulty level and get twofold results with half the effort.key: College mathematics，limit，geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation

緒論

極限思想是近代數(shù)學(xué)發(fā)展中的一種比較重要的思想。所謂的極限思想就是指用極限的概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種重要的數(shù)學(xué)思想。極限思想的核心就是極限，極限簡(jiǎn)單點(diǎn)來(lái)說(shuō)就是永遠(yuǎn)接近的意思。極限思想解決問(wèn)題的一般步驟分為：確定問(wèn)題的未知量，再構(gòu)造一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。隨著中學(xué)課程的改革，中高考中逐漸加強(qiáng)對(duì)極限思想的考查，通過(guò)一些創(chuàng)新題，讓學(xué)生感受其中蘊(yùn)含的極限思想。所以這就對(duì)學(xué)生的要求越來(lái)越高，需要對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)中的極限初步掌握。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，有些題目雖然和極限無(wú)關(guān)，但若運(yùn)用變化的觀(guān)點(diǎn)，靈活地用極限思想來(lái)思考，往往可以降低解題難度。

本課題就從大學(xué)數(shù)學(xué)中極限思想在解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)用進(jìn)行了探究，用無(wú)限逼近的方式從有限中認(rèn)識(shí)無(wú)限，從近似中認(rèn)識(shí)精確，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變。

研究意義

極限思想作為一種重要思想，在大學(xué)數(shù)學(xué)中乃至整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史中都占有重要的地位。極限思想在大學(xué)數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無(wú)限與有限的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系。用極限思想解決問(wèn)題，往往能突破思維上的禁錮，化繁為簡(jiǎn)。

本課題解決的主要問(wèn)題

本文主要對(duì)大學(xué)數(shù)中的學(xué)極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、不等式中的應(yīng)用進(jìn)行分析，然后具體比較大學(xué)數(shù)學(xué)中的極限思想的解法和中學(xué)數(shù)學(xué)中的不同，進(jìn)而體現(xiàn)出極限思想的優(yōu)點(diǎn)。

極限的定義

極限是高等數(shù)學(xué)中比較重要的一個(gè)模塊，內(nèi)容涉及到了函數(shù)，數(shù)列，導(dǎo)數(shù)，定積分等多個(gè)領(lǐng)域，學(xué)習(xí)和掌握難度較大。而由于極限在中學(xué)中的滲透，且應(yīng)用相對(duì)于高等數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，難度較小。所以，對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)，掌握一些簡(jiǎn)單的極限以及極限的應(yīng)用是十分必要的。極限在中學(xué)中的滲透主要體現(xiàn)于函數(shù)極限和數(shù)列極限。下面就介紹函數(shù)極限的定義和數(shù)列極限的定義及其極限之間的簡(jiǎn)單運(yùn)算。

函數(shù)極限的定義：設(shè)y=f(x)是一個(gè)函數(shù)，A是一個(gè)常數(shù)，x0 是一個(gè)點(diǎn)，f(x)在x0的一個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義。如果當(dāng)x越來(lái)越接近x0時(shí)，函數(shù)值越來(lái)越接近常數(shù)A，則稱(chēng)A為趨于x0的函數(shù)的極限。記為

或

數(shù)列極限的定義：設(shè){}是一個(gè)數(shù)列，如果存在實(shí)數(shù)a，對(duì)于任意正數(shù)

|<ε(不論ε多么小)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，均有不等式│ε成立，那么稱(chēng)常數(shù)a是數(shù)列{或

}的極限，記作

極限的四則運(yùn)算

數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則：若{{}，{

}和{

}為收斂數(shù)列，則{

}，}也都是收斂數(shù)列，且有

第二章 極限思想在函數(shù)中的應(yīng)用

2.2 極限在拋物線(xiàn)上的應(yīng)用

例1.拋物線(xiàn)

與過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)m交于兩點(diǎn)P、Q，F(xiàn)分線(xiàn)段PQ為兩個(gè)

等于（）線(xiàn)段，其長(zhǎng)分別為p,q則A,4 B, C,8 D,2

圖一

解：（1）中學(xué)數(shù)學(xué)解法：由題意可得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F（0，）由直線(xiàn)的參數(shù)方程可得過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)m的參數(shù)方程為

聯(lián)立方程（1）和（2）并消去x和y得

韋達(dá)定理：一個(gè)一元二次方程

+根據(jù)韋達(dá)定理得方程的兩個(gè)根

,的關(guān)系為

=

（3）的兩個(gè)根為

（1）(2)

=

=

（2）極限的解法：因?yàn)镕是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，所以可以得出F的坐標(biāo)為F（0,）

因?yàn)橹本€(xiàn)m是經(jīng)過(guò)點(diǎn)F任意運(yùn)動(dòng)的。

所以利用極限的思想，我們可以讓P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)O點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q就是運(yùn)動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 所以可以得到q∝∞，即∝0 于是.即答案為C

解析：本題是探究拋物線(xiàn)的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，中學(xué)數(shù)學(xué)的解法是探求p，q之間的關(guān)系，中間還應(yīng)用到了參數(shù)方程和韋達(dá)定理，其過(guò)程比較繁瑣，計(jì)算比較復(fù)雜，不適合于解答選擇題。而利用大學(xué)數(shù)學(xué)中極限的解法，只要能認(rèn)識(shí)到動(dòng)點(diǎn)的極限狀態(tài)，借助于極限的思想就會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單：將線(xiàn)段PQ繞點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處，因?yàn)镻F=OF=p=，QF=q→∞，所以很快就可以得到種解法充分的體現(xiàn)了思維的靈活性和敏捷性。

→∞。極限的這第三章 極限在數(shù)列中的應(yīng)用

在大學(xué)數(shù)學(xué)中我們就學(xué)過(guò)了數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則，在中學(xué)階段主要學(xué)習(xí)最基礎(chǔ)的等差數(shù)列和等比數(shù)列。而在中學(xué)的解題過(guò)程中同意可以運(yùn)用極限的思想來(lái)解決部分問(wèn)題。

下面看一下極限在數(shù)列中的應(yīng)用

3.1 極限在等比數(shù)列中的應(yīng)用

例.已知數(shù)列{P 解：設(shè)數(shù)列{

}的公比為q，則 }，其中=,且數(shù)列{

}為等比數(shù)列，求常數(shù)

q===

對(duì)上式兩邊求極限 當(dāng)p=3時(shí)，當(dāng)p≠3時(shí)，q=q=

（1）

=

此時(shí) 即

整理得

即 4-2p=6-3p 所以p=2或p=3 解析：此題采用中學(xué)數(shù)學(xué)中的解法：根據(jù)等比數(shù)列的定義用后一項(xiàng)和前一項(xiàng)之比來(lái)表示公比q，經(jīng)過(guò)運(yùn)算后發(fā)現(xiàn)根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)的常規(guī)計(jì)算很難得到公比q，而（1）式正好是大學(xué)數(shù)學(xué)中極限的簡(jiǎn)單運(yùn)算，采用極限的運(yùn)算很快得出公比q的值。這道題是中學(xué)數(shù)學(xué)解法與極限相輔相成的體現(xiàn)。并不能用兩種方法單獨(dú)解答，但是也很好的體現(xiàn)了極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透。

3.2 洛必達(dá)法則在等比數(shù)列中的應(yīng)用

例.解：中學(xué)數(shù)學(xué)解法：

已知一個(gè)公比為x的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為：

=

所以

所以

=

=

用極限的思想的解法：

洛必達(dá)法則是用于無(wú)窮比無(wú)窮或0/0型，分子分母同時(shí)求導(dǎo)，可以多次求導(dǎo)，在求導(dǎo)過(guò)程中不斷尋找等價(jià)的無(wú)窮小，或削去無(wú)窮因子。此題符合洛必達(dá)法則。

解析：觀(guān)察題目的分子分母可知分子分母符合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，再通過(guò)極限的計(jì)算得出結(jié)果。而采用大學(xué)數(shù)學(xué)的極限的方法，我們可以看出整個(gè)式子符合運(yùn)用洛必達(dá)法則的條件，所以通過(guò)洛必達(dá)法則對(duì)分子和分母同時(shí)求導(dǎo)就可以得出結(jié)果。此題是一道填空題，我們通過(guò)解答可以看出極限思想的優(yōu)越性。中學(xué)數(shù)學(xué)解法過(guò)程比較繁瑣和耗時(shí)，而極限的解法簡(jiǎn)單省時(shí)，甚至可以達(dá)到秒殺的效果，應(yīng)當(dāng)掌握

第四章 極限在不等式中的應(yīng)用

不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的模塊，在大學(xué)數(shù)學(xué)中不等式的應(yīng)用十分廣泛，例如極限的證明，夾逼法則的應(yīng)用等等。而極限同樣也在不等式中有著十分廣泛的應(yīng)用。4.1 極限比較不等式的大小

例：已知的大小。，，比較，解：中學(xué)數(shù)學(xué)的解法：采用賦值法，已知假設(shè)p=3，q=6 則，=3

所以可得 極限的解法：當(dāng)

時(shí)，，由

得

解析:中學(xué)數(shù)學(xué)的解法在比較不等式時(shí)最先想到的是賦值法，而本題采用賦值法的難點(diǎn)是p，q賦值的大小。我們看到根號(hào)里的分母是3，后兩個(gè)式子又分別開(kāi)3次冪和6次冪，這就時(shí)比較大小變得不容易，所以我們必須使p,q的值假設(shè)為3的倍數(shù)，為了減小計(jì)算量，設(shè)p=3，q=6，通過(guò)計(jì)算就可以比較出不等式的大小。采用極限的解法，假設(shè)其中的一個(gè)值，把不等式轉(zhuǎn)化成與q有關(guān)的值，求出不等式的極限值就可以直接比較大小。賦值法在一般情況下簡(jiǎn)單實(shí)用，但是比較考察賦值的把握能力。本題采用極限法只是應(yīng)用了極限的簡(jiǎn)單思想和進(jìn)行了簡(jiǎn)單的計(jì)算，值得掌握。

4.2證明不等式

設(shè)n為自然數(shù)，求證：解：用數(shù)學(xué)歸納法

當(dāng) n=1時(shí)，不等式顯然成立。設(shè)n=k（那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，)時(shí)，不等式成立，即

（1）

由于

所以，數(shù)學(xué)歸納法不可行

之所以用數(shù)學(xué)歸納法思路行不通，其原因在于是一個(gè)常數(shù)，從k 到(k+1)右邊常量不變，而左邊在增大，這樣，無(wú)法使用歸納假設(shè)。當(dāng)聯(lián)想可以將題目轉(zhuǎn)化為:

=

時(shí)，（2），不等式（2）成立，證明：①當(dāng)n=1時(shí)，②設(shè)n=k(k1)時(shí)，不等式（2）成立，即

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，+

<即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式（2）成立 即原式

解析：中學(xué)數(shù)學(xué)的解法：采用數(shù)學(xué)歸納法，我們可以看出n=1時(shí)，不等式顯然成立，假設(shè)n=k時(shí)不等式也成立，如果再證明出n=k+1時(shí)，不等式成立，則假設(shè)的n=k就成立，那么就可以用數(shù)學(xué)歸納法證明出不等式成立，但此題在證明n=k+1時(shí)，使不等式的左邊的值增大了，所以就達(dá)不到證明不等式左邊小于右邊的效果。極限的方法使不等式的右邊的常數(shù)值轉(zhuǎn)化成了一個(gè)等價(jià)的變量，使在證明n=k+1時(shí)，不等式左右兩邊的值同時(shí)增大，通過(guò)比較不等式的大小就證明出了n=k+1時(shí)不等式成立，繼而得出假設(shè)的n=k時(shí)的不等式也同樣成立，所以不等式就成立了。此題如果一味的采用數(shù)學(xué)歸納法是證明不出不等式成立的，而引入極限的思想，用極限值來(lái)構(gòu)造新的不等式就可以證明出了不等式成立，本題中引入的極限可以說(shuō)是達(dá)到了一個(gè)四兩撥千斤的效果，作用非常大，這也正是極限的思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透的一個(gè)體現(xiàn)。

第五章 極限在立體幾何中的應(yīng)用

5.1極限確定角度的大小

立體幾何作為中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的模塊，往往因?yàn)槌橄蠖寣W(xué)生感覺(jué)學(xué)習(xí)難度較大。極限思想也成為了解決這類(lèi)問(wèn)題重要的一種方法。

例。正三棱錐相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的角為α，則α的取值范圍是（Ｄ）A．（0，π）B.(0,π/3)C.(π/3,π/2)D.(π/3,π)

解：利用中學(xué)數(shù)學(xué)的解法： 首先作SO⊥底面ABC于O點(diǎn)。

因?yàn)镾—ABC為正三棱錐，所以△ABC為正三角形，O點(diǎn)為△ABC的中心。作AD⊥SC于D點(diǎn)，連接BD，則BD⊥SC 所以∟ADB為相鄰的兩個(gè)側(cè)面A—SC-B的二面角 ∟ADB=α

設(shè)AB=AC=BC=m,∟SCB=β 所以AD=BD=m由余弦定理可得

=1-

所以α的余弦值與β的值有關(guān)。再由余弦定理得

cos∟BOC=

因?yàn)?所以 因?yàn)?/p>

cos∟BSC=

BO<ＢＳ

cos∟BOC< cos∟BSC

∟BＯC＝并且余弦函數(shù)在［0，π］上是減函數(shù)。

所以 ∟BSC<

在△ＳＣＢ中，由三角形的內(nèi)角和定理 所以

2β＋∟BSC＝π

β>

所以

即 ＝1-

即<α<π

所以答案為Ｄ

利用極限的思想求解

如圖所示，O為正三角形ABC的中心，SO為正三棱錐S-ABC的高，把O看作定點(diǎn),S看作動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)0→OS時(shí)，兩相鄰側(cè)面趨向于一個(gè)平面，此時(shí)相鄰兩側(cè)面的夾角α→π；當(dāng)OS→∞時(shí)，正三棱錐無(wú)限趨向正三棱柱，兩相鄰側(cè)面的夾角愈來(lái)愈小，趨向于底面三角形ABC的一個(gè)內(nèi)角，即α→π/3 所以α∈（π/3,π），答案即為D 解析：中學(xué)數(shù)學(xué)的解法：首先構(gòu)造出相鄰兩個(gè)側(cè)面的二面角的平面角∟ADB，然后通過(guò)余弦定理來(lái)探求α和β之間的關(guān)系，由三角形的內(nèi)角和定理確定β的取值范圍，繼而確定出了α的取值范圍，就可以得出答案，思路比較簡(jiǎn)單明了，但是計(jì)算過(guò)程比較繁瑣。采用極限的解法:通過(guò)動(dòng)點(diǎn)S的移動(dòng)，把相鄰的兩個(gè)側(cè)面轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面，把二面角的平面角轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，再根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的極限狀態(tài)求出極限值這是一道選擇題，采用中學(xué)數(shù)學(xué)的人解法步驟復(fù)雜，計(jì)算耗時(shí)較長(zhǎng)，而采用極限的方法求解不僅簡(jiǎn)單省時(shí)，而且有利于鍛煉學(xué)生的靈活性和創(chuàng)造性，此題充分體現(xiàn)了極限方法的優(yōu)越性。

5.2極限在計(jì)算立體幾何面積中的應(yīng)用

例.設(shè)三棱柱ABC-DEF的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱AD、CF上的點(diǎn)，且PA=QF，則四棱錐B-APQC的體積為（）A.V B.V C.V D.V

結(jié)論

中學(xué)數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，許多中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容都是大學(xué)數(shù)學(xué)的模型。大學(xué)數(shù)學(xué)正是在中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。所以說(shuō)中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)之間存在著必然的聯(lián)系，許多在中學(xué)數(shù)學(xué)中無(wú)法解決的問(wèn)題在大學(xué)數(shù)學(xué)中得以解決，這就要求中學(xué)生在中學(xué)學(xué)習(xí)階段必須掌握大學(xué)數(shù)學(xué)的一些基礎(chǔ)知識(shí)。本文通過(guò)站在大學(xué)數(shù)學(xué)的角度，運(yùn)用大學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法和思想，從不同角度重新去審視，分析和解決中學(xué)數(shù)學(xué)的問(wèn)題。大學(xué)四年的學(xué)習(xí)對(duì)我來(lái)說(shuō)是一個(gè)知識(shí)的儲(chǔ)備過(guò)程。我在學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的同時(shí)，吸收了許多蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法，正是這些數(shù)學(xué)思想和方法鍛煉了我的思維的條理性和連貫性，加強(qiáng)了邏輯思維在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

通過(guò)對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)中的極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透的研究，我發(fā)現(xiàn)大學(xué)數(shù)學(xué)極限思想能夠化繁為簡(jiǎn)，具有較強(qiáng)的應(yīng)用性，深受人們的喜愛(ài)。極限思想可以用在我們中學(xué)數(shù)學(xué)的方方面面。在解題過(guò)程中，它能化無(wú)限為有限，節(jié)省大量運(yùn)算，提高解題速度和準(zhǔn)確性。靈活巧妙、正確的運(yùn)用數(shù)學(xué)極限思想能提高人們解題的正確率和策略意識(shí)，從而加深知識(shí)的理解和掌握。

對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)，能否熟練地應(yīng)用和掌握極限的思想和方法就要看我們是否有去用它的意識(shí)，而且能否掌握其中的技巧，如果我們具備了就會(huì)使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化，解題更加方便、快捷，收到事半功倍的效果。根據(jù)問(wèn)題的不同條件和特點(diǎn)，合理選擇運(yùn)算途徑是關(guān)鍵，而極限思想的靈活運(yùn)用就成為減少運(yùn)算量的一條重要途徑。

致謝

四年的讀書(shū)生活在這個(gè)季節(jié)即將劃上一個(gè)句號(hào)，而于我的人生卻只是一個(gè)逗號(hào)，我將面對(duì)又一次征程的開(kāi)始。從開(kāi)始進(jìn)入課題到論文的順利完成，有多少可敬的師長(zhǎng)、同學(xué)、朋友給了我許多的幫助，通過(guò)對(duì)本課題的研究，我自己學(xué)到了許多東西。在此，我特別感謝爸爸媽媽在我四年的學(xué)習(xí)生活中對(duì)我的關(guān)愛(ài)和支持。感謝朋友幫助我使用幾何畫(huà)板畫(huà)出數(shù)學(xué)圖形。感謝舍友在查找和研究資料時(shí)對(duì)我的幫助。感謝學(xué)校提供的學(xué)習(xí)環(huán)境。更非常感謝導(dǎo)師對(duì)我的課題的指導(dǎo)。

參考文獻(xiàn)

1.歐陽(yáng)光中，朱學(xué)炎：《數(shù)學(xué)分析》，高等教育出版社1983年版 2.劉來(lái)剛：《圖解基礎(chǔ)數(shù)學(xué)手冊(cè)》，吉林大學(xué)出版社2011年版 3.李朝東：《高中數(shù)學(xué)選修2-1》，中國(guó)少年兒童出版社2009年版 4孫翔峰：《三維設(shè)計(jì)2015新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí)》，光明日?qǐng)?bào)出版社2015年版

5章建躍：《數(shù)學(xué)必修4》，人民教育出版社2007年版 6.李建華：《數(shù)學(xué)必修5》，人民教育出版社2007年版 7王申懷：《數(shù)學(xué)必修2》，人民教育出版社2007年版

第二篇：淺談數(shù)學(xué)模型思想在課堂教學(xué)中的有效滲透

淺談數(shù)學(xué)模型思想在課堂教學(xué)中的有效滲透

數(shù)學(xué)模型思想的建立是幫助學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，數(shù)學(xué)模型思想是靠數(shù)學(xué)方法實(shí)現(xiàn)的。在我校圖形與幾何教學(xué)中，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型思想的滲透進(jìn)行實(shí)踐研究，提煉出以下四個(gè)滲透的途徑，能在課堂實(shí)踐中讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)模型思想的奇妙，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)學(xué)科特有的內(nèi)在魅力。

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，開(kāi)啟數(shù)學(xué)“建?！钡钠瘘c(diǎn)

確定數(shù)學(xué)建模問(wèn)題時(shí)，教師要充分考慮小學(xué)生的年齡特點(diǎn)、生活經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際解決問(wèn)題的能力，合理選擇能調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性的內(nèi)容，成為數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)。

選擇合適的問(wèn)題，不僅能激起學(xué)生的建模積極性，更能較順利地讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)模型”的雛形，盡管不夠完善，也不夠正確，但是良好的開(kāi)端乃成功一半，再適度地調(diào)整和修改必能找到正確而有效的數(shù)學(xué)模型。

1．利用動(dòng)手操作，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景

在課堂教學(xué)中，利用動(dòng)手操作創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，會(huì)使學(xué)生的手腦達(dá)到有機(jī)結(jié)合，學(xué)生的思維將會(huì)更加活躍。教師能有方向的引導(dǎo)，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提問(wèn)問(wèn)題，并思考解決問(wèn)題的方法，這就是“數(shù)學(xué)建?！钡钠瘘c(diǎn)。

案例：利用A4紙剪一個(gè)最大的圓

如：在執(zhí)教“圓的周長(zhǎng)和面積整理復(fù)習(xí)”這一課，老師邊移動(dòng)白板上A4紙中剪下最大的圓，邊讓同學(xué)們也拿出自己在A(yíng)4紙上已經(jīng)剪好的最大的圓。情景中的問(wèn)題是這樣創(chuàng)設(shè)的：

問(wèn)題一：通過(guò)動(dòng)手操作，你發(fā)現(xiàn)自己手中圓的直徑與A4紙之間有什么關(guān)系？

問(wèn)題二：現(xiàn)在老師告訴你這個(gè)長(zhǎng)方形的紙張長(zhǎng)30厘米，寬20厘米，這個(gè)圓的周長(zhǎng)和面積如何計(jì)算呢？學(xué)生說(shuō)出計(jì)算公式C=∏d（C=2∏r）；

S=∏r2。

這樣的操作與回憶為公式應(yīng)用起著以舊換新的作用，也是新模型的起點(diǎn)。

2.利用謎語(yǔ)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景

猜謎語(yǔ)、兒歌是學(xué)生喜愛(ài)的學(xué)習(xí)方式，能吸引學(xué)生的注意力，使淺顯平淡、枯燥無(wú)味的圖形與幾何教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)為妙趣橫生的學(xué)習(xí)活動(dòng)。融知識(shí)教學(xué)于情趣之中，把課上得有聲有色，富有趣味。

教師根據(jù)教材中知識(shí)特點(diǎn)，將要探究的問(wèn)題編成謎語(yǔ)或兒歌引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，不僅有利于概括知識(shí)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，更利于學(xué)生在腦海中已有模型的“雛形”。

案例：三角形的概念

如：“三角形的特性”這一課，利用這樣的謎語(yǔ)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景：“形狀似座山，穩(wěn)定性能堅(jiān)，三竿首尾連，學(xué)問(wèn)不簡(jiǎn)單。（打一圖形）”學(xué)生看完謎語(yǔ)內(nèi)容，老師問(wèn)：“從哪句話(huà)你判斷出這個(gè)圖形是三角形？”學(xué)生興趣盎然地說(shuō)“三竿首尾連”。

這樣的問(wèn)題情景，抓住建?！捌瘘c(diǎn)”，為下一步的操作擺三角形、畫(huà)三角形、畫(huà)三角形的高學(xué)習(xí)鋪好路，學(xué)生很容易解理有關(guān)三角形的概

念，明白三角形的特點(diǎn)。

二、挖掘內(nèi)在聯(lián)系，展現(xiàn)數(shù)學(xué)“建?！钡倪^(guò)程

數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“對(duì)書(shū)中的某些原理、定律、公式，在學(xué)習(xí)的時(shí)候不僅應(yīng)該記住它的結(jié)論、懂得其中的道理，更應(yīng)該設(shè)想一下人家是怎樣想出來(lái)的，怎樣提煉出來(lái)的?！?/p>

數(shù)學(xué)家的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)也告訴我們一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，就是注重知識(shí)的探究過(guò)程，因?yàn)橹挥薪?jīng)歷這樣一步步追根溯源的探索過(guò)程，數(shù)學(xué)模型思想方法才能得以展示和提煉，從而使數(shù)學(xué)知識(shí)具有更大的實(shí)用價(jià)值。

分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，這是“模型思想滲透”的核心。因此，我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)素材和有效發(fā)現(xiàn)進(jìn)行梳理歸納，逐步構(gòu)建出科學(xué)合理的數(shù)學(xué)模型。

1.模型假設(shè)：把握本質(zhì)特征，提出合理假設(shè)

當(dāng)學(xué)生把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，就需要學(xué)生根據(jù)建模的目的，先對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行細(xì)致觀(guān)察、對(duì)比、分析、概括，然后用簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言提煉出問(wèn)題的本質(zhì)特征，進(jìn)而提出合理假設(shè)，這就是數(shù)學(xué)模型成立的前提條件，也可以說(shuō)“建?！标P(guān)鍵步驟。

案例：利用梯形的面積公式計(jì)算多邊形的面積

如：教學(xué)“多邊形的面積整理與復(fù)習(xí)”這一內(nèi)容。教師提出這樣的假設(shè)“梯形的面積公式能計(jì)算我們學(xué)過(guò)的多邊形的面積，你們相信嗎？讓我們用行動(dòng)來(lái)驗(yàn)證好嗎？

師：你能將這個(gè)梯形動(dòng)一動(dòng)，使它成為三角形嗎？（在幾何畫(huà)板中

出示梯形，指名學(xué)生進(jìn)行演示。）你看到了梯形的什么在變化？

生：梯形的上底變成“0”。指名學(xué)生一個(gè)用梯形面積公式計(jì)算三角形的面積，一個(gè)用三角形面積公式直接計(jì)算。

師：你能再動(dòng)一動(dòng)讓這個(gè)梯形變成平行四邊形嗎？（在幾何畫(huà)板中出示梯形，指名學(xué)生進(jìn)行演示。）你又看到了梯形的什么在變化？

生：看到梯形的上、下底一樣長(zhǎng)。并指兩名學(xué)生一個(gè)用梯形面積公式計(jì)算平行四邊面積，一個(gè)用平行四邊形面積公式直接計(jì)算。

師：對(duì)比兩種計(jì)算過(guò)程你有什么想說(shuō)的？

生：梯形的面積公式不僅可以計(jì)算梯形的面積，同樣還可以計(jì)算三角形和平行四邊形的面積。（追問(wèn)：梯形的面積公式還可以計(jì)算哪些圖形的面積？）生：長(zhǎng)方形和正方形。

師：對(duì)，因?yàn)樗鼈兌际翘厥獾钠叫兴倪呅??？磥?lái)梯形的面積公式與其它學(xué)過(guò)的多邊形面積公式有著密切的聯(lián)系。

以上教學(xué)活動(dòng)，教師抓住了知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系而展開(kāi)，教師不再直接地講解示范，而是讓學(xué)生充分展開(kāi)嘗試探索，學(xué)生邊嘗試邊思考這么做的理由，讓學(xué)生能積極理解推理過(guò)程，從而對(duì)今后推理學(xué)習(xí)同類(lèi)問(wèn)題肯定有積極作用。

2.模型定型：親歷建模過(guò)程，確定科學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)對(duì)于小學(xué)生而言，最重要的是通過(guò)模型建構(gòu)的探究過(guò)程，感受到數(shù)學(xué)思維方法的靈活性和巧妙性。

因而，不管是一些數(shù)學(xué)概念的得出，一些數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，一些數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，甚至整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識(shí)體系的構(gòu)建，核心都在于數(shù)學(xué)模型思想方法的提煉。

案例：借圓的周長(zhǎng)和面積公式推導(dǎo)出扇形周長(zhǎng)和面積公式

如：在上“圓的周長(zhǎng)和面積整理復(fù)習(xí)”一課時(shí)，老師拋出問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行建模。

問(wèn)題一：請(qǐng)你將剪下的圓對(duì)折，得到一個(gè)什么圖形？學(xué)生的操作對(duì)應(yīng)著教師白板演示，都得到圓的二分之一。

問(wèn)題二：你會(huì)計(jì)算二分之一圓的周長(zhǎng)和面積嗎？在展示計(jì)算結(jié)果時(shí)進(jìn)行對(duì)比、分析、歸納得出：二分之一圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式是C=1/2∏d+d，面積是S=1/2∏r2。

在觀(guān)察、驗(yàn)證、對(duì)比中學(xué)生體驗(yàn)到這樣綜合公式，使計(jì)算簡(jiǎn)潔明了，不易遺漏。在進(jìn)一步對(duì)折中習(xí)得圓的1/4，圓的3/4，圓的1/8，圓的1/16等。

在學(xué)生動(dòng)手操作、合作交流基礎(chǔ)上構(gòu)建圓的幾分之幾周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式模型。歸納總結(jié)出，扇形的周長(zhǎng)就是圓的周長(zhǎng)的幾分之幾加直徑。扇形的面積就是圓的面積的幾分之幾。

從上述案例得出：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注意在學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程的基礎(chǔ)上，逐步建立通過(guò)具體情境得出的具有數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)特征的“模型”，通過(guò)這樣的具體“模型”，幫助學(xué)生提升抽象思維能力水平，為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供強(qiáng)有力的能力支撐。

三、回歸生活問(wèn)題，檢驗(yàn)數(shù)學(xué)“建?！钡某晒?/p>

對(duì)數(shù)學(xué)模型的每一次應(yīng)用都可以視為對(duì)模型思想滲透的一次檢驗(yàn)。數(shù)學(xué)模型檢驗(yàn)的重點(diǎn)放在模型的應(yīng)用上。數(shù)學(xué)模型檢驗(yàn)及應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

有三個(gè)層次：模型求解，行之有效；模型解題，舉一反三；模型變形，觸類(lèi)旁通。

1.模型求解，行之有效

數(shù)學(xué)模型在很大程度上是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言對(duì)一種實(shí)際問(wèn)題的表達(dá)，是很多共性特征的表達(dá)，要應(yīng)用它解決問(wèn)題，還需要展開(kāi)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的求解過(guò)程。

只有通過(guò)數(shù)學(xué)工具對(duì)其求解，才能找到問(wèn)題的結(jié)果，得出結(jié)論。只有學(xué)生能夠?qū)δＰ驼_求解，這個(gè)建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型才有意義，才能夠有效地解決實(shí)際問(wèn)題。

案例：計(jì)算1/5圓的周長(zhǎng)

評(píng)測(cè)練習(xí)設(shè)計(jì)：計(jì)算1/5圓的周長(zhǎng)，公式：C＝1/5∏d+d，先寫(xiě)出模型公式，后正確計(jì)算，學(xué)生用求解來(lái)驗(yàn)證構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步理解知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

今天構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型的分率就是圓周角與圓心角的比值，為今后扇形周長(zhǎng)和面積的求解奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2.模型解題，舉一反三

數(shù)學(xué)模型的目的是為了解決問(wèn)題，所以一旦建立了數(shù)學(xué)模型，這個(gè)原始的問(wèn)題情境中的內(nèi)容只是一個(gè)代號(hào)，一個(gè)有特殊范圍的替代物，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的解決方法是可以讓學(xué)生舉一反三的，只有嘗試了舉一反三的檢驗(yàn)，學(xué)生才能了解數(shù)學(xué)模型的價(jià)值。

3.模型變形，觸類(lèi)旁通

將數(shù)學(xué)模型還原為具體的數(shù)學(xué)直觀(guān)或可感知的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題并不是數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的終結(jié)。而利用建模過(guò)程中所采用的策略，或者對(duì)模型進(jìn)行“微整形”后變成另一個(gè)模型，從而能解決其他問(wèn)題，這才能使所建立的數(shù)學(xué)模型具有生命力。

案例：圓與圓環(huán)，圓柱與圓管，圓柱與直柱

學(xué)習(xí)了圓的面積后，圓環(huán)的面積求解方法也馬上得到，方法只要是圓中去圓，公式為S=∏(R2-r2)。

學(xué)習(xí)了圓柱的體積后，圓管的體積求解方法也馬上得到，方法是圓柱中去圓柱，公式為V＝h(S大-S小)

學(xué)習(xí)了圓柱的體積后，直柱的體積求解也得到了，把直柱用極限思維考慮為無(wú)數(shù)相同的橫截面堆積而成，方法為底面積乘高（即V＝Sh）。

這些模型稍加變形，就得到了新數(shù)學(xué)模型，如同一個(gè)光源點(diǎn)亮相連一片，真正會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人，往往善于改變?cè)心Ｐ?，重組成新模型，解決新問(wèn)題。這是模型檢驗(yàn)的最高境界。

四、利用多元評(píng)價(jià)，激發(fā)數(shù)學(xué)“建?！钡臒崆?/p>

在數(shù)學(xué)模型建構(gòu)和應(yīng)用過(guò)程中，由于每一個(gè)教學(xué)內(nèi)容不同，課堂教學(xué)方式不同，教學(xué)方法也不同，所以針對(duì)數(shù)學(xué)模型建構(gòu)和應(yīng)用的教學(xué)評(píng)價(jià)教師也應(yīng)采用多種形式，并應(yīng)針對(duì)不同程度的學(xué)生，以及不同的學(xué)習(xí)活動(dòng)內(nèi)容，靈活選用不同教學(xué)評(píng)價(jià)方法和評(píng)價(jià)用語(yǔ)。同時(shí)，也可讓學(xué)生自評(píng)，可讓家長(zhǎng)參與評(píng)價(jià)，激發(fā)學(xué)生探究的熱情。

在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)過(guò)程中，老師要相信學(xué)生身上所蘊(yùn)藏的巨大學(xué)習(xí)潛能，鼓勵(lì)讓學(xué)生學(xué)會(huì)自己學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，自己解決問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題，不能過(guò)多地包辦代替。

教師應(yīng)注重評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和綜合運(yùn)用能力，注重評(píng)價(jià)學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中的思維能力，而不是考查死記硬背的知識(shí)。檢測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用能力，可采用多種方法如調(diào)查報(bào)告，家庭實(shí)踐作業(yè)，閱讀數(shù)學(xué)雜志，小組活動(dòng)，問(wèn)題解決等。

因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想，靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)模型。能夠讓學(xué)生再次感受知識(shí)的內(nèi)在本質(zhì)關(guān)系，能夠使學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)零散的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行有效整合知識(shí)體系，也能夠提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，最終使學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以足夠的提升。

第三篇：模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于課程內(nèi)容中闡述“在教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立數(shù)感和符號(hào)意識(shí)，發(fā)展運(yùn)算能力和推理能力，初步形成模型思想?！痹诨纠砟畹牡诙l中闡述“數(shù)學(xué)是人們生活、勞動(dòng)和學(xué)習(xí)必不可少的工具，能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進(jìn)行計(jì)算、推理和證明，數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象?！?/p>

在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生感悟建模過(guò)程，發(fā)展“模型思想”。在小學(xué)，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)具有鮮明的階段性、初始性特征，即要從學(xué)生熟悉的生活和已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)他們經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題初步抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運(yùn)用的過(guò)程，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得更加深刻的理解。數(shù)學(xué)模型不僅為數(shù)學(xué)表達(dá)和交流提供有效途徑，也為解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提供重要工具，可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)的意義。在小學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)采取有效措施，加強(qiáng)教學(xué)模型思想的滲透，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)意識(shí)以及分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，將模型思想滲透到教學(xué)中。

關(guān)鍵詞：模型；數(shù)學(xué)建模；建模教學(xué)；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并理解運(yùn)用?！?/p>

一、在創(chuàng)設(shè)情境時(shí)，感知數(shù)學(xué)建模思想。情景的創(chuàng)設(shè)要與社會(huì)生活實(shí)際，時(shí)代熱點(diǎn)問(wèn)題，自然，社會(huì)文化等與數(shù)學(xué)有關(guān)系的各種因素相結(jié)合。激發(fā)學(xué)生的興趣，使學(xué)生用積累的生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)感受其中隱含的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而促進(jìn)學(xué)生將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，感知數(shù)感

知數(shù)學(xué)模型的存在。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的起點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生以數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，提出數(shù)學(xué)問(wèn)題。在教學(xué)中教師就應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡及心理特征，為兒童提供有趣的、可探索的、與學(xué)生生活實(shí)際密切聯(lián)系的現(xiàn)實(shí)情境，引導(dǎo)他們饒有興趣地走進(jìn)情境中，去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題。

二、在探究知識(shí)的過(guò)程中，體驗(yàn)?zāi)Ｐ退枷搿?/p>

善于引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流，對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程、學(xué)習(xí)材料、主動(dòng)歸納。力求建構(gòu)出人人都能理解的數(shù)學(xué)模型。

例如：在推導(dǎo)圓柱體積公式一節(jié)課中，教師要有目的讓學(xué)生回顧平行四邊形，三角形、梯形、圓幾種平面圖形面積的推導(dǎo)過(guò)程是怎樣的？學(xué)生會(huì)想起通過(guò)割、補(bǔ)、平移、旋轉(zhuǎn)等方 法拼成學(xué)過(guò)的圖形，那么今天我們要探究的是圓柱的體積，你們?cè)鯓觼?lái)推導(dǎo)它的公式？這樣 學(xué)生很自然的想到一個(gè)新知識(shí)都是用舊知識(shí)來(lái)分解，從中找到新知識(shí)的內(nèi)在模型。

三、新知識(shí)的結(jié)論，就是建立數(shù)學(xué)模型。

加法，減法，乘法、除法之間的內(nèi)在聯(lián)系。各類(lèi)應(yīng)用題的解題規(guī)律，各類(lèi)圖形的周長(zhǎng) 與面積、體積的公式都是各種數(shù)學(xué)模型，學(xué)生有了這種模型思想才能應(yīng)用它解釋生活中的現(xiàn) 實(shí)問(wèn)題。

在解決問(wèn)題中，拓展應(yīng)用數(shù)學(xué)模型。用所建立的數(shù)學(xué)模型來(lái)解答生活實(shí)際中的問(wèn)題，讓學(xué)生能體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，體驗(yàn)到所學(xué)知識(shí)的用途和益處，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生體驗(yàn)實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)的快樂(lè)。

例如:我在教學(xué)“平行四邊形面積的計(jì)算”時(shí)，采用了探究式的學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，數(shù)學(xué)思維和學(xué)習(xí)能力也得到了培養(yǎng)。

1.讓學(xué)生充分參與與操作活動(dòng)

數(shù)學(xué)知識(shí)具有抽象性，但來(lái)源于生活實(shí)際，加強(qiáng)教學(xué)中的實(shí)踐活動(dòng)，不僅有助于學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且可以通過(guò)讓學(xué)生參與操作活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。如：在探究平行四邊形面積的計(jì)算方法時(shí)，我為學(xué)生設(shè)計(jì)了這樣的操作活動(dòng)：讓他們通過(guò)剪一剪，拼一拼，想辦法把平行四邊形轉(zhuǎn)化為已學(xué)過(guò)的圖形，然后利用已有知識(shí)來(lái)推導(dǎo)它的面積計(jì)算方法，這就為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)“做數(shù)學(xué)”的機(jī)會(huì)，學(xué)生在操作前必須動(dòng)腦思考，想好了才能動(dòng)手剪拼，通過(guò)實(shí)際操作，多數(shù)學(xué)生都將平行四邊形剪拼成了長(zhǎng)方形，這樣學(xué)生在積極參與操作活動(dòng)的過(guò)程中，不僅促進(jìn)了他們的思維發(fā)展，而且提高了他們的操作技能。

2.讓學(xué)生積極參與交流活動(dòng)

四、解釋與應(yīng)用中體驗(yàn)?zāi)Ｐ退枷氲膶?shí)用性。

如在學(xué)生掌握了速度、時(shí)間、路程之間關(guān)系后，先進(jìn)行單項(xiàng)練習(xí)，然后出示這樣的變式題：

1.汽車(chē)3小時(shí)行駛了270千米，5小時(shí)可行駛多少千米？

2.飛機(jī)的速度是每小時(shí)900千米，飛機(jī)早上11：00起飛，14：00到站，兩站之間的距離是多少千米？

學(xué)生在掌握了速度乘時(shí)間等于路程這一模型后，進(jìn)行變式練習(xí)，學(xué)生基本能正確解答，說(shuō)明學(xué)生對(duì)基本數(shù)學(xué)模型已經(jīng)掌握，并能夠從3小時(shí)行駛了270千米中找到需要的速度，從11：00至14：00中找到所需時(shí)間。雖然兩題敘述不同，但都可以運(yùn)用同一個(gè)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答。掌握了數(shù)學(xué)模型，學(xué)生解答起數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)得心應(yīng)手。綜上所述，數(shù)學(xué)建模思想的形成過(guò)程是一個(gè)綜合性的過(guò)程，是數(shù)學(xué)能力和其他各種能力協(xié)同發(fā)展的過(guò)程。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想的滲透，可以使學(xué)生感覺(jué)到利用數(shù)學(xué)建模的思想解決實(shí)際問(wèn)題的妙處，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生更大的興趣。這也給我們一些啟發(fā)：在對(duì)學(xué)生進(jìn)行模型思想滲透時(shí)，要從現(xiàn)實(shí)生活出發(fā)，從實(shí)物出發(fā)，這樣才可以讓學(xué)生更快地接受，更快地理解；在滲透這些思想時(shí)，教師首先需站在更高的高度上去考慮；在教學(xué)過(guò)程中，通 過(guò)引導(dǎo)學(xué)生處理問(wèn)題，可以讓學(xué)生更快、更有興趣地跟蹤教師的思路。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，模型無(wú)處不在。小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，實(shí)際上就是對(duì)一系列數(shù)學(xué)模型的理解、把握的 過(guò)程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視滲透模型化思想，幫助小學(xué)生建立并把握有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，有利于學(xué)生握住數(shù)學(xué)的本質(zhì)。通過(guò)建模教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和自主、合作、探索、創(chuàng)新的精神，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)、可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。因此在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，逐步培養(yǎng)

第四篇：數(shù)學(xué)建模思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透

數(shù)學(xué)建模思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透

一、數(shù)學(xué)模型的概念

數(shù)學(xué)模型是對(duì)某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系概括或近似表述的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)中的各種概念、公式和理論都是由現(xiàn)實(shí)世界的原型抽象出來(lái)的,從這個(gè)意義上講,所有的數(shù)學(xué)知識(shí)都是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的模型。狹義地理解,數(shù)學(xué)模型指那些反映了特定問(wèn)題或特定具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu),是相應(yīng)系統(tǒng)中各變量及其相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)滲透數(shù)學(xué)建模思想的可行性 數(shù)學(xué)模型不僅為數(shù)學(xué)表達(dá)和交流提供有效途徑，也為解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提供重要工具，可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)的意義。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)采取有效措施，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模思想的滲透，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)意識(shí)以及分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

三、小學(xué)生如何形成自己的數(shù)學(xué)建模

一、創(chuàng)設(shè)情境，感知數(shù)學(xué)建模思想。

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活，因此，要將現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)生的與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)的素材及時(shí)引入課堂，要將教材上的內(nèi)容通過(guò)生活中熟悉的事例，以情境的方式在課堂上展示給學(xué)生，描述數(shù)學(xué)問(wèn)題產(chǎn)生的背景。

二、參與探究，主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)家華羅庚通過(guò)多年的學(xué)習(xí)、研究經(jīng)歷總結(jié)出：對(duì)書(shū)

本中的某些原理、定律、公式，我們?cè)趯W(xué)習(xí)的時(shí)候不僅應(yīng)該記住它的結(jié)論、懂得它的道理，而且還應(yīng)該設(shè)想一下人家是怎樣想出來(lái)的，怎樣一步一步提煉出來(lái)的。只有經(jīng)歷這樣的探索過(guò)程，數(shù)學(xué)的思想、法才能沉積、凝聚，1、動(dòng)手驗(yàn)證

教師給學(xué)生提供多個(gè)圓柱、長(zhǎng)方體、正方體和圓錐空盒（其中圓柱和圓錐有等底等高關(guān)系的、有不等底不等高關(guān)系的，圓錐與其他形體沒(méi)有等底或等高關(guān)系）、沙子等學(xué)具，學(xué)生分小組動(dòng)手實(shí)驗(yàn)。

2、反饋交流

3、歸納總結(jié)。

教師提供豐富的實(shí)驗(yàn)材料，學(xué)生需要從中挑選出解決問(wèn)題必須的材料進(jìn)行研究。學(xué)生的問(wèn)題不是一步到位的，通過(guò)不斷地猜測(cè)、驗(yàn)證、修訂實(shí)驗(yàn)方案，再猜測(cè)、再驗(yàn)證這樣的過(guò)程，逐步過(guò)渡到復(fù)雜的.三、解決問(wèn)題，拓展應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)建模思想的形成過(guò)程是一個(gè)綜合性的過(guò)程，是數(shù)學(xué)能力和其他各種能力協(xié)同發(fā)展的過(guò)程。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想的滲透，不僅可以使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)并非只是一門(mén)抽象的學(xué)科，而且可以使學(xué)生感覺(jué)到利用數(shù)學(xué)建模的思想結(jié)合數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的妙處，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生更大的興趣。

數(shù)學(xué)建模思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透

(2012年-2013年第二學(xué)期)

蘇元俊

第五篇：淺析數(shù)學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

淺析數(shù)學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

摘 要：數(shù)學(xué)思想對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)有著重要的影響，對(duì)于學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)和提升也起著重要作用，在教學(xué)過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想應(yīng)該落實(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)階段。隨著素質(zhì)教育理念在基礎(chǔ)教育階段的深入落實(shí)，數(shù)學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透問(wèn)題日漸被廣大一線(xiàn)教師關(guān)注和探索。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；小學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)；滲透

對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)是抽象的，邏輯性比較強(qiáng)，學(xué)起來(lái)可能不是很容易。新課標(biāo)的提出，要求在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，并能合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)思維去解決其他學(xué)習(xí)和生活中的問(wèn)題。通過(guò)對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，來(lái)鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象力，幫助學(xué)生全面發(fā)展。

一、數(shù)學(xué)思想的簡(jiǎn)述

數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是從數(shù)學(xué)的角度去思考問(wèn)題。對(duì)于一些特定的符號(hào)會(huì)引發(fā)一定的數(shù)學(xué)思維。比如，哪里有等式，哪里就有方程；問(wèn)題中參量多，需要設(shè)未知數(shù)解決；把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問(wèn)題等。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，適當(dāng)?shù)貪B透數(shù)學(xué)思想，可以有效地將問(wèn)題簡(jiǎn)化，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)樂(lè)趣和學(xué)習(xí)的積極性。老師在講課過(guò)程中，需要結(jié)合學(xué)生的特質(zhì)，教導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去思考問(wèn)題，提高學(xué)生的思維能力和分析能力，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

二、數(shù)學(xué)思想對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的作用

數(shù)學(xué)思想來(lái)源于數(shù)學(xué)，同時(shí)也作用于數(shù)學(xué)，是人們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)和積累過(guò)程中形成的一種對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的感覺(jué)，就像語(yǔ)文、英語(yǔ)閱讀中的語(yǔ)感一樣。數(shù)學(xué)思維不是只有數(shù)學(xué)家們才有的思維模式，而是每一個(gè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生都能具備的素質(zhì)。數(shù)學(xué)思維，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有啟發(fā)和促進(jìn)作用，在小學(xué)教學(xué)中適當(dāng)?shù)貪B透數(shù)學(xué)思維，可有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

此外，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)還能使小學(xué)生產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，能讓他們主動(dòng)地去學(xué)習(xí)知識(shí)。而在傳統(tǒng)教學(xué)中，一味地給學(xué)生灌輸知識(shí)的方法，不僅讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得枯燥乏味，還極大地打擊了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的積極性，不利于學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展。

對(duì)數(shù)學(xué)思維進(jìn)行合理的運(yùn)用，不僅能增添數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性，還能有效地加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握能力。而且，從數(shù)學(xué)的角度去理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)的理論知識(shí)也比較容易，能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更高效，更有意義。

三、將數(shù)學(xué)思想滲透于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的策略

1.學(xué)會(huì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

問(wèn)題轉(zhuǎn)化法是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的方法，通過(guò)轉(zhuǎn)化的方法把一個(gè)比較難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題進(jìn)行討論、解決，或者把一些難懂的知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題，幫助學(xué)生進(jìn)行理解記憶。比如，在對(duì)有關(guān)分?jǐn)?shù)的知識(shí)進(jìn)行教學(xué)時(shí)，學(xué)生總是弄不懂分母和分子的位置，不理解分?jǐn)?shù)的意義。老師在教學(xué)中就可以用實(shí)際的問(wèn)題，幫助學(xué)生進(jìn)行理解?！凹偃纾覀儼嘤幸粋€(gè)同學(xué)過(guò)生日，他收到一個(gè)很大很大的生日蛋糕，要與我們進(jìn)行分享，那么這個(gè)蛋糕應(yīng)該平均分成多少份呢？”學(xué)生會(huì)根據(jù)班級(jí)人數(shù)說(shuō)出相應(yīng)份數(shù)，假設(shè)算上老師一共30人，“那我們把這個(gè)蛋糕分成三十份，分母就是這個(gè)總的份數(shù)30，現(xiàn)在每個(gè)同學(xué)分到一分，這個(gè)‘1’就是分?jǐn)?shù)中的分子，因此我們每個(gè)人都得到了1/30的蛋糕?！边@樣的一個(gè)轉(zhuǎn)化，就把分?檔撓泄馗拍钚蝸蟮刈?化為蛋糕問(wèn)題，以后學(xué)生在做題時(shí)就會(huì)想到分蛋糕的故事，然后對(duì)比著進(jìn)行答題，有效地提高了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解能力。

2.將問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，把知識(shí)進(jìn)行整理分類(lèi)，不但能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解，還能整體把握，以一個(gè)新的高度去思考問(wèn)題，把問(wèn)題簡(jiǎn)化。同時(shí)，將問(wèn)題分類(lèi)，進(jìn)行對(duì)比記憶，可以使知識(shí)點(diǎn)更清晰，不容易弄混，在做題時(shí)思路就會(huì)更明確。例如，對(duì)小學(xué)階段的應(yīng)用題進(jìn)行分類(lèi)，就可分為盈虧問(wèn)題、行船問(wèn)題、列車(chē)問(wèn)題、雞兔同籠問(wèn)題、牛吃草問(wèn)題等幾大類(lèi)，分別掌握每一類(lèi)題型的特點(diǎn)，對(duì)做題方法進(jìn)行整理，可以有效地縮短做題時(shí)間，提高學(xué)習(xí)效率。

3.從問(wèn)題的答案中總結(jié)知識(shí)

學(xué)習(xí)的過(guò)程就是不斷積累的過(guò)程，數(shù)學(xué)思維就是要學(xué)生從不斷的解決問(wèn)題中積累做題方法，根據(jù)題型的類(lèi)比，去解決一系列的數(shù)學(xué)問(wèn)題。比如，雞兔同籠問(wèn)題，在做題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，雖然都是一類(lèi)題但也有所區(qū)別，在設(shè)未知數(shù)時(shí)可以根據(jù)不同的提問(wèn)方式設(shè)兔為x只，或者雞為x只，如果設(shè)對(duì)了，所列出的方程也會(huì)比較簡(jiǎn)單，解決起來(lái)也會(huì)更容易。

4.巧用極限思維

雖然極限的知識(shí)是到高中才具體講解的，但在小學(xué)階段就可對(duì)有關(guān)知識(shí)進(jìn)行滲透。啟發(fā)學(xué)生用極限的思維去思考問(wèn)題，不僅能看到問(wèn)題的動(dòng)態(tài)特點(diǎn)，還能使學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解認(rèn)識(shí)更深刻。同時(shí)讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思維有一個(gè)更好的認(rèn)識(shí)。比如，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)比較大小時(shí)，運(yùn)用極限思維，假如分子不變，讓分母無(wú)限地增大，在分母增大過(guò)程中，分?jǐn)?shù)值就會(huì)越來(lái)越小。

數(shù)學(xué)知識(shí)是深?yuàn)W的，同樣也是有趣的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生巧用數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)，解決問(wèn)題。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要通過(guò)不斷學(xué)習(xí)、鉆研教材、備好課；積極研討與實(shí)踐、上好課；精心設(shè)計(jì)作業(yè)、恰當(dāng)點(diǎn)評(píng)；指導(dǎo)和組織學(xué)生課外活動(dòng)等環(huán)節(jié)，不失時(shí)機(jī)地滲透數(shù)學(xué)思想方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和素養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)思想方法解決處理實(shí)際問(wèn)題；讓學(xué)生形成科學(xué)的思維方式和思維習(xí)慣，參與社會(huì)實(shí)踐；讓學(xué)生今后科學(xué)地、有效地、正確地從事各種工作，服務(wù)于人民，服務(wù)于社會(huì)，服務(wù)于人類(lèi)，受益終生。

參考文獻(xiàn)

[1]劉艷平.淺析高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)[J].中國(guó)校外教育，2015（21）.[2]熊華.加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想滲透，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力[J].課程?教材?教法，2011（9）：61-66.[3]韓增俠.芻議數(shù)學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J].教育現(xiàn)代化，2016，27.[4]周志美.淺析數(shù)學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].教育觀(guān)察（下半月），2016，11.