第一篇：高中數(shù)學(xué)教育方法

數(shù)學(xué)被譽為科學(xué)的皇后，在中考中數(shù)學(xué)成績的好壞往往是成功與否的關(guān)鍵因素。

任何事情都有一個由量變到質(zhì)變的循序漸進的積累過程。

有些學(xué)生經(jīng)常會感到刻苦努力學(xué)習(xí)了一陣，收效甚微，便垂頭喪氣，認(rèn)為自己天生不是學(xué)數(shù)學(xué)的料。

或者由于一次考試的失敗，喪失了對數(shù)學(xué)的信心。或許因為基礎(chǔ)不好，導(dǎo)致學(xué)習(xí)跟不上老師教學(xué)進度，上課聽不懂。

“題海戰(zhàn)術(shù)”拿題就做，從不總結(jié)，感覺作的越多，成績越高。

或者學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，每次考試粗心馬虎大意丟分嚴(yán)重。這些都是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的弊端，學(xué)數(shù)學(xué)要有決心，信心，更要有一套適合自己的有效學(xué)習(xí)方法。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該按照五個步驟進行：

一預(yù)習(xí)，理科學(xué)習(xí)，預(yù)習(xí)是必不可少的。我們在預(yù)習(xí)中,應(yīng)該把書上的內(nèi)容看一遍，盡力去理解，對解決不了的問題適當(dāng)作出標(biāo)記，請教老師或課上聽講解決，并試著做一做書后的習(xí)題檢驗預(yù)習(xí)效果。

二聽講，因為老師把知識的精華都濃縮在課堂上，聽數(shù)學(xué)課時應(yīng)做到抓住老師講題的思路，方法。有問題記下來，課下整理，解決，數(shù)學(xué)課上一定要積極思考，跟著老師的思路走。

三復(fù)習(xí)，體會老師課上的例題，整理思維，想想自己是怎么想的，與老師的思路有何異同，想想每一道題的考點，并試著一題多解，做到舉一反三。

四作業(yè)，認(rèn)真完成老師留的習(xí)題，適當(dāng)挑選一些課外習(xí)題作為練習(xí)，但切忌一味追求偏題，怪題，更不要打“題海戰(zhàn)術(shù)”。

五總結(jié)，這一步是為了更好的掌握所學(xué)知識。在學(xué)完一段知識或做了一道典型題后可總結(jié)：總結(jié)專題的數(shù)學(xué)知識；總結(jié)自己卡殼的地方；總結(jié)自己是怎么錯的，錯在哪里，總結(jié)題目的“陷阱”設(shè)在哪里及總結(jié)自己或他人的想法。

第二篇：學(xué)好高中數(shù)學(xué)的方法

★怎樣才能學(xué)好數(shù)學(xué)？

要回答這個似乎非常簡單：把定理、公式都記住，勤思好問，多做幾道題，不就行了。事實上并非如此，比如：有的同學(xué)把書上的黑體字都能一字不落地背下來，可就是不會用；有的同學(xué)不重視知識、方法的產(chǎn)生過程，死記結(jié)論，生搬硬套；有的同學(xué)眼高手低，“想”和“說”都沒問題，一到“寫”和“算”，就漏洞百出，錯誤連篇；有的同學(xué)懶得做題，覺得做題太辛苦，太枯燥，負(fù)擔(dān)太重；也有的同學(xué)題做了不少，輔導(dǎo)書也看了不少，成績就是上不去，還有的同學(xué)復(fù)習(xí)不得力，學(xué)一段、丟一段。

究其原因有兩個：一是學(xué)習(xí)態(tài)度問題：有的同學(xué)在學(xué)習(xí)上態(tài)度曖昧，說不清楚是進取還是退縮，是堅持還是放棄，是維持還是改進，他們勤奮學(xué)習(xí)的決心經(jīng)常動搖，投入學(xué)習(xí)的精力也非常有限，思維通常也是被動的、淺層的和粗放的，學(xué)習(xí)成績也總是徘徊不前。反之，有的同學(xué)學(xué)習(xí)目的明確，學(xué)習(xí)動力強勁，他們擁有堅韌不拔的意志、刻苦鉆研的精神和自主學(xué)習(xí)的意識，他們總是想方設(shè)法解決學(xué)習(xí)中遇到的困難，主動向同學(xué)、老師求教，具有良好的自我認(rèn)識能力和創(chuàng)造學(xué)習(xí)條件的能力。二是學(xué)習(xí)方法問題：有的同學(xué)根本就不琢磨學(xué)習(xí)方法，被動地跟著老師走，上課記筆記，下課寫作業(yè)，機械應(yīng)付，效果平平；有的同學(xué)今天試這種方法、明天試那種方法，“病急亂投醫(yī)”，從不認(rèn)真領(lǐng)會學(xué)習(xí)方法的實質(zhì)，更不會將多種學(xué)習(xí)方法融入自己的日常學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；更多的同學(xué)對學(xué)習(xí)方法存在片面的、甚至是錯誤的理解，比如，什么叫“會了”？是“聽懂了”還是“能寫了”，或者是“會講了”？這種帶有評價性的體驗，對不同的學(xué)生來說，差異是非常大的，這種差異影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)行為及其效果。

由此可見，正確的學(xué)習(xí)態(tài)度和科學(xué)的學(xué)習(xí)方法是學(xué)好數(shù)學(xué)的兩大基石。這兩大基石的形成又離不開平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐，下面就幾個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐中的具體問題談一談如何學(xué)好數(shù)學(xué)。

一、數(shù)學(xué)運算

運算是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功。初中階段是培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算能力的黃金時期，初中代數(shù)的主要內(nèi)容都和運算有關(guān)，如有理數(shù)的運算、整式的運算、因式分解、分式的運算、根式的運算和解方程。初中運算能力不過關(guān)，會直接影響高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)：從目前的數(shù)學(xué)評價來說，運算準(zhǔn)確還是一個很重要的方面，運算屢屢出錯會打擊學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，從個性品質(zhì)上說，運算能力差的同學(xué)往往粗枝大葉、不求甚解、眼高手低，從而阻礙了數(shù)學(xué)思維的進一步發(fā)展。從學(xué)生試卷的自我分析上看，會做而做錯的題不在少數(shù)，且出錯之處大部分是運算錯誤，并且是一些極其簡單的小運算，如71-19=68，（3+3）2=81等，錯誤雖小，但決不可等閑視之，決不能讓一句“馬虎”掩蓋了其背后的真正原因。幫助學(xué)生認(rèn)真分析運算出錯的具體原因，是提高學(xué)生運算能力的有效手段之一。在面對復(fù)雜運算的時候，常常要注意以下兩點：①情緒穩(wěn)定，算理明確，過程合理，速度均勻，結(jié)果準(zhǔn)確；

②要自信，爭取一次做對；慢一點，想清楚再寫；少心算，少跳步，草稿紙上也要寫清楚。

二、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識

理解和記憶數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提。

★什么是理解？

按照建構(gòu)主義的觀點，理解就是用自己的話去解釋事物的意義，同一個數(shù)學(xué)概念，在不同學(xué)生的頭腦中存在的形態(tài)是不一樣的。所以理解是個體對外部或內(nèi)部信息進行主動的再加工過程，是一種創(chuàng)造性的“勞動”。

理解的標(biāo)準(zhǔn)是“準(zhǔn)確”、“簡單”和“全面”。“準(zhǔn)確”就是要抓住事物的本質(zhì)；“簡單”就是深入淺出、言簡意賅；“全面”則是“既見樹木，又見森林”，不重不漏。對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的理解可以分為兩個層面：一是知識的形成過程和表述；二是知識的引申及其蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維方法。

★什么是記憶？

一般地說，記憶是個體對其經(jīng)驗的識記、保持和再現(xiàn)，是信息的輸入、編碼、儲存和提取。借助關(guān)鍵詞或提示語嘗試回憶的方法是一種比較有效的記憶方法，比如，看到“拋物線”三個字，你就會想到：拋物線的定義是什么？標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？拋物線有幾個方面的性質(zhì)？關(guān)于拋物線有哪些典型的數(shù)學(xué)問題？不妨先寫下所想到的內(nèi)容，再去查找、對照，這樣印象就會更加深刻。另外，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要把記憶和推理緊密結(jié)合起來，比如在三角函數(shù)一章中，所有的公式都是以三角函數(shù)定義和加法定理為基礎(chǔ)的，如果能在記憶公式的同時，掌握推導(dǎo)公式的方法，就能有效地防止遺忘。

總之，分階段地整理數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，并能在理解的基礎(chǔ)上進行記憶，可以極大地促進數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

三、數(shù)學(xué)解題

學(xué)數(shù)學(xué)沒有捷徑可走，保證做題的數(shù)量和質(zhì)量是學(xué)好數(shù)學(xué)的必由之路。

1、如何保證數(shù)量？

① 選準(zhǔn)一本與教材同步的輔導(dǎo)書或練習(xí)冊。

② 做完一節(jié)的全部練習(xí)后，對照答案進行批改。千萬別做一道對一道的答案，因為這樣會造成思維中斷和對答案的依賴心理；先易后難，遇到不會的題一定要先跳過去，以平穩(wěn)的速度過一遍所有題目，先徹底解決會做的題；不會的題過多時，千萬別急躁、泄氣，其實你認(rèn)為困難的題，對其他人來講也是如此，只不過需要點時間和耐心；對于例題，有兩種處理方式：“先做后看”與“先看后測”。

③選擇有思考價值的題，與同學(xué)、老師交流，并把心得記在自習(xí)本上。

④每天保證1小時左右的練習(xí)時間。

2、如何保證質(zhì)量？

①題不在多，而在于精，學(xué)會“解剖麻雀”。充分理解題意，注意對整個問題的轉(zhuǎn)譯，深化對題中某個條件的認(rèn)識；看看與哪些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識相聯(lián)系，有沒有出現(xiàn)一些新的功能或用途？再現(xiàn)思維活動經(jīng)過，分析想法的產(chǎn)生及錯因的由來，要求用口語化的語言真實地敘述自己的做題經(jīng)過和感想，想到什么就寫什么，以便挖掘出一般的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維方法；一題多解，一題多變，多元歸一。

②落實：不僅要落實思維過程，而且要落實解答過程。

③復(fù)習(xí)：“溫故而知新”，把一些比較“經(jīng)典”的題重做幾遍，把做錯的題當(dāng)作一面“鏡子”進行自我反思，也是一種高效率的、針對性較強的學(xué)習(xí)方法。

四、數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思維與哲學(xué)思想的融合是學(xué)好數(shù)學(xué)的高層次要求。比如，數(shù)學(xué)思維方法都不是單獨存在的，都有其對立面，并且兩者能夠在解決問題的過程中相互轉(zhuǎn)換、相互補充，如直覺與邏輯，發(fā)散與定向、宏觀與微觀、順向與逆向等等，如果我們能夠在一種方法受阻的情況下自覺地轉(zhuǎn)向與其對立的另一種方法，或許就會有“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的感覺。比如，在一些數(shù)列問題中，求通項公式和前n項和公式的方法，除了演繹推理外，還可用歸納推

理。應(yīng)該說，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維中的哲學(xué)思想和在哲學(xué)思想的指導(dǎo)下進行數(shù)學(xué)思維，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要方法。

總而言之，只要我們重視運算能力的培養(yǎng)，扎扎實實地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，學(xué)會聰明地做題，并且能夠站到哲學(xué)的高度去反思自己的數(shù)學(xué)思維活動，我們就一定能早日進入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自由王國。

很多人在考試時總考不出自己的實際水平，拿不到理想的分?jǐn)?shù)，究其原因，就是心理素質(zhì)不過硬，考試時過于緊張的緣故，還有就是把考試的分?jǐn)?shù)看得太重，所以才會導(dǎo)致考試失利，你要學(xué)會換一種方式來考慮問題，你要學(xué)會調(diào)整自己的心態(tài)，人們常說，考試考得三分是水平，七分是心理，過于地追求往往就會失去，就是這個緣故；不要把分?jǐn)?shù)看得太重，即把考試當(dāng)成一般的作業(yè)，理清自己的思路，認(rèn)真對付每一道題，你就一定會考出好成績的；你要學(xué)會超越自我，這句話的意思就是，心里不要總想著分?jǐn)?shù)、總想著名次；只要我這次考試的成績比我上一次考試的成績有所提高，哪怕是只高一分，那我也是超越了自我；這也就是說，不與別人比成績，就與自己比，這樣你的心態(tài)就會平和許多，就會感到?jīng)]有那么大的壓力，學(xué)習(xí)與考試時就會感到輕松自如的；你試著按照這種方式來調(diào)整自己，你就會發(fā)現(xiàn)，在不經(jīng)意中，你的成績就會提高許多；

和初中數(shù)學(xué)相比，高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容多，抽象性、理論性強，因為不少同學(xué)進入高中之后很不適應(yīng),特別是高一年級，進校后，代數(shù)里首先遇到的是理論性很強的函數(shù)，再加上立體幾何，空間概念、空間想象能力又不可能一下子就建立起來，這就使一些初中數(shù)學(xué)學(xué)得還不錯的同學(xué)不能很快地適應(yīng)而感到困難，以下就怎樣學(xué)好高中數(shù)學(xué)談幾點意見和建議。

高中數(shù)學(xué)的理論性、抽象性強，就需要在對知識的理解上下功夫，要多思考，多研究。

一、指導(dǎo)提高聽課的效率是關(guān)鍵。

1、課前預(yù)習(xí)能提高聽課的針對性。

預(yù)習(xí)中發(fā)現(xiàn)的難點，就是聽課的重點；對預(yù)習(xí)中遇到的沒有掌握好的有關(guān)的舊知識，可進行補缺，以減少聽課過程中的困難；有助于提高思維能力，預(yù)習(xí)后把自己理解了的東西與老師的講解進行比較、分析即可提高自己思維水平；預(yù)習(xí)還可以培養(yǎng)自己的自學(xué)能力。

2、聽課過程中的科學(xué)。

首先應(yīng)做好課前的物質(zhì)準(zhǔn)備和精神準(zhǔn)備，以使得上課時不至于出現(xiàn)書、本等物丟三落四的現(xiàn)象；上課前也不應(yīng)做過于激烈的體育運動或看小書、下棋、激烈爭論等。以免上課后還喘噓噓，或不能平靜下來。

其次就是聽課要全神貫注。

全神貫注就是全身心地投入課堂學(xué)習(xí)，耳到、眼到、心到、口到、手到。

耳到：就是專心聽講，聽老師如何講課，如何分析，如何歸納總結(jié)，另外，還要聽同學(xué)們的答問，看是否對自己有所啟發(fā)。

眼到：就是在聽講的同時看課本和板書，看老師講課的表情，手勢等動作，生動而深刻的接受老師所要表達的思想。

心到：就是用心思考，跟上老師的數(shù)學(xué)思路，分析老師是如何抓住重點，解決疑難的。

口到：就是在老師的指導(dǎo)下，主動回答問題或參加討論。

手到：就是在聽、看、想、說的基礎(chǔ)上劃出課文的重點，記下講課的要點以及自己的感受或有創(chuàng)新思維的見解。

若能做到上述“五到”，精力便會高度集中，課堂所學(xué)的一切重要內(nèi)容便會在自己頭腦中留下深刻的印象。

3、特別注意講課的開頭和結(jié)尾。

講課開頭，一般是概括前節(jié)課的要點指出本節(jié)課要講的內(nèi)容，是把舊知識和新知識聯(lián)系起來的環(huán)節(jié)，結(jié)尾常常是對一節(jié)課所講知識的歸納總結(jié)，具有高度的概括性，是在理解的基礎(chǔ)上掌握本節(jié)知識方法的綱要。

4、要認(rèn)真把握好思維邏輯，分析問題的思路和解決問題的思想方法，堅持下去，就一定能舉一反三，提高思維和解決問題的能力。

此外還要特別注意老師講課中的提示。

老師講課中常常對一些重點難點會作出某些語言、語氣、甚至是某種動作的提示。

最后一點就是作好筆記，筆記不是記錄而是將上述聽課中的要點，思維方法等作出簡單扼要的記錄，以便復(fù)習(xí)，消化，思考。

二、指導(dǎo)做好復(fù)習(xí)和總結(jié)工作。

1、做好及時的復(fù)習(xí)。

課完課的當(dāng)天，必須做好當(dāng)天的復(fù)習(xí)。

復(fù)習(xí)的有效方法不是一遍遍地看書或筆記，而是采取回憶式的復(fù)習(xí)：先把書，筆記合起來回憶上課老師講的內(nèi)容，例題：分析問題的思路、方法等（也可邊想邊在草稿本上寫一寫）盡量想得完整些。然后打開筆記與書本，對照一下還有哪些沒記清的，把它補起來，就使得當(dāng)

天上課內(nèi)容鞏固下來，同時也就檢查了當(dāng)天課堂聽課的效果如何，也為改進聽課方法及提高聽課效果提出必要的改進措施。

2、做好單元復(fù)習(xí)。

學(xué)習(xí)一個單元后應(yīng)進行階段復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)方法也同及時復(fù)習(xí)一樣，采取回憶式復(fù)習(xí)，而后與書、筆記相對照，使其內(nèi)容完善，而后應(yīng)做好單元小節(jié)。

3、做好單元小結(jié)。

單元小結(jié)內(nèi)容應(yīng)包括以下部分。

（1）本單元（章）的知識網(wǎng)絡(luò)；

（2）本章的基本思想與方法（應(yīng)以典型例題形式將其表達出來）；

（3）自我體會：對本章內(nèi)，自己做錯的典型問題應(yīng)有記載，分析其原因及正確答案，應(yīng)記錄下來本章你覺得最有價值的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問題，以便今后將其補上。

三、指導(dǎo)做一定量的練習(xí)題

有不少同學(xué)把提高數(shù)學(xué)成績的希望寄托在大量做題上。我認(rèn)為這是不妥當(dāng)?shù)?，我認(rèn)為，“不要以做題多少論英雄”，重要的不在做題多，而在于做題的效益要高。做題的目的在于檢查你學(xué)的知識，方法是否掌握得很好。如果你掌握得不準(zhǔn)，甚至有偏差，那么多做題的結(jié)果，反而鞏固了你的缺欠，因此，要在準(zhǔn)確地把握住基本知識和方法的基礎(chǔ)上做一定量的練習(xí)是必要的。而對于中檔題，尢其要講究做題的效益，即做題后有多大收獲，這就需要在做題后進行一定的“反思”，思考一下本題所用的基礎(chǔ)知識，數(shù)學(xué)思想方法是什么，為什么要這樣想，是否還有別的想法和解法，本題的分析方法與解法，在解其它問題時，是否也用到過，把它們聯(lián)系起來，你就會得到更多的經(jīng)驗和教訓(xùn)，更重要的是養(yǎng)成善于思考的好習(xí)慣，這將大大有利于你今后的學(xué)習(xí)。當(dāng)然沒有一定量（老師布置的作業(yè)量）的練習(xí)就不能形成技能，也是不行的。

另外，就是無論是作業(yè)還是測驗，都應(yīng)把準(zhǔn)確性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，也是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要問題。

希望有點幫助。。

第三篇：高中數(shù)學(xué)解題方法名錄

第一篇 數(shù)學(xué)具體解題方法 代入法

直接法

定義法

向量坐標(biāo)法

查字典法

擋板模型法

等差中項法

逆向化法

極限化法

整體化法

參數(shù)法

交軌法

幾何法

弦中點軌跡求

比較法

基本不等式法

以題攻題法

綜合法

分析法

放縮法

反證法

換元法

構(gòu)造法

數(shù)學(xué)歸納法

配方法

判別式法

序軸標(biāo)根法

函數(shù)與方程思想

整體思想

比較法綜合法向量平行法篩選法（排除法）向量垂直法數(shù)形結(jié)合法同一法特殊值法累加法 回代法（驗證法）累乘法特殊圖形法倒序相加法 分類法分組法運算轉(zhuǎn)換法公式法結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換法錯位相減法 割補轉(zhuǎn)換法裂項法導(dǎo)數(shù)法迭代法象限分析法角的變換法補集法公式的變形及逆距離法用法變更主元法降冪法差異分析法升冪法反例法“1”的代換法閱讀理解法引入輔助角法信息遷移法三角函數(shù)線法類比聯(lián)想法構(gòu)造對偶式法抽象概括法構(gòu)造三角形法邏輯推理法估算法等價轉(zhuǎn)化法 待定系數(shù)法根的分布法特殊優(yōu)先法分離參數(shù)法先選后排法抽簽法捆綁法隨機數(shù)表法插空法間接法數(shù)形結(jié)合思想第二篇 數(shù)學(xué)思想方法分類討論思想化歸轉(zhuǎn)化 第三篇分析法數(shù)學(xué)邏輯方法 反證法歸納法抽象與概括法思想類比法

第四篇：高中數(shù)學(xué)教育評價

談新課程下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)評價

高中數(shù)學(xué)新課程在結(jié)構(gòu)上有很大的改變，在結(jié)構(gòu)上采用“領(lǐng)域——科目——模塊”的形式，這對數(shù)學(xué)教學(xué)評價提出了新的要求，教學(xué)評價改革的根本目的是為了更好地促進學(xué)生的發(fā)展。改變評價過分強調(diào)甄別與選拔功能，忽視改進與激勵功能的狀況，突出評價的發(fā)展性功能是教學(xué)評價改革的核心。新課程認(rèn)為對學(xué)生進行評價是教育過程的一個環(huán)節(jié)，所以，評價的功能與教育目標(biāo)是一致的。突出教學(xué)評價的發(fā)展性功能集中體現(xiàn)了“一切為了學(xué)生發(fā)展”的教育新理念。學(xué)生處于不斷發(fā)展變化的過程中，教育的意義在于引導(dǎo)和促進學(xué)生的發(fā)展和完善。學(xué)生的發(fā)展需要目標(biāo)，需要導(dǎo)向、需要激勵，因此，教學(xué)評價要為學(xué)生確定個體化的發(fā)展性目標(biāo)，不斷收集學(xué)生發(fā)展過程中的信息，根據(jù)學(xué)生的具體情況，判斷學(xué)生存在的優(yōu)勢與不足，在此基礎(chǔ)上提出具體的、有針對性的改進建議。教學(xué)評價要考慮學(xué)生的過去，重視學(xué)生的現(xiàn)在，更要著眼于學(xué)生的未來，所追求的不是給學(xué)生下一個精確的結(jié)論，更不是給學(xué)生一個等級分?jǐn)?shù)并與他人比較，而要更多地體現(xiàn)對學(xué)生的關(guān)注和關(guān)懷，不但要通過評價促進學(xué)生在原有水平上的提高，達到基礎(chǔ)教育培養(yǎng)目標(biāo)的要求，更要發(fā)現(xiàn)學(xué)生的潛能，發(fā)揮學(xué)生的特長，了解學(xué)生在發(fā)展中的需求，幫助學(xué)生認(rèn)識自我，建立自信。

新課程倡導(dǎo)發(fā)揮評價的發(fā)展性功能，就在于把評價看作是課程與教學(xué)的一個有機環(huán)節(jié)，也是教育學(xué)生的一個重要途徑，是促進學(xué)生發(fā)展的有效手段。那么，在新課程教學(xué)中，如何改革傳統(tǒng)教學(xué)評價，促進學(xué)生發(fā)展呢？

一、確立以學(xué)生為主體的評價指導(dǎo)思想

高中數(shù)學(xué)新課程方案明確提出“實行學(xué)生學(xué)業(yè)成績與成長記錄相結(jié)合的綜合評價方式，學(xué)校應(yīng)根據(jù)目標(biāo)多元，方式多樣，注重過程的評價原則，綜合運用觀察、交流、測驗、實際操作、作品展示、自評與互評等多種方式，為學(xué)生建立綜合、動態(tài)的成長記錄手冊?！备咧袑W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)評價要求評價應(yīng)建立多元化的目標(biāo)，關(guān)注學(xué)生個性與潛能的發(fā)展。學(xué)生作為一個獨立的個體，無論是性格、心理特征，還是認(rèn)知水平，每個人都是不同的。我們在評價學(xué)生時，要緊緊抓住“學(xué)生是主體”這個角度來分析，以學(xué)生綜合素質(zhì)的全面發(fā)展提高為出發(fā)點和歸宿點，既要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，也要重視學(xué)生的思想品德，以及多方面潛能的發(fā)展，注重學(xué)生的創(chuàng)新能力和實踐能力的提高。在評價學(xué)生時，不搞一刀切，不排隊不排名次，不分優(yōu)劣等級，應(yīng)該以學(xué)生為本，只要每一個學(xué)生在某一個方面或者多方面有提高，這名學(xué)生就是取得了成功。尊重學(xué)生的個性差異，允許學(xué)生在某個學(xué)段落后，經(jīng)過努力后又趕上；允許學(xué)生某個方面有所突破，某些方面平平淡淡；允許個別“超常”學(xué)生脫穎而出，跳級學(xué)習(xí)。對學(xué)生的評價不僅要注重結(jié)果，更要注重發(fā)展和變化過程。要把形成性評價與終結(jié)性評價結(jié)合起來，使發(fā)展變化的過程成為評價的組成部分。

二、構(gòu)建以發(fā)展為核心，尊重學(xué)生，充分發(fā)揮學(xué)生的主體積極性的評價機制 動機心理學(xué)和人本管理理論認(rèn)為，個人在集體中的價值，包括個人發(fā)展、個人激勵和自我實現(xiàn)的價值，尊重和自我實現(xiàn)的需要是人的需要的持久動力。當(dāng)學(xué)生的需要與興

趣被尊重，學(xué)生才會積極主動地參與活動，激發(fā)起學(xué)習(xí)與發(fā)展的動機。作為課堂學(xué)習(xí)者，尊重和自我實現(xiàn)的需要是學(xué)生個體最主要的需要。他們希望通過評價，在集體的目標(biāo)范圍之內(nèi)發(fā)現(xiàn)自己的優(yōu)點和不足，發(fā)揮自己的潛能，掌握自己發(fā)展的方向和未來前途，決定和實現(xiàn)自己的發(fā)展需要，不斷地自我創(chuàng)造和提高。因此，當(dāng)前的教學(xué)評價改革應(yīng)“以人為本”、“以發(fā)展為核心”，注重學(xué)生的個人價值、生存價值和學(xué)業(yè)發(fā)展價值，注重學(xué)生未來的發(fā)展，幫助學(xué)生認(rèn)識自我、發(fā)現(xiàn)自我，使每個學(xué)生都能從評價中獲得激勵、自信和不斷前進的動力，獲得資助，從而提高學(xué)業(yè)水平，得到適當(dāng)?shù)陌l(fā)展。教師應(yīng)以人性化的態(tài)度對待學(xué)生，強調(diào)學(xué)生在評價中的主體地位，尊重學(xué)生的需要、選擇、人格等，和學(xué)生對話、溝通，相互理解和協(xié)商；給學(xué)生充分的自主權(quán)，讓學(xué)生發(fā)揮主體積極性，主動參與評價過程；更多的把評價活動和過程當(dāng)作為學(xué)生提供展示自我的平臺和體驗自身價值機會，使評價成為促進學(xué)生最好的發(fā)展與自我實現(xiàn)的工具，而不只是評等、分類的工具。

三、建立評價標(biāo)準(zhǔn)、方法和主體多元化評價體系

不同的學(xué)生具有不同的背景，其需要、年齡、經(jīng)歷、家庭背景、學(xué)習(xí)風(fēng)格等表現(xiàn)出個性差異，用一把尺子、從一個角度、采用單一的模式對所有的學(xué)生進行評價是不合理的、不科學(xué)的。因此，教學(xué)評價的內(nèi)容和方法應(yīng)表現(xiàn)出動態(tài)、發(fā)展的特征。教師應(yīng)該根據(jù)總的課程目標(biāo)，結(jié)合教育改革的要求和本地區(qū)、學(xué)校及學(xué)生的實際情況，承認(rèn)差異，著眼于學(xué)生未來的發(fā)展，確立發(fā)展目標(biāo)，運用多種的評價方法對學(xué)生進行評價，除了紙筆測驗以外，還有課堂觀察、課后訪談、小論文、成長記錄袋評價和表現(xiàn)性評價等。例如，為了突出評價的過程性并關(guān)注個體差異，運用成長記錄袋進行評價是必要的，它通過收集表現(xiàn)學(xué)生發(fā)展變化的資料，能夠反映學(xué)生成長的軌跡，學(xué)生本人在成長記錄內(nèi)容的收集中，有更大的主動權(quán)和決定權(quán)，能夠充分體現(xiàn)個體差異。同樣，表現(xiàn)性評價創(chuàng)設(shè)了真實的情境，通過學(xué)生活動或完成任務(wù)的過程，不但能夠評價學(xué)生知道了什么，還能夠評價學(xué)生能夠做什么，還可以在學(xué)生的實際活動中評價學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力，與他人的合作、交流與分享，評價學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)習(xí)慣等。同時，對不同發(fā)展階段的學(xué)生，其評價內(nèi)容和要求要有一定的層次性。而且評價過程是持續(xù)的，周期性的，應(yīng)多次評價，給予學(xué)生個體更多的展示自我的機會。

在實踐中，教學(xué)評價的主體應(yīng)真正實現(xiàn)多元化(教師、學(xué)生、家長、管理者等)，多方面收集信息，在最大程度上肯定學(xué)生的成就。要重視學(xué)生做數(shù)學(xué)的過程，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)作業(yè)在學(xué)生評價中的作用。作業(yè)類型應(yīng)多樣化，例如常規(guī)作業(yè)，開放性、探索性數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)實驗，數(shù)學(xué)建模，課題研究作業(yè)，專題總結(jié)報告等。特別地，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生進行自我評價與反思。學(xué)生作為教育、教學(xué)過程的直接受益者，在評價過程中具有主體性，具有對自己行為的反思意識和能力，這種內(nèi)部動機比外部壓力具有更大的激勵作用。因此，教學(xué)評價應(yīng)體現(xiàn)個性差異，以促使每個個體盡最大可能地實現(xiàn)其自身的發(fā)展。

四、科學(xué)利用學(xué)生的學(xué)業(yè)成績，促進學(xué)生個體發(fā)展

教師的教育對象是學(xué)生，教師各方面的努力都是為了學(xué)生的發(fā)展。運用學(xué)生的學(xué)業(yè)成績來評價學(xué)生本無可厚非。但在傳統(tǒng)教學(xué)評價中，學(xué)生的學(xué)業(yè)成績被異化為考試分?jǐn)?shù)，運用學(xué)生成績評價學(xué)生的發(fā)展在許多學(xué)校和地區(qū)表現(xiàn)為運用純粹的學(xué)生期中、期末或升學(xué)的考試分?jǐn)?shù)。學(xué)生的發(fā)展是多方面的，既有認(rèn)知領(lǐng)域，也有情感和動作技能領(lǐng)域。單一的考試成績測評的是學(xué)生知識的掌握情況，而學(xué)生的能力、態(tài)度等卻無法靠單一的考試分?jǐn)?shù)來評價。作為教師，教育和教學(xué)是不分家的。學(xué)生的學(xué)習(xí)成績也不僅僅是認(rèn)知領(lǐng)域，而有更廣闊的空間，包括學(xué)生在學(xué)校中的一切變化。因此，應(yīng)通過多種途徑收集學(xué)生學(xué)習(xí)、變化的信息，如學(xué)生考試成績、平時表現(xiàn)、學(xué)生的進步狀況、學(xué)生作品集、學(xué)生活動、學(xué)生的實踐能力等來評價學(xué)生。另外，學(xué)生的學(xué)業(yè)成績受各方面因素影響，其結(jié)果與學(xué)生原有的知識、技能和能力準(zhǔn)備情況，與學(xué)習(xí)習(xí)慣、目的、方法、態(tài)度、興趣等個性特征有重要聯(lián)系，同時也受家庭與社會等各方面因素的影響。如果不對學(xué)生的起始水平和影響因素進行分析，僅憑某次考試成績對學(xué)生的發(fā)展進行評價不僅不科學(xué)，而且會誤導(dǎo)學(xué)生的行為。所以，要科學(xué)地利用學(xué)生學(xué)業(yè)成績評價學(xué)生，必須多方面收集學(xué)生信息，并做具體的分析。

五、通過評價反饋發(fā)揮評價的激勵功能和促進作用

評價中的反饋環(huán)節(jié)對于發(fā)揮評價的激勵和促進功能有著重要作用。通過評價反饋，學(xué)生能夠了解自己目前的學(xué)習(xí)狀態(tài)，看到自己的成長和進步以及存在的不足，還有可能得到教師、同學(xué)和家長對改進學(xué)習(xí)所提出的建議，這些都有助于促進學(xué)生的發(fā)展。

其次，發(fā)揮評價的激勵功能要建立在對學(xué)生學(xué)習(xí)的過程及其發(fā)展變化有深刻認(rèn)識的基礎(chǔ)上。無論是采用激勵性的語言，還是采用物質(zhì)獎勵，如果沒有明確的評價目標(biāo)、準(zhǔn)確的觀察和資料的收集、恰當(dāng)?shù)脑u價結(jié)論，隨意的激勵是無法對學(xué)生起到促進作用的，而且還有可能對學(xué)生產(chǎn)生消極影響，造成很多學(xué)生只能聽表揚，不能聽批評，認(rèn)識不到自己的缺點和不足，盲目樂觀起來。此外，隨著學(xué)生自我認(rèn)識的能力和愿望的提高，他們會對表面化、形式化的激勵感到空洞和乏味。

總之，激勵不在于對學(xué)生一味表揚或“藏拙”，只要教師與學(xué)生形成坦誠、關(guān)懷和相互尊重的關(guān)系，并用發(fā)展的和全面的眼光看待學(xué)生，逐步培養(yǎng)學(xué)生客觀地認(rèn)識自己，提高他們反省能力，不因存在某些不足而懷疑自我價值，這樣即使教師指出學(xué)生的不足甚至是批評，學(xué)生所感受到的仍是教師對自己的關(guān)注和期望，并由此產(chǎn)生進步的動力。

終上所述，在實施新課程過程中，我們要用新課程理念看待教學(xué)評價，為促進學(xué)生發(fā)展而改革我們的教學(xué)評價。美國一位課程理論專家說：評價最主要的意圖不是為了證明，而是為了改進。在教學(xué)實踐中也只有這樣，才能促進每一位學(xué)生的全面發(fā)展。

2009年7月2日

盧龍縣城關(guān)中學(xué)

第五篇：高中數(shù)學(xué)不等式證明常用方法

本科生畢業(yè)設(shè)計（論文中學(xué)證明不等式的常用方法

所在學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院

專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

姓 名： 張俊

學(xué) 號： 1010510020 指導(dǎo)教師： 曹衛(wèi)東

完成日期： 2014年04月15日）

摘 要

本文主要是對高中學(xué)習(xí)階段不等式證明方法的概括和總結(jié).不等式的證明方法多種多樣,其中有比較法,分析法,綜合法,反證法,數(shù)學(xué)歸納法,放縮法等常見的方法,另有一些學(xué)生比較不熟悉但也經(jīng)常采用的方法,如構(gòu)造法,向量法,求導(dǎo)法,換元法等等.關(guān)鍵詞: 不等式的證明;函數(shù)的構(gòu)造;極值;導(dǎo)數(shù)

ABSTRACT

This paper is mainly on the high school stage the inequality proof method and summarized.The inequality proof methods varied, including comparison, analysis, synthesis, reduction to absurdity, mathematical induction, scaling and other common methods, and some students are not familiar with but also the methods used, such as construction method, vector method, derivation method, method and so on.Key words:

The inequality proof;function;extreme value;derivative

目 錄

1.構(gòu)造函數(shù)法 ·········································1 1.1 移項法構(gòu)造函數(shù) ·································1 1.2 作差法構(gòu)造函數(shù)

·····························2 1.3 換元法構(gòu)造函數(shù)

·····························2 1.4 從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)

······················3 1.5 主元法構(gòu)造函數(shù) ··································3 1.6 構(gòu)造形似函數(shù) ····································4 2.比較法 ·············································4 2.1 作差比較法 ······································4 2.2 作商比較法 ······································5 3.放縮法 ············································5 4.判別式法 ············································6 5.反證法 ············································7 6.向量法 ···········································8 7.不等式證明的具體應(yīng)用 ································9 參考文獻 ··············································11

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

眾所周知,生活中存在著大量的不等量關(guān)系.不等量關(guān)系是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系,它在數(shù)學(xué)研究與應(yīng)用中起著不可忽視的作用,因此,研究不等式的方法至關(guān)重要,許多數(shù)學(xué)家在這一領(lǐng)域取得豐碩的成果,他們的成就舉世矚目,無可替代.不等式的證明是高中學(xué)習(xí)階段的重要內(nèi)容之一,縱觀近幾年的高考,不等式的證明每年都有涉及,一般都出現(xiàn)在最后一題,可見它的困難和重要程度,因此不等式證明的學(xué)習(xí)既是重點也是難點,無論是求最值還是求不定量的范圍都需要用到不等式的證明.所以,有必要對不等式的證明方法做一個全面的,科學(xué)的,系統(tǒng)的總結(jié)和歸納.1.構(gòu)造函數(shù)法

1.1移項法構(gòu)造函數(shù)

【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x,求證：當(dāng)x??1時,恒有

1?1?ln(x?1)?x.x?1分析：本題是雙邊不等式,其右邊直接從已知函數(shù)證明,左邊構(gòu)造函數(shù)

1?1,從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明.g(x)?ln(x?1)?x?1證:先證左邊,令g(x)?ln(x?1)?111x?1, 則g?(x)? ??x?1x?1(x?1)2(x?1)2 當(dāng)x?(?1,0)時,g?(x)?0;當(dāng)x?(0,??)時,g?(x)?0 , 即g(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù),在x?(0,??)上為增函數(shù),故函數(shù)

g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0, ∴當(dāng)x??1時,g(x)?g(0)?0,即ln(x?1)?1?1?0 x?1 ∴ ln(x?1)?1? 再證右邊,f?(x)?1(左邊得證).x?11x?1?? x?1x?1 ∴ 當(dāng)?1?x?0時,f?(x)?0,即f(x)在x?(?1,0)上為增函數(shù), 當(dāng)x?0時,f?(x)?0,即f(x)在x?(0,??)上為減函數(shù), 于是函數(shù)f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0, 1

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

因此,當(dāng)x??1時f(x)?f(0)?0,即ln(x?1)?x?0

∴ ln(x?1)?x(右邊得證).綜上可知,當(dāng)x??1時,有1?1?ln(x?1)?x x?1【啟迪】: 如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最?。ù螅┲?則有f(x)?f(a)

（或f(x)?f(a))那么要證不等式,只要求函數(shù)的最小值不超過0就可得證． 1.2作差法構(gòu)造函數(shù)

【例2】 當(dāng)x?(0,1)時,證明:(1?x)ln(1?x)?x.分析:本題是一個單邊不等式,很難直接看出兩者有什么聯(lián)系,因此聯(lián)想到采用作差的方法,將兩個函數(shù)變?yōu)橐粋€函數(shù).作差法是最直接把兩者結(jié)合的方法且求導(dǎo)

后能很容易看出兩者的聯(lián)系.證:做函數(shù)f(x)?(1?x)ln(1?x)?x,易得f(0)?0，221?x)?2x,當(dāng)x?0時,f'(x)?0

而f'(x)?ln(1?x)?2ln(又得,f''(x)?22ln(1?x)22??2?[ln(1?x)?x]，1?x1?x1?x 當(dāng)x?(0,1)時,f''(x)?0

∴f'(x)在x?(0,1)上遞減,即f'(x)?f'(0)?0,即f(x)在(0,1)遞減

∴f(x)?f(0)?0,從而原不等式得證.【啟迪】: 本題先構(gòu)造出一個函數(shù)并利用所設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)

性的性質(zhì)來證明原不等式如果一階導(dǎo)數(shù)無法判斷兩個關(guān)系,可以采用二階導(dǎo)數(shù)

來先判斷一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系,再來判斷原函數(shù)的關(guān)系.1.3換元法構(gòu)造函數(shù)

122?x?xy?y?3.1?x?y?2 【例3】 已知 ,求證:222 分析:本題看上去毫無聯(lián)系,但發(fā)現(xiàn)x?y經(jīng)常出現(xiàn)在三角代換中.于是可以采用 換元法進行嘗試,則結(jié)果顯而易見.證:因為 1? 其中1?2x2?y2?2,所以可設(shè)x?rcos?,y?rsin?，22r2?2,0???2?.1212 ∴x?xy?y?r?rsin2??r(1?sin2?)

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

??1?sin2??, 222121322 ?r?(1?sin2?)r?r 22232121 而r?3,r? 222122?x?xy?y?3.?2【啟迪】:當(dāng)發(fā)現(xiàn)不等式題目中含有x2?y2,或者別的與x,y有關(guān)的不等式,可以采用換

元法.將x,y進行替換,再找兩者的關(guān)系來進行論證.1.4從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)

【例4】 若函數(shù)y?f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)??f(x)恒成立,且常數(shù)

a ,b滿足0?a?b,求證:af(a)

xf(x)，?(x)?f(x)此時可以得到F(x)的導(dǎo)數(shù)為xf ?F?(x)?0,所以F(x)在R上為增函數(shù)，f(a)?f(b)

?af(a)?bf(b)?0?a?b,? 得證.【啟迪】：把條件進行簡單的變形后,很容易發(fā)現(xiàn)它是一個函數(shù)積的導(dǎo)數(shù),因此可以構(gòu)造出

F(x),求導(dǎo)后即可得到證明結(jié)果.1.5主元法構(gòu)造函數(shù)

【例5】 設(shè)a,b,c,d?R,且滿足(a?b?c)求證:ab?bc?ca2?2(a2?b2?c2)?4d，?3d

分析:本題初看含有四個未知量,且題目中只含一條不等式,因此解題時必須從這條

不等式入手,對其進行變換.證:把a看成未知量進行化簡,得一元二次不等式

?2(b?c)a?(b?c)2?4d?0

22xaf(x)?x?2(b?c)x?(b?c)?4d

用替換,構(gòu)造一個函數(shù) a2x2前面的系數(shù)大于0,所以該拋物線開口向上

且當(dāng)x?a時,f(a)?0.22??4(b?c)?4[(b?c)?4d]?0

?其判別式 ?

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

d.同理把b,c看成未知量,可得ca?d,ab?d

疊加可得ab?bc?ca?3d.化簡,得bc?【啟迪】:有些復(fù)雜的不等式可以看成一個未知量的簡單不等式,再找?guī)讉€未知量之間的關(guān)系,進行證明.1.6構(gòu)造形似函數(shù)

【例6】 當(dāng)a?b?e時,證明a?b.分析:要證a?b,只要證lnababab?lnba,即證明blna?alnb?0, 也就是要證明blnx?xlnb,因此構(gòu)造函數(shù)

f(x)?blnx?xlnb,然后只需要證明 證:要證a?b,只要證lnabaf(x)單調(diào)遞減就可以了.b?lnb xb?lnba即證blna?alnb?0

設(shè)f(x)?blnx?xlnb(x?b?e),則f?(x)? ?b?e,x?b ?lnb?1, ?b?1?f?(x)?0 xf(x)在(e,??)上單調(diào)遞減.?a?b

?f(a)?f(b)故blna?alnb?blnb?blnb?0

ba 即blna?alnb ?a?b.【啟迪】:在證明簡單不等式時,可以采用求導(dǎo)等變換來構(gòu)造出一些相似的函數(shù),再利用函

數(shù)的單調(diào)性來證明簡單不等式.2.比較法

2.1作差比較法

【例1】 若0?x?1,證明loga(1?x)?loga(1?x),(a?0,a?1).分析:用作差法來做,則需去掉絕對值,必須要分a?1和0?a?1兩種情況來考慮

問題.證:(1)當(dāng)0?a?1時,?0?1?x?1,1?1?x?2

?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)

?0?x?1,?0?1?x?

1?loga(1?x)?0,得證.（2）當(dāng)a?1時,?0?1?x?1,1?1?x?2

? loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)

?0?x?1,?0?1?x?1

22222 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

??loga(1?x)?0,得證.綜合（1）（2）可得loga(1?x)?loga(1?x).【啟迪】:當(dāng)不等式兩邊的式子比較相近,或者是對數(shù)式子時可以采用作差法來嘗試.2.2作商比較法

【例2】 設(shè)a,b?R,且a?0,b?0,求證(ab)a?b22?aabb.分析:發(fā)現(xiàn)作差變形后符號很難判斷,且無法化簡,考慮到兩邊都是正數(shù),可以作商, 判斷比值和1的大小關(guān)系,從而來證明不等式.證:?ab?0,(ab)aba?b2?0,?將不等式兩邊相除，b?a2baa??()2 baabb 得(ab)a?b2?aa?b2bbaa?2?1.當(dāng)a?b時,()baa?b?1?0, 當(dāng)0?b?a時，b2baa?a02()?()?1.由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,bbbaa?a0aa?b2()?()?1.?1?0 當(dāng)0?a?b時，,同理可得bbb2 綜上所述,對于任意的正實數(shù)a,b都有(ab)a?b2?aabb.【啟迪】:當(dāng)遇到作差法無法解決的問題時可以采用作商法來證明不等式,使用作商法的前

提條件是不等式兩邊均要大于0,一般為指數(shù)函數(shù)的形式.3.放縮法

2n?1an(n?N)

【例1】 已知數(shù)列?an?的前n項和為sn?1?2(1)設(shè)xn?(2n?1)sn,求證:數(shù)列?xn?為等差數(shù)列.11115???..........??(2)當(dāng)n?2時,2.222xnxnxx32?1n?22n 分析:本題分為兩小題,第一小題是考察數(shù)列的知識,是為第二小題做的鋪墊,在做

第二小題時,需要采用放縮來證明,來把不等式的左邊放大來比較.2n?1(sn?sn?1)

證:(1)當(dāng)n?2時,sn?1?2

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

化簡,得(2n?1)sn?2?(2n?1)sn?1

由已知條件得xn 其通項公式為xn ??xn?是以首項為x1?xn?1?2,即xn?xn?1?2

?2公差d?2的等差數(shù)列，?2n.1111???..........?(2)2222 xnxnxx?1n?22n11111??......?] ?[2?222 4n(n?1)(n?2)(2n)11111???......?] ?[4n(n?1)n(n?1)(n?1)(n?2)(2n?1)(2n)1111111?[(?)?(?)?(?)?......4n?1nnn?1n?1n?

2111111n?1?(?)]?(?)?()2n?12n4n?12n42n(n?1)1n?1 ? 42(n?1)2?6(n?1)?411? 44

2(n?1)?6?n?14 令f(n)?2(n?1)?,當(dāng)n?2時,f(n)的值隨著n的增大而增

n?1 大,?f(n)?f(2), 111136??? 即4 44f(2)?616322(n?1)?6?n?111115?2?.?2?2?2?..........xnxn?1xn?2x2n32【啟迪】: 采用放縮法題目一般比較開放,且沒有固定的放縮范圍,一般比較靈活,且方法

較多.4.判別式法

?7? 【例1】 已知x?y?z?5,x?y?z?9,求證x,y,z都屬于?1,?

?3?222

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

分析:實系數(shù)一元二次方程ax2?bx?c?0有兩個不等實根、有兩個相等實根、沒有實根的充要條件是: b 記??4ac?0、b2?4ac?0、b2?4ac?0．

?b2?4ac,稱其為方程是否有實根的判別式.同時也是與方程對應(yīng)的

函數(shù)、不等式的判別式.此題含有三個未知數(shù),所以要進行替換.222z?5?x?yx?y?z?9中

證:有條件可得,代入 化簡可得:x ?2?(y?5)x?y2?5y?8?0

x?R,且方程有解,?根的判別式??b2?4ac?0

22?7?7y?1,?.即(y?5)?4(y?5y?8)?0,解得1?y?,即?3?3??7??7? 同理,替換x,y可得z??1,?,x??1,?.?3??3? ?得證.【啟迪】:本題看似復(fù)雜,含有三個未知量,其實只需要簡單的幾個步驟就解決了,因此在解決這類問題時,第一步是替換未知量,第二部把另一個未知量看成已知量,再

用根的判別式來確定范圍.5.反證法 【例1】 設(shè)0?a,b,c?1,求證:(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時大于.分析:本題的結(jié)論為否定形式,適合用反證法來證明,假設(shè)命題不成立,從而導(dǎo)出矛

盾.證:假設(shè)(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a三個數(shù)都大于, 則有(1?a)b?111,(1?b)c?,(1?c)a? 444 又?0?a?1,0?b?1,0?c?1

?111(1?a)b?,(1?b)c?,(1?c)a?.222 7

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）?(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a? ?

2a?b1?a?bab?(1?a)b? 又由基本不等式得，221?b?c1?c?a(1?b)c?,(1?c)a?, 把上面三個式子相加得(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a?3 ? 2 顯然?與?相矛盾,所以假設(shè)不成立.?(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時大于.4【啟迪】:命題中出現(xiàn)“至少”,“都”,“同時”,“至多”等字樣時,可以采用反證法, 反證的關(guān)鍵在于找出與命題相反的結(jié)論,然后再用假設(shè)的條件推出矛盾.6.向量法

a2b2c2???12.【例1】設(shè)a?1,b?1,c?1,證明:

b?1c?1a?1 分析:本題只有一個已知條件,且結(jié)論也無法化簡,因此可以想到高中最直接的方法

向量法,構(gòu)造兩個向量.利用向量的知識進行解決.?m 證:設(shè)?(a2b2c2?，),n?(b?1,c?1,a?1)b?1c?1a?1??m 則?n?a2b2c2?b?1??c?1??a?1 b?1c?1a?1?a?b?c

222abc ????a?b?c?3?cos?b?1c?1a?1a2b2c2???a?b?c?3

?b?1c?1a?1a2b2c2a?b?c??? ? b?1c?1a?1a?b?c?33 ?a?b?c?3?

a?b?c?3 ?23

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

?a?1,b?1,c?1.a2b2c2???12.兩邊同時平方可得

b?1c?1a?1 ?得證.7.不等式證明的具體應(yīng)用

1125【例1】 已知a?0,b?0,且a?b?1,求證(a?)(b?)?

ab4分析:本題是高中階段一道普通的不等式證明題,如讓學(xué)生獨立完成,可得到如下解決

方法.解法一:分析法

1125(a?)(b?)? 要證，ab4222 只要證4?ab??4a?b?25ab?4?0，?? 即證4?ab?2?33?ab??8?0，1ab?或ab?8.即因為a?0,b?0,a?b?1,所以ab?8不成立.1ab? 又因為1?a?b?2ab,所以.得證.解法二:作差比較法

?a?b?1,a?0,b?0 ?a?b?2ab,?ab?

41125a2?1b2?125??? ?(a?)(b?)?ab4ab44a2b2?33ab?8(1?4ab)(8?ab)??0

?4ab4ab1125 ?(a?)(b?)?.ab4

解法三:三角代換法

?a?b?1,a

?0,b?0

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

??? 故設(shè)a?sin?,b?cos?,???0,?

?2?1122)(cos??)則原式?(sin??22sin?cos?sin4??cos4??2sin2?cos2??2 ?

4sin22?(4?sin2?)2?16 ? 24sin2?22 ? sin2??1?4?sin2??4?1?3.1122?.?(4?sin2?)?16?25,24sin2?41125 ?(a?)(b?)?.ab422本題歸納與小結(jié):本題一共采用了3種不同的方法,第一種是從問題入手,對問題進行一步

步的剖析,有逆向思維的方式,是把問題具體化,把所要證明的問題轉(zhuǎn)化

為所學(xué)的知識,或者已知條件.只要分析的過程合理,一般過渡的結(jié)論很

容易得到.第二種方法也是根據(jù)問題入手,不同的是它把問題直接改變?yōu)?/p>

一道運算式,這樣就把問題變?yōu)檫\算式結(jié)果與零比較大小,因為題目所給的數(shù)字往往讓在解題時無從下手,無法想出這個數(shù)字從何而來,一但轉(zhuǎn)化

為零后,解題時只需要考慮對算式的變形,最后只需判斷算式的正負(fù)號.第三種方法使用范圍比較小,它一般具有特殊的條件如a?b?1, a2?b2?1這種情況下會考慮三角代換,采用三角代換最需要注意的是

角的范圍,一般學(xué)生在采用代換時往往忘記角的范圍,從而無法確定三角

函數(shù)值的范圍,容易產(chǎn)生多解或錯解.這種方法好處在于已經(jīng)知道了三角

值的范圍,且三角函數(shù)含有多種變形方式可以對式子進行更好的化簡.并

且利用三角值的確定性能很快的得到所求式子的范圍.本題三種方法均

可采用,根據(jù)學(xué)生個人的掌握程度來選擇方法.本論文主要對高中不等式的常用證明方法進行簡單的總結(jié),使中學(xué)生在證明不等式時有法可依,能盡快的找到適合的方法,主要介紹構(gòu)造法,作差法,放縮法,判別式法,反證法,向量法這些常用的方法.江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

參考文獻

[1]雷小平.證明不等式的常用方法.太原科技[A],2002(1):54～55 [2]丁海軍.證明不等式的常用方法.自然科學(xué)版[J],2009:55～57 [3]曹軍芳.高中數(shù)學(xué)中不等式證明的常用方法.佳木斯教育學(xué)院報[A],2014(1):220～221 [4]孔凡哲.證明不等式正確性的幾種常用方法.武漢教育學(xué)院報,1995(3):31～33 [5]劉志雄.談不等式證明的常用方法.重慶師專學(xué)報,1999(4):101～103 [6]徐志科.王彥博.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的幾種方法.自然科學(xué)版[A],2013(7):7～8 [7]李天榮.曹玉秀.中學(xué)數(shù)學(xué)不等式的證明方法.臨滄師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報,2013(2):88～90 [8]嚴(yán)萬金.淺談中學(xué)數(shù)學(xué)不等式的證明的常見技巧及方法策略.數(shù)學(xué)教育[A],2012(2):64 [9]封平平.不等式證明方法初探.新課程學(xué)習(xí)[J],2012:72～73 [10]黃俊峰.袁方程.證明不等式中的常用方法.數(shù)學(xué)教學(xué)研究[J],2012(8):28～30 [11]程勛躍.不等式證明的方法與技巧.課程教育研究[A],2012:60～61 [12]孫桂枝.不等式證明方法集萃.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究[J],2012:81～82 [13]甘志國.例談常用方法證明不等式.理科考試研究[J],2012:13～15 [14]何振光.不等式證明的常用方法.教與學(xué)[J],2012:92 [15]李占光.廖仲春.劉福保.高中數(shù)學(xué)中不等式的證明方法歸納.長沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報

[A],2012(4):108～109