第一篇：高中數(shù)學(xué) §1 正弦定理與余弦定理(1.2)教案 北師大版必修5

§1正弦定理、余弦定理

教學(xué)目的：

⑴使學(xué)生掌握正弦定理 教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的正確理解和熟練運(yùn)用

授課類型：新授課

課時(shí)安排：1課時(shí)

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)過程：

一、引言：在直角三角形中，由三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)，——提出課題：正弦定理、余弦定理

二、講解新課：

正弦定理：在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即abc== =2R（R為△ABC外接圓半徑）sinAsinBsinC

ab，sinB=，sinC=1cc 1．直角三角形中：sinA=

即c=abcabc，c=，c=． ∴== sinAsinBsinCsinAsinBsinC

2．斜三角形中

111證明一：（等積法）在任意斜△ABC當(dāng)中S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA 22

21abc 兩邊同除以abc即得：== 2sinAsinBsinC證明二：（外接圓法）如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴

同理 aa??CD?2R sinAsinDbc=2R，＝2R sinBsinC證明三：（向量法）

?????????????????過A作單位向量j垂直于AC由AC+CB=AB

??????????

?????兩邊同乘以單位向量j 得 j?(AC+CB)=j?AB

則?+?=?

???????????????

∴|j|?|AC|cos90?+|j|?|CB|cos(90??C)=| j|?|AB|cos(90??A)

∴asinC?csinA∴

ac

= sinAsinC

sinC

sinB

sinA

sinB

sinC

?????cbabc

同理，若過C作j垂直于CB得： =∴==

正弦定理的應(yīng)用 從理論上正弦定理可解決兩類問題：1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2已知a, b和A, 用正弦定理求B時(shí)的各種情況: ⑴若A為銳角時(shí):

無解?a?bsinA?

一解(直角)?a?bsinA

?

bsinA?a?b二解(一銳, 一鈍)?

?a?b一解(銳角)?

已知邊a,b和?A

a

無解

a=CH=bsinA僅有一個(gè)解

CH=bsinA

?a?b無解

⑵若A為直角或鈍角時(shí):?

a?b一解(銳角)?

三、講解范例：

例1 已知在?ABC中，c?10,A?45,C?30,求a,b和B 解：?c?10,A?45,C?30∴B?180?(A?C)?10

5accsinA10?sin450

???2 由 得 a?0

sinAsinCsinCsin30

由

bc

?得 sinBsinC

csinB10?sin10506?20b???20sin75?20??56?52 0

sinC4sin30

例2 在?ABC中，b?3,B?600,c?1,求a和A,C

bccsinB1?sin6001解：∵?,?sinC???

sinBsinCb2?b?c,B?600,?C?B,C為銳角，?C?300,B?900

∴a?b2?c2?

2例3 ?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C

accsinA6?sin450解：? ?,?sinC???

sinAsinCa22

?csinA?a?c,?C?600或1200

csinB6sin750

?當(dāng)C?60時(shí)，B?75,b???3?1，sinCsin600

csinB6sin150

?當(dāng)C?120時(shí)，B?15,b????1 0

sinCsin60

?b??1,B?750,C?600或b?3?1,B?150,C?1200

（2010廣東理數(shù)）11.已知a,b,c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，若

則sinC=

解：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．

由正弦定理知，1?，sinA

3即sinA?

．由a?b知，A?B?60?，則A?30?，C?180??A?B?180??30??60??90?，sinC?sin90??

1四、課堂練習(xí)：

asinAABC中，?bsinB?c

sinC

?k,則k為() RRR(R為△ABC外接圓半徑)

ABC中，sin2A=sin2B+sin

2C，則△ABC為()

ABCcos2A中，求證：

a2?cos2Bb2?1

1a2?b

參考答案：，

?bsinB?sinAa?sinBb?(sinAa)2?(sinBb)2

?sin2Aa2?sin2B

1?cos2Ab

?a2?1?cos2Bb2 ?

cos2Acosa2?2Bb2?1a2?1

b2

五、小結(jié)正弦定理，兩種應(yīng)用

六、課后作業(yè)： sinAABC中，已知

sinC?sin(A?B)sin(B?C)，求證：a2，b2，c

2證明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）

cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B2cos2B＝cos2A＋cos2C

2?

1?cos2B1?cos2A1?cos2B22?2?2

∴2sinB＝sin2A＋sin2

C由正弦定理可得2b2

＝a2

＋c2

即a2，b2，c2

七、板書設(shè)計(jì)（略）

八、課后記：

第二課時(shí)：教材P46頁例

1、例

2、例3



第二篇：高中數(shù)學(xué) 1.2《余弦定理》教案 北師大版必修5

江蘇省邳州市第二中學(xué)高二數(shù)學(xué) 1.2《余弦定理（2）》教案

【三維目標(biāo)】：

一、知識(shí)與技能

1.學(xué)會(huì)利用余弦定理解決有關(guān)平幾問題及判斷三角形的形狀，掌握轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想； 2.能熟練地運(yùn)用余弦定理解斜三角形；

二、過程與方法

通過對(duì)余弦定理的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生解三角形的能力及運(yùn)算的靈活性

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力； 【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】：

重點(diǎn)：利用余弦定理判斷三角形的形狀以及進(jìn)行三角恒等變形； 難點(diǎn)：利用余弦定理判斷三角形的形狀以及進(jìn)行三角恒等變形 【學(xué)法與教學(xué)用具】：

1.學(xué)法：

2.教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀.【授課類型】：新授課 【課時(shí)安排】：1課時(shí) 【教學(xué)思路】：

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1.余弦定理的內(nèi)容？

2.如何利用余弦定理判斷銳角、直角、鈍角？ 2.利用余弦定理可解決哪幾類斜三角形的問題？

二、研探新知，質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1（教材P在?ABC中，AM是BC邊上的中線，求證：AM?16例6）

12(AB2?AC2)?BC2 2例2（教材P15例5）在?ABC中，已知sinA?2sinBcosC，試判斷三角形的形狀

a2?b2sin(A?B)例3 在?ABC中，證明： ?sinCc2例4 已知三角形一個(gè)內(nèi)角為60，周長為20，面積為103，求三角形的三邊長。

例5三角形有一個(gè)角是60，夾這個(gè)角的兩邊之比是8：5，內(nèi)切圓的面積是12?，求這個(gè)三角形的面積。

四、鞏固深化，反饋矯正

?????????1．在?ABC中，設(shè)CB?a,AC?b，且|a|?2,|b|?3,a?b??3，則AB?_____

ab0?2.在?ABC中，已知?C?60，a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，則的值等于b?cc?a???00________

五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容及方法（1）知識(shí)總結(jié)：（2）方法總結(jié)：

六、承上啟下，留下懸念 1．書面作業(yè)

七、板書設(shè)計(jì)（略）

八、課后記：

第三篇：必修5教案1.1正弦定理余弦定理

教學(xué)設(shè)計(jì)示例（第一課時(shí)）

一、教學(xué)目標(biāo)

1．掌握正弦定理及其向量法推導(dǎo)過程；

2．掌握用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題．

二、教學(xué)重點(diǎn)正弦定理及其推導(dǎo)過程，正弦定理在三角形中的應(yīng)用；

教學(xué)難點(diǎn)正弦定理的向量法證明以及運(yùn)用正弦定理解三角形時(shí)解的個(gè)數(shù)的判定．

三、教學(xué)準(zhǔn)備

直尺、投影儀．

四、教學(xué)過程

1．設(shè)置情境

師：初中我們已學(xué)過解直角三角形，請同學(xué)們回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系： 生：Rt?ABC中有a?b?c 22

2a?csinA

b?csinB

a?tanAb

A?B?90?

ab ?sinAsinB

師：對(duì)！利用直角三角形中的這些邊角關(guān)系對(duì)任給直角三角形的兩邊或一邊一角可以求出這個(gè)三角形的其他邊與其他角．

師：在直角三角形中，你能用其他的邊角表示斜邊嗎？

生：在直角三角形ABC中，c?abc。??sinAsinBsinC

師：這個(gè)式子在任意三角形中也是成立的，這就是我們今天要學(xué)的正弦定理（板書正弦定理）．

2．探索研究

（1）師：為了證明正弦定理（引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)向量的數(shù)量積），a?b?a?bcos?，式子的左邊與要證明的式子有相似之處嗎？你能否構(gòu)造一個(gè)可以用來證明的式子．

生：如圖，在銳角?ABC中，過A作單位向量j垂直于，則j與的夾角為90??A,j與的夾角為90??C。

由向量的加法可得

??

對(duì)上面向量等式兩邊同取與向量j的數(shù)量積運(yùn)算，得到

j?

AC?CB?j?AB

?90??90??C)

?90??A)

?asinC?csinA

同理，過點(diǎn)C作與垂直的單位向量j，可得

cb ?sinCsinB

∴abc ??sinAsinBsinC

師：當(dāng)?ABC為鈍角三角形時(shí)，設(shè)A?90?，如圖，過點(diǎn)A作與AC垂直的向量j，則j與的夾角為A?90?，j與的夾角為90??C，同樣可證得

abc ??sinAsinBsinC

師：課后同學(xué)考慮一下正弦定理還有沒有其它的方法證明？

師：請同學(xué)們觀察正弦定理，利用正弦定理可以解什么類型的三

角形問題？

生：已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角；已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，可以求出三角形的其他的邊和角。

（2）例題分析

例1在?ABC中，已知c?10,A?45?,C?30?，求b（保留兩個(gè)有效數(shù)字）bc且B?180??(A?C)?105? ?sinBsinC

c?sinB10?sin105?∴b???19 sinCsin30?解：∵

例2在?ABC中，已知a?4,b?42,B?45?，求?A。abasinB1得sinA??? sinAsinBb2

∵?ABC中a?b∴A為銳角∴A?30? 解：由

例3在?ABC中，?B?45?,?C?60?,a?2(?1)，求?ABC的面積S。解：首先可證明：S?ABC?

這組結(jié)論可作公式使用。

其次求b邊 1111ah??absinC?bcsinA?acsinB。2222

?

?A?180??(B?C)?75?

∴由正弦定理，b?asinB?sinA2(3?1)(2)?4 ?2

∴S?ABC?11absinC??2(3?1)?4?()?6?23 222

3．演練反饋

（1）在?ABC中，一定成立的等式是（）

A．a(chǎn)sinA?bsinBB．a(chǎn)cosA?bcosB

C．a(chǎn)sinB?bsinAD．a(chǎn)cosB?bcosA

（2）在?ABC中，若a

Acos2?bBcos2?cCcos2，則?ABC是（）

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．等邊三有形

（3）在任一?ABC中，求證a(sinB?sinC)?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0 參考答案：（1）C；（2）D；（3）證：由于正弦定理：令a?ksinA,B?ksinB,c?ksinC代入左邊得：左邊＝k(sinAsinB?sinAsinC?sinBsinC?sinBsinA?sinCsinA?sinCsinB)?0＝右邊

4．總結(jié)提煉

（1）三角形常用公式：A?B?C??；S?

弦定理以及下節(jié)將要學(xué)習(xí)的余弦定理。111absinC?bcsinA?casinB；正222

?a?2RsinAabc?（2）；?b?2RsinB；???2R（外接圓直徑）sinAsinBsinC?c?2RsinC?

a:b:c?sinA:sinB:sinC。

（3）正弦定理應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其他兩邊及一角。

②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。

③幾何作圖時(shí)，存在多種情況。如已知a、b及A，求作三角形時(shí)，要分類討論，確定解的個(gè)數(shù)。

第四篇：高中數(shù)學(xué) 《正弦定理》教案1 蘇教版必修5

第 1 課時(shí)：§1.1正弦定理（1）

【三維目標(biāo)】：

一、知識(shí)與技能

1.通過對(duì)任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容和推導(dǎo)過程；

2.能解決一些簡單的三角形度量問題（會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題）；能夠運(yùn)用正弦定理解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題；

3.通過三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識(shí)間聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.4.在問題解決中,培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和自主探索能力．

二、過程與方法

讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；

2.培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想能力，通過三角函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】：

重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

【學(xué)法與教學(xué)用具】：

1.學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：abc??，接著就一般斜三角形sinAsinBsinC

進(jìn)行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關(guān)系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對(duì)正弦定理進(jìn)行推導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量知識(shí)的簡捷，新穎。

2.教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀、直尺、計(jì)算器

【授課類型】：新授課

【課時(shí)安排】：1課時(shí)

【教學(xué)思路】：

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1.在直角三角形中的邊角關(guān)系是怎樣的？

2.這種關(guān)系在任意三角形中也成立嗎？

3.介紹其它的證明方法

二、研探新知

1.正弦定理的推導(dǎo)

aB,sinB?,sinC?1，cC

abcabc 即 c?，c?，c?∴== sinAsinBsinCsinAsinBsinC（1）在直角三角形中：sinA?

能否推廣到斜三角形？

（2）斜三角形中

證明一：（等積法，利用三角形的面積轉(zhuǎn)換）在任意斜△ABC中，先作出三邊上的高AD、BE、CF，則AD?csinB，BE?asinC，CF?bsinA．所以S?ABC?111absinC?acsinB?

bcsinA，每項(xiàng)22

21abc

??同除以abc即得：．

2sinAsinBsinC

證明二：（外接圓法）如圖所示，∠A＝∠D

bcaa?2R，?2R ??CD?2R同理 ∴

sinAsinDsinBsinC

???????????????

證明三：（向量法）過A作單位向量j垂直于AC，由AC+CB?AB，兩邊同乘以單位向量j得j

????????????????

?(AC+CB)?j?AB，則j?AC+j?CB?j?AB

??????

????????????

∴|j|?|AC|cos90?+|j|?|CB|cos(90??C)=| j|?|AB|cos(90??A)

ac

∴asinC?csinA∴=

sinAsinC????cbabc

??同理，若過C作j垂直于CB得：=∴ sinAsinBsinCsinCsinB

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

a

sinA

2.理解定理

?

b

sinB

?

c

sin

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a?ksinA,b?ksinB,c?ksinC；

（2）

abcabbcac

==等價(jià)于=，=，=，即可得正弦定理的sinAsinBsinCsinAsinBsinBsinCsinAsinC

變形形式：

1）a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC；

abc,sinB?,sinC?； 2R2R2R

3）sinA:sinB:sinC?a:b:c．

2）sinA?

（3）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可解決以下兩類斜三角形問題：1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；如a?

bsinA

； sinB

a

sinB。b

2）兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角．如sinA?一般地，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解斜三角形，有兩解或一解（見圖示）．

a?bsinAbsinA?a?ba?ba?b

一解兩解一解一解

abc

注意：（1）正弦定理的敘述：在一個(gè)三角形中。各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，==

sinAsinBsinC

它適合于任何三角形。（2）可以證明

abc

?2R（R為△ABC外接圓半徑）==

sinAsinBsinC

（3）每個(gè)等式可視為一個(gè)方程：知三求一

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1 已知在?ABC中，c?10,A?450,C?300,求a,b和B 解：?c?10,A?45,C?30∴B?180?(A?C)?105由

ac

?得sinAsinC

csinA10?sin450bc

???2 a?由得 sinBsinCsinCsin300

csinB10?sin1050?20

b???20sin75?20??56?52 0

sinC4sin30

例2 在?ABC中，b?,B?600,c?1,求a和A,C

bccsinB1?sin6001解：∵?,?sinC???，?b?c,B?600,?C?B,C為銳角，sinBsinCb2

3?C?300,B?900∴a?b2?c2?

2例3 ?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C

accsinA6?sin450300

?,?sinC???解：? ?csinA?a?c,?C?60或120 sinAsinCa22csinB6sin750

?當(dāng)C?60時(shí)，B?75,b???3?1，0

sinCsin60

csinB6sin150

?當(dāng)C?120時(shí)，B?15,b????

1sinCsin600

?b??1,B?750,C?600或b?3?1,B?150,C?1200

例4 試判斷下列三角形解的情況：（1）已知b?11,c?12,B?600

（2）已知a?7,b?3,A?1100（3）已知b?6,c?9,B?450

四、鞏固深化，反饋矯正

1.在?ABC中，三個(gè)內(nèi)角之比A:B:C?1:2:3，那么a:b:c等于____ 2.在?ABC中，B?1350,C?150,A?5,則此三角形的最大邊長為_____

3.在?ABC中，已知a?xcm,b?2cm,B?450，如果利用正弦定理解三角形有兩解，則的取值范圍是_____ 4.在?ABC中，已知b?2csinB，求?C的度數(shù)

五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

1．用三種方法證明了正弦定理：

（1）轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關(guān)系；（2）利用向量的數(shù)量積．（3）外接圓法 2．理論上正弦定理可解決兩類問題：

（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

（2）兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角．

3.（1）判斷三角形的形狀特征，必須深入研究邊與邊的大小關(guān)系：是否兩邊相等？是否三邊相等？還要研究角與角的大小關(guān)系：是否兩角相等？是否三角相等？有無直角？有無鈍角？

（2）此類問題常用正弦定理（或?qū)W(xué)習(xí)的余弦定理）進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化、化簡、運(yùn)算，揭示出邊與邊，或角與角的關(guān)系，或求出角的大小，從而作出正確的判斷．

六、承上啟下，留下懸念

七、板書設(shè)計(jì)（略）

八、課后記：

第五篇：高中數(shù)學(xué)必修5第一章正弦定理

1．1．1正弦定理

（一）教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)與技能:通過對(duì)任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.過程與方法:讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。

3．情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

（二）教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

（三）學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：a

sinA?b

sinB?c

sinC，接著就一般斜

三角形進(jìn)行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關(guān)系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對(duì)正弦定理進(jìn)行推導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量知識(shí)的簡捷，新穎。

教學(xué)用具：直尺、投影儀、計(jì)算器

（四）教學(xué)設(shè)想

[創(chuàng)設(shè)情景]

如圖1．1-1，固定?ABC的邊CB及?B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)。思考：?C的大小與它的對(duì)邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

顯然，邊AB的長度隨著其對(duì)角?C的大小的增大而增大。能否

用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來？

[探索研究](圖1．1-1)

在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．1-2，在Rt?ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)

abc?sinA，?sinB，又sinC?1?,A cabc則???csinsinsinabc從而在直角三角形ABC中，CaB ??sinAsinBsinC的定義，有

(圖1．1-2)

思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？

（由學(xué)生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

3如圖1．1-3，當(dāng)?ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asinB?bsinA,則同理可得從而

a

sin?

b

sin，c

sinC?

?

b

sinB?，a

sinA

b

sinB

c

sinC

AcB

(圖1．1-3)思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。

（證法二）：過點(diǎn)A作j?AC，C 由向量的加法可得AB?AC?CB

??????

??????????

??????????????

則j?AB?j?(AC?CB)????????????????∴j?AB?j?AC?j?CBj

??????????0

jABcos?90?A??0?jCBcos?900?C?

∴csinA?asinC，即

ac

?

?????bc

同理，過點(diǎn)C作j?BC，可得?

從而

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin

類似可推出，當(dāng)?ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin

[理解定理]

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；（2）

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin等價(jià)于

a

sinA

?

b

sinB，c

sinC

?

b

sinB，a

sinA

?

c

sinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?

bsinA

； sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

ab

[例題分析]

例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C?1800?(A?B)

?1800?(32.00?81.80)

?66.20；

根據(jù)正弦定理，asinB42.9sin81.80b???80.1(cm)；

sin32.00

根據(jù)正弦定理，asinC42.9sin66.20c???74.1(cm).sin32.00

評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。

例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精確到10，邊

長精確到1cm）。

解：根據(jù)正弦定理，bsinA28sin400

sinB???0.8999.因?yàn)?0＜B＜1800，所以B?640，或B?1160.⑴ 當(dāng)B?640時(shí)，C?1800?(A?B)?1800?(400?640)?760，asinC20sin760c???30(cm).sin400

⑵ 當(dāng)B?1160時(shí)，C?1800?(A?B)?1800?(400?1160)?240，asinC20sin240c???13(cm).sin400

評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。

[隨堂練習(xí)]第5頁練習(xí)第1（1）、2（1）題。

a?b?c

sinA?sinB?sinC

abc

分析：可通過設(shè)一參數(shù)k(k>0)使???k,sinAsinBsinC

abca?b?c

證明出 ???

sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

abc

解：設(shè)???k(k>o)

sinAsinBsinC

則有a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC

a?b?cksinA?ksinB?ksinC

從而==k

sinA?sinB?sinCsinA?sinB?sinC

例3．已知?ABC中，?A?

600，a?求

又

a

sinA

?

a?b?c

?2?k，所以=2 sinA?sinB?sinC評(píng)述：在?ABC中，等式

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

?

a?b?c

?k?k?0?

sinA?sinB?sinC

恒成立。

[補(bǔ)充練習(xí)]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

[課堂小結(jié)]（由學(xué)生歸納總結(jié)）（1）定理的表示形式：

a

sinAsinBsinC

或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)

（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； ②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。

（五）評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

①課后思考題：（見例3）在?ABC中，?

b

?

c

?

a?b?c

?k?k?0?；

sinA?sinB?sinC

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

?k(k>o)，這個(gè)k與?ABC有

什么關(guān)系？

②課時(shí)作業(yè)：第10頁[習(xí)題1.1]A組第1（1）、2（1）題。