第一篇：2013考研證明題系列-題目3

題目3是一道積分不等式的證明，是李永樂或者陳文燈書上都可以找到的題目。其中方法很典型，里面的一些技巧也是證明題中常用的，所以我把這道題弄出來進行剖析，將自己的思路展現(xiàn)給大家看看。

拿到這道題目，大家可能都有點傻眼了。怎么表達式這么復雜？！！而且絕對值，積分號，求導號讓人眼花繚亂，感覺根本不知道從何下手。我們不妨先從三個獨立的表達式分析起走。第一個表達式

首先要明白這個式子說的是什么東西。讀懂表達式，是你做證明題的根本！不難看出，這個式子說的就是|f(x)|的在區(qū)間[a,b]的最大值。寫的這么高深，弄得大家心里發(fā)慌，其實根本就是一只紙老虎嘛！我們并不關心最大值在哪一點取得，所以我們可以把取得最大值的這一點設為ξ，則這個式子可以化成|f(ξ)|.你看，這樣一簡化，是不是顯得更加簡潔和舒服，讓自己的信心也增加了不少。第二個表達式

這個式子對積分熟悉一點的看見了就應該有一種很強烈的反應，就是積分中值定理！所以這個式子我們也可以簡化一下成|f(η)|.這樣一來，不但大大簡化了表達式，而且成功的與第一個表達式聯(lián)系了起來！這樣對題目的認知也就在簡化中一點一點的清晰化了！第三個表達式

這個表達式相對于前面兩個來說要復雜一些，因為它沒有很好的化簡方式。所以我們只有暫且不管這個表達式，把它作為一個常量，擺在那里，考慮去處理表達式1,2，使得能夠得到表達式3！

為此，我們將表達式1和表達式2放在一起，于是移項，得到下面不等式，也就是我們需要證明的！

注意到左邊兩個式子|f(ξ)|-|f(η)|，看見這個，然后考慮到這是一道不等式的題目，并且ξ，η

都是未知的一個數(shù)，我們應該立即聯(lián)想到放縮，用什么放縮？絕對值不等式！

|x|-|y|<=|x-y|，然后邏輯方向（也就是不等式的方向）也是正確的，所以放心大膽的做吧！如此一來，我們便可以一口氣做下去了。于是得到下面的解答！

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最后需要再多說兩句的就是放縮的后期有一步非常經(jīng)典

注意到?jīng)]有，第一步的那個等號是這道題里面最難也是最精華的部分。反用牛頓--萊布尼茨公式。成功將積分和導數(shù)聯(lián)系在了一起，破解了這個看似超級復雜的證明題！

后面的就是定積分的基本性質(zhì)

雖然這個式子平時看起來覺得再熟悉簡單不過了，可是真正使用的時候還是不簡單的。最后對這個題目打一個小結，這道題到底讓我們學到了哪些知識和思想方法。

知識1：積分中值定理，在某些時候可以簡化表達式

知識2：絕對值不等式以及定積分里面的絕對值不等式

知識3：牛頓--萊布尼茨公式的逆用

考察的知識不難，關鍵如何將這些知識串聯(lián)起來，這是需要不斷訓練的，當然，通過平時練習多總結多思考，就是提高的最快路徑了！

思想方法1：對證明的式子需要有個宏觀把握，能簡化的要簡化，這樣便于你看清楚整個題目間的關系。

思想方法2：不等式證明中間肯定有放縮，這個時候需要找出一定放縮的方法，而且更重要的是判斷放縮的方向是否正確，如果正確才可繼續(xù)往下做。

思想方法3：對公式的逆用。有些時候我們做題做多了，往往對有些公式只會順著用，反過來如何用未曾或者很少想過。其實，像這種難度較大的不等式，往往有一定的思想方法在里面，通過這道題目，我們也學習到了牛頓萊布尼茨公式逆用的威力。可以聯(lián)系積分與導數(shù)！總而言之，這道題目難度不小，不過也不是天馬行空的，仔細琢磨，會發(fā)現(xiàn)里面有很多思想是值得學習借鑒的！

最后選了一道題目，供大家練習

第二篇：考研數(shù)學證明題題目11

今天還是討論關于不等式的問題。

這次的這個不等式大家看見了一定不會陌生，因為思路很容易就拿出來了。就是轉(zhuǎn)化成求一個函數(shù)的極值問題。然后解法一就誕生了。

上面的方法估計是絕大多數(shù)人都會采用的方法，算是一種通法了。也是必須得掌握的重要思想方法之一。

然而，是不是這個題目除了這種方法就沒有其他的辦法來做了呢？答案是否定的。

注意到需要證明的不等式可以先化成e^x>x^2-2ax+1，而左邊的式子要和冪函數(shù)聯(lián)系起來，很容易想到的就是馬克勞林展開。于是可以嘗試著看看是否能夠利用這個來做。

首先可以試著將e^x展開到二階的，然后看看是否能夠證明需要的不等式。發(fā)現(xiàn)不行，然后再繼續(xù)多展開一階。于是，解法二橫空出世。

說句實話，就這道題而言，這種方法確實挺復雜的，而且還沒有求導的方法精確。不過，這種思想方法對于一些題目來說，卻可能是重要的突破口！下面看看一道習題吧。

由于這道題目比較難，所以直接給出解答。

這個題目可以說相當于反用冪級數(shù)的展開，然后利用馬克老林余項的估值最后證明出結論。這個看似很一般的題目，中間卻蘊含著無限的思想，需要大家細細品味！

第三篇：考研數(shù)學證明題題目10

今天來看看不等式的題目。不等式對于我們來說應該是再熟悉不過的了，初中的時候?qū)W過一次二次不等式，高中更是系統(tǒng)學習了不等式，在考研試題里面，也不乏不等式的題目。不等式的題目相對比較靈活，綜合性很強，是考察數(shù)學能力的一個很好的方式。雖然很活，不過對于考研來說，這些題目也都有一定的方法和思想，是大家可以掌握的。這里就大家比較容易忽略的某些方法說說自己的理解。

看到題目應該有一種很相似的感覺。因為不等式的中間部分貌似就是拉格朗日中值定理。于是，有一種沖動，試試這種方法是否可行。

嘗試了一下，發(fā)現(xiàn)左邊已經(jīng)證明出來了。這時應該比較欣慰，因為題目做出了一半。于是心想著，右邊應該同理也可以證明吧。不管三七二十一，先試一下。

試完以后，悲劇了！居然無法證明出來。怎么辦？只有另找一種出路。

很多參考書上給的解答都是構造一個輔助函數(shù)，這個輔助函數(shù)就是將b換成x，成為一個關于x的函數(shù)，然后利用導數(shù)工具研究這個函數(shù)的性質(zhì)從而得出最終的證明結果。這種方法很典型，需要大家比較熟練運用。不過，對于這道題來說，這種方法有點復雜了，因為構造的函數(shù)很長一串兒，看起來也不大舒服。于是可以嘗試下其他的方法。

對于這道題而言，a,b都是成對的出現(xiàn)的，而且a,b出現(xiàn)的次數(shù)都一樣，亦即齊次式。所以，我們總可以通過一定變形，使得這個表達式成為一個關于a/b或者b/a的式子。

然后產(chǎn)生了下面的解法

這個解法對于有經(jīng)驗的人來說是很自然的，因為證明不等式有三化，齊次化，線性化和局部化，這里體現(xiàn)的就是齊次化思想。

這道題目本身不難，但是題目中蘊含的思想?yún)s不少。

1拉格朗日中值定理也可以用來證明不等式，不過放縮的范圍比較大，不夠精確！

2對于齊次式，我們可以將其轉(zhuǎn)變成單變元問題（多變元化單變元），然后研究一個一元函數(shù)的性質(zhì)就能夠知道相應的一些關系。

3要充分利用夠題目的條件！比如此題中b>a，則b/a=t>1！如果不用的話就會出問題的！然后看看練習吧

第四篇：2013考研證明題系列-題目7

這是一個積分 等式問題。處理積分等式的方法通常有幾種，第一種是利用構造輔助函數(shù)來證明，另外一種則是利用分部積分來證明。這道題，我們得仔細觀察下形式是怎樣的。不難發(fā)現(xiàn)，這個形式與泰勒的展開式極其相似。所以我們可以將關注的焦點放在泰勒展開上面。于是，很自然的，考慮構造輔助函數(shù)。

注：這種構造方法是很常見的，無論是在證明積分不等式還是積分等式！都可以先轉(zhuǎn)換成積分上限函數(shù)，通過其性質(zhì)來證明相關命題！

下一步是將這個積分上限函數(shù)展開成泰勒展開式。這里又涉及到兩個問題：

1）到底應該展開成幾階的。這時候，我們應該看看題目要證的命題需要我們展開到幾階。明顯，題目里面出現(xiàn)了條件具有二階導數(shù)，所以最多可以展開到二階，而命題中也有2階導數(shù)，所以，我們需要把這個積分上限函數(shù)展開到3階！

2）應該在哪一點展開。從結論中也可以看出，需要在(a+b)/2點展開。

于是，展開式如下：

這個時候，離最后的證明還差一些，就是怎么在這樣的條件下得到需要的式子。令x=b，這個時候可以得到需要的左邊的式子。但是右邊還差一些

這時候可以再令x=a.此時，左邊等于0，右邊奇數(shù)次導數(shù)項和上面的式子的奇數(shù)次導數(shù)項互為相反數(shù)，而偶數(shù)次導數(shù)項相同，一旦相減，就離最后的結論更近了。

于是我們得到了如下的解法

最后一步利用連續(xù)介值定理（條件有說二階導數(shù)連續(xù)）來做的，這一步看似簡單實際上卻是很重要而且很容易被大家忽略的一步。不這樣做，容易出現(xiàn)以下的一種錯誤！

這種方法是對知識掌握不牢固的同學容易犯的錯誤。因為在泰勒公式里面，ξ是一個變量，準確的寫法應該是f(ξ(x))，也就是說，ξ是關于x的函數(shù)，所以上面式子的最后一項的積分是積不出來的！

最后，對此題進行小結。這道題是典型的將積分（不）等式先構造相應的積分上限函數(shù)來做的，其中涉及的知識有泰勒展開和連續(xù)性介值定理。題目的條件告訴了我們，一般來說，一

道題目是沒有無用的條件，如果條件沒有用完，那么很可能你的方法是錯誤的。比如這道題的那種錯誤的解法！沒有用到二階導數(shù)連續(xù)！

最后練習一道題吧！

第五篇：2013考研證明題系列-題目4

這道題看上去就比較容易入手。因為題目有兩個問題，一般來說，第一問是為第二問做鋪墊的，往往第二問可以用到第一問的結論，就算用不到，第一問也會給第二問帶來很明確的方向。

還是條件入手，分析條件，從正向邊界，平面區(qū)域，不難得出此題是二重積分和曲線積分的轉(zhuǎn)換問題，應該使用格林公式來做。于是分別對第一問左右兩邊用格林公式，轉(zhuǎn)換成二重積分。

對比二重積分的被積表達式，發(fā)現(xiàn)其實并不完全一樣。所以這個時候我們又得考慮一下，是不是哪個條件沒有用上。仔細觀察下給的條件，發(fā)現(xiàn)積分區(qū)域沒用上，這個區(qū)域有個特點，就是很對稱，不過不關于x軸也不關于y軸對稱，而是關于y=x對稱。于是OK了。利用這種對稱性，成功的證明兩個二重積分是相等的了！

下面接著做第二問。

第二問是一個不等式問題，如果沒有第一問的鋪墊，也算是比較難的了，不過有了第一問，那么就相對簡單些了。

先做一些處理

這一步也算是得力于第一問了。就是利用y=x對稱的這個性質(zhì)！這樣一來，我們將多變量轉(zhuǎn)換成了單變量，這也是做題的一種策略！

可是即使做到這一步，我們也無法直接得出結論，并且e^sinx這種函數(shù)是無法積分（準確說無法找出初等原函數(shù)），加上題目本身也不是讓你準確積出來，而是證明不等式，所以聯(lián)想到放縮！

于是下一步考察e^x+e^（-x）這個函數(shù)的性質(zhì)

為了能夠積分容易，泰勒公式是一個不錯的選擇，它將各種函數(shù)都弄成了冪函數(shù)的形式，而

冪函數(shù)正是很容易積分的形式。于是，將e^x+e^（-x）在x=0點展開。一放縮，本題就得出答案了，具體過程如下。

最后總結一下這道題目

題目分析過程不算特別難，主要就是格林公式的應用和二重積分的對稱性，以及最后的泰勒公式展開。

但是有兩個地方值得挖掘

（1）題目可以一般化！

方法與上面一模一樣，這里不贅述。不過需要注意的是，第二問就無法證明大于等于5/2π^2,只能證明大于等于2π^2

（2）對于本題的第二問，我們可以從解答中看出，還可以繼續(xù)不斷的進行更強的放縮

得到的結果也更加強！

這一種方法給我們的啟示就是：對于那種無法積出具體分的積分不等式，我們可以利用泰勒展開來做。適當放縮就可以得到答案！

下面就這個方法，給一道習題

此題左邊比較容易，右邊稍微有點難，可以嘗試一下！