第一篇：中學數(shù)學建模 -----學生創(chuàng)新思維的升華

中學數(shù)學建模-----學生創(chuàng)新思維的升華

【摘 要】數(shù)學建模是用數(shù)學解決實際問題的橋梁，是體現(xiàn)數(shù)學功能的工具。它有助于學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數(shù)學與日常生活和其他學科的聯(lián)系；有助于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，發(fā)展學生的創(chuàng)新思維能力。本文結(jié)合自己的學習體會談?wù)勗鯓釉诟咧袛?shù)學教學過程中滲透數(shù)學建模思想，強化數(shù)學建模的應(yīng)用意識，培養(yǎng)學生應(yīng)用數(shù)學的創(chuàng)新思維。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學建模意識 創(chuàng)新思維 數(shù)學模型 數(shù)學問題

隨著社會的發(fā)展,數(shù)學在社會各領(lǐng)域中的應(yīng)用越來越廣泛,作用越來越大,不但運用于自然科學各學科、各領(lǐng)域,而且滲透到經(jīng)濟、軍事、管理以至于社會科學和社會活動的各領(lǐng)域。我國普通中學的數(shù)學教學大綱中也明確提出要“切實培養(yǎng)學生解實際問題的能力”，要求“增強運用數(shù)學的意識，能初步用數(shù)學模型解決實際問題，逐步學會把實際問題歸結(jié)為數(shù)學模型，然后運用數(shù)學方法進行探索、猜測、判斷、證明、運算、檢驗使問題得到解決”。這些要求不僅符合數(shù)學本身發(fā)展的需要，而且也是社會發(fā)展的需要。而數(shù)學素質(zhì)一般認為包括：數(shù)學意識、問題解決、邏輯推理和信息交流四個方面。數(shù)學建模既有“數(shù)學意識”的因素，也是“問題解決”的一部份。因此在中學實施“數(shù)學建?！钡慕虒W是提高學生應(yīng)用意識和數(shù)學素質(zhì)的重要途徑之一。也是培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力的重要舉措。一、中學數(shù)學建模教與學的現(xiàn)狀

由于歷史的原因和現(xiàn)行大綱、教材的滯后性，教師在教學上，難于將數(shù)學建模教學落到實處。數(shù)學應(yīng)用問題在未列入高考問題之前，急功近利，在中學數(shù)學教學中得不到應(yīng)有的重視。

在常規(guī)教學中，教學要求是由大綱和教材來體現(xiàn)的，它作為教學的準則，既是教學的出發(fā)點，又是歸宿。然而，我國目前中學數(shù)學大綱和教材存在著如下的問題：

⑴僅對基礎(chǔ)知識作了較為詳盡的規(guī)定和闡述，而對學習中發(fā)生重要而長遠影響的數(shù)學應(yīng)用能力只作了原則性的規(guī)定，更缺乏必要的案例，教學目的籠統(tǒng)抽象，不能為科學地測量、評價、分析與比較提供一個確定的標準。

⑵現(xiàn)行教材中應(yīng)用題的編選缺乏建模的培養(yǎng)。例如，下面從教材中挑選的兩例： ①[初中]：光的速度約為3×10千米/秒，太陽光照射到地球上大約需要5×10

52秒。求地球與太陽之間的距離。

②[高中]：在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10，a12=31，求首項a1與公差d。

以上例題都停留在布盧姆認知領(lǐng)域教學目標中的第三層次。學生解這些應(yīng)用題時思想不需要上升到縱觀全局的層次，不必去判別整個情景，只要根據(jù)問題的表述，甚至找到幾個關(guān)鍵詞，去套用對應(yīng)的某些方法即可。因此，學生在考試中應(yīng)用題的得分遠低于其它題目。為此必須改革現(xiàn)行教材，加強數(shù)學建模教學，增加活動性和參與性，形成完整的現(xiàn)代數(shù)學教學體系。

二、數(shù)學建模與數(shù)學建模意識

著名數(shù)學家Whitehead曾說：“數(shù)學就是對于模式的研究”。所謂數(shù)學模型，是指對于現(xiàn)實世界的某一特定研究對象，為了某個特定的目的，在做了一些必要的簡化假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學工具，并通過數(shù)學語言表述出來的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)，數(shù)學中的各種基本概念，都以各自相應(yīng)的現(xiàn)實原型作為背景而抽象出來的數(shù)學概念。各種數(shù)學公式、方程式、定理、理論體系等等，都是一些具體的數(shù)學模型。而通過對問題數(shù)學化，模型構(gòu)建，求解檢驗使問題獲得解決的方法稱之為數(shù)學模型方法。我們的數(shù)學教學說到底實際上就是教給學生前人給我們構(gòu)建的一個個數(shù)學模型和怎樣構(gòu)建模型的思想方法，以使學生能運用數(shù)學模型解決數(shù)學問題和實際問題。

數(shù)學建模教學，是指在課堂教學中，以具體案例作為教學內(nèi)容，通過具體問題的建模示例，介紹數(shù)學建模的思想方法。課堂上可以是教師講，也可以進行課堂討論，由學生發(fā)言，報告對問題的理解和所建數(shù)學模型的認識，并提出新的數(shù)學模型，對其分析討論、求解、驗證。然后，把所有的數(shù)學模型進行比較。數(shù)學建模教學是一個引導學生學數(shù)學、做數(shù)學、用數(shù)學的過程。這對于提高學生數(shù)學素質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力大有益處，也是由應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)變的一條有效途徑。學生的數(shù)學建模能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數(shù)學建模意識貫穿在教學的始終，也就是要不斷的引導學生用數(shù)學思維的觀點去觀察、分析和表示各種事物關(guān)系、空間關(guān)系和數(shù)學信息，從紛繁復雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數(shù)學模型，進而達到用數(shù)學模型來解決實際問題，使數(shù)學建模意識成為學生思考問題的方法和習慣。

三、構(gòu)建數(shù)學建模意識的基本途徑

1、為了培養(yǎng)學生的建模意識，中學數(shù)學教師應(yīng)首先需要提高自己的建模意識。中學數(shù)學教師除需要了解數(shù)學科學的發(fā)展歷史和發(fā)展動態(tài)之外，還需要不斷地學習一些新的數(shù)學建模理論，并且努力鉆研如何把中學數(shù)學知識應(yīng)用于現(xiàn)實生活。

2、數(shù)學建模教學還應(yīng)與現(xiàn)行教材結(jié)合起來研究。教師應(yīng)研究在各個教學章節(jié)中可引入哪些模型問題，如講立體幾何時可引入正方體模型或長方體模型把相關(guān)問題放入到這些模型中來解決；又如在解幾中講了兩點間的距離公式后，可引入兩點間的距離模型解決一些具體問題；而儲蓄問題、信用貸款問題則可結(jié)合在數(shù)列教學中。要經(jīng)常滲透建模意識，這樣通過教師的潛移默化，學生可以從各類大量的建模問題中逐步領(lǐng)悟到數(shù)學建模的廣泛應(yīng)用，從而激發(fā)學生去研究數(shù)學建模的興趣，提高他們運用數(shù)學知識進行建模的能力。

3、注意與其它相關(guān)學科的關(guān)系。由于數(shù)學是學生學習其它自然科學以至社會科學的工具而且其它學科與數(shù)學的聯(lián)系是相當密切的。因此我們在教學中應(yīng)注意與其它學科的呼應(yīng)，這不但可以幫助學生加深對其它學科的理解，也是培養(yǎng)學生建模意識的一個不可忽視的途徑。例如教了正弦型函數(shù)后，可引導學生用模型函數(shù)y?Asin(?x??),寫出物理中振動圖象或交流圖象的數(shù)學表達式?？梢?，這樣的模型意識不僅僅是抽象的數(shù)學知識，而且將對他們學習其它學科的知識以及將來用數(shù)學建模知識探討各種邊緣學科產(chǎn)生深遠的影響。

四、把構(gòu)建數(shù)學建模意識與培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維過程統(tǒng)一起來。

在諸多的思維活動中，創(chuàng)新思維是最高層次的思維活動，是開拓性、創(chuàng)造性人才所必須具備的能力。我認為培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維的過程有三點基本要求。第一、對周圍的事物要有積極的態(tài)度；第二、要敢于提出問題；第三、善于聯(lián)想，善于理論聯(lián)系實際。因此在數(shù)學教學中構(gòu)建學生的建模意識實質(zhì)上是培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力，因為建?；顒颖旧砭褪且豁梽?chuàng)造性的思維活動。它既具有一定的理論性又具有較大的實踐性；既要求思維的數(shù)量，還要求思維的深刻性和靈活性，而且在建?；顒舆^程中，能培養(yǎng)學生獨立，自覺地運用所給問題的條件，尋求解決問題的最佳方法和途徑，可以培養(yǎng)學生的想象能力，直覺思維、猜測、轉(zhuǎn)換、構(gòu)造等能力。而這些數(shù)學能力正是創(chuàng)造性思維所具有的最基本的特征。

1、發(fā)揮學生的想象能力，培養(yǎng)學生的直覺思維

眾所周知，數(shù)學史上不少的數(shù)學發(fā)現(xiàn)來源于直覺思維，如笛卡爾坐標系、費爾馬大定理、歌德巴赫猜想、歐拉定理等，應(yīng)該說它們不是任何邏輯思維的產(chǎn)物，而是數(shù)學家通過觀察、比較、領(lǐng)悟、突發(fā)靈感發(fā)現(xiàn)的。通過數(shù)學建模教學，使學生有獨到的見解和與眾不同的思考方法，如善于發(fā)現(xiàn)問題，溝通各類知識之間的內(nèi)在聯(lián)系等是培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維的核心。

2、構(gòu)建建模意識，培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)換能力

恩格斯曾說過：“由一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式不是無聊的游戲而是數(shù)學的杠桿，如果沒有它，就不能走很遠?！庇捎跀?shù)學建模就是把實際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學問題，因此如果我們在數(shù)學教學中注重轉(zhuǎn)化，用好這根有力的杠桿，對培養(yǎng)學生思維品質(zhì)的靈活性、創(chuàng)造性及開發(fā)智力、培養(yǎng)能力、提高解題速度是十分有益的。

3、以“構(gòu)造”為載體，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力

我們前面講到，“建?！本褪菢?gòu)造模型，但模型的構(gòu)造并不是一件容易的事，又需要有足夠強的構(gòu)造能力，而學生構(gòu)造能力的提高則是學生創(chuàng)造性思維和創(chuàng)造能力的基礎(chǔ)：創(chuàng)造性地使用已知條件，創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學知識。

綜上所述，在數(shù)學教學中構(gòu)建學生的數(shù)學建模意識與素質(zhì)教育所要求的培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力是相輔相成，密不可分的。要真正培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，光憑傳授知識是遠遠不夠的，重要的是在教學中必須堅持以學生為主體，不能脫離學生搞一些不切實際的建模教學，我們的一切教學活動必須以調(diào)動學生的主觀能動性，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維為出發(fā)點，引導學生自主活動，自覺的在學習過程中構(gòu)建數(shù)學建模意識，這些要求不僅符合數(shù)學本身發(fā)展的需要，也是社會發(fā)展的需要。因為我們的數(shù)學教學不僅要使學生獲得新的知識而且要提高學生的思維能力，要培養(yǎng)學生自覺地運用數(shù)學知識去考慮和處理日常生活、生產(chǎn)中所遇到的問題，從而形成良好的思維品質(zhì)只有這樣才能使學生分析和解決問題的能力得到長足的進步，也只有這樣才能真正提高學生的創(chuàng)新能力，使學生學到有用的數(shù)學。

參考文獻：

1．胡炯濤、張凡 《中學數(shù)學教學縱橫談》山東教育出版社，1997年12月第1版。2.沈文選編著《數(shù)學建?！泛蠋煷蟪霭嫔?，1999年7月第1版。

3．袁震東，趙小平《數(shù)學建模——新專題教程》華東師范大學出版社 2009-4-1 4．中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會 《面向21世紀的數(shù)學教學》 浙江教育出版社1997年5月第1版。

5.劉彭芝，王珉珠 《中學數(shù)學課題學習指導——數(shù)學探究、數(shù)學建模與數(shù)學文化》中國人民大學出版社2010-7-1

第二篇：淺談中學數(shù)學教育中創(chuàng)新思維的培養(yǎng)

淺談中學數(shù)學教育中創(chuàng)新思維的培養(yǎng)

臨澤四中向雷

[論文關(guān)鍵詞]中學數(shù)學教學 課堂教學 創(chuàng)新思維

[論文摘要]培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力是素質(zhì)教育的核心，作為中學數(shù)學教師，如何在日常課堂教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，實施創(chuàng)新教育，是實現(xiàn)新一輪數(shù)學課程改革的關(guān)鍵所在。將課堂教學、數(shù)學學科教學、教學過程三者有機的結(jié)合起來，是實施中學數(shù)學教學中學生創(chuàng)新能力培養(yǎng)的主渠道。

心理學表明創(chuàng)新能力是教師根據(jù)一定的目的任務(wù)，運用一切已知的信息，開展能動思維，產(chǎn)生新穎獨特，有社會和個人價值的智力品質(zhì)。在科學技術(shù)、知識經(jīng)濟時代，一個國家、民族創(chuàng)新水平如何，已經(jīng)成為決定其榮辱興衰的重要因素。培養(yǎng)中學生創(chuàng)新能力是跨世紀人類發(fā)展和社會進步的要求。教師對思維過程的展開，能不能替代學生自己的思維活動？不能。數(shù)學的認識活動是理性活動，數(shù)學思維來自本人的心理運算和對運算的抽象理解，無法靠傳授知識和傳授方法來代替。而通過學生自己的思考發(fā)現(xiàn)知識，就必然會經(jīng)歷一定的組織或轉(zhuǎn)換嵌進知識結(jié)構(gòu)的某種模式。才能完善和反現(xiàn)某認知結(jié)構(gòu)，同時發(fā)展認知能力。因此獨立思考是發(fā)展學生數(shù)學認知能力的需要，同時也直接影響人的創(chuàng)造力和意志品德的養(yǎng)成關(guān)系到今后能否成才。只有敢于猜想、大膽假設(shè)，才能促進學生從多層次、多角度地去思考問題，促使思維打破常規(guī)，產(chǎn)生新的思想，新的觀念，新的理論，對培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力具有深遠的意義。

一、教師在課堂教學中應(yīng)積極提升自身的創(chuàng)新意識很能力

在某種意義上說，只有創(chuàng)新型的教師才能實施創(chuàng)新教育，才能培養(yǎng)出創(chuàng)新型的學生。因此，教師的創(chuàng)新意識和能力，是培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維的首要條件。要在中學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，教師首先應(yīng)該具有創(chuàng)新的意識和能力。這就要求教師應(yīng)具備敬業(yè)精神的基礎(chǔ)上，注重自身知識結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，克服認知上的偏差，并且及時更新自身的教育觀念，注重培養(yǎng)自身的創(chuàng)新素質(zhì)，從而使自身具備較高的創(chuàng)新能力和較強的創(chuàng)新意識，這樣才能夠更好的在數(shù)學教學的過程中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識,實現(xiàn)素質(zhì)教育與新課程改革的最終目標。

二、激發(fā)學生的興趣，充分調(diào)動學生的創(chuàng)造意識

眾所周知，數(shù)學相對其他課程教學內(nèi)容抽象、形式枯燥、邏輯推理嚴謹，致使普通中學的好多學生感到乏味、厭倦。因此在教學過程中教師應(yīng)注重激發(fā)學生的學習興趣，使學生樂于學習之中，把學習作為生活的一部分而終身學習；在教學中要有計劃、有步驟地對學生實施興趣的培養(yǎng)和激發(fā)，營造生動活潑的課堂氛圍，使他們潛在的學習愿望變成實際的學習行為；要根據(jù)教學內(nèi)容恰當控制動機水平；要妥善進行獎罰，心理學研究表明表揚鼓勵比批評往往更能激發(fā)學生學習的動機。贊科夫說過“凡是沒有發(fā)自內(nèi)心求知欲和興趣的東西，是很容易從記憶中揮發(fā)掉的”。興趣可以產(chǎn)生學習的動機，有了興趣，教學才能取得良好的效果。可以說，在數(shù)學教育中“興趣是最好的老師”。

第三篇：中學數(shù)學教學中創(chuàng)新思維的培養(yǎng)淺析

中學數(shù)學教學中創(chuàng)新思維的培養(yǎng)淺析

教師的創(chuàng)造與學生的創(chuàng)造是密切關(guān)聯(lián)的。富于創(chuàng)造性的教師最懂得怎樣把學生引入創(chuàng)造的宮殿，使學生發(fā)揮創(chuàng)造才能。在中學數(shù)學教學中如何實施創(chuàng)新教育，本文從激發(fā)學生的創(chuàng)新意識和培養(yǎng)創(chuàng)新思維習慣談一點自己的認識與實踐。

一、讓學生感到數(shù)學很有用

愛因斯坦說的好，興趣是最好的教師，它永遠超過責任感。這就告訴我們，與智力相比，創(chuàng)新能力還受動機、意志、情感、個性心理品質(zhì)等非智力因素的制約。在智力因素同等的條件下，非智力因素的差異對學生創(chuàng)新能力的影響是顯而易見的。學生在學習數(shù)學的過程中是興高采烈還是冷漠呆滯，是其樂融融還是愁眉苦臉，伴隨著數(shù)學知識的獲得，學生對數(shù)學學習的態(tài)度越來越積極還是越來越消極，學習信心越來越強還是越來越弱，這些都將影響著學生數(shù)學學習中的創(chuàng)新能力的發(fā)展。因此，我們應(yīng)把非智力因素的培養(yǎng)放在應(yīng)有的位置，激發(fā)學生的學習興趣。

二、創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)創(chuàng)新意識

在數(shù)學課堂學習中，教師要不斷地向?qū)W生提出新的數(shù)學問題，為更深入的數(shù)學思維活動提供動力和方向，使數(shù)學思維活動持續(xù)不斷地向前發(fā)展。合適的數(shù)學問題必須符合下列條件：(1)問題要有方向性。這是指問題要有明確的目的，要使學生的思維趨向于教學目標。(2)問題的難度要適中。這是指問題不宜太難和太易，難易之間要有一定的坡度。(3)問題要有啟發(fā)性。有的教師往往把啟發(fā)式誤認為提問式，認為問題提得越多越好，其實，問題并不在多少，而在于是否具有啟發(fā)性，是否是關(guān)鍵性的問題，是否能夠觸及問題的本質(zhì)，并引導學生深入思考。

有“問”，才有所思、所想，才有發(fā)明創(chuàng)新。我國著名教育家陶行知先生曾說過：“發(fā)明千百萬，起點是一問”。創(chuàng)設(shè)恰當?shù)膯栴}情境，能激發(fā)學生學習興趣，拓寬思路，啟迪思維，激發(fā)創(chuàng)新意識。中學數(shù)學教材重視學科的科學性、系統(tǒng)性。文字表達嚴謹、準確，但很少創(chuàng)設(shè)問題情境，不利于激發(fā)學生的思維。為此，教師要緊密聯(lián)系教學實際，深入鉆研教材，提出有價值的問題。以觸發(fā)學生的興奮點，引發(fā)探求欲望與動機。

三、加強數(shù)學美育，用數(shù)學的美去感染學生

美是自然界的客觀真理與人的主觀感受的和諧統(tǒng)一，數(shù)學作為人類最偉大的精神產(chǎn)品之一，其美是超乎尋常的。大數(shù)學家克萊因曾用這樣的話來形容數(shù)學的美：“數(shù)學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作，音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質(zhì)生活。但數(shù)學能給予以上的一切”。對數(shù)學美的感受是發(fā)明創(chuàng)造的基礎(chǔ)，數(shù)學家龐加萊深有感觸地說：“能夠做出數(shù)學發(fā)現(xiàn)的人，是具有感覺數(shù)學中的秩序、和諧、對稱、整齊和神秘等能力的人，而且只限于這種人”因此，在培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力為核心目標的素質(zhì)教育中應(yīng)特別重視學生審美感受體驗的教育。數(shù)學的美是數(shù)學的魅力之所在，數(shù)學概念的簡潔、統(tǒng)一，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的和諧、對稱，數(shù)學命題與數(shù)學模型的概括性、典型性和普遍性，數(shù)學中的奇異性，都是數(shù)學美的體現(xiàn)，“哪里有數(shù)學，哪里就有美”。我們的數(shù)學教學，就是要充分挖掘數(shù)學的美，以美增奇，以美啟真，以美添趣。要讓學生被數(shù)學的美深深吸引，要讓他們自覺地去發(fā)現(xiàn)美，欣賞美，進而創(chuàng)造美。在美的薰陶下，得到情感的陶冶，思維的啟迪，素質(zhì)的提高。

在教學中教師要充分利用數(shù)學美的因素如精美的圖形、有趣的關(guān)系、和諧的統(tǒng)一和簡潔的式子、命題間關(guān)系的相似或?qū)ΨQ等喚起美的意識，獲得美的感受體驗，逐步形成數(shù)學美的觀念，并注意揭示數(shù)學美的內(nèi)涵，以加深對數(shù)學美的理解，提高數(shù)學的審美觀。也可以利用數(shù)學史上的那些令人陶醉的世界名題，如哥德巴赫猜想、費馬大定理的故事和一些經(jīng)典問題，如百雞問題、雞兔同籠問題的令人賞心悅目，精巧絕倫的美妙解法來豐富學生對數(shù)學美的認識，增強學習數(shù)學的情趣。

教師的創(chuàng)造與學生的創(chuàng)造是密切關(guān)聯(lián)的。富于創(chuàng)造性的教師最懂得怎樣把學生引入創(chuàng)造的宮殿，使學生發(fā)揮創(chuàng)造才能。在中學數(shù)學教學中如何實施創(chuàng)新教育，本文從激發(fā)學生的創(chuàng)新意識和培養(yǎng)創(chuàng)新思維習慣談一點自己的認識與實踐。

一、讓學生感到數(shù)學很有用

愛因斯坦說的好，興趣是最好的教師，它永遠超過責任感。這就告訴我們，與智力相比，創(chuàng)新能力還受動機、意志、情感、個性心理品質(zhì)等非智力因素的制約。在智力因素同等的條件下，非智力因素的差異對學生創(chuàng)新能力的影響是顯而易見的。學生在學習數(shù)學的過程中是興高采烈還是冷漠呆滯，是其樂融融還是愁眉苦臉，伴隨著數(shù)學知識的獲得，學生對數(shù)學學習的態(tài)度越來越積極還是越來越消極，學習信心越來越強還是越來越弱，這些都將影響著學生數(shù)學學習中的創(chuàng)新能力的發(fā)展。因此，我們應(yīng)把非智力因素的培養(yǎng)放在應(yīng)有的位置，激發(fā)學生的學習興趣。

二、創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)創(chuàng)新意識

在數(shù)學課堂學習中，教師要不斷地向?qū)W生提出新的數(shù)學問題，為更深入的數(shù)學思維活動提供動力和方向，使數(shù)學思維活動持續(xù)不斷地向前發(fā)展。合適的數(shù)學問題必須符合下列條件：(1)問題要有方向性。這是指問題要有明確的目的，要使學生的思維趨向于教學目標。(2)問題的難度要適中。這是指問題不宜太難和太易，難易之間要有一定的坡度。(3)問題要有啟發(fā)性。有的教師往往把啟發(fā)式誤認為提問式，認為問題提得越多越好，其實，問題并不在多少，而在于是否具有啟發(fā)性，是否是關(guān)鍵性的問題，是否能夠觸及問題的本質(zhì)，并引導學生深入思考。

有“問”，才有所思、所想，才有發(fā)明創(chuàng)新。我國著名教育家陶行知先生曾說過：“發(fā)明千百萬，起點是一問”。創(chuàng)設(shè)恰當?shù)膯栴}情境，能激發(fā)學生學習興趣，拓寬思路，啟迪思維，激發(fā)創(chuàng)新意識。中學數(shù)學教材重視學科的科學性、系統(tǒng)性。文字表達嚴謹、準確，但很少創(chuàng)設(shè)問題情境，不利于激發(fā)學生的思維。為此，教師要緊密聯(lián)系教學實際，深入鉆研教材，提出有價值的問題。以觸發(fā)學生的興奮點，引發(fā)探求欲望與動機。

三、加強數(shù)學美育，用數(shù)學的美去感染學生

美是自然界的客觀真理與人的主觀感受的和諧統(tǒng)一，數(shù)學作為人類最偉大的精神產(chǎn)品之一，其美是超乎尋常的。大數(shù)學家克萊因曾用這樣的話來形容數(shù)學的美：“數(shù)學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作，音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質(zhì)生活。但數(shù)學能給予以上的一切”。對數(shù)學美的感受是發(fā)明創(chuàng)造的基礎(chǔ)，數(shù)學家龐加萊深有感觸地說：“能夠做出數(shù)學發(fā)現(xiàn)的人，是具有感覺數(shù)學中的秩序、和諧、對稱、整齊和神秘等能力的人，而且只限于這種人”因此，在培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力為核心目標的素質(zhì)教育中應(yīng)特別重視學生審美感受體驗的教育。數(shù)學的美是數(shù)學的魅力之所在，數(shù)學概念的簡潔、統(tǒng)一，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的和諧、對稱，數(shù)學命題與數(shù)學模型的概括性、典型性和普遍性，數(shù)學中的奇異性，都是數(shù)學美的體現(xiàn)，“哪里有數(shù)學，哪里就有美”。我們的數(shù)學教學，就是要充分挖掘數(shù)學的美，以美增奇，以美啟真，以美添趣。要讓學生被數(shù)學的美深深吸引，要讓他們自覺地去發(fā)現(xiàn)美，欣賞美，進而創(chuàng)造美。在美的薰陶下，得到情感的陶冶，思維的啟迪，素質(zhì)的提高。

在教學中教師要充分利用數(shù)學美的因素如精美的圖形、有趣的關(guān)系、和諧的統(tǒng)一和簡潔的式子、命題間關(guān)系的相似或?qū)ΨQ等喚起美的意識，獲得美的感受體驗，逐步形成數(shù)學美的觀念，并注意揭示數(shù)學美的內(nèi)涵，以加深對數(shù)學美的理解，提高數(shù)學的審美觀。也可以利用數(shù)學史上的那些令人陶醉的世界名題，如哥德巴赫猜想、費馬大定理的故事和一些經(jīng)典問題，如百雞問題、雞兔同籠問題的令人賞心悅目，精巧絕倫的美妙解法來豐富學生對數(shù)學美的認識，增強學習數(shù)學的情趣。

第四篇：數(shù)學建模在培養(yǎng)創(chuàng)新思維中的作用

數(shù)學建模在培養(yǎng)創(chuàng)新思維中的作用 在大力推廣素質(zhì)教育的今天，數(shù)學作為工具學科，在其他自然學科以及社會學科中起到了舉足輕重的作用。如何使學生拋棄以前學習數(shù)學的枯燥乏味，而主動地參與到輕松快樂的數(shù)學學習中去，為國家培養(yǎng)出更多更好的創(chuàng)造性人才，這是擺在我們面前的大問題。我認為要提高中學數(shù)學教學質(zhì)量，不僅僅是為了提高學生的數(shù)學成績，更重要的是能使學生學到有用的數(shù)學，真正認識到數(shù)學來源于生活。我認為在中學數(shù)學教學中構(gòu)建數(shù)學建模意識無疑是我們中學數(shù)學教學改革的一個正確的突破方向。

一、構(gòu)建數(shù)學模型的意義 在解決實際問題的過程中，常常要先進行調(diào)查研究，搜集數(shù)據(jù)，利用圖表、計算機等去組織、解釋、選擇、分析處理信息，從模糊的實際課題中經(jīng)過分析、聯(lián)想、假設(shè)、抽象的數(shù)學加工過程，建立數(shù)學模型，再予以解決。模型在表達問題的本質(zhì)方面具有最突出的作用，它將實驗的無序狀態(tài)轉(zhuǎn)化成明確的數(shù)學問題，在構(gòu)建數(shù)學模型，解決實際問題的數(shù)學活動中，學生的基礎(chǔ)知識、基本技能訓練得到加強，運算能力、邏輯思維能力、空間觀念等三大能力得到提高，用數(shù)學的意識由朦朧感趨向形成，創(chuàng)新精神在數(shù)學活動中得到體現(xiàn)和落實。

二、正確理解數(shù)學建模，培養(yǎng)數(shù)學建模意識

所謂數(shù)學模型，是指對于現(xiàn)實世界的某一特定研究對象，為了某個特定的目的，在做了一些必要的簡化假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學工具，并通過數(shù)學語言表述出來的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)，數(shù)學中的各種基本概念，都以各自相應(yīng)的現(xiàn)實原型作為背景而抽象出來的數(shù)學概念。各種數(shù)學公式、方程式、定理、理論體系等等，都是一些具體的數(shù)學模型。舉個簡單的例子，二次函數(shù)就是一個數(shù)學模型，很多數(shù)學問題甚至實際問題都可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來解決。而通過對問題數(shù)學化，模型構(gòu)建，求解檢驗使問題獲得解決的方法稱之為數(shù)學模型方法。我們的數(shù)學教學說到底實際上就是教給學生前人給我們構(gòu)建的一個個數(shù)學模型和怎樣構(gòu)建模型的思想方法，以使學生能運用數(shù)學模型解決數(shù)學問題和實際問題?！皵?shù)學建?！钡倪^程我可以用下面的一個程序來表示：

培養(yǎng)學生運用數(shù)學建模解決實際問題的能力，關(guān)鍵是把實際問題抽象為數(shù)學問題。必須首先通過觀察分析、提煉出實際問題的數(shù)學模型，然后再把數(shù)學模型納入某知識系統(tǒng)去處理，這不但要求學生有一定的抽象能力，而且要有相當?shù)挠^察、分析、綜合、類比能力。學生的這種能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數(shù)學建模意識貫穿在教學的始終，也就是要不斷的引導學生用數(shù)學思維的觀點去觀察、分析和表示各種事物關(guān)系、空間關(guān)系和數(shù)學信息，從紛繁復雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數(shù)學模型，進而達到用數(shù)學模型來解決實際問題，使數(shù)學建模意識成為學生思考問題的方法和習慣。

三、構(gòu)建數(shù)學建模意識的基本途徑

1、為了培養(yǎng)學生的建模意識，中學數(shù)學教師應(yīng)首先需要提高自己的建模意識。這不僅意味著我們在教學內(nèi)容和要求上的變化，更意味著教育思想和教學觀念的更新。中學數(shù)學教師除需要了解數(shù)學科學的發(fā)展歷史和發(fā)展動態(tài)之外，還需要不斷地學習一些新的數(shù)學建模理論，并且努力鉆研如何把中學數(shù)學知識應(yīng)用于現(xiàn)實生活。例如：由于過度砍伐森林和破壞植被，我國許多地區(qū)頻頻受到沙塵暴的侵害。近日，A市氣象站測得沙塵暴中心在A市的正西方向300千米的B處，以10千米/小時的速度向東偏南30。的方向移動，距沙塵暴中心250米的范圍是受其影響的區(qū)域。（1）通過計算說明A必受到這次沙塵暴的影響；（2）計算A市受沙塵暴影響的時間。

2、數(shù)學建模教學還應(yīng)與新教材結(jié)合起來研究。教師應(yīng)研究在各個教學章節(jié)中可引入哪些模型問題，如講立體幾何時可引入正方體模型或長方體模型把相關(guān)問題放入到這些模型中來解決；又如在解平面幾何中講了兩點間的距離公式后，可引入兩點間的距離模型解決一些具體問題；而儲蓄問題、信用貸款問題則可結(jié)合在數(shù)列教學中。要經(jīng)常滲透建模意識，這樣通過教師的潛移默化，學生可以從各類大量的建模問題中逐步領(lǐng)悟到數(shù)學建模的廣泛應(yīng)用，從而激發(fā)學生去研究數(shù)學建模的興趣，提高他們運用數(shù)學知識進行建模的能力。

3、注意與其它相關(guān)學科的關(guān)系。

由于數(shù)學是學生學習其它自然科學以至社會科學的工具而且其它學科與數(shù)學的聯(lián)系是相當密切的。因此我們在教學中應(yīng)注意與其它學科的呼應(yīng)，這不但可以幫助學生加深對其它學科的理解，也是培養(yǎng)學生建模意識的一個不可忽視的途徑。例如教了正弦型函數(shù)后，可引導學生用模型函數(shù)寫出物理中振動圖象或交流圖象的數(shù)學表達式。又如當學生在化學中學到（甲烷）、（四氯化碳），金剛石等物理性質(zhì)時，可用立體幾何模型來驗證它們的鍵角。可見，這樣的模型意識不僅僅是抽象的數(shù)學知識，而且將對他們學習其它學科的知識以及將來用數(shù)學建模知識探討各種邊緣學科產(chǎn)生深遠的影響。

4、在教學中還要結(jié)合專題討論與建模法研究。我們可以選擇適當?shù)慕ｎ}，如“代數(shù)法建?！?、“圖解法建模”、“直（曲）線擬合法建?！?，通過討論、分析和研究，熟悉并理解數(shù)學建模的一些重要思想，掌握建模的基本方法。甚至可以引導學生通過對日常生活的觀察，自己選擇實際問題進行建模練習，從而讓學生嘗到數(shù)學建模成功的“甜”和難于解決的“苦”借亦拓寬視野、增長知識、積累經(jīng)驗。如：中國象棋棋盤中蘊含著直角坐標系，如下圖是中國象棋棋盤的一半，棋子“馬”走的規(guī)則是沿“日”形的對角線走，例如，圖中“馬”所在的位置可以直接走到A、B等處。若“馬”的位置在C點，為了到達D點，請按“馬”走的規(guī)則，在下圖的棋盤上用虛線畫出一種你認為合理的行走路線。

四、把構(gòu)建數(shù)學建模意識與培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維過程統(tǒng)一起來

在諸多的思維活動中，創(chuàng)新思維是最高層次的思維活動，是開拓性、創(chuàng)造性人才所必須具備的能力。我認為培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維的過程有三點基本要求。第一、對周圍的事物要有積極的態(tài)度；第二、要敢于提出問題；第三、善于聯(lián)想，善于理論聯(lián)系實際。因此在數(shù)學教學中構(gòu)建學生的建模意識實質(zhì)上是培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力，因為建模活動本身就是一項創(chuàng)造性的思維活動。它既具有一定的理論性又具有較大的實踐性；既要求思維的數(shù)量，還要求思維的深刻性和靈活性，而且在建?；顒舆^程中，能培養(yǎng)學生獨立，自覺地運用所給問題的條件，尋求解決問題的最佳方法和途徑，可以培養(yǎng)學生的想象能力，直覺思維、猜測、轉(zhuǎn)換、構(gòu)造等能力。而這些數(shù)學能力正是創(chuàng)造性思維所具有的最基本的特征。

1、發(fā)揮學生的想象能力，培養(yǎng)學生的直覺思維。

眾所周知，數(shù)學史上不少的數(shù)學發(fā)現(xiàn)來源于直覺思維，如笛卡爾坐標系、費爾馬大定理、歌德巴赫猜想、歐拉定理等，應(yīng)該說它們不是任何邏輯思維的產(chǎn)物，而是數(shù)學家通過觀察、比較、領(lǐng)悟、突發(fā)靈感發(fā)現(xiàn)的。通過數(shù)學建模教學，使學生有獨到的見解和與眾不同的思考方法，如善于發(fā)現(xiàn)問題，溝通各類知識之間的內(nèi)在聯(lián)系等是培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維的核心。

2、構(gòu)建建模意識，培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)換能力。由于數(shù)學建模就是把實際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學問題，因此如果我們在數(shù)學教學中注重轉(zhuǎn)化，用好這根有力的杠桿，對培養(yǎng)學生思維品質(zhì)的靈活性、創(chuàng)造性及開發(fā)智力、培養(yǎng)能力、提高解題速度是十分有益的。

一位老師曾在教學中講過“洗衣問題”：

給你一桶水，洗一件衣服，如果我們直接將衣服放入水中就洗；或是將水分成相同的兩份，先在其中一份中洗滌，然后在另一份中清一下，哪種洗法效果好？答案不言而喻，但如何從數(shù)學角度去解釋這個問題呢？

我們借助于溶液的濃度的概念，把衣服上殘留的臟物看成溶質(zhì)，設(shè)那桶水的體積為X，衣服的體積為Y，而衣服上臟物的體積為Z，當然Z應(yīng)非常小，與X，Y比可忽略不計。第一種洗法中，衣服上殘留的臟物為：；按第二種洗法：第一次洗后衣服上殘留的臟物為：，第二次洗后衣服上殘留的臟物為：。顯然有<。

這就證明了第二種洗法效果好一些。

事實上，這個問題可以更引申一步，如果把洗衣過程分為Ｋ步（Ｋ給定）則怎樣分才能使洗滌效果最佳？

學生對這個問題的進一步研究，無疑會激發(fā)其學習數(shù)學的主動性，且能開拓學生創(chuàng)造性思維能力，養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)問題，獨立思考的習慣。

3、以“構(gòu)造”為載體，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力

“一個好的教師與一個蹩腳的教師之間的差別，就在于前者有許多具體的例子，而后者則只有抽象的理論。” 我們前面講到，“建模”就是構(gòu)造模型，但模型的構(gòu)造并不是一件容易的事，又需要有足夠強的構(gòu)造能力，而學生構(gòu)造能力的提高則是學生創(chuàng)造性思維和創(chuàng)造能力的基礎(chǔ)：創(chuàng)造性地使用已知條件，創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學知識。

如：在一條筆直的大街上，有n座房子，每座房子里有一個或更多的小孩，問：他們應(yīng)在什么地方會面，走的路程之和才能盡可能地少？

分析：如何表示房子的位置？構(gòu)造數(shù)軸，用數(shù)軸表示筆直的大街，幾座房子分別位于

x1,x2......xn ,不妨設(shè)

x1

f（x）= 最小。

從上面例子可以看出，只要我們在教學中教師仔細地觀察，精心的設(shè)計，可以把一些較為抽象的問題，通過現(xiàn)象除去非本質(zhì)的因素，從中構(gòu)造出最基本的數(shù)學模型，使問題回到已知的數(shù)學知識領(lǐng)域，并且能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。綜上所述，在數(shù)學教學中構(gòu)建學生的數(shù)學建模意識與素質(zhì)教學所要求的培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力是相輔相成，密不可分的。要真正培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，光憑傳授知識是遠遠不夠的，重要的是在教學中必須堅持以學生為主體，不能脫離學生搞一些不切實際的建模教學，我們的一切教學活動必須以調(diào)動學生的主觀能動性，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維為出發(fā)點，引導學生自主活動，自覺的在學習過程中構(gòu)建數(shù)學建模意識，只有這樣才能使學生分析和解決問題的能力得到長足的進步，也只有這樣才能真正提高學生的創(chuàng)新能力，使學生學到有用的數(shù)學。我們相信，在開展素質(zhì)教育的同時，大力滲透“建模教學”必將為中學數(shù)學課堂教學改革提

第五篇：做好中學數(shù)學建模,提升數(shù)學課程價值

做好中學數(shù)學建模,提升數(shù)學課程價值

2016年即將推出的新修訂的高中數(shù)學課程標準，最突出的變化是突出了“立德樹人”的根本要求，在學科課程的學習中，通過落實學科核心素養(yǎng)的教與學來培養(yǎng)人和發(fā)展人。

數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的、后天形成的、可以通過數(shù)學學習過程培養(yǎng)的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)，包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學核心素養(yǎng)既有獨立性，又相互交融，形成了一個有機整體。

作為數(shù)學核心素養(yǎng)之一，數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程，主要包括：在實際情境中，從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，建立模型，求解結(jié)論，驗證結(jié)果并改進模型，最終解決實際問題。

數(shù)學模型搭建了數(shù)學與外部世界的橋梁，是數(shù)學應(yīng)用的重要形式。它是應(yīng)用數(shù)學解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學發(fā)展的動力。

高中數(shù)學課程標準指出，通過高中數(shù)學課程的學習，學生能感悟數(shù)學與現(xiàn)實之間的關(guān)聯(lián)，學會用數(shù)學模型解決實際問題，積累數(shù)學實踐的經(jīng)驗；加深對數(shù)學內(nèi)容的理解；學會交流與合作；提升應(yīng)用能力，增強創(chuàng)新意識和科學精神；認識數(shù)學建模在解決科學、社會、工程技術(shù)等問題中的作用。新的課程標準不僅對提升數(shù)學建模素養(yǎng)提出要求，而且進一步給出課時和學業(yè)質(zhì)量標準方面的要求。

作為一線教師，如何將提升學生數(shù)學建模素養(yǎng)的要求落實在日常教學中呢？數(shù)學建模素養(yǎng)的形成，需要過程，需要積累，需要交流和反思，也需要問題和情境。為此，在具體教學中要特別注意以下幾點。

1.提高認識，勇于實踐

在上一輪的課程改革中，數(shù)學建模已經(jīng)被寫入高中課程標準，但由于沒有課時安排、教學資源匱乏等，并未實際進入課堂。近幾年，由于數(shù)學和數(shù)學應(yīng)用的快速發(fā)展，數(shù)學建模成為大學理工科和部分文科專業(yè)的必修內(nèi)容，成為創(chuàng)新人才培養(yǎng)的有效途徑，成為改變學生學習方式、提升創(chuàng)新精神和實踐能力的有效手段，因而不斷得到重視。

通過已有的建模實踐，我們也深刻地感受到數(shù)學建模能很好地表現(xiàn)出“立德樹人”的要求。做建模的過程，是教師和學生一起成長的過程。團隊中的很多教師有這樣的感受，困難是暫時的，資源和經(jīng)驗是在參與中快速增長的，而學生的成長變化是每日可見的，是我們做建模的動力源。

2.把握層次，及時滲透

數(shù)學建模是新課標的核心素養(yǎng)，具有很強的綜合性，與其他核心素養(yǎng)聯(lián)系緊密、相互交融。數(shù)學建模素養(yǎng)的養(yǎng)成，需要一個漸進的而又有層次的過程，需要在各章節(jié)及內(nèi)容上有意滲透，逐漸提升要求。因此，從數(shù)學應(yīng)用滲透到完整的數(shù)學建?；顒樱ㄒ韵聦哟危?/p>

（1）為了幫助學生理解、建立概念、函數(shù)、定理、公式等而有意設(shè)計的實際情境。（2）直接套用數(shù)學概念、函數(shù)、定理、公式等，給出有實際意義的結(jié)果，或者解釋、說明、得到結(jié)果的實際意義。（3）通過簡單的變換，間接套用數(shù)學概念、函數(shù)、定理、公式等，給出有實際意義的結(jié)果。（4）教師或教材給出實際問題，引領(lǐng)學生完成數(shù)學化的，簡單、具體的數(shù)學應(yīng)用。（5）教師或教材給出實際問題，學生自主完成數(shù)學化的，簡單、具體的數(shù)學應(yīng)用。（6）教師或教材給出問題情境，學生自主提出實際問題，師生一起完成“建立模型”和“模型求解”等主要過程的數(shù)學活動。（7）全過程（選題、開題、做題、結(jié)題）、學生部分自主（在發(fā)現(xiàn)提出問題、模型的選擇和建立、求解模型、給出模型結(jié)果的解釋等環(huán)節(jié)中，教師部分參與，給予指導和支持）的數(shù)學建?；顒?。（8）全過程、全自主（學生自主發(fā)現(xiàn)提出問題，自主完成數(shù)學化的建模過程，自主求解模型，自主給出模型結(jié)果的解釋，在整個過程中，可以自主尋求教師的幫助）的數(shù)學建?；顒印?/p>

作為一線教師，應(yīng)在日常教學中有意完成（1）（2）（3）（4）的內(nèi)容，可以在章節(jié)復習中出現(xiàn)（5）的要求。

（6）（7）（8）是數(shù)學建模的專項要求，教材中會有體現(xiàn)，教師可根據(jù)學生的情況，選擇做到一定程度，如可以只做到（6）的水平。

此外，做好數(shù)學建模滲透，也要有意識地抓住“滲透點”。例如：（1）指數(shù)函數(shù)―人口增長、指數(shù)爆炸。（2）有實際背景和意義的函數(shù)圖像。（3）數(shù)列的通項與求和―存款的本金和利息的計算。（4）分段函數(shù)―郵費或打車費用的計算。（5）三角函數(shù)的應(yīng)用―有實際意義的高度、距離和角度的計算。（6）有實際意義的三角函數(shù)值、周期的計算或解釋。（7）直線和二次曲線的實際意義（拱橋曲線、入射線、反射線等）……

3.關(guān)注過程，積累資源

高中數(shù)學課程標準對“數(shù)學建?；顒印碧岢隽诉^程的要求，主要是指建模要以課題研究的形式來開展。課題可由教師給定，也可由學生與教師協(xié)商確定。課題研究的過程，包括選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié)。學生要撰寫開題報告，教師要組織開展開題交流活動。開題報告包括選題的意義、文獻綜述、解決問題思路、研究計劃、預期結(jié)果等；做題就是解決問題的過程，包括描述問題、數(shù)學表達、建立模型、求解模型、得到結(jié)論、反思完善等過程；結(jié)題包括撰寫研究報告和報告研究結(jié)果，由教師組織學生開展結(jié)題答辯。根據(jù)選題內(nèi)容，報告可以采用專題作業(yè)、測量報告、算法程序、制作實物或研究論文等多種形式，而且學生也可以采取獨立的方式或者小組合作的方式，完成課題研究。學生的開題、解題報告，都是不可多得的建模再學習的資源，值得我們分析和挖掘。

本文主要通過一組教學案例來表現(xiàn)以上的想法。

建?；顒影咐?：蚊香問題的開題討論

問題情境：市場中所賣某品牌的一片蚊香如圖1所示。它的俯視外觀圖是一個近似的中心對稱圖形，我們也稱這片蚊香的過對稱中心的弦為“直徑”。經(jīng)測量，最大直徑長為119毫米，最小直徑長為106毫米。這一片蚊香可以打開、拆成形狀一樣但旋轉(zhuǎn)方向相反的兩盤蚊香。

問：（1）每盤蚊香大致可以燃燒多長時間（精確到0.1小時）？

（2）如果市場上需要此種品牌的持續(xù)燃燒時間分別為4小時、8小時、10小時的蚊香，分別計算它們對應(yīng)的蚊香片的最大直徑（精確到1毫米）。

過程簡介：

（1）學生提供上網(wǎng)檢索，或者自己購買一片蚊香做燃燒實驗。經(jīng)過實驗，發(fā)現(xiàn)該蚊香的燃燒速度約為每小時 12 厘米。（2）開題。教師組織學生個人或小組討論后，讓學生努力給出解決問題的技術(shù)路線，在班內(nèi)交流解決問題的大體思路，互相啟發(fā)，互相質(zhì)疑，從而提高解決問題的可行性。

教師給學生比較充分的時間和機會表達不同的想法，學生會提出確定蚊香長度的各種模型和算法，此時教師應(yīng)要求學生比較優(yōu)劣，主要想法如表1所示。

做題、結(jié)題環(huán)節(jié)從略。

說明：

這個案例是教師給出確定問題，用選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié)來推進數(shù)學建模活動的一個案例。案例的重點是：表現(xiàn)學生在“開題”環(huán)節(jié)試圖解決此問題的不同思考。為了保證數(shù)學建模的效果，應(yīng)特別注重過程和活動的設(shè)計，防止變成“講練范式”，保障學生在建模過程中獨立思考的機會和權(quán)利。

建模活動案例2：學校內(nèi)、外建筑物的測高

目的：通過測量學校內(nèi)的可及目標（旗桿和教學樓的高）和校外的不可及目標（如校外鄰近的一座寫字樓）的高度，讓學生通過分組、合作學習，用選題、開題、做題、結(jié)題四環(huán)節(jié)，結(jié)合幾何或三角知識解決實際測高問題，體驗數(shù)學建?；顒拥囊粋€完整過程。

情境（測量任務(wù)）：

測量本校一座教學樓的高度；測量本校旗桿的高度；測量學校墻外的一座不可及但在學校操場上可以看見的高大寫字樓（或其他可見的高大建筑）的高度。要求學生組成2～3人的測量小組，以小組為單位完成實際測量的數(shù)據(jù)獲取，以個人為單位填寫測量報告（含測量方法、計算過程和計算的數(shù)據(jù)和結(jié)果）。

活動過程：

（1）選題：由教師給出原始問題

教師可以對學生提出如下的要求和建議：①成立工作小組，討論小組的工作目標、分工，準備相應(yīng)的測量工具（可以自制一些簡單的測量工具，如測角的工具）。②測量之前，應(yīng)通過小組成員間的“頭腦風暴”，討論交流，明確測量方案，分工測量數(shù)據(jù)。最好有兩套方案測量同一建筑物，思考如何才能減小誤差。查閱有關(guān)資料，設(shè)法發(fā)現(xiàn)并提出一些測量效率高的新方法。③分工合作，完成實際測量，及時記錄好測量數(shù)據(jù)。④完成計算和報告，在課上交流，可用實物、照片、模型、PPT等形式表現(xiàn)小組成果和創(chuàng)意。

（2）開題：交流

組織課堂上的開題交流，讓學生分組討論自己打算采用的測量方法，教師和其他同學可以提出質(zhì)疑。例如，有的學生提出可以通過測量仰角來計算高度，有的學生提出可以利用太陽的影子來測量樓或旗桿的高度，有的學生提出可以用照相機拍一張測量對象和參照物如已知身高的人在一起的照片，通過參照物的高度按比例算出樓的高度……這時教師要適時追問、相互探討，讓學生明確測量要用到的數(shù)學模型，培養(yǎng)他們的良好的思維習慣和科研習慣。

事先認真思考，可以減少實踐過程中的盲目、低效和失誤，也可以讓學生意識到看似簡單的問題中也有不少需要認真思考的事物。

（3）做題：實測

①測量實施的地點可以選擇學校內(nèi)外的開闊地帶，如操場、停車場等，要求學生合作完成，但應(yīng)獨立地填寫“測量報告”?？砂才旁诮y(tǒng)一的時間，這對教師的現(xiàn)場觀察和管理有利。

②在學生測量過程中，教師要認真巡視，發(fā)現(xiàn)和記錄態(tài)度認真、合作默契、測量方法好的測量小組和個人，特別注意觀察和發(fā)現(xiàn)測量中的問題。不合理的測量方法，會造成測量結(jié)果出現(xiàn)很大的誤差和嚴重失實。當學生出現(xiàn)類似問題時，教師要把它看成一個極好的教育契機，讓學生對出現(xiàn)這樣問題的原因進行分析和反思，引導他們發(fā)現(xiàn)問題，尋求解決問題的辦法。而且，教師要仔細觀察，認真記錄測量現(xiàn)場學生比較好的創(chuàng)意和測量中的問題，以供講評時使用。

（4）結(jié)題交流和評價

在學生完成“測量報告”后，可安排一次交流講評活動，安排報告的學生最好有特點，如測量結(jié)果準確、測量過程完整清晰、測量方法有創(chuàng)意、誤差處理有手段、報告書寫認真到位……實際上，這種交流講評的環(huán)節(jié)往往是數(shù)學建模過程中讓學生收獲最大的環(huán)節(jié)。

（5）生成可拓展的資源（師生共同提出測量后的拓展問題）

這樣的測量方法，對嗎？全班中有一多半的學生，采用照相法測旗桿的高。要點如下：讓一個已知身高1.8米的A學生站在旗桿下，拍一張照片，再從照片上“量出”旗桿有7個A學生的身高，于是就可以推斷旗桿有7×1.8=12.6米高。如果正確，為什么，原理是什么？如果不對，為什么，如何矯正？

以下是測量后學生提出的新問題，同樣可以成為建模的新的生成性資源。

①本市的最高建筑物―電視塔的高度是多少米？

②一座高度為H米的電視塔，它的信號傳播半徑是多少千米？信號覆蓋面積有多大？

③找一張北京市的地圖，看一看該市的地域面積有多少平方千米？電視塔的位置在地圖的什么地方，根據(jù)計算得到的數(shù)據(jù)，看看這座電視塔發(fā)出的電視信號是否可以覆蓋該市？

……

分析：

測量樓高是一個很傳統(tǒng)的數(shù)學應(yīng)用問題，該課題對培養(yǎng)學生分析和解決問題、動手實踐、誤差分析等能力很有好處。測量的模型方法可以以幾何為主，如比例線段、相似形等，也可以用三角方法，甚至可以用物理方法，如自由落體的記時、幾何光學的雙鏡法等。因此，教師應(yīng)鼓勵學生合作學習，自主設(shè)計、選擇測量方法解決問題。也可以提出這樣的要求，用兩種不同的方法測量同一對象。

此案例是教師給出確定問題，內(nèi)容貼近學生已經(jīng)學過的知識，比較容易上手。不用“講練”模式，而用選題、開題、做題、結(jié)題四環(huán)節(jié)來推進建?；顒?，是為了學生能有效地參與解決問題的過程。在合作交流中，通過想一想、選一選、議一議、說一說、做一做、講一講、評一評、比一比等形式，做中學，學中做，體會數(shù)學的應(yīng)用價值，展現(xiàn)個性特長，嘗試創(chuàng)新。

通過建模案例，我們可以看到，要善于設(shè)計和組織有效的數(shù)學建模活動，讓學生“卷入、投入、深入”其中，在活動中展示個性特長，表現(xiàn)智慧和創(chuàng)造力，激發(fā)興趣，提升素養(yǎng)，更好地理解數(shù)學的作用和價值。

責任編輯：孫建輝