第一篇：10考研高等數(shù)學(xué)強(qiáng)化(第三章)全

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09考研高等數(shù)學(xué)第三章

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主講：汪誠(chéng)義

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教材說(shuō)明：本教案是針對(duì)新東方在線使用的內(nèi)部講義，本講義按章節(jié)提供。根據(jù)老師的意見(jiàn)，例題的解題步驟不給提供，在課件的板書上有顯示，學(xué)員自己可以先做題目再聽 老師的講解效果會(huì)更好。

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第三章

一元函數(shù)積分學(xué)

§3.1 不定積分

（甲）內(nèi)容要點(diǎn)

一、基本概念與性質(zhì)

1．原函數(shù)與不定積分的概念

設(shè)函數(shù)f?x?和F?x?在區(qū)間I上有定義，若F??x??f?x?在區(qū)間I上成立。則稱F?x?為f?x?在區(qū)間I的原函數(shù)，f?x?在區(qū)間I中的全體原函數(shù)成為f?x?在區(qū)間I的不定積分，記為?f?x?dx。

原函數(shù)：

其中?f?x?dx?F?x??C

?稱為積分號(hào)，x稱為積分變量，f?x?稱為被積分函數(shù)，f?x?dx稱為被積表達(dá)式。

2．不定積分的性質(zhì)

設(shè)?f?x?dx?F?x??C，其中F?x?為f?x?的一個(gè)原函數(shù)，C為任意常數(shù)。新東方在線 [004km.cn] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列

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則（1）F??x?dx?F?x??C或dF?x??F?x??C或d[F(x)?C]?F(x)?C ???

（2）??f?x?dx???f?x?或d??f?x?dx??f?x?dx

????f?x??g?x??dx??f?x?dx??g?x?dx

（3）kf?x?dx?kf?x?dx

（4）3．原函數(shù)的存在性

一個(gè)函數(shù)如果在某一點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)，稱為可導(dǎo)；一個(gè)函數(shù)有不定積分，稱為可積。

原函數(shù)存在的條件：比連續(xù)要求低，連續(xù)一定有原函數(shù)，不連續(xù)有時(shí)也有原函數(shù)?？蓪?dǎo)要求比連續(xù)高。

?e?xdx 這個(gè)不定積分一般稱為積不出來(lái)，但它的積分存在，只是這個(gè)函數(shù)的積分不能用初等函數(shù)表示出來(lái)

設(shè)f?x?在區(qū)間I上連續(xù)，則f?x?在區(qū)間I上原函數(shù)一定存在，但初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)，例如22sinxdxcosxdx，?，??????sinxcosxdx?x2dx，?dx，?，?edx等被積函數(shù)有原函數(shù)，但不能用初等函數(shù)表示，xxlnx故這些不定積分均稱為積不出來(lái)。

二、基本積分表（略）補(bǔ)充公式：

(1)?(2)?x(a?0)?arcsin?C

aa2?x2dxdx1x(a?0)?arctan?C 22aaa?xdx1a?x(3)?2(a?0)?ln||?C

2aa?xa?x2(4)?secxdx?ln|secx?tanx|?C(5)?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C

(6)?dxx2?a2?ln|x?x2?a2|?C

三、換元積分法和分部積分法

1．第一換元積分法（湊微分法）

設(shè)

則

?f?u?du?F?u??C，又??x?可導(dǎo)，?f???x?????x?dx??f???x??d??x?

令u???x??f?u?du?F?u??C?F???x???C這里要求讀者對(duì)常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟練地湊出微分。

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1x21u1x2221uedu?e?C?e?C 例：?xedx??ed(x)u?x22?22x2口訣（30）第一換元經(jīng)常用；微分方程要背熟。

2．第二換元積分法 例：(1)?dxx?1令x?t2??62tdt t?1(2)?6t5dt令x?t??

32t?tx?3xdx（3）遇a2?x2令x?asint 假如令a?x?t；x?a?t；x?222222a2?t2；dx??（不行）

令x?asint；a2?a2sin2t?a1?sin2t?acos2t?acost

dx?acostdt

；遇a2?x2令x?atant；遇x2?a2令x?asect

?133311?x?x2dx?(x?)2??()2?(x?)2；x?tant

22422

設(shè)x???t?可導(dǎo)，且???t??0，若

則

?f???t?????t?dt?G?t??C，?f?x?dx令x???t??f???t?????t?dt?G?t??C?G??1?x??C

?1??其中t???x?為x???t?的反函數(shù)。

33口訣（31）第二換元去根號(hào)；規(guī)范模式可依靠。

?111212x?1dx??2x?1d(2x?1)令2x?1?u?udu?..u2?(2x?1)2

22233

3．分部積分法

設(shè)u?x?，v?x?均有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則

?u?x?dv?x??u?x?v?x???v?x?du?x?或 ?u?x?v??x?dx?u?x?v?x???u??x?v?x?dx

x例1：xedx???xdex?xex??exdx?xex?ex?C

1x212x12x12x12x?2edx?2xe?2?xde?2xe?2?xedx

口訣（32）分部積分難變易，弄清u,v是關(guān)鍵

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100x例2：xedx ??x1001x1011101lnxdx?lnxdx?lnx?x101dlnx ??101101101x1011x1011100?lnx?xdx?lnx?x101?C 2?101101101(101)

（1）Pn?x?eax，Pn?x?sinax，Pn?x?cosax情形，Pn?x?為n次多項(xiàng)式，a為常數(shù)。要進(jìn)行n次分部積分法，每次均取e，sinax，cosax為v??x?；多項(xiàng)式部分為u?x?。ax

（2）Pn?x?lnx，Pn?x?arcsinx，Pn?x?arctanx情形，Pn?x?為n次多項(xiàng)式取Pn?x?為v??x?，而lnx，arcsinx，arctanx為u?x?，用分部積分法一次，被積函數(shù)的形式發(fā)生變化，再考慮其它方法。

（乙）典型例題

例1．求下列不定積分（測(cè)試題，限15分鐘）

（1）?dxx2e1x

?1解：（1）原式??ed(?)?ex?C

x?1x1（2）??xlnx??lnx?1?dx

23532(lnx?1)dx?d(xlnx)

2解：（2）原式??(xlnx)d(xlnx)?(xlnx)2?C

5（3）?lnx?x2?1?5x?12??dx

1x2?1原式?dx?d[ln(x?x2?1?5)

2ln(x?x?1)?5d[ln(x?x?1?5)]?[ln(x?x2?1)?5]2?C

3223? 4 新東方在線 [004km.cn] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列

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（4）??x?lnx?1?lnx2dx

lnx1?lnx)?dx 2xx1?lnxlnxd(1?)21xx??解：原式?dx???C

lnx2lnx2lnx(1?)(1?)(1?)xxxd(cos2x?sinx（5）?dx sinxcosx1?cosxe??d(cosxesinx)??sinxesinx?cos2xesinx

(cos2x?sin2x)esinx解：原式??dx sinxsinxcosxe(1?cosxe)ucosxesinxdu11|?C?ln||?C ????[?]du?ln|sinx1?uu(1?u)uu?11?cosxe（6）?sin2xa2cos2x?b2sin2xdx

（b2?a2常數(shù)）

d(a2cos2x?b2sin2x)??2a2cosxsinx?2b2sinxcosx?2sinxcosx(b2?a2)?sin2x(b2?a2)

21d(a2cos2x?b2sin2x)?解：原式?2b2?a2b?a2?a2cos2x?b2sin2x

例2．求下列不定積分

a2cos2x?b2sin2x?C

2x?3xdx

（1）?x9?4x

（2）??x?a??x?b?2dx2

?a?b?

（3）??dx ?a?b?

x2?a2x2?b2???x2?1dx

（4）?4x?

1解：

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?3???xx2?3?2?dx

（1）?xdx???3?2x9?4x???1?2??3?d??1?2?

?3??3?2xln??12?2???3????112ln??x?C

?2?ln3?ln2??3????1?2?xxx13x?2x

?lnx?C x2?ln3?ln2?3?2

（2）??x?a??x?b?2dx2?1?a?b?211??1??dx ???x?ax?b??1?12???dx 22???x?b??x?a??x?b????x?a?11?21???1??????dx 3???x?ax?bx?ax?b???a?b????2lnx?a?C x?b2

??a?b?21

??a?b?2

??2x?a?b?a?b?2?x?a??x?b??a?b?3

（3）??dx11??1??dx 2222?x2?a2x2?b2b2?a2??x?ax?b?????

?1?1x1x?arctan?arctan???C 22abb?b?a?a1?1???11?dx?????x?x2?11xx2??x?C

（4）?4dx??dx???2??arctan1x?1221??x2??x???2?xx??

例3．求? dxx?x3 新東方在線 [004km.cn] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列

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解：

?dx66t5dtt3?t3?x?3x令x?t??1?1t3?t2?6?t?1dt?6?t?1dt

?6???t2?t?1?1??t?1??dt?2t3?3t2?6t?6lnt?1?C

?2x?33x?66x?6ln?6x?1??C

例4．求?1x24?x2dx

解一：

?

?14?x2dx????x?2tant?1x2?1?2dt ?2dt??4tan2t2cos2??dx?tcos2t???cost

??cost14?x24sin2tdt??4sint?C?4x?C（這里已設(shè)x?0）

解二：倒代換

?1x24?x2dx??1dx

x31?4x2

?1?x3dx??1?12d??x2??

原式=?11d??4?144?x28?2?1???1?4?x?4x2?1?C?4x?C??x?0? x2

例5．求??arcsinx?2dx

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解一：

xarcsinx2222????????arcsinxdx?xarcsinx?xdarcsinx?xarcsinx?2dx ???21?x2

=x?arcsinx??2arcsinxd1?x

?2?

=x?arcsinx??2?1?x22

=x?arcsinx??21?xarcsinx?22?1?x2darcsinx

?arcsinx??dx

?

=x?arcsinx??21?x2arcsinx?2x?C 2

解二：令arcsinx?t，則x?sint，222??arcsinxdx?tdsint?tsint?2?tsintdt ??22

=tsint?2tdcost?tsint?2tcost?2costdt ??

=tsint?2tcost?2sint?C

=x?arcsinx??21?x2arcsinx?2x?C 22

例6．設(shè)f?x?的一個(gè)原函數(shù)F?x??ln2x?

解：I?

??x2?1，求I??xf??x?dx

??xdf?x??xf?x???f?x?dx?xF??x??F?x??C

2xx?12lnx?x2?1?ln2x?x2?1?C ????

例7．設(shè)F??x??f?x?，當(dāng)x?0時(shí)f?x?F?x??xex2?1?x?2，又F?0??1，F(xiàn)?x??0，求f?x??x?0?

2解：2f?x?F?x?dx?2F?x?dF?x??F?x??C1 ????x?1??1?exdexex

而?dx??dx????dx 2221?x?1?x??1?x??1?x?xexexexexex

???dx??dx??C2 221?x1?x?1?x??1?x?ex?C，?F?x??1?x2

?F?0??1，8 新東方在線 [004km.cn] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列

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?C?0，又F?x??0，因此F?x??ee ?1?x1?xxxxx2121xe1?x?e2xe2221?x?

則f?x??F??x?? 31?x2?1?x?2

例8．設(shè)fsinx??2?xx，求I??f?x?dx sinx1?x

解一：令u?sinx，則sinx?2u，x?arcsinu，f?u??arcsinuu

則I??arcsinx1?xdx???arcsinx1?xd?1?x???2?arcsinxd1?x

11?xdx

=?21?xarcsinx?2?1?x?

=?21?xarcsinx?2x?C

解二：令x?sint，則

則I?

=?2tcost?2costdt??2tcost?2sint?C

=?21?xarcsinx?2x?C 2x1?x?sint，dx?2costsintdt，costsintt?cost?sint?2sintcostdt??2?tdcost

?§3.2 定積分和廣義積分的概念與計(jì)算方法

（甲）內(nèi)容要點(diǎn)

一、定積分的概念與性質(zhì)

1．定積分的定義及其幾何意義

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?baf(x)dx?limd?0?f(?)?x

i?1iin

2．定積分的性質(zhì)

中值定理，設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù)，則存在???a,b?使得

?f?x?dx?f????b?a?

ab1bf?x?dx為f?x?在?a,b?上的積分平均值。

定義：我們稱b?a?a

二、基本定理

1．變上限積分的函數(shù)

定理：設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù)，則F?x???f?t?dt在?a,b?上可導(dǎo)，且F??x??f?x?推廣形式，設(shè)

axF?x????2?x??1?x?f?t?dt，?1?x?，?2?x?可導(dǎo)，f?x?連續(xù)，??

則F??x??f??2?x???2?x??f??1?x???1?x?

2．牛頓一萊布尼茲公式

設(shè)f?x?在?a,b?上可積，F(xiàn)?x?為f?x?在?a,b?上任意一個(gè)原函數(shù)，則有

三、定積分的換元積分法和分部積分法

1．?babf?x?dx?F?x??F?b??F?a?

a?baf?x?dx??f???t?????t?dt（x???t?在??,??上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，單調(diào)，?????a，?????b）

??bb?

2．?u?x?v?x?dx?u?x?v?x???v?x?u??x?dx

aaab

四、廣義積分

定積分

又f?x?在?a,b?上是有界的，如果積分區(qū)間推廣到無(wú)窮區(qū)間或f?x??f?x?dx的積分區(qū)間?a,b?是有限區(qū)間，ab推廣到無(wú)界函數(shù)就是兩種不同類型的廣義積分。

1．無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分

定義：???af?x?dx?lim?f?x?dx

b???ab

若極限存在，則稱廣義積分???af?x?dx是收斂的，它的值就是極限值；若極限不存在，則稱廣義積分???af?x?dx是發(fā)散的。而發(fā)散的廣義積分沒(méi)有值的概念。

?f?x?dx?lim?f?x?dx

??a???abb

同樣有收斂和發(fā)散的概念，收斂的廣義積分有值的概念。

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?f?x?dx??f?x?dx????1??c????cf?x?dx?lim?f?x?dx?lim?f?x?dx

a???ab???ccb?0xdx，x?0時(shí)無(wú)意義，稱 x?0為瑕點(diǎn)

2．無(wú)界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）

f?x???，則稱b為f?x?的瑕點(diǎn)。

（1）設(shè)f?x?在?a,b?內(nèi)連續(xù)，且lim?x?b

定義lim??af?x?dx???0a?bb??f?x?dx

若極限存在，則稱廣義積分?baf?x?dx收斂，且它的值就是極限值，若極限不存在，則稱廣義積分?f?x?dx發(fā)散。

ab發(fā)散的廣義積分沒(méi)有值的概念。

f?x???，則稱a為f?x?的瑕點(diǎn)

（1）設(shè)f?x?在?a,b?內(nèi)連續(xù)，且lim?x?a

定義?baf?x?dx?lim????0ba??f?x?dx

若極限存在，則稱廣義積分?f?x?dx收斂，且它的值就是極限值，ab若極限不存在，則稱廣義積分?f?x?dx發(fā)散，它沒(méi)有值。

ab1?xdx?2x

?11x30dx

（3）設(shè)f?x?在?a,c?和?c,b??1?0a皆連續(xù)，且limf?x???，則稱C為f?x?的瑕點(diǎn)定義

x?c?baf?x?dx??f?x?dx??f?x?dx?lim??accbc??1f?x?dx?lim???2?0bc??2f?x?dx

（乙）典型例題 一、一般方法

例1．計(jì)算下列定積分

1e?1?

（1）?1lnxdx??1??lnx?dx??lnxdx???xlnx?x?1??xlnx?x??2?1??

11?e?eeee1e

（2）

（3）?3?22min1,xdx??dx??xdx??dx??2?11??2?112311 311 2??2maxx,x2dx??x2dx??xdx??x2dx??201??012 11 新東方在線 [004km.cn] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列

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（4）?2?01?sin2xdx??2?0?sinx?cosx?2dx??2?0sinx?cosxdx

?2??0sinx?cosxdx?2????4?cosx?sinx?dx???x?cosx?dx???sin??42?0

4?

二、用特殊方法計(jì)算定積分

例1．計(jì)算下列定積分

?

（1）I??2f?sinx?0f?sinx??f?cosx?dx（f為連續(xù)函數(shù)，f?sinx??f?cosx??0）?

（2）I??40ln?1?tanx?dx

?

（3）I??2dx01??tanx?a（a常數(shù)）（?tanx?a??1）

（4）I??4ln?9?x?22ln?9?x??ln?x?3?dx

解：（1）令x??2?t，則sinx?sin(?2?t)?cost

?

I??2f?cots?0f?cots??f?sint?dt，?

2I??20dt??2，I??4

（2）令x??4?t，則

I＝?0?102?ln1＋－tant??d（－t）＝lndt, 4??1＋tant???41＋tant

??4ln2?I，2I??4ln2，I??8ln2

（3）令x??2?t，則

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I???0dt??tant?a?t?21??cot?a?201??tant?adt，?

2I??2?10??1??tant?a??tant?a??1??tant?a?dt???20dt??2，I??4

（4）令9?x?t?3，則x?3?9?t，于是

I??2ln?t?3?4?ln?t?3??ln?9?t???dt??4ln?t?3?2ln?t?3??ln?9?t??dt?

因此，2I??42dx?2，則I?1

例2．設(shè)連續(xù)函數(shù)f?x?滿足f?x??lnx??ef?x?dxe1，求?1f?x?dx

解：令?e1f?x?dx?A，則f?x??lnx?A，兩邊從1到e進(jìn)行積分，得

?ef?ee1x?dx??1lnxdx??1Adx??xlnx?x?e1?A?e?1?

于是A?e??e?1??A?e?1?，eA?1，A?1e，則?e1f?x?dx?1e

例3．設(shè)f?x?連續(xù)，且?xtf?2x?t?dt?102arctanx2，f?1??1，求?21f?x?dx

解：變上限積分的被積函數(shù)中出現(xiàn)上限變量必須先處理，令u?2x?t，則

?xtf?2x?t?dt???x?2x?u?f?u?du?2x?2x2x02xxf?u?du??xuf?u?du?u?0?

代入條件方程后，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

2?2xxxf?u?du?2x?2f?2x??f?x????2xf?2x??2?xf?x???1?x即

2?2xxf?u?du?x1?x4?xf?x?

令x?1代入，化簡(jiǎn)后得?21f?x?dx?34

三、遞推方法

?

例1．設(shè)In??20sinnxdx

?n?0,1,2,???

（1）求證當(dāng)n?2時(shí)，In?1n?nIn?2（2）求In

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?sin2xdx??12(1?cos2x)dx

?sin4xdx??12(1?cos2sin2x)dx??12[1?cos2(12(1?cos2x)]dx ?sin3xdx??sin2xd(?cosx)??(1?cos2x)d(?cosx)

???

解：（1）In?1n?1n??20sinxd??cosx???sinxcosx2??20cosxd?sinn?1x?

0?

??n?1???22n?2n?20cosxsinxdx??n?1??20?1?sin2x?sinxdx

??n?1?In?2??n?1?In

nI?1n??n?1?In?2，則In?nnIn?

2?n?2? ?I8??20sin8xdx

I78I7575375317531?8?6?8.6I4?8.6.4I2?8.6.4.2I0?8.6.4.2.2 I6646426427?7I5?7.5I3?7.5.3I1?7.5.3

??

（2）I0??220dx??2，I1??0sinxdx?1，當(dāng)n?2k正偶數(shù)時(shí)，I2k?1n?I2k?2kI2k?12k?31?2k?!2k?2?2k?2k?2?2?I0??2kk!?2??2??2k?!22k?k!?2??2

當(dāng)n?2k?1正奇數(shù)時(shí)，I??22n?I?2k2k?1I2k2k?222kk!22k?k!?2k?12k?1?2k?1?2k?1?3I1??2k?1?!??2k?1?!?

例2．設(shè)Jn??20cosnxdx

?n?0,1,2,??，求證Jn?In ?n?0,1,2,??

證：令x????t, J0n???n2n???cos??t?d??t??2?2??20sintdt

則 Jn?In ?n?0,1,2,??

?

例3．設(shè)Kn??40tan2nxdx ?n?1,2,3,??，求證 K1n?2n?1?Kn?

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09考研高等數(shù)學(xué)第三章

?

解：Kn??40tan2?n?1?xsecx?1dx??4tan2?n?1?xdtanx?Kn?1?20???1?Kn?1 2n?1

例4．計(jì)算Gn???x1?12?1dx（n為正整數(shù)）?n

解一：令x?cost

Gn???1?n??sin2n?1tdt???1?2?2sinn?2n?1n2??1?22n?1?n!? tdt???1??2?I2n?1?n00?2n?1?!

解二：G??111n??x?1?n?x?1?ndx?n?1??1?x?1?nd?x?1?n?11

?1nn?1111n?n?1?x?1??x?1??1?n?1??1?x?1?1n?x?1?n?1dx

??n1?n?1??n?2???1?x?1?n?1d?x?1?n?2??

???1?nn!1?n?1??n?2???2n???1?x?1?2ndx

???1?n?n!?22n?11n22n?1?2n?1?!?x?1??1???1??2n?1?!?n!?2

四、廣義積分

例1．計(jì)算I????xe?x0?1?e?x?2dx

x

解：I????xex???1???0?ex?1?2dx??xde0??ex?1?2dx???xd?0?1??ex?1??

???x?????1ex?10??0ex?1dx?I1?I2

I???1?xlim??????xex?1??用洛必達(dá)法則xlim???????1ex???0

Iex2????ex?ex?1?dx令ex?u???du01u?u?1?

?????1?1?u?1?u?1??du?lnu??u?11?ln1?ln12?ln

215 新東方在線 [004km.cn] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列

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（這里limlnu?ln1?0）于是 I?I1?I2?ln2

u???u?1??dx例2．計(jì)算I??（難度較大，可不看）

01?x41注：可以化為最簡(jiǎn)分式的形式，41?x1?x4?1?2x2?x4?2x2?(1?x2)2?(2x)2?(1?2x?x2)(1?2x?x2)

但這樣做太繁，故用其它技巧

1dt220??t1t

解：令x?，I????dt 4??01?t4t?1?1????t?????0x2dx 1?x

4由于 ???0??dxx2??dx 4401?x1?x1??1dx????11??1?x21??x21??x??

? I??dx?dx?2201?x42?0212?0?1?x?2?x???2xx??1???x??1x???arctan

?lim ??0?222??????? ? 1??????? ????2?2??22????22§3.3 有關(guān)變上（下）限積分和積分證明題

一、有關(guān)變上（下）限積分

例1．設(shè)f?x???a?x0，求I??f?x?dx et?2a?t?dt（a常數(shù)）

0a

解：I?xf?x??a0?a0xf??x?dx???xe?a?x??2a??a?x????1?dx

0a 16 新東方在線 [004km.cn] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列

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??a0xe?a2?x2?dx??12?a0e?a2?x2?d?a2?x2?

??1?a2?x2?a1a2e?e?1

0225，對(duì)所有x??0,???，t??0,???，2t1??

例2．設(shè)f?x?在?0,???內(nèi)可導(dǎo)，f?1??

均有 xtx?f?u?du?t?f?u?du?x?f?u?du，求f?x?

11口訣（33）：變限積分雙變量；先求偏導(dǎo)后求導(dǎo)。

解：把所給方程兩邊求x求導(dǎo)，tf?xt??tf?x??求導(dǎo)，得f?t??tf??t???t1t5f?u?du 把 x?1 代入，得tf?t??t??f?u?du 再兩邊對(duì)t125?f?t? 25155于是f??t???，則f?t??lnt?C，令t?1 代入得 C?f?1??，所以f?x???lnx?1?

2t22

2例3．設(shè)f?x?為連續(xù)函數(shù)，且滿足

?2x0 xf?t?dt?2?tf?2t?dt?2x3?x?1?，求f?x?在?0,2?上的最大值與最小值。

x0

解：先從方程中求出f?x?，為此方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)

???2x02xx??????

?xf?t?dt?2?tf?2t?dt?x?f?t?dt?2?tf?2t?dt ???0???x?0????0?

??2x02f?t?dt?2xf?2x??2xf?2x???f?t?dt

02x

而2x?x?1??8x?6x 33???

因此?2x0f?t?dt?8x3?6x2

兩邊再對(duì)x求導(dǎo)，得

2f?2x??24x2?12x?6?2x??6?2x? f?x??3x?3x 2

? f??x??6x?3，令f??x??0得駐點(diǎn) x?1 2

又在?0,2?上f?x?沒(méi)有不可導(dǎo)點(diǎn)，比較f?0??0，f?????1??2?3，f?2??6可知f?x? 在?0,2?上最大值為43?1?f?2??6，最小值為f????

4?2? 17 新東方在線 [004km.cn] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列

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tf(t)dt?

例4．設(shè)f(x)在?0,???上連續(xù)，且f(x)?0，證明g(x)?在(0,??)內(nèi)單調(diào)增加 ?f(t)dt0x0x

證：當(dāng)x?0時(shí)，因?yàn)?/p>

g?(x)?xf(x)?f(t)dt?f(x)?tf(t)dt00xx?f(t)dt?????0?x2?f(x)?(x?t)f(t)dt0x?f(t)dt?????0?x2?0

g(x)在(0,??)內(nèi)單調(diào)增加

?

二、積分證明題

例1．設(shè)f(x)在?0,??上連續(xù)，??0f(x)dx?0，?f(x)cosxdx?0，求證存在

0??1?(0,?)，?2?(0,?)，?1??2，使f(?1)?f(?2)?0

證：令F(x)?

又0??x0f(t)dt，(0?x??)則F(0)?0，F(xiàn)(?)?0，???0?0f(x)cosxdx??cosxdF(x)?F(x)cosx??F(x)sinxdx

000??

??F(x)sinxdx

如果F(x)sinx在(0,?)內(nèi)恒為正，恒為負(fù)則

??0F(x)sinxdx也為正或?yàn)樨?fù)，與上面結(jié)果矛盾，故存在??(0,?)使F(?)sin??0，而sin??0，所以F(?)?0于是在?0,??和??,??區(qū)間上分別用羅爾定理，則存在?1?(0,?)使f(?1)?F?(?1)?0，存在?2?(?,?)，使f(?2)?F?(?2)?0，其中?1??2

例2．設(shè)f(x)在?0,1?上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且f(0)?f(1)?0，試證：

證：用拉格朗日中值定理

f(x)?f(x)?f(0)?f?(?1)x，其中?1?(0,x)

f(x)?f(x)?f(1)?f?(?2)(x?1)，其中?2?(x,1)

由題設(shè)可知f(x)?f?(?1)x?Mx；又f(x)?f?(?2)(1?x)?M(1?x)

因此

?10f?x?dx?M，其中M?maxf?(x)

0?x?14?10f(x)dx??f(x)dx??1?11?M120121?1?2f(x)dx?M??xdx??1(1?x)dx?

02??

?M????

?88?4 新東方在線 [004km.cn] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列

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例3．設(shè)f(x),g(x)在?a,b?上連續(xù)，證明

2????baf(x)g(x)dx?????b2b2af(x)dx?ag(x)dx

證一：（引入?yún)?shù)法）

設(shè)t為實(shí)參數(shù)，則?b?f(x)?tg(x)2a?dx?0

?b2????ag(x)dx??t2?2?b???af(x)g(x)dx???t??baf2(x)dx?0

作為t的一元二次不等式At2?2Bt?C?0，則B2?AC?0

即B2b2?AC，因此?b2b???af(x)g(x)dx?2????af(x)dx?ag(x)dx

證二：（引入變上限積分）

2令F(u)?????uaf(x)g(x)dx????????uaf2(x)dx???????uag2(x)dx???

于是

F?(u)?2f(u)g(u)?uf(x)g(x)dx?f2(u)?ug2(x)dx?g2(u)?uf2aaa(x)dx

??u?2f(u)g(u)f(x)g(x)?f2a(u)g2(x)?g2(u)f2(x)?dx

???ua?f(u)g(x)?g(u)f(x)?2dx?0

(u?a)

則F(u)在?a,b?上單調(diào)不增

故b?a時(shí)，F(xiàn)(b)?F(a)?0，2

即?b??b2b2??af(x)g(x)dx????af(x)dx?ag(x)dx?0

證三：（化為二重積分處理）

令I(lǐng)??b2af(x)dx?bag2(x)dx，則I??b2baf(x)dx?ag2(y)dy???f2(x)g2(y)dxdy，D

其中區(qū)域D:??a?x?b??a?y?b??，同理I???f2(y)g2(x)dxdy

D

?2I????f2(x)g2(y)?f2(y)g2(x)?dxdy

D

?a2?b2?2ab，故2I????2f(x)g(y)f(y)g(x)?dxdy

D 19 新東方在線 [004km.cn] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列

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因此，I??baf(x)dx?g(x)dx??f(x)g(x)dx?aa2b2bbab?f(y)g(y)dy??f(x)g(x)dx? ???a?2口訣（34）：定積分化重積分；廣闊天地有作為。

bb2??

例4．設(shè)f(x)在?a,b?上連續(xù)，證明?f(x)dx?(b?a)?f(x)dx

??a?a?2

證：在例3中，令g(x)?1，則

于是

?2bag2(x)dx?b?a

?bf(x)dx???bf(x)g(x)dx??bf2(x)dxbg2(x)dx??b?a?bf2(x)dx

?a?a?a??????a???a?

例5．設(shè)f0(x)在?a,b?上連續(xù)，且f0(x)?0，證明

2?baf0(x)dx?ba1dx?(b?a)2 f0(x)

證：在例3柯西不等式中，取f(x)為

f0(x)，g(x)為

b1f0(x)

則?baf(x)dx??f0(x)dx，?g(x)dx??aa2bb2a1dx，f0(x)2

而????ab?b?f(x)g(x)dx???f0(x)??a???22?1dx??(b?a)2 f0(x)??

因此?b?a???baf0(x)dx?ba1dx f0(x)

例6．設(shè)f0(x)在?a,b?上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f0(a)?f0(b)?0，bb1222???????f(x)dxxf(x)dx?

求證：??0 ???0?a???a?4?baf0(x)dx?1，2

證：在例3柯西不等式中取f(x)為f0?(x),g(x)為xf0(x)

22b?b??b22???

于是???f0?(x)?dx???xf0(x)dx???xf0(x)f0?(x)dx

????a??a??a

???2?1?ba2?x2b1b2?1??1?2xdf0(x)???f0(x)??f0(x)dx??????

a2a4??2??2?22 20 新東方在線 [004km.cn] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列

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§3.4 定積分的應(yīng)用

（甲）內(nèi)容要點(diǎn)

一、平面圖形的面積

1．直角坐標(biāo)系

模型I S1???y?x??y?x??dx，a21b

其中

y2?x??y1?x?，x??a,b?

模型II S2?

??x?y??x?y??dy，c21d

其中

x2?y??x1?y?，y??c,d?

注：復(fù)雜圖形分割為若干個(gè)小圖形，使其中每一個(gè)符合模型I或模型II加以計(jì)算，然后再相加。

2．極坐標(biāo)系 新東方在線 [004km.cn] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列

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1?

2模型I S1??r???d?

2?

模型II S2?1?22?????d? r??r21??2??

3．參數(shù)形式表出的曲線所圍成的面積

設(shè)

曲線C的參數(shù)方程?

?x???t?

???t??? ??y??t??????a，?????b，??t?在??,??（或??,??）上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且???t?不變號(hào)，??t??0且連續(xù)。

b

則曲邊梯形面積（曲線C與直線x?a，x?b和x軸所圍成）

S??aydx????t????t?dt

??

二、平面曲線的弧長(zhǎng)（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二）（略）

三、繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積

（1）平面圖形由曲線y?f?x???0?與直線x?a，x?b和x軸圍成繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的體積

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Vx???baf2?x?dx

?dVx??f2(x)dx

?2?xf(x)dx

繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積

Vy?2??xf?x?dx

?dVaby

（2）平面圖形由曲線x?g?y???0?與直線y?c，y?d和y軸圍成繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積

Vy???dcg2?y?dy

d

繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的體積

Vx?2??cyg?y?dy

四、繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二）（略）

（乙）典型例題

一、在幾何方面的應(yīng)用

例1．求曲線y?2x在點(diǎn)?,1?處法線與曲線所圍成圖形的面積 2?1??2? 23 新東方在線 [004km.cn] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列

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解：先找出法線方程

2yy??2，y??1??

?,1??2?1?1

yy?11?? 2?

法線方程 y?1???1??x?

x?y???3 23??9??9的另一交點(diǎn)為?,?3? ?,?3? 2?2??2?

曲線y2?2x和法線x?y?2??316?y?

所求面積S?????y?? dy???33?2???

21例2．設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)f??x??0，證明????a,b?，且唯一，使得y?f?x?，y?f???，x?a，所圍面積S1是y?f?x?，y?f???，x?b所圍面積S2的三倍。

證：令F?t??S1(t)?3S2(t)?

b??f?t??f?x??dx?3??f?x??f?t??dx

attb?F?a???3??f?x??f?a??dx?0

a 24 新東方在線 [004km.cn] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列

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F?b????f?b??f?x??dx?0

ab

由連續(xù)函數(shù)介值定理的推論可知????a,b?使F????0再由f??x??0，可知f?x?的單調(diào)增加性，則?唯一

例3．設(shè)y?f?x?在?0,1?上為任一非負(fù)連續(xù)函數(shù)。

（自己閱讀）

（1）試證：?x0??0,1?，使?0,x0?上以f?x0?為高的矩形面積等于?x0,1?上以y?f?x?為曲邊的曲邊梯形面積。

（2）又設(shè)f?x?在?0,1?內(nèi)可導(dǎo)，且f??x???2f?x?，證明（1）中x0唯一。x

（1）證：設(shè)F?x??x?f?t?dt，則F?0??F?1??0，且F??x???f?t?dt?xf?x?，對(duì)F?x?在?0,1?上用羅爾定理xx11?x0??0,1?，使F??x0??0，即?f?t?dt?x0f?x0?證畢

x01

（2）證：令??x??

?f?t?dt?xf?x?，當(dāng)x??0,1?時(shí)，x1???x???f?x??f?x??xf??x?

??2f?x??xf??x??0（由（2）的已知條件）

因此在?0,1?內(nèi)，??x?單調(diào)減少，?x0是唯一的

2例4．求由曲線y?x?2x和直線y?0，x?1，x?3所圍平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

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解一：?y?x2?2x解出x?1?1?y，?平面圖形A1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積

V1????1?0?11?ydy????211? 6

平面圖形A2繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積

V2?27?????1?301?ydy??243? 6

所求體積Vy?V1?V2?9?

解二：Vy?2??31xx2?2xdx

232??2?x2x?xdx?xx2?2xdx?

????2?1???????23x4?2?x423?3?

?2????3x?4??1???4?3x??2??9?

??????22

例5．設(shè)D1是由拋物線y?2x和直線x?a，x?2及y?0所圍成的平面區(qū)域；D2是由拋物線y?2x和直線

（自己閱讀）x?a，y?0所圍成的平面區(qū)域，其中0?a?2。

（1）試求D1繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積V1；D2繞y軸而成的旋轉(zhuǎn)體體積V2（如圖）

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（2）問(wèn)當(dāng)a為何值時(shí)，V1?V2取得最大值？試求此最大值

解：（1）V1??4????32?a? 2xdx??52225?

V2?? a?2a??

或

V2?2?22?2a20ydy?? a4 2?a0x?2x2dx?? a4

4?32?a5?? a4（2）V?V1?V2???

由V??4? a3?1?a??0，得區(qū)間?a,2?內(nèi)的唯一駐點(diǎn)a?1。

又V??a?1??4??0, 因此a?1是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)。此時(shí)V1?V2的最大值為

129? 5

二、物理和力學(xué)方面應(yīng)用（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二）（自己閱讀）

例：為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m，抓斗自重400N，纜繩每米重50N，抓斗抓起污泥重2000N，提升速度3m/s，提升過(guò)程中污泥以20N/s的速率從抓斗縫隙中漏掉，現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口，問(wèn)克服重力需作多少焦耳的功？

說(shuō)明：（1）1N?1m?1J；m，N，s，J分別表示米，牛頓，秒，焦耳。

（2）抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長(zhǎng)度忽略不計(jì)。

解：所需作功W?W1?W2?W3

W1是克服抓斗自重所作的功W1?400?30?12000

W2是克服纜繩重力作的功W2?

W3是提取污泥所作的功W3??30050?30?x?dx?22500

?3?2000?20t?dt?57000

010

所以W?W1?W2?W3?91500?J?

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三、經(jīng)濟(jì)方面應(yīng)用（數(shù)學(xué)三和數(shù)學(xué)四）（自己閱讀）

例1．設(shè)某商品每天生產(chǎn)x單位時(shí)固定成本40元，邊際成本函數(shù)為C??x??0.2x?2（元/單位），求總成本函數(shù)C?x?，最小平均成本。若該商品的銷售單價(jià)為20元，且產(chǎn)品全部售出，問(wèn)每天生產(chǎn)多少單位時(shí)才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)多少？

解：（1）C??x??0.2x?2，C?x??

??C??t?dt?40

0x??0.2t?2?dt?40

02x

?0.1x?2x?40

C?x??0.1x?2?

令

C??x??0.1?

C???x?40，x40?0?x1?20，x2??20（舍去），2xx1?20?80?0，x3x1?20??40??6。?x?x?20

故生產(chǎn)20單位時(shí)平均成本最小為C?20???0.1x?2?

（2）總收益

R?x??20x，總利潤(rùn)

L?x??20x?0.1x?2x?40

2??

?18x?0.1x?40，令

L??x??18?0.2x?0?x?90，L???90???0.2?0，因此，每天生產(chǎn)90單位時(shí)，才能獲得最大利潤(rùn)。

最大利潤(rùn)為L(zhǎng)?90??18x?0.1x?402?2???x?90?270（元）

t3A? 96e（元）

例2．由于折舊等因素，某機(jī)器轉(zhuǎn)售價(jià)格P?t?是時(shí)間t（周）的減函數(shù)P?t??，其中A是機(jī)器的最4A? 48初價(jià)格。在任何時(shí)間t，機(jī)器開動(dòng)就能產(chǎn)生R?e的利潤(rùn)。問(wèn)機(jī)器使用了多長(zhǎng)時(shí)間后轉(zhuǎn)售出去能使總利潤(rùn)最大？

4t 28 新東方在線 [004km.cn] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列

09考研高等數(shù)學(xué)第三章

xA? 3A? 96

解：假設(shè)機(jī)器使用了x周后出售，此時(shí)的售價(jià)為P?x??e，在這段時(shí)間內(nèi)機(jī)器創(chuàng)造的利潤(rùn)是?e48dt，044xt購(gòu)買機(jī)器的價(jià)格為A。

xA? 3A? 96

所以，總利潤(rùn)L?x??e??e48dt?A，044xt

令 L??x??0，得出x?96ln32?333，L???96ln32??0，所以，機(jī)器使用了大約333 周后轉(zhuǎn)售出去會(huì)使總利潤(rùn)最大。

例3．假設(shè)當(dāng)魚塘中有x公斤魚時(shí)，每公斤魚的捕撈成本是

2000kg，問(wèn)從魚塘中元，已知魚塘中現(xiàn)有魚1000010?xkg魚需花費(fèi)多少成本？ 捕撈6000

解：設(shè)已經(jīng)捕撈了x公斤魚，此時(shí)魚塘中有10000?xkg魚，再捕撈?xkg魚的成本為

?C?2000?x，10??1000?0x?

所以，捕撈6000公斤魚的成本為

C?

?60000200010010dx?2000ln?1829.59（元）。

10??10000?x?4010 29

第二篇：高等數(shù)學(xué)考研知識(shí)點(diǎn)總結(jié)5

@第五講 中值定理的證明技巧

一、考試要求

1、理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。

2、理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并會(huì)用柯西中值定理。掌握這四個(gè)定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用（經(jīng)濟(jì)）。

3、了解定積分中值定理。

二、內(nèi)容提要

1、介值定理（根的存在性定理）

（1）介值定理

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 M 與最小值m之間的任何值.（2）零點(diǎn)定理

設(shè)f(x)在[a、b]連續(xù)，且f(a)f(b)＜0，則至少存在一點(diǎn),c?(a、b)，使得f(c)=0

2、羅爾定理

若函數(shù)f(x)滿足：

（1）f(x)在?a,b?上連續(xù)（2）f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)（3）f(a)?f(b)

則一定存在??(a,b)使得f'(?)?0

3、拉格朗日中值定理

若函數(shù)f(x)滿足：

（1）f(x)在?a,b?上連續(xù)（2）f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

則一定存在??(a,b)，使得f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)

4、柯西中值定理

若函數(shù)f(x),g(x)滿足:（1）在?a,b?上連續(xù)（2）在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)（3）g'(x)?0

f(b)?f(a)f'(?)?g'(?)則至少有一點(diǎn)??(a,b)使得g(b)?g(a)

5、泰勒公式

x如果函數(shù)f(x)在含有0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到n?1階導(dǎo)數(shù)? 則當(dāng)x在(a,b)內(nèi)時(shí)? f(x)可以表示為x?x的一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)Rn(x)之和，即

0f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?1f??(x0)(x?x0)2? ? ? ? ?1f(n)(x0)(x?x0)n?Rn(x)2!n!

f(n?1)(?)Rn(x)?(x?x0)n?1x(n?1)!其中(?介于0與x之間)?

在需要用到泰勒公式時(shí)，必須要搞清楚三點(diǎn)：

1．展開的基點(diǎn)； 2．展開的階數(shù)；

3．余項(xiàng)的形式．

其中余項(xiàng)的形式，一般在求極限時(shí)用的是帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式，在證明不等式時(shí)用的是帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式．

而基點(diǎn)和階數(shù)，要根據(jù)具體的問(wèn)題來(lái)確定．

6、積分中值定理

若f(x)在[a、b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)c∈[a、b]，使得

?baf(x)dx=f(c)(b-a)

三、典型題型與例題

題型一、與連續(xù)函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題（證明存在?使f(?)?0或方程f(x)=0有根）方法：大多用介值定理 f(x)滿足：在[a,b]上連續(xù)；f(a)f(b)<0.思路：1）直接法

2）間接法或輔助函數(shù)法

例

1、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，a?x1?x2???xn?b,ci?0(i?1,2,?,n)，證明存在??[a,b]，使得

f(?)?c1f(x1)?c2f(x2)???cnf(xn)

c1?c2???cn例

2、設(shè)b?a?0,f(x)在[a,b]上連續(xù)、單調(diào)遞增，且f(x)?0，證明存在??(a,b)

使得

a2f(b)?b2f(a)?2?2f(?)

*例

3、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)且f(x)?0，證明存在??(a,b)使得

??af(x)dx??f(x)dx??b1bf(x)dx。2?a

.例

4、設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，證明存在??(a,b)使得

例

5、設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，且f(x)<1.證明：2x??f(t)dt?1在(0,1)內(nèi)有且僅

0xg(?)?f(x)dx?f(?)?g(x)dx

a?b?有一個(gè)實(shí)根。例

6、設(shè)實(shí)數(shù)a1,a2,?,an滿足關(guān)系式a1?ana2???(?1)n?1?0，證明方程 32n?1?

a1coxs?a2co3sx???ancos2(n?1)x?0，在(0,)內(nèi)至少有一實(shí)根。

2例

7、（0234，6分）

設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，且g(x)>0,利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存在一點(diǎn)??[a,b]使得

題型

二、驗(yàn)證滿足某中值定理

?3?x2,x?1??2例

8、驗(yàn)證函數(shù)f(x)??，在[0，2]上滿足拉格朗日中值定理，并求

1?,x?1??x滿足定理的?

?baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

ab題型

三、證明存在?, 使f(n)(?)?0(n=1,2,…)

方法：

1、用費(fèi)馬定理

2、用羅爾定理（或多次用羅爾定理）

3、用泰勒公式

思路：可考慮函數(shù)f(n?1)(x)

例

9、設(shè)f(x)在[a,b]上可導(dǎo)且f??(a)f??(b)?0，證明至少存在一個(gè)

??(a,b)使得f?(?)?0

例

10、設(shè)f(x)在[0,3]上連續(xù)，在（0,3）內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?f(1)?f(2)?3,f(3)?1，證明存在一個(gè)??(0,3)使得f?(?)?0

*例

11、設(shè)f(x)在[0,2]上連續(xù)，在（0，2）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且

1f(x)lim?0,2?1f(x)dx?f(2)，證明存在??(0,2)使得f??(?)?0 12x?cos?x2 題型

四、證明存在?, 使G(?,f(?),f?(?))?0

方法：1）用羅爾定理（原函數(shù)法，常微分方程法），2）直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理（要求a,b分離）

思路：1）?換為x

2）恒等變形，便于積分 3）積分或解微分方程

4）分離常數(shù)：F(x,f(x))?C F(x,f(x))即為輔助函數(shù)(1)用羅爾定理 1)原函數(shù)法:

步驟：將?換為x;

恒等變形，便于積分；

求原函數(shù)，取c=0； 移項(xiàng)，得F(x).例

12、設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且g?(x)?0(x?(a,b))，求證

f(a)?f(?)f?(?)?存在??(a,b)使得

?g(?)?g(b)g(?)

例

13、（0134）設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且

f(1)?k?xe1?xf(x)dx,k?1

證明：在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?, 使 f?(?)?(1???1)f(?).1k0例

14、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)f(b)>0,f(a)?f(在[a,b]上連續(xù)，試證對(duì)???(a,b),使得f?(?)?g(?)f(?)..a?b)?0, g(x)2*例

15、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)一階可導(dǎo)，且?f(x)dx?0,?xf(x)dx?0.0011試證：???(0,1),使得 f?(?)?(1???1)f(?)..2)常微分方程法:

適用: ??,f?(?)??(?,f(?))

步驟：??x,f?(x)??(x,f(x))

解方程 G(x,f(x))?c

令 F(x)?G(x,f(x))

例

16、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?f(b)??，證明存在??(a,b)使得f?(?)?f(?)??*例

17、設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0)=0，f(1)=1, 證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)?,必存在??（0，1), 使得f?(?)??[f(?)??]?

1(2)直接用拉格朗日或柯西中值定理

例18、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求證存在??(a,b)，使得

bf(b)?af(a)?f?(?)??f(?)

b?a

例

19、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求證存在??(a,b)，使得

bn1b?af(a)anf(b)??n?1[nf(?)??f?(?)],n?1

例20、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(0?a?b)，求證存在??(a,b)，b使得 f(b)?f(a)??lnf?(?)

a例

21、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(0?a?b)，求證存在??(a,b)，f(b)?f(a)f?(?)使得

?(a2?ab?b2)2b?a3?

題型

5、含有f??(?)(或更高階導(dǎo)數(shù))的介值問(wèn)題

方法：1）原函數(shù)法（對(duì)f?(x)仍用微分中值定理:羅爾定理，拉格朗日，柯 西中值定理）；

2）泰勒公式

例

22、設(shè)f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo)，且f(0)=f(1), 試證至少存在一個(gè)??(0,1), 使

2f?(?)f??(?)?

1??

例

23、（012，8分）設(shè)f(x)在[?a,a](a?0)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0(1)寫出f(x)的帶拉氏余項(xiàng)的一階麥克勞林公式。(2)證明在[?a,a]上至少存在一個(gè)?使得

af??(?)?3?f(x)dx

?a3a例

24、設(shè)f(x)在[－1, 1]上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(-1)=0, f(1)=1, f?(0)=0, 證明: 在(-1,1)內(nèi)存在一點(diǎn)?，使得f???(?)?3..例

25、（103）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0, 3]上連續(xù), 在開區(qū)間(0, 3)內(nèi)二階可導(dǎo), 且 f(0)=?20f(x)dx= f(2)+ f(3).(I)證明存在 ? ?(0, 2), 使得f(?)= f(0);(II)證明存在 ? ?(0, 3), 使得 f??(?)=0..題型

6、雙介值問(wèn)題F(?,?,?)?0

方法：1）同時(shí)兩次用拉格朗日中值定理或柯西中值定理 2）用一次后再用一次中值定理

例

26、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，0?a?b，求證存在?,??(a,b)使f?(?)得f?(?)?(a?b)

2?

例

27、（051，12分）已知函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?0,f(1)?1

證明：（1）存在??(0,1)，使得f(?)?1??

（2）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)?,??(0,1)使得f?(?)f?(?)?1 題型

7、綜合題

*例

29、（011，7分）

設(shè)函數(shù)f(x)在（-1,1）內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f??(x)?0，試證（1）對(duì)于(-1,1)內(nèi)的任意x?0,存在唯一的?(x)?(0,1)使得

?f

f(x)?f(0?)x?((x成立)x

1（2）lim?(x)?

x?0

2例29、試證明若f(x)在[a,b]上存在二階導(dǎo)數(shù)，且f?(a)?f?(b)?0，則存在4??(a,b)使得f??(?)?f(b)?f(a)2(b?a)*例30、設(shè)e

ae?ae?blnalnb?0 1

b1?e???13

第三篇：南京大學(xué)考研高等數(shù)學(xué)甲2010

南京大學(xué)2010年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題

（三小時(shí)）

一．填空題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）

⒈令

第四篇：考研數(shù)學(xué)——高等數(shù)學(xué)重難點(diǎn)

給人改變未來(lái)的力量

考研數(shù)學(xué)——高等數(shù)學(xué)重難點(diǎn)

不管對(duì)數(shù)學(xué)

一、數(shù)學(xué)二還是數(shù)學(xué)三的考生，高等數(shù)學(xué)都是考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的重中之重。首先，從分值上，數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三的高等數(shù)學(xué)都占到了56%，數(shù)學(xué)二更是占到了78%，說(shuō)得高數(shù)者得天下一點(diǎn)一不為過(guò);其次，從內(nèi)容上，高等數(shù)學(xué)的考點(diǎn)多，難點(diǎn)也多，不同考生之間的差別也是最大的，對(duì)于復(fù)習(xí)情況比較好的同學(xué)來(lái)說(shuō)，線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這兩科基本上是可以做到不丟分的，考生之間拉開差距的地方往往就在高等數(shù)學(xué)。為了便于廣大考生復(fù)習(xí)，中公考研數(shù)學(xué)研究院李擂老師總結(jié)了高等數(shù)學(xué)各個(gè)章節(jié)的主要重點(diǎn)與難點(diǎn)，以供大家參考：

第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)

主要考點(diǎn)：求極限或已知極限確定原式中的常數(shù);討論函數(shù)的連續(xù)性，判斷間斷點(diǎn)的類型;無(wú)窮小階的比較;討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，或確定方程在給定區(qū)間上有無(wú)實(shí)根。這一部分更多的會(huì)以選擇題，填空題，或者作為構(gòu)成大題的一個(gè)部件來(lái)考核，復(fù)習(xí)的關(guān)鍵是要對(duì)這些概念有本質(zhì)的理解，在此基礎(chǔ)上找習(xí)題強(qiáng)化。

第二章 一元函數(shù)微分學(xué)

主要考點(diǎn)：求給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分(包括高階導(dǎo)數(shù))，隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)，分段函數(shù)和帶有絕對(duì)值的函數(shù)可導(dǎo)性的討論;利用洛比達(dá)法則求不定式極限;討論函數(shù)極值，方程的根，證明函數(shù)不等式;利用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理證明有關(guān)命題;幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等方面的最大值、最小值應(yīng)用問(wèn)題;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖形，求曲線漸近線。這一部分的試題綜合性、靈活性較強(qiáng)，在考題中各種類型(選擇、填空、解答)的題目都有出現(xiàn)，考查方式比較多樣，其中中值定理證明和不等式證明部分是高等數(shù)學(xué)中難度最大的題型之一，需要引起考生重視。

第三章 一元函數(shù)積分學(xué)

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主要考點(diǎn)：計(jì)算不定積分、定積分及廣義積分;關(guān)于變上限積分的題：如求導(dǎo)、求極限等;有關(guān)積分中值定理和積分性質(zhì)的證明題;定積分應(yīng)用題：計(jì)算面積，旋轉(zhuǎn)體體積，平面曲線弧長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)面面積，壓力，引力，變力作功等。這一部分主要以計(jì)算應(yīng)用題出現(xiàn)，只需多加練習(xí)即可。

第四章 向量代數(shù)和空間解析幾何

主要考點(diǎn)：向量的運(yùn)算;求直線方程，平面方程;判定平面與直線間平行、垂直的關(guān)系，求夾角;旋轉(zhuǎn)曲面與柱面的方程。這一部分的難度在考研數(shù)學(xué)中應(yīng)該是相對(duì)簡(jiǎn)單的，找輔導(dǎo)書上的習(xí)題練習(xí)，需要做到快速正確的求解。

第五章 多元函數(shù)的微分學(xué)

主要考點(diǎn)：判定一個(gè)二元函數(shù)在一點(diǎn)是否連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)是否存在、是否可微;求多元函數(shù)(特別是含有抽象函數(shù))的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，求隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù);求二元、三元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度;求曲面的切平面和法線，求空間曲線的切線與法平面;多元函數(shù)的極值或條件極值在幾何、物理與經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用題;求一個(gè)二元連續(xù)函數(shù)在一個(gè)有界平面區(qū)域上的最大值和最小值。這部分應(yīng)用題多要用到其他領(lǐng)域的知識(shí)，在復(fù)習(xí)時(shí)要引起注意，可以找一些題目做做，找找這類題目的感覺(jué)。

第六章 多元函數(shù)的積分學(xué)

主要內(nèi)容：二重、三重積分在各種坐標(biāo)下的計(jì)算，累次積分交換次序;第一型曲線積分、曲面積分計(jì)算;第二型(對(duì)坐標(biāo))曲線積分的計(jì)算，格林公式，斯托克斯公式及其應(yīng)用;第二型(對(duì)坐標(biāo))曲面積分的計(jì)算，高斯公式及其應(yīng)用;梯度、散度、旋度的綜合計(jì)算;重積分，線面積分應(yīng)用;求面積，體積，重量，重心，引力，變力作功等。

第七章 微分方程

主要考點(diǎn)：求典型類型的一階微分方程的通解或特解：這類問(wèn)題首先是判別方程類型，求線性常系數(shù)齊次和非齊次方程的特解或通解;根據(jù)實(shí)際問(wèn)題或給定的條件建立微分方程并求解;綜合題，常見(jiàn)的是以下內(nèi)容的綜合：變上限定積分，變積分域的重積分，線積分與路徑無(wú)關(guān)，全微分的充要條件，偏導(dǎo)數(shù)等。

第八章 級(jí)數(shù)

主要考點(diǎn)：級(jí)數(shù)收斂性的定義與性質(zhì);正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法;絕對(duì)收斂與條件收斂;交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法;冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域;冪級(jí)數(shù)求和;冪級(jí)數(shù)展開;傅里葉級(jí)數(shù);綜合應(yīng)用題。這一部分的試題抽象性較強(qiáng)，考生容易在概念的理解和常見(jiàn)性質(zhì)的運(yùn)用上出現(xiàn)問(wèn)題;

同時(shí)，冪級(jí)數(shù)部分需要綜合極限、導(dǎo)數(shù)和積分的計(jì)算方法，對(duì)考生綜合能力是一個(gè)較大的挑戰(zhàn)。

總之，數(shù)學(xué)要想考高分，考生必須認(rèn)真系統(tǒng)地按照考試大綱的要求全面復(fù)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)的基本概念、基本方法和基本定理。只要能夠踏踏實(shí)實(shí)打好基礎(chǔ)，同時(shí)針對(duì)考研的要求進(jìn)行足質(zhì)足量的練習(xí)，就能夠在最后的考試中取得比較好的成績(jī)。

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第五篇：考研.數(shù)學(xué) 高等數(shù)學(xué)總結(jié)1

中值定理及應(yīng)用

一、基本概念定理

1、極值點(diǎn)與極值—設(shè)連續(xù)y?f(x)(x?D)，其中x0?D。若存在??0，當(dāng)0?|x?x0|??時(shí)，有f(x)?f(x0)，稱x?x0為f(x)的極大點(diǎn)；若存在??0，當(dāng)0?|x?x0|??時(shí)，有f(x)?f(x0)，稱x?x0為f(x)的極小點(diǎn)，極大點(diǎn)和極小點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。

2、極限的保號(hào)性定理

定理 設(shè)limf(x)?A?0(?0)，則存在??0，當(dāng)0?|x?x0|??時(shí)，x?x0

f(x)?0(?0)，即函數(shù)極限大于零則鄰域大于零；極限小于零則鄰域小于零。

A?0，因?yàn)閘imf(x)?A，由極限的定義，x?x0x?x02

AA?0。存在??0，當(dāng)0?|x?x0|??時(shí)，|f(x)?A|?，于是f(x)?22【證明】設(shè)limf(x)?A?0，取?0?

3、極限保號(hào)性的應(yīng)用

【例題1】設(shè)f?(1)?0,limf??(x)?2，討論x?1是否是極值點(diǎn)。x?1|x?1|

【例題2】（1）設(shè)f?(a)?0，討論x?a是否是f(x)的極值點(diǎn)；

（2）設(shè)f?(a)?0，討論x?a是否是f(x)的極值點(diǎn)。

f(x)?f(a)?0，由極限的保號(hào)性，存在??0，x?ax?a

f(x)?f(a)?0。當(dāng)0?|x?a|??時(shí)，有x?a【解答】（1）設(shè)f?(a)?0，即lim

當(dāng)x?(a??,a)時(shí)，f(x)?f(a)；當(dāng)x?(a,a??)時(shí)，f(x)?f(a)。顯然x?a不是f(x)的極值點(diǎn)。

（2）設(shè)f?(a)?0，即limf(x)?f(a)?0，由極限的保號(hào)性，存在??0，當(dāng)x?ax?a

f(x)?f(a)?0。0?|x?a|??時(shí)，有x?a

當(dāng)x?(a??,a)時(shí)，f(x)?f(a)；當(dāng)x?(a,a??)時(shí)，f(x)?f(a)。顯然x?a不是f(x)的極值點(diǎn)。

【結(jié)論1】設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)在x?a處取極值，則f?(a)?0或f?(a)不存在。

【結(jié)論2】設(shè)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x?a處取極值，則f?(a)?0。

二、一階中值定理

定理1（羅爾中值定理）設(shè)函數(shù)f(x)滿足：（1）f(x)?C[a,b]；（2）f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；（3）f(a)?f(b)，則存在??(a,b)，使得f?(?)?0。

定理2（Lagrange中值定理）設(shè)f(x)滿足：（1）f(x)?C[a,b]；（2）f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則存在??(a,b)，使得f?(?)?

【注解】

（1）中值定理的等價(jià)形式為： f(b)?f(a)。b?a

f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)，其中??(a,b)；

f(b)?f(a)?f?[a??(b?a)](b?a)，其中0???1。

（2）?對(duì)端點(diǎn)a,b有依賴性。

（3）端點(diǎn)a,b可以是變量，如f(x)?f(a)?f?(?)(x?a)，其中?是介于a與x之間的x的函數(shù)。

定理3（Cauchy中值定理）設(shè)f(x),g(x)滿足：（1）f(x),g(x)?C[a,b]；（2）f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；（3）g?(x)?0,x?(a,b)，則存在??(a,b)，使得f(b)?f(a)f?(?)?。g(b)?g(a)g?(?)

題型一：證明f(n)(?)?0

【例題1】設(shè)f(x)?C[0,3]，f(0)?f(1)?f(2)?3,f(3)?1，證明：存在??(0,3)使得f?(?)?0。

【例題2】設(shè)曲線L:y?f(x)(x?[a,b])，f(x)?C[a,b]，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，連接端點(diǎn)A(a,f(a))與B(b,f(b))的直線與曲線L交于內(nèi)部一點(diǎn)C(c,f(c))(a?c?b)，證明：存在??(a,b)，使得f??(?)?0。

?(a)f??(b)?0，證明：存在【例題3】設(shè)f(x)?C[a,b]，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f?

??(a,b)，使得f?(?)?0。

題型二：結(jié)論中含一個(gè)中值?，不含a,b，且導(dǎo)出之間差距為一階

【例題1】設(shè)f(x)?C[a,b]，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，證明：存在??(a,b)，使得?f?(?)?f(?)?0。

【例題2】設(shè)f(x),g(x)?C[a,b]，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，證明：存在??(a,b)，使得f?(?)?f(?)g?(?)?0。

【例題3】設(shè)f(x)?C[0,1]，在(0,1)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f(0)?f(1)，證明：存在??(0,1)，使得f??(?)?2f?(?)。1??

題型三：含中值?,?

情形一：含中值?,?的項(xiàng)復(fù)雜度不同

【例題1】設(shè)f(x)?C[a,b]，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?f(b)?1，證明：存在?,??(a,b)，使得e???[f(?)?f?(?)]?1。

【例題2】設(shè)f(x)?C[a,b]，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(a?0)，證明：存在?,??(a,b)，使得

f?(?)?(a?b)f?(?)。2?

情形二：含中值?,?的項(xiàng)復(fù)雜度相同

【例題1】設(shè)f(x)?C[0,1]，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?0,f(1)?1。

（1）證明：存在c?(0,1)，使得f(c)?1?c。

（2）證明：存在?,??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1。

【例題2】設(shè)f(x)?C[0,1]，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?0,f(1)?1，證明：存在?,??(0,1)，使得21??3。f?(?)f?(?)

三、高階中值定理—泰勒中值定理

背景：求極限limx?0x?sinx。x3

定理4（泰勒中值定理）設(shè)函數(shù)f(x)在x?x0的鄰域內(nèi)有直到n?1階導(dǎo)數(shù)，則有

f??(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f?(x0)?(x?x0)???(x?x0)n?Rn(x)，2!n!

f(n?1)(?)且Rn(x)?(x?x0)n，其中?介于x0與x之間，稱此種形式的余項(xiàng)為拉格(n?1)!

郎日型余項(xiàng)，若Rn(x)?o[(x?x0)n]，稱此種形式的余項(xiàng)為皮亞諾型余項(xiàng)。特別地，若x0?0，則稱

f??(0)f(n)(0)n2f(x)?f(0)?f?(0)?(x?x0)???x?Rn(x)，2!n!

f(n?1)(?x)n?1為馬克勞林公式，其中Rn(x)?x(0???1)。(n?1)!

【注解】常見(jiàn)函數(shù)的馬克勞林公式

xn

?o(xn)。

1、e?1?x???n!x

x3(?1)n

2n?

12、sinx?x????x?o(x2n?1)。3!(2n?1)!

x2(?1)n

2n3、cosx?1????x?o(x2n)。2!(2n)!

1?1?x???xn?o(xn)。1?x

1?1?x???(?1)nxn?o(xn)。5、1?x4、x2(?1)n?1

n???x?o(xn)。

6、ln(1?x)?x?2n

專題一：泰勒公式在極限中的應(yīng)用 【例題】求極限limx?0x?sinx。x3

專題二：二階保號(hào)性問(wèn)題

設(shè)函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)f??(x)?0(?0)，這類問(wèn)題主要有兩個(gè)思路：

思路一：設(shè)f??(x)?0，則f?(x)單調(diào)增加

【例題1】設(shè)f(x)在[0,??)上滿足f??(x)?0且f(0)?0，證明：對(duì)任意的a?0,b?0有f(a)?f(b)?f(a?b)。

【例題2】設(shè)f(x)在[a,??)上滿足f??(x)?0且f(a)??2,f?(a)?1，證明：f(x)在(a,??)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。

思路二：重要不等式

設(shè)f??(x)?0，因?yàn)閒(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?

所以有

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)，其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x?x0。

【例題1】設(shè)f(x)?C(??,??)，f??(x)?0，且limx?0f??(?)(x?x0)2，2!f(x)?1，證明：f(x)?x。x

【例題2】設(shè)f??(x)?0(a?x?b)，證明：對(duì)任意的xi?[a,b](i?1,2,?,n)及ki?0(i?1,2,?,n)且k1?k2???kn?1，證明：

f(k1x1?k2x2???knxn)?k1f(x1)?k2f(x2)???knf(xn)。

【例題3】設(shè)f(x)?C[0,1]且f??(x)?0，證明：

?101f(x2)dx?f()。3