第一篇：分類討論思想與初中數(shù)學(xué)教學(xué)

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分類討論思想與初中數(shù)學(xué)教學(xué)

分類討論思想與初中數(shù)學(xué)教學(xué)

摘 要：數(shù)學(xué)中的分類討論思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，通過加強(qiáng)數(shù)學(xué)分類討論思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性、科學(xué)性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對學(xué)生的未來必將產(chǎn)生深刻和久遠(yuǎn)的影響。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) ；分類討論

新課標(biāo)指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識（包括數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)）以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能”。初中階段常見的數(shù)學(xué)思想包括：函數(shù)與方程思想，化歸思楊，分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等。其中分類討論思想是初中數(shù)學(xué)中最常見、最重要的一種數(shù)學(xué)思想，它貫穿于整個初中數(shù)學(xué)，它有利于考查學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和靈活運(yùn)用能力。

一個數(shù)學(xué)問題是否要分類及如何分類，這種經(jīng)驗(yàn)的積累是十分重要的。一般情況下，分類討論一般應(yīng)遵循以下的原則：

1、同一性原則。分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類根據(jù)。例如：有些同學(xué)把三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、不等邊三角形、等腰三角形。這個分類就不正確了，因?yàn)檫@個分類同時使用了按邊和按角兩個分類標(biāo)準(zhǔn)。

2、相稱性原則。分類應(yīng)當(dāng)相稱，即劃分后子項(xiàng)外延的總和，應(yīng)當(dāng)與母項(xiàng)的外延相等。

3、互斥性原則。分類后的每個子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容，即做到各子項(xiàng)相互排斥，也就是分類后不能有一些事物既屬于這個子項(xiàng)，又屬于另一個子項(xiàng)。

4、層次性原則。分類有一次分類和多次分類之分。一次分類是對被討論對象只分類一次；多次分類是把分類后所得的子項(xiàng)作為母項(xiàng)，再進(jìn)行分類，直至滿足需要為止。

一般來說，教師在教學(xué)活動中可按以下三個步驟引導(dǎo)學(xué)生建立分類討論的思想，學(xué)會分類方法，揭示分類討論思想的本質(zhì)，自覺合理的運(yùn)用分類討論的思想解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題，形成能力。

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專業(yè)論文 有意識地分階段滲透分類討論思想

啟發(fā)誘導(dǎo)，適時揭示分類討論思想的本質(zhì)

這道題勢必要考慮圖像的開口方向，又要考慮對稱軸和頂點(diǎn)的位置。要對字母a和m分類。怎么分，則應(yīng)由學(xué)生討論，互相補(bǔ)充，互相評價，逐步完善。

例3 初中課本第四冊證明圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

在幾何中，常常由于圖形的的形狀、位置的不同而要進(jìn)行分類討論。這是課本第一次正式的采用分類的方法證明幾何定理的。為什么要根據(jù)圓心相對于圓周角的位置分成三種情況（如上圖）去證，要在學(xué)生畫圖、測量、分析、討論后形成思路。決不能在這些活動之前給出分類證明，否則就失去了從一般到特殊，從特殊到一般的思維過程，無法體會分類證明的目的和優(yōu)點(diǎn)。創(chuàng)設(shè)情境，深化提高，使學(xué)生自覺應(yīng)用分類討論思想

在初中數(shù)學(xué)中，若涉及到以下幾個方面，往往需要進(jìn)行分類討論：

分析：該題是含有字母的方程，根據(jù)題目的要求，以下三種情況可使方程只有一個實(shí)數(shù)根：

化得的整式方程為一次方程，則只有一解（且這個根不能是增根）；

2）化得的整式方程為一元二次方程且判別式為零，則只有一解（且這個根不能是增根）

3）化得的整式方程為一元二次方程且判別式大于零，解得的兩根中需有一根 為增根。

在幾何中由于圖形的形狀、位置的不同，條件的不確定，常常需要分類討論。如這道例題。在實(shí)際教學(xué)中可以碰到很多這種習(xí)題。如：

等腰三角形的兩邊為4，6，求該三角形的周長？

總之，數(shù)學(xué)中的分類討論思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，通過加強(qiáng)數(shù)學(xué)分類討論思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性、科學(xué)性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對學(xué)生的未來必將產(chǎn)生深刻和久遠(yuǎn)的影響。

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第二篇：全面剖析初中數(shù)學(xué)分類討論思想教學(xué)

全面剖析初中數(shù)學(xué)分類討論思想教學(xué)

[摘 要] 數(shù)學(xué)思想是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要模塊，貫穿整個數(shù)學(xué)知識體系始終.數(shù)學(xué)思想能夠反映人分析和解決數(shù)學(xué)問題時的意識和思維邏輯，其是從大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)信息中總結(jié)出的系統(tǒng)化的知識結(jié)構(gòu)和解決問題的策略、關(guān)鍵.中小學(xué)數(shù)學(xué)教育重點(diǎn)要求學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、函數(shù)思想以及分類討論思想等.本文針對分類討論思想進(jìn)行論述.[關(guān)鍵詞] 分類討論；價值；誤區(qū)；應(yīng)用

分類討論思想始于《九章算術(shù)》中對“盈虧問題”的探討，該思想常常被運(yùn)用于解決開放型數(shù)學(xué)問題，即解決思路不唯一的問題時，學(xué)生需根據(jù)問題所給的具體條件對問題中可能出現(xiàn)的所有情況逐一分析，再根據(jù)所學(xué)知識和邏輯思維判斷，將問題條件劃分為多個更加單一的細(xì)化條件，將大問題轉(zhuǎn)化為多個小問題后逐一解決，最后進(jìn)行綜合分析，得出一個或多個答案.但在實(shí)際教學(xué)中，很多教師對數(shù)學(xué)思想教學(xué)的重視程度不夠，原因在于其不了解數(shù)學(xué)思想對學(xué)生思維及分析能力發(fā)展的重要性，導(dǎo)致數(shù)學(xué)課堂出現(xiàn)諸多數(shù)學(xué)思想教學(xué)誤區(qū).下面，筆者將以數(shù)學(xué)思想中的分類討論思想為例，從其教學(xué)價值、教學(xué)誤區(qū)以及教學(xué)應(yīng)用三方面來談一談初中數(shù)學(xué)思想的高效教學(xué)策略.分類討論思想的教學(xué)價值

1.形成分類思考意識，掌握信息分類方法

隨著信息時代的快速發(fā)展，人們每天主動或被動接受的信息量與日俱增，想要不被雜亂的信息所困擾，就需自身具備對信息進(jìn)行分類處理的能力.分類討論雖為數(shù)學(xué)思想，但在運(yùn)用該思想解決數(shù)學(xué)問題時，也能有效鍛煉學(xué)生分類處理信息的能力，養(yǎng)成對各種信息進(jìn)行分類的良好習(xí)慣，這樣便能輕松應(yīng)對日常學(xué)習(xí)和生活中對繁雜信息的處理問題，提高學(xué)習(xí)和工作效率.教師在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論思想解決問題時，應(yīng)當(dāng)首先為學(xué)生介紹高效的分類技巧，即根據(jù)實(shí)際情況或已知條件自主制定分類標(biāo)準(zhǔn)，并針對各類信息做對應(yīng)的分析和總結(jié).2.培養(yǎng)思維發(fā)散意識，鍛煉一題多解能力

思維定式是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的不利影響.傳統(tǒng)的以教師講解為主的數(shù)學(xué)課堂，嚴(yán)重制約了學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的自主思考方向，導(dǎo)致學(xué)生對同類題型產(chǎn)生定向思維，以單一的角度看問題，從而在面對新題型或變式問題時不知變通，無從下手.教師應(yīng)當(dāng)摒棄傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教師主講而學(xué)生被動學(xué)習(xí)的課堂模式，設(shè)計(jì)更多開放型問題供學(xué)生自主思考、合作學(xué)習(xí)，促使學(xué)生解決問題的角度更加具體、全面，這樣有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維意識和一題多解意識，從而更加全面、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乜紤]問題.3.科學(xué)建構(gòu)知識體系，形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)

初中是學(xué)生數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)從打牢基礎(chǔ)到能力提升過渡的關(guān)鍵階段.系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)知識教學(xué)目標(biāo)要求學(xué)生具備對不同知識進(jìn)行分類、概括、總結(jié)的能力，從而實(shí)現(xiàn)對知識的自主消化，提升自主學(xué)習(xí)能力和思考能力.分類討論思想的滲透有助于學(xué)生養(yǎng)成對不同信息進(jìn)行分類的良好習(xí)慣，在個人數(shù)學(xué)知識體系的建構(gòu)中，能夠?⒏叢?、繁多掉[?識點(diǎn)歸類理解，從而大大提高學(xué)習(xí)新知和理解記憶的效率.教師應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)學(xué)生理解各模塊知識之間的聯(lián)系，從而促使學(xué)生從知識之間的區(qū)別與聯(lián)系這一方面來進(jìn)行知識的分類匯總，形成一張更加趨于完整和實(shí)用的知識網(wǎng)絡(luò)，便于學(xué)生搜索知識點(diǎn)及綜合運(yùn)用.分類討論思想的教學(xué)誤區(qū)

1.理念陳舊，缺少創(chuàng)新

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，教學(xué)應(yīng)當(dāng)符合學(xué)生的個性發(fā)展要求.隨著中小學(xué)教育的不斷發(fā)展，學(xué)生的個性發(fā)展要求也在不斷地提升，傳統(tǒng)模式的“教與學(xué)”課堂已經(jīng)不符合對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).但在實(shí)際教學(xué)中，部分教師仍然秉持陳舊的教學(xué)理念，忽略學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性，往往為了解題而解題，無法看到數(shù)學(xué)問題背后對學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法的引導(dǎo)，這樣的陳舊觀念無法促使學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行更加深入的思考.教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)新教學(xué)模式，如可以將分類討論思想作為教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)，設(shè)計(jì)更多開放式的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性，有效培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思維.2.被動學(xué)習(xí)，效率低下

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式除了教學(xué)理念陳舊，影響學(xué)生的個性發(fā)展而外，被動學(xué)習(xí)也使得學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識的興趣和熱情消磨殆盡.學(xué)生處于被動學(xué)習(xí)的狀態(tài)時，無法主動探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)思維得不到有效運(yùn)用，這樣即使學(xué)生了解分類討論等數(shù)學(xué)思想，也同樣無法將其準(zhǔn)確運(yùn)用于數(shù)學(xué)問題的解決中，無法自主建立起知識之間的相互聯(lián)系，從而無法實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維和解決問題能力的有效提升.3.應(yīng)試教育，能力不足

應(yīng)試教育是當(dāng)下中小學(xué)數(shù)學(xué)教育普遍存在的一個教學(xué)誤區(qū)，面對升學(xué)壓力和緊湊的課堂時間，教師往往會選擇“題海戰(zhàn)術(shù)”，要求學(xué)生通過練習(xí)大量的數(shù)學(xué)題型來形成思維習(xí)慣.表面上看，其同樣是以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維為目的，但實(shí)際上卻是一味地通過練題來強(qiáng)迫學(xué)生在數(shù)學(xué)思維上達(dá)到熟能生巧的一種十分刻板的教學(xué)模式，并且頻繁使用分?jǐn)?shù)來衡量學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力，這一做法不利于學(xué)生真正掌握和學(xué)會運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想，甚至還會對學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性造成反作用，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.分類討論思想的教學(xué)應(yīng)用

分類討論思想可運(yùn)用于解決不同知識模塊的數(shù)學(xué)問題，筆者選擇了以下四個方面的分類討論思想教學(xué)應(yīng)用實(shí)例加以闡述.1.絕對值運(yùn)算

解決含有絕對值的問題時，有時需要應(yīng)用分類討論思想.做題的過程中，我們要善于分析問題，要考慮到絕對值具有非負(fù)性.例如，筆者在講解含絕對值符號的加減運(yùn)算時，給出了這樣一道簡單的例題：要使x+1-x=1，變量x應(yīng)當(dāng)滿足什么條件？

這道例題出現(xiàn)了兩個絕對值符號，因此筆者引導(dǎo)學(xué)生將兩個含絕對值符號的式子分開討論，于是有x+10四種情況，這四種情況經(jīng)過一定的整合，最終將數(shù)軸分為了三段，即x0這三種情況，最后得出只有當(dāng)x>0或x=0時，等式才成立，于是得出“當(dāng)x≥0時，等式成立”的結(jié)論.2.與方程有關(guān)的問題

在解一元二次方程時，往往會出現(xiàn)題中某項(xiàng)系數(shù)未知的情況，而根據(jù)一元二次方程的定義和實(shí)根的判別方法，應(yīng)當(dāng)運(yùn)用根的判別式來判斷未知參數(shù)在什么范圍下才能滿足方程是否有實(shí)數(shù)根的條件.例如，教學(xué)“一元二次方程”時，筆者給出了這樣一道例題：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.在這道例題中，a是二次項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)中的未知參數(shù)，根據(jù)一元二次方程根的判別式，要想使方程有實(shí)數(shù)根，則Δ≥0，即[2（a-1）]2-4a2≥0，解得a≤.本題還應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)注意的是，題中未指明該方程是一元二次方程，因此當(dāng)a=0時，該方程就變成一個一元一次方程，經(jīng)檢驗(yàn)，這樣的情況顯然是合理的，因此應(yīng)當(dāng)放入分類討論中（即分a=0和a≠0兩種情況進(jìn)行討論），實(shí)現(xiàn)該題的完整解答.3.函數(shù)問題

分類討論問題在函數(shù)中的應(yīng)用甚為頻繁，函數(shù)的種類也十分繁多，尤其是當(dāng)具體問題中并未指出函數(shù)類別時，更應(yīng)當(dāng)對函數(shù)的不同類別進(jìn)行分類討論.例如，講解函數(shù)圖像的有關(guān)知識時，筆者給出了這樣一道例題：求函數(shù)y=（k-1）x2-kx+1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).與上一道例題相似，題中并未給出函數(shù)的具體類型，因此教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用發(fā)散思維，對可能的函數(shù)類型進(jìn)行分類?論.例如，k=1和k≠1是一次函數(shù)和二次函數(shù)的區(qū)別；當(dāng)k≠1時，k2-4（k-1）≥0或k2-4（k-1）<0是函數(shù)與x軸是否有交點(diǎn)的區(qū)別.針對討論情況較多的問題，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生理清思路，防止思維混亂，促使問題解決得更加有條理.4.幾何問題

幾何圖形具有多變的特點(diǎn)，其使得分類討論思想在幾何問題中的運(yùn)用非常頻繁，需要學(xué)生根據(jù)圖形的形狀、位置以及關(guān)系等方面的條件來對問題進(jìn)行合理地分類討論.例如，筆者在講授有關(guān)三角形各邊長度的問題時，曾給出這樣一道例題：在△ABC中，AB=6，AC=2，BC邊上的高AD=3，求BC的長.這道題并未給出具體的三角形圖形，因此學(xué)生可運(yùn)用空間想象能力將三角形分為點(diǎn)D在BC邊上和在BC邊的延長線上兩種情況，然后分別求出這兩種情況下BC邊的長，再進(jìn)行判斷.總之，每一種數(shù)學(xué)思想對學(xué)生的思維能力都有不同角度的提升作用，分類討論思想則注重對學(xué)生思維邏輯嚴(yán)密性進(jìn)行鍛煉.教師首先應(yīng)當(dāng)對數(shù)學(xué)思想教學(xué)引起足夠的重視，在引導(dǎo)學(xué)生解決各類數(shù)學(xué)問題時，教師應(yīng)當(dāng)有意識地滲透分類討論思想在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，結(jié)合學(xué)生對知識的掌握程度和認(rèn)知水平，設(shè)計(jì)更多符合學(xué)生思維能力提升要求的開放題型，通過階梯型難度的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地提升分類討論思想的運(yùn)用能力，養(yǎng)成良好的發(fā)散思維習(xí)慣，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

第三篇：初中數(shù)學(xué)教材中分類思想的探討

初中數(shù)學(xué)教材中分類思想的探討

亭湖區(qū)黃尖初級中學(xué)郵編：224049

內(nèi)容提要: 中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí), 常常會運(yùn)用到一些數(shù)學(xué)思想, 分類討論的思想方法在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著廣泛應(yīng)用.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的分類思想的應(yīng)用, 數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行分類,圖形的位置的變化而進(jìn)行的分類, 定理證明中的分類討論, 我們要把掌握分類思想,作為一項(xiàng)教學(xué)目標(biāo)納入教學(xué)過程,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力,在教學(xué)中要遵循循序漸進(jìn),適時滲透,逐步深化的原則,初始階段,可從學(xué)習(xí)熟知的數(shù)學(xué)分類入手,逐步提高.關(guān)鍵詞: 數(shù)學(xué)思想, 分類討論思想, 概念的分類, 數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)和運(yùn)算法則的分類, 圖形位置變化的分類, 定理證明中的分類討論, 運(yùn)用分類思想,解決數(shù)學(xué)問題，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，我們常常會運(yùn)用到一些數(shù)學(xué)思想，而數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識。首先，數(shù)學(xué)思想比一般的數(shù)學(xué)概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質(zhì)、更深刻；其次，數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)方法三者密不可分：如果人們站在某個位置、從某個角度并運(yùn)用數(shù)學(xué)去觀察和思考問題，那么數(shù)學(xué)思想也就成了一種觀點(diǎn)。而對于數(shù)學(xué)方法來說，思想是其相應(yīng)的方法的精神實(shí)質(zhì)和理-1-

論基礎(chǔ)，方法則是實(shí)施有關(guān)思想的技術(shù)手段。數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本想法，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。

在初中階段對數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)將統(tǒng)領(lǐng)知識的數(shù)學(xué)思想和方法概括出來，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和方法的應(yīng)用意識，從而令學(xué)生更透徹地理解所學(xué)的知識，提高獨(dú)立分析問題、解決問題的能力。這是鍛煉學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)這種能力的重要途徑。

素質(zhì)教育的主要任務(wù)不僅是發(fā)展學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的能力，還要培養(yǎng)非智力因素和辯證唯物主義等思想，從根本上講就是要全面提高學(xué)生的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識。而數(shù)學(xué)思想方法就是增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念，形成“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，樹立創(chuàng)新意識的關(guān)鍵，她能使學(xué)生在未來的生活和工作中終生受益。新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為掌握好數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識，使學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的必要條件。掌握好數(shù)學(xué)思想方法可以使學(xué)生對數(shù)學(xué)更容易理解和記憶，如果把數(shù)學(xué)思想方法學(xué)好了，在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下運(yùn)用數(shù)學(xué)方法駕馭數(shù)學(xué)知識，就能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加容易，并能將所學(xué)到的知識和方法運(yùn)用于今后的工作和生活之中。

初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法很多，最基本的數(shù)學(xué)思想方法有：化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想等。在這些基本思想方法中，分類討論的思想由于初中學(xué)生認(rèn)知能力、思維習(xí)慣、知識水平和教學(xué)內(nèi)容的限制，學(xué)生在運(yùn)用的過程中感覺到特別困難，但分類思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中又有著極其廣泛的應(yīng)用，有必要對其特別加以重視，下面我們就一同來看一看這種數(shù)學(xué)思想方法在初中

數(shù)學(xué)教材應(yīng)用，以更好地利用數(shù)學(xué)教學(xué)來提高學(xué)生的素質(zhì)，使學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)、生活中運(yùn)用這種數(shù)學(xué)思想方法，來解決實(shí)踐中遇到的各種問題。

數(shù)學(xué)分類思想是在研究與解決數(shù)學(xué)問題時,根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的異同點(diǎn),將對象分為不同種類,然后逐類進(jìn)行研究與解決,從而達(dá)到研究與解決問題的目的的一種思想方法。分類思想的掌握對研究和解決問題十分有益，因此是科學(xué)研究中最常用，最基本的思想方法之

一。它有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的條理性、縝密性、靈活性，使學(xué)生學(xué)會完整地考慮問題、化整為零地解決問題。

應(yīng)用分類討論思想解決問題，必須保證分類科學(xué)、統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，并力求最簡捷。

分類思想有三個明顯特點(diǎn)，一是對什么東西分類，即確定分類的對象；二是按什么標(biāo)準(zhǔn)分類，即選擇分類的標(biāo)準(zhǔn)；三是分成哪幾類，即確定分類的結(jié)果。通過正確的分類，可以使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答。就分類討論的思想方法在初中數(shù)學(xué)教材中的應(yīng)用，大致可以分成下面四種類型。

一、數(shù)學(xué)概念中的分類思想的應(yīng)用

1、實(shí)數(shù)的分類：實(shí)數(shù)按定義可以分為有理數(shù)與無理數(shù)；而按大小又可分為正實(shí)數(shù)、0、負(fù)實(shí)數(shù)。在實(shí)數(shù)的應(yīng)用中時常需要就實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論。

2、角的分類，小于180的角按大小可分成銳角、直角、鈍角等

3、三角形的分類：在三角形中按角的大小進(jìn)行分類可以分為銳

角三角形、直角三角形，鈍三角形；而按邊的相等數(shù)來分又可以分成：

（1）三條邊都不相等，即一般三角形；（2）有兩邊相等，即等腰三角形；（3）有三條邊相等，即等邊三角形。在三角形中又以等腰三角形中的分類討論的題型最多。

4、四邊形的分類：在四邊形中按邊的平行關(guān)系可分為：①兩組

對邊都不平行，即一般四邊形；②只有一組對邊平行，即梯形③兩組對邊分別平行，即平行四邊形，而平行四邊形中又可分為一般平行四邊形和特殊平行四邊形：矩形、菱形、正方形等。

5、方程的分類，方程按未知數(shù)的個數(shù)可分成一元方程、二元方程、多元方程；按未知項(xiàng)的次數(shù)可分為一次方程、二次方程、高次方程等。在方程中常常對未知數(shù)前面的字母系數(shù)的取值分類討論。

6、函數(shù)的分類，初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)可分成正比例函數(shù)、一次函

數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等。

二、根據(jù)數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行分類

?a當(dāng)a?0時

1、絕對值的化簡a???0當(dāng)a?0時

??a當(dāng)a?0時?

2、二次根式的化簡?a當(dāng)a?0時?a2?a??0當(dāng)a?0時 ??a當(dāng)a?0時?

23、一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0),當(dāng)△=b-4ac>0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=b-4ac=0時，2

2方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=b-4ac<0時,方程無實(shí)根。

4、函數(shù)的增減性，（1）在一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）中，如果k>0，那么y的值隨x值的增大而增大；如果k<0，那么y的值隨x值的增大而減小。

（2）在反比例函數(shù)y=k／x（k為常數(shù)，且k≠0）中，當(dāng)k>0時，雙曲線的兩個分支分別在第一、三象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x 增大而減?。划?dāng)k<0時，雙曲線的兩個分支分別在第二、四象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x 增大而增大。

5、不等式的性質(zhì)

不等式的性質(zhì)2不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。

根據(jù)不等式這個性質(zhì)在不等式的兩邊都乘或除以一個數(shù)時需要考慮到這個數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。

三、根據(jù)圖形的位置的變化而進(jìn)行的分類

1、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系①點(diǎn)在直線上②點(diǎn)在直線外

2、直線與直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系有①相交②平行。直線與直線的位置關(guān)系中分類討論的題型并不多見，但它本身就是一種分類。

3、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系①點(diǎn)在圓外②點(diǎn)在圓上③點(diǎn)在圓內(nèi)。

4、直線與圓的位置關(guān)系①相離②相切③相交。

5、圓與圓的位置關(guān)系①外離②外切③相交④內(nèi)切⑤內(nèi)含

四、定理證明中的分類討論

圓周角定理證明中的分類，分三種情況進(jìn)行討論。①圓心在角的一邊上；②圓心在角的內(nèi)部；③圓心在角的外部。

通過上述問題的討論,分類討論的思想方法在初中數(shù)學(xué)教材中有著廣泛的應(yīng)用。在運(yùn)用分類思想解題時主要步驟有：①分析題目中的已知條件，明確所要討論的對象，確定所要討論對象的全體；②確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，做到不重不漏,并力求最簡；③對所分類型進(jìn)行逐級討論、求解；④歸納小結(jié)，得出最后的結(jié)論。

當(dāng)然課本中分類討論題型很多，在具體的題目中也許多類型，例如在三角形相似中由于對應(yīng)關(guān)系的不明確也可以進(jìn)行分類討論，在圖形運(yùn)動中的題目也會有分類討論，在中考綜合題中也會穿插著許多分類討論的題目，因此有必要在今后的學(xué)習(xí)和教學(xué)的過程中，根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,我們要把掌握分類思想,作為一項(xiàng)教學(xué)目標(biāo)納入教學(xué)過程,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力,在教學(xué)中要遵循循序漸進(jìn),適時滲透,逐步深化的原則,初始階段,可從學(xué)習(xí)熟知的數(shù)學(xué)分類入手,逐步提高.當(dāng)學(xué)生初步理解一些數(shù)學(xué)分類方法后,適時做好深化、歸納工作，可設(shè)計(jì)一些含有分類思想的習(xí)題，通過專項(xiàng)訓(xùn)練，幫助學(xué)生總結(jié)一些常見的分類方法，逐步強(qiáng)化分類意識，養(yǎng)成善于分類的思維習(xí)慣，便于學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)過程中能正確地運(yùn)用這種思想方法解決好數(shù)學(xué)問題，并能使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答，這樣才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

第四篇：從一堂課談初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的分類思想

從一堂課談初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的“分類思想”

《直線與圓的位置關(guān)系》課例

教師在教學(xué)中對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法的滲透存在的一些問題。

近日，我有幸聆聽了王老師一堂課《直線與圓的位置關(guān)系》。聽了這節(jié)課后，我想從“如何在數(shù)學(xué)概念教學(xué)課中向?qū)W生滲透分類思想”談一些自己的想法。

在《直線與圓的位置關(guān)系》的教學(xué)中，王老師是這樣引入的：（1）師：請每一位同學(xué)任意畫一個圓和一條直線。

生：動手畫圓和直線。

（2）師：收集并展示學(xué)生的作品。（用實(shí)物投影）

（3）師：拿出兩張學(xué)生作品（如右圖）。

問：這兩張圖有什么共同的特征？ 生（個答）：它們都有兩個交點(diǎn)。

（4）

師：拿出兩張學(xué)生作品（如左圖）。問：這兩張圖有什么共同的特征？ 生（個答）：它們都沒有交點(diǎn)。

（5）拿出兩張學(xué)生作品（如右圖）。問：這兩張圖有什么共同的特征？ 生（個答）：它們都只有一個交點(diǎn)。（6）師歸納直線與圓的三種位置關(guān)系。

（7）師：你能舉一些生活中直線與圓的位置關(guān)系的具體例子嗎？

生1：太陽從地平線升起的過程。生2：筷子擺放在碗上。生3：球放在桌面上?！?/p>

王老師想通過這個概念教學(xué)向?qū)W生滲透分類思想，但是在實(shí)際操作過程中卻沒有達(dá)到預(yù)想的效果。反思整個引入的過程，我認(rèn)為最關(guān)鍵的是忽視了學(xué)生的“經(jīng)歷”。其主要表現(xiàn)如下：

一、忽視學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活中的具體事物抽象出數(shù)學(xué)圖形的過程?！皵?shù)學(xué)來自于生活”，提倡生活數(shù)學(xué)是新課標(biāo)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，其中就包括學(xué)習(xí)抽象和概括的能力。數(shù)學(xué)應(yīng)該是來源于生活的。在向?qū)W生滲透分類思想的過程中，筆者認(rèn)為最關(guān)鍵的是“為什么分類”，“你怎么想到要用分類思想的”。由此，筆者不禁想：是否將王老師的教學(xué)過程稍加調(diào)整。具體操作如下：

（1）展示現(xiàn)實(shí)生活中一些直線與圓的位置關(guān)系的具體事例，如太陽從海平面上升，動車在軌道上行駛等等。

（2）通過具體例子，提示學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光去看問題，從中抽象概括出它們都是涉及到直線與圓的位置關(guān)系的。

這樣的設(shè)計(jì)可以讓學(xué)生感受到：由于實(shí)際生活的需要，我們經(jīng)常要對事物進(jìn)行分類。這樣就解決了教師向?qū)W生滲透分類思想時“為什么要分”的問題。

二、忽視學(xué)生對分類標(biāo)準(zhǔn)探討、確定的過程。

王老師的（2）（3）（4）（5）四步是解決“如何分”的問題。筆者認(rèn)為：王老師有意識地讓學(xué)生動手（每一位同學(xué)任意畫一個圓和一條直線），但是這種動手卻是一種機(jī)械的動手，沒有深度可言。教師在向?qū)W生滲透分類思想中重要的一項(xiàng)內(nèi)容就是要讓學(xué)生學(xué)會如何尋找分類的標(biāo)準(zhǔn)，即“怎么分”。區(qū)分的標(biāo)準(zhǔn)不應(yīng)該是老師直接給出的，而是由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并進(jìn)行歸納的。

直線與圓的位置關(guān)系分類的標(biāo)準(zhǔn)是交點(diǎn)的個數(shù)。王老師的做法是：自己將這些圖形進(jìn)行分類，然后讓學(xué)生去說明每一類的特征。因此，（3）（4）（5）三步的做法就失去了探索的意義。是否可以對這三步也進(jìn)行調(diào)整。直接向?qū)W生拋出問題：“這么多圖形，你能不能給它們進(jìn)行分類？并說說你分類的標(biāo)準(zhǔn)?！比缓笞寣W(xué)生自己討論，得出分類標(biāo)準(zhǔn)，然后上臺展示。通過這樣的活動，可以讓學(xué)生經(jīng)歷“標(biāo)準(zhǔn)”產(chǎn)生的過程。而且學(xué)生通過探索逐漸學(xué)會如何尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，這樣也可以為結(jié)論的記憶帶來幫助。反思：

出現(xiàn)這種問題的原因。

分類思想的滲透分為三步：“為什么分”----“怎么分”----“分的結(jié)果如何”。我們老師在課堂上，往往只重視“分的結(jié)果”，過多地要求學(xué)生記憶結(jié)果，而忽略了過程。對于“怎么分”“為什么分”簡單帶過，甚至出現(xiàn)根本不提“為什么分”。不僅僅是王老師，在我們平時聽的很多公開課和隨堂課中，上課教師也經(jīng)常出現(xiàn)上述的問題。我認(rèn)為出現(xiàn)這些問題的原因有以下幾點(diǎn)：

1、教師沒有很好地理解新課程理念。

新課程理念的核心是“素質(zhì)教育”，要培養(yǎng)學(xué)生的能力。這就要求學(xué)生在教學(xué)中要處于主體地位，而教師處于主導(dǎo)地位。但是還有一部分教師對這句話的理解只停留在表面。以為讓學(xué)生動動手，有個合作學(xué)習(xí)就是以學(xué)生為主體了。其實(shí)不然，真正以學(xué)生為主體不是看學(xué)生是否“動手了”是否“討論了”，而是要看學(xué)生的思維是否被調(diào)動起來，積極主動地提出問題，解決問題。

2、教師對數(shù)學(xué)本質(zhì)理解不到位，自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)有待提高。

“我有一桶水，才能給你一杯水”。教師自身的數(shù)學(xué)基本功和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，直接影響到他對學(xué)生的指導(dǎo)?？纯次覀冎車?，還有不少教師對數(shù)學(xué)的本質(zhì)還沒有很明確的認(rèn)識?！俺橄蟾爬ā?，“化繁為簡”，“分類討論”，“數(shù)形結(jié)合”… 是不是每一位老師都能在教材中很清楚地找到它們的位置，在合適的時候向?qū)W生滲透呢？ 各個知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，高等數(shù)學(xué)對初中數(shù)學(xué)的指導(dǎo)…每一位教師是否都清楚呢？如果教師自己都不清楚，怎么來指導(dǎo)我們的孩子呢？

3、應(yīng)試教育的后遺癥，社會環(huán)境的影響，讓我們的老師只重結(jié)果，不重過程。

由于受以前應(yīng)試教育的影響，很多教師到現(xiàn)在還是會不自覺地“只重視結(jié)果，不重視過程”。長此以往，我們的孩子也是如此。很多孩子在預(yù)習(xí)或者學(xué)習(xí)的時候往往只看到書上的結(jié)果，很少有孩子去考慮這個結(jié)果是怎么來的。當(dāng)然，這和我們周圍的環(huán)境也有關(guān)系。現(xiàn)在的社會是一個功利的社會，很多情況下大家都只注重“結(jié)果”，沒有去看“過程”。但是作為一位教師，作為祖國將來的棟梁的我們的孩子，絕對不能受這個環(huán)境的影響，做學(xué)問一定要扎扎實(shí)實(shí)靜下心來。建議： 太大太空洞。找一些細(xì)小的，可以完成的措施。

針對上述種種原因，我也想談?wù)勛约旱囊恍┎怀墒斓慕ㄗh，以供大家參考：

1、認(rèn)真地去解讀新課程標(biāo)準(zhǔn)，感受新課程理念。

每次聽評課都會有老師把新課程標(biāo)準(zhǔn)、新課程理念拿出來當(dāng)作參考。但是真正認(rèn)真研究過新課標(biāo)、新課程理念的教師卻不多。很多教師對它們都只是一知半解，只見一斑。是否組織教師集中學(xué)習(xí)新課標(biāo)，讓每位教師都能更好地理解新課標(biāo)和新課程理念。

2、提高自身素養(yǎng)，提高理論知識。

要提高教師自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和理論知識可以通過以下一些途徑。（1）多讀書，讀好書。不僅要讀專業(yè)方面的書，還要看教育學(xué)、人物傳記、古典文學(xué)、小說等等各個方面的書籍，提高自身素養(yǎng)。（2）有機(jī)會多聽專家報告和講座。每一位專家都有自己獨(dú)到的見解和想法，聽專家的報告和講座，可以讓我們“站在巨人的肩上”，看得更遠(yuǎn)。（3）多和別人交流，博取眾家之長。“三人行，必有我?guī)煛薄Ｕ軐W(xué)告訴我們：看待事物要從不同的角度去觀察。而我們每個人看待問題都不可能面面俱到，與同伴交流，可以讓我們從不同的角度看事物，從而增加我們對某一事物或問題的理解。

3、不急功近利，沉下心來做學(xué)問。

作為人民教師，我們不僅僅是教學(xué)生，讓他們掌握基本知識和基本技能，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的能力。所以，我們不能只看眼前，只盯著學(xué)生的成績，要關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，將來能力的培養(yǎng)。不要想著自己如何“一夜成名”，要扎扎實(shí)實(shí)地打好基本功，靜下心來想想培養(yǎng)學(xué)生能力的一些好方法。

第五篇：分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用

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分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用 作者：楊欣

來源：《中學(xué)教學(xué)參考·理科版》2013年第06期

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，同時也是一種解題策略.數(shù)學(xué)中有許多問題由于已知條件籠統(tǒng)，所以需要對可能的情形進(jìn)行分類討論，因此，我們在思考問題的解法時，需要認(rèn)真審題，全面考慮，分類要做到不重不漏，從而獲得完整的答案.以下是分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用，一、在實(shí)數(shù)中的應(yīng)用

【例6】 若直線y=kx+6與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是24，求常數(shù)k的值.分析：與坐標(biāo)軸的圍法分兩種情形：所圍三角形在第一象限或在第二象限.解：如圖2，圖像與縱坐標(biāo)交于點(diǎn)（0，6）.設(shè)與橫坐標(biāo)交于（a，0）.（1）若與坐標(biāo)軸圍成的三角形在第一象限，則有12a×6=24，得a=8.將（8，0）代入一次函數(shù)y=kx+6，此時k的值為-34.（2）若與坐標(biāo)軸圍成的三角形在第二象限，同理可得k的值為34.綜上，k的值為-34或34.（責(zé)任編輯 金 鈴）