第一篇：【趣味數(shù)學(xué)】高中數(shù)學(xué) 第11課時(shí) 立體幾何趣題 球在平面上的投影教學(xué)案 新人教版必修1

第11課時(shí) 立體幾何趣題—— 球在平面上的投影 教學(xué)要求：明白球在不同光照下的投影 教學(xué)過(guò)程： 放在水平面上的球與水平面切于點(diǎn)A，一束光線投射到球上，那么球的影子的輪廓是什么曲線?切點(diǎn)A與輪廓曲線的關(guān)系又是什么?

一、平行光線下球的投影 放在水平面上的半徑為R的球與水平面切于點(diǎn)止，與水平面所成角為()的太陽(yáng)光投射到球上，則球在水平面上的投影是以A為 一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓． 分析：顯然，當(dāng)太陽(yáng)光垂直于水平面，即時(shí)，球在00水平面上的投影是以為A圓心，R為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，球在水平面上的投影是以A為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖1． 如圖l所示，與球面相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓柱面，與球切于圓O，則光線在水平面上的l投影，可以看成圓柱面與水平面的交線，設(shè)與水平面平行且與球相切的平面與球相切1ll’’于點(diǎn)D，與圓柱面的交線為；P為上的任意一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的光線為PP，(P，為光線21’PP與平面的交點(diǎn))，且與球相切于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作與光線平行的直線交水平面于點(diǎn)B，連2R’’, ’ =結(jié)PB,易知，PB=P'D=PC，PA=PC,即知PA+PB=PP又PP為一定值，則知點(diǎn)P在以 sin2R A,B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓上，二、點(diǎn)光源下的球的投影 放在水平面上的半徑為R的球與水平面切于點(diǎn)A，與水平面距離為h的點(diǎn)光源S(S在球面外)投射到球上，則球在水平面上的投影是以A為一個(gè)焦點(diǎn)的圓錐曲線或以A為圓心的圓，且其形狀與大小與光源到水平面的距離h及SA與水平面所成角有關(guān)． 1．當(dāng)過(guò)點(diǎn)S，球心O的直線與水平面垂時(shí)，此時(shí)必有h>2R．球在水平面上的投影是以球與 水平面的切點(diǎn)為圓心的圓(圖略)，2．當(dāng)過(guò)點(diǎn)S、球心O的直線與水平面不垂直時(shí)．

①若h>2R，則球在水平面上的投影是以A為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖2． 1

OOO如圖2所示，與球相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓錐面．設(shè)切點(diǎn)的集合為圓；球與圓13O錐面及水平面都相切，與圓錐面的切點(diǎn)的集合為圓，與水平面的切點(diǎn)為B；P為球在水平2O面的投影線上的任意一點(diǎn)，過(guò)P的光線與球O、的切點(diǎn)分別為D，C，則有PC=PB、PD=PA，1易知CD為兩圓錐母線之差(為一定值)．即PA+PB=CD(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓.②若h=2R,則球在水平面上的投影是以A為焦點(diǎn)的拋物線，如圖3． 如圖3所示，與球O相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓錐面．設(shè)切點(diǎn)的集合為圓Ol； 過(guò)S、O，A的平面與水平面交于AG；圓Ol所在的平面與水平面的交線為L(zhǎng)；P為球在水平面的投影線上的任意一點(diǎn)，過(guò)P與平行的平面與圓圓O錐面交于所以，球在水平面上的2投影是以A為焦點(diǎn)，L為準(zhǔn)線的拋物線．

3若h<2R，則球在水平面上的投影是○以A為一個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線的一支，如圖4． 如圖4所示，與球O相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓 錐面．設(shè)切點(diǎn)的集合為圓02；球Ol與圓錐面及

水平面都相切，與圓錐面的切點(diǎn)的集合為圓03，與水平面的切點(diǎn)為月；戶(hù)為球在水平面的投影線上的任意一點(diǎn)，過(guò)戶(hù)的光線與球O、Ol的切點(diǎn)分 別為G、打，則有PH二PB、PG二PA，且易知GH為兩圓錐母線之和(為一定值)．即PB-PA=CH(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支．

三、小結(jié)：當(dāng)平行光線與水平面垂直時(shí)，球 在光線的投射下的輪廓線是一個(gè)圓，且球與水平面的切點(diǎn)為這個(gè)圓的圓心，當(dāng)平行光線與水平面不垂直時(shí)，球在光線下的投影是以球與 2 水平面的切點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．

當(dāng)點(diǎn)光源S與球心的連線與水平面垂直時(shí)，球在光線下的投影是以球與水平面的切點(diǎn)為圓心的圓，當(dāng)點(diǎn)光源與球心的連線與水平面不垂直時(shí)，球在光線下的投影是以球與水平面的切點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)的圓錐曲線． 3

第二篇：【趣味數(shù)學(xué)】高中數(shù)學(xué) 第11課時(shí) 立體幾何趣題 球在平面上的投影教學(xué)案 新人教版必修1

第11課時(shí) 立體幾何趣題——

球在平面上的投影

教學(xué)要求：明白球在不同光照下的投影 教學(xué)過(guò)程：

放在水平面上的球與水平面切于點(diǎn)A，一束光線投射到球上，那么球的影子的輪廓是什么曲線?切點(diǎn)A與輪廓曲線的關(guān)系又是什么?

一、平行光線下球的投影

放在水平面上的半徑為R的球與水平面切于點(diǎn)止，與水平面所成角為?(??90)的太陽(yáng)光投射到球上，則球在水平面上的?投影是以A為 一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．

分析：顯然，當(dāng)太陽(yáng)光垂直于水平面，即??90時(shí)，球在水平面上的投影是以為A圓心，R為半徑的圓；當(dāng)0???90時(shí)，球在水平面上的投影是以A為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖1．

如圖l所示，與球面相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓柱面，與球切于圓O，則光線在水平面上的投影，可以看成圓柱面與水平面的交線l1，設(shè)與水平面平行且與球相切的平面?與球相切于點(diǎn)D，與圓柱面的交線為l2；P為l1上的任意一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的光線為PP，(P，為光線

’

’

?00PP與平面?的交點(diǎn))，且與球相切于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作與光線平行的直線交水平面于點(diǎn)B，連’結(jié)PB,易知，PB=P'D=PC，PA=PC,即知PA+PB=PP’’，又PP

’ =

2Rsin?為一定值，則知點(diǎn)P在以2RA,B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為sin?的橢圓上，二、點(diǎn)光源下的球的投影

放在水平面上的半徑為R的球與水平面切于點(diǎn)A，與水平面距離為h的點(diǎn)光源S(S在球面外)投射到球上，則球在水平面上的投影是以A為一個(gè)焦點(diǎn)的圓錐曲線或以A為圓心的圓，且其形狀與大小與光源到水平面的距離h及SA與水平面所成角有關(guān)．

1．當(dāng)過(guò)點(diǎn)S，球心O的直線與水平面垂時(shí)，此時(shí)必有h>2R．球在水平面上的投影是以球與水平面的切點(diǎn)為圓心的圓(圖略)，2．當(dāng)過(guò)點(diǎn)S、球心O的直線與水平面不垂直時(shí)．

①若h>2R，則球在水平面上的投影是以A為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖2．

如圖2所示，與球O相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓錐面．設(shè)切點(diǎn)的集合為圓O3；球O1與圓錐面及水平面都相切，與圓錐面的切點(diǎn)的集合為圓O2，與水平面的切點(diǎn)為B；P為球在水平面的投影線上的任意一點(diǎn)，過(guò)P的光線與球O、O1的切點(diǎn)分別為D，C，則有PC=PB、PD=PA，易知CD為兩圓錐母線之差(為一定值)．即PA+PB=CD(定值)，所以，球在水平面上的投影是

以A、B為焦點(diǎn)的橢圓.②若h=2R,則球在水平面上的投影是以A為焦點(diǎn)的拋物線，如圖3．

如圖3所示，與球O相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓錐面．設(shè)切點(diǎn)的集合為圓Ol；

過(guò)S、O，A的平面與水平面交于AG；圓Ol所在的平面?與水平面的交

線為L(zhǎng)；P為球在水平面的投影線上的任意一點(diǎn)，過(guò)P與?平行的平面與圓錐面交于圓O2所以，球在水平面上的投影是以A為焦點(diǎn)，L為準(zhǔn)線的拋物線．

3若h<2R，則球在水平面上的投影是○以A為一個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線的一支，如圖4．

如圖4所示，與球O相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓 錐面．設(shè)切點(diǎn)的集合為圓02；球Ol與圓錐面及

水平面都相切，與圓錐面的切點(diǎn)的集合為圓03，與水平面的切點(diǎn)為月；戶(hù)為球在水平面的投影線上的任意一點(diǎn)，過(guò)戶(hù)的光線與球O、Ol的切點(diǎn)分 別為G、打，則有PH二PB、PG二PA，且易知GH為兩圓錐母線之和(為一定值)．即PB-PA=CH(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支．

三、小結(jié)：當(dāng)平行光線與水平面垂直時(shí)，球 在光線的投射下的輪廓線是一個(gè)圓，且球與水平面的切點(diǎn)為這個(gè)圓的圓心，當(dāng)平行光線與水平面不垂直時(shí)，球在光線下的投影是以球與 2

水平面的切點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．

當(dāng)點(diǎn)光源S與球心的連線與水平面垂直時(shí)，球在光線下的投影是以球與水平面的切點(diǎn)為圓心的圓，當(dāng)點(diǎn)光源與球心的連線與水平面不垂直時(shí)，球在光線下的投影是以球與水平面的切點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)的圓錐曲線．

第三篇：高中數(shù)學(xué)《指數(shù)函數(shù)》教案1 新人教A版必修1

3.1.2指數(shù)函數(shù)

（二）教學(xué)目標(biāo)：鞏固指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì) 教學(xué)重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì) 教學(xué)過(guò)程：

本節(jié)課為習(xí)題課,可分以下幾個(gè)方面加以練習(xí): 備選題如下:

1、關(guān)于定義域

x（1）求函數(shù)f(x)=??1??1的定義域

?9??（2）求函數(shù)y=1x的定義域

51?x?1（3）函數(shù)f(x)=3－x－1的定義域、值域是……()

A.定義域是R，值域是R

B.定義域是R，值域是(0，+∞) C.定義域是R，值域是(－1，+∞) D.以上都不對(duì)（4）函數(shù)y=1x的定義域是______ 5x?1?1(5)求函數(shù)y=ax?1的定義域(其中a＞0且a≠1)

2、關(guān)于值域

（1）當(dāng)x∈［－2,0］時(shí)，函數(shù)y=3x+1－2的值域是______（2）求函數(shù)y=4x+2x+1+1的值域.（3）已知函數(shù)y=4x－3·2x+3的值域?yàn)椋?,43］，試確定x的取值范圍.(4).函數(shù)y=3x3x?1的值域是() A.(0，+∞)

B.(－∞,1) C.(0,1)

D.(1,+∞)

(5)函數(shù)y=0.25x2?2x?12的值域是______,單調(diào)遞增區(qū)間是______.3、關(guān)于圖像

用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 1

（1）要得到函數(shù)y=8·2－x的圖象，只需將函數(shù)y=(12)x的圖象()

A.向右平移3個(gè)單位

B.向左平移3個(gè)單位 C.向右平移8個(gè)單位

D.向左平移8個(gè)單位

（2）函數(shù)y=|2x－2|的圖象是()

（3）當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)y=ax+b和y=bax的圖象只可能是()

（4）當(dāng)0

B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

（5）若函數(shù)y=a2x+b+1(a>0且a≠1,b為實(shí)數(shù))的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(1，2)，則b=______.（6）已知函數(shù)y=(12)|x+2|.

①畫(huà)出函數(shù)的圖象；

②由圖象指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并利用定義證明.(7)設(shè)a、b均為大于零且不等于1的常數(shù)，下列命題不是真命題的是()

用心 愛(ài)心 專(zhuān)心

A.y=a的圖象與y=a的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

B.若y=a的圖象和y=b的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則ab=1 C.若a2x－xxx>a22－1,則a>1 ,則a>b D.若a?>b?

24、關(guān)于單調(diào)性

（1）若－1

A.5－x<5x<0.5x C.5<5<0.5x－xx

B.5x<0.5x<5－x D.0.5<5<5

x－xx（2）下列各不等式中正確的是() A.()3?()3?()3

252C.()3?()3?()3 52212121211

B.()3?()3?()3

225

D.()3?()3?()3

***

1211(x+1)(3－x)（3）.函數(shù)y=(2－1)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(1，+∞)C.(1，3)

B.(－∞，1)

D.(－1，1)

(4).函數(shù)y=()2x?x?x?2為增函數(shù)的區(qū)間是()

(5)函數(shù)f(x)=a－3a+2(a>0且a≠1)的最值為_(kāi)_____.(6)已知y=(數(shù).(7)比較52x?12x12)?x?x?22+1，求其單調(diào)區(qū)間并說(shuō)明在每一單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函與5x?22的大小

5、關(guān)于奇偶性

（1）已知函數(shù)f(x)= m?2?1x2x為奇函數(shù)，則m的值等于_____ ?1?1?（1）如果???8?2? x2x=4，則x=____

用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 3

6階段檢測(cè)題: 可以作為課后作業(yè): 1.如果函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象與函數(shù)y=bx(b>0,b≠1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則有 A.a>b B.a

3(3x－1)(2x+1)

≥1}，則集合M、N的關(guān)系是

B.M?N D.MN

3.下列說(shuō)法中，正確的是

①任取x∈R都有3x>2x ②當(dāng)a>1時(shí)，任取x∈R都有ax>a－x ③y=(3)－x是增函數(shù) ④y=2|x|的最小值為1 ⑤在同一坐標(biāo)系中，y=2x與y=2－x的圖象對(duì)稱(chēng)于y軸

A.①②④ C.②③④

B.④⑤ D.①⑤

4.下列函數(shù)中，值域是(0,+∞)的共有 ①y=3?1 ②y=(A.1個(gè) x1)③y=1?()④y=3x

B.2個(gè) x11xC.3個(gè)

D.4個(gè)

5.已知函數(shù)f(x)=a1－x(a>0,a≠1)，當(dāng)x>1時(shí)恒有f(x)<1,則f(x)在R上是 A.增函數(shù) B.減函數(shù)

C.非單調(diào)函數(shù) D.以上答案均不對(duì)

二、填空題(每小題2分，共10分)6.在同一坐標(biāo)系下，函數(shù)y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的圖象如下圖，則a、b、c、d、1之間從小到大的順序是__________.用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 4

7.函數(shù)y=ax?1的定義域是(－∞,0］，則a的取值范圍是__________.8.函數(shù)y=2x+k－1(a>0,a≠1)的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限的充要條件是__________.9.若點(diǎn)(2，14)既在函數(shù)y=2ax+b的圖象上，又在它的反函數(shù)的圖象上，a=________,b=________.10.已知集合M={x|2x2+x≤(14)

x－

2,x∈R}，則函數(shù)y=2x的值域是__________.三、解答題(共30分)11.(9分)設(shè)A=am+a－m，B=an+a－n(m＞n＞0，a＞0且a≠1)，判斷A，B的大小.12.(10分)已知函數(shù)f(x)=a－

22x?1(a∈R)，求證：對(duì)任何a∈R,f(x)為增函數(shù).x?1213.(11分)設(shè)0≤x≤2，求函數(shù)y=42?a?2x?a2?1的最大值和最小值.課堂練習(xí)：（略）小結(jié)： 課后作業(yè)：（略）

用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 則

第四篇：高中數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)歸納法》學(xué)案1 新人教A版選修2-2

數(shù)學(xué)歸納法的典型例題分析

例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式

時(shí)所有自然數(shù) 都成立。

證明（1）當(dāng)

（2）假設(shè)當(dāng)

時(shí)，左式，右式

時(shí)等式成立，等式成立。

即

則

則

時(shí)，等式也成立。

均成立。

時(shí)等式成立時(shí)，注意分析

與的兩

由（1）（2）可知，等式對(duì)

評(píng)述 在利用歸納假設(shè)論證

個(gè)等式的差別。

變到

時(shí)，等式左邊增加兩項(xiàng)，右邊增加一項(xiàng)，而且右式的首項(xiàng)由

應(yīng)與

合并，才能得到所證式。因而，因此在證明中，右式中的在論證之前，把

時(shí)等式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)先作一分析是有效的。

用心愛(ài)心專(zhuān)心 1

由例1可以看出，在數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)程中，要把握好兩個(gè)關(guān)鍵之外：一是

系；二是

與的關(guān)系。

與 的關(guān)

例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明

對(duì)任意自然數(shù)，證明（?。┊?dāng)

時(shí)，能被17整除，命題成立。

（ⅱ）設(shè)

則

時(shí)，由歸納假設(shè)，能被17整除，也能被17整除，所以

都能被17整除。

用

表示。上例中的能被17整除。

時(shí)，能被17整除。

都能被17整除。

由（ⅰ）（ⅱ）可知，對(duì)任意

評(píng)述 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題，常常把

還可寫(xiě)成，易知它能被17整除。例3 用數(shù)學(xué)歸納法證明

…

用心愛(ài)心專(zhuān)心 2

證明（?。┊?dāng)

時(shí)，左式

右式

∵

∴

即

時(shí)，原不等式成立。

（ⅱ）假設(shè)

（）時(shí)，不等式成立，即

則

時(shí)，左邊

右邊

要證左邊 右邊

只要證

只要證

只要證

而上式顯然成立，所以原不等式成立。即

時(shí)，左式 右式

由（?。áⅲ┛芍?，原不等式對(duì)大于1的自然數(shù)均成立。用心愛(ài)心專(zhuān)心 3

評(píng)述 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，應(yīng)分析

與的兩個(gè)不等式，找出證明的關(guān)鍵點(diǎn)（一般要利用不等式的傳遞性），然后再綜合運(yùn)用不等式的方法。如上題，關(guān)鍵是證明不等式

。除了分析法，還可以用比較法和放縮法來(lái)解決。

例4 在數(shù)列

中，若它的前 項(xiàng)和

（）

1）計(jì)算，，；

2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論。

解（1）由題意，即

∴

即

∴

即

∴

∴

（2）猜想

證明 ?。?/p>

時(shí)，命題成立。

ⅱ）假設(shè)

時(shí)，命題成立，即

當(dāng)

時(shí)，∴

用心愛(ài)心專(zhuān)心 4

又

因而

解得

即

時(shí)，命題也成立。

由ⅰ）ⅱ）可知，命題對(duì)

均成立。

用心愛(ài)心 專(zhuān)心5

第五篇：【趣味數(shù)學(xué)】高中數(shù)學(xué) 第9課時(shí) 不等式性質(zhì)應(yīng)用趣題-均值不等式的應(yīng)用教學(xué)案 新人教版必修1[范文]

第9課時(shí) 不等式性質(zhì)應(yīng)用趣題―

均值不等式的應(yīng)用

教學(xué)要求：了解均值不等式在日常生活中的應(yīng)用

教學(xué)過(guò)程：

一、情境引入；

日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前兩類(lèi)不等式的應(yīng)用與其對(duì)應(yīng)函數(shù)及方程的應(yīng)用如出一轍，而平均值不等式在生產(chǎn)生活中起到了不容忽視的作用。下面，我主要談一下均值不等式和均值定理的應(yīng)用。

在生產(chǎn)和建設(shè)中，許多與最優(yōu)化設(shè)計(jì)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題通?？蓱?yīng)用平均值不等式來(lái)解決。平均值不等式知識(shí)在日常生活中的應(yīng)用，筆者雖未親身經(jīng)歷，但從電視、報(bào)紙等新聞媒體及我們所做的應(yīng)用題中不難發(fā)現(xiàn)，均值不等式和極值定理通?？捎腥缦聨追矫娴臉O其重要的應(yīng)用：（表后重點(diǎn)分析“包裝罐設(shè)計(jì)”問(wèn)題）實(shí)踐活動(dòng) 已知條件 最優(yōu)方案 解決辦法

設(shè)計(jì)花壇綠地 周長(zhǎng)或斜邊 面積最大 極值定理一

經(jīng)營(yíng)成本 各項(xiàng)費(fèi)用單價(jià)及銷(xiāo)售量 成本最低 函數(shù)、極值定理二 車(chē)船票價(jià)設(shè)計(jì) 航行里程、限載人數(shù)、票價(jià)最低 用極值定理二求出 速度、各項(xiàng)費(fèi)用及相應(yīng) 最低成本，再由此 比例關(guān)系 計(jì)算出最低票價(jià)

（票價(jià)=最低票價(jià)+ +平均利潤(rùn)）例

1、包裝罐設(shè)計(jì)問(wèn)題

1、“白貓”洗衣粉桶

“白貓”洗衣粉桶的形狀是等邊圓柱（如右圖所示），若容積一定且底面與側(cè)面厚度一樣，問(wèn)高與底面半徑是 什么關(guān)系時(shí)用料最?。幢砻娣e最?。?？ 分析：容積一定=>лr h=V（定值）

=>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2)≥2л3(r h)/4 =3 2лV(當(dāng)且僅當(dāng)r =rh/2=>h=2r時(shí)取等號(hào)), ∴應(yīng)設(shè)計(jì)為h=d的等邊圓柱體.例

2、“易拉罐”問(wèn)題

圓柱體上下第半徑為R,高為h，若體積為定值V,且上下底 厚度為側(cè)面厚度的二倍，問(wèn)高與底面半徑是什么關(guān)系時(shí)用料最 ?。幢砻娣e最小）？

分析：應(yīng)用均值定理，同理可得h=2d（計(jì)算過(guò)程請(qǐng)讀者自己 寫(xiě)出,本文從略）∴應(yīng)設(shè)計(jì)為h=2d的圓柱體.