第一篇：12.3.2等邊三角形(二)教案

12.3.2等邊三角形

（二）教案

一.教學目標 知識與技能：

1、探索、發(fā)現(xiàn)、猜想、證明含30?銳角的直角三角形的性質；

2、掌握有一個角為30?的直角三角形的性質的簡單應用．

過程與方法：

1、經歷探索到證明的過程，引導生體會合情推理與演繹推理的相互依賴和相互補充的辯證關系；

2、培養(yǎng)生用規(guī)范的數(shù)學語言進行表達的習慣和能力． 情感、態(tài)度與價值觀：

在探索有一個角為30?的直角三角形的性質的過程中，體驗數(shù)學活動的探索與創(chuàng)新，感受數(shù)學的嚴謹性．

二.教學重點：30?角的直角三角形的性質定理的發(fā)現(xiàn)與證明

教學難點：

1、含30?的直角三角形的性質定理的探索與證明

2、引導生全面、周到的思考問題 三.教學方法：探索與方法的教學方法

講授與練習結合的教學方法

教學過程及內容

一、復習回顧

師：請同學們回顧一下，上節(jié)課我們主要學習了哪些知識呢？ 生：等邊三角形的定義：有三條邊相等的三角形是等邊三角形；

等邊三角形的性質：等邊三角形是軸對稱圖形，且對稱軸有三條；

等邊三角形的三條邊都相等； 等邊三角形有三條三線合一的線；

等邊三角形的三個內角都相等，并且都等于60．

等邊三角形的判定：

1、有三條邊相等的三角形是等邊三角形；

2、三個角都相等的三角形是等邊三角形；

3、有一個角是60?的等腰三角形是等邊三角形． 設計意圖：讓生復習、回顧舊知識，為新知識的引入作鋪墊．

二、創(chuàng)設情景、引入新課

師：前面的幾節(jié)課，我們學習了兩種特殊的三角形——等腰三角形和等

邊三角形，今天我們再來認識一種特殊的直角三角形，看看它具有 什么性質．這個直角三角形特殊在它有一個銳角等于30?，那么它

?有什么不同于一般直角三角形的性質呢？這就是我們這節(jié)課的主要 內容．

【問題2】請同學拿出準備好的含30?角的直角三角板，與同桌合作拼擺，試試看能拼出一個什么樣的三角形？

生：

第一種情況

第二種情況

師：第一種情況是一個一般的等腰三角形，我們就不進行研究了；

第二種情況擺出的是一個什么三角形呢？ 生：等邊三角形．

師：我們怎么判定它是等邊三角形呢？

首先，我們先看看B、C、D三點會不會在同一條直線上呢？如果會，是為什么呢？ 生：會．

∵?ADB??ADC?90?

??ADB??ADC??BDC?180?即B、C、D三點在同一條直線上:． 師：那么為什么拼擺出的?ABC是等邊三角形呢？ 生：∵在Rt?ABD中，?BAD?30?

??B?60?

∵AB=AC

??ABC是等邊三角形（有一個角是60?的等腰三角形是等邊三角形）師：觀察?ABC，我們能發(fā)現(xiàn)什么呢？ 生：三個內角相等

師：對，我們從線段的角度觀察，能發(fā)現(xiàn)什么結論．

11生： BD?DC?BC?AB

22師：好，我們繼續(xù)觀察BD、AB在直角三角形中的位置及BD與30?角的位置關系，歸納總結出含30?銳角的直角三角形的性質．

定理：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30?，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．

設計意圖：讓生自己動手操作，并根據(jù)操作的結果發(fā)現(xiàn)定理，有助于生對于定理的理解與掌握．

師：上述定理是我們動手操作，歸納總結得出的，現(xiàn)在請同學們驗證一下． 引導生分析條件、結論，畫圖，寫出已知、求證． 已知：在Rt?ABC中，?ACB?90?，?BAC?30?

1求證：BC?AB

2（可引導生回想拼擺過程，根據(jù)拼擺的方法進行證明）證明：延長BC至D點，使CD=BC，連接AD

∵?ACB?90?,?BAC?30?

??ACD?180???ACB?90?

?B?90???BAC?60? 在?ABC和?ADC中

?BC?DC???ACB??ACD ?AC?AC? ??ABC??ADC(SAS)?AB=AD（全等三角形的對應邊相等）∵?B?60?，AB=AD ??ABD是等邊三角形（有一個角是60?的等腰三角形是等邊三角形）

?AB=AD=BD ?BC?11BD?AB 22師提示生還可以用其他方法證明，請同學們自己課下研究

師：通過上述證明，我們就證明了定理，這就是含30?角的直角三角形的性質． 設計意圖：讓生們用理論知識驗證自己的方法，加強生對于定理的理解與掌握．

三、例題講解、鞏固提升 例題：如圖，是屋架設計圖 的一部分，點D是斜梁AB的中 點，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，?A?30?．立柱BC、DE要多長？

注：師引導生結合圖分析題目，給出解題的書寫格式，規(guī)范同學們的書寫． 解：∵DE?AC，BC?AC，?A?30?

?BC?11AB，DE?AD（直角三角形中，30?角所對的直角邊等于斜邊的22一半）

∵AB=7.4m，D是AB的中點

1?BC?AB?3.7m2

1AD?AB?3.7m

21?DE?AD?1.85m2

練習：課本第56頁的練習Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？邊AB與BC之間有什么關系？

1解:?A?30?，?B?60?，BC?AB．

2注：解題時可引導生先畫簡圖．師在生完成的差不多的情況下講解思路，請同學們參照例題規(guī)范書寫 練習：如圖，在?ABC中，AB=AC=6cm，?B?15?，CD是AB 邊上的高．求CD的長度． 解：∵AB=AC

??B??ACB?15?（等邊對等角）

??DAC??B??ACB?30?（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和）

∵CD是AB邊上的高

?CD?AB，即?ADC?90?

130?角所對的直角邊等于斜邊的一半）AC?3cm（在直角三角形中，2設計意圖： 通過例題的講解、習題的動手解答，使生鞏固今天所學的知識，并加強應用．

四、課堂小結

師：通過本節(jié)課的學習，同學們都學了哪些知識？ ?CD?生：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30?，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．

五、作業(yè)布置

課本P58第14題，P63第5題，P63第6，7題，P65第11題

第二篇：等邊三角形 教案

13．3．2 等邊三角形

教學目的：

1、使學生熟練地運用等腰三角形的性質求等腰三角形內角的角度。

2、熟識等邊三角形的性質及判定．

3、通過例題教學，幫助學生總結代數(shù)法求幾何角度，線段長度的方法。教學重點：

等邊三角形的性質及其應用。教學難點：

簡潔的邏輯推理。教學過程：

一、復習鞏固

1．敘述等腰三角形的性質，它是怎么得到的? 等腰三角形的兩個底角相等，也可以簡稱“等邊對等角”。把等腰三角形對折，折疊兩部分是互相重合的，即AB與AC重合，點B與點 C重合，線段BD與CD也重合，所以∠B＝∠C。

等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線和底邊上的高線互相重合，簡稱“三線合一”。由于AD為等腰三角形的對稱軸，所以BD＝ CD，AD為底邊上的中線；∠BAD＝∠CAD，AD為頂角平分線，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD又為底邊上的高，因此“三線合一”。

2．若等腰三角形的兩邊長為3和4，則其周長為多少?

二、新課

在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底邊與腰相等，這時，三角形三邊都相等。我們把三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。等邊三角形具有什么性質呢?

1．請同學們畫一個等邊三角形，用量角器量出各個內角的度數(shù)，并提出猜想。

2．你能否用已知的知識，通過推理得到你的猜想是正確的? 等邊三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等邊對等角的性質得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，從而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°。

3．上面的條件和結論如何敘述? 等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°。等邊三角形是軸對稱圖形嗎?如果是，有幾條對稱軸? 等邊三角形也稱為正三角形。

例1．在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度數(shù)。分析：由AB＝AC，D為BC的中點，可知AB為 BC底邊上的中線，由“三線合一”可知AD是△ABC的頂角平分線，底邊上的高，從而∠ADC＝90°，∠l＝∠BAC，由于∠C＝∠B＝30°，∠BAC可求，所以∠1可求。

問題1：本題若將D是BC邊上的中點這一條件改為AD為等腰三角形頂角平分線或底邊BC上的高線，其它條件不變，計算的結果是否一樣? 問題2：求∠1是否還有其它方法?

三、練習鞏固

1．判斷下列命題，對的打“√”，錯的打“×”。

a.等腰三角形的角平分線，中線和高互相重合（）

b．有一個角是60°的等腰三角形，其它兩個內角也為60°（）2．如圖(2)，在△ABC中，已知AB＝AC，AD為∠BAC的平分線，且∠2＝25°，求∠ADB和∠B的度數(shù)。

3．P80練習1、2。

四、小結

由等腰三角形的性質可以推出等邊三角形的各角相等，且都為60°。“三線合一”性質在實際應用中，只要推出其中一個結論成立，其他兩個結論一樣成立，所以關鍵是尋找其中一個結論成立的條件。

五、作業(yè)：

課本P82第7，9題。

第三篇：14.3.2.2 等邊三角形(二)（推薦）

§14．3．2．2 等邊三角形

（二）第十課時

教學目標

（一）教學知識點

1．探索──發(fā)現(xiàn)──猜想──證明直角三角形中有一個角為30°的性質． 2．有一個角為30°的直角三角形的性質的簡單應用．

（二）能力訓練要求

1．經歷“探索──發(fā)現(xiàn)──猜想──證明”的過程，?引導學生體會合情推理與演繹推理的相互依賴和相互補充的辯證關系．

2．培養(yǎng)學生用規(guī)范的數(shù)學語言進行表達的習慣和能力．

（三）情感與價值觀要求

1．鼓勵學生積極參與數(shù)學活動，激發(fā)學生的好奇心和求知欲． 2．體驗數(shù)學活動中的探索與創(chuàng)新、感受數(shù)學的嚴謹性．

教學重點

含30°角的直角三角形的性質定理的發(fā)現(xiàn)與證明．

教學難點

1．含30°角的直角三角形性質定理的探索與證明． 2．引導學生全面、周到地思考問題．

教學方法

探索發(fā)現(xiàn)法．

教具準備

兩個全等的含30°角的三角尺；

多媒體課件；

投影儀．

教學過程

Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設情境

[師]我們學習過直角三角形，今天我們先來看一個特殊的直角三角形，看它具有什么性質．大家可能已猜到，我讓大家準備好的含30°角的直角三角形，?它有什么不同于一般的直角三角形的性質呢？

問題：用兩個全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一個怎樣的三角形？?能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由．

由此你能想到，在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關系？你能證明你的結論嗎？

Ⅱ．導入新課

（讓學生經歷拼擺三角尺的活動，發(fā)現(xiàn)結論，同時引導學生意識到，通過實際操作探索出來的結論，還需要給予證明）

[生]用含30°角的直角三角尺擺出了如下兩個三角形．

BBCD ∴△ABC≌△ADC（SAS）．

∴AB=AD（全等三角形的對應邊相等）．

∴△ABD是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）．

∴BC=11BD=AB． 22 [師]這個定理在我們實際生活中有廣泛的應用，因為它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角邊與斜邊的關系，下面我們就來看一個例題．

（演示課件）

B [例5]右圖是屋架設計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，D立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多長？

AEC 分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在Rt△AED與Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=DE=11AD，BC=AB，又由D是AB的中點，所以221AB． 4 解：因為DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知

11AB，DE=AD，221 所以BD=×7.4=3.7（m）． 又AD=AB，211 所以DE=AD=×3.7=1.85（m）． BC= 答：立柱BC的長是3.7m，DE的長是1.85m．

[師]再看下面的例題．

[例]等腰三角形的底角為15°，腰長為2a，求腰上的高．

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．

求：CD的長．

分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，在Rt△ADC中，AC=2a，B而∠DAC是△ABC的一個外角，?則∠DAC=15°×2=30°，根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半，?可求出CD．

解：∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．

∴CD=

DAC1AC=a（在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于2-3

BC 2．思考鏡子對實物的改變．

Ⅵ．活動與探究

在三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．

過程：可以從證明“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”．從輔助線的作法中得到啟示．

A 結果：

已知：如圖（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=求證：∠BAC=30°．

證明：延長BC到D，使CD=BC，連結AD．

∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．

又∵AC=AC，∴△ACB≌△ACD（SAS）．

∴AB=AD．

∵CD=BC，1AB． 2B(1)C1BD． 21 又∵BC=AB，∴BC=

A ∴AB=BD．

∴AB=AD=BD，即△ABD為等邊三角形．

∴∠B=60°． BDC 在Rt△ABC中，∠BAC=30°．(2)板書設計

§14．3．2．2 等邊三角形

（二）一、定理的探究

定理：在直角三角形中，有一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．

二、范例分析

三、隨堂練習

四、課時小結

五、課后作業(yè)

備課資料

參考例題

1．已知，如圖，點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是等邊三角形．

求證：AN=BM．

N 證明：△ACM與△CBN是等邊三角形．

第四篇：備課、教案§12.3.2.2 等邊三角形(二)

§12．3．2.2 等邊三角形

（二）教學目標

掌握等邊三角形的性質和判定方法． 培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力． 教學重點

等邊三角形的性質和判定方法． 教學難點

等邊三角形性質的應用 教學過程

I創(chuàng)設情境，提出問題

回顧上節(jié)課講過的等邊三角形的有關知識 1．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸． 2．等邊三角形每一個角相等，都等于60° 3．三個角都相等的三角形是等邊三角形． 4．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．

其中1、2是等邊三角形的性質；

3、4的等邊三角形的判斷方法． II例題與練習

1．△ABC是等邊三角形，以下三種方法分別得到的△ADE都是等邊三角形嗎，為什么?

①在邊AB、AC上分別截取AD=AE．

②作∠ADE＝60°，D、E分別在邊AB、AC上．

③過邊AB上D點作DE∥BC，交邊AC于E點．

2．已知：如右圖，P、Q是△ABC的邊BC上的兩點，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大?。?/p>

分析：由已知顯然可知三角形APQ是等邊三角形，每個角都是60°．又知△APB與△AQC都是等腰三角形，兩底角相等，由三角形外角性質即可推得∠PAB＝30°．

III課堂小結

1、等腰三角形和性質

2、等腰三角形的條件 V布置作業(yè)

1．教科書第127頁練習1、2 2．選做題：

(1)教科書第150頁習題12．3第ll題．

(2)已知等邊△ABC，求平面內一點P，滿足A，B，C，P四點中的任意三點連線都構成等腰三角形．這樣的點有多少個?（3）《課堂感悟與探究》

第五篇：等邊三角形

12.3.2 等邊三角形

【教學目標】

1.知識與能力：

理解并掌握等邊三角形的定義，探索等邊三角形的性質和判定方法；能夠用等邊三角形的知識解決相應的數(shù)學問題．

2.過程與方法：

在探索等邊三角形的性質和判定的過程中，體會知識間的關系，感受數(shù)學與生活的聯(lián)系．

3.情感、態(tài)度與價值觀：

培養(yǎng)學生的分析解決問題的能力，使學生養(yǎng)成良好的學習習慣．

【教學重點】

理解并掌握等邊三角形的定義，探索等邊三角形的性質和判定方法；能夠用等邊三角形的知識解決相應的數(shù)學問題． 【教學難點】

等邊三角形性質和判定的應用． 【教學方法】

創(chuàng)設情境－主體探究－合作交流－應用提高．

【教學過程】

一、創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生興趣，引出本節(jié)內容

在等腰三角形中，有一類特殊的三角形——三條邊都相等的三角形，我們把這樣的三角形叫做等邊三角形．

活動1 請你探索等邊三角形的性質和判定方法． 學生活動設計：

學生獨立思考，然后進行交流，在交流中完成：（1）所有性質的探索；（2）性質的證明． 教師活動設計：

讓學生歸納所有性質，并證明所有的性質（可以口述）． 歸納：

等邊三角形三個內角都相等，并且每個內角都是60°． 三個角都相等的三角形是等邊三角形．

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．

二、問題探究、鞏固練習活動2 問題

如圖（1），興趣小組在一次測量活動中測得∠APB＝60°，AP=BP=200 m，他們便得出了結論：池塘最長處不小于200 m．他們的結論對嗎？

圖（1）

學生活動設計：

學生在獨立思考的基礎上進行討論，經過討論可以發(fā)現(xiàn)，只需要證明△ABP是等邊三角形即可．根據(jù)條件AP=BP知，此三角形是等腰三角形，又∠APB＝60°，可以得到三角形是等邊三角形，進而可以得到AB＝200 m，所以興趣小組的結論是正確的．

教師活動設計：

讓學生充分討論，根據(jù)所學的數(shù)學知識利用邏輯推的方式進行證明，證明過程中注意學生表述的準確性和嚴謹性．另外本問題的解決方法不止一種，注意學生的不同解法（比如可以利用三個角相等的三角形是等邊三角形）

〔解答〕略． 活動3 如圖（2），在等邊△ABC的邊AB、AC上分別截取AD=AE，那么△ADE是等邊三角形嗎？為什么？

ADBEC

圖（2）

學生活動設計：

學生首先獨立思考，然后可以分組討論，觀察問題中的條件，要證明△ADE是等邊三角形可以有兩種方法：

方法1 證明有兩邊相等，且有一個角是60°； 方法2 證明三個角都相等（是60°）．

對于方法1，根據(jù)條件容易得到，AD=AE且∠A＝60°于是結論成立；對于方法2由于不容易實現(xiàn)，學生可以課下思考．

教師活動設計：

鼓勵學生大膽猜測結論，然后進行證明． 〔解答〕因為△ABC是等邊三角形，所以AB=AC，∠A＝60°．

又因為AD=AE，所以△ADE是等邊三角形． 活動4 如圖（3），將兩個含有30°角的三角板擺放在一起形成一個等邊三角形，你能借助這個圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關系嗎？你能證明你的結論嗎？

ABCD

圖（3）

學生活動設計：

學生觀察圖形，分析數(shù)量關系，發(fā)現(xiàn)∠BAD＝60°，而∠B＝∠D＝60°，所以△ABD是等邊三角形，所以AB=BD＝2BC，進而得到：

直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半． 然后進行證明． 教師活動設計：

鼓勵學生尋找不同的解決問題的方法，上述可以是方法1，可能有如下方法，如圖（4）．

ADBC

圖（4）

作∠DCB＝60°，由于∠B＝60°，所以∠BDC＝60°，于是△BDC是等邊三角形，即BC=BD=DC；另一方面，由于∠A＝30°，∠BDC＝60°，根據(jù)三角形的外角得到∠ACD＝30°，再根據(jù)等角對等邊得到AD=DC，因此得到AB=AD+DB=2BC，結論成立．

〔解答〕略．

三、應用提高、拓展創(chuàng)新，培養(yǎng)學生解決問題的能力和創(chuàng)新意識 活動5 如圖（5）是屋架設計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4 m，∠A=30°，立柱BC、DE需要多長？

BDAEC

圖（5）

師生活動設計：

學生根據(jù)所學知識自行探索，教師引導學生在探索的過程中發(fā)現(xiàn)解決問題的關鍵：直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．

〔解答〕略． 活動6 如圖（6），以△ABC的邊AB、AC向外作等邊△ABE和△ACD，連接BD、CE，（1）線段CE和BD有什么數(shù)量關系？證明你的結論．（2）能否求出∠DFC的度數(shù)？

EAGFBCD

圖（6）

學生活動設計：

學生先獨立思考再小組討論，然后交流．（1）經過分析可以發(fā)現(xiàn)，只需要證明線段CE和BD所在的△AEC和△ABD全等即可，根據(jù)等邊三角形的性質可以得到AC=AD，AE=AB，∠DAC=∠EAB＝60°，進而得到∠EAC=∠BAD，根據(jù)SAS得到△AEC≌△ABD，于是結論成立；

（2）根據(jù)（1）可以得到∠BDA=∠ACE，又∠CGF=∠DGA(對頂角)，可以得到∠DFC＝60°，問題解決．

教師活動設計：

教師在學生交流的基礎上，引導學生尋找解決這類問題時需要注意的地方，讓學生寫出規(guī)范的解題過程．

〔解答〕因為△ABE和△ACD是等邊三角形，所以∠DAC=∠EAB＝60°，AE=AB，AD=AC，所以∠EAC=∠DAB．

在△AEC和△ABD中，?AE?AB?

??EAC??BAD

?AC?AD?所以△AEC≌△ABD．

所以BD=EC，∠BDA=∠ACE，又∠CGF=∠DGA，所以∠DFC＝∠DAC＝60°．

四、歸納小結、布置作業(yè)

小結：等邊三角形的性質和判定以及應用． 作業(yè)：習題12.3 第8～14題．