第一篇：淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中的逆向思維,

學(xué)術(shù)交流

淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中的逆向思維

摘 要：逆向思維就是通常我們所說(shuō)的分析法思維，是在解決問(wèn)題時(shí)，為尋求最佳解答而從不同角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析時(shí)采用的、與習(xí)慣思維方向完全相反的一種思維。

關(guān)鍵詞：逆向思維 拓展學(xué)生的逆向思維 解題思路

數(shù)學(xué)是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語(yǔ)言是現(xiàn)代文明的重要組成部分。數(shù)學(xué)在提高人們的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力等方面有著獨(dú)特的作用。而我們現(xiàn)行的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念之一是：通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，即用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和方法去處理在日常生活、工作及其它課程的學(xué)習(xí)中遇到的實(shí)際問(wèn)題。教會(huì)學(xué)生正確而靈活的思維方法是達(dá)到這一目的的主要手段。在日常教學(xué)活動(dòng)中，正向思維用得較多，這是從已知條件推出或?qū)С鼋Y(jié)論的一種思維方法，但是當(dāng)已知信息很多時(shí)，學(xué)生往往不知從何下手解題，這時(shí)改從單一的終點(diǎn)出發(fā)推導(dǎo)就

授課過(guò)程中有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生逆向思維，使他們擺脫單純機(jī)械的正向思維習(xí)慣，從而養(yǎng)成從不同角度去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的習(xí)慣，達(dá)到靈活掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的目的。達(dá)到這一目的的過(guò)程還優(yōu)化了學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)了思維的靈活性、廣闊性、敏捷性、深刻性。如何達(dá)到這一目標(biāo)呢？

首先，經(jīng)常逆問(wèn)

教學(xué)中，在學(xué)生正確理解概念、定理、公式、法則的基礎(chǔ)上，教師還要經(jīng)常有意識(shí)地挖掘互逆因素，進(jìn)行逆向設(shè)問(wèn)，這樣不僅可以使學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解更加深刻，而且還能消除學(xué)生的思維定勢(shì)所帶來(lái)的消極影響，培養(yǎng)逆向思維意識(shí)，養(yǎng)成雙向考慮問(wèn)題的習(xí)慣。

例如：在學(xué)生學(xué)習(xí)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)|_Z|?|Z|及

_ZZ?|Z|2之后逆向問(wèn)學(xué)生：“模相等的兩個(gè)復(fù)數(shù)是

共軛復(fù)數(shù)嗎?”、“積是實(shí)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)是共軛復(fù)數(shù)嗎?”、“你能將二項(xiàng)式x2?y2分解因式嗎?”這樣，可以加深對(duì)共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)的理解。

可以改變解題時(shí)無(wú)從人手的困難。逆向思維就是一種

像上例可供逆向考慮的問(wèn)題在教材中是無(wú)處不從結(jié)論或終點(diǎn)出發(fā)推出條件的思維方法。

在、無(wú)所不有的，我們教師應(yīng)該有意識(shí)地抓住它，并逆向思維就是通常我們所說(shuō)的分析法思維，是在予以適當(dāng)?shù)奶幚恚湍苁箤W(xué)生養(yǎng)成雙向考慮問(wèn)題的習(xí)解決問(wèn)題時(shí)，為尋求最佳解答，而從不同角度對(duì)問(wèn)題

慣，正向思維及逆向思維同步發(fā)展，減少正向思維對(duì)進(jìn)行分析時(shí)所采用的、與習(xí)慣性思維方向完全相反的一種思維。這學(xué)期我所帶的兩個(gè)班是五年一貫501、502，他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍都很差，通常是面對(duì)一個(gè)問(wèn)題顯得手足無(wú)措，缺少數(shù)學(xué)解題中應(yīng)具備的應(yīng)變能力。我對(duì)他們做了一定的調(diào)查了解，除了他們個(gè)別在知識(shí)掌握脫節(jié)外，大部分學(xué)生是由于掌握的概念、定理、公式、法則只習(xí)慣正向思維。久而久之，就產(chǎn)生一種先入之見(jiàn)，形成思維定勢(shì)面對(duì)數(shù)學(xué)題只習(xí)慣于正面思考問(wèn)題，造成思維的片面和狹隘。這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力帶來(lái)了極大的消極作用。鑒于這種問(wèn)題，我在18

逆向思維的抑制作用。

其次，注重逆用

長(zhǎng)期的單向思維會(huì)使學(xué)生思維呆板，解題思路不靈活，所以教師應(yīng)在課堂教學(xué)中抓住解題教學(xué)，注意經(jīng)常性地啟發(fā)學(xué)生逆向利用概念、定理(若逆定理存在)、公式、法則、就能有效地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，拓展學(xué)生的解題思路。

1、逆用定義或逆用概念

許多數(shù)學(xué)概念是通過(guò)揭示其本質(zhì)屬性來(lái)定義的，學(xué)術(shù)交流

那么，由概念得出其本質(zhì)屬性以及由概念的本質(zhì)屬性而引出概念的定義就是一種互逆的過(guò)程，另外，某些概念存在逆概念，如函數(shù)與反函數(shù)，一一對(duì)應(yīng)與逆對(duì)應(yīng)等，教學(xué)中利用這種定義的可逆性及逆概念對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析研究，就能使某些解題過(guò)程得到簡(jiǎn)化，使學(xué)生的逆向思維能力不斷提高。如下面的例子：

數(shù)學(xué)問(wèn)題一般總是從正面入手進(jìn)行思考，即從條件入手，求得結(jié)論，但也有些問(wèn)題從正面思考很難找到解題思路，這時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生改變思維方向，采用正難則反的思維，做逆向思考，即從結(jié)論入手或從結(jié)論的反面入手進(jìn)行思考，這樣有時(shí)很容易找到解題的突破口。具體的做法有：

1、執(zhí)果索因——分析法 當(dāng)一個(gè)題目的條件很難向結(jié)論靠攏時(shí)，可運(yùn)用執(zhí)果索因的辦法來(lái)尋求解題的思路，即從命題的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的充分條件，直至推出一個(gè)已知成立的式子。

例2 已知到另一焦點(diǎn)的距離就可利用橢圓定義的可逆性來(lái)求。

略解：設(shè)這點(diǎn)到焦點(diǎn)F1(3，0)、F2(0，-3)的距離分別為d1、d2，由于L是橢圓的一條準(zhǔn)線，故知，例l 橢圓xy??1上有一點(diǎn)，這點(diǎn)到直線25162225l：x?的距離d＝5，求這點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離。

3分析：只要先求出這點(diǎn)到橢圓右焦點(diǎn)的距離，它

sin(???)sin(???)，且?sin?sin???????k?，k?z，求

證:ctg??ctg??ctg(???)?ctg(???)

dd1c3?，即1?，解之，得：d1＝3，故d255da2a-d1=10-3=7

＝

分析:條件等式中是正弦函數(shù)，而結(jié)論等式中是余切函數(shù)，顯然，從條件很難推出結(jié)論，因此采用分析法，從化“切”為“弦”入手，變換結(jié)論等式為條件等式。

2．逆用公式法則 在進(jìn)行公式教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)對(duì)

證明：

公式作一些適當(dāng)變形，并強(qiáng)調(diào)公式的逆向使用，學(xué)生

要證在遇到相關(guān)的問(wèn)題時(shí)就能做出有益的聯(lián)想，會(huì)對(duì)公式作逆向使用。如進(jìn)行(n?1)!?(n?1)n!的教學(xué)后，ctg??ctg??ctg(???)?ctg(???)

只需證明指出(n+1)n!=(n+1)!、n×n!+n!＝(n+1)!、n×n!=(n+1)!-n!、n!=(n+1)!-n×n!等一系列變形，學(xué)生在ctg??ctg(???)?ctg??ctg(???)

即：進(jìn)行“證明：1!+2×2!+3×3!+…+n×n!＝(n+1)!-l”時(shí)，很容易將式子中的每一項(xiàng)n×n!變形為(n+1)!—n!，從而構(gòu)成部分交錯(cuò)相消項(xiàng)，使問(wèn)題得到較簡(jiǎn)捷的證明。

如果學(xué)生在逆用概念公式中嘗到了甜頭，就會(huì)大大激發(fā)起對(duì)“逆用”的興趣，這無(wú)疑對(duì)其逆向思維的培養(yǎng)有著積極的推動(dòng)作用。

再次，要逆思

我們要正確解題就需要有正確的解題思路，解決

cos?cos(???)cos?cos(???)???sin?sin(???)sin?sin(???)只需證明

sin(?????)sin(?????)?

sin?sin(???)sin?sin(???)因??????k?，故sin(?????)?0

因此，只需證明 19

學(xué)術(shù)交流 ?sin?sin(???)sin?sin(???)即：

淺談啟發(fā)性日語(yǔ)教學(xué)

——如何營(yíng)造一個(gè)協(xié)調(diào)的日語(yǔ)聽(tīng)力課堂氣氛

外國(guó)語(yǔ)學(xué)院

任鳳鳳

摘 要：21世紀(jì)的社會(huì)，是一個(gè)開(kāi)放的社會(huì)，隨sin(???)sin(???)?sin?sin?由已知條件可知上式是成立的，且以上推證的每一步都可逆，這就證明了

著我國(guó)加入ＷＴＯ及國(guó)際交流的日益頻繁，經(jīng)濟(jì)全球化的相互交融，國(guó)際間各種商務(wù)活動(dòng)如：會(huì)議、接待、招聘、議價(jià)等，越來(lái)越頻繁。而日本經(jīng)濟(jì)的強(qiáng)大使得日語(yǔ)在國(guó)際交流中的作用越來(lái)越受到重視，日語(yǔ)逐漸在國(guó)際上盛行起來(lái)。隨著這一趨勢(shì)的發(fā)展，現(xiàn)在許多大學(xué)都開(kāi)設(shè)日語(yǔ)專業(yè)來(lái)滿足社會(huì)的需求。那么作為一名大學(xué)教師如何能讓學(xué)生更好的掌握日語(yǔ)語(yǔ)言的這門技能呢？

關(guān)鍵詞： 日語(yǔ)教學(xué) 語(yǔ)言技能 培養(yǎng) 溝通 在日語(yǔ)語(yǔ)言中有四大技能：聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)。其中聽(tīng)力占主要成分。因?yàn)橛?xùn)練聽(tīng)的能力，有助于全面提高學(xué)生的日語(yǔ)交際能力，所以加強(qiáng)聽(tīng)力教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言感悟力、理解力、創(chuàng)新力，成為日語(yǔ)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)。

聽(tīng)力主要由兩個(gè)部分構(gòu)成。即迅速正確地辨音解義的能力、理解語(yǔ)言內(nèi)涵的能力，亦稱“文化悟力”。這兩種能力表現(xiàn)在日語(yǔ)聽(tīng)力課堂上，即為識(shí)記磁帶發(fā)出的語(yǔ)音形式，準(zhǔn)確地辨析詞義，然后從詞義、句義到文章中心大意，迅速辨析、思索、組合、歸納，并從中悟出講話內(nèi)容的中心所在。這種能力除指對(duì)語(yǔ)言知識(shí)本身的理解能力外，還應(yīng)包含對(duì)有關(guān)文化知識(shí)的理解和占有能力，包括經(jīng)濟(jì)、文化、天文、地理、歷史以及簡(jiǎn)單的科普知識(shí)等等。對(duì)這些知識(shí)的占有與理解無(wú)疑會(huì)提高對(duì)所聽(tīng)到信息的理解程度，從而使悟出的語(yǔ)義更深刻，更準(zhǔn)確。

那么，怎樣培養(yǎng)學(xué)生聽(tīng)力呢？ ctg??ctg??ctg(???)?ctg(???)

2、否定結(jié)論——反證法

有些命題不論是從條件入手，還是從結(jié)論入手，都很難找到解題思路，這時(shí)，可考慮從結(jié)論的反面入手，逐步推出與已知事實(shí)相矛盾的結(jié)論，從而否定結(jié)論的反面，達(dá)到證明原命題的目的。

3、反面求解——反求法

證明題在直接證明不易時(shí)，可采用反證法，同樣，解答題在直接求解不易時(shí)，也可以考慮從問(wèn)題的反面求解。

4、否定命題——反例法

數(shù)學(xué)中并非每個(gè)命題都是真命題，有的命題雖從多方面進(jìn)行推證，但仍不能得出結(jié)論，因此，很自然地對(duì)這個(gè)命題的真假產(chǎn)生了懷疑，從而設(shè)法否定命題，而這只需舉出一個(gè)符合命題的條件，但不符合命題的結(jié)論的例子——反例，就可以了。實(shí)踐證明：教學(xué)中采用：“逆問(wèn)、逆用、逆思”的手段，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力是切實(shí)可行的，也是行之有效的。

[參考文獻(xiàn)]

1、邵瑞珍 《教育心理學(xué)》 上海教育出版社

2、任樟輝 《數(shù)學(xué)思維論 》 廣西教育出版社

3、鄭均文、張思華 《 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論》廣西教育出版社

4、陳潔恩 《培養(yǎng)逆向思維能力的幾點(diǎn)做》 中學(xué)教研(數(shù)學(xué)).培養(yǎng)聽(tīng)力，首先要突破聽(tīng)力障礙，掌握“聽(tīng)”的基本技能。學(xué)生或一般日語(yǔ)學(xué)習(xí)者在日語(yǔ)聽(tīng)力訓(xùn)練中存在學(xué)術(shù)交流 的聽(tīng)力障礙主要有四個(gè)：①語(yǔ)音障礙②語(yǔ)義障礙③心理障礙④文化悟力障礙。其中，聽(tīng)力的語(yǔ)音障礙，為這四種障礙之首。日語(yǔ)學(xué)習(xí)者應(yīng)下決心攻破它，然后向更高層次邁進(jìn)。

往會(huì)導(dǎo)致其在做聽(tīng)力題時(shí)腦中一片空白，從而影響聽(tīng)力活動(dòng)的順利進(jìn)行。因此，聽(tīng)力訓(xùn)練應(yīng)在輕松愉快的氛圍中進(jìn)行。教師上課態(tài)度要親切，語(yǔ)言要生動(dòng)、幽默，注意多鼓勵(lì)、多表?yè)P(yáng)，消除學(xué)生的緊張心理。對(duì)于聽(tīng)力較差的同學(xué)要耐心細(xì)致地加以指導(dǎo)。

一、突破語(yǔ)音障礙，掌握聽(tīng)力基本技能

掌握聽(tīng)力基本技能，首先應(yīng)突破語(yǔ)音知識(shí)關(guān)。日語(yǔ)語(yǔ)音知識(shí)主要包括五個(gè)方面的內(nèi)容：濁音，半濁音，拗音，撥音，語(yǔ)調(diào)。突破語(yǔ)音知識(shí)關(guān)的辦法是：認(rèn)真聽(tīng)，注意模仿，用心記憶，并跟老師或錄音機(jī)進(jìn)行糾正，堅(jiān)持反復(fù)訓(xùn)練和檢測(cè)。

比如：在西餐館吃飯的會(huì)話?？梢蕴摂M一個(gè)場(chǎng)景讓學(xué)生進(jìn)行模仿訓(xùn)練。學(xué)生對(duì)這種訓(xùn)練很感興趣，起到很好的口語(yǔ)訓(xùn)練效果。合適的多練是培養(yǎng)聽(tīng)說(shuō)能力的有效方法。作為一名教師，就如同交響樂(lè)隊(duì)的指揮，他不是演奏者，而是指導(dǎo)學(xué)生演奏的人。他要根據(jù)所學(xué)內(nèi)容，組織指揮進(jìn)行大量豐富多彩的練習(xí)，時(shí)而提問(wèn)題、時(shí)而重述、時(shí)而朗讀，或一個(gè)人演奏或兩個(gè)人合奏或齊奏，在他的指揮下，整個(gè)課堂充滿緊湊而活躍的學(xué)習(xí)氣氛。在這樣的氣氛中學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)感到新鮮多樣，趣味無(wú)窮。外語(yǔ)學(xué)習(xí)就會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。學(xué)生不再是學(xué)習(xí)的奴隸而是主人。

四、如何進(jìn)行系統(tǒng)的聽(tīng)力訓(xùn)練

1． 聽(tīng)、說(shuō)相結(jié)合。聽(tīng)和說(shuō)是不可分割的整體。按照辯證法的原理，聽(tīng)和說(shuō)是一對(duì)矛盾的對(duì)立和統(tǒng)一，它們既相互制約又相互促進(jìn)。聽(tīng)的能力提高了，可以為流利準(zhǔn)確的表達(dá)創(chuàng)造條件，只有聽(tīng)得懂才能說(shuō)得出；而說(shuō)的能力提高了，則反過(guò)來(lái)促進(jìn)聽(tīng)力水平的進(jìn)一步提高。教師首先要向?qū)W生提供規(guī)范的語(yǔ)音、語(yǔ)調(diào)，然后要求學(xué)生在反復(fù)聽(tīng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行反復(fù)朗讀、背誦，培養(yǎng)語(yǔ)感。教師應(yīng)積極、主動(dòng)地組織學(xué)生利用課內(nèi)外的一切機(jī)會(huì)練習(xí)日語(yǔ)口語(yǔ)，多用日語(yǔ)表達(dá)。除每節(jié)課安排五分鐘的 [休み]外，還可開(kāi)設(shè)日語(yǔ)角、做日語(yǔ)游戲、舉辦日語(yǔ)晚會(huì)、教唱日語(yǔ)歌曲、舉行日語(yǔ)朗誦、演講比賽等。

2． 聽(tīng)、寫(xiě)相結(jié)合。一是：默寫(xiě)。默寫(xiě)要求較高，可分步進(jìn)行，從默寫(xiě)單詞開(kāi)始，然后到短語(yǔ)、句子等。二是：填空。一段對(duì)話或一篇短文填空，由于訓(xùn)練材料語(yǔ)速較快，要求學(xué)生集中精力去聽(tīng)、去理解，并且還得具有熟練的書(shū)寫(xiě)單詞能力。錯(cuò)誤！鏈接無(wú)效。、堅(jiān)持用日語(yǔ)授課，創(chuàng)建良好的語(yǔ)言環(huán)境

語(yǔ)言的學(xué)習(xí)需要一個(gè)良好的環(huán)境，日語(yǔ)教師應(yīng)充分利用課堂四十五分鐘，盡量用日語(yǔ)組織教學(xué)，為學(xué)生營(yíng)造良好的日語(yǔ)氛圍。這樣不但對(duì)提高學(xué)生日語(yǔ)聽(tīng)力水平大有裨益，而且會(huì)使其對(duì)學(xué)習(xí)日語(yǔ)產(chǎn)生興趣。

五、幫助學(xué)生掌握聽(tīng)力技巧

1． 辨音題。一般錄音最多放兩遍，所以聽(tīng)錄音時(shí)必須高度集中注意力，思維要敏捷，判斷要準(zhǔn)確、果斷，要相信自己。在聽(tīng)之前，先看一遍所給詞匯，注意它們的不同點(diǎn)。

2． 對(duì)話題。要求學(xué)生看完題目后，對(duì)聽(tīng)的材料作出判斷，這是聽(tīng)者理解并掌握所聽(tīng)內(nèi)容的首要條件。這可以幫助聽(tīng)者積極地想像、推理和判斷，發(fā)揮學(xué)生的能動(dòng)性，有助于聽(tīng)者理解所聽(tīng)內(nèi)容。如材料的題目是：レストランで食事をします，聽(tīng)者應(yīng)先想一下所學(xué)的訂餐及在餐館吃飯時(shí)的一些用語(yǔ)和情景，在聽(tīng)的三、選擇合適的聽(tīng)力材料

教師為學(xué)生選擇的聽(tīng)力材料要考慮難易適度、語(yǔ)速適中。否則會(huì)由于生詞過(guò)多而影響學(xué)生對(duì)材料內(nèi)容的理解從而造成厭學(xué)的心理。另外，所選材料應(yīng)注意其知識(shí)性和趣味性。如選擇一些幽默故事、風(fēng)土人情、人物簡(jiǎn)介、日語(yǔ)歌曲等這樣能使學(xué)生產(chǎn)生對(duì)日語(yǔ)的興趣，創(chuàng)建輕松愉快的聽(tīng)力氛圍。過(guò)分的緊張和焦慮往 21

學(xué)術(shù)交流

過(guò)程中對(duì)比自己的想法同所聽(tīng)的材料有哪些異同。再如碰到填空題，可以根據(jù)語(yǔ)法現(xiàn)象及固定搭配來(lái)猜測(cè)該填什么，然后再聽(tīng)音。對(duì)話常為一男一女，對(duì)話結(jié)束時(shí)，由第三者提もんだい，然后作出選擇。做這類題時(shí)要先快速瀏覽選項(xiàng)，根據(jù)選項(xiàng)提供的信息進(jìn)行推斷。例如 ：（A）レストランで 食べます

(B)家で 食べます(C)食堂で 食べます 三個(gè)選項(xiàng)都是地點(diǎn)，在聽(tīng)時(shí)要注意對(duì)話的內(nèi)容、環(huán)境，做出正確的判斷。根據(jù)訓(xùn)練內(nèi)容，設(shè)計(jì)好聽(tīng)力課的教學(xué)步驟，逐步提高學(xué)生的聽(tīng)力。

3．短文理解題。明確聽(tīng)的任務(wù)，讓學(xué)生帶著問(wèn)題去聽(tīng)。讓學(xué)生在聽(tīng)的過(guò)程中盡量聽(tīng)懂每個(gè)詞是不可能的，只要聽(tīng)懂中心內(nèi)容基本就能理解全文。但是相當(dāng)一部分學(xué)生不善于抓主要內(nèi)容，只根據(jù)材料的只言片語(yǔ)進(jìn)行理解，不能通過(guò)對(duì)各個(gè)局部的理解找到上下文之間的聯(lián)系，結(jié)果對(duì)整段內(nèi)容產(chǎn)生片面理解，得出錯(cuò)誤結(jié)論。正確判斷辯識(shí)標(biāo)志。聽(tīng)力材料中往往有一些明顯的特殊標(biāo)志，是聽(tīng)力測(cè)試取得成功的重要環(huán)節(jié)之一這些標(biāo)志往往提示上下文的邏輯關(guān)系，如轉(zhuǎn)折、條件、讓步、因果、比較、并列等。

例如：Ａ：明日はいっしょに 映畫(huà)へ行きませんか。それから レストラで食事でも…… Ｂ：でも、あさっては試験ですから、ちょっと??

其中A [でも] 表示提示，列舉。B中的 [でも] 表示轉(zhuǎn)折，[ちょっと] 后面話沒(méi)有說(shuō)完，它表示委婉的拒絕。所以在聽(tīng)的過(guò)程中要找關(guān)鍵詞。有可能一個(gè)詞一個(gè)語(yǔ)調(diào)就會(huì)改變整個(gè)一句話的意思。所以要在聽(tīng)得過(guò)程中不要只光聽(tīng)前半句，要把整個(gè)句子聽(tīng)完，因?yàn)槿照Z(yǔ)的語(yǔ)法是主、賓、位，表達(dá)意思一般主要在句子的句末，所以要判斷這一句是肯定還是否定，就要有耐心聽(tīng)完整個(gè)句子，注意句中出現(xiàn)的標(biāo)志性詞語(yǔ)，否則就會(huì)弄錯(cuò)。

例如：[私の話がほとんど聞き取れないんじゃな

いか]這句話中有兩個(gè)否定詞如果只聽(tīng)到一個(gè) [ない] 就馬上下結(jié)論說(shuō)這是個(gè)否定疑問(wèn)句的話就完全錯(cuò)誤了。繼續(xù)聽(tīng)完這一句話就知道這句話是個(gè)肯定的疑問(wèn)句。所以學(xué)生要善于把握這一點(diǎn)，可以在比較的過(guò)程中提高聽(tīng)的能力。

4．理解檢查。學(xué)生聽(tīng)完材料后，教師可以設(shè)置一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，并對(duì)不同層次的學(xué)生提問(wèn)，以及時(shí)得到教學(xué)反饋。然后讓學(xué)生討論，相互補(bǔ)充，達(dá)成共識(shí)。最后教師可以邊放錄音邊讓成績(jī)較好的學(xué)生逐句復(fù)述聽(tīng)力內(nèi)容。教師應(yīng)注意聽(tīng)說(shuō)結(jié)合，為了說(shuō)得出，必須聽(tīng)懂，只有聽(tīng)懂了，才能說(shuō)得出，以說(shuō)促聽(tīng)，以聽(tīng)?zhēng)дf(shuō)。

六、誘發(fā)興趣，提高聽(tīng)力水平聽(tīng)力是聽(tīng)和理解能力的總和，是積極思維的過(guò)程，教師應(yīng)循序漸進(jìn)地設(shè)計(jì)每堂聽(tīng)力課，在有效培養(yǎng)學(xué)生聽(tīng)力的同時(shí)，注意培養(yǎng)學(xué)生的聽(tīng)力興趣。興趣是學(xué)習(xí)的動(dòng)力，對(duì)聽(tīng)音感興趣的學(xué)生，課堂上積極主動(dòng)、心情愉快，聽(tīng)音效果良好。教師應(yīng)采取靈活多變的方式，激發(fā)學(xué)生的聽(tīng)力興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性。對(duì)一些較難的材料，在聽(tīng)之前教師可以把內(nèi)容簡(jiǎn)單復(fù)述一遍讓學(xué)生有大體了解，并提出問(wèn)題及要求，讓學(xué)生帶著問(wèn)題聽(tīng)，這樣學(xué)生易于接受，同時(shí)也增強(qiáng)了他們的自信心。做這類題要注意抓住關(guān)鍵詞，找主要意思。一篇短文聽(tīng)完，務(wù)必了解六個(gè)どうして問(wèn)題，無(wú)須每句話每個(gè)詞都聽(tīng)懂，注意從短文內(nèi)容的整體上理解，切忌把太多的時(shí)間花在某個(gè)生詞或難句上。在聽(tīng)的過(guò)程中做好記錄，如筆記時(shí)間、地點(diǎn)、人物、內(nèi)容、結(jié)果等，這樣在聽(tīng)第二遍時(shí)還可以進(jìn)行檢查、核實(shí)，作出必要的修改，最后敲定正確答案。

總之，日語(yǔ)聽(tīng)力的提高是一個(gè)長(zhǎng)期的、漸進(jìn)的過(guò)程，我們從一開(kāi)始就要有計(jì)劃、有步驟、持之以恒地進(jìn)行聽(tīng)力訓(xùn)練和培養(yǎng)。教師應(yīng)把聽(tīng)力訓(xùn)練作為學(xué)習(xí)其他技能的基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成聽(tīng)的習(xí)慣，進(jìn)一步提高學(xué)生的聽(tīng)力水平。

第二篇：讀書(shū)筆記__逆向思維

讀書(shū)筆記：“逆向思維，出奇制勝”

人類的思維具有方向性，存在著正向與反向之差異，由此產(chǎn)生了正向思維與反向思維兩種形式。

正反向思維起源于事物的方向性，客觀世界存在著互為逆向的事物，由于事物的正反向，才產(chǎn)生思維的正反向，兩者是密切相關(guān)的。人們解決問(wèn)題時(shí)，習(xí)慣于按照熟悉的常規(guī)的思維路徑去思考，即采用正向思維，有時(shí)能找到解決問(wèn)題的方法，收到令人滿意的效果。然而，實(shí)踐中也有很多事例，對(duì)某些問(wèn)題利用正向思維卻不易找到正確答案，一旦運(yùn)用反向思維，常常會(huì)取得意想不到的功效。這說(shuō)明反向思維是擺脫常規(guī)思維羈絆的一種具有創(chuàng)造性的思維方式。

逆向思維能令學(xué)生打破常規(guī)的束縛，立新創(chuàng)意，起到柳暗花明的教學(xué)效果。經(jīng)典案例：

我國(guó)著名教育家葉圣陶大師對(duì)如何啟發(fā)學(xué)生的逆向思維方面就頗有研究。

我們來(lái)看看葉先生在作文教學(xué)中的精彩片斷。

葉先生問(wèn)學(xué)生：“你們誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)?飛蛾撲火?這個(gè)成語(yǔ)的意思？” 這個(gè)問(wèn)題太小兒科了，學(xué)生們紛紛舉手。

“太簡(jiǎn)單了，自取滅亡?！?、“自不量力?！?/p>

“不就是明知山有虎，偏向虎山行的意思嗎？”

……

學(xué)生們你一言我一語(yǔ)爭(zhēng)先恐后地回答。

葉先生微微一笑：“大家都說(shuō)對(duì)了。但是，我們能不能從另外一個(gè)角度去解釋這個(gè)成語(yǔ)呢？”

學(xué)生們面面相覷、抓耳搔腮?！傲硗庖粋€(gè)角度？”

“怎么解釋?。俊?/p>

大師不急不忙：“我給大家一個(gè)提示，就是從另一個(gè)相反的角度去考慮，或者說(shuō)，換位思考，站在第三立場(chǎng)上思考這個(gè)成語(yǔ)?！?/p>

還是沒(méi)有學(xué)生舉手發(fā)言。

葉先生耐心地說(shuō)道：“我剛才聽(tīng)見(jiàn)有同學(xué)在解釋?飛蛾撲火?時(shí)，說(shuō)?明知山有虎，偏向虎山行?。這個(gè)解釋很好。你們?cè)傧胂耄@只飛蛾明知前方有危險(xiǎn)，但還是勇敢地沖上去，這是一種什么精神？”

學(xué)生們恍然大悟：“啊。?飛蛾撲火?可以理解成?不怕?tīng)奚?、舍生取義??！?葉先生吁了一口氣：“對(duì)，你們真是太聰明了?！?/p>

學(xué)生們終于找到了感覺(jué)“就是從反義的角度考慮考慮啊?！薄斑€可以理解成?追求光明?，是嗎？” ……

學(xué)生們的思維拓展的越來(lái)越寬。

葉先生十分高興：“飛蛾撲火本來(lái)是個(gè)貶義詞，但我們卻通過(guò)某種客觀分析，把它變成了褒義詞?！边@就是我今天要講的?在作文寫(xiě)作中如何應(yīng)用逆向思維?的內(nèi)容。逆向思維就是突破常規(guī)、常識(shí)，從一個(gè)相反的角度去寫(xiě)，往往使作文寫(xiě)起來(lái)比較有新意。有些同學(xué)所寫(xiě)的作文當(dāng)中，幾乎是千篇一律，根源就在于我們學(xué)生不能突破常識(shí)，不能從新的角度去挖掘……”

學(xué)生們豁然開(kāi)朗，很快就明白了老師的用意。

葉先生見(jiàn)學(xué)生們都理解得差不多了，便道：“如果我讓大家寫(xiě)一篇以?我看狐假虎威?命題的作文，你們準(zhǔn)備怎么去寫(xiě)？”

很快就有學(xué)生舉起了手：“老師，這篇作文可以從以下幾個(gè)方面著手。一是從狐貍的聰明才智上著手，它為了能在動(dòng)物中混得一席之地，借力打力應(yīng)該是個(gè)很不錯(cuò)的方法。二是從老虎的虛榮心上著手，它只是為了排場(chǎng)，以顯示百獸之王的威風(fēng)……”

一次看電視，有一位教授講了一個(gè)故事，讓我銘記在心。說(shuō)的是眾人皆知的“兔子和烏龜賽跑”的故事。第一天，兔子因?yàn)橹型舅擞X(jué)，結(jié)果兔子吸取了教訓(xùn)，中途沒(méi)有睡覺(jué)，一口起跑到終點(diǎn)，兔子贏了；第三天，烏龜不服氣，說(shuō)要重新選擇路線，它選了一條有大河的路，兔子不會(huì)游泳，過(guò)不去，結(jié)果烏龜慢慢地游了過(guò)去，烏龜贏了；第四天，兔子和烏龜商量，陸地上我背著你跑，在大河里你馱著我游。烏龜心眼小，擔(dān)心兔子中途使壞，把自己摔個(gè)鼻青臉腫，所以沒(méi)有同意；第五天，烏龜又提出重新跑，兔子心想：即便是跑到天邊，我也不怕你，于是，欣然答應(yīng)。誰(shuí)知兔子剛跑到終點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)烏龜早在終點(diǎn)等著它，兔子那里知道，烏龜讓它的弟弟提前在終點(diǎn)等候，烏龜長(zhǎng)相都差不多，兔

子那里知道這是計(jì)策，只好認(rèn)輸。這個(gè)故事讓我悟出許多道理。還有人們常說(shuō)的?愚翁移山?是破壞了大山的環(huán)境和植被，人們因?yàn)橥谏?，窮得連個(gè)媳婦都娶不上，那里來(lái)的子子孫孫？；打虎的武松竟被公安局抓起來(lái)了，因?yàn)樗蛩懒藝?guó)家的一級(jí)保護(hù)動(dòng)物；?一個(gè)和尚有水吃，三個(gè)和尚沒(méi)水吃?也被進(jìn)行了改編，說(shuō)的是三個(gè)和尚搞技術(shù)革新，直接把水從山上引到廟里，水多得吃不完的故事。人們常說(shuō)的?孔融讓梨?也成了問(wèn)題，因?yàn)榭兹谥?，大梨是化學(xué)藥品催大的，所以才要了最小的梨；大家熟知的司馬光砸缸救人的故事，其實(shí)他砸的缸是國(guó)家一級(jí)保護(hù)文物，理應(yīng)判刑等等。這些故事雖近荒唐，但是說(shuō)明了一個(gè)道理，任何事物都有幾重性，遇事最好是多問(wèn)幾個(gè)為什么才好。呂淑湘先生說(shuō)：“如果說(shuō)一種教法是一把鑰匙，那么，在各種教法之上還有一把總鑰匙，他的名字叫做?活??！背晒Φ慕處熤猿晒?，就是因?yàn)樗颜n教“活”了。葉圣陶老先生還認(rèn)為好的先生不是教書(shū)，不是教學(xué)生，乃是教學(xué)生學(xué)。教是為了不需要教?！褪钦f(shuō)咱們當(dāng)教師的人要引導(dǎo)他們，使他們能夠自己學(xué)，自己學(xué)一輩子，學(xué)到老。教育改革，首先要改革的便是教育工作者的工作方式，撤銷掉禁錮學(xué)生的思想籬笆，讓學(xué)生海闊天空、百花齊放！讓他們的逆向思維也來(lái)個(gè)百家爭(zhēng)鳴！當(dāng)然，逆向思維立意的目的不是鼓勵(lì)學(xué)生們面面獵奇，不是亂發(fā)議論，不是任何情況都可以使用，他同樣要求論之有理，述之有據(jù)，要有說(shuō)服力。這才能達(dá)到有利發(fā)展學(xué)生智力，使學(xué)生的思維如萬(wàn)馬奔騰般活躍的目的。

第三篇：逆向思維數(shù)學(xué)應(yīng)用

談“逆向思維”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用和培養(yǎng)

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談“逆向思維”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用和培養(yǎng)

俄羅斯著名教育家加里寧說(shuō)：“數(shù)學(xué)是思維的體操”。正如體操鍛煉可以改變?nèi)说捏w質(zhì)一樣，通過(guò)數(shù)學(xué)思維的恰當(dāng)訓(xùn)練，逐步掌握數(shù)學(xué)思維方法與規(guī)律，是可以改變?nèi)说闹橇湍芰?，也可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識(shí)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用多種思維方法教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生能力的重要途徑之一，思維是智力的核心。觀察、分析、想象、推理、判斷都與思維密切聯(lián)系在一起。培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)素質(zhì)教育的關(guān)鍵，也是數(shù)學(xué)科素質(zhì)教育的核心。近幾年來(lái)，部分省市中考數(shù)學(xué)試卷時(shí)有出現(xiàn)一類需用逆向思維來(lái)求解的題目，下面就逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用和如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，談幾點(diǎn)看法：

一、“逆向思維”在解題中的作用 問(wèn)題的引入

甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)的和為43，甲數(shù)的2倍加8，乙數(shù)的3倍，丙數(shù)的4倍，丁數(shù)的5倍減4，結(jié)果相等，問(wèn)甲、乙、丙、丁各是多少？

本題若從正面分析，正面列式完全是可以解出來(lái)的，但要假設(shè)4個(gè)未知數(shù)，列4個(gè)方程，解起來(lái)會(huì)比較麻煩，而運(yùn)用“逆向思維”卻“輕而易舉”。可以設(shè)這四個(gè)運(yùn)算結(jié)果相等的數(shù)為x，這樣就可以比較快地求出甲、乙、丙、丁這四個(gè)數(shù)分別是14、12、9、8。這樣一種思維方式就是逆向思維。它的特點(diǎn)是不盲從別人的觀點(diǎn)而善于提出新思路、新方法的一種創(chuàng)造性思維，它是從反面考慮問(wèn)題的一種方式，通常要打破習(xí)慣性的思維方法，有意做出與習(xí)慣思維方向（正向思維）完全相反的探索，順推不行時(shí)考慮逆推；直接解決麻煩或復(fù)雜時(shí)考慮間接；探討可能性發(fā)生困難時(shí)，要考慮不可能性；應(yīng)用公式法則不湊效時(shí)，反過(guò)來(lái)用??因此當(dāng)反復(fù)思考某個(gè)問(wèn)題卻“山窮水盡”時(shí)，逆向思維經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“柳暗花明”的境地，還會(huì)達(dá)到事半功倍的好效果。也就是說(shuō)，對(duì)于某些問(wèn)題，有時(shí)逆向思維優(yōu)于正向思維。例如－，－，－，－ 的大小，按慣例是先通分母再比較大小，但本題分母較大，通分母比較麻煩，于是有人另僻蹊徑，不通分分母而先通分分子，再比較大小，于是原題就變?yōu)楸容^ 的大小，這樣不但節(jié)約了時(shí)間，而且還培養(yǎng)逆向思維的習(xí)慣，從而提高了智力。此外，逆向思維在某些問(wèn)題還會(huì)對(duì)正向思維起到推動(dòng)和促進(jìn)作用。

例 已知：x+y+z= + + =1 求證：x、y、z中至少有一個(gè)等于1。

分析：本題結(jié)論反面情況是x、y、z都不等于1即(x－1)(y－1)(z－1)≠0將左邊展開(kāi)后再與條件比較，發(fā)現(xiàn)矛盾。即得原題的結(jié)論。證明：設(shè)x、y、z都不等于1 則x－1≠0 y－1≠0 z－1≠0

∴(x－1)(y－1)(z－1)≠0

即xyz－(xy+yz+xz)+x+y+z－1≠0(1)又∵x+y+z=1 xyz=xy+yz+zx(2)∴xyz－(xy+yz+xz)+x+y+z－1＝0(3)(1)、(3)式發(fā)生矛盾 ∴原結(jié)論成立。

完成這個(gè)證明過(guò)程后，我們又可以從中得到啟發(fā)，啟發(fā)我們?nèi)魪臈l件出發(fā)，用正向思維完全可以推得(x－1)(y－1)(z－1)＝0，即得x、y、z至少有一個(gè)等于1。證明：由條件得x+y+z－1＝0(1)xyz－(xy+yz+xz)＝0(2)(1)＋(2)得 ∴xyz－(xy+yz+xz)+x+y+z－1＝0 分解因式得(x－1)(y－1)(z－1)＝0 ∴x－1＝0或y－1=0或z－1=0 即x、y、z中至少有一個(gè)等于1。

二、“逆向思維”在解題中的應(yīng)用

1、“逆向思維”在解方程有關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用 例1 已知關(guān)于x的二次方程

ax2＋2bx＋c＝0

bx2＋2cx＋a＝0

cx2＋2ax＋b＝0 中，至少有一個(gè)方程有不同的實(shí)數(shù)根，試求出a、b、c應(yīng)滿足的條件。

分析：這題若從正面出擊，因情況復(fù)雜難以下手，但是若從“三個(gè)二次方程至少有一個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”的反面，即從“三個(gè)二次方程都沒(méi)有不同的實(shí)數(shù)根”去考慮，則比較容易得到它的結(jié)果。

解：設(shè)這三個(gè)二次方程都沒(méi)有不同的實(shí)數(shù)根

三式相加，除以4得 a2＋b2＋c2＋ab－bc－ca≤0 整理得 〔（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2〕≤0 但（a－b）2≥0

（b－c）2≥0

（c－a）2≥0 ∴a＝b＝c 又已知a≠0 b≠0 c≠0故求得原題應(yīng)滿足的條件為：a，b，c為不全相等的非零實(shí)數(shù)。例2 若解關(guān)于x的分式方程

時(shí)不會(huì)產(chǎn)生增根，求k的取值范圍。

分析：考慮到不會(huì)產(chǎn)生增根的反面是產(chǎn)生增根，從全體實(shí)數(shù)中除去產(chǎn)生增根時(shí)k的值即為原題的解。

解：去分母得

(x+2)(k－k2)=x2－5x－2 若方程產(chǎn)生增根，則(x+2)(x－2)＝0 此時(shí)x1=－2 x2＝2 ①當(dāng)x=－2時(shí)，k無(wú)實(shí)數(shù)解

②x＝2時(shí)，解得k1=－1 k2＝2 ∴當(dāng)k≠－1且k≠2時(shí)，原方程不會(huì)產(chǎn)生增根。

2、“逆向思維”在解決有關(guān)函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

例 若二次函數(shù)y＝mx2＋(m－3)x＋1的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，求m的取值范圍。

解：從正面考慮，情況比較復(fù)雜，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)都不在原點(diǎn)的右側(cè)，則y＝0時(shí)，方程有兩個(gè)根都小于或等于0，于是有 由此解得m≥9

其反面是m＜9，又因?yàn)槎魏瘮?shù)圖像與x軸有交點(diǎn)，所以還必須有△≥0，且m≠0，即 ∴m的取值范圍是m≤1且m≠0.3、“逆向思維”在幾何證題中的應(yīng)用

例 設(shè)o是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AO、BO、CO延長(zhǎng)后，分別交對(duì)邊于D、E、F。試證： 三個(gè)中至少有一個(gè)不大于2。

證明：本題若從正面考慮有三種情況比較復(fù)雜，從反面考慮

設(shè) 都大于2。

即

由此推得AO＞2OD，AD＞3OD, 同理

故命題得證。

4、“逆向思維”在排列組合中的應(yīng)用

例 今有一角幣一張，二角幣一張，五角幣一張，一元幣4張，五元幣二張，用這些紙幣任意付款，則可以付出不同數(shù)額的款共有多少種？

分析：從正面去分析，涉及重復(fù)排列組合，顯然十分復(fù)雜，故應(yīng)改從反面去分析，從一角到最高幣值148角共有148種幣值，從中去掉不可能構(gòu)成的幣值就可以，而不能構(gòu)成的幣值應(yīng)該是4角、9角、1元4角、1元9角?到14元4角共29種幣值，故148－29＝119，即剩119種。

5、“逆向思維”在數(shù)論中的應(yīng)用

例1 求1～50各整數(shù)中，不能被7整除的所有數(shù)字之和。

分析：要直接求出1～50各整數(shù)中，不能被7整除的整數(shù)之和S1是有些費(fèi)事，但1～50各整數(shù)之和可以用數(shù)學(xué)家高斯簡(jiǎn)捷算法很快可以求得S=1275且1～50各整數(shù)中能被7整除各數(shù)7，14、21、28、35、42、49之和S2＝196，從而求得S1＝S－S2＝1079。解 ：（略）。

例2 1984年美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽有這樣一道題目：不能寫(xiě)成兩個(gè)奇合數(shù)之和的最大偶數(shù)是多少？

分析：從正面推算甚是復(fù)雜，但從反面去思考，一一去掉那些能分成兩個(gè)奇合數(shù)之和的偶數(shù)卻十分容易，組成偶數(shù)的末位數(shù)應(yīng)是0、2、4、6、8，共5種，因此，（1）末位為0者，經(jīng)驗(yàn)算10、20合格，但30＝15＋15，40＝15＋25?故應(yīng)去掉30及30以上的末位為0的整數(shù)。

（2）末位為2者，經(jīng)驗(yàn)算2、12、22、32均合格，但42＝27＋15 52＝27＋25?故應(yīng)去掉42及42以上末位為2的整數(shù)。

（3）末位為4者，經(jīng)驗(yàn)算4、14都合格，但應(yīng)去掉24＝9＋15 34＝9＋25?即24及24以上末位為4者。

（4）末位為6者，經(jīng)驗(yàn)算6、16、26均合格，但36＝21＋15 46＝21＋25?應(yīng)去掉36及36以上末位為6的整數(shù)。

（5）末位為8者，經(jīng)驗(yàn)算8、18、28、38均合格，但48＝33＋15 58＝33＋25?故應(yīng)去掉48及48以上末位為8的整數(shù)。綜上所述，合題意的應(yīng)是38。

6、“逆向思維”在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

例 一個(gè)人以每小時(shí)3公里的速度沿一條有電車過(guò)往的街道行走，他注意到，在有40輛與它同向的車從身邊駛過(guò)的時(shí)侯，有60輛車相向駛過(guò)，請(qǐng)問(wèn)電車的平均速度是多少？

分析：在這個(gè)問(wèn)題中，人和車都是動(dòng)的，如果從這方面分析問(wèn)題就比較復(fù)雜，但是動(dòng)的反面是靜的，將行走著的人想象為站立不動(dòng)，且設(shè)電車的車速為x公里/小時(shí)，這樣與人同向電車的車速為（x－3）公里/小時(shí)，與人逆向的電車車速為（x＋3）公里/小時(shí)，此時(shí)車速與車輛數(shù)成正比，即，解得x＝15公里/小時(shí)。

三、培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的有效途徑

從以上幾個(gè)例子，我們可以看出，“逆向思維”在解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題與一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，確是起到“柳暗花明又一村”的作用，但在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)如何培養(yǎng)和提高學(xué)生的“逆向思維”的能力呢？

1、教師在平時(shí)教學(xué)中要多講一些有關(guān)要用到“逆向思維”的例子，鼓勵(lì)學(xué)生要有采用“逆向思維”的勇氣與良好的意志，要諄諄告誡學(xué)生，當(dāng)一切“正向思維”已山窮水盡時(shí)，這表明犯了方向性的錯(cuò)誤，此路不通就要反其道而行之，這樣就可能會(huì)馬上奏效。

2、培養(yǎng)學(xué)生的“逆向思維”，要在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，從最簡(jiǎn)單、最基本以及日常生活中的實(shí)例開(kāi)始，要不失時(shí)機(jī)用互為逆運(yùn)算、逆變形來(lái)簡(jiǎn)化解題過(guò)程，訓(xùn)練逆向思維，使學(xué)生慢慢培養(yǎng)和具備逆轉(zhuǎn)心理的習(xí)慣，使學(xué)生能從多角度和全方位地研究數(shù)學(xué)問(wèn)題。下面就初中數(shù)學(xué)中比較常遇到的要用逆公式、逆法則、逆定理來(lái)解題作一個(gè)簡(jiǎn)要介紹。（1）逆用分式加減法則 例1 計(jì)算 分析：∵ 同理

解：原式＝

＝??＝ 例2 化簡(jiǎn) 解：∵

∴原式＝

＝ ＝

＝1（2）逆用同底數(shù)冪乘法法則[ am2an＝am + n，am÷an ＝ am2n(ab)m＝am bm，(am)n＝an m ] 例1 已知10m＝2，10n＝3。

求（1）103m－2n(2)102m＋n 的值 解：（1）103m－2n＝(10m)3÷(10n)2＝23÷32=(2)102m＋n＝(10m)2210n=2223＝12。例2 計(jì)算(0.125)20013[(－2)2001]3 解：原式＝(0.125)20013[(－2)3]2001 ＝[0.1253(－2)3]2001＝－1（3）逆用乘法公式[(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a±b)2=a2±2ab+b2] 例1 分解因式：a2n－b2n－2bn－1 解：原式＝(an)2－[(bn)2+2bn+1] ＝(an＋bn ＋1)(an－bn －1)例2 計(jì)算 解：原式＝

＝2(2 － 2)＝ 4 －8（4）逆用二次根式中的公式 ＝|a| 例：求的值。解：

（5）逆用一元二次方程根的判別式

例 已知a、b、c、d為非零實(shí)數(shù)且滿足(a2+b2)d2－2bd(a+c)+b2+c2=0 求證：b2＝ac 證明：∵a、b、c、d為實(shí)數(shù)且(a2+b2)d2－2bd(a+c)+b2+c2=0 ∴一元二次方程(a2+b2)x2－2b(a+c)x+b2+c2=0有一根為d（d為實(shí)數(shù)）∴△≥0即[2b(a+c)]2－4(a2+b2)(b2+c2)＝－4(b2－ac)2≥0，∴(b2－ac)2≤0

∴b2－ac＝0 ∴b2＝ac 故命題得證。（6）逆用韋達(dá)定理

例 已知實(shí)數(shù)a、b、c 滿足a＝6－b，c＝ab－9。求證：a＝b

3、注意訓(xùn)練學(xué)生“反向變題”能力

為了說(shuō)明問(wèn)題的方便，特引入“反向變題”這個(gè)概念。所謂“反向變題”就是把數(shù)學(xué)題中的“已知”和“求證”在一定條件下互相轉(zhuǎn)換，而形式有異于原題基本思想的新題型。例如“在RtABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，求證：AC ＝AD2AB。對(duì)于此題，我們可以把反過(guò)來(lái)，“在ABC中，CD⊥AB于D且AC ＝AD2AB”。求證∠ACB＝90°”。像這樣可以互相轉(zhuǎn)換的題目在初中數(shù)學(xué)課本中是可以找出不少。

綜上所述，逆向思維在解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題時(shí)，確是可以起到一種令人意想不到的效果，它可以改變?nèi)藗冊(cè)谔剿骱驼J(rèn)識(shí)事物的常規(guī)方法和思維的習(xí)慣，也可以培養(yǎng)和提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，因而可以比較容易引發(fā)超常的效應(yīng)，但是要掌握好它決非一日之功，這需在平時(shí)的教學(xué)中逐步滲透和培養(yǎng)。當(dāng)然我們?cè)谙驅(qū)W生滲透“逆向思維”時(shí)要反復(fù)強(qiáng)調(diào)運(yùn)用“逆向思維”來(lái)解決問(wèn)題應(yīng)視具體情況而定，只有在反復(fù)思考某個(gè)問(wèn)題，“正向思維”已“山窮水盡”時(shí)，才考慮運(yùn)用“逆向思維”來(lái)解決問(wèn)題。

第四篇：逆向思維在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

逆向思維在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

所謂數(shù)學(xué)思想，是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)。所謂數(shù)學(xué)方法，是指某一數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的途徑、程序、手段，它具有過(guò)程性、層次性和可操作性等特點(diǎn)。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實(shí)現(xiàn)的手段，因此，人們把它們稱為數(shù)學(xué)思想方法。

古往今來(lái)，數(shù)學(xué)思想方法不計(jì)其數(shù)，每一種數(shù)學(xué)思想方法都閃爍著人類智慧的火花。一則由于小學(xué)生的年 齡特點(diǎn)決定有些數(shù)學(xué)思想方法他們不易接受，二則要想把那么多的數(shù)學(xué)思想方法滲透給小學(xué)生也是不大現(xiàn)實(shí)的。因此，我們應(yīng)該有選擇地滲透一些數(shù)學(xué)思想方法?，F(xiàn)在我重點(diǎn)論述的是逆向思維在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

什么是逆向思維? 逆向思維也叫求異思維，是指由果索因，知本求源，從原問(wèn)題的相反方向著手的一種思維方式。也就是我們通常所說(shuō)的“反過(guò)來(lái)想一想”。逆向思維新穎獨(dú)特，與其他思維方式相輔相成，是創(chuàng)新思維不可或缺的組成部分。逆向思維，在“逆”字上做文章，摒棄常規(guī)的順向思路，從對(duì)立的方向?qū)で蠼鉀Q問(wèn)題的策略，是創(chuàng)新思維訓(xùn)練的一大好方法，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)目標(biāo)。

小學(xué)階段，學(xué)生的思維已具有了可逆性，重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練，有利于加速學(xué)生思維能力的提高，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高，有利于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。教學(xué)中，可以從以下幾方面進(jìn)行訓(xùn)練：

1、逆用概念法則，培養(yǎng)逆向思維的意識(shí)；

2、注重公式的逆運(yùn)用，激發(fā)逆向思維的興趣；

3、重視非常規(guī)的解題方法，努力追求思維的獨(dú)創(chuàng)性；

4、注意數(shù)學(xué)問(wèn)題的逆向轉(zhuǎn)換，提高逆向思維的自覺(jué)性。

一、從一道應(yīng)用題的解答說(shuō)起數(shù)學(xué)課上，老師出了這樣一題：“5箱一樣重的巧克力，如果從每個(gè)箱子里取出12千克，那么，5只箱子里剩下的巧克力的質(zhì)量等于原來(lái)2只箱子里巧克力的質(zhì)量。原來(lái)每個(gè)箱子有巧克力多少千克？” 思路一：分析發(fā)現(xiàn)，用 算術(shù)方法很難解決。不妨設(shè)每箱巧克力重X千克，根據(jù)“5只箱子里剩下的巧克力的質(zhì)量等于原來(lái)2只箱子里巧克力的質(zhì)量”，列式為：2X=5X―12 × 5，解得X=20 思路二：本例中，因?yàn)槭Ｏ碌那煽肆Φ那Э藬?shù)不好直接求出，不妨先求出“取出巧克力的千克數(shù)”。列式為：12×5=60（千克）；又因?yàn)椤笆Ｏ碌那煽肆Φ馁|(zhì)量等于原來(lái)2箱的質(zhì)量”，反過(guò)來(lái)，取出的巧克力的千克數(shù)就是（5-2）箱的質(zhì)量，那么，每箱巧克力的質(zhì)量為：（12×5）÷（5-2）=20（千克）

比較以上兩種思路可知：我們?cè)诮鉀Q同一個(gè)問(wèn)題時(shí)，可以按人們認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程來(lái)考慮，即從條件到結(jié)論，從現(xiàn)象到本質(zhì)；也可以從結(jié)論出發(fā)，追溯使結(jié)論成立的充分條件，按事物變化的反方向進(jìn)行思考。思路二就是人們常說(shuō)的逆向思維。在小學(xué)階段，由于小學(xué)生的思維水平和語(yǔ)言文字的理解能力相對(duì)較低，習(xí)慣于順向思考問(wèn)題，對(duì)于一些需要逆向思考的問(wèn)題很難理解。

例如：池塘水面上生長(zhǎng)著一些浮萍，它們所占水面每天增加1倍，經(jīng)過(guò)100天，整個(gè)池塘的水面長(zhǎng)滿浮萍。經(jīng)過(guò)多少天池塘中的浮萍的面積為水面面積的一半？一些學(xué)生憑直覺(jué)得到答案為99天，但很少有人 能說(shuō)清理由。此題如果運(yùn)用逆向思維，則可迎刃而解。

二、逆向思維及其作用逆向思維是思維向直接相反方向重建的過(guò)程。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的許多概念、性質(zhì)、運(yùn)算、思路、方法等都具有可逆性。如加法和減法、乘法和除法、擴(kuò)大和縮小、計(jì)量單位間的聚化、正反比例，要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的這種可逆性，就必須具有相應(yīng)的心理過(guò)程，即逆向思維的過(guò)程。有研究表明，小學(xué)階段，學(xué)生的思維已具有了可逆性，逆向思維的形成，說(shuō)明學(xué)生思維的活動(dòng)已達(dá)到抽象推理的水平。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練，有利于加速學(xué)生思維能力的提高，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高，有利于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

三、如何培養(yǎng)學(xué)生良好的逆向思維品質(zhì)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練可以從以下幾方面著手：

1、逆用概念法則，培養(yǎng)逆向思維的意識(shí)概念法則的教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要環(huán) 節(jié)，對(duì)數(shù)學(xué)概念的正確理解，對(duì)運(yùn)算法則的熟練應(yīng)用，僅靠正向思維是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中可以通過(guò)逆向思維方面的訓(xùn)練來(lái)加深理解基礎(chǔ)知識(shí)。數(shù)學(xué)中的許多概念法則來(lái)源于問(wèn)題或問(wèn)題本身存在著的互逆關(guān)系，這些都是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的極好素材。例如：在學(xué)習(xí)“倍的認(rèn)識(shí)”之后，（1）、3的4倍是（），2的6倍是（）；（正向思維）一個(gè)數(shù)的3倍是12，這個(gè)數(shù)是（）；（逆向思維）12是（）的（）倍；（逆向思維）

2、注重公式的逆運(yùn)用，激發(fā)逆向思維的興趣在數(shù)學(xué)上不少公式是由已知知識(shí)逆向思維，通過(guò)猜測(cè)并驗(yàn)證而得到的，解題中，一些所謂技巧和靈活性也是由此而來(lái)的。而學(xué)生往往只習(xí)慣于從左往右地運(yùn)用公式，缺乏逆向思維的自覺(jué)性和基本功。顯然，這對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高是相當(dāng)不利的。在教學(xué)中注重對(duì)公式的逆運(yùn)用，往往能達(dá)到出奇制勝的效果。

3、重視非常規(guī)的解題方法，努力追求思維的獨(dú)創(chuàng)性對(duì)于一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，在運(yùn)用正向思維去解答時(shí)，教師也可以注意啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用逆向思維去求解，由此尋找解決問(wèn)題的方法，這將產(chǎn)生意想不到的效果。正難則反，往往取得成功。如解答分?jǐn)?shù)計(jì)算題：1/6+1/12+1/20+1/30+1/42 分析：此題若按常規(guī)解法，即先通分再計(jì)算，顯然很繁瑣，學(xué)生往往感到困難，教師若引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想，則可給學(xué)生提供一種新的解題思路。即：1/6=1/2―1/3，1/12=1/3―1/4，1/20=1/4―1/5，1/30=1/5―1/6，1/42=1/6―1/7，由此將此題化為不通分而簡(jiǎn)算之： 1/6+1/12+1/20+1/30+1/42 =（1/2―1/3）+（1/3―1/4）+（1/4―1/5）+（1/5―1/6）+（1/6―1/7）=1/2―1/7 =5/14 教學(xué)中，應(yīng)注意經(jīng)常擺脫習(xí)慣的、傳統(tǒng)的、常規(guī)的、群眾的思維束縛，以便形成標(biāo)新立異的構(gòu)思，提高學(xué)生逆向思維的獨(dú)創(chuàng)性。

4、注意數(shù)學(xué)問(wèn)題的逆向轉(zhuǎn)換，提高逆向思維的自覺(jué)性。在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中，任何一個(gè)正向問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)換為逆向問(wèn)題，給出的條件越多，轉(zhuǎn)換成逆向思維的數(shù)量則越多。在學(xué)生正向理解某種數(shù)量關(guān)系后，可指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題的逆向轉(zhuǎn)換，對(duì)原題實(shí)行倒向改編。如：鐵路工人鋪鐵路，平均每天鋪了6天，還有320米沒(méi)有鋪。這段鐵路長(zhǎng)多少米？分析發(fā)現(xiàn)，此題的數(shù)量關(guān)系十分簡(jiǎn)單，即：每天鋪的米數(shù)×天數(shù)+沒(méi)鋪的米數(shù)=鐵軌的長(zhǎng)度，據(jù)此列式為：50×6+320=620（米）。教學(xué)中僅僅滿足于解答完就算，顯然過(guò)于淺顯，可將正向問(wèn)題轉(zhuǎn)換為逆向問(wèn)題，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)由順而倒的思維轉(zhuǎn)換，可把問(wèn)題作為條件，把三個(gè)條件 分別作為問(wèn)題，這樣一題就變?yōu)槿滥嫦蝾}：

1、鐵路工人鋪一段長(zhǎng)620米的鐵軌，平均每天鋪50米，鋪了6天，還有多少米沒(méi)有鋪？

2、鐵路工人鋪一段長(zhǎng)620米的鐵軌，鋪了6天，還有320米沒(méi)有鋪，平均每天鋪多少米？

3、鐵路工人鋪一段長(zhǎng)620米的鐵軌，平均每天鋪50米，還有320米沒(méi)有鋪，鋪了多少天？改編的三道題的數(shù)量關(guān)系表征與原題是一樣的，但在具體解答過(guò)程中，需要作逆向思考，難度則更大一些。而學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)最多的往往是一些逆向問(wèn)題。因此，在平時(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)適時(shí)組織學(xué)生進(jìn)行先順后逆的思維訓(xùn)練，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的自覺(jué)性是大有裨益的。總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力是一項(xiàng)長(zhǎng)期而艱巨的工作，教師要有意識(shí)有步驟地培養(yǎng)和訓(xùn)練。相信只要學(xué)生掌握了這種思維方式，他們考慮問(wèn)題時(shí)的思路會(huì)更開(kāi)闊，思維會(huì)更活躍。

教學(xué)實(shí)踐告訴我們，數(shù)學(xué)思維的發(fā)展是整體進(jìn)行的，而逆向思維總是與順向思維交織在一起。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中進(jìn)行思維訓(xùn)練時(shí)，也要注意逆向思維的培養(yǎng)，把培養(yǎng)學(xué)生逆向思維作為素質(zhì)教育的重要方面。緊扣在教學(xué)教材中存在著大量的順逆運(yùn)算、順逆公式、順逆關(guān)系，注意對(duì)學(xué)生進(jìn)行順向思維的訓(xùn)練的同時(shí)，也要重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的培養(yǎng)，“思維能力的發(fā)展是學(xué)生智力發(fā)展的核心，也是智力發(fā)展的重要標(biāo)志”。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要充分挖掘教材中的互逆因素，有機(jī)地訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

主要參考書(shū)目

1)周述岐

數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)哲學(xué)

北京：中國(guó)人名大學(xué)出版社

1993 2)席振偉

數(shù)學(xué)的思維方式

南京：江蘇教育出版社

1995 3)黃翔

數(shù)學(xué)方法論選講

重慶：重慶大學(xué)出版社

1995

第五篇：逆向思維在數(shù)學(xué)分析中的作用

摘 要

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)殿堂的基石性學(xué)科,其內(nèi)容的廣泛性與深刻性包含著形式多樣的數(shù)學(xué)思想與方法,而逆向思維在解決數(shù)學(xué)分析問(wèn)題時(shí)別開(kāi)生面.因此,本文就逆向思維在數(shù)學(xué)分析中作用進(jìn)行初探.本論文中,首先闡述逆向思維的內(nèi)涵及其特征;其次將以數(shù)學(xué)分析為載體,選取逆向思維作為研究切入點(diǎn),主要以舉例子的形式敘述了逆向思維在數(shù)學(xué)分析中的具體作用.無(wú)論其深化定義、定理的理解,高效的強(qiáng)化解題,批判性命題驗(yàn)證,還是創(chuàng)新性數(shù)學(xué)品質(zhì),無(wú)不滲透出筆者最后總結(jié)性論述,即逆向思維在數(shù)學(xué)分析中具有舉足輕重的地位.二十一世紀(jì)的信息時(shí)代日新月異.數(shù)學(xué)思維無(wú)處不在,無(wú)時(shí)不有,而逆向思維就是在對(duì)數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的思想研究的基礎(chǔ)上,提高數(shù)學(xué)新意,感受理性美譽(yù),體會(huì)數(shù)學(xué)文化品位,這已成為國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)發(fā)展的重要趨勢(shì).關(guān)鍵詞:逆向思維,作用,數(shù)學(xué)分析,重要性

The function of reverse thought in mathematical

analysis

Abstract:Mathematical analysis is the cornerstone of the temple mathematical discipline,breadth and depth of its content contains a variety of mathematical ideas and methods,and the spectacular reverse thinking in solving mathematical analysis of the problem.Therefore,this paper analyzes the role of reverse thought in mathematics carried study.In this thesis,first expounded the connotation and characteristics of reverse thought ,mathematical analysis will be followed by the carrier,select reverse thinking as a research starting point,mainly in the examples given in the form of reverse thought described in mathematical analysis of the specific role.Whether its deepening definitions,theorems understanding and efficient strengthen problem-solving,critical proposition verification,or innovative mathematical quality permeates the author concludes discourse, reverse thought plays a decisive role in the mathematical analysis.Information era of the 21st century rapidly.Mathematical thinking is everywhere and at all times there , but the reverse thought is based on the study of mathematics literacy ideas on improving mathematical ideas, feelings rational reputation,experience culture grade math,which has become an important trend in the development of mathematics at home and abroad.Keywords: reverse thought, function, mathematical analysis,important.目 錄

一、引言.......................................................3

二、逆向思維內(nèi)涵及特征.........................................1

（一）逆向思維的內(nèi)涵.......................................1

（二）逆向思維的特征.......................................1

三、逆向思維在數(shù)學(xué)分析中的重要性...............................2

四、逆向思維在數(shù)學(xué)分析中四種作用...............................3

（一）深化定義、定理理解...................................3

（二）高效強(qiáng)化解題.........................................6

（三）批判性命題驗(yàn)證......................................11

（四）創(chuàng)新性數(shù)學(xué)品質(zhì)......................................15

五、結(jié)束語(yǔ)....................................................15

六、參考文獻(xiàn)..................................................17

一、引言

司馬光“砸缸救小孩”是一個(gè)古老而又優(yōu)美的傳說(shuō),機(jī)智的將常規(guī)的

“救人離水”轉(zhuǎn)變成“讓水離人”.他揭示了一個(gè)真理:逆向思維有時(shí)比正向思維更能高效解決實(shí)際問(wèn)題,數(shù)學(xué)思維方法亦同.由于許多數(shù)學(xué)定義,數(shù)學(xué)公式,數(shù)學(xué)定理,數(shù)學(xué)運(yùn)算以及解題過(guò)程均有可逆性,其作為可逆性理論為逆向思維提供理論依據(jù).它不拘泥常規(guī)、常法、善于開(kāi)拓、變異,極有利于打破舊框框的束縛,解放人們的思想,培養(yǎng)思維的靈活性,使主觀能動(dòng)性得以充分發(fā)揮,改變注入式數(shù)學(xué)思維應(yīng)變能力不足的缺陷,產(chǎn)生認(rèn)識(shí)上的新飛躍.這樣,就能使學(xué)生在親身的探索中,掌握數(shù)學(xué)分析知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,透徹地理解教材,鞏固所學(xué)知識(shí),并能培養(yǎng)學(xué)生探索能力,打破思維定勢(shì),激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,開(kāi)闊知識(shí)視野.二、逆向思維內(nèi)涵及特征

（一）逆向思維的內(nèi)涵

逆向思維又稱反向思維,通俗地講,就是在解決問(wèn)題時(shí),“一計(jì)不成，又生一計(jì)”,若把A?B的連續(xù)思維看作正向聯(lián)結(jié),并稱這個(gè)心理過(guò)程為正向思維,那么就把相反的連續(xù)B?A看作為逆向聯(lián)結(jié),并稱這一心理過(guò)程為逆向思維.逆向思考是思維向相反方向重建的過(guò)程.它是人們?cè)谘芯窟^(guò)程中有意識(shí)地去做與習(xí)慣性思維方向完全相反的探索,就是站在對(duì)立角度上考慮、解剖問(wèn)題,得到與公理、定理相悖的結(jié)論,或得到與條件相矛盾的結(jié)果,從反面達(dá)到解決問(wèn)題的目的.思維的可逆性,使人們?cè)谡J(rèn)識(shí)客觀事物時(shí),不僅可以順向思考,而且可以逆向思考;不僅可以從正面看,而且可以從反面看;不僅可以從因到果,而且還能執(zhí)果索因,正是這種逆向功能決定了逆向思維在創(chuàng)造活動(dòng)中具有獨(dú)特的作用.（二）逆向思維的特征

愛(ài)因斯坦在論述自己科學(xué)活動(dòng)時(shí),曾多次提到“采取相反路線”,“反過(guò)來(lái)加以考慮”,即逆向思維,其具有以下本質(zhì)特征: 普遍性:逆向思維在各種領(lǐng)域中都有其獨(dú)到的適用性,由于對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律是普遍適用的,而對(duì)立統(tǒng)一的形式又是多種多樣,有一種對(duì)立統(tǒng)一形式就有一種逆向思維的角度.懷疑性:逆向思維在某種程度上是以懷疑為手段,以掃除傳統(tǒng)偏見(jiàn)和謬誤,追求真理,發(fā)展科學(xué)為目的.批判性:逆向思維是與正向思維相比較而言的,正向思維是指常規(guī)的、常識(shí)的、公認(rèn)的或習(xí)慣的想法與做法.逆向思維則恰恰相反,是對(duì)傳統(tǒng)、慣例、常識(shí)的反叛,是對(duì)常規(guī)的挑戰(zhàn),它能夠克服思維定勢(shì),破除由經(jīng)驗(yàn)和習(xí)慣造成的僵化的認(rèn)識(shí)模式,要求多方位探究,有批判的吸收、有批判的選擇、有批判的理解.新穎性:循規(guī)蹈矩的思維和按傳統(tǒng)方式解決問(wèn)題雖然簡(jiǎn)單,但容易使思路僵化、刻板、擺脫不掉習(xí)慣的束縛,得到的往往是一些司空見(jiàn)慣的答案,其實(shí),任何事物都具有多方面屬性,由于受過(guò)去經(jīng)驗(yàn)的影響,人們?nèi)菀卓吹绞煜さ囊幻?而對(duì)另一面卻視而不見(jiàn),逆向思維克服這一障礙,能夠隨機(jī)應(yīng)變,觸類旁通,不受某種固定的思維模式的局限,往往是出人意料,給人耳目一新的感覺(jué).創(chuàng)新性:逆向思維所追求的是創(chuàng)新和獨(dú)到,它不滿足于一般思維所研究的已知領(lǐng)域,主要注重于探求人類未知天地.將以前所未有的新角度、新觀點(diǎn)去觀察分析問(wèn)題,思維方法創(chuàng)新獨(dú)特,能夠提出超常的想象.想別人所未想、求別人所未求、做別人所未做的事情.深刻性:它表現(xiàn)為深入思考問(wèn)題,細(xì)致分析問(wèn)題,不放過(guò)任何蛛絲馬跡來(lái)鉆研探索復(fù)雜問(wèn)題背后的本質(zhì)屬性.此外,還有獨(dú)特性、靈活性和探究性.[1]

三、逆向思維在數(shù)學(xué)分析中的重要性

逆向思維重要性之一:常規(guī)思維難以解決的問(wèn)題,通過(guò)逆向思維卻可能輕松破解.逆向思維重要性之二:逆向思維會(huì)使你獨(dú)辟蹊徑,在別人沒(méi)有注意到的地方有所發(fā)現(xiàn),有所建樹(shù),從而制勝于出人意料.逆向思維重要性之三:逆向思維會(huì)在多種解決問(wèn)題的方法中獲得最佳方法和途徑.逆向思維重要性之四:自覺(jué)運(yùn)用逆向思維,會(huì)將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,從而使效率和效果成倍提高.逆向思維重要性之五:逆向思維可運(yùn)用在各個(gè)領(lǐng)域.逆向思維最可寶貴的價(jià)值,是它對(duì)人們認(rèn)識(shí)的挑戰(zhàn),是對(duì)事物認(rèn)識(shí)的不斷深化,幫助我們克服正向思維中出現(xiàn)的困難,尋求新的思路,新的方法深化知識(shí),開(kāi)拓新的知識(shí)領(lǐng)域,在探索中敢于離徑叛道,大膽立異,并由此而產(chǎn)

生“原子彈爆炸”般的威力.再遇到新問(wèn)題時(shí)就不會(huì)只走“華山一條路”了,而是“水路不通走旱路,條條大道通羅馬”,它是開(kāi)拓型人才必備的思維品質(zhì).四、逆向思維在數(shù)學(xué)分析中四種作用

（一）深化定義、定理理解

數(shù)學(xué)分析這門課程研究的對(duì)象是函數(shù),所用的研究方法是極限方法,這種抽象又嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚擉w系要求必須深度掌握數(shù)列極限的定義,為數(shù)學(xué)分析的繼續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).1.定義 設(shè)有數(shù)列?an?,a是有限常數(shù),若對(duì)任意??0,總存在正整數(shù)N,對(duì)任意正整數(shù)n?N,有 an?a??, 則稱數(shù)列?an?的極限是a(或a是數(shù)列?an?的極限)或數(shù)列?an?收斂于a(?an?是收斂數(shù)列),表為

liman?a或an?a(n??).n??數(shù)列?an?的極限是a,用邏輯符號(hào)可簡(jiǎn)要表為: liman?a????0,?N?N?,?n?N,有an?a??[2]

n??思考 ①如何理解N不唯一? ②若???0,?N?0,當(dāng)n?N時(shí),?an?中有無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)滿足an?a??,是否liman?a? n???1?(?1)n? 首先,舉反例??說(shuō)明并計(jì)算N不是唯一的.?n?1?(?1)n?雖然數(shù)列an?1?(?1)n滿足對(duì)???0,?N?

2其次,分析數(shù)列?當(dāng)n?2k?N時(shí)(k為自然數(shù)),雖然?an?中有無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)滿足a2k?0??,但liman不存在.n??

這樣,即可對(duì)數(shù)列極限的??N語(yǔ)言有了本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和更精確的理解.[3]

函數(shù)極限與數(shù)列極限定義的不同,形式上的無(wú)關(guān)聯(lián)性造成不可相互轉(zhuǎn)化的假象,海涅定理恰恰證明了其本質(zhì)的相通性,構(gòu)建起函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的橋梁,所以理解海涅定理的證明極其重要.而其充分性的證明則采取反證法(從命題的反面入手，通過(guò)合理論證找出矛盾,從而確認(rèn)命題的真實(shí)性的一種間接證法,其基本依據(jù)是邏輯學(xué)中的矛盾與排中律,推知假設(shè)錯(cuò)誤,故結(jié)論成立.其思維特點(diǎn)是逆向思維)推得.2.海涅定理 limf(x)?b?對(duì)于任意數(shù)列?an?,an?a且liman?a

x?a n??有l(wèi)imf(an)?bn??

分析 必要性,應(yīng)用函數(shù)極限定義和數(shù)列極限定義可得極限limf(an)?bn??

充分性,因?yàn)樵谝阎獥l件中,這樣的數(shù)列?an?是任意的,當(dāng)然是無(wú)限多的,所以從已知條件出發(fā)直接證明有l(wèi)imf(x)?b是困難,運(yùn)用反證法.x?a證明 必要性 已知limf(x)?b,即???0,???0,?x:0?x?a??x?a

有 f(x)?b??

n??對(duì)于任意數(shù)列?an?,an?a且liman?a,根據(jù)數(shù)列極限定義,對(duì)上述

??0,?N?N?,?n?N,有0?an?a?? 從而,?n?N,有f(an)?b??,即limf(an)?b

n?? 充分性 應(yīng)用反證法.假設(shè)limf(x)?b,根據(jù)函數(shù)極限的否定敘述

x?a ??0?0,???0,?x:0?x?a??

有 取 ??1,?a1:0?a1?a?1,有f(a1)?b??0，11,?a2:0?a2?a?,有f(a2)?b??0, 22

..............??

11,?an:0?an?a?,有f(an)?b??0，nn

..............??于是，構(gòu)造出一個(gè)數(shù)列?an?,an?a,因?yàn)?n? 所以liman?an??

1?0(n??)n顯然，limf(an)?b,與已知矛盾.n??

著名的Lagrange中值定理的論證,其輔助函數(shù)的構(gòu)造,即用分析法(從結(jié)論著手進(jìn)行推證,推得符合條件或易證命題,推證的每一步均可逆,是原命題得證的一種逆向思維解題法)推得.3.Lagrange中值定理

若函數(shù)f(x)滿足下列條件:（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b)可導(dǎo).則在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使 f?(c)?f(b)?f(a).b?a分析 觀察發(fā)現(xiàn),Lagrange中值定理中的兩個(gè)條件與Rolle定理中的前兩個(gè)條件相同,當(dāng)f(a)?f(b)時(shí),Lagrange中值定理就是我們所學(xué)過(guò)的Rolle定理.也就是說(shuō),Rolle定理是Lagrange中值定理的特例,基于這種關(guān)系,自然會(huì)想到是否能夠引用Rolle定理去證明Lagrange中值定理的結(jié)論,如何利用Rolle定理,如何構(gòu)造滿足Rolle定理的輔助函數(shù)?觀察圖像

由拉格朗日中值定理結(jié)論f?(c)?斜率,故可設(shè)k?

f(b)?f(a),其右端是一個(gè)常數(shù),即點(diǎn)c的b?af(b)?f(a),則有f(b)?f(a)?k(b?a),即

b?af(b)?kb?f(a)?ka,仔細(xì)觀察上式的特點(diǎn),不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)能使F(a)?F(b)的新函數(shù):F(x)?f(x)?kx.故,F(x)就是證明中所需要的輔助函數(shù).證明 令F(x)?f(x)?kx,其中 k?f(b)?f(a),由題設(shè)可知,F(x)在b?a

[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且F(a)?F(b),即F(x)滿足羅爾定理的全部條件,故在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使得F?(c)?0, 即f?(c)?f(b)?f(a),證畢.b?a

（二）高效強(qiáng)化解題

許多關(guān)于數(shù)學(xué)分析的計(jì)算、證明題,難以解決的是如何去觀察和分析問(wèn)題的條件與結(jié)論,如何尋找條件與結(jié)論之間的聯(lián)系,如何證明才是正確的,而又怎么進(jìn)行證明過(guò)程的論述,更為甚者不知如何才算證明完畢?此時(shí),逆向思維就是解決數(shù)學(xué)分析問(wèn)題一種行之有效的方法.?2?3?4例

一、證明:數(shù)列極限lim?n???3?nnn????4 ?1n分析 若直接證明此數(shù)列極限為4,沒(méi)有公式可以套用,此時(shí)可以考慮判斷極限存在性的兩個(gè)重要準(zhǔn)則:兩邊夾定理和單調(diào)有界準(zhǔn)則.這樣我們把要證明的極限與存在準(zhǔn)則有機(jī)地聯(lián)系在一起,設(shè)所求數(shù)列為xn,目的是證明

xn?4(n??),那么,根據(jù)兩邊夾定理,需構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列yn和zn,使yn?xn?zn,且共同極限為4,這樣就轉(zhuǎn)化為如何構(gòu)造這兩個(gè)數(shù)列yn、zn的問(wèn)題.?4??4?4?4??z?證明 設(shè) yn??,n?3??3???n???n???n1nnnn???, ?1n顯然yn?xn?zn,且limyn?limzn?4,有4?xn?4

?2?3?4 所以,lim?n???3?例

二、計(jì)算 ①limnnnn????4 ?1nn??(n?1)(n?2)?(n?n)

n ②limn??n(a?1)an分析 兩題看似復(fù)雜,實(shí)則巧妙.①可轉(zhuǎn)化為定積分定義形式,這類題目的特點(diǎn)是:先把極限轉(zhuǎn)化為某一函數(shù)在區(qū)間?0,1?上的定積分,再把區(qū)間?0,1?進(jìn)行等分,從而把求極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)特定結(jié)構(gòu)的和式極限.②可利用級(jí)數(shù)

收斂的必要條件(若級(jí)數(shù)?un收斂,則limun?0)來(lái)解決問(wèn)題,二者均為逆

n?1?n??向思維實(shí)例.解 ①limnn??(n?1)(n?2)?(n?n)12n?limn(1?)(1?)?(1?)n??nnnnn1n?k? ?lim??1??

n??k?1?n?1kln(1?)nk?1n ?limen???n

?e?01ln(1?x)dx?e2ln2?1

1?nnn1?1 則級(jí)數(shù)?n是收斂的②由lim(n)?n??an?1aa 根據(jù)收斂函數(shù)的必要條件, 則limn??n?0 na例

三、設(shè)a1?c?0,an?1?an?c,證明:liman存在并求其值.[4]

n??分析 用數(shù)學(xué)歸納法容易證明數(shù)列?an?是單調(diào)遞增的,為找到?an?的上界,采用逆向推理方法,先設(shè)liman?a,代入遞推關(guān)系式an?1?an?c,得

n??a2?a?c,由于liman非負(fù),因此a?n??1?1?4c,從而對(duì)任何自然數(shù)n, 2必有an?1?1?4c?c?1,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明這一等式成立.2證明 用歸納法證明數(shù)列?an?嚴(yán)格增加有上界,顯然 當(dāng)n?1時(shí),有a1?a2,設(shè)n?k時(shí),有ak?ak?1,則ak?c?ak?1?c, 即ak?c?ak?1?c,有ak?1?ak?2,即數(shù)列嚴(yán)格增加.顯然,當(dāng)n?1時(shí),有a1?c?c?1,設(shè)n?k時(shí)，ak?c?1，則ak?1?c?ak?c?c?1?c?2c?1?c?1,即數(shù)列?an?有上界(上界是c?1),根據(jù)公理,數(shù)列?an?收斂.2設(shè)liman?a,已知an?1?c?an,有l(wèi)iman?1?c?liman,即a2?c?a.n??n??n??2解得a?(1?1?4c).由極限保號(hào)性，a不能是負(fù)數(shù)，2(1?1?4c)2則數(shù)列?an?的極限是a?例

四、設(shè)函數(shù)f(x)在[0,??)內(nèi)二階可導(dǎo),且f??(x)?0,f(0)?0,證 明:x1?0,x2?0,有f?x1?x2??f(x1)?f(x2).分析 這是一道未知函數(shù)表達(dá)式,且僅給出函數(shù)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的證明題.首先,明確利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明函數(shù)不等式是一種基本方法,而證明函數(shù)的單調(diào)性又需要構(gòu)造輔助函數(shù),求導(dǎo)判斷其增減性.其次,如何構(gòu)造輔助函數(shù)？

欲證不等式f?x1?x2??f(x1)?f(x2),如題中所給出的兩個(gè)具有任意性的x1和x2,將其中一個(gè)暫時(shí)固定,另一個(gè)自由變化,如:暫時(shí)固定x2,將x1改為x,令F(x)?f(x?x2)?f(x)?f(x2)作為輔助函數(shù),求導(dǎo)得

F?(x)?f?(x?x2)?f?(x),由此很難判斷該表達(dá)式是大于0還是小于0.觀察表達(dá)式f?(x?x2)?f?(x)，表示函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)在x與x?x2兩點(diǎn)處的函數(shù)值之差，聯(lián)系Lagrange中值定理，有f(b)?f(a)?f?(c)(b?a)，其中c?(a,b),于是,有f?(x?x2)?f?(x)?f?(c)??x?x2??x?.此時(shí),方可判斷F(x)的增減性.證明 令F(x)?f(x?x2)?f(x)?f(x2),其中x,x2?0, 求導(dǎo)得F?(x)?f?(x?x2)?f?(x)又函數(shù)f(x)在[0,??)內(nèi)二階可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù) F?(x)?f?(x?x2)?f?(x)在?x,x?x2?上連續(xù),在(x,x?x2)內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)Lagrange中值定理,至少存在一點(diǎn)c?(x,x?x2),使得

F?(x)?f?(x?x2)?f?(x)?f??(c)??x?x2??x??f??(c)x2?0

F(x)在?x,x?x2?上單調(diào)遞減,從而有F(x)?F(0)即,f(x?x2)?f(x)?f(0?x2)?f(0)?f(x2).由x的任意性,可將x換成x1,既得f?x1?x2??f(x1)?f(x2),其中

x1?0,x2?0.分析 以下兩道典型題若應(yīng)用綜合證法直接從已知條件去證明將會(huì)很難入手,此時(shí)考慮反證法,證明兩題將會(huì)很顯然.例

五、設(shè)f(x)在?a,b?上連續(xù),且f(x)?0,證明:若?f(x)dx?0,則f(x)在ab?a,b?上恒等于零.證明 反證法 假設(shè)f(x)在?a,b?上不恒等于零,則必?x0??a,b?, 使f(x0)?0不妨設(shè)f(x0)?0,又f(x)在x0連續(xù),由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性知,???0,當(dāng)x??x0??,x0?????a,b?時(shí),有f(x)?0.設(shè)f(x)在?x0??,x0???上的最小值為m,則m?0.由定積分的可加性及f(x)?0,有?f(x)dx??abx0??af(x)dx??x0??x0??x0??f(x)dx??bx0??f(x)dx

?b?x0??x0??f(x)dx??x0??mdx?2?m?0

這與已知條件?f(x)dx?0矛盾,所以f(x)在?a,b?上恒等于零.a例

六、設(shè)f(x)在?0,??上連續(xù),并且?f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0,試證明:

00在(0,?)內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.證明 假設(shè)f(x)在(0,?)內(nèi)無(wú)零點(diǎn),則由介值定理知,f(x)在(0,?)內(nèi)不變號(hào),與?f(x)dx?0矛盾,故至少存在?1,使f(?1)?0;0又若f(x)在(0,?)內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)?1,則由介值定理及?f(x)dx?0知

0????f(x)在區(qū)間(0,?1)和(?1,?)內(nèi)必異號(hào),而cosx?cos?1在(0,?1)和(?1,?)內(nèi)也異號(hào),于是f(x)(cosx?cos?1)不變號(hào),從而?f(x)(cosx?cos?1)dx?0，0?矛盾.所以,在(0,?)內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.例

七、計(jì)算曲面積分

I???[Sxxxzxf()?x3]dydz?[f()?y3]dzdx?[?f()?z3]dxdy yyyyy其中S是球面x2?y2?z2?2Rz(方向?yàn)閮?nèi)側(cè)),f(u)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).分析 本題被積函數(shù)復(fù)雜,正向計(jì)算實(shí)屬曲面積分難題,但是可考慮嘗試增加一面,再減去此面,應(yīng)用奧—高公式(設(shè)V是R3中雙側(cè)閉曲面S所圍成的xy型(同時(shí)既是yz型,又是zx型)有界閉體.若三元函數(shù)P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z)及其偏導(dǎo)數(shù)在包含V的區(qū)域上連續(xù),則

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????(sV?P?Q?R??)dxdydz,其中曲面S的外側(cè) ?x?y?z為正).看似加減面將問(wèn)題復(fù)雜化,但是會(huì)使計(jì)算更為簡(jiǎn)便.解 V為S所圍成球體, 設(shè)p(x,y,z)?xxxzxf()?x3,q(x,y,z)?f()?y3,r(x,y,z)??f()?z3 yyyyy?p1xxx?f()?2f?()?3x2 ?xyyyy則p(x,y,z),q(x,y,z),r(x,y,z)及

?r1x?qxx??2f?()?3y2,??f()?3z2,在y?0連續(xù)，?zyy?yyy由奧——高公式,I??3???(x2?y2?z2)dxdydz,設(shè)

Vx?rsin?cos?,y?rsin?sin?,z?R?rcos?,(0???2?,0????,0?r?R)則?(x,y,z)?r2sin?, ?(r,?,?)I??3???(x2?y2?z2)dxdydzV??3?d??d??(r2?2Rrcos??R2)r2sin?dr

0002??RR5R3322??3(2??2??R?2??2?)???R5535

（三）批判性命題驗(yàn)證

心理學(xué)家蓋耶說(shuō)過(guò):“誰(shuí)不考慮嘗試錯(cuò)誤,不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤,就將錯(cuò)過(guò)富有成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻.” 持批判性的態(tài)度,應(yīng)用逆向思維真正理解命題的思想,消化命題,克服思維絕對(duì)化、表面化,徹底改變不求甚解的習(xí)慣.例

八、若數(shù)列?an?、數(shù)列?bn?都是收斂數(shù)列,且存在自然數(shù)N,當(dāng)n?N時(shí),有an?bn,則liman?limbn.n??n?? 若條件an?bn改為an?bn,其結(jié)論仍為liman?limbn

n??n??而不能斷言liman?limbn[5] n??n??分析 若正向分析,則會(huì)無(wú)從下手,而舉一反例來(lái)說(shuō)明該命題不成立將輕而111??1?易舉.如:??,但是lim????lim???0.?n??nn?n?n???n? 數(shù)學(xué)分析中,繼了解極限后,應(yīng)用極限方法研究,無(wú)論在理論上或是在應(yīng)用中都常見(jiàn)的連續(xù)函數(shù),進(jìn)而研究一致連續(xù),區(qū)分一致連續(xù)與連續(xù)的區(qū)別,真正地領(lǐng)會(huì)一致連續(xù)的本質(zhì)及其與連續(xù)的關(guān)系,對(duì)后面的學(xué)習(xí)中遇到一致收斂、一致有界等概念也有重要作用.一致連續(xù)是函數(shù)的整體性質(zhì),它反映了函數(shù)在區(qū)間上的更強(qiáng)的連續(xù)性,而連續(xù)是函數(shù)的局部性質(zhì),函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)則一定連續(xù),反之不一定.定理 f(x)在?a,b?內(nèi)或?a,b?上一致連續(xù)?f(x)在?a,b?內(nèi)或?a,b?上連續(xù).這個(gè)定理的逆命題是不成立的.分析 通過(guò)舉一反例f(x)?x2在?0,???上連續(xù),但非一致連續(xù).??取xn?n?1,xn?n,n?1,2,?,當(dāng)n??時(shí), ??xn?xn?n?1?n?0 但是f(xn?)?f(xn?)?1

于是,取定差?0?1,則無(wú)論?取得多么小,當(dāng)n足夠大時(shí), ??那些xn與xn的差小于?,但是函數(shù)數(shù)值之差不會(huì)小于?0, 因此得出f(x)?x2在?0,???上連續(xù),但非一致連續(xù).拓展:[6]

定理1 設(shè)f(x)在有限開(kāi)區(qū)間?a,b?上連續(xù),則f(x)在?a,b?上一致連續(xù)的充要條件是lim?f(x)與lim?f(x)存在并有限.x?ax?b注:①若f(x)在有限開(kāi)區(qū)間?a,b?上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),且limf?(x)與?x?ax?b?limf?(x)均存在且有限,可以推出limf(x)與limf(x)都存在并有限,因此??x?ax?bf(x)在?a,b?上一致連續(xù).②當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(??,??)上連續(xù),定理的必要性不再成立,如

f(x)?x在(??,??)上一致連續(xù),但在端點(diǎn)??無(wú)極限,對(duì)于無(wú)窮區(qū)間充分

性仍然是對(duì)的.定理2 設(shè)f(x)在區(qū)間[a,??)上連續(xù),則下列條件之一滿足時(shí)f(x)在[a,??)上一致連續(xù).(I)limf(x)?A(有限)x???(II)若存在[a,??)上一致連續(xù)函數(shù)?(x),使得lim?f(x)??(x)??0

x???(III)f(x)在區(qū)間[a,??)上可導(dǎo)，并且導(dǎo)函數(shù)有界(IV)f(x)在區(qū)間[a,??)上滿足Lipschitz條件(V)f(x)在區(qū)間[a,??)上單調(diào)有界.定理3 若f(x)是區(qū)間(??,??)上的連續(xù)函數(shù),若也是周期函數(shù),則必一致連續(xù).2例

九、證明:若?an收斂,則?an也收斂,反之是否成立? n?1n?1??2分析 欲證?an收斂,則?an也收斂,這只需要用到比較判別法即可證得??而欲證逆命題是否成立,則應(yīng)從兩方面考慮:一是證逆命題成立,一是證逆命題不成立,無(wú)論證哪方面,直接法都很難.于是,我們可以舉反例去否定,這樣會(huì)收到事半功倍之效.證明 已知?an收斂,則liman?0,即??0?1,?N?N?,?n?N,有

n?1?n?1n?1n??

an?1,從而有an?an,不妨設(shè)?n?N?,有an?an.22設(shè)級(jí)數(shù)?an與?an的部分和分別是An和Bn.已知?n?N?,有 2n?1n?1nn??An??ak??ak?Bn.2k?1k?1已知級(jí)數(shù)?an收斂,則limBn?B(常數(shù)).顯然數(shù)列?An?是單調(diào)增加有

n?1?n??2上界(B就是它的一個(gè)上界).于是,數(shù)列?An?收斂,即?an收斂.n?1??112反之不成立,例如:級(jí)數(shù)?()收斂,而級(jí)數(shù)?卻發(fā)散.n?1nn?1n?例

十、判斷: ①若f(x)在點(diǎn)x0連續(xù),則f(x)在x0連續(xù);②若f(x)在點(diǎn)x0連續(xù),則f(x)在x0可導(dǎo);③若f(x)在點(diǎn)x0可積,則f(x)在x0可積;④若多元函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,則函數(shù)在該點(diǎn)可微.?1,x?0解 ①可以舉出反例:設(shè)f(x)??,則f(x)在x0?0處連續(xù),而

??1,x?0 f(x)在x0?0處不連續(xù),所以錯(cuò).②可以舉出反例:函數(shù)f(x)?x在x?0處連續(xù),但是它在x?0不可導(dǎo)，1??xsin,x?0 同樣,函數(shù)f(x)??,在x?0連續(xù),但是 x??0,x?0 不可導(dǎo),所以錯(cuò).③可以舉出反例:Dirichlet函數(shù)

?1,當(dāng)x為有理數(shù) D(x)??,此函數(shù)的絕對(duì)值是可積的

?0,當(dāng)x為無(wú)理數(shù)

但是其本身并不可積,所以錯(cuò).?0,(x,y)?0? ④可以舉出反例:f(x,y)??x2y,在(0,0)點(diǎn)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)

?x2?y2,(x,y)?0? 存在,但是,在(0,0)點(diǎn)不可微,所以錯(cuò).?2z?2z 定理 如果函數(shù)z?f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)

?y?x?x?y域D內(nèi)連續(xù),那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.[7]

該定理是說(shuō),在連續(xù)的條件下二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)的次序無(wú)關(guān).更一般 地,在連續(xù)的條件下,多元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)的次序無(wú)關(guān).而如果一元函數(shù)在某點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù),則它在該點(diǎn)必定連續(xù),但對(duì)于多元函數(shù),即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在,也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)是連續(xù).這時(shí),自然會(huì)想到一個(gè)問(wèn)題:這個(gè)定理的逆命題是否成立?即是否有如下命題:

?2z?2z命題 如果函數(shù)z?f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)

?y?x?x?y存在且相等,那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù).分析 雖然易得一函數(shù),使其兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)存在相等,并且連續(xù)(如

z?exy),但是難得函數(shù)z?f(x,y),使其兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)存在相等,卻不連續(xù).此時(shí),可利用逆向思維的方式,先找到一個(gè)不連續(xù)的二元函數(shù)，如：?xy22?x2?y2,x?y?0g(x,y)??, ?0,x2?y2?0?這個(gè)分段函數(shù)在(0,0)點(diǎn)不連續(xù).可以把g(x,y)作為z?f(x,y)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)，在通過(guò)微分的逆運(yùn)算積分計(jì)算出z?f(x,y).再求z?f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),是將一個(gè)變量看成常量,對(duì)另一個(gè)變量求導(dǎo)數(shù),故我們可以通過(guò)先對(duì)x積分得 u(x,y)??g(x,y)dx?yln(x2?y2)?C1 2

再將x看成常量對(duì)y積分得

x2?y2(x2?y2)22 v(x,y)??u(x,y)dy?ln(x?y)??C1y?C2

44其中C1,C2為任意常數(shù).當(dāng)任意常數(shù)C1,C2取不同的值時(shí),就會(huì)得到不同的函數(shù),這樣的函數(shù)會(huì)有無(wú)窮多個(gè).考慮到求二階混合偏導(dǎo)時(shí),函數(shù)v(x,y)的后三項(xiàng)最終為0,所以不妨只取第一項(xiàng),并補(bǔ)充定義其在(0,0)點(diǎn)的值為0,即有

?(x2?y2)ln(x2?y2),x2?y2?0,? f(x,y)?? 4?0,x2?y2?0.?可以驗(yàn)證分段函數(shù)z?f(x,y)在(0,0)點(diǎn)不連續(xù),即命題不成立.所以,該定理為充分條件,而不是必要條件.（四）創(chuàng)新性數(shù)學(xué)品質(zhì)

19世紀(jì)中葉,數(shù)學(xué)界長(zhǎng)期認(rèn)為對(duì)于一個(gè)區(qū)間上的任意連續(xù)函數(shù),總認(rèn)為存在可微點(diǎn)的直覺(jué)想象,但是1860年數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯卻極為精巧地構(gòu)造了一可以被稱為“數(shù)學(xué)中的藝術(shù)品”的反例: f(x)??ancos(bn?x),其中0?a?1,ab?1??,b為奇數(shù).2n?0?這是一個(gè)在實(shí)數(shù)軸上點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)點(diǎn)不可微的函數(shù),從而嚴(yán)格弄清楚了函數(shù)的連續(xù)性與可微性之間的關(guān)系,推翻了流行很長(zhǎng)時(shí)間的謬誤,可見(jiàn)反例在數(shù)學(xué)發(fā)展史中的重要地位.[8]反例就是逆向思維的一種表現(xiàn)形式,也就是說(shuō),逆向思維在數(shù)學(xué)發(fā)展史的崇高地位,這種發(fā)散性思維是創(chuàng)造性人才必備的一種思維品質(zhì).五、結(jié)束語(yǔ)

從以上的例子我們看到,在數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中,將逆向思維解題方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍w類和分類.如考慮間接方法,考慮遞推,考慮研究逆否命題,逆向應(yīng)用公式,考慮問(wèn)題的不可能性,反證法,分析法,復(fù)雜化等,可以開(kāi)辟新的解題途徑,避開(kāi)繁雜的計(jì)算,使問(wèn)題簡(jiǎn)化而得以順利解決.這對(duì)優(yōu)化學(xué)生的思

維結(jié)構(gòu),培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力大有裨益.本文作者通過(guò)閱讀大量有關(guān)逆向思維在數(shù)學(xué)分析中的作用文獻(xiàn),根據(jù)自己的學(xué)習(xí)、研究、理解、體會(huì)、分析,深刻體會(huì)到逆向思維是21世紀(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)所提倡的思維模式.數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化,解題方法靈活多樣,雖然我們不可能歸納出題目的一切類型,更不可能找到解題的神方妙法,但是,人們?cè)陂L(zhǎng)期的解題實(shí)踐中,總結(jié)了豐富的經(jīng)驗(yàn),尋找了一些更為科學(xué)、更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}方法與技巧.逆向思維作為發(fā)散思維的一種,必將起到重要作用.我們應(yīng)當(dāng)自覺(jué)地運(yùn)用逆向思維方法,創(chuàng)造更多的奇跡.本文簡(jiǎn)要的敘述,望為讀者研究和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析中有關(guān)逆向思維問(wèn)題提供一定的幫助.六、參考文獻(xiàn)

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