第一篇：初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽之?dāng)?shù)的整除教案

二． 數(shù)的整除

設(shè)有兩個(gè)整數(shù)a,b(b?0)，如果存在另一整數(shù)q，使得a?qb，則稱(chēng)a能被b整除；或稱(chēng)b能整除a；

b

若b能被a整除，我們稱(chēng)a是b的倍數(shù)，b是a的約數(shù)，并記作b|a.若a不能被b整除，則記作a?我們?cè)鴮W(xué)過(guò)下述有關(guān)整除的判別法則：

（1）被2或被5整除的數(shù)的特征是：末位數(shù)字能被2或5整除（2）被4或25整除的數(shù)的特征是：最后兩位數(shù)字能被4或25整除（3）被8或125整除的數(shù)的 特征是：最后三位數(shù)字能被8或125整除（4）被3或9整除的數(shù)的特征是：各位上的數(shù)的和能被3或9整除

（5）被11整除的數(shù)的特征是：奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差能被11整除 1.判斷下列各數(shù)那些可以被4整除？那些可以被25整除？

457565

456575

184062

186240

333325436 2.789789、456456456456、67896789、***819能被11整除嗎？

在解題過(guò)程中我們常用到下述性質(zhì) 性質(zhì)1 若ab，bc，則ac.證明：a|b,b|c

?存在正整數(shù)p和q，使得b?pa，c?qb

代入可得c?q(pa)?(qp)a

?a|c

性質(zhì)2 若證明：a|b,a|c，則a|(b?c)

a|b,a|c

? 存在正整數(shù)p和q，使得b?pa，c?qa ? b?c?pa?qa?(p?q)a

? a|(b?c)

同理我們可以得到：若a|b,a|c，則a|(k1b?k2c)，其中k1,k2為整數(shù) 性質(zhì)3 若a,b互質(zhì)，且abc，則a|c 性質(zhì)4 若a,b互質(zhì)，且 a|c,b|c，則ab|c 例1.已知九位數(shù)32a35717b能被72整除，求a,b

提示：能被72整除則一定既能被8整除又能被9整除

練習(xí)1： 已知七位數(shù)13xy45z能被792整除，求x,y,z

例2.|9x?5y）已知7|(13x?8y)，證明：7（證明：因?yàn)?x?5y?5(13x?8y)?7(8x?5y)又又 7|(13x?8y)，? 7|5(13x?8y)

7|(8x?5y)

?7|[5(13x?8y)?7(8x?5y)]

|9x?5y）即7（注：對(duì)于“已知式子A能被數(shù)p 整除求證式B能被p”類(lèi)題目，其思路為：將B表示成被7整除的代數(shù)式的形式即可；比如此題，就可以將B表示為：B?k1A?7C（其中C為含字母x、y的整式）的形式。其問(wèn)題在于如何找出k2和C，我們可以采取以下方法：

我們不妨假設(shè)9x?5y?k1(13x?8y)?7(k2x?k3y)

我們知道對(duì)任意的x,y 等式左右兩邊恒等，所以化簡(jiǎn)成Mx?Ny?0的形式后各系數(shù)為零 可得：k2??13k1?95?8k1，k3?

由于k2,k3都是整數(shù)，所以簡(jiǎn)單試驗(yàn)可得：

k1?5,k2??8,k3??5

進(jìn)而得到：9x?5y?5(13x?8y)?7(?8x?5y)

|9x?y5）?y8 嗎？)

思考：反過(guò)來(lái)，已知7（，你能證明7|(1x3練習(xí)2：已知x,y為整數(shù)，17|(2a?3b)，證明：17|(9a?5b)

練習(xí)3 已知x,y為整數(shù)，且5|(x?9y)，證明：5|(8x?7y)

練習(xí)4 已知a,b,c,d,m,n為整數(shù)，n|(ma?b)且n|(mc?d)，證明：n|(ad?bc)

第二篇：數(shù)的整除教案

1、使學(xué)生理解自然數(shù)與整數(shù)的意義．

2、使學(xué)生掌握整除、約數(shù)與倍數(shù)的概念．

3、培養(yǎng)學(xué)生抽象概括與觀(guān)察物的能力． 教學(xué)過(guò)程

一、建議自然數(shù)與整數(shù)的概念

1、談話(huà)引入：今天這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)數(shù)的整除．（板書(shū)課題）

2、教師提問(wèn)：既然是數(shù)的整除，自然就與數(shù)有關(guān)，同學(xué)們都學(xué)過(guò)什么數(shù)？

（教師板書(shū)：整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)）

同學(xué)們會(huì)數(shù)數(shù)吧？（學(xué)生數(shù)數(shù)）

（教師板書(shū)：1、2、3、4、5、）

繼續(xù)數(shù)下去，能數(shù)到頭嗎？

數(shù)不到頭，我們可以用一個(gè)什么標(biāo)點(diǎn)符號(hào)來(lái)表示呢？

（教師板書(shū)：“??”）

3、教師小結(jié)：

用來(lái)表示物體個(gè)數(shù)的1、2、3、4、5等等，叫做自然數(shù)．（板書(shū)：自然數(shù)）

提問(wèn)：最小的自然數(shù)是幾？有最大的自然數(shù)嗎？

當(dāng)一個(gè)物體也沒(méi)有時(shí)，我們用幾來(lái)表示？（板書(shū)：0）

二、建立整除的概念

1、教師明確：數(shù)的整除，不僅與數(shù)有關(guān)，還與除有關(guān)，一說(shuō)到除，在家就會(huì)想到兩個(gè)數(shù)相除，那么整除又是什么意思呢？整除也是兩個(gè)數(shù)相除，但是在小學(xué)階段，我們研究整除不包括“0”．

2、出示卡片 1.2÷4

提問(wèn)：在數(shù)的整除中研究這樣的兩個(gè)數(shù)相除嗎？為什么？

3、再出示卡片：10÷20，16÷5，15÷3，36÷9，24÷2

提問(wèn)：這幾個(gè)式子中的被除數(shù)和除數(shù)都是什么數(shù)？

教師明確：被除數(shù)和除數(shù)都是自然數(shù)，這是我們研究數(shù)的整除的一個(gè)非常重要的條件．

4、教師說(shuō)明：被除數(shù)和除數(shù)都是自然數(shù)，如：10÷20，我們能不能說(shuō)10能被20整除呢？還不能，還要看它的商．

組織學(xué)生口算出5張卡片的商．（其中16÷5指定回答“商幾余幾”）

提問(wèn)：被除數(shù)和除數(shù)都是自然數(shù)，商可能有哪幾種情況？

排除沒(méi)有整除關(guān)系的卡片，指15÷3=5一類(lèi)的卡片，說(shuō)明：只有這樣的，我們才能說(shuō)15能被3整除．

5、學(xué)生舉例

6、提問(wèn)：用字母a表示這樣的被除數(shù)，用b表示這樣的除數(shù)，商怎么樣，我們就說(shuō)a能被b整除呢？

這樣看來(lái)，整除除了被除數(shù)和除數(shù)都是自然數(shù)外，還得有一個(gè)什么條件？

教師明確：商是自然數(shù)，沒(méi)有余數(shù)是整除的又一個(gè)重要的條件．

7、出示卡片（區(qū)別整除和除盡）

4÷3=1.3 18÷18=1 7÷5=1.4

4÷0.2=20 42÷6=7

三、建立約數(shù)與倍數(shù)的概念

1、教師說(shuō)明：當(dāng)數(shù)a能被數(shù)b整除時(shí)，a就是b的倍數(shù)；b就是a的約數(shù)．

2、聯(lián)想訓(xùn)練：教師說(shuō)一句由學(xué)生說(shuō)出另外兩句．

如：教師：15能被3整除（生：15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)）

教師：36是9的倍數(shù)（生：36能被9整除，9是36的約）

教師：2是24的約數(shù)(生：24能被2整除, 24是2的倍數(shù))

教師：7不能被4整除(生：7不是4的倍數(shù),4又不是7的約數(shù))

3、區(qū)分“倍數(shù)”與“幾倍”

教師提問(wèn)：能說(shuō)4是0.2的倍數(shù)嗎?為什么?

4、判斷

12是3的倍數(shù)()7是21的約數(shù)()

1是25的約數(shù)()3.6是3的倍數(shù)()

4是約數(shù)()（說(shuō)明：通過(guò)此題，深化倍數(shù)、約數(shù)相互依存的關(guān)系）

四、鞏固練習(xí)

思考題：1，3，6，9，12這幾個(gè)數(shù)中誰(shuí)與誰(shuí)之間有約數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系？

五、課堂小結(jié)

1、數(shù)的整除是在自然數(shù)范圍內(nèi)討論的．

2、兩個(gè)數(shù)之間，一旦具備整除關(guān)系，那么這兩個(gè)數(shù)之間必定還具有約數(shù)、倍數(shù)的關(guān)系．所以，整除是前提，倍數(shù)、約數(shù)是在這個(gè)前提下必然產(chǎn)生的一種結(jié)果．

六、布置作業(yè)

1、下面的說(shuō)法對(duì)嗎？說(shuō)出理由．

（1）因?yàn)?6÷9＝4，所以36是倍數(shù)，9是約數(shù)．

（2）57是3的倍數(shù)．

（3）1是1、2、3、4、5，??的約數(shù)．

2、一個(gè)數(shù)是42的約數(shù)，同時(shí)又是3的倍數(shù)．這個(gè)數(shù)可以是多少？

七、板書(shū)設(shè)計(jì) 數(shù)的整除

整數(shù)a除以整數(shù)b（b≠0），除得的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)a能被b整除（也可以說(shuō)b能整除a）

如果數(shù)a能被數(shù)b（b≠0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)（或因數(shù)）．

探究活動(dòng) 把數(shù)分類(lèi) 活動(dòng)目的

1、使學(xué)生掌握奇數(shù)、偶數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)的交叉關(guān)系和區(qū)別．

2、幫助學(xué)生建立完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)． 活動(dòng)題目

桌上有20張卡片，在這些卡片上分別寫(xiě)著1，2，3，?19，20這20個(gè)數(shù)．請(qǐng)將這20個(gè)數(shù)加以分類(lèi)． 活動(dòng)過(guò)程

1、學(xué)生以小組為單位討論．

2、匯報(bào)討論結(jié)果．

3、交流收獲． 參考答案

要把這20個(gè)數(shù)分類(lèi)，首先確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，不同的標(biāo)準(zhǔn)有不同的分類(lèi)方法．

1、根據(jù)數(shù)的奇偶性分類(lèi)．

奇數(shù)：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19

偶數(shù)：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20

2、根據(jù)數(shù)的位數(shù)分類(lèi)．

一位數(shù)：1，2，3，4，5，6，7，8，9

兩位數(shù)：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20

3、根據(jù)是否大于8分類(lèi)．

大于8：9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20

不大于8：1，2，3，4，5，6，7，8

4、根據(jù)約數(shù)個(gè)數(shù)的多少分類(lèi)．

一個(gè)約數(shù)：1

兩個(gè)約數(shù)：2，3，5，7，11，13，17，19

兩個(gè)以上約數(shù)：4，6，8，9，10，12，14，15，16

5、根據(jù)約數(shù)的個(gè)數(shù)是否是奇數(shù)分類(lèi)．

約數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)：1，4，9，16

約數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)：2，3，5，6，7，8，10，11，12，13，14，15，17，18，19，20

第三篇：被9整除的數(shù)教案

“創(chuàng)造”的教與學(xué)——《能被9整除數(shù)的特征》教學(xué)案例

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義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)的理解，增進(jìn)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái)；教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生。

一、“創(chuàng)造”的教 數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。

教材中對(duì)于“能被3整除數(shù)的特征”的歸納是通過(guò)找余數(shù)與這個(gè)數(shù)數(shù)位上的數(shù)字之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行總結(jié)的，而任意一個(gè)自然數(shù)除以3只有余數(shù)0、1、2這三種情況。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生很難通過(guò)余數(shù)發(fā)現(xiàn)與自然數(shù)的數(shù)位上數(shù)字的關(guān)系。因此，教師想到了如果先研究“能被9整除數(shù)的特征”的特征呢？任意一個(gè)自然數(shù)除以9有余數(shù)0、1、2、……6、7、8九種情況，與所研究的自然數(shù)的數(shù)位上的數(shù)字更容易建立關(guān)系，有利于學(xué)生的觀(guān)察與理解。

雖然“能被9整除的數(shù)的特征”是教材中沒(méi)有涉及的部分，但是卻能很好的幫助學(xué)生通過(guò)借助能被9整除數(shù)的特征，以及3和9之間的關(guān)系，去理解能被3整除數(shù)的特征。分散了知識(shí)點(diǎn)的難度，同時(shí)也滲透了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。

二、“創(chuàng)造”的學(xué)

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：“動(dòng)手實(shí)踐，自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)是一個(gè)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程”。這一理念不僅告訴我們創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力緊密想隨，而且要使學(xué)生的探索經(jīng)歷和獲取新發(fā)現(xiàn)的體驗(yàn)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要途徑。1．

設(shè)“井”激趣數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方式不能再是單一的、枯燥的，以被動(dòng)聽(tīng)講和練習(xí)為主的方式，它應(yīng)該是一個(gè)充滿(mǎn)生命力的過(guò)程?！酒瑪嘁弧砍鍪荆?7602860、51001758、65064345、85992639師：老師這里有幾位同學(xué)家的電話(huà)號(hào)碼。問(wèn)：每個(gè)電話(huà)號(hào)碼都是一個(gè)八位數(shù)，這四個(gè)數(shù)中哪些能被2整除？你怎么判斷的？哪些能被5整除？判斷的依據(jù)是什么？ 生答：87602860、51001758能被2整除，個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)能被2整除；87602860、65064345這兩個(gè)數(shù)能被5整除，個(gè)位上是0或5的數(shù)能被5整除。問(wèn)：哪些數(shù)能被9整除呢？你有什么辦法嗎？生：① 看個(gè)位，認(rèn)為85992639能被9整除。②

算，可以口算、筆算，大數(shù)目可以用計(jì)算器幫助。③ 各數(shù)位上的數(shù)字和能否被9整除

師：同學(xué)們說(shuō)了這么多種發(fā)法，那就用你們想到的方法來(lái)找找看哪些數(shù)能被9整除。生：對(duì)這四個(gè)數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，得出51001758能被9整除。

交流想法：能被9整除的數(shù)看個(gè)位是不成立的，85992639不能被9整除；如果身邊沒(méi)有計(jì)算工具，算起來(lái)很不方便；如果各數(shù)位上的數(shù)字和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除。這個(gè)方法比較好，很快捷。生質(zhì)疑：看“各數(shù)位上的數(shù)字和能否被9整除”這個(gè)方法對(duì)于每個(gè)數(shù)都成立成立嗎？為什么成立呢？ 在課上，同學(xué)們受“能被2或5整除數(shù)的特征”經(jīng)驗(yàn)的影響，在驗(yàn)證、討論的過(guò)程中，許多不正確的結(jié)論被一一否定，而只留下把“各數(shù)位上的數(shù)字相加求和，看和與9的關(guān)系”的方法。這個(gè)方法學(xué)生們找不到反例，但又迫切的想了解為什么？這樣不僅抑制了前面所學(xué)知識(shí)的負(fù)遷移，同時(shí)又激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望。當(dāng)學(xué)生意識(shí)到了“各數(shù)位上的數(shù)字相加求和，看和與9的關(guān)系”這個(gè)方法時(shí)，發(fā)現(xiàn)、解決問(wèn)題的過(guò)程就有了目標(biāo)，為最終問(wèn)題的解決提供一個(gè)可能的方向。創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，把靜態(tài)的知識(shí)結(jié)論轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的探索對(duì)象，使學(xué)生在經(jīng)歷類(lèi)似于數(shù)學(xué)家的探索創(chuàng)造過(guò)程中，激發(fā)探索意識(shí)，養(yǎng)成探索習(xí)慣，提高再創(chuàng)造的能力。2． 追根溯源

“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑是有學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)。因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)，理解最深，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律聯(lián)系?！?/p>

讓學(xué)生自己去體驗(yàn)，用自己的思維方式去探究，這就是一個(gè)再創(chuàng)造的過(guò)程。如果離開(kāi)了學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生的發(fā)展就會(huì)落空。

判斷一個(gè)數(shù)能否被9整除，不能只從一個(gè)數(shù)的某一位上的數(shù)來(lái)判斷，必須把這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)相加求和，如果和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除。這一結(jié)論與能被2、5整除的數(shù)的特征相比而言不容易被發(fā)現(xiàn)，不容易理解。因此，就把重點(diǎn)放在了“說(shuō)理”上，不僅要使學(xué)生知其然，還要使他們知其所以然。在分析推理能被9整除的數(shù)的特征的過(guò)程中，充分重視學(xué)生的年齡、心理特點(diǎn)，利用他們已有的知識(shí)基礎(chǔ)，分層次逐步進(jìn)行研究?！酒瑪喽竣畔纫I(lǐng)學(xué)生集體先對(duì)整十?dāng)?shù)和整百數(shù)進(jìn)行分析，找出整十?dāng)?shù)與

9、整百數(shù)與99的關(guān)系，作為認(rèn)識(shí)任意自然數(shù)能否被9整除數(shù)的特征的基礎(chǔ)和突破口；問(wèn)：10能被9整除嗎？你怎么知道的？20、30呢？答：10÷9＝1…1，所以10不能被9整除，可以把10寫(xiě)成10=9×1+1。20÷9＝2…2，所以20不能被9整除，可以把20寫(xiě)成20=9×2+2。30÷9＝3…3，所以30不能被9整除，可以把30寫(xiě)成30=9×3+3。生發(fā)現(xiàn)：①整十?dāng)?shù)都可以寫(xiě)成9乘幾加幾的形式。

②余數(shù)正好是整十?dāng)?shù)十位上的數(shù)。問(wèn)：那判斷整十?dāng)?shù)能否被9整除有更簡(jiǎn)單的方法嗎？答：直接看整十?dāng)?shù)十位上的數(shù)字。過(guò)渡：整十?dāng)?shù)能否被9整除的我們會(huì)了，那整百數(shù)呢？ 問(wèn)：100能被9整除嗎？2000呢? 你又發(fā)現(xiàn)了什么？答：100不能被9整除，因?yàn)?00÷9＝11…1，所以100去掉1個(gè)99還余1。100可以寫(xiě)成99×1+1。200不能被9整除，因?yàn)?00÷9＝22…2，所以200去掉2個(gè)99還余2。200可以寫(xiě)成99×2+2。發(fā)現(xiàn)：余數(shù)與整百數(shù)百位上的數(shù)字相同。問(wèn)：要很快的判斷出整百數(shù)能被否被9整除看什么？生：看整百數(shù)的百位就可以了。⑵再小組合作把幾百幾十的數(shù)變成幾個(gè)百、幾個(gè)十的組合形式，與9和99建立聯(lián)系，分散難點(diǎn)，初步歸納能被9整除數(shù)的特征；問(wèn)：100能被9整除嗎？80能被9整除嗎？180呢？你能用前面的知識(shí)，小組合作研究為什么嗎？小組探究：因?yàn)椋?80 100＝99×1 + 1 80＝ 9×8 + 8

能被9整除 1+8＝9 能被9整除

所以，180能被9整除。

發(fā)現(xiàn)：余數(shù)和與這個(gè)數(shù)的數(shù)位上的數(shù)字和是相同的，所以可以看這個(gè)數(shù)的數(shù)位上的數(shù)字和。⑶最后當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這種暗含的關(guān)系后，他們可以把任意一個(gè)自然數(shù)變成由幾個(gè)百、幾個(gè)

十、幾個(gè)一的組合形式，與9和99建立聯(lián)系，重視學(xué)生從具體到抽象，從一般中概括推力出結(jié)論的能力的培養(yǎng)。問(wèn)：這有一個(gè)三位數(shù)216，你能馬上判斷出它能被9整除嗎？怎么判斷的？答：能。2+1+6=9能被9整除，216能被9整除。通過(guò)觀(guān)察拆分之后的余數(shù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)余數(shù)和與所給數(shù)的數(shù)位上的數(shù)字和相同，所以可以直接看所給數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和能否被9整除。在這節(jié)課結(jié)束的時(shí)候，學(xué)生根據(jù)自己的理解、用自己的語(yǔ)言歸納出了“能被9整除的數(shù)的特征”。

課上學(xué)生有了充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)間和空間，在自主探索、親身實(shí)踐、合作交流的氛圍中，解除困惑，更清楚的明確自己的思想，并有機(jī)會(huì)分享自己和他人的想法，在親身體驗(yàn)和探索中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，解決問(wèn)題，理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法。在合作交流、與人分享和獨(dú)立思考的氛圍中，傾聽(tīng)、質(zhì)疑、說(shuō)明、推廣而直至感到豁然開(kāi)朗。

第四篇：初一數(shù)學(xué) 數(shù)的整除性_答案

專(zhuān)題02

數(shù)的整除性

例1

267

提示：333－66＝267．

例2

C

提示：關(guān)于②的證明：對(duì)于a，b若至少有一個(gè)是3的倍數(shù)，則ab是3的倍數(shù)．若a，b都不是3的倍數(shù)，則有：(1)當(dāng)a＝3m＋1，b＝3n＋1時(shí)，a－b＝3(m－n)；(2)當(dāng)a＝3m＋1，b＝3n＋2時(shí)，a＋b＝3(m＋n＋1)；(3)當(dāng)a＝3m＋2，b＝3n＋1時(shí)，a＋b＝3(m＋n＋1)；(4)當(dāng)a＝3m＋2，b＝3n＋2時(shí)，a－b＝3(m－n).例3

a＝8．b＝0提示：由9｜(19＋a＋b)得a＋b＝8或17；由11|(3＋a－b)得a－b＝8或－3．

例4

設(shè)x，y，z，t是整數(shù)，并且假設(shè)5a＋7b－22c＝x(7a＋2b＋3c)

＋13(ya＋zb＋tc).比較上式a，b，c的系數(shù)，應(yīng)當(dāng)有，取x＝－3，可以得到y(tǒng)＝2，z＝1，t＝－1，則有13

(2a＋b－c)－3(7a＋2b＋3c)＝5a＋7b－22c．既然3(7a＋2b＋3c)和13(2a＋b－c)都能被13整除，則5a＋7b－22c就能被13整除．

例5

考慮到“魔術(shù)數(shù)”均為7的倍數(shù)，又a1，a2，…，an互不相等，不妨設(shè)a1

＜a2＜…＜an，余數(shù)必為1，2，3，4，5，6，0，設(shè)ai＝ki＋t(i＝1，2，3，…，n；t＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一個(gè)為m的“魔術(shù)數(shù)”，因?yàn)閍i·10k＋m(k是m的位數(shù))，是7的倍數(shù)，當(dāng)i≤b時(shí)，而ai·t除以7的余數(shù)都是0，1，2，3，4，5，6中的6個(gè)；當(dāng)i＝7時(shí)，而ai·10k除以7的余數(shù)都是0，1，2，3，4，5，6這7個(gè)數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，當(dāng)i＝7時(shí)，依抽屜原理，ai·10k與m二者余數(shù)的和至少有一個(gè)是7，此時(shí)ai·10k＋m被7整除，即n＝7．

例6

(1)A5：0，1，2，1，0.(或A5：0，1，0，1，0)

(2)a1000＝13＋999＝1

012．

(3)n被4除余數(shù)為0或1．

A級(jí)

1．1

2．3

143

3．39

798

4．A

5．C

6．B

7．五位數(shù)＝10×＋e.又∵為4的倍數(shù)．故最值為1

000，又因?yàn)闉?的倍數(shù)．故1＋0＋0＋0＋e能被9整除，所以e只能取8．因此最小值為

008.8．324

561提示：d＋f－e是11的倍數(shù)，但6≤d＋f≤5＋6＝11，1≤e≤6，故0≤d＋f－e≤10，因此d＋f－e＝0，即5＋f＝e，又e≤d，f≥1，故f＝l，e＝6，9．19

提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后兩個(gè)數(shù)為8，4．

B級(jí)

1．2

521

a＝2

520n＋1(n∈N＋)

2．57

3．719

895提示：這個(gè)數(shù)能被33整除，故也能被3整除．于是，各位數(shù)字之和(x＋1＋9＋8＋9＋y)也能被3整除，故x＋y能被3整除．

4．B

5．B

6．A提示：兩兩差能被n整除，n＝179，m＝164．

7．由題意得＋＋＋＋＝3

194，兩邊加上．得222(a＋b＋c)＝3194＋

∴222(a＋b＋c)

＝222×14＋86＋．則＋86是222的倍數(shù)．

且a＋b＋c＞14．設(shè)＋86＝222n考慮到是三位數(shù)，依次取n＝1，2，3，4.分別得出的可能值為136，358，580，802，又因?yàn)閍＋b＋c＞14．故＝358．

8．設(shè)N為所求的三位“拷貝數(shù)”，它的各位數(shù)字分別為a，b，c(a，b，c不全相等)．將其數(shù)碼重新排列后，設(shè)其中最大數(shù)為，則最小數(shù)為．故N＝

－＝(100a＋10b＋c)－

(100c＋10b＋a)＝99(a－c)．

可知N為99的倍數(shù)．這樣的三位數(shù)可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而這9個(gè)數(shù)中，只有954－

459＝495.故495是唯一的三位“拷貝數(shù)”．

9．設(shè)原六位數(shù)為，則6×＝，即6×(1000×＋)＝1000×＋，所以994×－5

999×，即142×＝857×，∵(142，857)＝1，∴

142|，857|，而，為三位數(shù)，∴＝142，＝857，故＝142857．

10．設(shè)這個(gè)數(shù)為，則1

000a＋100b＋10c＋d＋a＋b＋c＋d＝1

999，即1

001a＋101b＋11c＋2d＝1

999，得a＝1，進(jìn)而101b＋11c＋2d＝998，101b≥998－117－881，有b＝9，則11c＋2d＝89，而0≤2d≤18，71≤11c≤89，推得c＝7，d＝6，故這個(gè)四位數(shù)是1

976．

11．當(dāng)n＝4時(shí)，數(shù)1，3，5，8中沒(méi)有若干個(gè)數(shù)的和能被10整除．當(dāng)n＝5時(shí)，設(shè)a1a2，…，a5是1，2，…，9中的5個(gè)不同的數(shù)，若其中任意若干個(gè)數(shù)，它們的和都不能被10整除，則中不可能同時(shí)出現(xiàn)1和9，2和8，3和7，4和6，于是中必定有一個(gè)為5，若中含1，則不含9，于是，不含，故含6；不含,故含7；不含,故含8；但是5+7+8=20是10的倍數(shù),矛盾.若中含9,則不含1,于是不含故含4;

不含故含3;

不含故含2;

但是是10的倍數(shù),矛盾.綜上所述,n的最小值為5

第五篇：數(shù)的整除反思

“數(shù)的整除”教學(xué)反思

東于中心校水屯營(yíng)小學(xué)校

劉瑞紅

在“數(shù)的整除”這部分內(nèi)容中，雖然學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)，但數(shù)的整除都是一些純數(shù)學(xué)的概念，掌握的情況并不是很理想，針對(duì)這種情況，我是先讓學(xué)生在課前預(yù)習(xí)，讓他們對(duì)整除中的概念有一個(gè)溫習(xí)的過(guò)程，接著在課堂上在通過(guò)老師的引導(dǎo)，讓學(xué)生系統(tǒng)、全面地把所有的概念結(jié)合起來(lái)，用圖例來(lái)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)每一個(gè)概念的由來(lái)，與其他概念的結(jié)合點(diǎn)，最后通過(guò)練習(xí)進(jìn)一步加深理解。

在今天的課堂上，出現(xiàn)了很多的問(wèn)題：

第一，每一概念的出現(xiàn)都是教師硬塞給學(xué)生的。課后我也反思了，為什么會(huì)這樣呢？我覺(jué)得問(wèn)題還是出在我的設(shè)計(jì)上，如：公倍數(shù)出現(xiàn)，教師讓學(xué)生去找兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)，然后提出把兩個(gè)集合圖并起來(lái)，再得出什么是公倍數(shù)，什么是公約數(shù)。在這過(guò)程中，老師是讓學(xué)生做什么，學(xué)生就去做什么，學(xué)生的自主意識(shí)完全沒(méi)了，學(xué)生也不知道為什么要這樣做，做了之后會(huì)得到什么。我想，在我今后的復(fù)習(xí)課中，應(yīng)盡量避免這樣的情況再次出現(xiàn)，第二，每個(gè)概念之間的銜接不恰當(dāng)，導(dǎo)致學(xué)生的思維比較亂。解析：概念多，如：在教學(xué)完能被2、3、5整除數(shù)的特征后，我是想通過(guò)38÷2＝19，讓學(xué)生通過(guò)說(shuō)，38是2的倍數(shù)，2是38的約數(shù)，從而引出倍數(shù)和約數(shù)的概念，但為了讓學(xué)生理解2的倍數(shù)，就是能被2整除的數(shù)的特征，再次提到能被2整除的數(shù)。再如，如何讓學(xué)生系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)“倍數(shù)——公數(shù)數(shù)——最小公倍數(shù)，約數(shù)——公約數(shù)——最大公約數(shù)”這兩組概念間的關(guān)系。第三，課堂效率并不高，解析：概念聯(lián)系性強(qiáng)，如：有關(guān)約數(shù)，可以根據(jù)約數(shù)的個(gè)數(shù)可將自然數(shù)分成1、質(zhì)數(shù)和合數(shù)，同時(shí)為了方便，我們可以將合數(shù)進(jìn)行分解質(zhì)因數(shù)，分解后每個(gè)因數(shù)就是這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)質(zhì)因數(shù)一定是個(gè)質(zhì)數(shù)，這一連串的關(guān)系比較抽象。

另外，在這堂課中的唯一收獲，就是總結(jié)，在總結(jié)中，我是與學(xué)生連說(shuō)每個(gè)概念，邊把概念與概念之間的聯(lián)系線(xiàn)板書(shū)出來(lái)。要這個(gè)總結(jié)中，才達(dá)到了我最后的教學(xué)目標(biāo)，把所有的概念系統(tǒng)化了，讓學(xué)生全面地認(rèn)識(shí)知識(shí)。

改進(jìn)：學(xué)生課前預(yù)習(xí)，課堂中讓學(xué)生先說(shuō)說(shuō)每個(gè)概念及意義，再集體整理。