【內(nèi)容概述】

能被2，3，4，5，8，9，11整除的數(shù)的數(shù)字特征，以及與此相關(guān)的整數(shù)的組成與補(bǔ)填問(wèn)題，乘積末尾零的個(gè)數(shù)的計(jì)算．

1.整數(shù)a除以整數(shù)b(b≠0)，所得的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)a能被b整除(也可以說(shuō)b能整除a)，記作b︱a．如:15÷5=3，所以15能被5整除(5能整除15)，記作5︱15．

反之，則稱為不能整除，用“”表示，如715.如果整數(shù)a能被整數(shù)b(b≠0)整除，則稱a是b的倍數(shù)，b是a的約數(shù)．如15是5的倍數(shù)，5是15的約數(shù)．

特別的，注意0÷b=0(b≠0)，所以說(shuō)零能被任何非零整數(shù)整除，零也是任何非零整數(shù)的倍數(shù)．

還有0÷1=0，所以說(shuō)1能整除任何整數(shù)，1是任何整數(shù)的約數(shù)．

因?yàn)檎谡麛?shù)范圍內(nèi)考察，所以以下所指之?dāng)?shù)不特加說(shuō)明均指整數(shù)．

2．整除的性質(zhì)：

性質(zhì)1.如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．

如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被C整除．

性質(zhì)2.如果bc︱a，那么b︱a，c︱a．

如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a．

性質(zhì)3.如果b︱a，c︱a，且b、c互質(zhì)，那么bc︱a．

如果b、c都能整除，且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能整除a．

性質(zhì)4.如果c︱b，b︱a，那么c︱a．

如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．

3.一些質(zhì)數(shù)整除的數(shù)字特征(約數(shù)只有1和它本身的數(shù)，稱為質(zhì)數(shù))：

(1)能被2整除的數(shù)，其末位數(shù)字只能是0，2，4，6，8；

(2)能被3整除的數(shù)，其各位的數(shù)字和能被3整除；

(3)能被5整除的數(shù)，其末位數(shù)字只能是0，5；

(4)能被7整除的數(shù)，其末三位與前面隔開(kāi)，末三位與的差(大減小)能被7整除(即能被7整除，7︱-或7︱-)；

(5)能被11整除的數(shù)，其末三位與前面隔開(kāi)，末三位與的差(大減小)能被11整除(即能被11整除11︱-或11︱)或者，其所得的差能被11整除；

表示這是一個(gè)多位數(shù)，而不是q與p、o、c、b、a等數(shù)的乘積，下同．

4．對(duì)于合數(shù)，先把合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，再一個(gè)一個(gè)的考察．這樣就化歸為質(zhì)數(shù)整除問(wèn)題，對(duì)于分解質(zhì)因數(shù)，詳見(jiàn)《質(zhì)數(shù)、合數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)》．

5．對(duì)于一些特殊的合數(shù)的判斷方法．

能被4整除的數(shù)，末兩位數(shù)能被4整除；

能被8整除的數(shù)，末三位數(shù)能被8整除；

能被25整除的數(shù)，末兩位數(shù)能被25整除；

能被125整除的數(shù)，末三位能被125整除；

能被9整除的數(shù)，其數(shù)字和一定是9的倍數(shù)．

范例1

在公元9世紀(jì)，有個(gè)印度數(shù)學(xué)家——花拉子米寫有一本《花拉子米算術(shù)》，他們計(jì)算時(shí)通常是在一個(gè)鋪有沙子的土板上進(jìn)行，由于害怕以前的計(jì)算過(guò)程丟失而經(jīng)常檢驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確．所以后來(lái)人把這種算法稱為“土盤算法”．

如：1234+1898+18922+678967+178902=889923．他們看1234的數(shù)字和為，10除以9余1，1898的數(shù)字和除以9余8，18922的數(shù)字和除以9余4，678967的數(shù)字和除以9余7，178902的數(shù)字和除以9余0，余數(shù)的和除以9余2；而等式的右邊889923除以9的余數(shù)為3．所以上面的加法算式一定是錯(cuò)誤的．

為什么呢?

6．若干個(gè)數(shù)相乘，求其末尾有多少個(gè)連續(xù)的0，只要把這個(gè)乘積中的因數(shù)2與5的個(gè)數(shù)分別找出來(lái)，其中較少的因數(shù)個(gè)數(shù)就是積的末尾連續(xù)的0的個(gè)數(shù)．

范例2

試求1981×1982×1983×1984×1985×…×2005這25個(gè)數(shù)相乘，積的末尾有多少個(gè)連續(xù)的“0”?

【分析與解】其中1985，1990，1995，2000，2005含有因數(shù)5分別有1，1，1，3，1個(gè)，所以共有l(wèi)+1+1+3+1=7個(gè)因數(shù)5；

其中1982，1984，1986，1988，1990，1992，1994，1996，1998，2000，2002，2004含有因數(shù)2，分別有1，6，1，2，1，3，1，2，1，4，1，2個(gè)，所以共有1+6+1+2+1+3+1+2+1+4+1+2=25個(gè)因數(shù)2．

其中因數(shù)5較少，含有7個(gè)，所以題中25個(gè)數(shù)的乘積末尾連續(xù)的0的個(gè)數(shù)為7．

評(píng)注：多數(shù)情況下，若干個(gè)連續(xù)的數(shù)相乘，需求其末尾連續(xù)0的個(gè)數(shù)．因?yàn)橐驍?shù)2的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)多于因數(shù)5的個(gè)數(shù)，所以只考慮因數(shù)5的個(gè)數(shù)即可．

7.還有一種很重要的方法：試除法．如【典型問(wèn)題】1、2、3、5、6等類問(wèn)題都可以使用試除法．

如果一個(gè)數(shù)能同時(shí)被多個(gè)整數(shù)整除，那么一定能被這些數(shù)的最小公倍數(shù)整除，而求多個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，則可以采用如下兩種方法：

①短除法

求兩個(gè)或以上數(shù)的最小公倍數(shù)，可以使用短除法．

范例3

試求120、180、300的最小公倍數(shù)．

【分析與解】

于是(120，180，300)=30×2×2×3×5=1800．

②分解質(zhì)因數(shù)

將一組數(shù)的每個(gè)數(shù)嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)，然后提出每個(gè)質(zhì)因數(shù)的最高次所對(duì)應(yīng)的數(shù)，將這些提出的數(shù)相乘，求出積就是最小公倍數(shù)．

8．有時(shí)也可以將問(wèn)題視為數(shù)字謎問(wèn)題，如【典型問(wèn)題】5、6類問(wèn)題．

1．173口是一個(gè)四位數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)老師說(shuō)：“我在其中的方框內(nèi)中先后填入3個(gè)數(shù)字，所得到的3個(gè)四位數(shù)：依次可被9，11，6整除．”問(wèn)：數(shù)學(xué)老師先后填入的3個(gè)數(shù)字的和是多少?

【分析與解】方法一：利用整除特征

注意能被9，11，6整除的數(shù)的特征：

能被9整除的數(shù)，其數(shù)字和是9的倍數(shù)；

能被11整除的數(shù)，其和與的差為11的倍數(shù)；或?qū)⑵浜笕慌c前隔開(kāi)，將新組成的兩個(gè)數(shù)作差，將是11的倍數(shù)；

能被6整除的數(shù)，其數(shù)字和是3的倍數(shù)，且末位為0，2，4，6，8的其中之一.1+7+3=ll，當(dāng)口內(nèi)填入7時(shí)，1735的數(shù)字和為18，為9的倍數(shù)，所以當(dāng)口內(nèi)填7所組成的數(shù)為9的倍數(shù)；

173口的奇數(shù)位數(shù)字和為7+口，偶位數(shù)數(shù)字和為1+3=4，所以當(dāng)口內(nèi)填11+4-7=8時(shí)，和與的差為11，所組成的數(shù)為11的倍數(shù)；

1+7+3=11，當(dāng)口內(nèi)填入l，4，7時(shí)，為3的倍數(shù)，但只有4為偶數(shù)，所以當(dāng)口內(nèi)填入4組成的數(shù)為6的倍數(shù)．

所以，這三種情況下填人口內(nèi)的數(shù)字的和為7+8+4=19．

方法二：采用試除法

用1730試除，1730÷9=192……2，1730÷1l=157……3，1730÷6=288……2．

所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除．

所以，這三種情況下填入口內(nèi)的數(shù)字的和為7+8+4=19．

2．如果六位數(shù)1992口口能被105整除，那么它的最后兩位數(shù)是多少?

【分析與解】

因?yàn)?05=3×7×5，所以這個(gè)六位數(shù)同時(shí)滿足能被3、7、5整除的數(shù)的特征即可．

而能被7整數(shù)的數(shù)，將其后三位與前隔開(kāi)，將新組成的兩個(gè)數(shù)作差，將是7的倍數(shù)；

能被5整數(shù)的數(shù)，其末位只能是0或5．

方法一：利用整除特征

末位只能為0或5．

①

如果末位填入0，那么數(shù)字和為1+9+9+2+口+0=21+口，要求數(shù)字和是3的倍數(shù)，所以口可以為0，3，6，9，驗(yàn)證均不是200-199=1，230-199=31，260-199=61，290-199=91，有9l是7的倍數(shù)，即199290是7的倍數(shù)，所以題中數(shù)字的末兩位為90．

②如果末位填入5，同上解法，驗(yàn)證沒(méi)有數(shù)同時(shí)滿足能被3、7、5整除的特征．

所以，題中數(shù)的末兩位只能是90．

方法二：采用試除法

用199200試除，199200÷105=1897……15，余15可以看成不足(105-15=)90．所以補(bǔ)上90，即在末兩位的方格內(nèi)填人90即可．

3．某個(gè)七位數(shù)1993口口口能夠同時(shí)被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位數(shù)字依次是多少?

【分析與解】

方法一：利用整除特征

因?yàn)檫@個(gè)數(shù)能被5整除，所以末位只能是0或5，又能被2整除，所以其末位為偶數(shù)，所以只能是0．

在滿足以上條件的情況下，還能被4整除，那么末兩位只能是20、40、60或80．

又因?yàn)檫€能同時(shí)被9整除，所以這個(gè)數(shù)的數(shù)字和也應(yīng)該是9的倍數(shù)，，的數(shù)字和分別為24+A，26+B，28+C，30+D，對(duì)應(yīng)的A、B、C、D只能是3，1，8，6．即末三位可能是320，140，860，680．

而只有320，680是8的倍數(shù)，再驗(yàn)證只有1993320，1993680中只有1993320是7的倍數(shù)．

因?yàn)橛型瑫r(shí)能被2，4，5，7，8，9整除的數(shù)，一定能同時(shí)被2，3，4，5，6，7，8，9這幾個(gè)數(shù)整除，所以1993320為所求的這個(gè)數(shù)．

顯然，其末三位依次為3，2，0．

方法二：采用試除法

一個(gè)數(shù)能同時(shí)被2，3，4，5，6，7，8，9整除，而將這些數(shù)一一分解質(zhì)因數(shù)：，所以這個(gè)數(shù)一定能被××5×7=8×9×5×7=2520整除．

用1993000試除，1993000÷2520=790……2200，余2200可以看成不足2520-2200=320，所以在末三位的方格內(nèi)填入320即可．

4．從0，l，2，3，4，5，6，7，8，9這10個(gè)數(shù)字中選出5個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)五位數(shù)，使它能被3，5，7，13整除，這個(gè)數(shù)最大是多少?

【分析與解】

因?yàn)閇3，5，7，13]=1365，在100000之內(nèi)最大的1365的倍數(shù)為99645(100000÷1365=73……355，100000-355=99645)，有99645-1365=98280，98280-1365=96915．96915-1365=95550．95550-1365=94185．

所以，滿足題意的5位數(shù)最大為94185．

5．修改31743的某一個(gè)數(shù)字，可以得到823的倍數(shù)．問(wèn)修改后的這個(gè)數(shù)是多少?

【分析與解】

方法一：采用試除法

823是質(zhì)數(shù)，所以我們掌握的較小整數(shù)的特征不適用，31743÷823=38……469，于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354，于是改動(dòng)某位數(shù)字使得得到的新數(shù)比原來(lái)大354或354+823n也是滿足題意的改動(dòng)．

有n=1時(shí)，354+823：1177，n=2時(shí)，354+823×2=2000，所以當(dāng)千位增加2，即改為3時(shí)，有修改后的五位數(shù)33743為823的倍數(shù)．

方法二：視作數(shù)字謎

假設(shè)改動(dòng)數(shù)位不是首位與末位，那么我們考慮3口口口3除以823的商：

30003÷823=36……375；39993÷823=48……489．

所以商在37～48之間，而823的個(gè)位3只有與1相乘所得的積才是3，所以這個(gè)商的尾數(shù)為1，這樣的數(shù)字在37～48之問(wèn)，只有41．

有823×41=33743．所以改動(dòng)31743的千位為3即可．

6．在六位數(shù)11口口11中的兩個(gè)方框內(nèi)各填入一個(gè)數(shù)字，使此數(shù)能被17和19整除，那么方框中的兩位數(shù)是多少?

【分析與解】方法一：采用試除法

如果一個(gè)數(shù)能同時(shí)被17和19整除，那么一定能被323整除．

110011÷323=340……191，余191也可以看成不足(323-191=)132．

所以當(dāng)132+323n是100的倍數(shù)時(shí)，才能保證在只改動(dòng)110011的千位、百位數(shù)字，而得到323的倍數(shù)．

所以有323n的末位只能是10-2=8，所以n只能是6，16，26，…

驗(yàn)證有n=16時(shí)，132+323×16=5300，所以原題的方框中填入5，3得到的115311滿足題意．

方法二：視為數(shù)字謎

因?yàn)閇17，19]=323，所以有：

注意，第3行的個(gè)位數(shù)字為1，于是乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字只能為7，所以第3行為323×7=2261；

于是有

所以第4行的末位為10+1-6=5，所以乘數(shù)的十位數(shù)字只能為5，于是第4行為323×5=1615；

于是有，所以第5行在(110011-16150-2261=)91600～(119911-16150-2261=)101500之間，又是323×100的倍數(shù)，所以只能為32300×3=96900；

于是最終有

.所以題中的方框內(nèi)應(yīng)填入5，3這兩個(gè)數(shù)字．

7．已知四十一位數(shù)55…5口99…9(其中5和9各有20個(gè))能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是多少?

【分析與解】

我們知道這樣的六位數(shù)一定能整除7、11、13；

下面就可用這個(gè)性質(zhì)來(lái)試著求解：

由上知的末6位數(shù)999999必定整除7；

有=×1000000+999999；于是只用考察：

×1000000，又因?yàn)?000000，7互質(zhì)，所以1000000對(duì)整除7沒(méi)有影響，所以要求一定是7的倍數(shù)．

注意到，實(shí)際上我們已經(jīng)將末尾的6個(gè)9除去；

這樣，我們將數(shù)字9、5均6個(gè)一組除去，最后剩下的數(shù)為口，即55口99．

我們只用計(jì)算55口99當(dāng)“口”取何值時(shí)能被7整除，有口為6時(shí)滿足.評(píng)注：對(duì)于含有類似的多位數(shù)，考察其整除7、11、13情況時(shí)，可以將一組一組的除去，直接考察剩下的數(shù)．

8．用數(shù)字6，7，8各兩個(gè)，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能被168整除．這個(gè)六位數(shù)是多少?

【分析與解】

因?yàn)?68=20×3×7，所以組成的六位數(shù)可以被8、3、7整除．

能夠被8整除的數(shù)的特征是末三位組成的數(shù)一定是8的倍數(shù)，末兩位組成的數(shù)一定是4的倍數(shù)，末位為偶數(shù)．

在題中條件下，驗(yàn)證只有688、768是8的倍數(shù)，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍數(shù)，由上題知形式的數(shù)一定是7、11、13的倍數(shù)，所以768768一定是7的倍數(shù)，口口口688的口不管怎么填都得不到7的倍數(shù)．

至于能否被3整除可以不驗(yàn)證，因?yàn)檎?的數(shù)的規(guī)律是數(shù)字和為3的倍數(shù)，在題中給定的條件下，不管怎么填數(shù)字和都是定值，必須滿足，不然本題無(wú)解．

當(dāng)然驗(yàn)證的確滿足．

所以768768能被168整除，且驗(yàn)證沒(méi)有其他滿足條件的六位數(shù)．

9．將自然數(shù)1，2，3，…依次寫下去組成一個(gè)數(shù)：***13…．如果寫到某個(gè)自然數(shù)時(shí)，所組成的數(shù)恰好第一次能被72整除，那么這個(gè)自然數(shù)是多少?

【分析與解】

因?yàn)?2=×，所以這個(gè)數(shù)必須是8的倍數(shù)，即后三位必須是8的倍數(shù)(也一定有后二位為4的倍數(shù)，末位為偶數(shù))，且數(shù)字和是9的倍數(shù).有456，312，516，920，324，728，132，536…均是4的倍數(shù)，但是只有456，920，728，536是8的倍數(shù)．

驗(yàn)證這些數(shù)對(duì)應(yīng)的自然數(shù)的數(shù)字和：

456對(duì)應(yīng)123456，數(shù)字和為2l，920對(duì)應(yīng)123…91011…1920，數(shù)字和為102，728對(duì)應(yīng)123…91011…192021…28，數(shù)字和為154，536對(duì)應(yīng)123…91011…192021…293031…36，數(shù)字和為207，所以在上面這些數(shù)中，只有536對(duì)應(yīng)的123…91011…192021…293031…36既是8的倍數(shù)，又是9的倍數(shù)．

所以，滿足題意的自然數(shù)為36．

10．1至9這9個(gè)數(shù)字，按圖4-1所示的次序排成一個(gè)圓圈．請(qǐng)你在某兩個(gè)數(shù)字之間剪開(kāi)，分別按順時(shí)針和逆時(shí)針次序形成兩個(gè)九位數(shù)(例如，在l和7之間剪開(kāi)，得到兩個(gè)數(shù)是193426857和758624391)．如果要求剪開(kāi)后所得到的兩個(gè)九位數(shù)的差能被396整除，那么剪開(kāi)處左右兩個(gè)數(shù)字的乘積是多少?

【分析與解】

在解這道題之前我們先看一個(gè)規(guī)律：的差一定是

(如：12365為原序數(shù)，那么它對(duì)應(yīng)的反序數(shù)為56321，它們的差43956是99的倍數(shù)．對(duì)于上面的規(guī)律想想為什么?)

那么互為反序的兩個(gè)九位數(shù)的差，一定能被99整除．

而396=99×4，所以我們只用考察它能否能被4整除．

于是只用觀察原序數(shù)、反序數(shù)的末兩位數(shù)字的差能否被4整除，顯然只有當(dāng)剪開(kāi)處兩個(gè)數(shù)的奇偶性相同時(shí)才有可能．

注意圖中的具體數(shù)字，有(3，4)處、(8，5)處的兩個(gè)數(shù)字奇偶性均不相同，所以一定不滿足．

而剩下的幾個(gè)位置奇偶性相同，有可能滿足．

進(jìn)一步驗(yàn)證，有(9，3)處剪開(kāi)的末兩位數(shù)字之差為43-19=24，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(7，1)，(1，9)處剪開(kāi)的末兩位數(shù)字之差為62-3=28．86-42=44，58-26=32，85-17=68，91-57=34，71-39=32．

所以從(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)處剪開(kāi)，所得的兩個(gè)互為反序的九位數(shù)的差才是396的倍數(shù)．

(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)處左右兩個(gè)數(shù)的乘積為27，8，12，48，35，9．

11．有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號(hào)，他們是l號(hào)到15號(hào)．1號(hào)同學(xué)寫了一個(gè)自然數(shù)，2號(hào)說(shuō)：“這個(gè)數(shù)能被2整除”，3號(hào)說(shuō)：“這個(gè)數(shù)能被3整除”，……，依次下去，每位同學(xué)都說(shuō)，這個(gè)數(shù)能被他的編號(hào)數(shù)整除．1號(hào)作了一一驗(yàn)證：只有編號(hào)連續(xù)的兩位同學(xué)說(shuō)得不對(duì)，其余同學(xué)都對(duì)．問(wèn)：

(1)說(shuō)得不對(duì)的兩位同學(xué)，他們的編號(hào)是哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)?

(2)如果告訴你，1號(hào)寫的數(shù)是五位數(shù)，請(qǐng)求出這個(gè)數(shù)．

【分析與解】

(1)列出這14個(gè)除數(shù)：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15.注意到如果這個(gè)數(shù)不能被2整除，那么一定不能被4、6、8、10…等整除，顯然超過(guò)兩個(gè)自然數(shù)；類。似這種情況的還有3～6、9…；4～8、12…；5～10、15…；6～12…；

若不能被7整除，那么一定不能被14整除，而這兩個(gè)自然數(shù)不連續(xù)；

若不能被12整除，那么4和3中至少有一個(gè)不能整除1號(hào)所說(shuō)的自然數(shù)，而12與3、4均不連續(xù)；類似這種情況的還有10(對(duì)應(yīng)2和5)；14(對(duì)應(yīng)2和7)；15(對(duì)應(yīng)3和5)；

這樣只剩下8、9、11、13，而連續(xù)的只有8、9．

所以說(shuō)的不對(duì)的兩位同學(xué)的編號(hào)為8、9這兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)．

(2)由(1)知，這個(gè)五位數(shù)能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15整除．

所以[2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15]=×3×5×7×11×13=60060．

所以1號(hào)寫出的五位數(shù)為60060．

12．找出4個(gè)不同的自然數(shù)，使得對(duì)于其中任何兩個(gè)數(shù)，它們的和總可以被它們的差整除．如果要求這4個(gè)數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)的和盡可能的小，那么這4個(gè)數(shù)里中間兩個(gè)數(shù)的和是多少?

【分析與解】

我們?cè)O(shè)這四個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)數(shù)為a，要求4個(gè)最大的數(shù)與最小的數(shù)的和盡可能小，則先盡量讓a最小．

當(dāng)a=1，設(shè)4個(gè)數(shù)中另外三個(gè)數(shù)中某個(gè)數(shù)為b，有等必須為整數(shù)，而=1+，則2能被(b-1)整除，顯然(b-1)只能為2或1，對(duì)應(yīng)b只能是3或2，但是題中要求a至少能與三個(gè)數(shù)存在差能被和整除的關(guān)系，所以不滿足．

當(dāng)a=2，設(shè)4個(gè)數(shù)中另外三個(gè)數(shù)中某個(gè)數(shù)為c，有必須為整數(shù)，而=l+，則4能被(c-2)整除，有(c-2)可以為4、2、1，對(duì)應(yīng)c可以為6、4或3．

驗(yàn)證6、4、3、2是滿足條件的數(shù)組，它們的中間兩個(gè)數(shù)的和為4+3=7即為題中條件下的和．

試求6個(gè)不同的正整數(shù)，使得它們中任意兩數(shù)之積可被這兩個(gè)數(shù)之和整除．

【試題分析】

取六個(gè)數(shù)1，2，3，4，5，6，并把它們兩兩相加得到15個(gè)和：

1+2，l+3，…，5+6．

這15個(gè)和的最小公倍數(shù)是：

×××5×7×11=27720．

把它依次乘所取的六個(gè)數(shù)得：27720，55440，83160，110880，138600及166320.這六個(gè)數(shù)就滿足題目的要求．

13．把若干個(gè)自然數(shù)1，2，3，…乘到一起，如果已知這個(gè)乘積的最末十三位恰好都是零，那么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應(yīng)該是多少?

【分析與解】

方法一：要求乘積的末十三位均是0，那么這個(gè)乘積至少含有13個(gè)質(zhì)因數(shù)2，13個(gè)質(zhì)因數(shù)5．

連續(xù)的自然數(shù)中2的倍數(shù)的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)大于5的倍數(shù)的個(gè)數(shù)．所以只用考慮質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)，有：13×5=65，而1～65中，25、50均含有2個(gè)質(zhì)因數(shù)5．

所以只需連乘到(13-2)×5=55即可．也就是說(shuō)1×2×3×…的積的末十三位均是0，那么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應(yīng)是55．

方法二：我們分段考慮質(zhì)因數(shù)5的出現(xiàn)的情況：

在1至9中，有5本身，出現(xiàn)1次因數(shù)5；

在10至19中，有10、15，出現(xiàn)2次因數(shù)5；

在20至29中，有20、25，由于25=5×5，5出現(xiàn)了2次，所以共出現(xiàn)3次因數(shù)5；

在30至39、40至49中，各出現(xiàn)2次5的因子，至此共出現(xiàn)了l+2+3+2+2=10次5的因子．

在50至59中，有50、55、50=2×5×5出現(xiàn)了兩次5的次因子，所以這里共有3個(gè)5的因子．

所以到55為止，共出現(xiàn)13次5的因子，55為出現(xiàn)的最小自然數(shù)，使得2乘到它的結(jié)果中末尾有13個(gè)0．

14.975×935×972×口，要使這個(gè)連乘積的最后4個(gè)數(shù)字都是0，那么在方框內(nèi)最小應(yīng)填什么數(shù)?

【分析與解】

975含有2個(gè)質(zhì)因數(shù)5，935含有1個(gè)質(zhì)因數(shù)5，972含有2個(gè)質(zhì)因數(shù)2．而975×935×972×口的乘積最后4個(gè)數(shù)都是0．

那么，至少需要4個(gè)質(zhì)因數(shù)5，4個(gè)質(zhì)因數(shù)2．

所以，口至少含有1個(gè)質(zhì)因數(shù)5，2個(gè)質(zhì)因數(shù)2，即最小為5×2×2=20．

15．如圖4-2，依次排列的5個(gè)數(shù)是13，12，15，25，20．它們每相鄰的兩個(gè)數(shù)相乘得4個(gè)數(shù)．這4個(gè)數(shù)每相鄰的兩個(gè)數(shù)相乘得3個(gè)數(shù)．這3個(gè)數(shù)每相鄰的兩個(gè)數(shù)相乘得2個(gè)數(shù)．這2個(gè)數(shù)相乘得1個(gè)數(shù)．請(qǐng)問(wèn)：最后這個(gè)數(shù)從個(gè)位起向左數(shù)．可以連續(xù)地?cái)?shù)出幾個(gè)零?

【分析與解】

如下圖，我們?cè)趫D中標(biāo)出每個(gè)數(shù)含有質(zhì)因數(shù)2、5的個(gè)數(shù)，除第一行外，每個(gè)數(shù)都是上一行左、右上方兩數(shù)的乘積，所以每個(gè)數(shù)含有質(zhì)因數(shù)2、5的個(gè)數(shù)也都是上一行左、右上方兩數(shù)含有質(zhì)因數(shù)2、5個(gè)數(shù)的和．

所以，最后一行的一個(gè)數(shù)含有10個(gè)質(zhì)因數(shù)2，15個(gè)質(zhì)因數(shù)5．

而一個(gè)數(shù)末尾含有連續(xù)0的個(gè)數(shù)決定于質(zhì)因數(shù)2、5個(gè)數(shù)的最小值，所以最后一行的一個(gè)數(shù)末尾含有10個(gè)連續(xù)的0．

習(xí)題1

1～9九個(gè)數(shù)字按圖4-3所示的次序排成一個(gè)圓圈，請(qǐng)?jiān)谀硟蓚€(gè)數(shù)之間剪開(kāi)，分別按順時(shí)針和逆時(shí)針次序形成兩個(gè)九位數(shù)．如果要求剪開(kāi)后所得到的兩個(gè)九位數(shù)的差能被396整除，那么應(yīng)在何處剪開(kāi)?

習(xí)題2

有20位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號(hào)，他們是1號(hào)到20號(hào)．1號(hào)同學(xué)寫了一個(gè)自然數(shù)，2號(hào)說(shuō)：“這個(gè)數(shù)能被2整除”，3號(hào)說(shuō)：“這個(gè)數(shù)能被3整除”，……，依次下去，每位同學(xué)都說(shuō)，這個(gè)數(shù)能被他的編號(hào)數(shù)整除．1號(hào)作了一一驗(yàn)證：只有編號(hào)連續(xù)的兩位同學(xué)說(shuō)得不對(duì)，其余同學(xué)都對(duì)．問(wèn)：

(1)說(shuō)得不對(duì)的兩位同學(xué)，他們的編號(hào)是哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)?

(2)如果告訴你，1號(hào)寫的數(shù)是七位數(shù)，請(qǐng)求出這個(gè)數(shù)．

習(xí)題1

【分析與解】

在解這道題之前我們先看一個(gè)規(guī)律：

與的差一定是

(如：12365為原序數(shù)，那么它對(duì)應(yīng)的反序數(shù)為56321，它們的差43956是99的倍數(shù)．對(duì)于上面的規(guī)律想想為什么?)

那么互為反序的兩個(gè)九位數(shù)的差，一定能被99整除．

而396=99×4，所以我們只用考察它能否能被4整除．

于是只用觀察原序數(shù)、反序數(shù)的末兩位數(shù)字的差能否被4整除，顯然只有當(dāng)剪開(kāi)處兩個(gè)數(shù)的奇偶性相同時(shí)才有可能．

注意圖中的具體數(shù)字，有(3，8)處、(8，1)處、(1，6)處、(4，9)處、(9，2)處、(2，5)處的兩個(gè)數(shù)字奇偶性均不相同，所以一定不滿足．

而(6，4)處、(5，7)處、(7，3)處奇偶性相同，有可能滿足．

進(jìn)一步驗(yàn)證，有(6，4)處剪開(kāi)的末兩位數(shù)字之差為94-16=78，不是4的倍數(shù)，不滿足．

(5，7)處剪開(kāi)則有末兩位數(shù)字之差為37-25=12，是4的倍數(shù)，滿足．

(7，3)處剪開(kāi)則有末兩位數(shù)字之差為83-57=26，不是4的倍數(shù)，不滿足．

所以只能從5、7處剪開(kāi)，所得的兩個(gè)互為反序的九位數(shù)的差才是396的倍數(shù)．

習(xí)題2

【分析與解】(1)列出這19個(gè)除數(shù)：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20．24、6、8、10、12、14、16、18、20，所以一定能被2整除；36、9、12、15、18，所以一定能被3整除：48、12、16、20，所以一定能被4整除；510、15、20，所以一定能被5整除；

612、18，所以一定能被6整除；

714，但是7、14不連續(xù)，所以一定能被7整除；

816，但是8、16不連續(xù)，所以一定能被8整除；

918，但是9、18不連續(xù)，所以一定能被9整除；

1020，但是10、20不連續(xù)，所以一定能被20整除：

11，保留；

12不能被3或4整除，它們又不連續(xù)，所以一定能被12整除；

13，保留；

14不能被2或7整除，它們又不連續(xù)，所以一定能被14整除；

15不能被3或5整除，它們又不連續(xù)，所以一定能被15整除；

16，保留；

17，保留；

18不能被2或9整除，它們又不連續(xù)，所以一定能被18整除；

19，保留；

20不能被4或5整除，它們又不連續(xù)，所以一定能被20整除．

其中，保留的數(shù)有11，13，16，17，19，但是只有16、17兩個(gè)數(shù)連續(xù)，所以說(shuō)得不對(duì)的兩個(gè)同學(xué)的編號(hào)為16、17．

(2)由(1)知，這個(gè)七位數(shù)能被2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，18，19，20整除．如下所示：

[2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，18，19，20]=××5×7×11×13×19=6846840．

所以1號(hào)寫出的七位數(shù)為6846840．