第一篇：[初中數(shù)學(xué)]直角三角形教學(xué)設(shè)計(jì)1 北師大版

第一章

證明

（二）2．直角三角形

（二）一、學(xué)生知識(shí)狀況分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)直角三角形全等判定定理“HL”之前已經(jīng)接觸過(guò)，只是原來(lái)僅屬于了解階段?，F(xiàn)在是要重新認(rèn)識(shí)這個(gè)定理，并且要掌握這個(gè)定理的證明以及利用這個(gè)定理解決相關(guān)問(wèn)題有一個(gè)較高的要求。

二、教學(xué)任務(wù)分析

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是： 1．知識(shí)目標(biāo)：

①能夠證明直角三角形全等的“HL”的判定定理，進(jìn)一步理解證明的必要性 ②利用“HL’’定理解決實(shí)際問(wèn)題 2．能力目標(biāo)：

①進(jìn)一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力

②初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度提出問(wèn)題，理解問(wèn)題，體驗(yàn)解決問(wèn)題的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神． 3．情感與價(jià)值觀要求

①積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心

②形成實(shí)事求是的態(tài)度以及進(jìn)行質(zhì)疑和獨(dú)立思考的習(xí)慣 4．教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) HL定理的推導(dǎo)及應(yīng)用

三、教學(xué)過(guò)程分析

本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：提問(wèn)質(zhì)疑；第二環(huán)節(jié)：引入新課；第三環(huán)節(jié)：做一做；第四環(huán)節(jié)：議一議；第五環(huán)節(jié)：．課時(shí)小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。

第一環(huán)節(jié)：提問(wèn)質(zhì)疑

我們?cè)鴱恼奂埖倪^(guò)程中得到啟示，作了等腰三角形底邊上的中線或頂角的角平分線，運(yùn)用公理，證明三角形全等，從而得出“等邊對(duì)等角”。那么我們能否通過(guò)作等腰三角形底邊的高來(lái)證明“等邊對(duì)等角”．

要求學(xué)生完成，一位學(xué)生的過(guò)程如下： 已知：在△ABC中，AB=AC．

求證：∠B=∠C．

證明：過(guò)A作AD⊥BC，垂足為C，∴∠ADB=∠ADC=90° 又∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．

∴∠B=∠C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）

在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，有學(xué)生對(duì)上述證明方法產(chǎn)生了質(zhì)疑。質(zhì)疑點(diǎn)在于“在證明△ABD≌△ACD時(shí)，用了“兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)相等的兩個(gè)三角形全等”．而我們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)全等的時(shí)候知道，兩個(gè)三角形，如果有兩邊及其一邊的對(duì)角相等，這兩個(gè)三角形是不一定全等的．可以畫(huà)圖說(shuō)明．(如圖所示在ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD與△ABC不全等)” ．

也有學(xué)生認(rèn)同上述的證明。

教師順?biāo)浦?，詢?wèn)能否證明：“在兩個(gè)直角三角形中，直角所對(duì)的邊即斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．”，從而引入新課。

第二環(huán)節(jié)：引入新課

1．“HL”定理．由師生共析完成

已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′． 求證：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′

證明：在Rt△ABC中，AC=AB一BC(勾股定理)． 又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' =A'C'=A'B'2一B'C'2(勾股定理)．

2AA'BCB'C'

AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'． ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SSS)． 教師用多媒體演示：

定理

斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．

這一定理可以簡(jiǎn)單地用“斜邊、直角邊”或“HL”表示．

從而肯定了第一位同學(xué)通過(guò)作底邊的高證明兩個(gè)三角形全等，從而得到“等邊對(duì)等角”的證法是正確的．

練習(xí)活動(dòng)：利用投影打出題目判斷對(duì)錯(cuò)，讓學(xué)生說(shuō)明理由。

活動(dòng)目的：讓學(xué)生辨析一個(gè)命題的真假不是靠感覺(jué)而是

AD12BEC依賴于原有的定理或公理。要經(jīng)過(guò)很好的理性思考之后才能判斷對(duì)錯(cuò)。

活動(dòng)過(guò)程如下：

判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由：

(1)兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

(2)斜邊及一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

(3)兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

(4)一條直角邊和另一條直角邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．

對(duì)于（1）、（2）、（3）一般可順利通過(guò)，這里教師將講解的重心放在了問(wèn)題（4），學(xué)生感覺(jué)是真命題，一時(shí)有無(wú)法直接利用已知的定理支持，教師引導(dǎo)學(xué)生證明．

已知：R△ABC和Rt△A'B ' C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分別是AC、A'C'邊上的中線且BD—B'D'(如圖)．

求證：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'． 證明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，∵BD=B'D',BC=B'C', ∴Rt△BDC≌Rt△B 'D 'C '(HL定理)． CD=C'D'．

又∵AC=2CD，A 'C '=2C 'D '，∴AC=A'C'． ∴在Rt△ABC和Rt△A 'B 'C '中，∵BC=B'C '，∠C=∠C '=90°，AC=A'C '，BCB'C'ADA'D'

∴Rt△ABC≌CORt△A'B'C(SAS)．

活動(dòng)效果及注意事項(xiàng):通過(guò)上述師生共同活動(dòng)，學(xué)生板書(shū)推理過(guò)程之后可發(fā)動(dòng)學(xué)生去糾錯(cuò)，教師最后再總結(jié)。這樣的評(píng)價(jià)活動(dòng)的效果估計(jì)應(yīng)該是更好一些。

第三環(huán)節(jié)：做一做

問(wèn)題

你能用三角尺平分一個(gè)已知角嗎? 請(qǐng)同學(xué)們用手中的三角尺操作完成，并在小組內(nèi)交流，用自己的語(yǔ)言清楚表達(dá)自己的想法．

學(xué)生完成的實(shí)況如下：

[生]用三角尺可以作已知角的平分線：如圖，在已知∠AOB的兩邊上分別取點(diǎn)M，N，使OM=ON，再過(guò)點(diǎn)M作OA的垂線，過(guò)點(diǎn)N作OB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)P，那么射線OP就是么AOB的平分線．

[師]同學(xué)們表現(xiàn)都很棒．你能說(shuō)明這樣做的理由嗎?也就是說(shuō)，你能證明OP就是∠AOB平分線嗎? [生]可以．已知：如上圖，由作圖步驟可知ON=OM，MP上OA，NP上OB，M、N分別為垂足．

求證：∠AOP=∠BOP．

證明：∵ MP⊥OA，NP⊥OB，∴∠OMP= ∠ NP=90°．

在Rt△OMP和Rt△ONP中，∵OP=OP，OM=ON.∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL定理)．

∠AOP=∠ZBOP(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)．

第四環(huán)節(jié)：議一議

如圖，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，還需要什么條件?把它們分別寫(xiě)出來(lái)．

這是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，答案不唯一，需要我們靈活地運(yùn)用公理和已學(xué)過(guò)的定理，觀察圖形，積極思考，并在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，通過(guò)同學(xué)之間的交流，獲得各種不同的答案．

ONBMPA

(教師一定要提供時(shí)間和空間，讓同學(xué)們認(rèn)真思考，勇于向困難提出挑戰(zhàn))學(xué)生完成的實(shí)況如下：

[生]觀察圖形不難發(fā)現(xiàn).在Rt△ACB和Rt△BDA中，除么∠ACB=∠BDA=90°外，它們有一條公共邊，根據(jù)直角三角形全等的判定可知添加的條件可以是直角三角形的銳角，也可以是直角三角形中的直角邊．從添加角來(lái)說(shuō)，可以添加∠CBA=∠DAB或∠CAB=∠DBA；從添加邊來(lái)說(shuō)，可以是AC=BD，也可以是BC=AD．

[生]還可以將BC、AD的交點(diǎn)設(shè)為O，若OA=OB，則△ACB≌△BDA．

[師]第一位同學(xué)的想法思路清晰明了，第二位同學(xué)敢打破常規(guī)思路．獨(dú)辟蹊徑，并且很有見(jiàn)地．請(qǐng)同學(xué)們思考，第二位同學(xué)添加的條件可以嗎?若可以，請(qǐng)同學(xué)們推導(dǎo)證明；若不可以，說(shuō)明理由．

[生]我認(rèn)為可以，我是這樣推導(dǎo)出來(lái)的．

已知：如上圖，AD、BC交于點(diǎn)O，且OB=OA．∠ACB=∠BDA=90°, 求證：△ACB≌△BDA． 證明：在Rt△ACO和Rt△BDO中 ∵AO=BO，∠ ACB=∠BDA=90° ∠AOC=∠△BOD(對(duì)頂角相等)，∴△ACO≌△BDO(AAS)． ∴AC=BD．又∵AB=AB，∴△ACB≌△BDA(HL定理)．

[生]我還有一種方法，如果把剛才添加的條件“OA=OB”改寫(xiě)成“OC=OD”，也可以使△ACB≌△BDA．

[師]請(qǐng)同學(xué)們思考這樣做可以嗎? [生]我認(rèn)為可以．推導(dǎo)過(guò)程如下：

已知：如上圖，∠ACB=∠BDA=90°，OC=OD． 求證：△ACB≌△BDA． 證明：在△AOC和△BOD中

∵∠ACB=∠BDA=90°，OC=OD，∠AOC=∠BOD(對(duì)頂角相等)，∴△AOC≌△BOD(ASA)． ∴AC=BD(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)

CODAB

在△ACB和△BDA中，∵AB=AB，AC=BD，∠ACB=∠BDA，∴△ACB≌BDA(HL定理)．

[生]我又有一種想法，若添加∠CAD=∠DBC”，可以得出△ACB≌△BDA嗎? [生]我認(rèn)為不可以，因?yàn)樘怼啊螩AD=∠DBC”，則在△AOC和△BOD中，有三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，不能證明△AOC≌△BOD，也就不能獲得△ACB和△BDA全等的條件．

[師]同學(xué)們分析得很透徹，由此我們得到了六種不同的答案．例如.(1)AC=BD；(2)BC=AD；(3)∠CBA∠=∠DAB；(4)∠CAB=∠DBA；(5)OA=OB；(6)OC=OD，等．

下面我們?cè)賮?lái)看一例題．

[例題]如圖，在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分別分別是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．

求證：△ABC≌△A'B'C'．

分析：要證△ABC≌△A'B'C'，由已知中找到條件：一組邊

AC=A'C'，一組角

ADBA'D'B'CC'∠ACB=∠A'C'B'．如果尋求∠A=∠A'，就可用ASA證明全等；也可以尋求么∠B=∠B'，這樣就有AAS；還可尋求BC=B'C'，那么就可根據(jù)SAS．……注意到題目中，通有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'．觀察圖形，這里有三對(duì)三角形應(yīng)該是全等的，且題目中具備了HL定理的條件，可證的Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，因此證明∠A=∠A' 就可行．

證明：∵CD、C'D'分別是△ABC△A'B'C'的高(已知)，∴∠ADC=∠A'D'C'=90°． 在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，AC=A'C'(已知)，CD=C'D'(已知)，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL)． ∠A=∠A'，(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)． 在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'(已證)，AC=A'C'(已知)，∠ACB=∠A'C'B'(已知)，∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)．

第五環(huán)節(jié)：課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課我們討論了在一般三角形中兩邊及其一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等．而當(dāng)一邊的對(duì)角是直角時(shí)，這兩個(gè)三角形是全等的，從而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具體的、開(kāi)放性的問(wèn)題，不僅進(jìn)一步掌握了推理證明的方法，而且發(fā)展了同學(xué)們演繹推理的能力．同學(xué)們這一節(jié)課的表現(xiàn)，很值得繼續(xù)發(fā)揚(yáng)廣大．

第六環(huán)節(jié)：課后作業(yè)

習(xí)題1．5第1、2題

四、教學(xué)反思

本節(jié)HL定理的證明學(xué)生掌握得比較好，定理的應(yīng)用方面尤其是“議一議”中的該題靈活性較強(qiáng)，給教師和學(xué)生發(fā)揮的余地較大，該題是一個(gè)開(kāi)放題，結(jié)論和方法并不惟一，所以學(xué)生積極性非常高，作為教師要充分利用好這個(gè)資源，可以達(dá)到一題多解，舉一反三的效果。

第二篇：初中數(shù)學(xué)課件 直角三角形

專(zhuān)題18

直角三角形

閱讀與思考從代數(shù)角度，考察方程的正整數(shù)解，古希臘人找到了這個(gè)方程的全部整數(shù)解：

其中，是自然數(shù)，，一奇一偶.17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家提出猜想：當(dāng)時(shí)，方程無(wú)正整數(shù)解.1994年，美國(guó)普林斯頓大學(xué)教授維爾斯證明了費(fèi)爾馬猜想.直角三角形是一類(lèi)特殊三角形，有以下豐富的性質(zhì)：

角的關(guān)系：兩銳角互余；

邊的關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和；

邊角關(guān)系：所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.這些性質(zhì)廣泛應(yīng)用于線段計(jì)算、證明線段倍分關(guān)系、證明線段平方關(guān)系等方面.在現(xiàn)階段，勾股定理是求線段的長(zhǎng)度的主要方法，若圖形缺少條件直角條件，則可通過(guò)作輔助垂線的方法，構(gòu)造直角三角形為勾股定理的應(yīng)用創(chuàng)造必要條件；運(yùn)用勾股定理的逆定理，通過(guò)代數(shù)方法計(jì)算，也是證明兩直線垂直的一種方法.熟悉以下基本圖形基本結(jié)論：

例題與求解

【例l】（1）直角△ABC三邊的長(zhǎng)分別是，和5，則△ABC的周長(zhǎng)＝_____________.△ABC的面積＝_____________.（2）如圖，已知Rt△ABC的兩直角邊AC＝5，BC＝12，D是BC上一點(diǎn)，當(dāng)AD是∠A的平分線時(shí)，則CD＝_____________.（太原市競(jìng)賽試題）

解題思路：對(duì)于（1），應(yīng)分類(lèi)討論；對(duì)于（2），能在Rt△ACD中求出CD嗎？從角平分線性質(zhì)入手.【例2】如圖所示的方格紙中，點(diǎn)A，B，C，都在方格線的交點(diǎn)，則∠ACB＝（）

A.120°

B.135°

C.150°

D.165°

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：方格紙有許多隱含條件，這是解本例的基礎(chǔ).【例3】如圖，P為△ABC邊BC上的一點(diǎn)，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求∠ACB的度數(shù).（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：不能簡(jiǎn)單地由角的關(guān)系推出∠ACB的度數(shù)，綜合運(yùn)用條件PC＝2PB及∠APC＝60°，構(gòu)造出含30°的直角三角形是解本例的關(guān)鍵.【例4】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分別以AB，AC為邊在△ABC的外側(cè)作等邊△ABE和等邊△ACD，DE與AB交于F，求證：EF＝FD.（上海市競(jìng)賽試題）

解題思路：已知FD為Rt△FAD的斜邊，因此需作輔助線，構(gòu)造以EF為斜邊的直角三角形，通過(guò)全等三角形證明.【例5】在證明含有線段平方之間的和（差）關(guān)系時(shí)，常常要聯(lián)想到勾股定理，若圖中缺少直角條件，則可通過(guò)作輔助線，構(gòu)造直角三角形.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求證：

（北京市競(jìng)賽試題）

解題思路：由待證結(jié)論易聯(lián)想到勾股定理，因此，三條線段可構(gòu)成直角三角形，應(yīng)設(shè)法將這三條線段集中在同一三角形中.【例6】在運(yùn)用勾股定理時(shí)，常常對(duì)進(jìn)行變形，運(yùn)用乘法公式、整數(shù)與方程知識(shí)綜合求解.斯特瓦爾特定理：

如圖，設(shè)D為△ABC的邊BC上任意一點(diǎn)，a，b，c為△ABC三邊長(zhǎng)，則.請(qǐng)證明結(jié)論成立.解題思路：本題充分體現(xiàn)了勾股定理運(yùn)用中的數(shù)形結(jié)合思想.能力訓(xùn)練

A級(jí)

1.在很多情況下，需要由線段的數(shù)量關(guān)系去判斷線段的垂直位置關(guān)系，這就要熟悉一些常用的勾股數(shù)組.如圖，D為△ABC的邊BC上一點(diǎn)，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，則BC＝_____________.2.如圖，在Rt△ABC中∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE是斜邊AB的垂直平分線，且DE＝1cm，則AC＝_____________cm.3.如圖，四邊形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，則∠DAB＝_____________.（上海市競(jìng)賽試題）

4.如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，邊BC上的中線AD＝6，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)____________.（湖北省預(yù)賽試題）

5.如果一個(gè)三角形的一條邊是另一條邊的2倍，并且有一個(gè)角是30

o，那么這個(gè)三角形的形狀是（）

A.直角三角形

B.鈍角三角形

C.銳角三角形

D.不能確定

（山東省競(jìng)賽試題）

6.如圖，小正方形邊長(zhǎng)為1，連結(jié)小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)可得△ABC，則AC邊上的高為（）

A.B.C.D.（福州市中考試題）

7.如圖，一個(gè)長(zhǎng)為25分米的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯足距墻底端7分米，如果梯子的頂端沿墻下滑4分米，那么梯足將滑（）

A.15分米

B.9分米

C.8分米

D.5分米

8.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，AD＝5，那么等于（）

A.1

B.2

C.D.9.如圖，△ABC中，AB＝BC＝CA，AE＝CD，AD，BE相交于P，BQ⊥AD于Q，求證：BP＝2PQ.（北京市競(jìng)賽試題）

10.如圖，△ABC中，AB＝AC.（1）若P是BC邊上中點(diǎn)，連結(jié)AP，求證：

（2）P是BC邊上任意一點(diǎn)，上面的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若P是BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，線段AB，AP，BP，CP之間有什么樣的關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.11.如圖，直線OB是一次函數(shù)圖象，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），在直線OB

上找點(diǎn)C，使得△ACO為等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).12.已知：如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在處，交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面積.（山西省中考試題）

B級(jí)

1.若△ABC的三邊a,b,c滿足條件：，則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高為_(kāi)____________.2.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA＝1，PB＝3，PC＝，則∠CPA＝_____________.3.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)____________.4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，則CF與GB的大小關(guān)系是（）

A.CF＞GB

B.CF＝GB

C.CF＜GB

D.無(wú)法確定

5.在△ABC中，∠B是鈍角，AB＝6，CB＝8，則AD的范圍是（）

A.8＜AC＜10

B.8＜AC＜14

C.2＜AC＜14

D.10＜AC＜14

（江蘇省競(jìng)賽試題）

6.滿足兩條直角邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且周長(zhǎng)恰好等于面積的整數(shù)倍的直角三角形的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

（浙江省競(jìng)賽試題）

7.如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5，求△DEF的面積.（四川省聯(lián)賽試題）

8.如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D為斜邊BC中點(diǎn)，DE⊥DF，求證：

（江蘇省競(jìng)賽試題）

9.探索性試題是指問(wèn)題中的題設(shè)條件或結(jié)論不完整，從而有深入探討的余地，存在型命題的探索，是給定條件后，判斷所研究的對(duì)象是否存在.周長(zhǎng)為6，面積為整數(shù)的直角三角形是否存在？若不存在，請(qǐng)給出證明；若存在，請(qǐng)證明有幾個(gè).（全國(guó)聯(lián)賽試題）

10.如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，求△ABC面積.（天津市競(jìng)賽試題）

11.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，F(xiàn)分別是BC上兩點(diǎn)，若∠EAF＝45°，試推斷BE，CF，EF之間數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.12.已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠MCN＝45°.（1）如圖1，當(dāng)M，N在AB上時(shí)，求證：

（2）如圖2，將∠MCN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)M在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（天津市中考試題）

第三篇：初中數(shù)學(xué)解直角三角形測(cè)試題

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初中數(shù)學(xué)解直角三角形測(cè)試題

一.選擇題：（每小題2分，共20分）

1.在△EFG中，∠G=90°，EG=6，EF=10，則cotE=（）A.4353 2.在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，tanC的值是（）

A.3 B.4 C.3 D.512 B.33 C.1 D.2，tan2

3.在△ABC中，若cosA?B?3，則這個(gè)三角形一定是（）

A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形

4.如圖18，在△EFG中，∠EFG=90°，F(xiàn)H⊥EG，下面等式中，錯(cuò)誤的是（）

A.sinG?EF B.sinG?EH

EG C.sinG?GH D.sinG?FGEFFH

FG 5.sin65°與cos26°之間的關(guān)系為（）

A.sin65°cos26°

C.sin65°=cos26° D.sin65°+cos26°=1 6.已知30°<α<60°，下列各式正確的是（）

A.B.C.D.7.在△ABC中，∠C=90°，sinA?25，則sinB的值是（）

A.B.C.D.8.若平行四邊形相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為10和15，它們的夾角為60°，則平行四邊形的面積是（）米2

A.150 B.C.9 D.7 9.如圖19，鐵路路基橫斷面為一個(gè)等腰梯形，若腰的坡度為i= 2∶3，頂寬是3米，路基高是4米，則路基的下底寬是（）

A.7米 B.9米 C.12米 D.15米

10.如圖20，兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起，且它們的交角為α，則它們重疊部分（圖中阻影部分）的面積為（）

A.1sin? B.1cos? C.sin? D.1 二.填空題：（每小題2分，共10分）

11.已知0°<α<90°，當(dāng)α=__________時(shí)，sin??時(shí)，12.若。，則銳角α=__________。

12，當(dāng)α=__________試題寶典

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13.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA?35，a?b?c?36，則a=__________，b=__________，c=__________，cotA=__________。

14.若一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2cm和6cm，則底邊上的高為_(kāi)_________cm，底角的余弦值為_(kāi)_________。

15.酒店在裝修時(shí)，在大廳的主樓梯上鋪設(shè)某種紅色地毯，已知這種地毯每平方米售價(jià)30元，主樓梯寬2米，其側(cè)面如圖21所示，則購(gòu)買(mǎi)地毯至少需要__________元。三.解答題：（16、17每小題5分，其余每小題6分共70分）

16.計(jì)算(1?tan60??sin60?)(1?cot30??cos30?)

17.如圖22，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AD=AB，求tanD。

18.已知直角三角形中兩條直角邊的差是7cm，斜邊的長(zhǎng)是13cm，求較小銳角α的各三角函數(shù)值。

19.如圖23，ABCD為正方形，E為BC上一點(diǎn)，將正方形折疊，使A點(diǎn)與E點(diǎn)重合，折痕為MN，若tan?AEN?1,DC?CE?10。（1）求△ANE的面積；（2）求sin∠ENB的值。

20.已知在△ABC中，AB?23，AC=2，BC邊上的高AD?3。（1）求BC的長(zhǎng)；（2）若有一個(gè)正方形的一邊在AB上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AC和BC上，求正方形的面積。

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21.已知，△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，求AD的長(zhǎng)。

22.如圖，在△ABC中，∠C=90°，D是BC邊上一點(diǎn)，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE∶AE=1∶5，BE=3，求△ABD的面積。

23.已知?ABC中，AD為中線，?BAD?60?,AB?10,BC?43，求AC的長(zhǎng)。

24.在△ABC中，∠A＝1200，AB＝12，AC＝6。求sinB＋sinC的值。

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25.四邊形ABCD中，BC⊥CD，∠BCA＝60，∠CDA＝135，BC?10,S?ABC?403。求AD邊的長(zhǎng)。

26．湖面上有一塔高15米，在塔頂A測(cè)得一氣球的仰角為40，又測(cè)得氣球在水中像的俯角為60，求氣球高出水面的高度（精確到0.1米）。

27、由于過(guò)度采伐森林和破壞植被，使我國(guó)許多地區(qū)遭受沙尖暴侵襲。近日A市氣象局測(cè)得沙塵暴中心在A市正西300公里的B處以107海里/時(shí)的速度向南偏東60的BF方向移動(dòng)，距沙塵暴中心200公里的范圍是受沙塵暴影響的區(qū)域。

（1）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明A市是否受到本次沙塵暴的影響？

（2）若A市受沙塵暴影響，求A市受沙塵暴影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？

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試題答案 一.選擇題：

1.A 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B 9.D 10.A 提示：10.如圖24所示，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E、F，依題意，有AE=AF=1，可證得∠ABE=∠ADF=α。

所以可證得△ABE≌△ADF，得AB=AD，則四邊形ABCD是菱形。

在Rt△ADF中，所以

二.填空題：

11.30°，30°；12.60°；13.a=9，b=12，c=15，14.15.504。

提示：13.設(shè)a=3t，c=5t，則b=4t，由a+b+c=36，得t=3。

所以a=9，b=12，c=15。

。

14.等腰三角形的腰只能是6，底邊為2，腰不能為2，否則不滿足三角形兩邊之和大于第三邊，作底邊上的高，利用勾股定理求高。

15.利用平移線段，把樓梯的橫豎向上向左平移，構(gòu)成一個(gè)矩形，長(zhǎng)寬分別為5.8米，2.6米，則地毯的長(zhǎng)度為2.6+5.8=8.4米，地毯的面積為8.4×2=16.8平方米，則買(mǎi)地毯至少需要16.8×30=504元。

三.解答題：

16.17.；

；

18.19.分析：根據(jù)條件可知MN是AE的垂直平分線，則AN=NE。所以∠AEN可以是Rt△EGN的一個(gè)銳角，或是Rt△GAN的一個(gè)銳角，或是Rt△EBA的一個(gè)銳角。

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解：∵

∵DC+CE=10，∴3a+2a=10，∴a=2。

∴BE=2，AB=6，CE=4。

又。

20.根據(jù)條件顯然有兩種情況，如圖25。

（1）在圖25（1）中，可求CD=1，∠CAD=30°，∠B=30°，∠C=60°，BC=4，所以△ABC是直角三角形。

在圖25（2）中，可求CD=1，∠CAD=30°，∠B=30°，∠BAD=60°，BC=AC=2，△ABC是等腰三角形，AC平分∠BAD。

（2）在圖26（1）中，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，∵。

在圖26（2）中，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x。，解得

解得

21.解法一：過(guò)B作CA延長(zhǎng)線的垂線，交于E試題寶典

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點(diǎn)，過(guò)D作DF⊥AC于F。

∴DF∥BE ∴△FDC∽△EBC

∵AD平分∠BAC

∵∠BAC=120°

∴∠EAB=180°－∠BAC=60°

在Rt△ABE中，在Rt△ADF中，∵∠DAC=60°

解法二：如圖11，過(guò)C作CE⊥AD于D，過(guò)B作BF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于F。

∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°

∴∠BAD=∠CAD=60°。

在Rt△AEC中，在Rt△ABF中，∵CE∥BF ∴△BDF∽△CDE。

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∵EF=1

分析：題目中有120°角及它的角平分線，所以有兩個(gè)60°這個(gè)特殊角，要求60°角的一條夾邊AD的長(zhǎng)，可以構(gòu)造等邊三角形，得到與AD相等的線段。

解法三：如圖12，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于E。

則∠ADE=∠BAD=∠DAC=60°

∴△ADE是等邊三角形。

∴AD=DE=AE 設(shè)AD=x ∵△ABC∽△EDC

解法四：如圖13，過(guò)B作AC的平行線交AD的延長(zhǎng)線于E。

∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°

∴∠BAD=∠DAC=∠E=60°。

∴△ADE是等邊三角形

∴AE=AB=BE=5 ∵AC∥BE ∴△CAD∽△BED

小結(jié)：解三角形時(shí)，有些圖形雖然不是直角三角形，但可以添加適當(dāng)?shù)妮o助線把它們分割成一些直角三角形和矩形，從而可以運(yùn)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)去解決這些圖形中求邊角的問(wèn)題。另外，在考慮這些組合圖形時(shí)，要根據(jù)題目中的條件和要求來(lái)確定邊與邊，角與角是相加還是相減。22.解：在△AED中，∵DE⊥AB于E，又∵DE∶AE=1∶5，∴設(shè)DE=x，則AE=5x。

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在△ADC中，∵∠C=90°，∠ADC=45°，∴∠DAC=45°，在Rt△BED和Rt△BCA中，∵∠B是公共角，∠BED=∠BCA=90°，∴△BED∽△BCA。

∴AB=AE+BE=10+3=13。

23.解：

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24提示：過(guò)C點(diǎn)作CE⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于E，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CA交 CA的延長(zhǎng)線于D。

SinB＋sinC＝2114?217?32114

25.提示：作AF⊥AC于F，作AE⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于E。可求AC＝16，AD＝8 2。

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第四篇：初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì) 北師大版七年級(jí)

初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì) 北師大版七年級(jí)（上）1.6整式的乘法（1）

初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

教案設(shè)計(jì)者：陳鳳昌

學(xué)科：數(shù)學(xué) 年級(jí)：七年級(jí)

課題名稱：北師大版七年級(jí)（上）1.6整式的乘法（1）教學(xué)分析 一．教學(xué)內(nèi)容

在七年級(jí)（上）有理數(shù)的乘法運(yùn)算（乘法交換律和結(jié)合律）、以及同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算的學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，來(lái)繼續(xù)探究單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則；會(huì)利用法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算，為今后學(xué)習(xí)整式的有關(guān)運(yùn)算作好鋪墊。． 二．教學(xué)目標(biāo)

●1.經(jīng)歷探索單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則的過(guò)程，發(fā)展觀察，歸納，猜想，驗(yàn)證等能力，會(huì)進(jìn)行單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的運(yùn)算.●2.理解單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的算理，體會(huì)乘法交換律和結(jié)合律的作用和轉(zhuǎn)化的思想.三．教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：

●教學(xué)重點(diǎn) 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則及其應(yīng)用.●教學(xué)難點(diǎn) 靈活地進(jìn)行單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的運(yùn)算，單項(xiàng)式乘法法則有關(guān)系數(shù)的計(jì)算和同底數(shù)冪運(yùn)算在計(jì)算中的不同．

●教學(xué)方法 引導(dǎo)——發(fā)現(xiàn)——?dú)w納法 四．教學(xué)過(guò)程

? 復(fù)習(xí)舊知，做好準(zhǔn)備

1．下列單項(xiàng)式各是幾次單項(xiàng)式？它們的系數(shù)各是什么？

2．計(jì)算（1）（y=.）·（）

= ；（2），a

·a

=a

.（3）x·x

·x ? 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

●●其實(shí)整式的運(yùn)算就像數(shù)的運(yùn)算，除了加減法，還應(yīng)有整式的乘法，整式的除法.下面，我們先來(lái)看投影片中的問(wèn)題：

●探究活動(dòng)： 為支持北京申辦2008年奧運(yùn)會(huì)，一位畫(huà)家設(shè)計(jì)了一幅長(zhǎng)為6000名為 “奧運(yùn)龍”的宣傳畫(huà)．受他的啟發(fā)京京用兩張同樣大小的紙，精心制作了兩幅畫(huà)．如下圖所示，第一幅畫(huà)的畫(huà)面大小與紙的大小相同，第二幅畫(huà)的畫(huà)面在紙的上，下方各留有 并回答下列問(wèn)題

1）第一幅畫(huà)的畫(huà)面面積是 米2；(2)第二幅畫(huà)的畫(huà)面面積是 米

2x的空白．

.●●● 這種結(jié)果能表達(dá)得更簡(jiǎn)單些嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由． 解：從圖片我們可以讀出條件，第一個(gè)畫(huà)面的長(zhǎng)、寬分別為mx，米x米；第二個(gè)畫(huà)面的長(zhǎng)、寬分別為mx米、(x－ x－ x)即

x米.因此，第一幅畫(huà)的畫(huà)面面積是x·(mx)米2； 第二幅畫(huà)的畫(huà)面面積是(mx)·（x)米2.x).這是什么樣的運(yùn)算？.問(wèn)題：我們一起來(lái)看這兩個(gè)運(yùn)算：x·(mx),(mx)·(解：x,mx, x都是單項(xiàng)式，它們相乘是單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘.（對(duì)于答案又是怎樣得來(lái)的這個(gè)問(wèn)題學(xué)生有一定的困難，教師可引導(dǎo)學(xué)生回答）．

●設(shè)計(jì)意圖：此處使用教材所給的背景材料作為新課引入，由實(shí)際情境引出問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和探究的熱情，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)整式的乘法運(yùn)算是實(shí)際生活的需要而產(chǎn)生的．

?

式相乘.觀察思考，探究法則

大家都知道整式包括單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，從這節(jié)課開(kāi)始我們就來(lái)研究整式的乘法.我們先來(lái)學(xué)習(xí)單項(xiàng)式與單項(xiàng)運(yùn)用乘法的交換律、結(jié)合律和同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)等知識(shí)，探索單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則 問(wèn)題1、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式時(shí)，結(jié)果的系數(shù)是怎樣得到的？相同的字母怎么辦？?jī)H在一個(gè)單項(xiàng)式里出現(xiàn)的字母怎么辦？

解答：利用乘法交換律、結(jié)合律將系數(shù)與系數(shù)相乘，相同字母分別結(jié)合，只在一個(gè)單項(xiàng)式中出現(xiàn)，這個(gè)字母及其指數(shù)照搬．

問(wèn)題2 類(lèi)似地，你能用你的發(fā)現(xiàn)分別將（1）3a2b · 2ab3c和(2)（xyz2）·（4y2z3）表示的更簡(jiǎn)單嗎？

計(jì)算下列單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：并寫(xiě)出每一步的算理(1)3a2b· 2ab3c

=(2×3)(a2·a)(b·b3)c(乘法交換律、結(jié)合律)（系數(shù)與系數(shù)，相同字母分別結(jié)合，)=6a3b3c((c只在一個(gè)單項(xiàng)式中出現(xiàn)，這個(gè)字母及其指數(shù)照搬)(2)（xyz2）·（4y2z3）這個(gè)式子讓學(xué)生根據(jù)上面的例子學(xué)生自己完成。

●設(shè)計(jì)意圖：教師可提示利用乘法交換律、結(jié)合律以及前面所學(xué)的冪的運(yùn)算性質(zhì)，在學(xué)生探究的過(guò)程中要鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語(yǔ)言總結(jié)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則，理解整式乘法運(yùn)算的算理也是本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)，所以要讓學(xué)生明白每一步的算理．

通過(guò)學(xué)生探究總結(jié)得出單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它的系數(shù)、相同字母的冪相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式． 引導(dǎo)學(xué)生剖析法則的三個(gè)要點(diǎn)：

(1)法則實(shí)際分為三點(diǎn)：①系數(shù)相乘——有理數(shù)的乘法；②相同字母相乘——同底數(shù)冪的乘法；③只在一個(gè)單項(xiàng)式中含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式，不能丟掉這個(gè)因式．(2)不論幾個(gè)單項(xiàng)式相乘，都可以用這個(gè)法則．(3)單項(xiàng)式相乘的結(jié)果仍是單項(xiàng)式．

? 應(yīng)用舉例，鞏固法則

［例1］計(jì)算：(1)(2xy2)·(xy);(2)(－2a2b3)·(－3a);(3)(4×105)·(5×104);(4)(－3a2b3)2·(－a3b2)5;(5)(－ a2bc3)·(－ c5)·(ab2c).)·(x·x)(y2·y)=

x2y3;解：(1)(2xy2)·(xy)=(2×

(2)(－2a2b3)·(－3a)=［(－2)·(－3)］(a2a)·b3=6a3b3;(3)(4×105)·(5×104)=(4×5)·(105×104)=20×109=2×1010;(4)(－3a2b3)2·(－a3b2)5

=［(－3)2(a2)2(b3)2］·［(－1)5(a3)5(b2)5］ =(9a4b6)·(a15b10)=9·(a4·a15)·(b6·b10)=9a19b16;(5)(－ =［(－ = a2bc3)·(－)×(－ a3b3c9)×(c5)·（ab2c))］·(a2·a)(b·b2)(c3·c5·c)●設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用法則進(jìn)行運(yùn)算，并理解每一步的算理，同時(shí)掌握書(shū)寫(xiě)的格式． ●●［師生共析］單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的乘法法則在運(yùn)用時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

1.積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值.這時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是，將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆，如2a3·3a2=6a5,而不要認(rèn)為是6a6或5a5.2.相同字母的冪相乘，運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì).3.只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.4.單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用.5.單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式.? 自主評(píng)價(jià)，反饋提高

（出示投影片）1.（1）（（4）（x2y）·（－

y2z）（2）－6a2b2 · 4b3c（3）（2xy）2 ·3xyz ab2）3 · 27a2bc（5）（2×105）·（8×104）

2.一種電子計(jì)算機(jī)每秒可做4×109次運(yùn)算，它工作5×102秒，可做多少次運(yùn)算？(由幾位同學(xué)板演，最后師生共同講評(píng))●1解：（1）-x2y3z(2)-24 a2b5c(3)12x3y3z(4)a5b7c（5）1.6×1010 ●2解：(4×109)×(5×102)=(4×5)×(109×102)=20×1011=2×1012(次)答：工作5×102秒，可做2×1012次運(yùn)算

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)讓學(xué)生熟練掌握單項(xiàng)式與單項(xiàng)式乘法運(yùn)算，1.運(yùn)算時(shí)要注意運(yùn)算順序，先乘方，再乘除．2的結(jié)果要提醒學(xué)生用科學(xué)計(jì)數(shù)法形式表示．對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式中出現(xiàn)的字母要連同指數(shù)不變的照搬．要提醒學(xué)生注意運(yùn)算時(shí)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤．

?

用.課時(shí)小結(jié)

這節(jié)課我們利用乘法交換律和結(jié)合律及同底數(shù)冪乘法的法則探索出單項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則，并能熟練地運(yùn)

七、活動(dòng)與探究（出示投影片）

若(am+1bn+2)·(a2n-1b2m)=a5b3,則m+n的值為多少？ 解：根據(jù)單項(xiàng)式乘法的法則，可建立關(guān)于m,n的方程，即(am+1bn+2)·(a2n1b2m)

－=(am+1·a2n1)·(bn+2·b2m)=a2n+mb2m+n+2=a5b3,所以2n+m=5①,2m+n+2=3即2m+n=1②,觀察①②方程的特點(diǎn)，很容－易就可求出m+n.根據(jù)題意，得2n+m=5①,2m+n=1②,①+②得3n+3m=6,3(m+n)=6,所以m+n=2.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)乘法交換律和結(jié)合律及同底數(shù)冪乘法的法則探索，在熟練運(yùn)用法則的基礎(chǔ)上，進(jìn)行發(fā)散思維的培養(yǎng)與訓(xùn)練。

八、課后作業(yè)

課本24頁(yè)習(xí)題1.8第1、2題．

? 板書(shū)設(shè)計(jì)

§1.5 整式的乘法(一)——單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘 問(wèn)題：如何將x·(mx);(mx)·（x)化成最簡(jiǎn)？

探索：x·(mx)=m·(x·x)——乘法交換律、結(jié)合律 =mx2——同底數(shù)冪乘法運(yùn)算性質(zhì)(mx)·(= x)=(m)·(x·x)——乘法交換律、結(jié)合律

mx2——同底數(shù)冪乘法運(yùn)算性質(zhì)

類(lèi)似地，3a2b·2ab3=(3×2)(a2·a)(b·b3)=6a3b4;(xyz)·y2z=x·(y·y2)(z·z)=xy3z2.歸納：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式.例題：例1.(師生共析)練習(xí)：(學(xué)生板演，師生共同講評(píng))教學(xué)反思

本節(jié)課是讓學(xué)生掌握基本的單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘運(yùn)算技能和算理，對(duì)于利用運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算的前，注重法則的探索過(guò)程，同時(shí)要只是對(duì)算理的理解，有意識(shí)地培養(yǎng)他們有條理的思考和語(yǔ)言表達(dá)能力，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)觀察思考自己總結(jié)得出．注意書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性．

本節(jié)課是以對(duì)算理的理解和掌握基本的運(yùn)算技能為主要內(nèi)容，從整式乘法產(chǎn)生的實(shí)際情境上探究單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則，所以會(huì)利用法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算以及理解它的算理是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容．學(xué)好單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算為下節(jié)課學(xué)習(xí)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式打下基礎(chǔ)．．但對(duì)于運(yùn)算法則的探索，需要一定的推理和表達(dá)方面的能力．在應(yīng)用法則進(jìn)行單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式時(shí)系數(shù)的運(yùn)算和同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算有所不同，容易與其他運(yùn)算混淆，所以這是本節(jié)課的難點(diǎn)

第五篇：直角三角形(二)教學(xué)設(shè)計(jì)

第一章

三角形的證明

2．直角三角形

（二）宜昌市長(zhǎng)江中學(xué)

李玉平

一、學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)直角三角形全等判定定理“HL”之前，已經(jīng)掌握了一般三角形全等的判定方法，在本章的前一階段的學(xué)習(xí)過(guò)程中接觸到了證明三角形全等的推論，在本節(jié)課要掌握這個(gè)定理的證明以及利用這個(gè)定理解決相關(guān)問(wèn)題還是一個(gè)較高的要求。

二、教學(xué)任務(wù)分析

本節(jié)課是三角形全等的最后一部分內(nèi)容，也是很重要的一部分內(nèi)容，凸顯直角三角形的特殊性質(zhì)。在探索證明直角三角形全等判定定理“HL”的同時(shí)，進(jìn)一步鞏固命題的相關(guān)知識(shí)也是本節(jié)課的任務(wù)之一。因此本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定位為：

1．知識(shí)目標(biāo)：

①能夠證明直角三角形全等的“HL”的判定定理，進(jìn)一步理解證明的必要性 ②利用“HL’’定理解決實(shí)際問(wèn)題 2．能力目標(biāo)：

①進(jìn)一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力

三、教學(xué)過(guò)程分析

本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)提問(wèn)；第二環(huán)節(jié)：引入新課；第三環(huán)節(jié)：做一做；第四環(huán)節(jié)：議一議；第五環(huán)節(jié)：課時(shí)小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。

1：復(fù)習(xí)提問(wèn)

1.判斷兩個(gè)三角形全等的方法有哪幾種？

2.已知一條邊和斜邊，求作一個(gè)直角三角形。想一想，怎么畫(huà)？同學(xué)們相互交流。

3、有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎？如果其中一個(gè)角是直角呢？請(qǐng)證明你的結(jié)論。

我們?cè)鴱恼奂埖倪^(guò)程中得到啟示，作了等腰三角形底邊上的中線或頂角的角平分線，運(yùn)用公理，證明三角形全等，從而得出“等邊對(duì)等角”。那么我們能否通過(guò)作等腰三角形底邊的高來(lái)證明“等邊對(duì)等角”．

要求學(xué)生完成，一位學(xué)生的過(guò)程如下： 已知：在△ABC中，AB=AC．

求證：∠B=∠C．

證明：過(guò)A作AD⊥BC，垂足為C，∴∠ADB=∠ADC=90° 又∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．

∴∠B=∠C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）

在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，有學(xué)生對(duì)上述證明方法產(chǎn)生了質(zhì)疑。質(zhì)疑點(diǎn)在于“在證明△ABD≌△ACD時(shí)，用了“兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)相等的兩個(gè)三角形全等”．而我們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)全等的時(shí)候知道，兩個(gè)三角形，如果有兩邊及其一邊的對(duì)角相等，這兩個(gè)三角形是不一定全等的．可以畫(huà)圖說(shuō)明．(如圖所示在ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD與△ABC不全等)” ．

也有學(xué)生認(rèn)同上述的證明。

教師順?biāo)浦郏儐?wèn)能否證明：“在兩個(gè)直角三角形中，直角所對(duì)的邊即斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．”，從而引入新課。

2：引入新課

（1）．“HL”定理．由師生共析完成

已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′． 求證：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′

證明：在Rt△ABC中，AC=AB一BC(勾股定理)． 又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' =A'C'=A'B'2一B'C'2(勾股定理)．

AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'． ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SSS)． 教師用多媒體演示：

定理

斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．

這一定理可以簡(jiǎn)單地用“斜邊、直角邊”或“HL”表示．

從而肯定了第一位同學(xué)通過(guò)作底邊的高證明兩個(gè)三角形全等，從而得到“等邊對(duì)等角”的證法是正確的．

練習(xí)：判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由：

22AA'BCB'C'BEAD1C2(1)兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

(2)斜邊及一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

(3)兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

(4)一條直角邊和另一條直角邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．

對(duì)于（1）、（2）、（3）一般可順利通過(guò)，這里教師將講解的重心放在了問(wèn)題（4），學(xué)生感覺(jué)是真命題，一時(shí)有無(wú)法直接利用已知的定理支持，教師引導(dǎo)學(xué)生證明．

已知：R△ABC和Rt△A'B ' C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分別是AC、A'C'邊上的中線且BD—B'D'(如圖)．

求證：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'． 證明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，∵BD=B'D',BC=B'C', ∴Rt△BDC≌Rt△B 'D 'C '(HL定理)． CD=C'D'．

又∵AC=2CD，A 'C '=2C 'D '，∴AC=A'C'． ∴在Rt△ABC和Rt△A 'B 'C '中，∵BC=B'C '，∠C=∠C '=90°，AC=A'C '，∴Rt△ABC≌CORt△A'B'C(SAS)．

通過(guò)上述師生共同活動(dòng)，學(xué)生板書(shū)推理過(guò)程之后可發(fā)動(dòng)學(xué)生去糾錯(cuò)，教師最后再總結(jié)。3：做一做

問(wèn)題

你能用三角尺平分一個(gè)已知角嗎? 請(qǐng)同學(xué)們用手中的三角尺操作完成，并在小組內(nèi)交流，用自己的語(yǔ)言清楚表達(dá)自己的想法．

（設(shè)計(jì)做一做的目的為了讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)結(jié)論在實(shí)際中的應(yīng)用，教學(xué)中就要求學(xué)生能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言清楚地表達(dá)自己的想法，并能按要求將推理證明過(guò)程寫(xiě)出來(lái)。）

4：議一議

如圖，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，還需要什么條件?把它們分別寫(xiě)出來(lái)．

這是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，答案不唯一，需要我們靈活地運(yùn)用公理和已學(xué)過(guò)的定理，觀察圖形，積極思考，并在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，通過(guò)同學(xué)之間的交流，獲得各種不同的答案．

(教師一定要提供時(shí)間和空間，讓同學(xué)們認(rèn)真思考，勇于向困難提出挑戰(zhàn))5： 例題學(xué)習(xí)

如圖，在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分

ADA'D'BCB'C'CC'3

ADBA'D'B'別分別是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．

求證：△ABC≌△A'B'C'．

分析：要證△ABC≌△A'B'C'，由已知中找到條件：一組邊AC=A'C'，一組角∠ACB=∠A'C'B'．如果尋求∠A=∠A'，就可用ASA證明全等；也可以尋求么∠B=∠B'，這樣就有AAS；還可尋求BC=B'C'，那么就可根據(jù)SAS．……注意到題目中，通有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'．觀察圖形，這里有三對(duì)三角形應(yīng)該是全等的，且題目中具備了HL定理的條件，可證的Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，因此證明∠A=∠A' 就可行．

證明：∵CD、C'D'分別是△ABC△A'B'C'的高(已知)，∴∠ADC=∠A'D'C'=90°． 在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，AC=A'C'(已知)，CD=C'D'(已知)，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL)． ∠A=∠A'，(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)． 在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'(已證)，AC=A'C'(已知)，∠ACB=∠A'C'B'(已知)，∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)． 6：課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課我們討論了在一般三角形中兩邊及其一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等．而當(dāng)一邊的對(duì)角是直角時(shí)，這兩個(gè)三角形是全等的，從而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具體的、開(kāi)放性的問(wèn)題，不僅進(jìn)一步掌握了推理證明的方法，而且發(fā)展了同學(xué)們演繹推理的能力．同學(xué)們這一節(jié)課的表現(xiàn)，很值得繼續(xù)發(fā)揚(yáng)廣大．

7：課后作業(yè)

習(xí)題1．6第3、4、5題

四、教學(xué)反思

本節(jié)HL定理的證明學(xué)生掌握得比較好，定理的應(yīng)用方面尤其是“議一議”中的該題靈活性較強(qiáng)，給教師和學(xué)生發(fā)揮的余地較大，該題是一個(gè)開(kāi)放題，結(jié)論和方法并不惟一，所以 學(xué)生積極性非常高，作為教師要充分利用好這個(gè)資源，可以達(dá)到一題多解，舉一反三的效果。