第一篇：全國初中數(shù)學競賽輔導 第四十六講《同余式》教案1 北師大版

！

第四十六講 同余式

數(shù)論有它自己的代數(shù)，稱為同余理論．最先引進同余的概念與記號的是數(shù)學王子高斯．

先看一個游戲：有n＋1個空格排成一行，第一格中放入一枚棋子，甲乙兩人交替移動棋子，每步可前移1，2或3格，以先到最后一格者為勝．問是先走者勝還是后走者勝？應該怎樣走才能取勝？

取勝之道是：你只要設法使余下的空格數(shù)是4的倍數(shù)，以后你的對手若走i格(i=1，2，3)，你走4-i格，即每一次交替，共走了4格．最后只剩4個空格時，你的對手就必輸無疑了．因此，若n除以4的余數(shù)是1，2或3時，那么先走者甲勝；若n除以4的余數(shù)是0的話，那么后走者乙勝．

在這個游戲里，我們可以看出，有時我們不必去關心一個數(shù)是多少，而要關心這個數(shù)用m除后的余數(shù)是什么．又例如，1999年元旦是星期五，1999年有365天，365=7×52＋1，所以2000年的元旦是星期六．這里我們關心的也是余數(shù)．這一講中，我們將介紹同余的概念、性質及一些簡單的應用．

同余，顧名思義，就是余數(shù)相同．

定義1 給定一個正整數(shù)m，如果用m去除a，b所得的余數(shù)相同，則稱a與b對模m同余，記作

a≡b(modm)，并讀作a同余b，模m．

若a與b對模m同余，由定義1，有

a=mq1＋r，b=mq2+r．

所以 a-b=m(q1-q2)，即 m｜a-b．

反之，若m｜a-b，設

a=mq1＋r1，b=mq2＋r2，0≤r1，r2≤m-1，則有m｜r1-r2．因｜r1-r2｜≤m-1，故r1-r2=0，即r1＝r2．

于是，我們得到同余的另一個等價定義：！

定義2 若a與b是兩個整數(shù)，并且它們的差a-b能被一正整數(shù)m整除，那么，就稱a與b對模m同余．

同余式的寫法，使我們聯(lián)想起等式．其實同余式和代數(shù)等式有一些相同的性質，最簡單的就是下面的定理1．

定理1(1)a≡a(modm)．

(2)若a≡b(modm)，則b≡a(modm)．

(3)若a≡b(modm)，b≡c(modm)，則a≡c(modm)．

在代數(shù)中，等式可以相加、相減和相乘，同樣的規(guī)則對同余式也成立．

定理2 若a≡b(modm)，c≡d(modm)，則

a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．

證 由假設得m｜a-b，m｜c-d，所以

m｜(a±c)-(b±d)，m｜c(a-b)＋b(c-d)，即

a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．

由此我們還可以得到：若a≡b(modm)，k是整數(shù)，n是自然數(shù)，則

a±k≡b±k(modm)，ak≡bk(modm)，a≡b(modm)．

對于同余式ac≡bc(modm)，我們是否能約去公約數(shù)c，得到一個正確的同余式a≡b(modm)？

在這個問題上，同余式與等式是不同的．例如

25≡5(mod 10)，約去5得

5≡1(mod 10)．

這顯然是不正確的．但下面這種情形，相約是可以的．

定理3 若ac≡bc(modm)，且(c，m)=1，則

n

n 2！

a≡b(modm)．

證 由題設知

ac-bc=(a-b)c=mk．

由于(m，c)=1，故m｜a-b，即a≡b(modm)．

定理4 若n≥2，a≡b(modm1)，a≡b(modm2)，………… a≡b(modmn)，且M=[m1，m2，…，mn]表示m1，m2，…，mn的最小公倍數(shù)，則

a≡b(modM)．

前面介紹了同余式的一些基本內容，下面運用同余這一工具去解決一些具體問題．

應用同余式的性質可以簡捷地處理一些整除問題．若要證明m整除a，只需證a≡0(modm)即可．

例1 求證：

(1)8｜(552n1999

＋17)；

(2)8(3＋7)；

(3)17｜(191000

-1)．

1999

證(1)因55≡-1(mod 8)，所以55

19998)，于是8｜(55＋17)．

2n

≡-1(mod 8)，55

1999

＋17≡-1＋17=16≡0(mod

(2)3=9≡1(mod 8)，3≡1(mod 8)，所以3＋7≡1＋7≡0(mod 8)，即8｜(3＋7)．

(3)19≡2(mod 17)，19≡2=16≡-1(mod 17)，所以19≡1(mod 17)，于是

17｜(19

1000

1000

2n2n

=(19)250≡(-1)250

-1)．！

例2 求使2-1為7的倍數(shù)的所有正整數(shù)n．

解 因為2≡8≡1(mod 7)，所以對n按模3進行分類討論．

(1)若n=3k，則

2-1＝(2)-1＝8-1≡1-1＝0(mod 7)；

(2)若n=3k＋1，則

2-1=2·(2)-1=2·8-1

≡2·1-1＝1(mod 7)；

(3)若n=3k＋2，則

2-1=2·(2)-1=4·8-1

≡4·1-1＝3(mod 7)．

所以，當且僅當3｜n時，2-1為7的倍數(shù)．

例3 對任意的自然數(shù)n，證明

A=2903-803-464＋261

能被1897整除．

證 1897=7×271，7與271互質．因為

2903≡5(mod 7)，803≡5(mod 7)，464≡2(mod 7)，261≡2(mod 7)，所以

A=2903-803-464+261

≡5n-5n-2n+2n=0(mod 7)，故7｜A．又因為

2903≡193(mod 271)，n

n

n

n

n

n

n

n

n

k

n

3k

k

k

n

3k

k

n

3k

k

k3n 4！

803≡261(mod 271)，464≡193(mod 271)，所以

故271｜A．因(7，271)=1，所以1897整除A．

例4 把1，2，3…，127，128這128個數(shù)任意排列為a1，a2，…，a128，計算出

｜a1-a2｜，｜a3-a4｜，…，｜a127-a128｜，再將這64個數(shù)任意排列為b1，b2，…，b64，計算

｜b1-b2｜，｜b3-b4｜，…，｜b63-b64｜．

如此繼續(xù)下去，最后得到一個數(shù)x，問x是奇數(shù)還是偶數(shù)？

解 因為對于一個整數(shù)a，有

｜a｜≡a(mod 2)，a≡-a(mod 2)，所以

b1＋b2＋…＋b64

=｜a1-a2｜+｜a3-a4｜+…+｜a127-a128｜

≡a1-a2＋a3-a4+…+a127-a128

≡a1＋a2＋a3＋a4+…+a127＋a128(mod 2)，因此，每經(jīng)過一次“運算”，這些數(shù)的和的奇偶性是不改變的．最終得到的一個數(shù)

x≡a1＋a2＋…＋a128＝1＋2＋…＋128

＝64×129≡0(mod 2)，故x是偶數(shù)．！

如果要求一個整數(shù)除以某個正整數(shù)的余數(shù)，同余是一個有力的工具．另外，求一個數(shù)的末位數(shù)字就是求這個數(shù)除以10的余數(shù)，求一個數(shù)的末兩位數(shù)字就是求這個數(shù)除以100的余數(shù)．

例5 求證：一個十進制數(shù)被9除的余數(shù)等于它的各位數(shù)字之和被9除的余數(shù)．

10≡1(mod 9)，故對任何整數(shù)k≥1，有

10≡1＝1(mod 9)．

因此

k

k

即A被9除的余數(shù)等于它的各位數(shù)字之和被9除的余數(shù)．

說明(1)特別地，一個數(shù)能被9整除的充要條件是它的各位數(shù)字之和能被9整除．

(2)算術中的“棄九驗算法”就是依據(jù)本題的結論．

例6 任意平方數(shù)除以4余數(shù)為0和1(這是平方數(shù)的重要特征)．

證 因為

奇數(shù)=(2k＋1)=4k＋4k+1≡1(mod 4)，偶數(shù)=(2k)=4k≡0(mod 4)，所以

例7 任意平方數(shù)除以8余數(shù)為0，1，4(這是平方數(shù)的又一重要特征)．

證 奇數(shù)可以表示為2k＋1，從而！

奇數(shù)=4k＋4k+1=4k(k＋1)+1．

因為兩個連續(xù)整數(shù)k，k＋1中必有偶數(shù)，所以4k(k＋1)是8的倍數(shù)，從而

奇數(shù)=8t+1≡1(mod 8)，偶數(shù)=(2k)=4k(k為整數(shù))．

(1)若k=偶數(shù)=2t，則

4k=16t＝0(mod 8)．

(2)若k=奇數(shù)=2t+1，則

4k=4(2t＋1)=16(t＋t)+4≡4(mod 8)，所以

求余數(shù)是同余的基本問題．在這種問題中，先求出與±1同余的數(shù)是一種基本的解題技巧．

例8(1)求33除2

(2)求8除7

2n+1

1998的余數(shù)．

-1的余數(shù)．

解(1)先找與±1(mod 33)同余的數(shù)．因為

2＝32≡-1(mod 33)，所以 2≡1(mod 33)，2

所求余數(shù)為25．

(2)因為7≡-1(mod 8)，所以

2n＋1

199810

=(2)·2·2≡-8≡25(mod 33)，1019953

≡(-1)

2n＋1

＝-1(mod 8)，7

2n＋1

-1≡-2≡6(mod 8)，！

即余數(shù)為6．

例9 形如

Fn＝2+1，n=0，1，2，… 的數(shù)稱為費馬數(shù)．證明：當n≥2時，F(xiàn)n的末位數(shù)字是7．

證 當n≥2時，2是4的倍數(shù)，故令2=4t．于是

Fn=2＋1=2+1=16＋1 ≡6＋1≡7(mod 10)，即Fn的末位數(shù)字是7．

說明 費馬數(shù)的頭幾個是

F0＝3，F(xiàn)1＝5，F(xiàn)2＝17，F(xiàn)3＝257，F(xiàn)4＝65537，它們都是素數(shù)．費馬便猜測：對所有的自然數(shù)n，F(xiàn)n都是素數(shù)．然而，這一猜測是錯誤的．首先推翻這個猜測的是歐拉，他證明了下一個費馬數(shù)F5是合數(shù)．證明F5是合數(shù)，留作練習．

利用同余還可以處理一些不定方程問題．

例10 證明方程

x+y+2=5z

沒有整數(shù)解．

證 對于任一整數(shù)x，以5為模，有

x≡0，±1，±2(mod 5)，x≡0，1，4(mod 5)，x≡0，1，1(mod 5)，即對任一整數(shù)x，x≡0，1(mod 5)．

同樣，對于任一整數(shù)y

y≡0，1(mod 5)，4442

t2n

4t

t

n

n

2n 8！

所以 x+y+2≡2，3，4(mod 5)，從而所給方程無整數(shù)解．

說明 同余是處理不定方程的基本方法，但這種方法也非常靈活，關鍵在于確定所取的模(本例我們取模5)，這往往應根據(jù)問題的特點來確定．

練習二十五

1．求證：17｜(19

100044

-1)．

2n

2n

2．證明：對所有自然數(shù)n，330｜(6-5-11)．

4．求21000

除以13的余數(shù)．

5．求1＋2＋3＋…＋99＋100除以4所得的余數(shù)．

6．今天是星期天，過3天是星期幾？再過5

19985

天又是星期幾？

7．求n=1×3×5×7×…×1999的末三位數(shù)字．

8．證明不定方程x+y-8z=6無整數(shù)解．

第二篇：全國初中數(shù)學競賽輔導 第十六講《質數(shù)與合數(shù)》教案1 北師大版

第十六講 質數(shù)與合數(shù)

我們知道，每一個自然數(shù)都有正因數(shù)(因數(shù)又稱約數(shù))．例如，1有一個正因數(shù)；2，3，5都有兩個正因數(shù)，即1和其本身；4有三個正因數(shù)：1，2，4；12有六個正因數(shù)：1，2，3，4，6，12．由此可見，自然數(shù)的正因數(shù)，有的多，有的少．除了1以外，每個自然數(shù)都至少有兩個正因數(shù)．我們把只有1和其本身兩個正因數(shù)的自然數(shù)稱為質數(shù)(又稱素數(shù))，把正因數(shù)多于兩個的自然數(shù)稱為合數(shù)．這樣，就把全體自然數(shù)分成三類：1，質數(shù)和合數(shù)．

2是最小的質數(shù)，也是唯一的一個既是偶數(shù)又是質數(shù)的數(shù)．也就是說，除了2以外，質數(shù)都是奇數(shù)，小于100的質數(shù)有如下25個：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97．

質數(shù)具有許多重要的性質：

性質1 一個大于1的正整數(shù)n，它的大于1的最小因數(shù)一定是質數(shù)．

性質2 如果n是合數(shù)，那么n的最小質因數(shù)a一定滿足a≤n．

性質3 質數(shù)有無窮多個(這個性質將在例6中證明)．

性質4(算術基本定理)每一個大于1的自然數(shù)n，必能寫成以下形式：

這里的P1，P2，…，Pr是質數(shù)，a1，a2，…，ar是自然數(shù)．如果不考慮p1，P2，…，Pr的次序，那么這種形式是唯一的．

關于質數(shù)和合數(shù)的問題很多，著名的哥德巴赫猜想就是其中之一．哥德巴赫猜想是：每一個大于2的偶數(shù)都能寫成兩個質數(shù)的和．這是至今還沒有解決的難題，我國數(shù)學家陳景潤在這個問題上做了到目前為止最好的結果，他證明了任何大于2的偶數(shù)都是兩個質數(shù)的和或一個質數(shù)與一個合數(shù)的和，而這個合數(shù)是兩個質數(shù)的積(這就是通常所說的1+2)．下面我們舉些例子．

例1 設p，q，r都是質數(shù)，并且

p+q=r，p＜q．

求p．

解 由于r=p+q，所以r不是最小的質數(shù)，從而r是奇數(shù)，所以p，q為一奇一偶．因為p＜q，故p既是質數(shù)又是偶數(shù)，于是p=2．

例2 設p(≥5)是質數(shù)，并且2p+1也是質數(shù)．求證：4p+1是合數(shù)．

證 由于p是大于3的質數(shù)，故p不會是3k的形式，從而p必定是3k+1或3k+2的形式，k是正整數(shù)．

若p=3k+1，則

2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)是合數(shù)，與題設矛盾．所以p=3k+2，這時

4p+1=4(3k+2)+1=3(4k＋3)是合數(shù)．

例3 設n是大于1的正整數(shù)，求證：n+4是合數(shù)．

證 我們只需把n+4寫成兩個大于1的整數(shù)的乘積即可．

n+4=n+4n+4-4n＝(n+2)-4n ＝(n-2n+2)(n+2n+2)，因為

n+2n＋2＞n-2n+2=(n-1)+1＞1，所以n+4是合數(shù)．

例4 是否存在連續(xù)88個自然數(shù)都是合數(shù)？

解 我們用n！表示1×2×3×…×n.令

a=1×2×3×…×89=89！，那么，如下連續(xù)88個自然數(shù)都是合數(shù)：

a+2，a+3，a+4，…，a+89．

這是因為對某個2≤k≤89，有

a+k=k×(2×…×(k-1)×(k+1)×…×89+1)

是兩個大于1的自然數(shù)的乘積．

說明 由本例可知，對于任意自然數(shù)n，存在連續(xù)的n個合數(shù)，這也說明相鄰的兩個素數(shù)的差可以任意的大． 4

用(a，b)表示自然數(shù)a，b的最大公約數(shù)，如果(a，b)=1，那么a，b稱為互質(互素)．

例5 證明：當n＞2時，n與n！之間一定有一個質數(shù)．

證 首先，相鄰的兩個自然數(shù)是互質的．這是因為

(a，a-1)=(a，1)＝1，于是有(n！，n！-1)=1．

由于不超過n的自然數(shù)都是n！的約數(shù)，所以不超過n的自然數(shù)都與n！-1互質(否則，n！與n！-1不互質)，于是n！-1的質約數(shù)p一定大于n，即n＜p≤n！-1＜n?。?/p>

所以，在n與n！之間一定有一個素數(shù)．

例6 證明素數(shù)有無窮多個．

證 下面是歐幾里得的證法．

假設只有有限多個質數(shù)，設為p1，p2，…，pn.考慮p1p2…pn+1，由假設，p1p2…pn+1是合數(shù)，它一定有一個質約數(shù)p．顯然，p不同于p1，p2，…，pn，這與假設的p1，p2，…，pn為全部質數(shù)矛盾．

例7 證明：每一個大于11的自然數(shù)都是兩個合數(shù)的和．

證 設n是大于11的自然數(shù)．

(1)若n=3k(k≥4)，則

n＝3k=6+3(k-2)；

(2)若n=3k+1(k≥4)，則

n=3k+1=4+3(k-1)；

(3)若n=3k+2(k≥4)，則

n=8+3(k-2)．

因此，不論在哪種情況下，n都可以表為兩個合數(shù)的和．

例8 求不能用三個不同合數(shù)的和表示的最大奇數(shù)．

解 三個最小的合數(shù)是4，6，8，它們的和是18，于是17是不能用三個不同的合數(shù)的和表示的奇數(shù)．

下面證明大于等于19的奇數(shù)n都能用三個不同的合數(shù)的和來表示．

由于當k≥3時，4，9，2k是三個不同的合數(shù)，并且4+9+2k≥19，所以只要適當選擇k，就可以使大于等于19的奇數(shù)n都能用4，9，2k(k=n-13/2)的和來表示．

綜上所述，不能表示為三個不同的合數(shù)的和的最大奇數(shù)是17．

練習十六

1．求出所有的質數(shù)p，使p+10，p+14都是質數(shù)．

2．若p是質數(shù)，并且8p+1也是質數(shù)，求證：8p-p+2也是質數(shù)．

3．當m＞1時，證明：n+4m是合數(shù)．

4．不能寫成兩個合數(shù)之和的最大的自然數(shù)是幾？

5．設p和q都是大于3的質數(shù)，求證：24｜p-q．

6．設x和y是正整數(shù)，x≠y，p是奇質數(shù)，并且

求x+y的值．

第三篇：全國初中數(shù)學競賽輔導 第五十講《生活中的數(shù)學(三)——鏡子中的世界》教案1 北師大版

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第五十講 生活中的數(shù)學(三)——鏡子中的世界

在日常生活中，人們?yōu)榱擞^察自己的服裝儀表是否整潔漂亮，常常要照鏡子．如果鏡面是很平的，那么在鏡子中，人或物體與其像是完全一樣的．而且我們都有這樣的經(jīng)驗：當人走近鏡面，人在鏡中的像也走進鏡面；當人遠離鏡面，人在鏡中的像也遠離鏡面．如果你留心的話，就可以發(fā)現(xiàn)：人和像與鏡面的距離保持相等(圖2-155)，這種現(xiàn)象叫作面對稱．如果我們只取一個側面，那么鏡面就可用一條直線來表示，人和人在鏡中的像可用一個平面圖形來表示，這樣，人、像與鏡就成了軸對稱，也叫直線對稱(圖2-155)．

如果實物是△ABC，那么它在鏡中的像就成了圖形△A′B′C′．直線l表示鏡，這時稱l為△ABC和△A′B′C′的對稱軸(圖2-156)．圖中，A與A′，B與B′，C與C′是對稱點．以對稱點為端點所連結的線段AA′，BB′，CC′被對稱軸l垂直平分，因此，如果以直線l為折痕，把△ABC翻折過來，它必與△A′B′C′重合，所以成軸對稱的兩個圖形必全等．

例1 設圖形ABCDEF是半個蝴蝶形(圖2-157(a))，試以直線l為對稱軸，畫出整個蝴蝶來．！

解 為了畫出整個蝴蝶，只需要畫出圖形ABCDEF關于直線l的軸對稱圖形就可以了．因為A點、F點在直線l上，所以它們的對稱點分別和A，F(xiàn)是同一點，這樣，只要畫出B，C，D，E關于l的對稱點就行了．為此，先分別過B，C，D，E向l作垂線，設垂足分別為M，N，P，Q，然后在BM，CN，DP，EQ的延長線上取B′，C′，D′和E′點，使得B′M=MB，C′N=NC，D′P=PD，E′Q=QE，最后連結AB′，B′C′，C′D′，D′E′，E′F，于是就得到完整的蝴蝶形ABCDEFE′D′C′B′了(圖 2-157(b))．

例2 設直線l1和直線l2平行，且l1和l2間的距離為a．如果線段AB在l1的右側，并設AB關于l1的對稱圖形是A′B′，而A′B′關于l2的對稱圖形是A″B″(圖2-158)，那么，線段AB和A″B″有什么關系？

解 因為l1平行于l2，并且AA′A″垂直于l1，當然也垂直于l2，同理BB′B″也垂直于l1和l2．我們知道：“在平面內垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”，所以

AA′A″∥BB′B″． ①

另一方面，因為AP=PA′，A′P′=P′A″，所以

AA′A″＝2PP′=2a，同理BB′B″=2a，所以

AA′A″=BB′B″． ②

通過例2，我們可知，如果在平面上兩條直線互相平行，有一個圖形以這兩條直線為對稱軸，連續(xù)作了兩次軸對稱移動，那么相當于這個圖形作了一次平行移動，平行移動的距離剛好是這兩個對稱軸間距離的2倍．

如果我們反復利用例2的原理，就可以做成帶形的花邊圖案．例如，我們把一張等寬的長紙條像圖2-159那樣折疊起來，并在上面用小刀刻出一個三角形的洞，然后再展開這張紙條，就會得到如圖2-160那樣的帶形圖案．！

如果我們把圖2-160中的m2，m1，m0，m-1，m-2，m-3看成鏡子，A0看作實物，那么A1，A2和A-1，A-2就是A0在鏡子中的像了．其實，圖中的A1是A0以m0為對稱軸作對稱移動的對稱圖形，也可以把A1看作是A-1作一次平行移到所得到的圖形．由此，怎樣看待A1和A2的關系以及A2和A0的關系呢？請同學們自己作出回答．

有了上面的知識，同學們不僅可以自己設計一些帶形花邊圖案，還可以了解某些廣告上畫的花邊圖案的原理了．下面的圖2-161和圖2-162是兩個帶形圖案，你能看出它們是怎樣設計的嗎？

如果我們把前面圖2-160中的m2，m1，m0，m-1，m-2等看作平行的鏡子，A0看作一個人，如果這個人在鏡子中m0和m-1之間反復映照，那么就會看到圖2-163的情況．

可以想象，在鏡子m0中的像A1，A2，A3，…，以及在鏡子m1中的像A-1，A-2，A-3，…是無限多的．還可以知道：A0在鏡m0中的像是A1，A1在鏡m-1中的像是A-2，A-2在鏡m0中的像是A3，…如此等等．因為A0和A1，A1和A2是軸對稱移動，所以A0到A2是平行移動．！

例3 設直線l1和直線l2相交，交點為O，其夾角為α．如果線段AB關于l1的軸對稱圖形是A′B′，而A′B′關于l2的軸對稱圖形是A″B″．試問AB和A″B″間有什么關系？(見圖2-164)

解 因為已知AB關于l1的對稱圖形是A′B′，A′B′關于l2的對稱圖形是A″B″，所以AB=A′B′，A′B′=A″B″，所以

AB=A″B″，①

由于∠AOP=∠A′OP，∠A′OP′=∠A″OP′，所以

∠AOA″＝2∠POP′＝2α．

同理∠BOB″=2∠POP′=2α，所以

∠AOA″＝∠BOB″＝2α． ②

由①，②可知：在平面上，如果兩條直線相交，一個圖形以這兩條直線為對稱軸，連續(xù)作兩次對稱移動，那么相當于這個圖形以這兩條直線的交點為旋轉中心，以這兩條直線的交角的2倍為旋轉角，作了一個旋轉移動，在旋轉移動下，圖形的大小不變．

例4 同學們小時候常常玩萬花筒，它是由三塊等寬、等長的玻璃片圍成的．為什么在萬花筒中會出現(xiàn)美麗奇特的圖案呢？試用前邊的知識揭開萬花筒的秘密．

解 萬花筒中所以能呈現(xiàn)千變萬化、美麗而奇特的圖案，主要是利用了圖形的對稱和旋轉原理．為具體說明，給出的圖2-165為萬花筒中的一個圖案，它是用一個小圓、一個平行四邊形和一段短線在萬花筒中連續(xù)反射而成的圖形．

為了清楚地說明上圖形成的原理，我們取出圖形中的一部分(圖2-166)加以分析．！

正△ABO以OB為對稱軸作軸對稱移動，就得到△CBO；△CBO以OC為對稱軸作軸對稱移動，就得到△CDO．經(jīng)過這樣兩個軸對稱移動，實際上相當于△ABO以O為中心，以120°為旋轉角，作了一個旋轉移動．這樣：

點A→點C，邊AO→邊CO，點B→點D，邊AB→邊CD，點O→點O，邊BO→邊DO．

在這樣旋轉移動下，△ABO中的平行四邊形、小圓和曲線也跟著旋轉了120°．經(jīng)多次反復，就形成了圖2-165的綺麗景色．如果同學們有興趣，可以自己在紙上再現(xiàn)萬花筒中的世界！

練習二十九

1．設l1和l2是兩面平行相對的鏡子，如果把一個小球放在l1和l2之間(圖2-167)，試問：

(1)小球A在鏡l1中的像A′在什么位置？！

(2)小球A在鏡l1中的像A′在鏡l2中的像A″又在什么位置？分別畫在圖上；

(3)小球A和像A″之間的距離與l1和l2之間的距離有什么關系？

2．圖2-168是萬花筒中的一個圖案，其中菱形FJKG變成菱形FDAC，如果看成經(jīng)過以F點為旋轉中心、旋轉角為x的旋轉移動得到的，那么x等于多少度？請從下面的四個答案中選出一個正確的答案來．

(A)60°；

(B)120°；

(C)180°；

(D)以上答案都不對．

3．圖2-169是游樂園中的大型旋轉車的簡圖，游人坐在旋轉車的車斗中，任憑旋轉車不停地旋轉，但總是頭朝上，絕不會掉下來．試問車斗所作的移動是什么移動？請在下面答案中選一個正確的答案．

(A)旋轉；(B)對稱；

(C)平移；(D)以上答案都不對．

4．圖2-170表示一張長方形球臺，設P，Q為兩個球，若擊P球，使它碰CD邊后，反彈正好擊中Q球．試問P應碰撞CD邊的哪一點？！

第四篇：全國初中數(shù)學競賽輔導 第三十四講《梯形》教案2 北師大版

第三十四講 梯形

與平行四邊形一樣，梯形也是一種特殊的四邊形，其中等腰梯形與直角梯形占有重要地位，本講就來研究它們的有關性質的應用．

例1 如圖2-43所示．在直角三角形ABC中，E是斜邊AB上的中點，D是AC的中點，DF∥EC交BC延長線于F．求證：四邊形EBFD是等腰梯形．

分析 因為E，D是三角形ABC邊AB，AC的中點，所以ED∥BF．此外，還要證明(1)EB=DF；(2)EB不平行于DF．

證 因為E，D是△ABC的邊AB，AC的中點，所以

ED∥BF．

又已知DF∥EC，所以ECFD是平行四邊形，所以

EC=DF． ①

又E是Rt△ABC斜邊AB上的中點，所以

EC=EB． ②

由①，②

EB=DF．

下面證明EB與DF不平行．

若EB∥DF，由于EC∥DF，所以有EC∥EB，這與EC與EB交于E矛盾，所以EBDF．

根據(jù)定義，EBFD是等腰梯形．

例2 如圖2-44所示．ABCD是梯形，AD∥BC，AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O.求∠BCD的度數(shù)．

分析 由于△BCD是等腰三角形，若能確定頂點∠CBD的度數(shù)，則底角∠BCD可求．由等腰Rt△ABC可求知斜邊BC(即BD)的長．又梯形的高，即Rt△ABC斜邊上的中線也可求出．通過添輔助線可構造直角三角形，求出∠BCD的度數(shù)．

解 過D作DE⊥EC于E，則DE的長度即為等腰Rt△ABC斜邊上的高AF．設AB=a，由于△ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知

AF+BF=AB，即

又

BC=AB+AC=2AB=2a，由于BC=DB，所以，在Rt△BED中，22222

從而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的對邊等于斜邊一半定理的逆定理)．在△CBD中，2

例3 如圖2-45所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分線交BC于N，交AB延長線于F，垂足為M．求證：AD=BF．

分析 MF是DC的垂直平分線，所以ND=NC．由AD∥BC及∠ADC=135°知，∠C=45°，從而∠NDC=45°，∠DNC=90°，所以ABND是矩形，進而推知△BFN是等腰直角三角形，從而AD=BN=BF．

證 連接DN．因為N是線段DC的垂直平分線MF上的一點，所以ND=NC．由已知，AD∥BC及∠ADC=135°知

∠C=45°，從而

∠NDC=45°．

在△NDC中，∠DNC=90°(=∠DNB)，所以ABND是矩形，所以

AF∥ND，∠F=∠DNM=45°．

△BNF是一個含有銳角45°的直角三角形，所以BN=BF．又

AD=BN，所以 AD=BF．

例4 如圖2-46所示．直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中點．若AD=2，BC=8，求△ABE的面積．

分析 由于AB=AD+BC，即一腰AB的長等于兩底長之和，它啟發(fā)我們利用梯形的中位線性質(這個性質在教材中是梯形的重要性質，我們將在下一講中深入研究它，這里只引用它的結論)．取腰AB的中點F，(或BC)．過A引AG⊥BC于G，交EF于H，則AH，GH分別是△AEF與△BEF的高，所以

AG=AB-BG=(8+2)-(8-2)=100-36=64，所以AG=8．這樣S△ABE(=S△AEF+S△BEF)可求．

解 取AB中點F，連接EF．由梯形中位線性質知

EF∥AD(或BC)，2

過A作AG⊥BC于G，交EF于H．由平行線等分線段定理知，AH=GH且AH，GH均垂直于EF．在Rt△ABG中，由勾股定理知

AG=AB-BG

=(AD+BC)-(BC-AD)

=10-6=8，所以 AG=8，從而 AH=GH=4，所以

S△ABE=S△AEF+S△BEF 2222

2222 4

例5 如圖2-47所示．四邊形ABCF中，AB∥DF，∠1=∠2，AC=DF，F(xiàn)C＜AD．

(1)求證：ADCF是等腰梯形；

(2)若△ADC的周長為16厘米(cm)，AF=3厘米，AC-FC=3厘米，求四邊形ADCF的周長．

分析 欲證ADCF是等腰梯形．歸結為證明AD∥CF，AF=DC，不要忘了還需證明AF不平行于DC．利用已知相等的要素，應從全等三角形下手．計算等腰梯形的周長，顯然要注意利用AC-FC=3厘米的條件，才能將△ADC的周長過渡到梯形的周長．

解(1)因為AB∥DF，所以∠1=∠3．結合已知∠1=∠2，所以∠2=∠3，所以

EA=ED．

又 AC=DF，所以 EC=EF．

所以△EAD及△ECF均是等腰三角形，且頂角為對頂角，由三角形內角和定理知∠3=∠4，從而AD∥CF．不難證明

△ACD≌△DFA(SAS)，所以 AF=DC．

若AF∥DC，則ADCF是平行四邊形，則AD=CF與FC＜AD矛盾，所以AF不平行于DC．

綜上所述，ADCF是等腰梯形．

(2)四邊形ADCF的周長=AD+DC+CF+AF． ①

由于

△ADC的周長=AD+DC+AC=16(厘米)，②

AF=3(厘米)，③

FC=AC-3，④

將②，③，④代入①

四邊形ADCF的周長=AD+DC+(AC-3)+AF

=(AD+DC+AC)-3+3

=16(厘米)．

例6 如圖2-48所示．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，對角線AC，BD所成的角∠AOB=60°，P，Q，R分別是OA，BC，OD的中點．求證：△PQR是等邊三角形．

分析 首先從P，R分別是OA，OD中點知，欲證等邊三角形PQR的邊長應等于等腰梯形腰長之半，為此，只需證明QR，QP等于腰長之半即可．注意到△OAB與△OCD均是等邊三角形，P，R分別是它們邊上的中點，因此，BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC與Rt△CRB中，PQ，RQ分別是它們斜邊BC(即等腰梯形的腰)的中線，因此，PQ=RQ=腰BC之半．問題獲解．

證 因為四邊形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性質知，它的同一底上的兩個角及對角線均相等．進而推知，∠OAB=∠OBA及∠OCD=∠ODC．又已知，AC與BD成60°角，所以，△ODC與△OAB均為正三角形．連接BP，CR，則BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC與Rt△CRB中，PQ，RQ分別是它們的斜邊BC上的中線，所以

又RP是△OAD的中位線，所以

因為 AD=BC，③

由①，②，③得

PQ=QR=RP，即△PQR是正三角形．

說明 本題證明引人注目之處有二：

(1)充分利用特殊圖形中特殊點所帶來的性質，如正三角形OAB邊OA上的中點P，可帶來BP⊥OA的性質，進而又引出直角三角形斜邊中線PQ等于斜邊BC之半的性質．

(2)等腰梯形的“等腰”就如一座橋梁“接通”了“兩岸”的髀

使△PQR的三邊相等．

練習十三

1．如圖2-49所示．梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥CD．求∠A的度數(shù)．

2．如圖2-50所示．梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC交BC于E，△ABE的周長=13厘米，AD=4厘米．求梯形的周長．

3．如圖2-51所示．梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，AB=p，CD=q，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點．求EF．

4．如圖2-52所示．梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰DC的中點，MN⊥AB于N，且MN=b，AB=a．求梯形ABCD的面積．

5．已知：梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=36°，∠B=54°，M，N分別是DC，AB的中點．求證：

第五篇：全國初中數(shù)學競賽輔導(八年級)教學案全集第32講 自測題

全國初中數(shù)學競賽輔導(八年級)教學案全集

第三十二講 自測題

自測題一

1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．

2．已知a，b，c為三角形的三邊長，且滿足

a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，試確定這個三角形的形狀．

3．已知a，b，c，d均為自然數(shù)，且

a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．

4． a，b，c是整數(shù)，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的兩個根為a和b，求a＋b＋c的值．

5．設E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點，D為BC上的任一點，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交

6．四邊形ABCD中，如果一組對角(∠A，∠C)相等時，另一組對角(∠B，∠D)的平分線存在什么關系？

7．如圖2-194所示．△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△

8．如圖2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點，使得AM=BC，N為BC上一點，使得CN=BM，連AN，CM交于P點．求∠APM的度數(shù)．

9．某服裝市場，每件襯衫零售價為70元，為了促銷，采用以下幾種優(yōu)惠方式：購買2件130元；購滿5件者，每件以零售價的九折出售；購買7件者送1件．某人要買6件，問有幾種購物方案(必要時，可與另一購買2件者搭幫，但要兼顧雙方的利益)？哪種方案花錢最少？

自測題二

1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．

2．對于集合

p={x丨x是1到100的整數(shù)}

中的元素a，b，如果a除以b的余數(shù)用符號表示．例如17除以4，商是4，余數(shù)是1，就表示成<17，4>=1，3除以7，商是0，余數(shù)是3，即表示成<3，7>=3．試回答下列問題：

(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的個數(shù)；

(2)用列舉法表示集合

{x丨==5，x∈P}．

3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，試求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．

4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有兩個整數(shù)根．

(1)求證：這兩個整數(shù)根一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)；

(2)求證：a是負偶數(shù)；

(3)當方程的兩整數(shù)根同號時，求a的值及這兩個根．

5．證明：形如8n+7的數(shù)不可能是三個整數(shù)的平方和．

7．如圖2-196所示．AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，BE是角平分線，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求證：

8．如圖2-197所示．AD是銳角△ABC的高，O是AD上任意一點，連BO，OC并分別延長交AC，AB于E，F(xiàn)，連結DE，DF．求證：∠EDO=∠FDO．

9．甲校需要課外圖書200本，乙校需要課外圖書240本，某書店門市部A可供應150本，門市部B可供應290本．如果平均每本書的運費如下表，考慮到學校的利益，如何安排調運，才能使學校支出的運費最少？

自測題三

2．對于任意實數(shù)k，方程

(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0

總有一個根是1，試求實數(shù)a，b的值及另一個根的范圍．

4．如圖2-198．ABCD為圓內接四邊形，從它的一個頂點A引平行于CD的弦AP交圓于P，并且分別交BC，BD于Q，R．求證：

5．如圖2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分線AE交BA上的高CH于D點，過D引AB的平行線交BC于F．求證：BF=EC．

6．如圖2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=

7．已知三角形的一邊是另一邊的兩倍，求證：它的最小邊在它的周8．求最大的自然數(shù)x，使得對每一個自然數(shù)y，x能整除7y+12y-1．

9．某公園的門票規(guī)定為每人5元，團體票40元一張，每張團體票最多可入園10人．

(1)現(xiàn)有三個單位，游園人數(shù)分別為6，8，9．這三個單位分別怎樣買門票使總門票費最??？

(2)若三個單位的游園人數(shù)分別是16，18和19，又分別怎樣買門票使總門票費最省？

(3)若游園人數(shù)為x人，你能找出一般買門票最省錢的規(guī)律嗎？

自測題四

1．求多項式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．

2．設

試求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．

3．如圖2-201所示．在平行四邊形ABCD的對角線BD上任取一點O，過O作邊BC，AB的平行線交AB，BC于F，E，又在 EO上取一點P．CP與OF交于Q．求證：BP∥DQ．

4．若a，b，c為有理數(shù)，且等式成立，則a=b=c=0 ．

5．如圖2-202所示．△ABC是邊長為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN，求△AMN的周長．

6．證明：由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的不重復六位數(shù)不可能被11整除．

7．設x1，x2，…，x9均為正整數(shù)，且

x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．

當x1+x2+…+x5的值最大時，求x9-x1的值．

8．某公司有甲乙兩個工作部門，假日去不同景點旅游，總共有m人參加，甲部門平均每人花費120元，乙部門每人花費110元，該公司去旅游的總共花去2250元，問甲乙兩部門各去了多少人？

9．(1)已知如圖2-203，四邊形ABCD內接于圓，過AD上一點E引直線EF∥AC交BA延長線于F．求證：

FA·BC=AE·CD．

(2)當E點移動到D點時，命題(1)將會怎樣？

(3)當E點在AD的延長線上時又會怎樣？

自測題五

2．關于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根

3．設x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．

4．在三角形ABC內，∠B=2∠C．求證：b2=c2＋ac．

5．若4x-y能被3整除，則4x2+7xy-2y2能被9整除．

6．a(chǎn)，b，c是三個自然數(shù)，且滿足

abc＝a＋b＋c，求證：a，b，c只能是1，2，3中的一個．

7．如圖2-204所示．AD是△ABC的BC邊上的中線，E是BD的中點，BA=BD．求證：AC=2AE．

8．設AD是△ABC的中線，(1)求證：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；

(2)當A點在BC上時，將怎樣？

按沿河距離計算，B離A的距離AC=40千米，如果水路運費是公路運費的一半，應該怎樣確定在河岸上的D點，從B點筑一條公路到D，才能使A到B的運費最??？